matematica di base – 2

F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
MATEMATICA DI BASE – 2
Francesco Oliveri
Paola Staglianò
Dipartimento di Matematica, Università di Messina
31 Agosto 2010
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F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
MATEMATICA DI BASE
MODULO 2
Espressioni Algebriche
Equazioni di I e II grado
Disequazioni
Sistemi Lineari
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Espressioni Letterali
Espressioni aritmetiche come
3
1 + 21
2 − 0.54
hanno la loro naturale estensione nelle espressioni letterali, in cui gli
operatori aritmetici combinano numeri e lettere, ad es.:
3−4/5
a + b2
2 − b4 + c
Le lettere che compaiono in un’espressione letterale possono avere due
significati: costanti, generalmente indicate dalle prime lettere dell’alfabeto
(a, b, c, . . .), o variabili, indicate dalle ultime lettere dell’alfabeto (x, yuniversity-logo
, z, t).
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Espressioni Letterali
Espressioni aritmetiche come
3
1 + 21
2 − 0.54
hanno la loro naturale estensione nelle espressioni letterali, in cui gli
operatori aritmetici combinano numeri e lettere, ad es.:
3−4/5
a + b2
2 − b4 + c
Le lettere che compaiono in un’espressione letterale possono avere due
significati: costanti, generalmente indicate dalle prime lettere dell’alfabeto
(a, b, c, . . .), o variabili, indicate dalle ultime lettere dell’alfabeto (x, yuniversity-logo
, z, t).
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Identità
Una identità è una uguaglianza tra due espressioni verificata per
qualunque valore assegnato alle lettere in esse contenute e per cui le
espressioni hanno significato.
Esempi di identità
(a − b)(a + b) = a2 − b2 ,
1 − a5 = (1 − a)(1 + a + a2 + a3 + a4 ),
(x + y )3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ,
(x 2 − y 2 )2 = x 4 − 2x 2 y 2 + y 4 .
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Identità
Una identità è una uguaglianza tra due espressioni verificata per
qualunque valore assegnato alle lettere in esse contenute e per cui le
espressioni hanno significato.
Esempi di identità
(a − b)(a + b) = a2 − b2 ,
1 − a5 = (1 − a)(1 + a + a2 + a3 + a4 ),
(x + y )3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ,
(x 2 − y 2 )2 = x 4 − 2x 2 y 2 + y 4 .
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Equazioni
Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni verificata solo per
particolari valori (le soluzioni) assegnati ai simboli (le incognite) in esse
contenute e per cui le espressioni hanno significato.
Esempi di equazioni
3(x − 2) = x + 4,
x 2 − 5x = −6,
3
⇒
⇒
2
x + 11x = 6(x + 1)
x = 5;
x = 2 oppure x = 3;
⇒
x = 1 oppure x = 2 oppure x = 3.
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Equazioni
Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni verificata solo per
particolari valori (le soluzioni) assegnati ai simboli (le incognite) in esse
contenute e per cui le espressioni hanno significato.
Esempi di equazioni
3(x − 2) = x + 4,
x 2 − 5x = −6,
3
⇒
⇒
2
x + 11x = 6(x + 1)
x = 5;
x = 2 oppure x = 3;
⇒
x = 1 oppure x = 2 oppure x = 3.
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Soluzione di un’Equazione
Risolvere un’equazione significa determinare l’insieme delle soluzioni,
ovvero l’insieme dei valori che assegnati alle variabili, soddisfano
identicamente l’equazione. Una classificazione delle equazioni può
essere fatta in base all’esistenza e al numero delle soluzioni.
Un’equazione si dice:
determinata se ammette un numero finito di soluzioni:
x 2 − 14x + 24 = 0,
⇒
x = 2 oppure x = 12;
indeterminata se ammette infinite soluzioni:
x +y =1
⇒
y = 1 − x con x valore arbitrario, è soluzione;
impossibile se non ammette soluzioni.
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2
x +1=0
⇒
nessun numero reale può soddisfarla.
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Soluzione di un’Equazione
Risolvere un’equazione significa determinare l’insieme delle soluzioni,
ovvero l’insieme dei valori che assegnati alle variabili, soddisfano
identicamente l’equazione. Una classificazione delle equazioni può
essere fatta in base all’esistenza e al numero delle soluzioni.
Un’equazione si dice:
determinata se ammette un numero finito di soluzioni:
x 2 − 14x + 24 = 0,
⇒
x = 2 oppure x = 12;
indeterminata se ammette infinite soluzioni:
x +y =1
⇒
y = 1 − x con x valore arbitrario, è soluzione;
impossibile se non ammette soluzioni.
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⇒
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Soluzione di un’Equazione
Risolvere un’equazione significa determinare l’insieme delle soluzioni,
ovvero l’insieme dei valori che assegnati alle variabili, soddisfano
identicamente l’equazione. Una classificazione delle equazioni può
essere fatta in base all’esistenza e al numero delle soluzioni.
Un’equazione si dice:
determinata se ammette un numero finito di soluzioni:
x 2 − 14x + 24 = 0,
⇒
x = 2 oppure x = 12;
indeterminata se ammette infinite soluzioni:
x +y =1
⇒
y = 1 − x con x valore arbitrario, è soluzione;
impossibile se non ammette soluzioni.
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⇒
nessun numero reale può soddisfarla.
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Soluzione di un’Equazione
Risolvere un’equazione significa determinare l’insieme delle soluzioni,
ovvero l’insieme dei valori che assegnati alle variabili, soddisfano
identicamente l’equazione. Una classificazione delle equazioni può
essere fatta in base all’esistenza e al numero delle soluzioni.
Un’equazione si dice:
determinata se ammette un numero finito di soluzioni:
x 2 − 14x + 24 = 0,
⇒
x = 2 oppure x = 12;
indeterminata se ammette infinite soluzioni:
x +y =1
⇒
y = 1 − x con x valore arbitrario, è soluzione;
impossibile se non ammette soluzioni.
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⇒
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Soluzione di un’Equazione
Risolvere un’equazione significa determinare l’insieme delle soluzioni,
ovvero l’insieme dei valori che assegnati alle variabili, soddisfano
identicamente l’equazione. Una classificazione delle equazioni può
essere fatta in base all’esistenza e al numero delle soluzioni.
Un’equazione si dice:
determinata se ammette un numero finito di soluzioni:
x 2 − 14x + 24 = 0,
⇒
x = 2 oppure x = 12;
indeterminata se ammette infinite soluzioni:
x +y =1
⇒
y = 1 − x con x valore arbitrario, è soluzione;
impossibile se non ammette soluzioni.
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x +1=0
⇒
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Classificazione delle Equazioni
Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni
coinvolte:
1
equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche
e l’estrazione di radice:
polinomiali: x 3 − 3x + 4 = 0;
2
+1
fratte: xx−2
+ x 3 = 0;
√
irrazionali: x 3 − 1 = 5x;
2
equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti:
esponenziali: e2x+3 = 7;
logaritmiche: log(x + 1) − 1 = 0;
trigonometriche: sin(x) cos2 (x) − 2 sin(x) = 1.
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Classificazione delle Equazioni
Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni
coinvolte:
1
equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche
e l’estrazione di radice:
polinomiali: x 3 − 3x + 4 = 0;
2
+1
fratte: xx−2
+ x 3 = 0;
√
irrazionali: x 3 − 1 = 5x;
2
equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti:
esponenziali: e2x+3 = 7;
logaritmiche: log(x + 1) − 1 = 0;
trigonometriche: sin(x) cos2 (x) − 2 sin(x) = 1.
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Classificazione delle Equazioni
Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni
coinvolte:
1
equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche
e l’estrazione di radice:
polinomiali: x 3 − 3x + 4 = 0;
2
+1
fratte: xx−2
+ x 3 = 0;
√
irrazionali: x 3 − 1 = 5x;
2
equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti:
esponenziali: e2x+3 = 7;
logaritmiche: log(x + 1) − 1 = 0;
trigonometriche: sin(x) cos2 (x) − 2 sin(x) = 1.
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Classificazione delle Equazioni
Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni
coinvolte:
1
equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche
e l’estrazione di radice:
polinomiali: x 3 − 3x + 4 = 0;
2
+1
fratte: xx−2
+ x 3 = 0;
√
irrazionali: x 3 − 1 = 5x;
2
equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti:
esponenziali: e2x+3 = 7;
logaritmiche: log(x + 1) − 1 = 0;
trigonometriche: sin(x) cos2 (x) − 2 sin(x) = 1.
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Classificazione delle Equazioni
Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni
coinvolte:
1
equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche
e l’estrazione di radice:
polinomiali: x 3 − 3x + 4 = 0;
2
+1
fratte: xx−2
+ x 3 = 0;
√
irrazionali: x 3 − 1 = 5x;
2
equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti:
esponenziali: e2x+3 = 7;
logaritmiche: log(x + 1) − 1 = 0;
trigonometriche: sin(x) cos2 (x) − 2 sin(x) = 1.
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Classificazione delle Equazioni
Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni
coinvolte:
1
equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche
e l’estrazione di radice:
polinomiali: x 3 − 3x + 4 = 0;
2
+1
fratte: xx−2
+ x 3 = 0;
√
irrazionali: x 3 − 1 = 5x;
2
equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti:
esponenziali: e2x+3 = 7;
logaritmiche: log(x + 1) − 1 = 0;
trigonometriche: sin(x) cos2 (x) − 2 sin(x) = 1.
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Classificazione delle Equazioni
Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni
coinvolte:
1
equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche
e l’estrazione di radice:
polinomiali: x 3 − 3x + 4 = 0;
2
+1
fratte: xx−2
+ x 3 = 0;
√
irrazionali: x 3 − 1 = 5x;
2
equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti:
esponenziali: e2x+3 = 7;
logaritmiche: log(x + 1) − 1 = 0;
trigonometriche: sin(x) cos2 (x) − 2 sin(x) = 1.
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Classificazione delle Equazioni
Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni
coinvolte:
1
equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche
e l’estrazione di radice:
polinomiali: x 3 − 3x + 4 = 0;
2
+1
fratte: xx−2
+ x 3 = 0;
√
irrazionali: x 3 − 1 = 5x;
2
equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti:
esponenziali: e2x+3 = 7;
logaritmiche: log(x + 1) − 1 = 0;
trigonometriche: sin(x) cos2 (x) − 2 sin(x) = 1.
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Classificazione delle Equazioni
Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni
coinvolte:
1
equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche
e l’estrazione di radice:
polinomiali: x 3 − 3x + 4 = 0;
2
+1
fratte: xx−2
+ x 3 = 0;
√
irrazionali: x 3 − 1 = 5x;
2
equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti:
esponenziali: e2x+3 = 7;
logaritmiche: log(x + 1) − 1 = 0;
trigonometriche: sin(x) cos2 (x) − 2 sin(x) = 1.
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Equazioni di primo grado
Una equazione di primo grado (o lineare) nella sua forma canonica è
espressa dalla scrittura:
ax = b
dove a è detto il coefficiente, e b è il termine noto.
Soluzione di un’equazione di primo grado
Tre casi vanno distinti:
a 6= 0:
x=
b
a
è l’unica soluzione (equazione determinata);
a = 0, b = 0: l’equazione è indeterminata e ogni valore di x è
soluzione dell’equazione;
a = 0, b 6= 0; l’equazione è impossibile e non ha soluzioni.
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Equazioni di primo grado
Una equazione di primo grado (o lineare) nella sua forma canonica è
espressa dalla scrittura:
ax = b
dove a è detto il coefficiente, e b è il termine noto.
Soluzione di un’equazione di primo grado
Tre casi vanno distinti:
a 6= 0:
x=
b
a
è l’unica soluzione (equazione determinata);
a = 0, b = 0: l’equazione è indeterminata e ogni valore di x è
soluzione dell’equazione;
a = 0, b 6= 0; l’equazione è impossibile e non ha soluzioni.
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Equazioni di primo grado
Una equazione di primo grado (o lineare) nella sua forma canonica è
espressa dalla scrittura:
ax = b
dove a è detto il coefficiente, e b è il termine noto.
Soluzione di un’equazione di primo grado
Tre casi vanno distinti:
a 6= 0:
x=
b
a
è l’unica soluzione (equazione determinata);
a = 0, b = 0: l’equazione è indeterminata e ogni valore di x è
soluzione dell’equazione;
a = 0, b 6= 0; l’equazione è impossibile e non ha soluzioni.
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Equazioni di primo grado
Una equazione di primo grado (o lineare) nella sua forma canonica è
espressa dalla scrittura:
ax = b
dove a è detto il coefficiente, e b è il termine noto.
Soluzione di un’equazione di primo grado
Tre casi vanno distinti:
a 6= 0:
x=
b
a
è l’unica soluzione (equazione determinata);
a = 0, b = 0: l’equazione è indeterminata e ogni valore di x è
soluzione dell’equazione;
a = 0, b 6= 0; l’equazione è impossibile e non ha soluzioni.
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Equazioni di primo grado
Una equazione di primo grado (o lineare) nella sua forma canonica è
espressa dalla scrittura:
ax = b
dove a è detto il coefficiente, e b è il termine noto.
Soluzione di un’equazione di primo grado
Tre casi vanno distinti:
a 6= 0:
x=
b
a
è l’unica soluzione (equazione determinata);
a = 0, b = 0: l’equazione è indeterminata e ogni valore di x è
soluzione dell’equazione;
a = 0, b 6= 0; l’equazione è impossibile e non ha soluzioni.
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Data un’equazione di primo grado non in forma canonica, per risolverla è
necessario ridurla alla sua forma canonica e risolverla discriminando i tre
casi.
Attraverso quali operazioni possiamo trasformare un’equazione di primo
grado in forma canonica?
Definizione
Due equazioni sono equivalenti se tutte le soluzioni della prima equazione
lo sono anche della seconda, e viceversa.
Per ridurre un’equazione lineare in forma canonica dobbiamo usare
operazioni che non fanno perdere soluzioni e che non ne introducano di
spurie. In tal modo l’equazione canonica finale è equivalente a quella di
partenza e le soluzioni dell’ultima sono le soluzioni di quella originale!
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Data un’equazione di primo grado non in forma canonica, per risolverla è
necessario ridurla alla sua forma canonica e risolverla discriminando i tre
casi.
Attraverso quali operazioni possiamo trasformare un’equazione di primo
grado in forma canonica?
Definizione
Due equazioni sono equivalenti se tutte le soluzioni della prima equazione
lo sono anche della seconda, e viceversa.
Per ridurre un’equazione lineare in forma canonica dobbiamo usare
operazioni che non fanno perdere soluzioni e che non ne introducano di
spurie. In tal modo l’equazione canonica finale è equivalente a quella di
partenza e le soluzioni dell’ultima sono le soluzioni di quella originale!
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Data un’equazione di primo grado non in forma canonica, per risolverla è
necessario ridurla alla sua forma canonica e risolverla discriminando i tre
casi.
Attraverso quali operazioni possiamo trasformare un’equazione di primo
grado in forma canonica?
Definizione
Due equazioni sono equivalenti se tutte le soluzioni della prima equazione
lo sono anche della seconda, e viceversa.
Per ridurre un’equazione lineare in forma canonica dobbiamo usare
operazioni che non fanno perdere soluzioni e che non ne introducano di
spurie. In tal modo l’equazione canonica finale è equivalente a quella di
partenza e le soluzioni dell’ultima sono le soluzioni di quella originale!
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Primo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ottiene una equivalente, aggiungendo o
togliendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa
espressione algebrica contenente o no l’incognita, purché quest’ultima
non compaia al denominatore.
Esempio
1
3x − 5 = x − 7;
2
3x − 5 + 5 = x − 7 + 5
3
3x − x = x − 2 − x
4
2x = −2
⇒
⇒
⇒
3x = x − 2;
2x = −2;
x = −1.
Regola
Dal primo principio di equivalenza deriva la regola del trasporto. In una
equazione, un termine può essere trasportato da un membro all’altro
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purché venga cambiato di segno.
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Primo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ottiene una equivalente, aggiungendo o
togliendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa
espressione algebrica contenente o no l’incognita, purché quest’ultima
non compaia al denominatore.
Esempio
1
3x − 5 = x − 7;
2
3x − 5 + 5 = x − 7 + 5
3
3x − x = x − 2 − x
4
2x = −2
⇒
⇒
⇒
3x = x − 2;
2x = −2;
x = −1.
Regola
Dal primo principio di equivalenza deriva la regola del trasporto. In una
equazione, un termine può essere trasportato da un membro all’altro
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purché venga cambiato di segno.
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Primo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ottiene una equivalente, aggiungendo o
togliendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa
espressione algebrica contenente o no l’incognita, purché quest’ultima
non compaia al denominatore.
Esempio
1
3x − 5 = x − 7;
2
3x − 5 + 5 = x − 7 + 5
3
3x − x = x − 2 − x
4
2x = −2
⇒
⇒
⇒
3x = x − 2;
2x = −2;
x = −1.
Regola
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Primo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ottiene una equivalente, aggiungendo o
togliendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa
espressione algebrica contenente o no l’incognita, purché quest’ultima
non compaia al denominatore.
Esempio
1
3x − 5 = x − 7;
2
3x − 5 + 5 = x − 7 + 5
3
3x − x = x − 2 − x
4
2x = −2
⇒
⇒
⇒
3x = x − 2;
2x = −2;
x = −1.
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equazione, un termine può essere trasportato da un membro all’altro
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Primo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ottiene una equivalente, aggiungendo o
togliendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa
espressione algebrica contenente o no l’incognita, purché quest’ultima
non compaia al denominatore.
Esempio
1
3x − 5 = x − 7;
2
3x − 5 + 5 = x − 7 + 5
3
3x − x = x − 2 − x
4
2x = −2
⇒
⇒
⇒
3x = x − 2;
2x = −2;
x = −1.
Regola
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equazione, un termine può essere trasportato da un membro all’altro
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Primo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ottiene una equivalente, aggiungendo o
togliendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa
espressione algebrica contenente o no l’incognita, purché quest’ultima
non compaia al denominatore.
Esempio
1
3x − 5 = x − 7;
2
3x − 5 + 5 = x − 7 + 5
3
3x − x = x − 2 − x
4
2x = −2
⇒
⇒
⇒
3x = x − 2;
2x = −2;
x = −1.
Regola
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equazione, un termine può essere trasportato da un membro all’altro
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Primo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ottiene una equivalente, aggiungendo o
togliendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa
espressione algebrica contenente o no l’incognita, purché quest’ultima
non compaia al denominatore.
Esempio
1
3x − 5 = x − 7;
2
3x − 5 + 5 = x − 7 + 5
3
3x − x = x − 2 − x
4
2x = −2
⇒
⇒
⇒
3x = x − 2;
2x = −2;
x = −1.
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Secondo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ha una equivalente moltiplicando o dividendo
entrambi i membri per lo stesso numero (diverso da zero) o per la stessa
espressione letterale diversa da zero e non contenente l’incognita.
Esempio
x
5
− 32 ;
1
3x − 5 =
2
5(3x − 5) = 5( x5 − 32 )
3
2(15x − 25) = 2(x −
4
30x − 50 = 2x − 15
5
28x = 35
⇒
x=
⇒
15
2 )
15x − 25 = x −
⇒
30x − 50 = 2x − 15;
⇒ 30x − 2x = 50 − 15
35
28
=
15
2 ;
⇒
28x = 35;
5
4.
Regola
È quindi possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione ed
university-logo
eliminare dall’equazione eventuali denominatori.
F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Secondo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ha una equivalente moltiplicando o dividendo
entrambi i membri per lo stesso numero (diverso da zero) o per la stessa
espressione letterale diversa da zero e non contenente l’incognita.
Esempio
x
5
− 32 ;
1
3x − 5 =
2
5(3x − 5) = 5( x5 − 32 )
3
2(15x − 25) = 2(x −
4
30x − 50 = 2x − 15
5
28x = 35
⇒
x=
⇒
15
2 )
15x − 25 = x −
⇒
30x − 50 = 2x − 15;
⇒ 30x − 2x = 50 − 15
35
28
=
15
2 ;
⇒
28x = 35;
5
4.
Regola
È quindi possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione ed
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eliminare dall’equazione eventuali denominatori.
F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Secondo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ha una equivalente moltiplicando o dividendo
entrambi i membri per lo stesso numero (diverso da zero) o per la stessa
espressione letterale diversa da zero e non contenente l’incognita.
Esempio
x
5
− 32 ;
1
3x − 5 =
2
5(3x − 5) = 5( x5 − 32 )
3
2(15x − 25) = 2(x −
4
30x − 50 = 2x − 15
5
28x = 35
⇒
x=
⇒
15
2 )
15x − 25 = x −
⇒
30x − 50 = 2x − 15;
⇒ 30x − 2x = 50 − 15
35
28
=
15
2 ;
⇒
28x = 35;
5
4.
Regola
È quindi possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione ed
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eliminare dall’equazione eventuali denominatori.
F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Secondo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ha una equivalente moltiplicando o dividendo
entrambi i membri per lo stesso numero (diverso da zero) o per la stessa
espressione letterale diversa da zero e non contenente l’incognita.
Esempio
x
5
− 32 ;
1
3x − 5 =
2
5(3x − 5) = 5( x5 − 32 )
3
2(15x − 25) = 2(x −
4
30x − 50 = 2x − 15
5
28x = 35
⇒
x=
⇒
15
2 )
15x − 25 = x −
⇒
30x − 50 = 2x − 15;
⇒ 30x − 2x = 50 − 15
35
28
=
15
2 ;
⇒
28x = 35;
5
4.
Regola
È quindi possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione ed
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eliminare dall’equazione eventuali denominatori.
F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Secondo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ha una equivalente moltiplicando o dividendo
entrambi i membri per lo stesso numero (diverso da zero) o per la stessa
espressione letterale diversa da zero e non contenente l’incognita.
Esempio
x
5
− 32 ;
1
3x − 5 =
2
5(3x − 5) = 5( x5 − 32 )
3
2(15x − 25) = 2(x −
4
30x − 50 = 2x − 15
5
28x = 35
⇒
x=
⇒
15
2 )
15x − 25 = x −
⇒
30x − 50 = 2x − 15;
⇒ 30x − 2x = 50 − 15
35
28
=
15
2 ;
⇒
28x = 35;
5
4.
Regola
È quindi possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione ed
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eliminare dall’equazione eventuali denominatori.
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Secondo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ha una equivalente moltiplicando o dividendo
entrambi i membri per lo stesso numero (diverso da zero) o per la stessa
espressione letterale diversa da zero e non contenente l’incognita.
Esempio
x
5
− 32 ;
1
3x − 5 =
2
5(3x − 5) = 5( x5 − 32 )
3
2(15x − 25) = 2(x −
4
30x − 50 = 2x − 15
5
28x = 35
⇒
x=
⇒
15
2 )
15x − 25 = x −
⇒
30x − 50 = 2x − 15;
⇒ 30x − 2x = 50 − 15
35
28
=
15
2 ;
⇒
28x = 35;
5
4.
Regola
È quindi possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione ed
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eliminare dall’equazione eventuali denominatori.
F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Secondo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ha una equivalente moltiplicando o dividendo
entrambi i membri per lo stesso numero (diverso da zero) o per la stessa
espressione letterale diversa da zero e non contenente l’incognita.
Esempio
x
5
− 32 ;
1
3x − 5 =
2
5(3x − 5) = 5( x5 − 32 )
3
2(15x − 25) = 2(x −
4
30x − 50 = 2x − 15
5
28x = 35
⇒
x=
⇒
15
2 )
15x − 25 = x −
⇒
30x − 50 = 2x − 15;
⇒ 30x − 2x = 50 − 15
35
28
=
15
2 ;
⇒
28x = 35;
5
4.
Regola
È quindi possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione ed
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eliminare dall’equazione eventuali denominatori.
F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Secondo principio di equivalenza
Data una equazione, se ne ha una equivalente moltiplicando o dividendo
entrambi i membri per lo stesso numero (diverso da zero) o per la stessa
espressione letterale diversa da zero e non contenente l’incognita.
Esempio
x
5
− 32 ;
1
3x − 5 =
2
5(3x − 5) = 5( x5 − 32 )
3
2(15x − 25) = 2(x −
4
30x − 50 = 2x − 15
5
28x = 35
⇒
x=
⇒
15
2 )
15x − 25 = x −
⇒
30x − 50 = 2x − 15;
⇒ 30x − 2x = 50 − 15
35
28
=
15
2 ;
⇒
28x = 35;
5
4.
Regola
È quindi possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione ed
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eliminare dall’equazione eventuali denominatori.
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Equazioni di secondo grado
Definizione
Una equazione di secondo grado nella sua forma canonica ha la forma:
ax 2 + bx + c = 0,
dove a (coefficiente quadratico), b (coefficiente lineare), c (termine noto)
sono costanti e a 6= 0 (altrimenti non è un’equazione di II grado).
Casi particolari
c = 0: l’equazione ax 2 + bx = 0 è detta spuria;
b = 0: l’equazione ax 2 + c = 0 è detta pura.
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F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Equazioni di secondo grado
Definizione
Una equazione di secondo grado nella sua forma canonica ha la forma:
ax 2 + bx + c = 0,
dove a (coefficiente quadratico), b (coefficiente lineare), c (termine noto)
sono costanti e a 6= 0 (altrimenti non è un’equazione di II grado).
Casi particolari
c = 0: l’equazione ax 2 + bx = 0 è detta spuria;
b = 0: l’equazione ax 2 + c = 0 è detta pura.
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Equazioni di secondo grado
Definizione
Una equazione di secondo grado nella sua forma canonica ha la forma:
ax 2 + bx + c = 0,
dove a (coefficiente quadratico), b (coefficiente lineare), c (termine noto)
sono costanti e a 6= 0 (altrimenti non è un’equazione di II grado).
Casi particolari
c = 0: l’equazione ax 2 + bx = 0 è detta spuria;
b = 0: l’equazione ax 2 + c = 0 è detta pura.
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Equazioni di secondo grado
Definizione
Una equazione di secondo grado nella sua forma canonica ha la forma:
ax 2 + bx + c = 0,
dove a (coefficiente quadratico), b (coefficiente lineare), c (termine noto)
sono costanti e a 6= 0 (altrimenti non è un’equazione di II grado).
Casi particolari
c = 0: l’equazione ax 2 + bx = 0 è detta spuria;
b = 0: l’equazione ax 2 + c = 0 è detta pura.
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Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione spuria
1
ax 2 + bx = 0,
⇒
x(ax + b) = 0;
2
x(ax + b) = 0
⇒

 x =0
oppure

ax + b = 0
⇒
x = − ba
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Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione spuria
1
ax 2 + bx = 0,
⇒
x(ax + b) = 0;
2
x(ax + b) = 0
⇒

 x =0
oppure

ax + b = 0
⇒
x = − ba
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Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione spuria
1
ax 2 + bx = 0,
⇒
x(ax + b) = 0;
2
x(ax + b) = 0
⇒

 x =0
oppure

ax + b = 0
⇒
x = − ba
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Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione pura
1
ax 2 + c = 0,
⇒
x2 +
c
= 0;
a
2
c
x + =0
a
2
⇒
c
x =−
a
2
r
⇒
x =± −
c
a
Nota
Se i coefficienti a e c sono concordi (hanno cioè lo stesso segno), non ci
sono soluzioni perché nessun numero reale è la radice quadrata di un
numero negativo.
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F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione pura
1
ax 2 + c = 0,
⇒
x2 +
c
= 0;
a
2
c
x + =0
a
2
⇒
c
x =−
a
2
r
⇒
x =± −
c
a
Nota
Se i coefficienti a e c sono concordi (hanno cioè lo stesso segno), non ci
sono soluzioni perché nessun numero reale è la radice quadrata di un
numero negativo.
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Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione pura
1
ax 2 + c = 0,
⇒
x2 +
c
= 0;
a
2
c
x + =0
a
2
⇒
c
x =−
a
2
r
⇒
x =± −
c
a
Nota
Se i coefficienti a e c sono concordi (hanno cioè lo stesso segno), non ci
sono soluzioni perché nessun numero reale è la radice quadrata di un
numero negativo.
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F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione pura
1
ax 2 + c = 0,
⇒
x2 +
c
= 0;
a
2
c
x + =0
a
2
⇒
c
x =−
a
2
r
⇒
x =± −
c
a
Nota
Se i coefficienti a e c sono concordi (hanno cioè lo stesso segno), non ci
sono soluzioni perché nessun numero reale è la radice quadrata di un
numero negativo.
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Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione completa: ax 2 + bx + c = 0
Si calcola il discriminante: ∆ = b2 − 4ac.
1
se ∆ > 0 si hanno due soluzioni reali e distinte:
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
x1 =
, x2 =
;
2a
2a
2
se ∆ = 0 si hanno due soluzioni reali e coincidenti:
x1 = x2 = −
3
b
;
2a
se ∆ < 0 le soluzioni non sono reali ma complesse e coniugate:
√
√
−b + i 4ac − b2
−b − i 4ac − b2
x1 =
, x2 =
. university-logo
2a
2a
F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione completa: ax 2 + bx + c = 0
Si calcola il discriminante: ∆ = b2 − 4ac.
1
se ∆ > 0 si hanno due soluzioni reali e distinte:
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
x1 =
, x2 =
;
2a
2a
2
se ∆ = 0 si hanno due soluzioni reali e coincidenti:
x1 = x2 = −
3
b
;
2a
se ∆ < 0 le soluzioni non sono reali ma complesse e coniugate:
√
√
−b + i 4ac − b2
−b − i 4ac − b2
x1 =
, x2 =
. university-logo
2a
2a
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Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione completa: ax 2 + bx + c = 0
Si calcola il discriminante: ∆ = b2 − 4ac.
1
se ∆ > 0 si hanno due soluzioni reali e distinte:
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
x1 =
, x2 =
;
2a
2a
2
se ∆ = 0 si hanno due soluzioni reali e coincidenti:
x1 = x2 = −
3
b
;
2a
se ∆ < 0 le soluzioni non sono reali ma complesse e coniugate:
√
√
−b + i 4ac − b2
−b − i 4ac − b2
x1 =
, x2 =
. university-logo
2a
2a
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Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione completa: ax 2 + bx + c = 0
Si calcola il discriminante: ∆ = b2 − 4ac.
1
se ∆ > 0 si hanno due soluzioni reali e distinte:
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
x1 =
, x2 =
;
2a
2a
2
se ∆ = 0 si hanno due soluzioni reali e coincidenti:
x1 = x2 = −
3
b
;
2a
se ∆ < 0 le soluzioni non sono reali ma complesse e coniugate:
√
√
−b + i 4ac − b2
−b − i 4ac − b2
x1 =
, x2 =
. university-logo
2a
2a
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Esempio
3x 2 − 5x + 2 = 0
∆ = (−5)2 − 4 · 3 · 2 = 25 − 24 = 1 > 0.
Le soluzioni (reali e distinte) sono:
√
−(−5) + 1
= 1,
x1 =
6
−(−5) −
x1 =
6
√
1
=
2
.
3
Sostituendo al posto di x i valori di x1 e di x2 l’equazione è soddisfatta.
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F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Esempio
3x 2 − 5x + 2 = 0
∆ = (−5)2 − 4 · 3 · 2 = 25 − 24 = 1 > 0.
Le soluzioni (reali e distinte) sono:
√
−(−5) + 1
= 1,
x1 =
6
−(−5) −
x1 =
6
√
1
=
2
.
3
Sostituendo al posto di x i valori di x1 e di x2 l’equazione è soddisfatta.
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F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Esempio
√
16x 2 − 8 3x + 3 = 0
√
∆ = (−8 3)2 − 4 · 16 · 3 = 82 · 3 − 192 = 192 − 192 = 0.
Le due soluzioni (reali e coincidenti) sono:
√
√
−(−8 3)
3
x1 = x2 =
=
.
2 · 16
4
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Esempio
−7x 2 + 4x − 3 = 0
∆ = 42 − 4 · (−7) · (−3) = 16 − 84 = −68 < 0.
Le due soluzioni (complesse e coniugate) sono:
√
√
√
√
−4 + i 68
2 − i 17
−4 − i 68
2 + i 17
x1 =
=
, x2 =
=
.
−14
7
−14
7
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F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Nota
I principi di equivalenza che abbiamo illustrato prima con le equazioni di
primo grado si applicano a tutte le equazioni.
Esempio
Risolvere l’equazione:
2
3x(x − 1) + 5 = x − 7x
x
2
1
2(3x(x − 1) + 5) = 2 x 2 − 7x
2
6x 2 − 6x + 10 = 2x 2 − 7x 2 − 42x;
3
11x 2 + 36x + 10 = 0 forma canonica.
x
2
+3
+3 ;
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F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Nota
I principi di equivalenza che abbiamo illustrato prima con le equazioni di
primo grado si applicano a tutte le equazioni.
Esempio
Risolvere l’equazione:
2
3x(x − 1) + 5 = x − 7x
x
2
1
2(3x(x − 1) + 5) = 2 x 2 − 7x
2
6x 2 − 6x + 10 = 2x 2 − 7x 2 − 42x;
3
11x 2 + 36x + 10 = 0 forma canonica.
x
2
+3
+3 ;
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F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Nota
I principi di equivalenza che abbiamo illustrato prima con le equazioni di
primo grado si applicano a tutte le equazioni.
Esempio
Risolvere l’equazione:
2
3x(x − 1) + 5 = x − 7x
x
2
1
2(3x(x − 1) + 5) = 2 x 2 − 7x
2
6x 2 − 6x + 10 = 2x 2 − 7x 2 − 42x;
3
11x 2 + 36x + 10 = 0 forma canonica.
x
2
+3
+3 ;
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Nota
I principi di equivalenza che abbiamo illustrato prima con le equazioni di
primo grado si applicano a tutte le equazioni.
Esempio
Risolvere l’equazione:
2
3x(x − 1) + 5 = x − 7x
x
2
1
2(3x(x − 1) + 5) = 2 x 2 − 7x
2
6x 2 − 6x + 10 = 2x 2 − 7x 2 − 42x;
3
11x 2 + 36x + 10 = 0 forma canonica.
x
2
+3
+3 ;
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Nota
I principi di equivalenza che abbiamo illustrato prima con le equazioni di
primo grado si applicano a tutte le equazioni.
Esempio
Risolvere l’equazione:
2
3x(x − 1) + 5 = x − 7x
x
2
1
2(3x(x − 1) + 5) = 2 x 2 − 7x
2
6x 2 − 6x + 10 = 2x 2 − 7x 2 − 42x;
3
11x 2 + 36x + 10 = 0 forma canonica.
x
2
+3
+3 ;
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Proprietà delle soluzioni di un’equazione di II grado
Sia data una generica equazione di secondo grado
ax 2 + bx + c = 0.
Se x1 e x2 denotano le sue soluzioni, allora valgono le proprietà:
b
x1 + x2 = − ,
a
x1 · x2 =
c
.
a
√
√
−b + ∆ −b − ∆
−2b
b
x1 + x2 =
+
=
=− .
2a
2a
2a
a
√ !
√ !
−b + ∆
−b − ∆
b2 − ∆
4ac
c
x1 · x2 =
·
=
=
= .
2
2
2a
2a
a university-logo
4a
4a
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Proprietà delle soluzioni di un’equazione di II grado
Sia data una generica equazione di secondo grado
ax 2 + bx + c = 0.
Se x1 e x2 denotano le sue soluzioni, allora valgono le proprietà:
b
x1 + x2 = − ,
a
x1 · x2 =
c
.
a
√
√
−b + ∆ −b − ∆
−2b
b
x1 + x2 =
+
=
=− .
2a
2a
2a
a
√ !
√ !
−b + ∆
−b − ∆
b2 − ∆
4ac
c
x1 · x2 =
·
=
=
= .
2
2
2a
2a
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4a
4a
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Problema
Assegnati due numeri x1 e x2 , determinare l’equazione di secondo grado
che le possiede come soluzioni.
Soluzione
Si calcolano
s = x1 + x2 ,
p = x1 · x2 .
L’equazione di secondo grado cercata è:
x 2 − sx + p = 0.
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Problema
Assegnati due numeri x1 e x2 , determinare l’equazione di secondo grado
che le possiede come soluzioni.
Soluzione
Si calcolano
s = x1 + x2 ,
p = x1 · x2 .
L’equazione di secondo grado cercata è:
x 2 − sx + p = 0.
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Esempio
Trovare l’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono x1 = −3 e
x2 = 52 .
5
1
15
s = −3 + = − ,
p=−
2
2
2
1
15
x2 + x −
= 0, ⇒ 2x 2 + x − 15 = 0.
2
2
Esempio
Trovare√l’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono x1 =
x2 = 2 3.
√
s = 3 3,
p=6
√
2
x − 3 3x + 6 = 0.
√
3e
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Esempio
Trovare l’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono x1 = −3 e
x2 = 52 .
5
1
15
s = −3 + = − ,
p=−
2
2
2
1
15
x2 + x −
= 0, ⇒ 2x 2 + x − 15 = 0.
2
2
Esempio
Trovare√l’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono x1 =
x2 = 2 3.
√
s = 3 3,
p=6
√
2
x − 3 3x + 6 = 0.
√
3e
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F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Regola di Cartesio
Dalle proprietà delle soluzioni delle equazioni di secondo grado discende
la Regola di Cartesio, che si applica però solo alle equazioni di secondo
grado con ∆ > 0.
Elencando nell’ordine i segni dei coefficienti a, b, c, ad ogni variazione di
segno corrisponde una soluzione reale positiva, ad ogni permanenza di
segno una soluzione reale negativa.
Esempi
x 2 + 5x + 6 = 0,
negative.
+ + +:
due permanenze
⇒
due soluzioni
x 2 + 3x − 6 = 0, + + −: una permanenza e una variazione
⇒ una soluzione negativa e una soluzione positiva.
−x 2 + 9x − 15 = 0,
positive.
− + −:
due variazioni
⇒
due soluzioni
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Regola di Cartesio
Dalle proprietà delle soluzioni delle equazioni di secondo grado discende
la Regola di Cartesio, che si applica però solo alle equazioni di secondo
grado con ∆ > 0.
Elencando nell’ordine i segni dei coefficienti a, b, c, ad ogni variazione di
segno corrisponde una soluzione reale positiva, ad ogni permanenza di
segno una soluzione reale negativa.
Esempi
x 2 + 5x + 6 = 0,
negative.
+ + +:
due permanenze
⇒
due soluzioni
x 2 + 3x − 6 = 0, + + −: una permanenza e una variazione
⇒ una soluzione negativa e una soluzione positiva.
−x 2 + 9x − 15 = 0,
positive.
− + −:
due variazioni
⇒
due soluzioni
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Regola di Cartesio
Dalle proprietà delle soluzioni delle equazioni di secondo grado discende
la Regola di Cartesio, che si applica però solo alle equazioni di secondo
grado con ∆ > 0.
Elencando nell’ordine i segni dei coefficienti a, b, c, ad ogni variazione di
segno corrisponde una soluzione reale positiva, ad ogni permanenza di
segno una soluzione reale negativa.
Esempi
x 2 + 5x + 6 = 0,
negative.
+ + +:
due permanenze
⇒
due soluzioni
x 2 + 3x − 6 = 0, + + −: una permanenza e una variazione
⇒ una soluzione negativa e una soluzione positiva.
−x 2 + 9x − 15 = 0,
positive.
− + −:
due variazioni
⇒
due soluzioni
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Regola di Cartesio
Dalle proprietà delle soluzioni delle equazioni di secondo grado discende
la Regola di Cartesio, che si applica però solo alle equazioni di secondo
grado con ∆ > 0.
Elencando nell’ordine i segni dei coefficienti a, b, c, ad ogni variazione di
segno corrisponde una soluzione reale positiva, ad ogni permanenza di
segno una soluzione reale negativa.
Esempi
x 2 + 5x + 6 = 0,
negative.
+ + +:
due permanenze
⇒
due soluzioni
x 2 + 3x − 6 = 0, + + −: una permanenza e una variazione
⇒ una soluzione negativa e una soluzione positiva.
−x 2 + 9x − 15 = 0,
positive.
− + −:
due variazioni
⇒
due soluzioni
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Regola di Cartesio
Dalle proprietà delle soluzioni delle equazioni di secondo grado discende
la Regola di Cartesio, che si applica però solo alle equazioni di secondo
grado con ∆ > 0.
Elencando nell’ordine i segni dei coefficienti a, b, c, ad ogni variazione di
segno corrisponde una soluzione reale positiva, ad ogni permanenza di
segno una soluzione reale negativa.
Esempi
x 2 + 5x + 6 = 0,
negative.
+ + +:
due permanenze
⇒
due soluzioni
x 2 + 3x − 6 = 0, + + −: una permanenza e una variazione
⇒ una soluzione negativa e una soluzione positiva.
−x 2 + 9x − 15 = 0,
positive.
− + −:
due variazioni
⇒
due soluzioni
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Disequazioni
Una disequazione nell’incognita x nella sua forma canonica può
assumere una delle seguenti forme:
f (x) > 0,
oppure
f (x) ≥ 0,
dove f (x) è un’espressione (algebrica o trascendente). Le corrispondenti
disequazioni con i segni di < o ≤ si ottengono cambiando il segno di f (x).
Come per le equazioni, una disequazione può amettere un insieme finito
di soluzioni, o un insieme infinito di soluzioni, o nessuna soluzione.
Disequazioni non in forma canonica come
f (x) ≥ g(x)
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si possono ridurre in forma canonica attraverso dei principi di equivalenza.
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Disequazioni
Una disequazione nell’incognita x nella sua forma canonica può
assumere una delle seguenti forme:
f (x) > 0,
oppure
f (x) ≥ 0,
dove f (x) è un’espressione (algebrica o trascendente). Le corrispondenti
disequazioni con i segni di < o ≤ si ottengono cambiando il segno di f (x).
Come per le equazioni, una disequazione può amettere un insieme finito
di soluzioni, o un insieme infinito di soluzioni, o nessuna soluzione.
Disequazioni non in forma canonica come
f (x) ≥ g(x)
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si possono ridurre in forma canonica attraverso dei principi di equivalenza.
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Disequazioni
Una disequazione nell’incognita x nella sua forma canonica può
assumere una delle seguenti forme:
f (x) > 0,
oppure
f (x) ≥ 0,
dove f (x) è un’espressione (algebrica o trascendente). Le corrispondenti
disequazioni con i segni di < o ≤ si ottengono cambiando il segno di f (x).
Come per le equazioni, una disequazione può amettere un insieme finito
di soluzioni, o un insieme infinito di soluzioni, o nessuna soluzione.
Disequazioni non in forma canonica come
f (x) ≥ g(x)
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si possono ridurre in forma canonica attraverso dei principi di equivalenza.
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Disequazioni: Proprietà
Data una disequazione
f (x) ≥ g(x),
si ha
f (x) ± h(x) ≥ g(x) ± h(x)
dove h(x) è una funzione di x. Analogo discorso vale per f (x) ≤ g(x)
Questa proprietà è la stessa di quella che vale per le equazioni. Ciò
significa che in una disequazione possiamo spostare termini da un
membro all’altro, previo cambio di segno.
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Disequazioni: Proprietà
Data una disequazione
f (x) ≥ g(x),
si ha
f (x) ± h(x) ≥ g(x) ± h(x)
dove h(x) è una funzione di x. Analogo discorso vale per f (x) ≤ g(x)
Questa proprietà è la stessa di quella che vale per le equazioni. Ciò
significa che in una disequazione possiamo spostare termini da un
membro all’altro, previo cambio di segno.
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Disequazioni: Proprietà
Data una disequazione
f (x) ≥ g(x),
sia h(x) > 0 una funzione positiva di x; si ha
f (x) · h(x) ≥ g(x) · h(x)
e
g(x)
f (x)
≥
.
h(x)
h(x)
e
f (x)
g(x)
≤
.
h(x)
h(x)
Se invece h(x) < 0, si ha
f (x) · h(x) ≤ g(x) · h(x)
Questa proprietà ci dice che se moltiplichiamo ambo i membri di una
disequazione per una quantità positiva il segno della disuguaglianza non
cambia, mentre se moltiplichiamo ambo i membri di una disequazione
per
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una quantità negativa il segno della disuguaglianza si inverte.
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Disequazioni: Proprietà
Data una disequazione
f (x) ≥ g(x),
sia h(x) > 0 una funzione positiva di x; si ha
f (x) · h(x) ≥ g(x) · h(x)
e
g(x)
f (x)
≥
.
h(x)
h(x)
e
f (x)
g(x)
≤
.
h(x)
h(x)
Se invece h(x) < 0, si ha
f (x) · h(x) ≤ g(x) · h(x)
Questa proprietà ci dice che se moltiplichiamo ambo i membri di una
disequazione per una quantità positiva il segno della disuguaglianza non
cambia, mentre se moltiplichiamo ambo i membri di una disequazione
per
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una quantità negativa il segno della disuguaglianza si inverte.
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Disequazioni di Primo Grado – Esempio
Risolvere la disequazione
3x +
1
3x
1−x
−5>
+ 4.
2
5
Moltiplichiamo entrambi i membri per 10 (mcm dei denominatori):
30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40,
2
25x − 45 > 6x + 40.
Portiamo i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo:
25x − 6x > 45 + 40
3
⇒
Dividiamo ambo i membri per 19: x >
⇒
85
.
19
19x > 85.
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Disequazioni di Primo Grado – Esempio
Risolvere la disequazione
3x +
1
3x
1−x
−5>
+ 4.
2
5
Moltiplichiamo entrambi i membri per 10 (mcm dei denominatori):
30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40,
2
25x − 45 > 6x + 40.
Portiamo i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo:
25x − 6x > 45 + 40
3
⇒
Dividiamo ambo i membri per 19: x >
⇒
85
.
19
19x > 85.
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Disequazioni di Primo Grado – Esempio
Risolvere la disequazione
3x +
1
3x
1−x
−5>
+ 4.
2
5
Moltiplichiamo entrambi i membri per 10 (mcm dei denominatori):
30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40,
2
25x − 45 > 6x + 40.
Portiamo i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo:
25x − 6x > 45 + 40
3
⇒
Dividiamo ambo i membri per 19: x >
⇒
85
.
19
19x > 85.
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Disequazioni di Primo Grado – Esempio
Risolvere la disequazione
3x +
1
3x
1−x
−5>
+ 4.
2
5
Moltiplichiamo entrambi i membri per 10 (mcm dei denominatori):
30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40,
2
25x − 45 > 6x + 40.
Portiamo i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo:
25x − 6x > 45 + 40
3
⇒
Dividiamo ambo i membri per 19: x >
⇒
85
.
19
19x > 85.
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Disequazioni di Primo Grado – Esempio
Risolvere la disequazione
3x +
1
3x
1−x
−5>
+ 4.
2
5
Moltiplichiamo entrambi i membri per 10 (mcm dei denominatori):
30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40,
2
25x − 45 > 6x + 40.
Portiamo i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo:
25x − 6x > 45 + 40
3
⇒
Dividiamo ambo i membri per 19: x >
⇒
85
.
19
19x > 85.
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Disequazioni di Primo Grado – Esempio
Risolvere la disequazione
3|x| +
1−x
3x
−5>
+ 4,
2
5
⇒
30|x| + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40.
x ≥0
x <0
30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40;
85
19x > 85 ⇒ x >
.
19
− 30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40;
85
− 41x > 85 ⇒ x < − .
41
Dunque la soluzione è:
85
x <−
41
85
oppure x >
19
85
85
⇒ x ∈ −∞, −
∪
, ∞ university-logo
.
41
19
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Disequazioni di Primo Grado – Esempio
Risolvere la disequazione
3|x| +
1−x
3x
−5>
+ 4,
2
5
⇒
30|x| + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40.
x ≥0
x <0
30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40;
85
19x > 85 ⇒ x >
.
19
− 30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40;
85
− 41x > 85 ⇒ x < − .
41
Dunque la soluzione è:
85
x <−
41
85
oppure x >
19
85
85
⇒ x ∈ −∞, −
∪
, ∞ university-logo
.
41
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Disequazioni quadratiche
Per determinare il segno di un’espressione quadratica
ax 2 + bx + c
al variare di x è sufficiente discriminare i tre casi secondo il segno di
∆ = b2 − 4ac.
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Disequazioni quadratiche
Caso ∆ < 0
Se ∆ < 0 non ci sono soluzioni reali dell’equazione
ax 2 + bx + c = 0.
Dunque, l’espressione non si annulla mai. Per valori elevati di x il termine
ax 2 ha il segno di a e in valore assoluto predomina sugli altri due termini.
Dunque l’espressione ha sempre il segno di a.
Esempio
3x 2 − 5x + 15,
∆ = (−5)2 − 4 · 3 · 15 = −155 < 0.
3x 2 − 5x + 15 > 0,
sempre, cioè ∀x ∈ R,
3x 2 − 5x + 15 ≤ 0,
mai.
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Disequazioni quadratiche
Caso ∆ < 0
Se ∆ < 0 non ci sono soluzioni reali dell’equazione
ax 2 + bx + c = 0.
Dunque, l’espressione non si annulla mai. Per valori elevati di x il termine
ax 2 ha il segno di a e in valore assoluto predomina sugli altri due termini.
Dunque l’espressione ha sempre il segno di a.
Esempio
3x 2 − 5x + 15,
∆ = (−5)2 − 4 · 3 · 15 = −155 < 0.
3x 2 − 5x + 15 > 0,
sempre, cioè ∀x ∈ R,
3x 2 − 5x + 15 ≤ 0,
mai.
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Disequazioni quadratiche
Caso ∆ = 0
Se ∆ = 0 possiamo scrivere
ax 2 +bx+c = a(x−x1 )2 ,
x1
soluzione dell’equazione di secondo grado.
Dunque il segno dell’espressione è sempre quello di a tranne in x = x1
dove si annulla.
Esempio
−x 2 + 4x − 4 = 0,
∆ = 42 − 4 · (−1) · (−4) = 0,
− x 2 + 4x − 4 > 0,
2
− x + 4x − 4 < 0,
x1 = 2.
mai,
∀x ∈ R : x 6= 2.
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Disequazioni quadratiche
Caso ∆ = 0
Se ∆ = 0 possiamo scrivere
ax 2 +bx+c = a(x−x1 )2 ,
x1
soluzione dell’equazione di secondo grado.
Dunque il segno dell’espressione è sempre quello di a tranne in x = x1
dove si annulla.
Esempio
−x 2 + 4x − 4 = 0,
∆ = 42 − 4 · (−1) · (−4) = 0,
− x 2 + 4x − 4 > 0,
2
− x + 4x − 4 < 0,
x1 = 2.
mai,
∀x ∈ R : x 6= 2.
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Disequazioni quadratiche
Caso ∆ > 0
Se ∆ > 0 possiamo scrivere
ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
x1 < x2
soluzioni dell’eq. di II grado.
Dunque il il segno dell’espressione è sempre quello opposto a quello di a
per x1 < x < x2 e quello di a per x < x1 oppure x > x2 ; l’espressione si
annulla per x = x1 e per x = x2 .
Esempio
x 2 − 5x + 6 = 0,
∆ = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 1,
x 2 − 5x + 6 > 0,
per x < 2 o x > 3,
2
x − 5x + 6 < 0,
per 2 < x < 3,
x ∈]2, 3[.
x1 = 2, x3 = 3.
x ∈] − ∞, 2]∪]3, ∞[,
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Disequazioni quadratiche
Caso ∆ > 0
Se ∆ > 0 possiamo scrivere
ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
x1 < x2
soluzioni dell’eq. di II grado.
Dunque il il segno dell’espressione è sempre quello opposto a quello di a
per x1 < x < x2 e quello di a per x < x1 oppure x > x2 ; l’espressione si
annulla per x = x1 e per x = x2 .
Esempio
x 2 − 5x + 6 = 0,
∆ = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 1,
x 2 − 5x + 6 > 0,
per x < 2 o x > 3,
2
x − 5x + 6 < 0,
per 2 < x < 3,
x ∈]2, 3[.
x1 = 2, x3 = 3.
x ∈] − ∞, 2]∪]3, ∞[,
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Disequazioni – Esempio
Risolvere la disequazione
3x 2 + 2x − 16
< 0.
x 2 + 6x + 5
Innanzitutto deve essere x 2 + 6x + 5 6= 0,
L’equazione
3x 2
⇒
x 6= −5, x 6= −1.
+ 2x − 16 = 0 ha soluzioni x1 = − 38 , x2 = 2.
Il numeratore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[− 83 , 2] e negativo all’interno dell’intervallo.
Il denominatore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[−5, −1] e negativo all’interno dell’intervallo.
La frazione è negativa se numeratore e denominatore hanno segni
opposti.
Dunque la soluzione è: −5 < x < − 83 ,
−1 < x < 2.
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Disequazioni – Esempio
Risolvere la disequazione
3x 2 + 2x − 16
< 0.
x 2 + 6x + 5
Innanzitutto deve essere x 2 + 6x + 5 6= 0,
L’equazione
3x 2
⇒
x 6= −5, x 6= −1.
+ 2x − 16 = 0 ha soluzioni x1 = − 38 , x2 = 2.
Il numeratore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[− 83 , 2] e negativo all’interno dell’intervallo.
Il denominatore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[−5, −1] e negativo all’interno dell’intervallo.
La frazione è negativa se numeratore e denominatore hanno segni
opposti.
Dunque la soluzione è: −5 < x < − 83 ,
−1 < x < 2.
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Disequazioni – Esempio
Risolvere la disequazione
3x 2 + 2x − 16
< 0.
x 2 + 6x + 5
Innanzitutto deve essere x 2 + 6x + 5 6= 0,
L’equazione
3x 2
⇒
x 6= −5, x 6= −1.
+ 2x − 16 = 0 ha soluzioni x1 = − 38 , x2 = 2.
Il numeratore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[− 83 , 2] e negativo all’interno dell’intervallo.
Il denominatore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[−5, −1] e negativo all’interno dell’intervallo.
La frazione è negativa se numeratore e denominatore hanno segni
opposti.
Dunque la soluzione è: −5 < x < − 83 ,
−1 < x < 2.
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Disequazioni – Esempio
Risolvere la disequazione
3x 2 + 2x − 16
< 0.
x 2 + 6x + 5
Innanzitutto deve essere x 2 + 6x + 5 6= 0,
L’equazione
3x 2
⇒
x 6= −5, x 6= −1.
+ 2x − 16 = 0 ha soluzioni x1 = − 38 , x2 = 2.
Il numeratore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[− 83 , 2] e negativo all’interno dell’intervallo.
Il denominatore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[−5, −1] e negativo all’interno dell’intervallo.
La frazione è negativa se numeratore e denominatore hanno segni
opposti.
Dunque la soluzione è: −5 < x < − 83 ,
−1 < x < 2.
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Disequazioni – Esempio
Risolvere la disequazione
3x 2 + 2x − 16
< 0.
x 2 + 6x + 5
Innanzitutto deve essere x 2 + 6x + 5 6= 0,
L’equazione
3x 2
⇒
x 6= −5, x 6= −1.
+ 2x − 16 = 0 ha soluzioni x1 = − 38 , x2 = 2.
Il numeratore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[− 83 , 2] e negativo all’interno dell’intervallo.
Il denominatore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[−5, −1] e negativo all’interno dell’intervallo.
La frazione è negativa se numeratore e denominatore hanno segni
opposti.
Dunque la soluzione è: −5 < x < − 83 ,
−1 < x < 2.
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Disequazioni – Esempio
Risolvere la disequazione
3x 2 + 2x − 16
< 0.
x 2 + 6x + 5
Innanzitutto deve essere x 2 + 6x + 5 6= 0,
L’equazione
3x 2
⇒
x 6= −5, x 6= −1.
+ 2x − 16 = 0 ha soluzioni x1 = − 38 , x2 = 2.
Il numeratore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[− 83 , 2] e negativo all’interno dell’intervallo.
Il denominatore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[−5, −1] e negativo all’interno dell’intervallo.
La frazione è negativa se numeratore e denominatore hanno segni
opposti.
Dunque la soluzione è: −5 < x < − 83 ,
−1 < x < 2.
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Disequazioni – Esercizi
s
x2 − 4
< −3,
x +1
2
1
≤ 2
,
x +9
x +4
−
Impossibile.
x < −9 oppure −
2x + 7 2x − 5
3x + 1
+
−x ≤
− 2,
9
6
2
x 3 − 5x
≤ 0,
x −7
1
≤ x ≤ 1.
2
x ≥−
2
.
43
√
√
− 5 ≤ x ≤ 0 oppure 5 ≤ x < 7.
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Disequazioni – Esercizi
s
x2 − 4
< −3,
x +1
2
1
≤ 2
,
x +9
x +4
−
Impossibile.
x < −9 oppure −
2x + 7 2x − 5
3x + 1
+
−x ≤
− 2,
9
6
2
x 3 − 5x
≤ 0,
x −7
1
≤ x ≤ 1.
2
x ≥−
2
.
43
√
√
− 5 ≤ x ≤ 0 oppure 5 ≤ x < 7.
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F. Oliveri, P. Staglianò, Matematica di Base – 2
Disequazioni – Esercizi
s
x2 − 4
< −3,
x +1
2
1
≤ 2
,
x +9
x +4
−
Impossibile.
x < −9 oppure −
2x + 7 2x − 5
3x + 1
+
−x ≤
− 2,
9
6
2
x 3 − 5x
≤ 0,
x −7
1
≤ x ≤ 1.
2
x ≥−
2
.
43
√
√
− 5 ≤ x ≤ 0 oppure 5 ≤ x < 7.
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Disequazioni – Esercizi
s
x2 − 4
< −3,
x +1
2
1
≤ 2
,
x +9
x +4
−
Impossibile.
x < −9 oppure −
2x + 7 2x − 5
3x + 1
+
−x ≤
− 2,
9
6
2
x 3 − 5x
≤ 0,
x −7
1
≤ x ≤ 1.
2
x ≥−
2
.
43
√
√
− 5 ≤ x ≤ 0 oppure 5 ≤ x < 7.
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Disequazioni – Esercizi
s
x2 − 4
< −3,
x +1
2
1
≤ 2
,
x +9
x +4
−
Impossibile.
x < −9 oppure −
2x + 7 2x − 5
3x + 1
+
−x ≤
− 2,
9
6
2
x 3 − 5x
≤ 0,
x −7
1
≤ x ≤ 1.
2
x ≥−
2
.
43
√
√
− 5 ≤ x ≤ 0 oppure 5 ≤ x < 7.
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Sistemi Lineari
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma:
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
dove a, b, c, a0 , b0 , c 0 sono dei coefficienti noti, e x, y sono le incognite.
Risolvere un sistema lineare significa trovare le soluzioni comuni alle due
equazioni.
Un sistema lineare si dice:
determinato se ha un numero finito di soluzioni;
indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni;
impossibile se non esistono soluzioni.
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Sistemi Lineari
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma:
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
dove a, b, c, a0 , b0 , c 0 sono dei coefficienti noti, e x, y sono le incognite.
Risolvere un sistema lineare significa trovare le soluzioni comuni alle due
equazioni.
Un sistema lineare si dice:
determinato se ha un numero finito di soluzioni;
indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni;
impossibile se non esistono soluzioni.
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Sistemi Lineari
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma:
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
dove a, b, c, a0 , b0 , c 0 sono dei coefficienti noti, e x, y sono le incognite.
Risolvere un sistema lineare significa trovare le soluzioni comuni alle due
equazioni.
Un sistema lineare si dice:
determinato se ha un numero finito di soluzioni;
indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni;
impossibile se non esistono soluzioni.
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Sistemi Lineari
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma:
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
dove a, b, c, a0 , b0 , c 0 sono dei coefficienti noti, e x, y sono le incognite.
Risolvere un sistema lineare significa trovare le soluzioni comuni alle due
equazioni.
Un sistema lineare si dice:
determinato se ha un numero finito di soluzioni;
indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni;
impossibile se non esistono soluzioni.
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Sistemi Lineari
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma:
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
dove a, b, c, a0 , b0 , c 0 sono dei coefficienti noti, e x, y sono le incognite.
Risolvere un sistema lineare significa trovare le soluzioni comuni alle due
equazioni.
Un sistema lineare si dice:
determinato se ha un numero finito di soluzioni;
indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni;
impossibile se non esistono soluzioni.
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Sistemi Lineari
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma:
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
dove a, b, c, a0 , b0 , c 0 sono dei coefficienti noti, e x, y sono le incognite.
Risolvere un sistema lineare significa trovare le soluzioni comuni alle due
equazioni.
Un sistema lineare si dice:
determinato se ha un numero finito di soluzioni;
indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni;
impossibile se non esistono soluzioni.
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Sistemi Lineari
Soluzione
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
se ab0 − a0 b 6= 0, il sistema è determinato, e la soluzione (unica!) è:
x=
b0 c − bc 0
,
ab0 − a0 b
y=
ac 0 − a0 c
;
ab0 − a0 b
se ab0 − a0 b = 0, allora
se esiste una costante k tale che a0 x + b0 y − c 0 = k (ax + by − c) il
sistema è indeterminato (infinite soluzioni!);
altrimenti il sistema è impossibile (nessuna soluzione!).
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Sistemi Lineari
Soluzione
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
se ab0 − a0 b 6= 0, il sistema è determinato, e la soluzione (unica!) è:
x=
b0 c − bc 0
,
ab0 − a0 b
y=
ac 0 − a0 c
;
ab0 − a0 b
se ab0 − a0 b = 0, allora
se esiste una costante k tale che a0 x + b0 y − c 0 = k (ax + by − c) il
sistema è indeterminato (infinite soluzioni!);
altrimenti il sistema è impossibile (nessuna soluzione!).
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Sistemi Lineari
Soluzione
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
se ab0 − a0 b 6= 0, il sistema è determinato, e la soluzione (unica!) è:
x=
b0 c − bc 0
,
ab0 − a0 b
y=
ac 0 − a0 c
;
ab0 − a0 b
se ab0 − a0 b = 0, allora
se esiste una costante k tale che a0 x + b0 y − c 0 = k (ax + by − c) il
sistema è indeterminato (infinite soluzioni!);
altrimenti il sistema è impossibile (nessuna soluzione!).
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Sistemi Lineari
Soluzione
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
se ab0 − a0 b 6= 0, il sistema è determinato, e la soluzione (unica!) è:
x=
b0 c − bc 0
,
ab0 − a0 b
y=
ac 0 − a0 c
;
ab0 − a0 b
se ab0 − a0 b = 0, allora
se esiste una costante k tale che a0 x + b0 y − c 0 = k (ax + by − c) il
sistema è indeterminato (infinite soluzioni!);
altrimenti il sistema è impossibile (nessuna soluzione!).
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Sistemi Lineari
Soluzione
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
se ab0 − a0 b 6= 0, il sistema è determinato, e la soluzione (unica!) è:
x=
b0 c − bc 0
,
ab0 − a0 b
y=
ac 0 − a0 c
;
ab0 − a0 b
se ab0 − a0 b = 0, allora
se esiste una costante k tale che a0 x + b0 y − c 0 = k (ax + by − c) il
sistema è indeterminato (infinite soluzioni!);
altrimenti il sistema è impossibile (nessuna soluzione!).
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Sistemi Lineari
Inutile provare a ricordare la formula!
Meglio usare un metodo e risolvere di volta in volta il sistema che si ha
davanti.
Esistono vari metodi differenti ma equivalenti (il quarto si giustifica
nell’ambito dell’algebra lineare):
1
metodo di sostituzione;
2
metodo del confronto;
3
metodo di riduzione;
4
metodo di Cramer.
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Sistemi Lineari
Inutile provare a ricordare la formula!
Meglio usare un metodo e risolvere di volta in volta il sistema che si ha
davanti.
Esistono vari metodi differenti ma equivalenti (il quarto si giustifica
nell’ambito dell’algebra lineare):
1
metodo di sostituzione;
2
metodo del confronto;
3
metodo di riduzione;
4
metodo di Cramer.
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Sistemi Lineari
Inutile provare a ricordare la formula!
Meglio usare un metodo e risolvere di volta in volta il sistema che si ha
davanti.
Esistono vari metodi differenti ma equivalenti (il quarto si giustifica
nell’ambito dell’algebra lineare):
1
metodo di sostituzione;
2
metodo del confronto;
3
metodo di riduzione;
4
metodo di Cramer.
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Sistemi Lineari
Inutile provare a ricordare la formula!
Meglio usare un metodo e risolvere di volta in volta il sistema che si ha
davanti.
Esistono vari metodi differenti ma equivalenti (il quarto si giustifica
nell’ambito dell’algebra lineare):
1
metodo di sostituzione;
2
metodo del confronto;
3
metodo di riduzione;
4
metodo di Cramer.
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Sistemi Lineari
Inutile provare a ricordare la formula!
Meglio usare un metodo e risolvere di volta in volta il sistema che si ha
davanti.
Esistono vari metodi differenti ma equivalenti (il quarto si giustifica
nell’ambito dell’algebra lineare):
1
metodo di sostituzione;
2
metodo del confronto;
3
metodo di riduzione;
4
metodo di Cramer.
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Sistemi Lineari
Inutile provare a ricordare la formula!
Meglio usare un metodo e risolvere di volta in volta il sistema che si ha
davanti.
Esistono vari metodi differenti ma equivalenti (il quarto si giustifica
nell’ambito dell’algebra lineare):
1
metodo di sostituzione;
2
metodo del confronto;
3
metodo di riduzione;
4
metodo di Cramer.
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Metodo di sostituzione
Si risolve un’equazione rispetto ad un’incognita e si sostituisce
l’espressione trovata nell’altra equazione.
Esempio - Sistema Determinato
3x + 2y = 7,
Dalla prima eq. si ricava
2
x=
7 − 2y
− 4y = 1
3
7−2y
3
⇒
2x − 4y = 1.
e si sostituisce nella seconda:
16y = 11,
⇒
y=
11
16
Si usa questo valore nella prima (o nella seconda) equazione:
3x + 2
11
=7
16
⇒
24x + 11 = 56
⇒
x=
45
15
=
.
24
8
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Metodo di sostituzione
Si risolve un’equazione rispetto ad un’incognita e si sostituisce
l’espressione trovata nell’altra equazione.
Esempio - Sistema Determinato
3x + 2y = 7,
Dalla prima eq. si ricava
2
x=
7 − 2y
− 4y = 1
3
7−2y
3
⇒
2x − 4y = 1.
e si sostituisce nella seconda:
16y = 11,
⇒
y=
11
16
Si usa questo valore nella prima (o nella seconda) equazione:
3x + 2
11
=7
16
⇒
24x + 11 = 56
⇒
x=
45
15
=
.
24
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Metodo di sostituzione
Esempio - Sistema Indeterminato
2x + y = 7,
Dalla prima eq. si ricava
6
7−y
+ 3y = 21
2
x=
⇒
7−y
2
6x + 3y = 21.
e si sostituisce nella seconda:
21 − 3y + 3y = 21,
⇒
21 = 21
La seconda equazione non dà informazioni perché è una conseguenza
della prima. Ci sono infinite soluzioni. Ad es.,
(x =
7
, y = 0),
2
sono tutte soluzioni.
(x = 3, y = 1),
(x = 4, y = −1)
...
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Metodo di sostituzione
Esempio - Sistema Impossibile
2x + y = 7,
Dalla prima eq. si ricava
6
7−y
+ 3y = 20
2
x=
⇒
7−y
2
6x + 3y = 20.
e si sostituisce nella seconda:
21 − 3y + 3y = 20,
⇒
21 = 20 (?).
La seconda equazione fornisce una contraddizione e quindi non ci sono
soluzioni.
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Metodo del confronto
Si risolvono le due equazioni rispetto alla stessa incognita e si
confrontano i risultati.
Esempio
2x − 5y = 4
⇒
x +y =1
5y +4
7y = −2
=1−y
2
⇒
x =1−y
x =1−y
x = 5y2+4
x =1−y
y = − 27
⇒
x =1+
2
7
= 97 .
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Metodo del confronto
Si risolvono le due equazioni rispetto alla stessa incognita e si
confrontano i risultati.
Esempio
2x − 5y = 4
⇒
x +y =1
5y +4
7y = −2
=1−y
2
⇒
x =1−y
x =1−y
x = 5y2+4
x =1−y
y = − 27
⇒
x =1+
2
7
= 97 .
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Metodo di riduzione
Si moltiplica ogni equazione per un numero in modo tale che i coefficienti
di un’incognita siano uguali (a meno eventualmente del segno) nelle due
equazioni. Ognuna delle due equazioni può essere sostituita dalla somma
o dalla differenza delle due equazioni.
Esempio
2x − 5y = 4
x +y =1
⇒
2x − 5y = 4
5x + 5y = 5
Si “sommano” le due equazioni: 2x + 5x = 4 + 5
2x − 5y = 4
x +y =1
⇒
x = 79 .
⇒
2x − 5y = 4
2x + 2y = 2
Si “sottraggono” le due equazioni: −5y − 2y = 4 − 2
⇒
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y = − 27 .
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Metodo di riduzione
Si moltiplica ogni equazione per un numero in modo tale che i coefficienti
di un’incognita siano uguali (a meno eventualmente del segno) nelle due
equazioni. Ognuna delle due equazioni può essere sostituita dalla somma
o dalla differenza delle due equazioni.
Esempio
2x − 5y = 4
x +y =1
⇒
2x − 5y = 4
5x + 5y = 5
Si “sommano” le due equazioni: 2x + 5x = 4 + 5
2x − 5y = 4
x +y =1
⇒
x = 79 .
⇒
2x − 5y = 4
2x + 2y = 2
Si “sottraggono” le due equazioni: −5y − 2y = 4 − 2
⇒
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y = − 27 .
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Metodo di Cramer
Si usa il formalismo matriciale. Si calcolano i determinanti di 3 matrici e si
eseguono due divisioni.
Esempio
∆ = x − 7y = 5
2x + 3y = 8
5 −7 1 5
1 −7 =
17,
∆
=
=
71,
∆
=
x
y
8 3 2 8
2 3 x=
71
∆x
=
,
∆
17
y=
= −2.
∆y
2
=− .
∆
17
Ovviamente, deve essere ∆ 6= 0, altrimenti il sistema è indeterminato o
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impossibile.
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Metodo di Cramer
Si usa il formalismo matriciale. Si calcolano i determinanti di 3 matrici e si
eseguono due divisioni.
Esempio
∆ = x − 7y = 5
2x + 3y = 8
5 −7 1 5
1 −7 =
17,
∆
=
=
71,
∆
=
x
y
8 3 2 8
2 3 x=
71
∆x
=
,
∆
17
y=
= −2.
∆y
2
=− .
∆
17
Ovviamente, deve essere ∆ 6= 0, altrimenti il sistema è indeterminato o
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impossibile.
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Metodo di Cramer
Si usa il formalismo matriciale. Si calcolano i determinanti di 3 matrici e si
eseguono due divisioni.
Esempio
∆ = x − 7y = 5
2x + 3y = 8
5 −7 1 5
1 −7 =
17,
∆
=
=
71,
∆
=
x
y
8 3 2 8
2 3 x=
71
∆x
=
,
∆
17
y=
= −2.
∆y
2
=− .
∆
17
Ovviamente, deve essere ∆ 6= 0, altrimenti il sistema è indeterminato o
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impossibile.