10 dicembre 2001
Le successioni di Goodstein:
i numeri naturali, l'infinito,
e i limiti dei calcolatori
Claudio Bernardi (Dipart. Matematica)
partiamo da un numero naturale, ad es.
45
scriviamolo come somma di potenze di 2
45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 25 + 23 + 22 + 20
scriviamo anche gli esponenti come
somma di potenze di 2
2
45 2 2 1 221 2 2 1
«forma polinomiale pura in base 2»
compaiono solo cifre minori o uguali a 2
trasformiamo tutti i «2» in «3»
(lasciando inalterate le altre cifre)
2
2 2 1 2 21 2 2 1
3
33 1 331 33 1 328 ...
siccome 32 10, 328 1014
se poi trasformiamo tutti i «3» in «4»
(o direttamente tutti i «2» iniziali in «4»),
costruiamo una successione che cresce
"molto" in fretta
le successioni di Goodstein si ottengono
con una piccola modifica:
partiamo da un naturale n0
2
n 0 45 2 2 1 2 21 2 2 1
33 1 ... 22 876 792 455 070
togliamo «1»
3
n1 = 22 876 792 455 069
scriviamo n1 in forma polinomiale pura
in base 3, trasformiamo i «3» in «4»
3
33 1 331 33
4
4 4 1 4 41 4 4
e … togliamo «1»
4
4 4 1 4 41 43 * 3 4 2 * 3 4 * 3 3
n2 = 53631231719770388398296099992
823384509917463282369573510894245
774887056120294187907207497192667
613710760127432745944203415015531
247786279785734596024337663
(è un numero di 155 cifre)
scriviamo n2 in forma polinomiale pura
in base 4, trasformiamo i «4» in «5», e
togliamo «1»
troviamo il numero n3 che ha 2185 cifre
scriviamo n3 in forma polinomiale pura
in base 5, trasformiamo i «5» in «6», e
togliamo «1»
troviamo il numero n4 che ha 36 307 cifre
continuiamo così; n5 è il numero
77 1 7 71 73 * 3 72 * 3 7 * 3
che ha circa 696 000 cifre
(più di 10 risme di carta)
7
il numero di particelle dell'universo
(noto) è circa 1080 (un numero di solo
80 cifre!)
TEOREMA (Goodstein, 1944)
Qualunque sia il numero n0 di partenza,
da un certo punto in poi tutti i termini
della successione sono uguali a 0
prima o poi si raggiunge zero
il «togliere 1» lentamente prevale
idea della dimostrazione
numeri ordinali transfiniti: descrivono il
modo in cui certi insiemi sono ordinati
ordine dell'insieme dei naturali
(una successione)
w
su questi «numeri» si possono introdurre
le usuali operazioni
w
• • • • • • • ……
w + 1 • • • • • • • …… •
w • 2 • • • • • • • …… • • • • • • • ……
si conserva una tipica proprietà dei
naturali (legata al principio di
induzione):
«non esiste
alcuna successione (infinita)
decrescente»
(invece nei razionali: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...)
2
n 0 45 2 2 1 2 21 22 1
trasformiamo i «2» in «w»
n 0 1 1 1
in n1 trasformiamo i «3» in «w»
n 1 1 1
più piccolo del precedente
eccetera
questa nuova successione non può
continuare a decrescere all'infinito,
quindi si raggiunge lo 0 (0 – 1)
TEOREMA (Kirby, Paris 1981)
Il ricorso agli ordinali infiniti
è
inevitabile: l'enunciato di Goodstein non
si dimostra in un'usuale teoria per i
numeri naturali.
per dimostrare una proprietà dei naturali
siamo "usciti" da quell'ambiente
insieme N dei numeri naturali con le
consuete operazioni;
proprietà, ad es.
2
x y (x +x = y+y)
invece di fare infiniti controlli o
verifiche, con una dimostrazione
otteniamo un teorema
teoria assiomatica PA (aritmetica Peano)
sia A un enunciato (formula chiusa)
due concetti da confrontare
(1) A è dimostrabile in PA PA |– A
(2) A è vero in N
N |= A
i teoremi esprimono fatti veri in N
(1) implica (2)
I Teorema di Gödel (1931) Non è vero
che da
N |= A segue
PA |– A
per ogni A N |= A oppure N |= ¬ A
invece, esiste una A tale che
non PA |– A
e
non PA |– ¬ A
A indecidibile ; PA è incompleta
T insieme dei teoremi di PA
V insieme delle formule vere in N
F insieme delle formule false in N
V
T
F
negaz.
teor.
l'enunciato di Goostein è vero, ma non
dimostrabile, come la formula di Gödel;
ma mentre la formula di Gödel nasce da
considerazioni logiche, l'enunciato di
Goodstein è puramente aritmetico
per ogni n0 è un teorema di PA
«La successione di Goodstein che parte
da n0 prima o poi raggiunge zero»
dimostrazione: faccio il calcolo
ma non è un teorema di PA
«Per ogni n0 la successione di Goodstein
che parte da n0 prima o poi raggiunge
zero»
per ogni n0 c'è una dimostrazione, ma
non c'è un'unica dimostrazione
dopo quanti passi si arriva a 0?
se n0 ≥ 6, ... mancano le notazioni!
h(n) = il numero dei passi necessari
perché la successione di Goodstein che
parte da n arrivi a 0
h è una funzione totale (dominio = N)
è computabile: basta contare (con un po'
di pazienza)
ma non è un teorema di PA
«Per ogni n, la funzione h converge su n»
in logica non basta applicare regole
occorre fantasia
ha senso parlare di eleganza
i risultati sorprendono
