INSIEME Q
L'insieme dei numeri razionali (Q) è un'estensione dell'insieme dei numeri interi Z. Ai numeri
positivi e negativi interi si aggiungono, così, anche i numeri decimali. Tale estensione, però, non
comporta la “chiusura” in Q dell'operazione di divisione.
Le operazioni di addizione, moltiplicazione e sottrazione erano operazioni già chiuse su Z, e lo
rimangono in Q.
Alcune definizioni
Ogni numero Q è esprimibile sia sotto forma decimale sia sotto forma di frazione.
Un numero decimale si presenta con una parte intera (prima della virgola) ed una parte decimale
(dopo la virgola).
Esempio: 23, 425 ha come parte intera 23 e come parte decimale 425.
Una frazione è individuata da una coppia di numeri Z
•
•
numeratore:
che si trova al di sopra della linea di frazione
denominatore: che si trova al di sotto della linea di frazione
La linea di frazione indica l'operazione di divisione, quindi ad ogni frazione è associato un valore
decimale ben preciso che si può calcolare effettuando la divisione tra numeratore e denominatore.
3
=3:−2=−1,5
−2
RICORDA
L'operazione di divisione non sempre ha un significato.
0:0=
Indeterminato
a:0=
Impossibile per qualsiasi valore di a
0:b=
0 per qualsiasi valore di b
per questo motivo, passando alle frazioni, possiamo dire che
0
=Indeterminato
0
a
= Impossibile
0
0
=0
b
Il segno di una frazione
Il numeratore ed il denominatore di una frazione sono numeri Z, perciò ognuno di essi sarà
costituito da segno e modulo.
Abbiamo già visto che il modulo della frazione può essere calcolato dividendo il numeratore per il
denominatore.
Per quanto riguarda il segno è sufficiente applicare la regola dei segni per la divisione già studiata
nell'insieme Z.
Esempi:
−2
2
=−
3
3
−2
2
=
−3
3
2
2
=
3
3
2
2
=−
−3
3
Frazioni proprie, improprie e apparenti
Una frazione è propria quando essa rappresenta una parte dell’intero perché frazionare significa
suddividere. Per questo motivo il valore associato ad una frazione propria è sempre minore di 1.
Nella frazione propria il numeratore è minore del denominatore.
Esempio
Una frazione è impropria quando essa rappresenta una parte maggiore dell’intero e in realtà non
è una vera e propria frazione. Per questo motivo il valore associato ad una frazione impropria è
sempre maggiore di 1.
Nella frazione impropria il numeratore è maggiore del denominatore.
Esempio
Una frazione si dice apparente (sembra una frazione, in realtà è un numero intero) quando essa
rappresenta una parte uguale o multipla dell’intero. Per questo motivo il valore associato ad una
frazione apparente è sempre un numero intero.
Nella frazione apparente il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.
Esempio
Frazioni equivalenti
Abbiamo visto che ad ogni frazione è associabile un valore che, tranne nel caso di frazioni
apparenti, è un numero decimale.
E' possibile che frazioni formate da numeratore e denominatore diversi siano associate allo stesso
valore.
Esempio
2
5
4
10
8
20
Queste tre frazioni, pur essendo formate da numeri diversi, sono associate allo stesso valore, infatti:
2 : 5 = 0,4
4 : 10 = 0,4
8 : 20 = 0,4
Due o più frazioni sono dette EQUIVALENTI se, pur essendo diverse, sono associate allo stesso
valore.
In matematica il concetto di “equivalenza” non va confuso con il concetto di “uguaglianza”.
Due frazioni sono UGUALI solo se sono formate da stesso numeratore e stesso denominatore.
Possiamo dedurre che frazioni uguali sono anche equivalenti, mentre frazioni equivalenti non è
detto che siano uguali.
La proprietà invariantiva delle frazioni
Da una qualsiasi frazione è possibile ottenerne una equivalente applicando una proprietà, che
prende il nome di “invariantiva” perchè non modifica il valore della frazione.
Proprietà invariantiva
Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso valore diverso
da zero, otteniamo una frazione equivalente.
Esempio
il valore della frazione 3 è 3 : 4 = 0,75. Se moltiplico sia il numeratore che il denominatore per
4
3∗2
6
2 ottengo la frazione
= il cui valore è 6 : 8 = 0,75.
4∗2 8
Riduzione ai minimi termini
Dato che esistono infinite frazioni associate allo stesso valore è importante scoprire quale, fra esse,
è la frazione più “semplice” possibile.
Ricordiamo, infatti, che nel corso delle espressioni numeriche è necessario evitare il più possibile di
trovarsi di fronte all'esecuzione di calcoli con numeri eccessivamente grandi. Ciò comporterebbe,
infatti, una maggiore probabilità di commettere errori ed una maggiore richiesta di tempo per
portare a termine l'espressione.
E' quindi importante saper “ridurre ai minimi termini una frazione”.
La prima cosa da fare è, in ogni caso, rendersi conto se la frazione è già ridotta ai minimi termini,
nel qual caso su di essa non è possibile alcuna operazione di semplificazione.
Per riconoscere se una frazione è già ridotta ai minimi termini è necessario seguire il seguente
procedimento:
•
•
•
Calcolare M.C.D. tra numeratore e denominatore
Se M.C.D. = 1 allora la frazione è già ridotta ai minimi termini
Se M.C.D. > 1 allora la frazione può essere ridotta
Esempio
Data la frazione
21
possiamo osservare che 21 = 3*7 e 8 = 2*4. Per cui M.C.D.(21;8) = 1.
8
Da cui deduco che la frazione è già ridotta ai minimi termini.
Data
7.
la
frazione 14 possiamo osservare che 14 = 2*7 e 35 = 5*7. Per cui M.C.D.(14;35) =
35
Da cui deduco che la frazione NON è ridotta ai minimi termini.
Semplificazione
Una frazione che NON è ridotta ai minimi termini deve essere semplificata per ottenere la frazione
equivalente ad essa più “semplice” possibile.
Questa operazione viene ovviamente effettuata solo su frazioni per le quali M.C.D. tra numeratore e
denominatore è maggiore di 1.
Da un punto di vista teorico l'equivalenza viene conservata grazie all'applicazione della proprietà
invariantiva, dividendo il numeratore ed il denominatore per lo stesso valore (M.C.D.)
Esempio
Data
la
frazione
14
possiamo osservare che 14 = 2*7 e 35 = 5*7. Per cui M.C.D.(14;35) = 7.
35
Da cui deduco che la frazione NON è ridotta ai minimi termini.
Per ottenere la frazione equivalente semplificata devo semplicemente dividere numeratore e
denominatore per il valore dell'M.C.D., e cioè 7.
14 : 7 2
=
35:7 5
14
La frazione 2 è quindi la frazione ridotta ai minimi termini ed equivalente alla frazione
35
5
Riduzione allo stesso denominatore
Date due o più frazioni è spesso necessario passare a frazioni equivalenti che abbiano lo stesso
denominatore. Tale operazione sarà, per esempio, utile nel procedimento di calcolo della somma e
della sottrazione tra frazioni.
La riduzione allo stesso denominatore è resa possibile dalla proprietà invariantiva che indica quali
operazioni fare su una frazione affinchè si ottenga una frazione ad essa equivalente.
Vediamo con un esempio in che modo realizzare la riduzione allo stesso denominatore.
Date le frazioni
2
3
4
e
5
3 vogliamo trovare le frazioni ad esse equivalenti in modo che
2
abbiano tutte lo stesso denominatore.
Per raggiungere tale obiettivo è necessario calcolare il m.c.m. tra i denominatori delle frazioni con il
metodo di calcolo studiato sui numeri naturali.
Mcm(3;5;2) = 30
Ciò significa che ogni denominatore può essere ridotto a 30 moltiplicandolo per un certo numero.
La proprietà invariantiva ci ricorda che se moltiplichiamo il denominatore di una frazione per un
certo numero dobbiamo moltiplicare per lo stesso numero anche il numeratore, altrimenti la
frazione che otteniamo non sarà equivalente.
2 2∗10 20
=
=
3 3∗10 30
Allora
4 4∗6 24
=
=
5 5∗6 30
3 3∗15 45
=
=
2 2∗15 30
Possiamo concludere che le frazioni
20
30
24
30
45
30
sono equivalenti a quelle proposte nel testo dell'esercizio ma hanno tutte lo stesso denominatore.
Addizione e sottrazione in Q
Le operazioni di addizione e sottrazione nell'insieme Q sono operazioni chiuse e richiedono un po'
di attenzione nel loro svolgimento.
Procedimento
1
2
3
4
Eventuale semplificazione delle frazioni
Calcolo del mcm tra i denominatori
Calcolo del numeratore
Eventuale semplificazione del risultato
Vediamo due esempi di applicazione di tale procedimento:
Esempio1
2 2
5 6
1
La frazione due quinti è già ridotta ai minimi termini, mentre la frazione due sesti è
semplificabile
2 1
5 3
2
Calcolo mcm(5;3) = 15
2∗31∗5
15
3
Calcolo del numeratore
65 11
=
15
15
4
La frazione risultato non è ulteriormente semplificabile
Esempio2
1
1
3
3
− −−
5
4
2
Tutte le frazioni sono già ridotte e quindi non semplificabili
In questo caso prima di passare al calcolo dell'mcm dobbiamo sistemare i segni secondo la regola
dei segni studiata nell'insieme Z
1 3 3
−
5 4 2
2
Calcolo mcm(5;4;2) = 20
3
Calcolo del numeratore
4
La frazione risultato non è ulteriormente semplificabile
1∗4−5∗310∗3
20
4−1530 19
=
20
20
Moltiplicazione e divisione in Q
L'esecuzione delle operazioni di moltiplicazione e di divisione nell'insieme Q è abbastanza semplice
e non richiede calcoli particolari.
La moltiplicazione è un'operazione chiusa su Q (lo era già su N e su Z). Per eseguirla è sufficiente
seguire il seguente procedimento:
•
•
•
Eventuale semplificazione verticale delle frazioni
Eventuale semplificazione incrociata delle frazioni
Calcolo del numeratore e del denominatore risultato
Esempio
2 4 2 2 4
∗ = ∗ =
5 14 5 7 35
Osservazione:
Per semplificazione verticale si intende la semplificazione del numeratore con il proprio
denominatore.
Per semplificazione incrociata si intende la semplificazione di un numeratore con il denominatore
di un'altra frazione.
N.B.: la moltiplicazione è l'unica operazione che consente di semplificare le frazioni in modo
incrociato.
L'operazione di divisione resta aperta anche sull'insieme Q visto che, in ogni caso, la divisione per
zero non si può fare, per cui non è vero che comunque si scelgano due numeri Q il risultato della
loro divisione è un numero Q.
Per eseguire la divisione è sufficiente seguire il seguente procedimento:
•
•
•
•
Eventuale semplificazione verticale delle frazioni
Trasformazione della divisione in moltiplicazione con l'inverso
Eventuale semplificazione incrociata delle frazioni
Calcolo del numeratore e del denominatore risultato
Esempio
3 10 3 2 3 3 9
: = : = ∗ =
4 15 4 3 4 2 8
Potenze in Q
Come visto già per gli altri insiemi numerici, la definizione di potenza non cambia e resta quella
definita nell'insieme N.
a n=a∗a∗.......∗a
n volte
Ricordiamo che:
•
Nell'insieme N sia la base (a) che l'esponente (n) sono numeri appartenenti all'insieme N,
cioè numeri interi e positivi.
•
Nell'insieme Z la base (a) è un numero Z, quindi è un numero intero positivo o negativo,
mentre l'esponente (n) è un numero appartenente all'insieme N, e quindi un numero intero
positivo.
•
Nell'insieme Q la base (a) è un numero Q, quindi è una frazione positiva o negativa, mentre
l'esponente (n) è un numero appartenente all'insieme Z, e quindi un numero intero positivo o
negativo.
Di conseguenza il calcolo di una potenza in Q procede esattamente come negli insiemi precedenti,
con la differenza che, in questo insieme, dobbiamo lavorare secondo le regole di calcolo delle
frazioni.
Esempi
3
2
2
2
2
8
= ∗ ∗ =
3
3
3
3
27
3 2
3
3
9
− =− ∗− =
5
5
5
25
Potenze con esponente negativo
Come visto precedentemente, nell'insieme Q le potenze possono avere come esponenti numeri Z,
sia positivi che negativi. La definizione di potenza consente di calcolare il risultato per potenze che
abbiano esponenti positivi, ed è quindi inadeguata per il calcolo di potenze con esponente negativo.
Per consentire tale calcolo è quindi necessario operare una trasformazione sull'esponente in modo
da renderlo positivo. Al fine di mantenere equivalente il valore della frazione è necessario invertire
il numeratore con il denominatore.
Esempi
3 −2 5 2 25
= =
5
3
9
2 −3
3 3
27
− =− =−
3
2
8
Attenzione al caso in cui il numeratore della frazione è uguale ad 1
−2
2
1
4
= =4 2=16
4
1
La regola appena vista vale anche nel caso in cui la base della potenza è un numero intero,
ricordando che ogni numero intero può essere visto come una frazione apparente il cui
denominatore vale 1.
3 −3 1 3 1
3−3= = =
1
3
27
Osservazione 1: nell'operazione di modifica del segno dell'esponente e di inversione della frazione
della base, è necessario porre molta attenzione nel NON modificare il segno della base, e
nell'applicare correttamente le regole dei segni per il calcolo del risultato.
Osservazione 2: tale trasformazione, se necessario, può essere operata anche in ordine inverso,
passando da una potenza con esponente positivo alla corrispondente potenza con esponente
negativo.
Esempio
2
2
5
=
5
2
−2
Proprietà delle potenze
Le proprietà studiate in N ed in Z continuano a valere in Q. Ricordiamole:
an * am = an+m
an : am = an-m
(an)m = an*m
an * bn = (a * b)n
an : bn = (a : b)n
Attenzione:
Ricordiamo che per affrontare espressioni contenenti potenze è necessario verificare la possibilità di
applicare le proprietà e, solo quando ciò non è possibile, passare al calcolo usando la definizione.
Ricorda infine che anche in Q valgono le seguenti uguaglianze:
•
0n = 0
•
a0 = 1
•
00 è una forma indeterminata.
Chiarimenti e precisazioni sul calcolo delle potenze in Q
Come abbiamo già visto per altri insiemi numerici, anche nell'insieme Q il calcolo delle potenze
può essere semplificato se si seguono alcune semplici regole. Dovendo svolgere un calcolo con
potenze è opportuno usare alcuni accorgimenti che, se ben utilizzati, possono far risparmiare tempo
e ridurre la possibilità di commettere errori. Si ricorda che il calcolo di una potenza può produrre
risultati numerici abbastanza alti, tali da creare difficoltà nella prosecuzione della risoluzione
dell'espressione. Per questo motivo conviene seguire il seguente schema:
•
•
•
Verificare la possibilità di applicare una delle 5 proprietà delle potenze.
Se ciò non fosse possibile verificare la possibilità di trasformare le basi delle potenze in
modo da far coincidere le basi e, di conseguenza, poter applicare una qualche proprietà delle
potenze.
Se nemmeno questo è possibile ricorrere, in ultima analisi, all'applicazione della definizione
di potenza per poter effettuare il calcolo.
Per ciò che riguarda il punto 1 è sufficiente saper verificare la possibilità di applicare una delle
proprietà, ed applicarla correttamente.
Per ciò che riguarda il punto 3 è sufficiente conoscere la definizione di potenza ed applicarla
correttamente.
Il punto 2 merita qualche considerazione e qualche esempio.
Avendo introdotto le potenze ad esponente negativo è possibile, se necessario, trasformare una
potenza ad esponente negativo in potenza ad esponente positivo e viceversa. La regola, studiata in
una lezione precedente, dice che posso farlo a patto di invertire la base della potenza.
Tale regola può, a volte, essere utilizzata per ottenere potenze di ugual base.
Esempio:
3
5
2
3
∗
3
2
In questa richiesta possiamo osservare che non è possibile applicare direttamente nessuna delle
proprietà delle potenze in quanto le potenze hanno basi ed esponenti diversi.
E' però possibile trasformare la prima o la seconda frazione in modo tale che le basi diventino
uguali.
2 3 2 −5
∗
3
3
A questo punto posso applicare la proprietà delle potenze ed ottenere il risultato
3
−5
3−5
2
2
2
∗ =
3
3
3
−2
2
=
3
La trasformazione in potenze di ugual base può anche essere ottenuta nei casi in cui:
Una base è potenza dell'altra
Le due basi sono potenze di uno stesso numero
Esempio 1 (una base è potenza dell'altra)
2 3∗4 4
Possiamo osservare che la seconda base (4) è potenza della prima, infatti:
4=2
2
ciò vuol dire che posso scrivere
2 3∗4 4=23∗2 24
e di conseguenza calcolare il risultato applicando le proprietà delle potenze
3
4
3
2 4
3
8
11
2 ∗4 =2 ∗2 =2 ∗2 =2
Esempio 2 (le due basi sono potenze di uno stesso numero)
93∗274
In questo esempio 9 e 27 sono entrambi potenza di 3, infatti:
2
9=3 e 27=3
3
ciò vuol dire che posso scrivere
32 3∗33 4
e di conseguenza calcolare il risultato applicando le proprietà delle potenze
2 3
3 4
6
12
18
3 ∗3 =3 ∗3 =3
Talvolta è necessario applicare più trasformazioni per ottenere potenze con basi uguali.
Esempio
4 3 3 2
∗
9
2
Possiamo osservare che la prima base è una potenza dell'inverso della seconda frazione, infatti:
4 2 2
=
9 3
ciò vuol dire che posso scrivere
2 23 3 2
∗
3
2
posso quindi applicare la potenza di potenza alla prima frazione
6
2
2
3
∗
3
2
a questo punto è possibile sfruttare la regola di potenze ad esponente negativo per ottenere potenze
con stessa base
3 −6 3 2 3 −4
∗ =
2
2
2
ATTENZIONE
In presenza di moltiplicazioni tra potenze che hanno basi frazionarie non è consigliabile eseguire la
semplificazione incrociata poiché, in alcuni casi, potrebbe portare a commettere degli errori.
Esempio
5 3 9 2
∗
3
10
In questo esempio potremmo essere tentati di semplificare in modo incrociato il 5 con il 10 ed il 9
con il 3. La semplificazione è in realtà possibile ma prendendo in considerazione il fatto che
esistono comunque degli esponenti.
In queste situazioni è meglio evitare di semplificare, procedendo nel calcolo seguendo le tre regole
precedentemente spiegate.
Nell'esempio, quindi, dopo aver verificato che non è possibile applicare direttamente una proprietà
delle potenze, e che non è possibile ridurre le basi alla stessa base, è necessario passare al calcolo
tramite definizione, e solo successivamente semplificare il risultato ottenuto.
5 3 9 2 125 81 5 3 15
∗ =
∗
= ∗ =
3
10
27 100 1 4 4
Espressioni con frazioni
Per risolvere espressioni contenenti frazioni non ci sono regole diverse dagli insiemi precedenti. E'
necessario, quindi, applicare correttamente le regole di precedenza delle operazioni che qui
ricordiamo:
•
•
•
Risolvere le parentesi dall'interno verso l'esterno.
In caso di operazioni di gruppi diversi: eseguire prima divisioni e moltiplicazioni (primo
gruppo) e poi addizioni e sottrazioni (secondo gruppo).
In caso di operazioni dello stesso gruppo: eseguire le operazioni da sinistra verso destra.
N.B. Le potenze vanno sempre risolte per prime.
Trasformare una frazione in decimale
Abbiamo già visto che, eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore, ad ogni frazione è
associabile un ben preciso numero decimale, che ne rappresenta il valore.
Ricordiamo che ogni numero decimale è formato da una parte intera (a sinistra della virgola) e da
una parte decimale (a destra della virgola)
Esempio
1
=1 : 2=0,5
2
1
=1:3=0,333333333333......=0,3
3
7
=1: 3=0,2333333333333......=0,2 3
30
Come possiamo osservare i tre numeri decimali dell'esempio precedente hanno forme diverse.
Decimale limitato: il numero 0,5 si definisce decimale limitato poiché ha una parte decimale (dopo
la virgola) costituita da un numero finito di cifre.
Parte intera:
0
Parte decimale:
5
Decimale periodico semplice: il numero 0,33333..... si definisce decimale periodico semplice
poiché ha una parte decimale costituita da un numero infinito di cifre che si ripetono sempre uguali.
Le cifre che si ripetono prendono il nome di periodo. Il numero viene definito semplice perchè tutte
le cifre dopo la virgola fanno parte del periodo.
Parte intera:
0
Parte decimale:
3 periodo
Decimale periodico misto: il numero 0,233333..... si definisce decimale periodico misto poiché ha
una parte decimale costituita da un numero infinito di cifre che si ripetono sempre uguali. Le cifre
che si ripetono prendono il nome di periodo, quelle che non si ripetono prendono il nome di
antiperiodo. Il numero viene definito misto perchè non tutte le cifre dopo la virgola fanno parte del
periodo, ma è presente anche un antiperiodo.
Parte intera:
0
Parte decimale:
2 antiperiodo e 3 periodo
Trasformare un decimale nella corrispondente frazione
E' ovviamente possibile anche il procedimento inverso che ci consente di definire la frazione
associato ad un preciso numero decimale.
Esistono però tre procedimenti diversi in base al tipo di numero decimale che devo trasformare in
frazione.
Decimale limitato
Se si deve trasformare in frazione un numero decimale limitato è sufficiente scrivere il numero per
intero come numeratore, e come denominatore un 1 e tanti zeri quante sono le cifre della parte
decimale. Successivamente, se possibile, si semplifica la frazione così ottenuta.
Esempi
2,20=
220 11
=
100 5
3,1=
31
10
0,423=
423
1000
−2,03=−
203
100
Decimale periodico semplice
Se si deve trasformare in frazione un numero decimale periodico semplice è necessario costruire
una frazione che abbia al numeratore la differenza tra il numero per intero e la parte intera, e come
denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Successivamente, se possibile, si semplifica
la frazione così ottenuta.
Esempi
2, 3=
23−2 21 7
= =
9
9 3
1, 12=
112−1 111 37
=
=
99
99 33
0, 15=
15−0 15 5
= =
99
99 33
Decimale periodico misto
Se si deve trasformare in frazione un numero decimale periodico misto è necessario costruire una
frazione che abbia al numeratore la differenza tra il numero per intero e la parte non periodica
formata dalla parte intera e dall'antiperiodo, e come denominatore tanti 9 quante sono le cifre del
periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo. Successivamente, se possibile, si
semplifica la frazione così ottenuta.
Esempi
1,2 3=
123−12 111 37
=
=
90
90 30
3,21 37=
32137−321 31816 7954
=
=
9900
9900 2475
2,4 1=
0,2 12=
241−24 217
=
90
90
212−2 210 7
=
=
990
990 33
La trasformazione da numero decimale a frazione è utile nel caso in cui il testo dell'espressione da
risolvere presentasse sia frazioni sia numeri decimali. In tal caso la prima cosa da fare è quella di
trasformare tutti i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni, per poi procedere come in una
normale espressione con frazioni.
Esempio
1
2,2∗ ∗1, 2
4
Per prima cosa trasformo i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni e successivamente
semplifico e procedo con il calcolo della moltiplicazione tra frazioni.
22 1 12−1 11 1 11 121
∗ ∗
= ∗ ∗ =
10 4
9
5 4 9 180
