Accelerazione di un corpo che si muove lunga una

Accelerazione vettoriale
ACCELERAZIONE NEL MOTO CURVILINEO
In un moto curvilineo il vettore velocità, V, è tangente in ogni punto della curva. Inoltre il vettore velocità cambia istante
per istante poiché la direzione (la retta tangente alla curva in un punto della curva) è variabile. Nella figura è rappresentato
un tratto della curva su cui si muove un corpo.

VB
All’istante tA, il corpo si trova nel punto A e la velocità istantanea del corpo
è il vettore VA, la cui direzione è tangente alla curva. All’istante tB, il corpo si
trova nel punto B, la velocità è VB. Le due velocità sono diverse perché i due
vettori hanno diverse direzioni. A causa del cambiamento di velocità,
B

VA
 

V = VB  VA , nell’intervallo di tempo t=tB-tA il corpo accelera.
L’accelerazione media è un vettore e vale:



V
 VA - VB
a=
=
tB - tA
t
A
Nel grafico a fianco è riportata la differenza tra i due vettori velocità. Il
vettore accelerazione media ha la stessa direzione e lo stesso verso del

V

VA
vettore

V , differenza delle due velocità.

VB
L’accelerazione istantanea si calcola considerando un intervallo di tempo molto piccolo, tendente a zero. Poiché la
velocità cambia nella direzione in cui la curva si piega, l’accelerazione è sempre diretta verso la concavità della curva, e in
generale non è né tangente e né perpendicolare al cammino. Nella figura sono rappresentati esempi di accelerazioni e
velocità istantanee.

V

a

V

a
Per definizione, l’accelerazione è la variazione di velocità subita da un mobile in un intervallo di tempo. La velocità è un
vettore che ha un modulo ed una direzione. La variazione della velocità può essere dovuta: 1) ad un cambiamento del
modulo, mentre la direzione rimane costante; 2) ad un cambiamento della direzione, mentre il modulo rimane costante; 3) ad
un cambiamento sia del modulo sia della direzione. Nel primo caso il moto si svolge lungo una retta (direzione costante),
l’accelerazione relativa prende il nome di accelerazione tangenziale. Nel secondo caso il moto è curvilineo (cambiamento
di direzione), l’accelerazione prende il nome di accelerazione centripeta o normale, poiché la sua direzione è
perpendicolare a quella della velocità istantanea. Nel terzo caso, quello più generale, l’accelerazione istantanea è diretta
verso la concavità della curva. In quest’ultima situazione l’accelerazione istantanea è la somma vettoriale
 

dell’accelerazione tangenziale e dell’accelerazione centripeta ( a  aT  ac ). L’accelerazione tangenziale è un vettore
tangente alla curva. Nella figura seguente è rappresentata la situazione generale.

aT

V

a
T

ac
Per determinare graficamente le accelerazioni centripeta e tangenziale, si
decompone l’accelerazione istantanea, a, lungo due direzioni: la prima, T, è
tangente alla curva; la seconda, N, è perpendicolare alla tangente. Tracciate le rette
T ed N, per ottenere i due vettori accelerazione, aT e ac, si esegue il seguente
procedimento. Dall’estremo della freccia del vettore accelerazione istantanea, a, si
tacciano due parallele: una alla retta T, l’altra alla retta N. Si forma un rettangolo i
cui lati non sono altro che i due vettori cercati.
N

Se il corpo ha una massa, m, sul corpo, che si muove di moto curvilineo, agisce una forza, F , che, per il
secondo principio della dinamica, vale:
1
Accelerazione vettoriale


F  ma

Ovviamente la accelerazione che compare nella formula è la somma delle accelerazioni tangenziale, a T ,

e centripeta, ac :
  
a  ac  a T
Di conseguenza la forza che agisce sul corpo vale:


 


F  m  a  m  ac  aT   m  ac  m  aT

La forza, F , che agisce sul corpo, ha la stessa direzione e lo stesso verso dell’accelerazione istantanea,

a , ed è la somma vettoriale di due forze. La prima


Fc  m  ac
è chiamata forza centripeta. La seconda
è chiamata forza tangenziale.


FT  m  a T


In sintesi, la forza tangenziale, FT , fa cambiare il modulo della velocità, mentre la forza centripeta, Fc ,
serve a cambiare la direzione della velocità.
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Un caso particolare di moto curvilineo è il moto circolare uniforme. Tale moto si svolge lungo una
circonferenza ed il modulo della velocità rimane costante.
Nella figura è mostrato un corpo che si muove in senso
antiorario con velocità il cui modulo è costante:

V  cos tan te
Per definizione di velocità, il modulo è definito come lo
spazio percorso dal corpo (ad esempio l’arco di circonferenza
(GH)) ed il corrispondente intervallo di tempo, t :
V
GH 
t
L’arco (GH) è uguale a:
GH    R
dove  è l’angolo
GOH
misurato in radianti.
Sostituendo il valore dell’angolo nell’espressione della velocità
si ha:
V
GH     R
t
t
Se si considera come arco l’intera circonferenza, la cui lunghezza, C, è
C  2  R
il valore della velocità diventa:
V
GH     R  2    R
t
t
t
Il tempo impiegato dal corpo a compiere un intero giro si chiama periodo, T. Pertanto il valore della
velocità è:
V
GH     R  2    R  2    R
t
t
t
T
Si definisce frequenza, che viene indicata con f oppure con  il numero di giri compiuti dal corpo in un
determinato tempo, t :
2
Accelerazione vettoriale
f 
numero di giri

t
Poiché il periodo, T, è il tempo necessario per compiere un giro, la frequenza viene definita come:
f 
1
T
L’unità di misura della frequenza è Hz (unità di misura in onore del fisico tedesco H.R. Hertz), cioè
Hz = s-1
Dalla definizione della frequenza, si ha che il periodo, T, vale:
T
1 1

f 
Con l’introduzione del concetto di frequenza, il valore della velocità può anche essere scritta come:
V
2R
 2 f R  2  R
T
Osservazione sul concetto e sulla formula della velocità. L’espressione della velocità può essere scritto
nel seguente modo:
V
R   
  R
t
 t 

 , indica la variazione di un angolo nel tempo. Questa espressione
 t 
rappresenta la velocità angolare,  .

 
 t 
1
L’unità di misura della velocità angolare è: rad  s
L’espressione in parentesi, 
Nel moto circolare uniforme anche la velocità angolare è costante, pertanto come angolo si può
considerare l’angolo giro, corrispondente al percorso di un intero giro. Per cui:

 2

 2  f  2   
t
T
Introducendo il concetto di velocità angolare nella formula della velocità (tale velocità viene chiamata
anche velocità periferica) si ha:
V
2R
 2 f R  2  R  R
T
Il modulo dell’accelerazione centripeta vale:
ac 
V2
4  2  R
 2  R 
 4  2  2  R
2
R
T
Il corrispondente modulo della forza centripeta vale:
Fc  m  ac  m 
V2
4  2  R
 m  2  R  m 
 m  4  2  2  R
2
R
T
3