Cabri
Cabri
Prime
Costruzioni
costruzioni
di base
Lezione 1
1.1. Il triangolo equilatero
Definizione
Un triangolo equilatero è un triangolo con tre lati uguali
Costruzione del triangolo equilatero. Per costruire un triangolo equilatero su un segmento AB si devono costruire le
circonferenze:
- centro in A e passante per B
- centro in B e passante per A
C
congiungiamo A e B con uno dei punti di intersezione delle due circonferenze
(C). Il triangolo ABC è equilatero, infattti i tre lati sono uguali ai raggi delle
A
due circonferenze (che sono uguali tra loro).
Definiamo una macro “Triangolo equilatero” e salviamola con il
nome “Equilatero”.
B
1.2 Il trasporto del segmento
Il “trasporto del segmento” consiste nel costruire su una semiretta un segmento che abbia un
estremo nell’origine della semiretta e lunghezza uguale a quella di un segmento assegnato. Ecco come
eseguire questa costruzione:
Per la costruzione abbiamo bisogno di un segmento AB ed una
semiretta di origine O (in rosso nella figura).
Costruire sul segmento OB il triangolo equilatero OBC. Disegnare
le rette CB e OC. Circonferenza con centro in B e raggio AB; sia D
il punto di intersezione di questa circonferenza con la retta BC.
Circonferenza con centro in C e raggio CD; sia E l’intersezione di
questa circonferenza con la retta OC. Il segmento OE è uguale al
segmento AB (infatti AB=BD, BD=CD-CB e OE=CE-CO, questi
ultimi due segmenti sono uguali alle differenze tra raggi uguali).
Per finire disegna la circonferenza di centro O e raggio OE. Tale
circonferenza incontra la semiretta nel punto P; il segmento OP è
uguale al segmento AB (proprietà transitiva dell’uguaglianza).
C
A
D
B
P
O
E
Questa costruzione giustifica l’uso del compasso. Con il
compasso possiamo riportare una distanza (segmento AB) su una qualsiasi semiretta, e quindi
costruire una circonferenza di raggio AB con centro qualsiasi.
1.3 Il triangolo isoscele
Definizione
Un triangolo è isoscele se ha due lati uguali
Costruzione di un triangolo isoscele. La costruzione di un triangolo isoscele qualsiasi è banale.
basta disegnare una circonferenza e prendere due raggi come lati. Vediamo la costruzione quando
sono assegnati alcuni elementi:
Cabri
Lezione 1
Costruzioni di base
D
Costruzione di un triangolo isoscele con i lati
uguali ad un segmento assegnato, e con base
assegnata.
E
C
B
A
Sia AB la base del triangolo e DE il segmento uguale ai lati del
triangolo isoscele. Puntare il compasso, con apertura DE, in A ed
in B. Sia C uno dei due punti di intersezione delle due
circonferenze. Il triangolo ABC è il triangolo isoscele cercato.
1.4 Punto medio di un segmento
P
Costruire le circonferenze di centri A e B e raggio AB. Disegnare il segmento
che congiunge i due punti di intersezione P e Q. Tale segmento incontra AB
nel suo punto medio M.
B
M
Infatti i triangoli PBQ e PAQ sono uguali ed isosceli. In particolare
AP=PB e APˆ M = BPˆM ; i trangoli PAM e BPM sono uguali (AP=PB, PM
in comune, angoli in P uguali)
A
Q
†
1.5 Bisettrice di un angolo
A
Disegnare una circonferenza di centro O e siano A e B le intersezioni con i lati
dell’angolo. Sia M il punto medio di AB. La semiretta OM è la bisettrice
dell’angolo AOB.
M
O
Infatti i triangoli AOM e OMB sono uguali (terzo criterio)
B
1.6 Rette perpendicolari
Per costruire la perpendicolare ad una retta per un punto bisogna
distinguere due casi:
Q
C
A
B
1) Il punto A è sulla retta. In questo caso si disegna una circonferenza di centro A, e siano
B, C le intersezioni con la retta data. Con centro in B si disegna una circonferenza di
raggio BQ>BA, e la circonferenza di centro C e raggio QB. I due punti di intersezioni di
queste circonferenze definiscono la perpendicolare per A.
2) Se A non è sulla retta, si disegna un punto P sul semipiano non contenente A; si
disegna la circonferenza di centro A e raggio AP, e siano B, C le intersezioni con la
retta. Se M è il punto medio di CD, la retta AM è perpendicolare alla retta data
A
B
P
M
C
r
