Esercitazioni propedeutiche di Matematica

Esercizi propedeutici di matematica per formazione primaria Ana Millán Gasca e Luigi Regoliosi ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA PER IL CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA Ana Millán Gasca Luigi Regoliosi La lettura e lo studio del libro Pensare in matematica da parte degli studenti del corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria (in particolare i capitoli 1 a 5, 7, 8 e 11) richiede soltanto il livello di matematica elementare della scuola secondaria di primo grado. In questo documento si propone una collezione di esercizi scelti per indirizzare un ripasso propedeutico ai contenuti del libro. Gli esercizi, divisi in tre sezioni, servono anche a individuare le proprie lacune, in modo tale da poter consultare utilmente un manuale scolastico (un testo della scuola secondaria di primo grado costituisce un materiale fondamentale per gli insegnanti della scuola primaria). Gli esercizi dell’ultima sezione sono propedeutici anche allo studio del capitolo 6 e i primi due paragrafi del capitolo 9. A. Concetti e proprietà di base del sistema dei numeri della matematica 1) a) Tracciare una retta orizzontale. Scegliere un punto a piacere e denotarlo con la lettera maiuscola O. Scegliamo come orientamento positivo quello verso destra. Scegliere un punto P a destra di O e considerare la lunghezza di OP come unità di misura. b) Rappresentiamo ora un numero razionale a con un punto A tale che la lunghezza di OA sia data da a. Segnare sulla retta il punto R che rappresenta il numero 3 e il punto R′ che rappresenta il numero –3. Quale punto rappresenta il numero zero? c) Rappresentare geometricamente sulla retta i numeri seguenti: 4, 7/2, – 6, –1/2, 13/3, –1,5, 6, 10/4, 1/6, 1 2) Rappresentare geometricamente, usando una retta verticale: 0, 300, 500, 125, 250, 475 3) Rappresentare su una retta i numeri 100, 300, 150, 75/2, – 1000, 483/4. 4) Per frequentare un corso di nuoto devo pagare 80 euro di iscrizione; la rata mensile è di 50 euro. Quanto costa frequentare il corso da settembre a giugno? Calcolare prima a mente; poi scrivere un’espressione aritmetica. Scrivere, infine, un’espressione che permetta di calcolare la spesa a seconda del numero di mesi di frequenza. 5) Eseguire i calcoli: 3 × 7 + 4; 12 + 41× 7; 3 × ( 7 + 4 ); ( 35 + 9 ) + 64 × 7 − 10 : 5 1 Esercizi propedeutici di matematica per formazione primaria 6) 7) 8) 9) Ana Millán Gasca e Luigi Regoliosi Rappresentare sulla circonferenza i seguenti valori di tempo (in ore): le 4:00, le 17:00, le 12:00, le 9:00, le 21:00, le 14:00 Scrivere a parole i seguenti numeri: 1850, 226, 21, 68,11° 40°, 101° Inventare un problema elementare che si risolva con l’espressione aritmetica ( 80 + 50 ) × 10 (nota: confrontare con l’esercizio 4). Calcolare mentalmente 13 + 218 196.000 + 422.000 98 + 67 ( 8 × 7 ) × 25 273 – 139 168 : 3 il 75% di 400 43 + (38 + 17) 52 – 26 – 20 + 8 + 7 –11 il 20% di 1400 10) Sono le due del mattino. Tra otto ore devo prendere un treno che arriva a Roma in cinque ore: a che ora sarò a Roma? 11) Un camion dell’esercito può trasportare 36 soldati. Quanti camion occorrono per trasportare 1128 soldati dalla caserma al campo di addestramento? 12) Stimare e verificare la stima con la calcolatrice: 257 + 576 60 × 19 300 : 21 256 : 33 430 × 11 13) Eseguire le seguenti divisioni: a) 142 : 6; b) 2450 : 6. 14) Scrivere centoquarantadue e duemila quattrocentocinquanta in cifre. Calcolare la somma e la differenza e scrivere i numeri ottenuti in lettere. Fare la prova del valore ottenuto per la differenza. 15) Scrivere i quattro numeri ottenuti nell’esercizio precedente in numeri romani. Sono numeri naturali? 16) Calcolare a − ( b − c ) , ( a − b ) − c i)
con a = 96, b = 57, c = 23 ii)
con a = 104, b = 10, c = 220 17) Eseguire in colonna: 1256 × 24 Che proprietà aritmetica si applica nell’algoritmo in colonna della moltiplicazione? Trascrivere il numero ottenuto con un vocabolo numerale. 18) Calcolare e rappresentare sulla retta i numeri seguenti: 4 × 3 + 1; 4 × ( −3) + 1; 4 × ( −6 ) + 1; 4 × 6 + 1; 4 × 5 + 1. Rappresentare sulla retta altri numeri che diano resto 1 nella divisione per 4. 19) Sia n un numero naturale qualsivoglia. Quali sono i resti che si possono ottenere nella divisione per 8? 2 Esercizi propedeutici di matematica per formazione primaria Ana Millán Gasca e Luigi Regoliosi 20) Calcolare il quoziente della divisione 2563 : 44 21) Sommare i seguenti intervalli di tempo (frazioni di ora) ed esprimere il risultato con una frazione: 0:30 + 0:20 + 0:45 + 0:15 + 0:20 22) Calcolare: i) ( −9 ) × 2 + (−3) × ( −6 ) − 7 × 2 iv) 13 × ( −5 ) − ( 6 × 7 − 36 ) ii) ( −10 ) × ( −15 ) + ( −10 ) × 13 v) ⎡⎣ 2 − (13 × 9 − 7 ) + ( −14 ) × ( −9 ) ⎤⎦ iii) 45 : ( −9 ) vi) ( −75 ) : ( −3) Ordinare i sei numeri ottenuti da maggiore a minore. 23) Calcolare: 1 1 1
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 2 3
a) + + + 2 d) ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ − ⋅ ⎝ 3⎠ ⎝ 5 ⎠ 7 4
5 3 10
1
1⎞ ⎛ 1
⎛
⎞
b) 2 : e) 7 ⋅15 − ⎜ 6 − ⎟ + ⎜ − 4 ⎟ 3
⎝
⎠
4⎠ ⎝ 3
7 6 1
c) × −
3 5 20
24) Scrivere i seguenti numeri frazionari in forma posizionale decimale: a) 3/8; b)157/50; b) 22/7. Ordinarli da maggiore a minore. 25) Supponiamo che i tre numeri frazionari dell’esercizio 23 indichino frazioni di ora: esprimere tali numeri, se possibile, in ore, minuti e secondi (forma posizionale sessagesimale). 26) Scrivere le regole per il calcolo delle espressioni aritmetiche con le quattro operazioni (note come “gerarchia delle operazioni” oppure “sistema operativo algebrico”) e sull’uso delle parentesi. B. Idee e proprietà di base della geometria elementare. 1) Spiegare la differenza tra assioma e teorema, anche attraverso esempi della geometria euclidea. 2) Disegnare due rette parallele tagliate da una trasversale ed indicare le coppie angoli uguali (corrispondenti, alterni interni ed esterni, coniugati interni ed esterni). 3) Individuare una differenza fondamentale tra i triangoli e i quadrilateri (non il numero dei lati!). 4) Dimostrare che la somma degli angoli di un triangolo è uguale a un angolo piatto. 5) Calcolare la somma degli angoli interni di un poligono di 3, 4, 5, …, n lati. 3 Esercizi propedeutici di matematica per formazione primaria Ana Millán Gasca e Luigi Regoliosi 6) Calcolare il numero di diagonali di un poligono di 3, 4, 5, …, n lati. 7) (a) Quale fra le seguenti terne di misure forma un triangolo? (7, 8, 10), (12, 6, 10), (9, 4, 4) (b) Date tre lunghezze a, b, c, si può costruire un triangolo solo se …? 8) Disegnare, utilizzando la riga e il compasso, il triangolo di lati 8 cm, 6 cm e 4 cm. 9) Classificare i triangoli prima rispetto ai lati e poi rispetto agli angoli. 10) Classificare i quadrilateri. Il quadrato è un rettangolo? Il rombo è un quadrato? Il rettangolo è un parallelogramma? 11) Definire cos’è: un segmento, un asse, una bisettrice, un’altezza, una retta perpendicolare (a un’altra retta), una retta parallela (a un’altra retta), un angolo. 12) Calcolare l’area di un trapezio qualsiasi utilizzando solamente la formula per il calcolo dell’area di un triangolo. 13) Rappresentare nel piano cartesiano: a) il punto di coordinate (2,6) b) il segmento AB di estremi A (3,4) e B(3,0) e il segmento CD di estremi C (1,3) e D (4,7). Calcolare anche la lunghezza dei due segmenti disegnati. c) la retta r di equazione y = 2x + 1 14) Individuare l’equazione delle seguenti rette rappresentate nel piano cartesiano: a) asse x b) asse y c) bisettrice I-­‐III quadrante d) bisettrice II-­‐IV quadrante e) retta parallela all’asse y passante per il punto (3,0) Le dimensioni di un rettangolo sono rispettivamente 12 cm e 5 cm. Calcolare l’area di un rettangolo di dimensioni doppie. Che rapporto c’è tra le aree dei due rettangoli? 15) Disegnare su un foglio a quadretti considerando il lato del quadretto pari a 1 cm: a) almeno 4 rettangoli con area 24 cm2. b) almeno 4 rettangoli con perimetro 28 cm. 16) Il perimetro di un rettangolo è 80 cm. Se la base misura 18 cm, quanto misurano l’altezza e l’area? 17) Calcolare il perimetro di un rettangolo la cui altezza è 6 cm e l’area 72 cm2. Come risulta l’altezza rispetto alla base? 18) L’altezza di un rettangolo misura 7 cm. Calcolare la misura del perimetro e dell’area sapendo che la base è tripla dell’altezza. 19) Ho un quadrato di lato 8 cm. Congiungendo i punti medi dei lati ho un altro quadrato; congiungendo i punti medi del nuovo quadrato ho ancora un terzo quadrato, e così via… Come risulta l’area del secondo quadrato rispetto all’area del primo? E quella del terzo? E del quarto? 4 Esercizi propedeutici di matematica per formazione primaria Ana Millán Gasca e Luigi Regoliosi 20) Se due triangoli hanno le rispettive basi una doppia dell’altra, come devono essere le altezze affinché i triangoli risultino equivalenti? 21) Quali figure, fra le seguenti coppie, sono equivalenti? 22) Quali figure, fra le seguenti, hanno la stessa area, risultano cioè equivalenti? 23) Ogni triangolo è la metà di un rettangolo. Come si fa a vedere che il triangolo AEC è la metà di un rettangolo? Non è certo la metà del rettangolo ABCD: è più piccolo della metà di questo rettangolo; e allora? 24) Disegnare nel piano cartesiano le rette di equazioni: y = 3x y = 3x + 3 1
y = − x 3
y = – 3x + 3 5 Esercizi propedeutici di matematica per formazione primaria Ana Millán Gasca e Luigi Regoliosi C. Origine e significato della simbologia algebrica1, applicazione alla geometria euclidea e semplici esempi di funzione (formule, rappresentazione geometrica sul piano cartesiano). 1) Scrivere simbolicamente: a) il doppio di un numero b) l’area del quadrato il cui lato ha una misura (in cm) data da un numero scelto a piacere c) il successivo di un numero naturale d) la metà di un numero e) il risultato della divisione di un numero scelto a piacere entro un altro numero scelto a piacere f) l’area di un rettangolo, tale che il lato maggiore misura 2 cm più della misura del lato minore. g) un multiplo di 7 h) un numero intero qualsivoglia che, nella divisione per 7, da resto 3. i) un decimo di un numero scelto a piacere j) la metà del prodotto di un numero naturale qualsivoglia per il suo successivo. k) la somma di due numeri, di cui il secondo è il quadruplo del primo. l) un numero dispari 2) Scrivere simbolicamente le seguenti condizioni: a) l’ordinata di un punto sul piano è uguale al triplo dell’ascissa b) un numero verifica che il suo triplo sommato a 3/2 è uguale a 1/5. c) Un numero verifica che il suo quadrato più tre volte il numero è uguale a – 2. d) il perimetro di un cerchio è 18 cm. e) Il perimetro di un rettangolo è 20. f) L’ordinata di un punto sul piano è uguale al prodotto dell’ascissa per 1/6 più 4. g) La somma di due numeri è 14 e il loro prodotto 48. 3) Rappresentare geometricamente: a)
b)
( x + y )2 ( x − y )2 1 Sulle origini dell’algebra (idea di incognita e di equazione, simbologia algebrica) si veda Pensare in matematica, cap. 8, pp. 250-­‐51 e pp. 345 ss. 6 Esercizi propedeutici di matematica per formazione primaria 4) Calcolare: a) x 2 ( 3x + 1) Ana Millán Gasca e Luigi Regoliosi 2
5
⎛
⎞
d) x + 6 ⎜ 4x − + x ⎟ ⎝
3
3 ⎠
n ( n + 1)
e) + n + 1 2
b) ( a − 6 ) ( 3a − 2 ) 1
2
c) a + a 5
3
5) Rappresentare graficamente l’andamento dei valori dell’importo dovuto in funzione del numero di mesi dell’esercizio 4 della sezione A. Come risultano i punti ottenuti? A quale insieme numerico appartengono i valori possibili dell’importo o del numero dei mesi?(N. B. Si tratta della funzione data dalla formula f (x) = 80 + 50x ). 6) Trovare la formula per calcolare la misura del perimetro di un quadrato in funzione della misura del suo lato e rappresentare graficamente l’andamento dei dati numerici. A quale insieme numerico appartengono i valori possibili delle misure? 7) A dieci km di distanza dal paese, Filettino, si trova la partenza di una gara di marcia per bambini. Per fare una previsione dell’andamento della gara, scrivere una formula per calcolare la distanza dal paese in funzione del tempo, supponendo una velocità costante di 6 km/h. Rappresentare graficamente la funzione ottenuta, indicando due posti di ristoro a 20 minuti circa dalla partenza e a mezz’ora circa dalla partenza. Il percorso totale è di 4 km. [N.B. Non confondere la retta nel piano che rappresenta graficamente la funzione con una rappresentazione sulla retta del percorso della gara] 8) Calcolare una formula per ottenere l’area dei rettangoli di perimetro 40 cm al variar della lunghezza del lato. Rappresentare graficamente la funzione ottenuta sul piano. Che figura si ottiene? 9) Supponiamo che la tariffa prevista per i taxi per percorsi extraurbani non oltre i 60 km nella città di Titlana è di 6 euro e di 2 euro per ogni kilometro percorso. Il taxi ha installato un tassametro che legge il numero del contakilometri (arrotondando per eccesso) e produce un numero che indica la somma dovuta. Quale la formula che applica il tassametro? Rappresentare graficamente l’andamento della spesa in funzione della distanza percorsa. 10) Trovare le coordinate dei punti evidenziati sulla linea del grafico. Quale potrebbe essere l’equazione di questa curva? 7 Esercizi propedeutici di matematica per formazione primaria Ana Millán Gasca e Luigi Regoliosi 11) Inventare una situazione della vita quotidiana che coinvolga l’idea di proporzionalità. Trovare la formula e rappresentare graficamente la funzione ottenuta. 12) Inventare una situazione della vita quotidiana che coinvolga l’idea di dipendenza lineare. Trovare la formula e rappresentare graficamente la funzione ottenuta. 13) Quale è la formula generale dell’equazione di una retta? 14) Risolvere i sette problemi determinati dalle condizioni dell’esercizio 2 di questa sezione C. Per ogni condizione, identificare prima l’incognita o le incognite, discutendo se si tratta di numeri (e di quale tipo di numeri) o di enti geometrici. Discutere la procedura seguita per arrivare a una soluzione, e se è stata usata la rappresentazione geometrica. 8