Lo spazio e le figure
Donatella Merlo
Direzione Didattica 1° Circolo di
Pinerolo
MATHESIS - IVREA
3-4-5 Aprile 2002
Chi sono
insegno nella scuola elementare
dal ‘69
faccio parte del N.R.D. di Torino
condotto dal Prof. Arzarello
mi occupo non solo di matematica
ma anche di informatica e scienze
Che cosa farò oggi
Presentazione di alcuni esempi di
attività da svolgere in classe
coerenti con le competenze
elencate nel documento UMI
COMPETENZE
In contesti diversi di indagine e di osservazione:
•esplorare, descrivere e rappresentare lo spazio
•riconoscere e descrivere le principali figure piane e
solide
•utilizzare le trasformazioni geometriche per
operare su figure
•determinare misure di grandezze geometriche
•usare la visualizzazione, il ragionamento spaziale e
la modellizzazione geometrica per risolvere
problemi del mondo reale o interni alla matematica
Qualche slogan …
la geometria non ha bisogno della
misura... ma la usa quando serve
imparare ad argomentare serve a
capire il senso del “dimostrare”
saper “immaginare” è importante
visione dinamica vs visione statica
geometria per problemi vs
geometria per definizioni
la storia insegna!
Il laboratorio di geometria
progettare, manipolare, costruire
con materiali diversi
fare ipotesi, discutere,
argomentare
sperimentare, validare
44
2
3
11
2
1
3
4
I contesti
Interni: Figure geometriche
come oggetti matematici
Esterni: Carte geografiche ma
anche:
Ritmi
e moduli nello spazio
Percorsi su un modello
Rappresentazione dello spazio
visibile
Ruote e ingranaggi
I collegamenti esterni
Lingua italiana: sempre al primo
posto!
Tutte le educazioni (tecnica,
artistica, musicale, motoria)
Geografia
Scienze naturali, Fisica, Chimica
Gli esempi scelti
Il villaggio delle fiabe: 2°
elementare
Solidi noti e solidi misteriosi:
4° e 5° elementare
Dal dialogo del “Menone” al
teorema di Pitagora: 2° e 3° media
Alla ricerca della città perduta:
2° e 3° media
Il villaggio delle fiabe
Contesto: Figure geometriche
come oggetti matematici
Cominciare in 3D perché il mondo
è in 3D
I problemi di rappresentazione: ciò
che so, non è ciò che vedo
I punti di vista
Solidi noti e solidi
misteriosi (il toblerone)
Contesto: Figure geometriche
come oggetti matematici
Linee di sviluppo del lavoro sulle
3D
L’uso dell’immaginazione
Dal dialogo del “Menone”
al teorema di Pitagora
Contesto: Figure geometriche
come oggetti matematici
La discussione in classe si ferma
su considerazioni solo aritmetiche
ma….
... quando si inserisce la voce di
Platone la discussione si sposta su
un altro piano
Alla ricerca della città
perduta
Contesto: Carte geografiche
Le regole di proporzionalità che
stanno sotto la similitudine di due
triangoli
Risolvere un problema per arrivare
ad un concetto: ruolo
dell’insegnante
SCUOLA ELEMENTARE
1° - 2° anno
Competenze specifiche
• Riconoscere e descrivere alcune delle principali relazioni spaziali
(sopra/sotto, davanti/dietro, dentro/fuori, …)
• Eseguire un semplice percorso partendo dalla descrizione verbale o
dal disegno e viceversa
• Riconoscere, nel mondo circostante e nel disegno, alcune delle
principali forme geometriche del piano e dello spazio, riflettendo sulle
relazioni tra forma e uso
• Progettare e costruire oggetti con forme semplici
Contenuti
−Collocazione di oggetti in un ambiente
−Mappe, piantine e orientamento
Nota:(triangolo,
Si consigliaquadrato,
di evitare le
−Le prime figure del piano e dello spazio
definizioni a priori delle figure
cubo…)
geometriche
Il villaggio delle fiabe: fasi
Progettazione e costruzione di
cubi, in cartoncino e con le
cannucce, usando un cubo di
legno o polistirolo come modello
Disegno del quadrato su carta
quadrettata e su carta bianca
(problema dell’angolo retto)
COME ABBIAMO COSTRUITO IL CUBO
Abbiamo preso il cubo di legno e l’abbiamo
appoggiato sul cartoncino, poi abbiamo con la
matita ripassato il contorno, è venuto fuori un
quadrato. Abbiamo preso le forbici e l’abbiamo
ritagliato. Ne abbiamo ritagliati 7 quadrati
perché uno era venuto storto. Poi abbiamo
tenuto il cartoncino e abbiamo messo lo scoc,
una teneva e l’altra metteva lo scoc sugli
spigoli, da tutte le parti, in modo da formare un
cubo.
COME ABBIAMO COSTRUITO IL CUBO
Abbiamo messo al centro del cartoncino il
cubo e abbiamo piegato il cartoncino in modo
da impacchettarlo, poi abbiamo messo lo scoc
sopra per chiudere. Dopo abbiamo cercato di
fare le due parti laterali. Abbiamo piegato il
cartoncino in modo da chiudere, abbiamo
tagliato via dei pezzi, con quelli rimasti che ci
servivano abbiamo fatto le due facce laterali.
Abbiamo tolto il cubo da dentro e poi abbiamo
messo lo scoc per chiudere tutte le fessure.
COME ABBIAMO COSTRUITO IL CUBO
Abbiamo preso la matita, il righello, la gomma e
le forbici e poi abbiamo preso il cubo di legno e
il cartoncino e abbiamo fatto una croce con 5
quadrati che erano le facce del cubo. Abbiamo
piegato il cartoncino dove c’erano le righe dei
quadrati e abbiamo messo lo scoc per
chiuderlo e infine abbiamo attaccato la faccia
sopra.
È O NON È UN QUADRATO?
LAURA - no, perché è tagliato storto, dovrebbe
essere tagliato diritto
DIEGO - sembra più lungo che alto
YUANA - ha tutte le curve, dovrebbe essere dritto
ANDREA - qua c’erano 1, 2, 3, 4… qua ce ne sono 10
e qua 9
INSEGNANTE - allora perché non è un quadrato?
ANDREA - perché è tagliato storto invece dovrebbe
essere tagliato diritto, poi da un parte ha 10
quadretti e dall’altra 9
Il villaggio delle fiabe: fasi
Progettazione e costruzione di alcuni
sviluppi piani del cubo, cubi di
dimensioni diverse
Progettazione e costruzione di “casette”
formate da più cubi “uguali” uniti fra loro
facendo combaciare le facce: il gioco
dell’architetto
1
1
Casetta costruita
1
1
Vista da davanti
2
Vista da sinistra
Il villaggio delle fiabe: fasi
Realizzazione di un villaggio con le
casette costruite
Mappa del villaggio e percorsi
eseguiti da pupazzetti
Il villaggio delle fiabe:
aspetti rilevanti
descrizione delle caratteristiche delle
figure, carte di identità, conflitti con
linguaggio naturale (spigolo)
qual è un vero sviluppo? dai gesti fatti ai
gesti immaginati
facciamo tutte le case possibili con 3, 4
cubi: combinatoria, simmetrie, rotazioni e
traslazioni di forme 3D
SCUOLA ELEMENTARE
3° - 4° - 5° anno
Competenze specifiche
•Costruire e disegnare con strumenti vari le principali figure geometriche
•Individuare gli elementi significativi di una figura (lato, angolo, altezza…)
•Individuare simmetrie in oggetti e figure date; realizzarle e rappresentarle col
disegno
•Effettuare traslazioni e rotazioni (movimenti rigidi) di oggetti e figure
•Usare in maniera operativa, in contesti diversi, il concetto di angolo (anche
mediante rotazioni)
•Conoscere le principali proprietà delle figure geometriche
•Riconoscere figure equiscomponibili e usare il concetto di equiscomponibilità
per la determinazione di aree e di volumi in casi semplici, senza utilizzare
troppe formule
•Calcolare perimetri, aree e volumi delle più semplici figure geometriche
•Utilizzare il piano cartesiano per localizzare punti e figure
Contenuti
−Le principali figure del piano e dello spazio
−I principali enti geometrici
−Simmetrie, traslazioni, rotazioni
−Gli angoli e la loro ampiezza
−Rette incidenti, parallele, perpendicolari
−Uguaglianza tra figure
−Scomposizione e ricomposizione di poligoni
Nota
−Semplici scomposizioni di figure spaziali
A fianco di strumenti usati tradizionalmente
−Equivalenza di figure
(riga, squadra, compasso, …), si consiglia di
−Unità di misura di lunghezze, aree e volumi
utilizzare anche software di geometria
−Perimetro di poligoni
dinamica.
−Area di semplici poligoni
Si eviti di fare ricorso a formule di aree di
−Volume di semplici solidi
poligoni complessi attraverso l’uso dei
−Sistema di riferimento cartesiano
numeri fissi.
Si sconsiglia di fare imparare a memoria agli
allievi le formule inverse, favorendo invece
lo sviluppo di strategie per ricavarle.
Il toblerone: fasi
attività preparatorie: quadrati e
triangoli equilateri, tetraedro,
piramide a base quadrata
Il problema esposto a voce dall’insegnante….
“Provate ad immaginare una piramide
a base quadrata con le facce laterali
costituite tutte da triangoli equilateri ...
provate ad immaginare una seconda
piramide a base quadrata, identica alla
prima ... ora le due piramidi vengono
appoggiate su un piano e si uniscono,
in modo che due spigoli di base
combacino. Tra i due solidi rimane un
vuoto: sapete dire che solido manca
per riempire quel vuoto?”
Sherlock Holmes: giocare con gli indizi
Ha 6 spigoli perché……..
Ha 4 facce perché…..
Le facce sono triangoli equilateri perché….
Ha 4 vertici perché…...
Qual è la figura che ha queste
caratteristiche?
Il tetraedro!
… sempre il cubo ….
“Prendete 3 quadrati col lato
di 10 cm, tagliateli lungo la
linea HK in modo da ottenere
3 triangoli e 3 pentagoni (fig.
3). Disegnate un esagono
regolare con i lati lunghi
come HK e unite i triangoli e i
pentagoni ai lati dell’esagono
alternandoli (un triangolo, un
pentagono e così via). Provate
a chiudere la figura come
fosse uno sviluppo. Che tipo
di solido è venuto fuori?
Assomiglia a qualche solido
che conoscete? Sapete
calcolare il volume di questo
solido?”
H
5 cm
5 cm
K
10 cm
Il toblerone: aspetti
rilevanti
modo di porre un problema: voce,
gesti, immaginazione
educare alla visione spaziale:
tempi lunghi
conflitto tra aspetti figurali e
concettuali: percezione
aiuto/ostacolo, ri-costruzione
concettuale e mentale
SCUOLA MEDIA
1° - 2° - 3° anno
Competenze specifiche
•Conoscere le proprietà delle figure piane e solide
•Usare il metodo delle coordinate in situazioni problematiche concrete
•Visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappresentazione
bidimensionale e, viceversa, rappresentare su un piano una figura solida
•Risolvere problemi usando proprietà geometriche delle figure anche
ricorrendo a modelli materiali e a opportuni strumenti (riga, squadra,
compasso, software di geometria dinamica, …)
•Riconoscere figure uguali e descrivere le isometrie necessarie per portarle
a coincidere
•Riconoscere grandezze proporzionali e figure simili in vari contesti
•Riprodurre in scala
•Calcolare perimetri, aree e volumi delle principali figure
•Calcolare lunghezze di circonferenze e aree di cerchi
Contenuti
−Figure piane e solide
−Rappresentazione piana di figure solide
−Rapporto tra grandezze
−Somma degli angoli di un triangolo e di un poligono
−Teorema di Pitagora
−Traslazioni, rotazioni, simmetrie
−Omotetie, similitudini
−Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
−Descrizione di alcuni numeri irrazionali
Aspetti storici connessi:
La misura del raggio della Terra
col metodo di Eratostene
Diversi valori di π nella
geometria antica.
Nota
Si limiterà la memorizzazione
di formule abituando i ragazzi a
ricavare formule inverse.
Il Menone: fasi
il problema
le possibili strategie
la voce di Platone (dialogo tra
Socrate e uno schiavo)
verso il teorema di Pitagora
Il problema
“ Trova il lato di un quadrato di area
doppia di quella di un quadrato dato.
Puoi utilizzare un quadrato di lato 2 cm o
2 quadretti. Spiega con cura il tuo
procedimento”.
Possibili strategie
“2x2= 4 area del primo quadrato, l’area del secondo deve
essere 8, allora prendo un quadrato di lato 4 e avrò 4x4= 16
[Il tutto accompagnato da disegni], ma 16 è troppo, è il
quadruplo. Allora provo con il lato di 3 perché è più grande
di due e più piccolo di 4. Ma 3x3 fa 9 ed è ancora troppo.
Però ci sono più vicino e potrei provare con 2,5…”
Si inserisce il dialogo di Platone
Prima fase: il problema
Socrate:... il lato di questo ABCD è di due
piedi, quanto sarà quello di superficie
doppia?
Schiavo : evidentemente il doppio, Socrate!
Socrate: tu dici che da questo lato si
genererà la superficie di otto piedi, se i
quattro lati sono uguali?
Schiavo: Sì
[viene costruito il quadrato]
Socrate: Il quadruplo è dunque quanto il
doppio?
Schiavo: No, per Zeus
Seconda fase: un altro tentativo
Schiavo: allora il lato sarà di tre
piedi [più grande di due e più
piccolo di quattro]
Socrate: Ma tre volte tre piedi
quanto fa?
Schiavo: Nove
Socrate: Dunque neppure dal
lato di tre piedi si genera la
superficie di otto piedi.
Schiavo: No certo
Socrate: Da quale lato allora?
Prova a dircelo con esattezza.
Schiavo: Per Zeus, non lo so!
Socrate: Vedi Menone, quanto
è progredito ormai? Prima non
sapeva quale fosse il quadrato
di otto piedi e neppure adesso
lo sa, ma allora credeva di
saperlo e non si considerava in
difficoltà … Ormai invece si
considera in difficoltà e poiché
non sa, non crede neppure di
sapere
Terza fase: la soluzione
Socrate: Questa linea, condotta
da un angolo all’altro in
ciascuno di questi quadrati, non
divide in due ciascuno di essi?
Schiavo: Sì
…….
Socrate:… sicchè, se il suo
nome è diagonale, la superficie
doppia, come dici tu, schiavo di
Menone, sarà generata dalla
diagonale
Verso il Teorema di Pitagora
“Abbiamo un triangolo isoscele rettangolo (mezzo quadrato)
di lato l. Costruiamo i quadrati sui lati del triangolo. Che
cosa possiamo dire di questi tre quadrati? Che relazione
hanno tra di loro?”
I ragazzi, in genere, riconoscono le equivalenze:
“Possiamo dire che A e B sono uguali e sono il doppio del
triangolo, mentre C è il quadruplo del triangolo, come ci ha
insegnato Socrate, ed è il doppio di A e B.”
Generalizzando a
tutti i triangoli
rettangoli……..
Il Menone: aspetti rilevanti
conoscenza dei numeri decimali e
del loro significato
pur conoscendo la radice quadrata
non la usano
ruolo della rappresentazione
uso della voce di Platone per
sbloccare la situazione (strategia
didattica)
Alla ricerca della città
perduta: fasi
confronto fra carte geografiche in
scale diverse: dov’è sparita St.
Étienne?
il triangolo sulla prima carta,
disegno e misurazioni
il triangolo sulla seconda carta: i
lati … diviso 5, ma gli angoli?
se la direzione per andare da una
città all’altra non cambia …..
Il problema
L'immagine che vedete nella figura 1 è una parte della
carta della Francia: la scala è 1 : 1 000 000. Su di essa
abbiamo evidenziato tre città - Lyon, Grenoble e St.Étienne - che formano i vertici di un triangolo scaleno.
Di esse la meno famosa è forse St.- Étienne.
Probabilmente per questo motivo non l'abbiamo più
ritrovata nella carta dell'Europa all'interno di un atlante.
In questa seconda carta la scala è 1 : 5 000 000. Il
problema che abbiamo di fronte è quello di collocare
anche su questa carta St.- Étienne conoscendo la scala e
la posizione di Lyon e Grenoble.
Come fare?
Come saranno le distanze sulla seconda carta rispetto a quelle
della prima?
Evidentemente 5 volte più piccole. Controlliamo questo fatto
con i dati che abbiamo a disposizione.
Sulla prima carta la distanza Lyon-Grenoble è di 9.3 cm;
sulla seconda di 1.86 cm. Infatti 9.3 : 5 = 1.86.
….dobbiamo ancora tenere conto degli angoli.
Dobbiamo variarli rispetto al triangolo della prima carta?
Ragionate un po': la direzione da prendere per andare da una
città non può variare passando da una carta all'altra! Quindi
gli angoli devono restare uguali.
Ora abbiamo tutti gli elementi necessari per costruire il
secondo triangolo
Se calcoliamo il rapporto tra il lato maggiore e quello minore
del primo triangolo otteniamo:
10,7 / 4,9 ~ 2,1836734
Quanto otteniamo calcolando lo stesso rapporto per il secondo
triangolo?
2,14 / 0,98 ~ 2.1836734
Ora tocca all’insegnante!
….quindi i loro lati formano una proporzione:
4,9 : 9,3 = 0,98 : 1,86
4,9 : 10,7 = 0,98 : 2,14
9,3 : 10,7 = 1,86 : 2,14
Due figure piane che abbiano queste caratteristiche si
dicono simili.
Il rapporto tra i lati corrispondenti di figure simili si
chiama rapporto di similitudine.
Figure piane simili hanno la stessa forma.
Alla ricerca della città
perduta: aspetti rilevanti
che cosa determina la forma?
il calcolo come conferma
dell'uguaglianza dei rapporti
l'insegnante dà il “nome” al pezzo
di sapere costruito: figure simili,
rapporto di similitudine
Metafore e immaginazione
l’alunno (noi) parla di quel che non
sa usando ciò che sa (metafore,
analogie)
usa le sue conoscenze e il suo
linguaggio naturale
l’immaginazione serve per
anticipare i risultati di azioni che si
sanno compiere: tempi lunghi!
Non esistono i quadrati
perfetti!
i modelli in geometria
assiomi e dimostrazioni
discutere e argomentare pro o
contro una soluzione quindi…
porre problemi in contesti
significativi
