PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI Teorema. Due

PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI
Teorema. Due triangoli che hanno congruenti due coppie di angoli corrispondenti sono simili.
Siano dati i triangoli ABC e A’B’C’
A
Aˆ  Aˆ '

  ABC  A' B' C '
ˆ
ˆ
B  B'

A’
E
D
Dimostrazione
B
F
C
B’
C’
Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è congruente ad un angolo piatto, (come al
solito indicato con P̂ ), dall’ipotesi segue che
Cˆ  Pˆ 
Cˆ '  Pˆ 
Aˆ  Bˆ   Cˆ  Cˆ '
Aˆ ' Bˆ '
Supposto poi AB > A’B’, costruiamo su AB un segmento ADA’B’ e, dal punto D, tracciamo la
parallela al lato BC.
ˆ  Aˆ ' per ipotesi; inoltre è
I due triangoli ADE e A’B’C’ hanno AD  A’B’ per costruzione; A
ADˆ E  Bˆ , perché angoli corrispondenti formati dalle parallele DE e BC tagliate dalla trasversale
ˆ E  Bˆ ' .
AB. Ma è per ipotesi B  B̂' quindi per la proprietà transitiva della congruenza, sarà AD
Ne segue che i triangoli ADE e A’B’C’ risultano congruenti per il secondo criterio di congruenza e
hanno: AE  A’C’ e DE  B’C’.
Per il corollario del teorema di Talete, nel triangolo ABC si ha:
AB : AD = AC : AE
Ed essendo AD  A’B’ per costruzione e AEA’C’ per dimostrazione, si può scrivere la
proporzione
AB : A’B’ = AC : A’C’
Per dimostrare la proporzionalità dei terzi lati, conduciamo dal punto E la parallela al lato AB che
incontrerà BC nel punto F. Sempre per il citato corollario si può scrivere la proporzione:
AC : AE = BC : BF
Ma si è detto che è AE  A’C’; inoltre BF  DE, perché lati opposti di uno stesso parallelogrammo,
e DE  B’C’ per la dimostrata congruenza dei triangoli ADE e A’B’C’.
Possiamo dunque scrivere:
AB : A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’
Ed i due triangoli ABC e A’B’C’, avendo gli angoli congruenti ed i lati omologhi proporzionali,
sono simili.
Corollari
1. Tutti i triangoli equilateri sono simili
2. In un triangolo una corda parallela ad un lato, determina un triangolo simile a quello dato
(Come si vede dalla figura)
3. Due triangoli rettangoli che hanno un angolo acuto congruente sono simili
4. Due triangoli isosceli che hanno l’angolo al vertice congruente, oppure un angolo alla base
congruente, sono simili.
SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI
Teorema. Due triangoli che hanno un angolo congruente e i lati che lo comprendono in proporzione
sono simili.
Siano dati i triangoli ABC e A’B’C’
A
Aˆ  Aˆ '

  ABC  A' B' C '
AB : A' B'  AC : A' C '
A’
E
D
Dimostrazione
B’
C
B
C’
Supposto AB > A’B’, costruiamo su AB il segmento ADA’B’ e, dal punto D, conduciamo la
parallela DE al lato BC.
Per il corollario del teorema di Talete, nel triangolo ABC si ha:
AB : AD = AC : AE
O anche, essendo AD  A’B’
AB : A’B’ = AC : AE
Confrontando questa proporzione con quella scritta nell’ipotesi, notiamo che esse hanno tre termini
ordinatamente congruenti; quindi per l’unicità del quarto proporzionale, si ha A’C’  AE e i due
triangoli ADE e A’B’C’ risultano congruenti per il terzo criterio di congruenza.
Ma ADE è simile ad ABC per un corollario precedente, quindi è ABC  A’B’C’.
Corollario
Due triangoli rettangoli aventi i cateti in proporzione sono simili
TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI
Teorema. Due triangoli che hanno i tre lati ordinatamente proporzionali sono simili.
A
D
Siano dati i triangoli ABC e A’B’C’
B
AB : A' B'  AC : A' C '  BC : B' C '  ABC  A' B' C '
A’
E
C
B’
C’
Dimostrazione
Supposto AB > A’B’, costruiamo su AB il segmento ADA’B’ e, dal punto D, conduciamo la
parallela DE al lato BC.
Per il corollario del primo criterio di similitudine già citato, il triangolo ADE è simile ad ABC e si
può scrivere:
AB : AD = AC : AE = BC : DE
Ma è, per ipotesi:
AB : A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’
E tenendo presente che si è posto AD  A’B’, dal confronto di queste due catene di rapporti si
deduce che è
AE  A’C’
DE  B’C’
Per cui i due triangoli ADE e A’B’C’ risultano congruenti per il terzo criterio di congruenza e
quindi simili. E poiché ADE è simile ad ABC, per la proprietà transitiva della similitudine, sarà
ABC  A’B’C’.