ME-8950
Sistema completo per i moti rotatori
Manuale d’uso
e
guida agli esperimenti
1
2
Introduzione
Il Sistema per i Moti Rotazionali PASCO® Scentific ME-8950 consente di eseguire un’ampia
varietà di esperimenti riguardanti la dinamica rotazionale: in particolare permette il confronto tra i
momenti d’inerzia teorici e quelli misurati, per diversi corpi rigidi con geometrie semplici. Inoltre è
possibile studiare la legge di conservazione del momento angolare e l’andamento della forza
centripeta al variare dei parametri del sistema.
Questo manuale è scritto assumendo che sappiate già operare con le interfacce PASCO® e il relativo
software Science Workshop: in caso contrario riferitevi al manuale fornito.
Descrizione dell’apparato sperimentale
L’apparato completo ME-8950 è formato dalla Piattaforma Rotante (ME-8951), dagli Accessori per
le Forze Centripete (ME-8952) e dagli Accessori per i Momenti d’Inerzia (ME-8953) che verranno
di seguito descritti accuratamente, fornendo inoltre le informazioni necessarie per il loro
assemblaggio.
•
ME-8951 - La Piattaforma Rotante è costituita da una base triangolare, pesante ∼4 Kg, con due
piedini registrabili per mettere in piano l’apparato. Il foro centrale della base è fornito di
cuscinetto a sfera a basso attrito, per permettere la rotazione dell’asta verticale, che viene
innestata e fissata verticalmente con due E-ring. Tale asta è equipaggiata con una puleggia
coassiale fornita di tre gole, con raggi differenti, e di un disco, con dieci fori equidistanziati
lungo la circonferenza.
Barra di
montaggio del
fototraguardo
Barra porta accessori
Piattaforma rotante
in alluminio
Masse quadrate da 300 g,
con bulloni e dadi quadrati
Viti di fondo-corsa
Asta verticale rotante
con disco forato per
fototraguardo
Base ad “A” in ghisa
“E” ring
Figura 1: I componenti della piattaforma rotante ME-8951
3
Inoltre nella base sono presenti altri due fori, che permettono l’innesto della barra porta
accessori e dell’asta per il montaggio del fototraguardo, entrambe fornite con questo apparato.
La piattaforma a base rettangolare fornisce il supporto per diversi esperimenti, è realizzata in
profilato d’alluminio ed è fornita di una scala metrica graduata, che percorre tutta la sua
lunghezza. Essa si fissa all’estremità libera della barra verticale della base, utilizzando il foro
d’innesto e la relativa vite di serraggio, posti a metà lunghezza della sua faccia inferiore. Infine
vi sono tre scanalature a “T”, sui bordi e sulla faccia superiore, per il fissaggio degli accessori
necessari agli esperimenti.
Sono inoltre fornite due masse, da ∼0.3 Kg ciascuna, dotate di dado quadrato e bullone per
fissarle, appunto, alla scanalatura longitudinale a “T” della faccia superiore. Infine due coppie
dado-bullone permettono di realizzare dei fondo corsa, da inserire sempre lungo la piattaforma.
N.B. – I valori dei raggi delle tre gole della puleggia coassiale, riportati nelle documentazione
tecnica, sono solo nominali. Perciò, almeno al primo utilizzo dell’apparato, utilizzate un calibro
per ottenere una misura precisa dei raggi delle gole e annotate questi valori!
•
ME-8952 - Gli Accessori per le Forze Centripete sono costituiti da due sostegni, uno centrale e
uno laterale, che si fissano alla piattaforma rettangolare tramite bulloni quadrati e relativi dadi.
Il sostegno centrale alloggia un indicatore meccanico formato da una piccola puleggia a basso
attrito, un supporto superiore e un indicatore inferiore che si possono posizionare a diverse
altezze, una molla e un dischetto indicatore in plastica. Il sostegno laterale è fornito, nella parte
alta, di un supporto con un bulloncino di fissaggio.
Inoltre sono forniti: una massa da ~0.1 Kg, dotata di tre ganci lungo il bordo, alla quale si
possono fissare altre due masse da ~0.05 Kg; una puleggia a basso attrito con relativo morsetto
di fissaggio; una bobina di filo inestensibile.
Sostegno laterale
Rocchetto di filo
inestensibile
Sostegno centrale
Masse da 50 gr
Dischetto indicatore
Puleggia a basso
attrito con morsetto
di fissaggio
Molla
Figura 2: I componenti degli accessori per le forze centripete ME-8952
4
Massa da 100 gr
con tre gancini
•
ME-8953 - Gli Accessori per i Momenti d’Inerzia includono: un disco con diametro ~25.4 cm,
un anello con diametro esterno ~12.7 cm, una puleggia a basso attrito con astina di sostegno e
un adattatore per il fissaggio del disco alla piattaforma rettangolare.
Disco con ~25.4
cm di diametro
Anello con ~12.7 cm
di diametro esterno
Puleggia a basso attrito
Perno adattatore per
la piattaforma rotante
Astina di fissaggio della puleggia
~
Figura 3: I componenti per i momenti d'inerzia ME-8953
Assemblaggio dell’apparato
Di seguito vengono date le informazioni generali necessarie al montaggio dei diversi componenti
del sistema ME-8950. La particolare configurazione da adottare per i vari esperimenti verrà
brevemente descritta, richiamando questa sezione, all’inizio di ogni esperimento.
Base:
1) Inserite l’estremità cilindrica dell’asta verticale nel foro centrale della base fissandolo poi
inferiormente con uno degli E-ring in dotazione, come mostrato in Figura 4
2) Inserite la puleggia nell’asta, in modo che il cerchio forato sia rivolto verso il basso
Piattaforma rettangolare:
Montate la piattaforma rettangolare, inserendo l’estremità superiore dell’asta verticale della
base nel foro d’innesto della piattaforma; quindi fissatela con la vite di serraggio. Ponete
attenzione nell’orientamento di quest’ultima, in modo che la vite, una volta stretta, si fissi
sulla zona piatta della barra verticale.
5
Piattaforma rotante
Vite di fissaggio
Parte piatta
dell’asta
verticale
Asta verticale
rotante
Base ad “A”
“E” ring di
fissaggio
Figura 4: Montaggio della base e della piattaforma rettangolare
Disco:
- Montaggio assiale diretto: montate il disco, inserendo l’estremità superiore dell’asta verticale
della base o nel foro della superficie laterale o in quello centrale, a seconda dell’esperimento da
eseguire. Nel secondo caso, fate attenzione che il lato provvisto di scanalatura sia voltato verso
l’alto.
- Montaggio fuori asse: dopo avere montato la piattaforma rettangolare, inserite il dado quadrato
dell’adattatore, fornito con ME-8953, nella scanalatura longitudinale centrale della piattaforma.
Quindi, una volta raggiunta la posizione desiderata, serrate l’adattatore ruotandolo in senso
orario. Il disco viene fissato utilizzando il perno superiore dell’adattatore.
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Cuscino a sfera del disco
Cuscinetto a sfera del disco
Piattaforma
rotante
Perno
adattatore
Dado quadrato
Foro a “D” del disco
Perno adattatore
Figura 5: Montaggio fuori asse del disco
Fototraguardo:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Rimuovete il piccolo morsetto per stativi che è presente su tutti i fototraguardi ME-9498A,
semplicemente svitandone la vite di fissaggio.
Avvitate l’estremità filettata dell’astina di supporto, fornita con ME-8951, e inserite l’altra
estremità in uno dei fori laterali della triangolare.
Regolate l’altezza e l’orientamento del fototraguardo in modo che l’equipaggio mobile
dell’apparato possa ruotare liberamente, senza toccare parti del fototraguardo stesso e, allo
stesso tempo, che il suo fascio infrarosso possa passare attraverso i fori del disco inferiore
della puleggia. Quindi fissate il dispositivo nella posizione corretta, serrando la vite.
Collegate il cavetto del fototraguardo, tramite lo spinotto BT, i modo che la sua posizione non
interferisca ne’ con la rotazione dell’equipaggio mobile ne’ con il passaggio dei raggi
infrarossi.
Inserite l’estremità del cavetto provvista di spina tipo jack stereo in una delle porte digitali
della vostra interfaccia PASCO®.
Attivate il programma di controllo dell’interfaccia (Science Workshop o DataStudio) e
selezionate Smart pulley rotazionale dalla lista dei sensori digitali.
Puleggia:
1)
2)
3)
4)
Inserite la barra porta accessori nel foro laterale libero della base triangolare.
Avvitate l’estremità filettata dell’astina porta-puleggia al foro filettato presente nel supporto
della puleggia.
Inserite l’estremità libera dell’astina porta-puleggia nel foro passante della barra
porta-accessori.
Regolate la posizione e l’orientamento della puleggia in modo che il suo asse di rotazione sia
orizzontale e che l’astina non interferisca con la rotazione dell’equipaggio mobile.
7
Vite di fissaggio
Astina orizzontale
Barra porta accessori
Puleggia a basso attrito
Figura 6: Montaggio della puleggia a basso attrito
Sostegno centrale per forze centripete:
1)
2)
Assemblate i diversi componenti del sostegno:
a) Attaccate un estremo della molla al suo supporto e collegate l’altro estremo al dischetto
indicatore rosso. Inserite, quindi, il supporto nella fenditura longitudinale del supporto
verticale e fissatelo tramite la sua vite.
b) Inserite il riferimento nella fenditura longitudinale del supporto verticale, più in basso del
supporto della molla, e fissatelo tramite la sua vite.
c) Tagliate dal rocchetto un pezzo di filo lungo ∼30 cm e fissatene un capo al lato libero del
dischetto indicatore. Quindi fatelo passare dentro al foro del traguardo.
d) Fissate la piccola puleggia a basso attrito, utilizzando uno dei due fori passanti (in
dipendenza dall’esperimento da eseguire) posti nella parte bassa del sostegno centrale.
L’asse della puleggia presenta un foro longitudinale filettato che permette il fissaggio,
utilizzando una vite passante attraverso il foro prescelto del sostegno.
Montate il sostegno alla piattaforma, inserendo il dado quadrato nella fenditura longitudinale
del lato graduato della piattaforma stessa. Una volta raggiunta la posizione centrale, fissate il
sostegno serrando la vite.
8
Sostegno laterale per forze centripete:
1)
2)
Per assemblare i diversi componenti del sostegno tagliate dal rocchetto un pezzo di filo lungo
∼30 e, come mostrato in Figura 7, fate passare i due estremi uno nel forellino anteriore del
supporto orizzontale, l’altro in quello posteriore. bloccate quindi le due estremità utilizzando
la vite di nylon fornita col sostegno.
Montate il sostegno alla piattaforma, inserendo il dado quadrato nella fenditura longitudinale
del lato graduato della piattaforma stessa. Una volta raggiunta la posizione desiderata, fissate
il sostegno serrando la vite.
Figura 7: Montaggio dei due sostegni per forze centripete
9
10
Esperimenti
Di seguito verranno fornite le istruzioni che devono essere seguite in più di un esperimento. Nelle
indicazioni specifiche di ogni esperimento saranno fornite procedure operative che richiamano,
quando è utile, le istruzioni generali riportate qui di seguito.
Quindi leggete attentamente questa sezione prima di procedere all’esecuzione degli esperimenti.
Messa in piano della base
Per eseguire delle buone misure dovete appoggiare la base ad “A” su un tavolo robusto e ben stabile
e che, almeno in prima approssimazione, sia in piano.
Per fare si che la rotazione dell’equipaggio mobile dell’apparato avvenga su un piano orizzontale,
indispensabile per ottenere buoni risultati quantitativi, è necessario livellare con accuratezza la base,
utilizzando le due viti calanti, utilizzando la seguente procedura (vedi Figura 6):
1. Fissate una delle due masse quadrate vicino ad un’estremità della piattaforma rettangolare.
2. Regolate una delle viti calanti, finché l’estremità della piattaforma rotante che reca la massa
risulta allineata all’altra vite.
3. Ruotate la piattaforma di 90°, in modo che risulti parallela al lato della base ad “A”.
4. Regolate la vite calante posta sul lato opposto finché la piattaforma resta stabilmente in questa
posizione.
Figura 8: Metodo di messa in piano della base
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Uso della carrucola a basso attrito e del portamasse
In alcuni esperimenti è necessario applicare un momento costante all’equipaggio mobile; per fare
ciò è necessario montare la carrucola a basso attrito alla base ad “A” e seguire la seguente
procedura di uso generale:
1. Ponete l’apparato su un tavolo stabile, posizionandola in modo che la puleggia a basso attrito
sporga oltre il bordo dello stesso.
2. Tagliate un pezzo di filo dal rocchetto di lunghezza di ∼20cm maggiore della distanza tra la
puleggia a basso attrito e il pavimento.
3. Legate un estremo del filo al portamasse.
4. Fissate il capo libero del filo alla puleggia coassiale a tre gole, utilizzando uno dei forellini sui
bordi delle gole, scegliendolo in base a quale delle gole si vuole utilizzare.
5. Tendete il filo, fatelo passare nella gola della puleggia a basso attrito e lasciate pendere
liberamente il portamasse verso il pavimento.
6. Ruotate l’equipaggio mobile in modo che il filo si avvolga, rimanendo teso, alla gola prescelta
della puleggia assiale.
Compensazione degli attriti
Prima di procedere è necessario evidenziare che, utilizzando l’apparato cuscinetti a sfera di buona
qualità, gli attriti dinamici interni possono essere trascurati, almeno utilizzando masse traenti eguali
o maggiori di 0.05 kg. Inoltre si consiglia di cominciare ogni raccolta dati dopo che l’equipaggio
mobile ha cominciato a ruotare, per permettere alla piattaforma di superare l’attrito statico.
Volendo ottenere risultati quantitativamente più precisi, tenendo conto dei fenomeni di attrito tra le
parti mobili a contatto, si può utilizzare un metodo empirico, procedendo come segue:
1.
2.
3.
4.
Assemblate l’apparato con la base rettangolare, la carrucola a basso attrito e il portamasse.
Legate il portamasse al filo e utilizzate la massa minore che avete (al limite il portamasse vuoto)
Ponete in rotazione delicatamente l’equipaggio mobile, per vincere l’attrito statico.
Effettuate una raccolta dati. Se la velocità angolare è costante (accelerazione angolare nulla)
allora la massa utilizzata, che chiameremo matt (che comprende quella del portamasse), è quella
che compensa esattamente gli attriti.
5. In caso contrario incrementate ulteriormente la massa e tornate al punto 2
Una volta trovato il valore di matt, nell’esperimento utilizzate, al posto della massa complessiva m,
tutte le equazioni considerando solo la “massa dinamica” mdin=m-matt, ovvero la massa che
contribuisce all’accelerazione dell’equipaggio mobile.
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Esperimento 1: Verifica della seconda legge della dinamica
In questo esperimento si verificherà la validità della versione “rotatoria” della legge della dinamica,
dato che, nel caso di moti rotatori piani, può essere conveniente il passaggio da un sistema di
coordinate cartesiane (x,y) ad uno polare (θ,r).
Considerando il momento della forza applicata alla massa, rispetto al polo del moto, si verificherà
quindi la proporzionalità tra tale quantità e l’accelerazione angolare della massa ovvero
M = Iα
dove I è la costante di proporzionalità della relazione, detta momento d’inerzia del sistema.
Attrezzatura necessaria
-
Piattaforma Rotante (ME-8951).
Puleggia a basso attrito con astina (da ME-8953)
Rocchetto di filo inestensibile (da ME-8952)
Fototraguardo (ME-9498A)
Masse calibrate e portamasse (tipo ME-9348 o ME-8967 PASCO® Scientific)
Procedimento
1.
2.
3.
4.
Assemblate la base con la piattaforma rettangolare, il fototraguardo e la puleggia a basso attrito.
Effettuate le operazioni di messa in piano.
Caricate il portamasse, avvolgete il filo e lasciate cadere liberamente il portamasse.
Effettuate una raccolta dati, terminandola quando il porta-masse sta per raggiungere il punto più
basso della sua traiettoria.
5. Eseguite i passi 3 e 4 per almeno 5 masse diverse.
6. Eseguite i passi 3 e 4 utilizzando le altre gole disponibili.
T
a
mg
Portamasse com
masse calibrate
Figura 9: L' apparato assemblato correttamente
13
Discussione
Tramite un’interpolazione lineare delle velocità misurate si ottengono le accelerazioni
dell’equipaggio mobile (piattaforma rettangolare).
Il porta-masse e le masse inserite sono sottoposte, durante il loro moto, alla forza attrattiva
gravitazionale, FG, e alla forza di tensione del filo inestensibile, FT. Quindi la sua equazione del
moto risulta essere:
FG-FT=ma
Considerando che FG=mg e risolvendo l’equazione rispetto alla forza di tensione otteniamo:
FT=mg-ma
Essendo il filo inestensibile l’accelerazione, a, è eguale a quella di un elemento del filo stesso, a sua
volta eguale all’accelerazione lineare subita da un elemento infinitesimo della superficie di contatto
tra il filo e la gola della carrucola interessata. Questa può, quindi, essere ricavata dall’accelerazione
angolare, misurata con l’interfaccia e il fototraguardo, considerando la gola di raggio r:
a=rα
Quindi la forza di tensione è:
FT=m(g-rα)
Infine possiamo ricavare il valore del momento della forza applicata all’equipaggio mobile, che è la
quantità che vogliamo confrontare direttamente con l’accelerazione angolare da esso subita,
M=rFT=rm(g-rα)
Entro gli errori sperimentali si verifica comunque che l’accelerazione angolare α dell’equipaggio
mobile dell’apparato e il momento della forza M, ad esso applicato, sono direttamente proporzionali
e che, nel nostro caso, il coefficiente di proporzionalità (detto momento d’inerzia) è una costante del
sistema.
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Esperimento 2: Momento d’inerzia di una massa puntiforme
Verificata nell’esperimento precedente l’esistenza di una relazione lineare tra il momento della
forza applicata ad un corpo e l’accelerazione angolare che esso subisce, sembra ragionevole
supporre che il momento d’inerzia sia una costante del moto di un corpo, rispetto all’asse di
rotazione considerato. In questo esperimento indagheremo, quindi, come il momento d’inerzia di un
corpo dipenda dalla propria massa e dalla propria geometria.
Cominceremo con il caso più semplice, ovvero un piccolo corpo di massa m che ruota attorno ad un
asse che passa ad una distanza superiore alle sue dimensioni massime. Queste condizioni
permettono di considerare il corpo “puntiforme” rispetto al sistema utilizzato.
Attrezzatura necessaria
-
Piattaforma Rotante (ME-8951).
Una delle masse quadrate fornite con la piattaforma.
Puleggia a basso attrito con astina (da ME-8953)
Rocchetto di filo inestensibile (da ME-8952)
Fototraguardo (ME-9498A)
Masse calibrate e portamasse (tipo ME-9348 o ME-8967 PASCO® Scientific)
Procedimento
1.
2.
3.
4.
Assemblate la base con la piattaforma rettangolare, il fototraguardo e la puleggia a basso attrito.
Effettuate le operazioni di messa in piano.
Caricate il portamasse, avvolgete il filo e lasciate cadere liberamente il portamasse.
Effettuate una raccolta dati (velocità angolare), terminandola quando il porta-masse sta per
raggiungere il punto più basso della sua traiettoria.
5. Pesate la massa quadrata, in modo da avere una misura precisa della sua massa mq.
6. Montate la massa quadrata sull’equipaggio mobile, inserendo il dado quadrato nella fenditura
longitudinale centrale della piattaforma rotante serrandolo.
7. Utilizzando una riga graduata identificate la metà del lato della massa parallelo alla fenditura
longitudinale.
8. Posizionate tale punto all’altezza dei 0.1 m, lungo la scala graduata della piattaforma e fissatela
serrandone la vite.
9. Avvolgete il filo e lasciate cadere il portamasse.
10. Effettuate una raccolta dati, terminandola quando il porta-masse sta per raggiungere il punto più
basso della sua traiettoria.
11. Spostate la massa quadrata, rispetto la posizione precedente, di qualche centimetro più distante
dall’asse di rotazione.
12. Tornate al punto 9 e misurate la nuova α, per almeno 5 diversi valori della distanza dall’asse di
rotazione.
15
Discussione
Tramite interpolazione lineare delle velocità misurate si ricavano le accelerazioni della piattaforma
rotante sia scarica che caricata con la massa quadrate, in differenti posizioni.
Il momento d’inerzia del sistema è dato quindi, come visto dall’esperimento precedente, da
I=
M rm din (g − rα )
=
α
α
Dai passi 3 e 4 ricavate quindi il momento d’inerzia I0 della piattaforma mentre dai passi dal 5 al 12
quello, Itot, del sistema formato dalla rotaia e dalla massa quadrata; da questo valore si calcola,
quindi, il momento d’inerzia della massa quadrata, Iq=Itot-I0.
Analizzando i risultati ottenuti, analiticamente o graficamente, si nota come vi sia proporzionalità
diretta tra il momento d’inerzia del corpo “puntiforme” (la massa quadrata) e il quadrato della
distanza tra il suo baricentro e l’asse di rotazione. Inoltre si osserva che il coefficiente di
proporzionalità di questa relazione non è nient’altro che la massa inerziale del corpo in esame.
Riassumendo, sembra ragionevole indurre che, in generale, un punto materiale di massa m che ruota
attorno ad un asse, ad una distanza d, possiede un momento d’inerzia I dato da:
I=md2
16
Esperimento 3: Momento d’inerzia di dischi e anelli
Se il momento d’inerzia di un punto materiale e I=md2, è formalmente corretto ricavare il momento
d’inerzia di un corpo rigido di dimensioni non trascurabili, considerandolo come la somma dei
momenti d’inerzia di tante piccole masse, ognuna con la propria distanza dall’asse di rotazione.
Nel caso di corpi omogenei e con geometrie semplici è possibile risolvere tale problema
analiticamente attraverso un’integrazione su tutto il volume del corpo. Nel nostro esperimento
consideriamo un cilindro pieno omogeneo, con raggio r, lunghezza l e massa mc, e un anello, con
raggi r1 e r2 e massa ma, che ruotano attorno ad un asse, passante per il baricentro, nei seguenti casi:
-
cilindro, asse longitudinale
-
cilindro, asse normale a quello longitudinale
-
anello, asse longitudinale
1
mc r 2
2
1
1
I = mc r 2 + l 2
12
4
1
I = ma (r12 + r22 )
2
I=
In questo esperimento verificheremo quindi la correttezza dei momenti d’inerzia teorici ricavati per
tali corpi.
Attrezzatura necessaria
-
Piattaforma Rotante (ME-8951).
Puleggia a basso attrito con astina (da ME-8953)
Rocchetto di filo inestensibile (da ME-8952)
Fototraguardo (ME-9498A)
Masse calibrate e portamasse (tipo ME-9348 o ME-8967 PASCO® Scientific)
Disco e anello della piattaforma rotante.
Procedimento
1. Misurate con precisione le dimensioni caratteristiche del disco (r e l) e dell’anello (r1 e r2) e le
loro masse.
2. Assemblate l’apparato con la piattaforma rotante , il fototraguardo e la carrucola a basso attrito.
3. Mettete in piano l’apparato.
4. Smontate la piattaforma rettangolare
5. Montate direttamente il disco, utilizzando il foro laterale (asse di rotazione normale a quello
longitudinale).
6. Caricate il portamasse, avvolgete il filo e lasciate cadere liberamente il portamasse.
7. Effettuate una raccolta dati, terminandola quando il porta-masse sta per raggiungere il punto più
basso della sua traiettoria.
8. Montate il disco, utilizzando il foro centrale, in modo che la scanalatura concentrica sia rivolta
verso l’alto (asse di rotazione longitudinale) e ripetete i punti sei e sette.
9. Appoggiate l’anello al disco, in modo che il suo bordo inferiore coincida con la scanalatura
concentrica sulla superficie del disco, quindi ripetete i punti sei e sette.
17
Discussione
Tramite interpolazione lineare delle velocità misurate si ricavano le accelerazioni angolari di disco e
anello: attraverso tali valori si calcolano i momenti angolari, rispetto ad un asse passante per il
centro, del disco (lungo il diametro), ancora del disco (longitudinalmente) e del sistema costituito da
disco e anello (longitudinalmente), utilizzando la relazione:
I=
rm din (g − rα )
α
Dalla differenza tra la terza misura e la seconda si ricava il momento d’inerzia dell’anello lungo
l’asse longitudinale.
Infine possiamo confrontare questi risultati con quelli calcolati tramite le formule analitiche,
tenendo conto sia degli errori sperimentali sia di quelli derivanti dalla misura dei parametri
geometrici dei corpi.
18
Esperimento 4: Momento d’inerzia di un disco fuori asse
Consideriamo un corpo che ruota attorno ad un asse passante per il suo centro di massa, con
momento d’inerzia IG. Si può allora dimostrare che se lo stesso corpo ruota attorno ad un asse
parallelo al precedente e da esso distante d, si può calcolare il nuovo momento d’inerzia in funzione
di IG, come espresso dal teorema di Huygens-Steiner:
I=IG+md2
In questo esperimento verificheremo tale teorema, almeno per ciò che riguarda un disco che ruota
attorno ad un asse parallelo al suo asse longitudinale.
Attrezzatura necessaria
-
Piattaforma Rotante (ME-8951).
Puleggia a basso attrito con astina (da ME-8953).
Rocchetto di filo inestensibile (da ME-8952).
Fototraguardo (ME-9498A).
Masse calibrate e portamasse (tipo ME-9348 o ME-8967 PASCO® Scientific)
Disco e anello della piattaforma rotante (da ME-8952).
Adattatore per il fissaggio del disco alla piattaforma rettangolare (da ME-8952).
Procedimento
1.
2.
3.
4.
Assemblate la piattaforma rettangolare, il fototraguardo e la puleggia.
Effettuate le operazioni di messa in piano.
Caricate il portamasse, avvolgete il filo e lasciate cadere liberamente il portamasse.
Effettuate una raccolta dati (velocità angolare), terminandola quando il porta-masse sta per
raggiungere il punto più basso della sua traiettoria.
5. Montate l’adattatore alla piattaforma rettangolare, fissandolo ad una distanza di ~15 cm dal
centro della piattaforma stessa.
6. Montate il disco all’adattatore, utilizzando il foro centrale longitudinale. Fate attenzione a
inserirlo con l’estremità del foro provvista di cuscinetto a sfere posta verso l’alto, in modo che il
disco non possa ruotare attorno al proprio centro di massa.
7. Caricate il portamasse, avvolgete il filo e lasciate cadere liberamente il portamasse.
8. Effettuate una raccolta dati, terminandola quando il porta-masse sta per raggiungere il punto più
basso della sua traiettoria.
9. Spostate ora l’adattatore, e con esso il disco, in una posizione più lontana dal centro della
piattaforma rettangolare. Tornate al punto 5.
10. Tornate al punto 4, montando questa volta il disco con il cuscinetto a sfere centrale verso il
basso: ora il disco può ruotare liberamente attorno al proprio centro di massa.
19
Discussione
Interpolando linearmente le velocità angolari misurate si ottengono le accelerazioni angolari
dell’equipaggio mobile senza disco, I0, e con il disco, Itot: calcolate quello del disco, I, come
differenza Itot-I0.
Quando il disco non può ruotare liberamente attorno al proprio centro di massa accade che un suo
punto, a distanza d’ dal centro di massa stesso, traccia una circonferenza di raggio d+d’: si può
allora dimostrare matematicamente che il momento d’inerzia totale è dato proprio dall’espressione
del teorema di Huygens-Steiner. Nel secondo caso il disco ruota liberamente attorno al centro di
massa: un suo punto perciò, durante una rotazione completa del sistema, traccia una curva
mantenendosi ad una distanza dal centro del sistema che varia tra d-d’ e d+d’. Si può dimostrare che
il momento d’inerzia del sistema in questo caso è I=md2.
I valori di I che si ricavano dalle accelerazioni angolari tramite la formula:
I=
rm din (g − rα )
α
dove r è il raggio interno della gola utilizzata della puleggia assiale.
Tali valori possono essere, quindi, confrontati con quelli teorici appena enunciati, tenendo conto,
nel caso del disco che ruota attorno al proprio centro di massa, dell’errore aggiuntivo derivante
dall’attrito del cuscinetto a sfere del disco.
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Esperimento 5: La forza centripeta
Il sistema ME-8953 fornisce un metodo efficace per misurare l’intensità della forza centripeta
subita da un punto materiale in moto rotatorio, in funzione della distanza dal centro di rotazione,
della sua massa e della sua velocità angolare.
Attrezzatura necessaria
-
Piattaforma Rotante (ME-8951).
Puleggia a basso attrito con morsetto di fissaggio (da ME-8952).
Sostegni e massa per le forze centripete (da ME-8952)
Rocchetto di filo inestensibile (da ME-8952).
Fototraguardo (ME-9498A).
Masse calibrate e portamasse (tipo ME-9348 o ME-8967 PASCO® Scientific)
Procedimento
1. Assemblate l’apparato con la piattaforma rettangolare e il fototraguardo.
2. Effettuate le operazioni di messa in piano.
3. Montate alla piattaforma i due sostegni per le forze centripete, fissando la puleggina del
sostegno centrale al foro superiore.
4. All’estremità del braccio della piattaforma, su cui è montato il sostegno laterale, fissate la
puleggia a basso attrito tramite il suo morsetto.
5. Appendete la massa cilindrica, tramite il suo gancino centrale, al filo del sostegno laterale.
6. Fate passare il filo, proveniente dal dischetto indicatore, sotto la puleggina del sostegno centrale
e fissatelo al gancino laterale interno della massa.
7. Spostate il supporto della molla nella posizione più bassa.
8. Legate un altro pezzo di filo al gancino laterale esterno della massa e fissate il portamasse
all’altra estremità. Quindi fate passare il filo sopra la puleggia all’estremo del braccio e lasciate
pendere il portamasse verso il suolo.
9. Ponete sul portamasse un po’ di peso, in modo che la massa cilindrica si sposti verso l’esterno
della piattaforma. Annotate il valore della massa traente totale (masse e portamasse)
10. Alzate il supporto della molla, finché la tensione di quest’ultima equilibra la forza peso traente.
Potete verificare la “verticalità” della massa cilindrica, ponendovi di fronte al sostegno centrale
e osservando con un solo occhio: quando le due porzioni del filo di sostegno sono allineate tra
loro e con la riga verticale del sostegno si è nella condizione desiderata, senza grossi errori di
parallasse.
11. Spostate il riferimento finché l’indicatore coincide con il suo foro centrale.
12. Togliete il portamasse e il suo filo.
13. Cominciate la raccolta dati (può bastare anche solo l’opzione monitor, senza registrazione)
14. Ponete in rotazione manualmente l’equipaggio mobile, facendo attenzione a non porre le mani
tra le estremità del fototraguardo.
15. Accelerate finché osservate di nuovo l’indicatore coincidere con il foro del riferimento. In
questo momento la forza centripeta ha valore eguale alla forza peso utilizzata in precedenza:
annotate il valore della velocità angolare.
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16. Tornate al punto 8 utilizzando una forza traente diversa (più o meno peso sul portamasse). Fate
questo per quattro o cinque pesi diversi, in modo da osservare la velocità angolare necessaria a
equilibrare forza conosciuta.
17. Spostate il sostegno laterale lungo la piattaforma rettangolare e tornate al punto 8. Fate questo
per almeno quattro diverse posizioni, utilizzando un unico valore di forza traente per ogni
posizione (tranne che, naturalmente, per la prima, come visto al punto 16).
18. Aggiungete prima un disco e poi il secondo alla massa cilindrica e tornate al punto 8. Fate
questa parte dell’esperimento per una posizione e per un valore di forza traente.
Discussione
Un corpo posto in moto circolare risente di un’accelerazione che può essere in generale scomposta
vettorialmente lungo due direzioni perpendicolari, di cui una diretta verso il centro di rotazione,
detta centripeta ac. Si ricava analiticamente che tale componente ha valore rω2, dove r è il raggio
della traiettoria circolare e ω la velocità angolare del corpo. Se il corpo ha massa m, risente di una
forza centripeta che vale, quindi:
Fc=mrω2
Utilizzando le misure di velocità angolari nelle tre fasi dell’esperimento cercate le leggi di
proporzionalità tra tale quantità e la forza traente, la distanza dal centro di rotazione e la massa del
corpo. Infine si possono confrontare i risultati ottenuti, tenendo conto delle fonti di errore, con i
calcoli fatti utilizzando la relazione teorica.
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Esperimento 6: Conservazione del momento angolare di masse puntiformi
In meccanica si definisce momento angolare di un punto materiale di massa m, nella posizione
P, rispetto ad un punto O nello spazio, detto polo, la quantità:
=
×m
Si può dimostrare analiticamente che, se la risultante dei momenti delle forze agenti sul punto,
calcolati rispetto allo stesso polo, è nulla allora è una costante del moto.
Si dimostra che, se il punto ruota con velocità e il vettore
è complanare a , allora
L=Iω
dove I è il momento d’inerzia rispetto a
e ω la velocità angolare.
In questo esperimento metteremo alla prova il risultato teorico osservando se, in una situazione di
momento delle forze nullo, variando la distanza della massa dal polo, il momento angolare si
conserva.
Attrezzatura necessaria
-
Piattaforma Rotante (ME-8951).
Una delle masse quadrate fornite con la piattaforma.
Puleggia a basso attrito con astina (da ME-8953)
Rocchetto di filo inestensibile (da ME-8952)
Fototraguardo (ME-9498A)
Masse calibrate e portamasse (tipo ME-9348 o ME-8967 PASCO® Scientific)
Sostegno centrale per le forze centripete (da ME-8952)
Procedimento
1. Assemblate la piattaforma rotante, il fototraguardo e la puleggia a basso attrito.
2. Assemblate il sostegno centrale per le forze centripete, senza il supporto della molla e con la
puleggina montata al foro inferiore. Fissate il sostegno al centro dell’apparato.
3. Inserite il dado quadrato di una vite di fondo corsa nella fenditura longitudinale centrale della
piattaforma rotante e fissatelo all’altezza dei 5 cm. Inserite poi, sul medesimo braccio, una
massa quadrata, con il lato forato rivolto verso l’interno e senza fissarla alla piattaforma. Infine
inserite e fissate la seconda vite di fondo corsa, all’altezza dei 20 cm.
4. Effettuate le operazioni di messa in piano.
5. Caricate il portamasse, avvolgete il filo e lasciate cadere liberamente il portamasse.
6. Effettuate una raccolta dati, terminandola quando il porta-masse sta per raggiungere il punto più
basso della sua traiettoria. Fate questa misura per le due posizioni estreme della massa, contro le
viti fondo corsa, e misurate quindi i relativi momenti d’inerzia.
7. Togliete il portamasse, quindi togliete il filo che proviene dalla puleggia coassiale, o
avvolgetelo totalmente alla gola utilizzata, in modo che non disturbi la successiva rotazione
libera dell’equipaggio mobile.
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8. Tagliate circa 50 cm di filo dal rocchetto e legatene un’estremità alla massa quadrata,
utilizzando il foro laterale.
9. Posizionate la massa quadrata contro il fondo-corsa esterno
10. Fate poi passare il filo sotto la puleggina del sostegno centrale, dentro il foro del riferimento e
tenetelo in tensione tirandolo leggermente verso l’alto.
11. Ponete in rotazione manualmente l’equipaggio mobile.
12. Cominciate la raccolta dati.
13. Tirate verso l’alto il filo, facendo si che la massa si sposti fino ad appoggiarsi al fondo-corsa
interno. Dovete tirare in modo uniforme e con decisione, in modo che l’intero spostamento
avvenga nel minor tempo possibile, mantenendo stabile l’apparato.
14. Terminate la raccolta dati.
15. Riportate la massa in posizione esterna e tornate al punto 11, facendo tre-quattro misure, al fine
di diminuire gli errori sperimentali.
Discussione
Dalla prime due misure si ottengono i momenti d’inerzia dell’apparato Ie e Ii, corrispondenti,
rispettivamente, alle posizioni esterne ed interne della massa quadrata.
Dalla terza misura, mediando i tre-quattro valori di velocità angolari precedenti allo spostamento e i
tre-quattro seguenti, si ottengono le velocità angolari ωe e ωi, da qui si ricavano i rispettivi momenti
angolari come: Le=Ieωe e Li=Ii ωi: si osservi allora se, entro gli errori sperimentali, tali valori sono
eguali.
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Esperimento 7: Conservazione del momento angolare di dischi e anelli
Si può dimostrare come la legge di conservazione del momento angolare si mantiene valida anche
per sistemi composti da N punti materiali e, utilizzando gli strumenti del calcolo, per corpi continui
in rotazione attorno ad un asse. In questo esperimento verificheremo la conservazione del momento
angolare di un sistema formato da un disco e un anello rigidi. Questo esperimento utilizza la misura
dei momenti d’inerzia del disco , Id, e del sistema anello più disco, Itot=Id+Ia a cui è dedicato
l’esperimento 3, a cui si rimanda per eventuali dubbi e delucidazioni.
Attrezzatura necessaria
- Piattaforma Rotante (ME-8951).
- Fototraguardo (ME-9498A)
- Disco e anello (da ME-8953)
Procedimento
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Assemblate l’apparato con la piattaforma rotante e il fototraguardo.
Mettete in piano l’apparato.
Smontate la piattaforma rettangolare.
Montate direttamente il disco, utilizzando il foro centrale (asse di rotazione longitudinale), in
modo che la sua scanalatura concentrica sia rivolta verso l’alto.
Fate ruotare manualmente il disco, tenendo l’anello sospeso a pochi millimetri sopra di esso, in
modo che il suo bordo inferiore coincida con la scanalatura concentrica del disco.
Mentre il disco ruota liberamente cominciate a raccogliere dati.
Lasciate cadere l’anello sul disco, in modo che il bordo inferiore dell’anello entri nella
scanalatura del disco.
Terminate la raccolta dati.
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Discussione
Quando l’anello collide col disco comincia immediatamente a ruotare senza scivolare, a causa
dell’attrito tra le superfici di contatto: tale situazione è l’equivalente rotazionale dell’urto anelastico
normalmente studiato nei moti rettilinei. Oltre alla verifica empirica della legge di conservazione
del momento angolare è possibile allora calcolare l’energia cinetica dissipata durante l’urto,
esprimendo l’energia cinetica come:
Ec =
1 2
Iω
2
Prima dell’urto il momento angolare è dovuto interamente alla rotazione del disco, mentre dopo
dalla rotazione del sistema anello e disco.
È immediata la verifica della conservazione del momento angolare, ovvero se:
I d ω i = I tot ω f
Infine si calcoli l’energia dissipata come:
Ecdiss =
1
1
I d ω i2 − I tot ω 2f
2
2
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