SEMANTICA 2007-08
LEZIONE 3
1. I verbi transitivi (Portner 2007, § 3.2)
Finora abbiamo considerato solo i predicati intransitivi (monoargomentali) come (1):
(1) Shelby abbaia.
Consideriamo ora:
(2) Shelby vede Hannibal.
Intuitivamente, in questa frase ci sono due posizioni che vengono saturate, anziché una (v. Portner,
diagramma 15 p. 44). Ciò che viene espresso è una relazione tra due individui. (Possiamo anche
pensare ad un evento con due partecipanti; ma sulla nozione di evento torneremo in seguito.
Assumiamo per ora la nozione di ‘relazione’ nel senso più generale possibile.)
Come si può esprimere questo meccanismo di doppia saturazione? E’ possibile mantenere la
definizione di saturazione che abbiamo già visto per la relazione soggetto-predicato intransitivo?
Partiamo dalla sintassi. Sappiamo che la struttura sintattica deve essere (3), non (4) (cf. (1) della
lezione 1).
(3)
S
NPS
N
Shelby
(4)
VP
V
NPO
vede
N
S
NPS
V
NPO
N
vede
N
Shelby
Hannibal
Hannibal
Un solo argomento empirico: la sequenza [vede Hannibal] è un costituente che può essere
coordinato.
(5)
Shelby [vede Hannibal] e [abbaia].
Il principio di composizionalità ci dice che dobbiamo interpretare la strutura sintattica in modo
estremamente ‘locale’, cioé componendo fra loro solo le denotazioni dei nodi fratelli. In (3),
procedendo dal basso all’alto, dovremo
a) prima interpretare la combinazione tra V e NPO, ottenedendo la denotazione del nodo VP;
b) quindi, interpretare la combinazione tra NPS e VP.
Guardando l’esempio con la coordinazione (5), ci rendiamo conto che il modo di comporre
semanticamente NPS e il VP transitivo in (3) dovrebbe essere uguale alla composizione di NP S e
VP intransitivo in (1). Se così non fosse, non ci aspetteremmo di poter coordinare i due tipi di VP in
un unico predicato complesso. (Torneremo in seguito sulla coordinazione.) Sappiamo dunque che al
livello del VP, vogliamo avere come denotazione (la funzione caratteristica di) un insieme di
individui. Come arrivarci?
Sappiamo che il NPO, costitutito da un nome proprio, denota un individuo, il cane di nome
Hannibal. Che cosa denota il verbo transitivo vede? Il “significato” è una relazione tra due
individui. Ma la denotazione deve essere definita in termini insiemistici a partire dal dominio D del
modello. Insiemisticamente, una relazione è un insieme di coppie di individui: l’insieme di tutte le
coppie in cui il primo individuo sta in una certa relazione con il secondo individuo. (Si parla di
coppie ORDINATE perché è necessario distinguere il primo dal secondo elemento: infatti, non tutte le
relazioni sono simmetriche.)
Un verbo transitivo denota una
individui.
RELAZIONE A DUE POSTI,
cioé un insieme di coppie ordinate di
(Anche qui, la semantica modellistica non si preoccupa di come siano determinate queste coppie di
individui – cioé in che cosa consiste esattamente la relazione di vedere.)
Nel comporre semanticamente il verbo transitivo e il NP oggetto, l’individuo denotato dall’NP
oggetto va ad occupare la seconda posizione della relazione. In termini insiemistici, partiamo
dall’insieme di coppie ordinate denotate dal verbo transitivo, e otteniamo al livello VP l’insieme di
individui che stanno nella relazione pertinente con l’individuo denotato dal complemento oggetto;
nel nostro esempio, l’insieme degli individui che stanno nella relazione di vedere con il cane di
nome Hannibal. Insiemisticamente, questo è l’insieme degli individui che stanno nella prima
posizione in una qualche coppia (nell’estensione del verbo transitivo) il cui secondo elemento è
l’individuo denotato da NPO .
(3)
S
NPS
NS
Shelby
VP
insieme di individui che stanno nella relazione espressa
dal verbo con la denotazione di NPO
V
NPO
vede
NO
insieme di
coppie ordinate
di individui
Hannibal
individuo
2. Notazione insiemistica
A questo punto le definizioni intuitive stanno diventando poco maneggevoli. E’ meglio superare
ogni avversione istintiva verso la formalizzazione e introdurre un po’ di notazione insiemistica.
(Heim & Kratzer 1998, § 1.3.1).
Un insieme è una collezione di oggetti, detti membri dell’insieme.
x A l’oggetto x appartiene all’insieme A (è un elemento o membro di A).
x A l’oggetto x non appartiene all’insieme A
NB: Si utilizzano generalmente lettere minuscole come variabili o costanti di tipo individuo, lettere
maiuscole come variabili o costanti di tipo insieme di individui.
è l’insieme vuoto, che non ha alcun elemento.
Un insieme viene definito tra parentesi graffe . Ci sono due tipi di definizione:
a) per elencazione dei membri, es: A = 1,2,3.
b) per specificazione di una condizione, es.: A = x: x < 4, oppure x x < 4 (assumendo che il
dominio comprenda solo i numeri interi positivi).
x: x … si legge ‘l’insieme degli x tali che…’. Un numero n appartiene all’insieme A se e
soltanto se (SSE) è Vero che n < 4 .
Intersezione (operazione): A B = l'insieme degli elementi comuni ad A e B; l’insieme degli
oggetti che appartengono ad A E appartengono a B
Unione (operazione): A B = l'insieme che contiene tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di
B; l’insieme degli oggetti che appartengono ad A OPPURE appartengono a B
Complemento di A :A- = l'insieme di oggetti del dominio che non sono in A.
Relazioni tra insiemi:
Due insiemi A e B sono uguali sse hanno esattamente gli stessi elementi (ogni elemento di A è
anche un elemento di B e viceversa.)
A e B sono disgiunti sse non hanno alcun elemento in comune, cioé nessun elemento di A
appartiene anche a B; ovvero, la loro intersezione è l’insieme vuoto (A B = )
A e B sono non-disgiunti (overlapping) sse hanno almeno un elemento in comune; c'è almeno un
elemento di A che appartiene anche a B, ovvero, la loro intersezione non è vuota (A B )
A è un sottoinsieme di B (A B): tutti i membri di A appartengono anche a B.
Una notazione molto intuitiva, che talvolta utilizzeremo, è quella dei cerchi, es.:
overlapping
Esercizi. Dati due insiemi:
A= {a,c,d,f
B = {c,f,d,a A e B sono uguali o no?
Dati due insiemi: A= {a,c,d,f
B = {g,l,c,h,n
I due insiemi sono disgiunti o no? Se no, qual è la loro intersezione?
Dati i due insiemi: A = {a,b,c
B = {g,l,c,h Qual è l'unione A B?
Dati due insiemi: A= {a,c,g B = {l,c,h,n,a,u Quale dei due è un sottoinsieme dell'altro?
Una coppia ordinata di individui è definita tra partentesi angolate: x,y. Per pura comodità
tipografica, userò invece le parentesi uncinate: <x,y>.
3. Definizione insiemistica delle denotazioni (Cooper 1983, 27-)
Ritornando a (3), a questo punto possiamo definire:
[[ NP0 ]] = [[ N0 ]] = [[ Hannibal ]] = h
NB1: nel nostro metalinguaggio insiemistico, h è la costante individuale che si riferisce a un certo
individuo del dominio.
NB2: I segni ‘=’ derivano dall’applicazione della regola per i nodi non ramificanti
[[ V ]] = [[ vede ]] = <x,y> : x vedere y
NB: all’interno delle parentesi graffe, la parola ‘vedere’ è il modo in cui nel metalinguaggio ci
riferiamo alla relazione di vedere (ciò che, in ogni mondo o circostanza possibile, determina un
certo insieme di coppie invece che un altro).
[[ VP ]] = z: <z, h> [[ V]],ovvero: z: <z, h> <x,y> : x vedere y , ovvero z: z vedere h
NB: notate come la definizione di un insieme contiene in sé la definizione di un altro insieme.
[[ NPS ]] = [[ NS ]] = [[ Shelby ]] = s
[[ S ]]= 1 (vero) sse [[ NPS ]] [[ VP ]],
sse s z: <z, h> <x,y>: x vedere y ,
sse s z: z vedere h ,
sse s vedere h .
L’ultima riga dipende dal fatto che un individuo appartiene a un insieme sse soddisfa la condizione
di appartenenza specificata dopo i due punti. Dopo tutti questi passaggi di composizione, arriviamo
in effetti a una relazione tra due individui, s e h. Molti di voi staranno pensando: perché fare tutti
questi complicati passaggi insiemistici? Per rispondervi, facciamo insieme qualche esercizio.
Esercizi in classe
i) Definire una denotazione per il verbo abbaia e fare la composizione semantica per l’enunciato
(1).
ii) Assumendo che la coordinazione dei due VP corrisponda all’operazione di intersezione tra
insiemi, fare la composizione semantica per l’enunciato (5).
Il trattamento che abbiamo appena visto per i verbi transitivi si applica anche ai nomi e aggettivi
relazionali, cioé a due argomenti - come abbiamo già visto, trascurando alcuni elementi
nell’interpretazione semantica.
iii) Ad esempio, possiamo analizzare: Shelby è nemico di Hannibal (qui, oltre alla copula, la
preposizione di è semanticamente vacua)
Esercizio a casa: Definire per elencazione una denotazione per il verbo odia e fare la composizione
semantica per l’enunciato Shelby odia Hannibal, determinando il valore di verità della frase.
4. Che cos’è esattamente una funzione? (Portner 2007, § 3.6.2; H&K 1998, § 1.3.3)
Abbiamo appena dato una formulazione insiemistica della denotazione dei verbi transitivi, e
abbiamo visto i passaggi di composizione semantica. Abbiamo riconosciuto che la composizione
del NP soggetto con il VP avviene nello stesso modo in (1) e in (3), e questo ci permette di spiegare
la possibilità di coordinazione tra i due tipi di VP (=entrambi denotano insiemi di individui, quindi
si può applicare l’operazione di intersezione). Tuttavia, nella lezione scorsa abbiamo piuttosto
concepito la composizione NP soggetto – VP come un meccanismo di SATURAZIONE: il VP denota
la funzione caratteristica di un insieme, che prende in input l’individuo denotato dal NP soggetto.
Ora, non è chiaro come questo meccanismo di saturazione (o APPLICAZIONE FUNZIONALE) si possa
estendere alla combinazione tra il verbo transitivo e il complemento oggetto. Se, in termini
insiemistici, il verbo transitivo denota un insieme di coppie ordinate, quale tipo di funzione gli
corrisponderà?
** Possiamo provare a definire la funzione caratteristica di un insieme di coppie ordinate, anziché
di individui. Ma questo non ci aiuterebbe molto: una simile funzione caratteristica chiederebbe in
input una coppia ordinata (per restituire un valore di verità), che non corrisponde al tipo di
denotazione del NP oggetto.**
La soluzione consiste nell’ANNIDAMENTO DI FUNZIONI. Abbiamo notato più sopra che la definizione
della denotazione di un VP transitivo contiene in sé la definizione di un altro insieme. In modo
analogo, possiamo definire una funzione che prende in input un individuo e restituisce in output
un’altra funzione.
Per chiarirci le idee, rappresentiamo le funzioni come un insieme di associazioni tra i vari input
(indicati a sinistra della freccia) e i corrispondenti output (a destra della freccia, cf. Portner 2007, p.
57). Supponiamo ora di avere una situazione che coivolge i tre cani s, h ed e: h ed e abbaiano, s no.
La funzione caratteristica dell’insieme degli individui che abbaiano è la seguente:
s 0 (falso)
h 1 (vero)
e 1 (vero)
D
s
h
e
[[ abbaia ]]
[[abbaia]]
Supponiamo ora di avere la seguente situazione, che coivolge i tre cani s, h ed e. Le frecce
tratteggiate indicano le relazioni di vedere:
h
s
e
L’insieme di coppie ordinate è il seguente: [[ vede ]] = <s, h>, <s, e>, <h, e>, <e, h>
Possiamo rappresentare la denotazione di vede come una funzione che prende in input l’individuo
denotato dal NP oggetto e restituisce in ouput la funzione caratteristica dell’insieme di individui che
vedono l’individuo denotato dal NP oggetto. (Assumiamo per semplicità che la relazione denotata
da vede non possa essere riflessiva.)
s
h 0 [[ [VP vede Shelby] ]]
e0
h
s 1 [[ [VP vede Hannibal] ]]
e1
e
h1
e1
[[ [VP vede Elliott] ]]
[[ vede ]]
NB: in linea di principio, si può definire anche una funzione che prende in input l’individuo
denotato dal soggetto e restituisce in output la funzione caratteristica dell’insieme delle cose viste
da quell’individuo. Tuttavia, questa denotazione, se intersecata con la denotazione di un VP
intransitivo, non ci dà le condizioni di verità corrette per una frase come Elliott vede Hannibal e
abbaia. Questa soluzione sarebbe comunque incompatibile con il principio di composizionalità,
dato che NPS non è nodo fratello del verbo transitivo, ma di tutto il VP.
Tramite l’annidamento di funzioni, possiamo concepire anche la composizione semantica tra V e
NPO come un caso di saturazione. Il verbo transitivo vede denota l’intera funzione rappresentata qui
sopra: essa prende in input la denotazione dell’NPO, che corrisponde a uno degli individui nella
colonna più a sinistra, e restituisce in output la corrispondente funzione caratteristica (nel
corrispodente quadrato piccolo a destra della freccia grande.), come denotazione del VP. A sua
volta, questa funzione caratteristica prenderà in input l’individuo denotato dal NP soggetto per
restituire in output un valore di verità, come denotazione del nodo S.
Dovrebbe essere chiaro che la funzione denotata da [[ vede ]] rappresenta esattamente la stessa
situazione che è rappresentata dall’ insieme di coppie ordinate <s, h>, <s, e>, <h, e>, <e, h>.
** Digressione (avanzata). Per completezza, definiamo esplicitamente la nozione di funzione
(H&K 1998, 10-11).
Sappiamo già che una relazione a due posti è un insieme di coppie ordinate. Una relazione a due
posti è una FUNZIONE sse soddisfa la seguente condizione: il secondo membro della coppia è
determinato univocamente dal primo membro della coppia. Più precisamente:
per ogni x: se ci sono y e z tali che <x,y> e <x,z> allora y=z.
Se f è una funzione, il DOMINIO di f è l'insieme {x: esiste un y tale che <x,y> f e il CO-DOMINIO
(range) è l'insieme {y: esiste un x tale che <x,y> f.
(In prosa, il dominio è l’insieme degli elementi che stanno nella prima posizione in una qualche
coppia, il co-dominio è l’insieme di elementi che stanno nella seconda posizione in qualche coppia.
Abbiamo visto che il dominio e il co-dominio possono essere insiemi molto diversi: es., le funzioni
caratteristiche cha abbiamo visto sopra vanno da un dominio di individui a un co-dominio di valori
di verità; la funzione denotata da un verbo transitivo va da un dominio di individui a un co-dominio
di funzioni carattertistiche (di insiemi di individui).
Possiamo adottare la notazione:
F(x) = y (equivalente a: <x, y> F)
x, un elemento del dominio di f, è detto L'ARGOMENTO di f; y, l’unico elemento del co-dominio che
è in seconda posizione in una coppia che ha x come primo elemento, è detto il VALORE di f per
l'argomento x. Per rimanere su un piano più intuitivo, continuerò a chiamare l’argomento ‘input’ e
il valore per quell’argomento ‘output’ della funzione.**
5. “Lambdas changed my life!” (Barbara Partee, cf. Partee 1996, p. 24)
La notazione con le frecce definisce le funzioni per elencazione delle coppie input-output, ma non
include la specificazione di una condizione. Inoltre, è una notazione molto poco maneggevole.
Perciò si fa ricorso alla NOTAZIONE LAMBDA. Questa cnotazione ci permette di formare dei nomi di
funzioni composizionalmente interpretabili (Partee et al. 1995, 341), cioé di nominare le funzioni
nel nostro meta-linguaggio in modo molto compatto. Es.:1
[x: x N. x è pari]
E’ la funzione caratteristica dell’insieme dei numeri naturali pari: la funzione che proietta (map)
ogni numero naturale x al valore di verità 1 sse x ha la proprietà di essere pari.
a) la funzione è definita tra partesi quadre
b) x è la variabile argomento
c) l'espressione prima del punto (x N) è la condizione di dominio (che specifica il dominio della
funzione)
d) la parte dopo il punto (x è pari) è la descrizione del valore restituito dalla funzione (vero, se x è
pari; falso altrimenti).2
[[ abbaia ]] = [x: x D. x abbaiare]
[[ vede ]] =
[x: x D.[y: y D. y vedere x]], ovvero, semplificando,
[x D.[y D. y vedere x]], ovvero (sopprimendo la condizione di dominio)
x.[ y. y vedere x]
La SATURAZIONE (o applicazione funzionale) si esprime scrivendo la definizione della funzione
seguita dall’argomento/input racchiuso tra parentesi tonde:
[x: x D. x abbaiare] (s)
Data la situazione descritta più sopra,
[x: x D. x abbaiare] (s) = 0.
NB: dell’intero -calcolo noi utilizzeremo soltanto piccolissime parti.
Nel caso di : [x: x N. x+1], la funzione associa ad ogni numero naturale il numero successore.
In questo caso la descrizione del valore (x+1) non è una clausola, ma una operazione aritmetica e il
valore restituito è un altro numero .
1
2
L’operazione di -CONVERSIONE consiste nel sostuitire l’argomento della funzione all’interno della
descrizione del valore, lasciando cadere il prefisso (cioé il segno , la variabile argomento e
l’eventuale condizione di dominio):
[x: x D. x abbaiare] (s) s abbaiare
Attenzione all'ambiguità possibile in: x.[ y. y vedere x] (s).
L'argomento s potrebbe sostituire x o y. Più esattamente, l’argomento deve essere scritto all’esterno
della parentesi quadra che chiude la definizione ella funzione, quindi:
[x.[ y. y vedere x]] (s) s converte la variabile x
[x.[ y. y vedere x] (s)] s converte la variabile x
Per convenzione, procedendo dal basso all’altro stabiliamo che l’argomento che segue un’intera
funzione converte sempre la variabile corrispondente al prefisso più esterno.
Si noti la stretta corrispondenza fra la notazione per astrazione degli insiemi e la notazione lambda
per le funzioni:
{x N: x 0
[xN. x 0]
{x D: x abbaiare
[xD. x abbaiare]
Esercizio in classe: disegnamo l’albero sintattico e facciamo la composizione semantica con la
notazione per il seguente esempio: Elliott vede Shelby.
A questo punto, una nota di incoraggiamento. Mi rendo conto che la formalizzazione che ho
introdotto è piuttosto dura da digerire; ma ho cercato di introdurla gradualmente, presentando le
idee fondamentali su un piano intuitivo (come fa Portner), poi chiarendole in termini insiemistici, e
infine ‘traducendole’ nella notazione funzionale (che trovate direttamente in Heim & Kratzer). Se le
idee di base sono chiare, l’apprendimento della notazione lambda e della -conversione è
sostanzialmente una questione di esercizio.
E’ bene essere espliciti: la notazione non serve a comprendere le idee fondamentali e a discuterle
sul piano generale; serve perché è una parte essenziale del metalinguaggio in cui si esprime la
semantica modellistica, in buona parte della letteratura specialistica (cf. gli OBIETTIVI FORMATIVI).
6. Una applicazione: la congiunzione generalizzata
Riprendiamo il nostro esempio (5):
(5) Shelby [vede Hannibal] e [abbaia].
Nel’esercizio 3, abbiamo semplicemente assunto che la coordinazione corrisponda all’operazione di
intersezione fra insiemi. Quando però coordina due enunciati interi, la coordinazione è un
operatore vero-condizionale, che prende in input due valori di verità e restituisce un valore di verità
(, & del calcolo proposizionale). In particolare:
[[F1 & F2]] = 1 sse [[F1 ]] = 1 e [[ F2]] = 1
F1
F2
1
1
1
0
0
1
0
0
F1 & F2
1
0
0
0
(tavola di verità)
Se vogliamo ricondurre (5) a questo caso, dobbiamo assumere che (5) sia in realtà la forma ellittica
di una congiunzione di enunciati (attraverso una regola sintattica tipo “conjunction reduction”):
(5’) [Shelby vede Hannibal] e [Shelby abbaia].
In effetti, (5) e (5’) sono equivalenti dal punto di vista delle condizioni di verità (sono vere nelle
stesse circostanze). Ma questo non vale in un caso un po’ diverso (Partee et al. 1995, 352 ff.):
(6) Qualche cane salta e abbaia.
(6’) Qualche cane salta e qualche cane abbaia.
Almeno per questo caso, sembra inevitabile concludere che la congiunzione può applicarsi sia a
livello di enunciato (6’) sia a livello di VP (6) (producendo in questo caso condizioni di verità
diverse). Si tratta cioé di un operatore trans-categoriale (che si applica a categorie sintattiche
diverse) e polimorfico (che prende argomenti di svariati tipi semantici).
Possiamo analizzare i due casi come segue :
Regola sintattica
SSeS
VP VP e VP
Regola semantica
[[S1]] & [[S2 ]]
x.( [[VP1]] (x) & [[VP2]] (x))
La regola semantica che interpreta la coordinazione di VP – a differenza di quella che interpreta la
coordinazione di S – introduce una ASTRAZIONE LAMBDA, definendo una funzione complessa.
Proviamo ad interpretare la congiunzione di VP di (6): [salta] e [abbaia]
[[VP1]] = [[salta]] = [z.z saltare]
[[VP2]] = [[abbaia]] = [y.y abbaiare]
[[VP1 e VP2]] = [x.( [[VP1]] (x) & [[VP2]] (x))] =
= [x.( [z.z saltare] (x) & [y.y abbaiare] (x))] =
= [x. (x saltare) & (x abbaiare)]
(Si noti che in questo passaggio, la variabile argomento x introdotta dalla regola di
interpretazione della congiunzione di VP va a convertire le variabili y e z delle funzioni
originarie denotate dai due verbi. Ho usato tre variabili diverse per evitare ogni
possibile confusione).
[[NPS]] = [[NS]] = [[Shelby]] = s
[[S]] = [[VP1 e VP2]] ([[NPS]]) = [x. (x saltare) & (x abbaiare)] (s) = (s saltare) & (s abbaiare)
Alla fine della composizione, le condizioni di verità risultanti sono equivalenti a quelle di (5’).
Esercizio a casa: Per esserne sicuri, ricavate composizionalmente le condizioni di verità per (5’),
utilizzando la regola appropriata di interpretazione della coordinazione.
Per quanto riguarda (6) e (6’), le differenti condizioni di verità sono determinate dalla diversa
natura semantica del soggetto qualche cane., che è un quantificatore. Intuitivamente, un NP di
questo tipo non denota un individuo preciso del dominio. Ci torneremo ampiamente più avanti.
(Sugli operatori booleani generalizzati si veda Chierchia, G. 1992, pp. 321-325, in M.
Santambrogio (a cura di), Introduzione alla filosofia analitica del linguaggio, Laterza. La sua
trattazione presuppone però la definizione dei tipi semantici. V. lezione 3 2002-2003.)
