Metodi Statistici per l’Ingegneria - A.A. 2011/12 Traccia appello scritto del 17/2/12
Cognome
Nome
Matricola
1)
Si attraversa il passaggio a livello non appena entrambi i treni sono passati, quindi si aspetta per un tempo T =
max{X,Y}. La probabilità di aspettare un tempo t é pari alla distribuzione FT(t) = P(T,t) = P(X<t, Y<t) per indip =
P(X<t) P(Y<t) = essendo esponenziali = (1-e-t0.2)(1-e-t0.4).
Se si aspetta non + di 2 minuti vuol dire che T<2, per cui FT(2) = (1-e-0.4)(1-e-0.8) = 0.181.
Se si aspetta almeno 10 minuti é il caso in cui T>10, per cui cerco 1- FT(10) = 1 - (1-e-2)(1-e-4) =1-0.06 = 0.94.
2)
Venti numeri razionali, generati casualmente, compresi nell’intervallo [0,100] vengono arrotondati all’intero più vicino.
Assumendo che gli errori di arrotondamento siano indipendenti e uniformemente distribuiti in (-½ , ½ ), indichiamo con
S la somma dei numeri dopo l’arrotondamento, e con V la somma dei numeri originali, si calcoli la probabilità che S
differisca da V per più di 3.
Per ogni numero ni, il suo arrotondamento e’ Round(ni) = ni + i, dove i per hp é uniforme in (-½ , ½ ), La differenza
delle somme, Δ = (S – V) = Σi Round(i) - Σi ni = Σi i e’ esattamente la somma degli errori. Indichiamo con Δ tale
numero.
Per il teorema del limite centrale, Δ é distribuita normalmente, con media Δ = 20, dove é la media della popolazione
di provenienza degli i, cioe’ 0, e con varianza 202, dove 2 é la varianza della popolazione di provenienza, pari a ()2/12 = 1/12 essendo le VA uniformi in (,)=(-½ , ½ ).
Essendo Δ N(0, 5/3), cerco P(-3< Δ <3) = Φ(3/(5/3) - Φ(-3/(5/3)) ~ Φ(1.34) - Φ(-1.34) ~ 20.91-1 = 0.82
3)
Sia A l’evento “il campione estratto ha q palline nere su n” e B l’evento “la j-esima pallina estratta é nera.
Cerco P(B|A) = P(A|B) P(B)/P(A). Si calcolano, nelle due ipotesi con/senza reimbussolamento, i 3 valori della formula.
Estrazione con reimbussolamento:
sono n eventi indipendenti ripetuti nella stessa situazione, si usa la distribuzione binomiale. Ogni pallina estratta ha
probabilità di essere nera p= K/M.
P(A) = (Kq(1-K)n-q/Mn) n
P(B) = K/M
q
P(A|B) = (una pallina é decisa) = (Kq-1(1-K)n-q/Mn-1) n 1
q 1
Da cui P(B|A)= q/n.
Estrazione senza reimbussolamento:
le estrazioni si modellano con la distribuzione ipergeometrica.
P(A) = K M K
q nq
M
n
P(B) = K (M-1)! / M! = K/M
P(A|B) = K 1 M K
q 1 n q
M 1
n 1
Per calcolare P(B), utilizzo la forma del rapporto casi favorevoli/possibili per gli spazi equidistribuiti, in riferimento a
tutte le sequenze possibili di estrazione di M palline senza reimbussolamento, cioe’ le M! permutazioni, in cui sono nere
le palline da 1 a K e le altre bianche. Dato un nome alla pallina nera che estraggo per j-esima (ho K scelte) ne restano
M-1 da posizionare nella sequenza, per cui P(B)= K (M-1)!/M! = K/M.
Anche in questo caso, svolti i calcoli, P(B|A)= q/n.
Si consulti il libro di testo per le risposte ai quesiti 4) (pg 182 per la definizione di processo di Poisson) e 5) (a pag 153
si veda l’approx di una VA binomiale con una poissoniana, e a pag 210 per l’approx con una normale.
