Analisi matematica A - Università degli Studi dell`Insubria

A.A. 2013/2014
Laurea in Ingegneria per la Sicurezza del Lavoro e dell’ambiente
Analisi Matematica A
SCV0003
Daniele Cassani
CFU
SSD
Lezioni
Esercitazioni
Laboratorio
(ore)
(ore)
(ore)
9
MAT/05
56
32
-
[inserire voce: es.
attività di campo;
seminari; uscite;…]
(ore)
Anno
Lingua
-
I
Italiano
Obiettivi dell’insegnamento e risultati di apprendimento attesi
Acquisire conoscenze e strumenti di base nel calcolo differenziale e integrale per funzioni di una
variabile reale ed equazioni differenziali.
Prerequisiti
Nessuno.
Contenuti e programma del corso
Insiemi numerici: numeri naturali e principio di induzione, disuguaglianza di Bernoulli, numeri
interi e razionali, irrazionalità della radice di due, definizione assiomatica dei numeri reali.
Generalità sulle funzioni di una variabile: dominio, immagine, iniettività e suriettività, invertibilità,
monotonia e limitatezza.
Successioni convergenti, divergenti e irregolari, teorema sulle successioni monotone, il numero di
Nepero, operazioni con i limiti, permanenza del segno. Sottosuccessioni e unicità del limite,
Teorema dei due carabinieri, esempi, infiniti ed infinitesimi, simboli di Landau, ordine di
infinitesimo e infinito, teorema del confronto asintotico, esempi. Criterio del rapporto per
successioni. Serie numeriche e condizione necessaria per la convergenza. la serie geometrica, serie
di Mengoli e telescopiche. Criteri del confronto e confronto asintotico per serie a termini
definitivamente dello stesso segno. Serie armonica. Criterio della radice e del rapporto; esempi.
Serie a termini di segno qualunque: criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz.
Completamento dei razionali e potenza ad esponente reale. Richiami su funzioni elementari. Grafici
di funzioni elementari e composizione di funzioni elementari, simmetrie, funzioni inverse e criteri
d'invertibilità, trasformazioni nel piano e deduzione del grafico di composte di funzioni elementari
soggette a trasformazioni elementari.
Limiti di funzioni: estensione dei risultati visti per le successioni, simboli di Landau, infinitesimi e
infiniti. Continuità e proprietà globali delle funzioni continue: teorema degli zeri, teorema dio
Weierstrass, teroema di Darboux, invertibilità delle funzioni continue, prolungamenti per continuità.
Introduzione alle derivate: modelli ed esempi. Derivabilità e continuità, calcolo di derivate,
derivazione della funzione composta. Derivazione della funzione inversa, massimi e minimi locali,
Teorema di Fermat, Teorema di Lagrange, criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni a
derviata nulla. Teorema di de l'Hospital. Derivate successive. Formula di Taylor (con resto di Peano
e Lagrange).
Introduzione all'integrale di Riemann: somme di Riemann e interpretazione geometrica,
integrabilità delle funzioni continue. Proprietà dell'integrale di Riemann. Il problema della ricerca di
primitive. Metodi d'integrazione: elementari, per sostituzione, per parti. Teorema della media e
Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione delle funzioni razionali. Integrali generalizzati e
funzioni integrali.
Equazioni differenziali del primo ordine, dinamica di popolazione con attrito sociale, equazioni a
variabili separabili, problema di Cauchy, equazioni lineari del prim'ordine e formula di variazione
delle costanti arbitrarie. Equazioni differenziali lineari del second'ordine, problemi di Cauchy,
teorema di struttura delle soluzioni, equazioni omogenee a coefficienti costanti, variazione delle
costanti arbitrarie e metodo di somiglianza per equazioni non omogenee, equazioni di Eulero.
Tipologia delle attività didattiche
Lezioni frontali.
Testi e materiale didattico
-M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa, MATEMATICA (calcolo infinitesimale e algebra lineare),
Zanichelli
-Temi d’esame svolti ed esercitazioni disponibili on-line al sito e-learning.
Modalità di verifica dell’apprendimento
Scritto e orale.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Calendario delle attività didattiche
Collegamento ipertestuale alla pagina degli orari e sedi del CdS
Appelli d'esame
Collegamento ipertestuale alla bacheca appelli