funzioni trascendent..

ALCUNE FUNZIONI TRASCENDENTI
NEL CAMPO COMPLESSO
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1. Esponenziale complesso
È noto che la funzione f(x) = ex è definita per ogni x reale. Essa è continua e crescente su tutto
R, assume tutti i valori dell'intervallo (0 , +), e verifica la fondamentale proprietà additiva
e x y  e x  e y .
(1)
Vediamo ora come è possibile estendere la definizione di esponenziale al caso degli esponenti
complessi. Come si vedrà, questa definizione consente di mantenere la proprietà (1) anche al caso
complesso.
Cominciamo col definire l'esponenziale per esponenti immaginari puri, cioè per numeri del
tipo ix, con x reale. In tal caso poniamo:
eix  cos x  isen x ,
(2)
dove ovviamente seno e coseno sono calcolati sulla misura in radianti dell'angolo x.
La (2) è detta anche formula di Eulero. Da essa si trova ad esempio:

i
3
e  cos

 1
3
 isen  
i;
ei  cos   isen   1 ;
3
3 2 2
7
 i
3
 7 
 7  1
e 3  cos    isen     
i;
 3 
 3  2 2
e2 i  cos 2  isen 2  1 .
Se invece z è un generico numero complesso, diciamo z = x + iy, poniamo:
e z  e xiy  e x  eiy  e x (cos y  isen y) .
(3)
Perciò si ha ad esempio:
e2i  e2 (cos   isen )  e2 ;
e
e


 3 i


5

  
3 i ;
 cos  isen   5 
6
6

 2 2 2
1
log5 
 3 i
13
13 
5
 e 2  cos
 isen
  
3 i .
  5 
6
6 

 2 2 2
1

log5 i
2
6
1
13
log5
i
2
6
e1i  e(cos1  isen1) ;
e
1
log5
2


Gli ultimi due esempi mostrano che nel campo complesso la funzione esponenziale non è
iniettiva: può accadere cioè che per z1  z2 si abbia e z  e z . In effetti, non è difficile osservare che
ciò si verifica se z1 e z2 differiscono per un multiplo intero di 2i.
Verifichiamo ora che in generale vale la proprietà additiva
1
2
e zw  e z  e w ,
(4)
comunque si considerino i numeri complessi z e w. A tale scopo, poniamo z = x + iy, w = s + ti, e
calcoliamo separatamente i due membri della (4):
e zw  e xsi ( yt )  e xs (cos( y  t )  isen ( y  t )) ;
e z  e x (cos y  isen y) ;
e w  e s (cos t  isen t ) ;
e z  ew  e x  es (cos y  isen y)(cos t  isent ) 
= e xs (cos y cos t  i cos ysen t  isen y cos t sen ysen t ) ,
perciò la (4) segue dalle due identità trigonometriche cos( y  t )  cos y cos t sen ysen t e
sen ( y  t )  sen y cos t  cos ysen t .
2. Logaritmo complesso
Passiamo ora a considerare la funzione logaritmo (naturale) nel campo C. Per quanto
osservato sopra, possiamo subito dire che il logaritmo di un numero complesso, se esiste, non è
unico, in quanto la funzione esponenziale non è iniettiva.
Fissiamo un generico numero complesso z = a + bi e chiediamoci quali sono tutte le soluzioni
w in C dell'equazione esponenziale ew = z.
Posto w = x + iy, abbiamo l'equazione
ex+iy = a + bi.
(5)
Applicando la definizione (3), la (5) diventa
ex(cos y + i sen y) = a + bi,
(6)
e x cos y  a
 x
e sen y  b.
(7)
che equivale al sistema
Elevando al quadrato e sommando le due equazioni del sistema (7), otteniamo
e2 x  a 2  b2 .
(8)
L'equazione (8) mostra in primo luogo che non c'è soluzione se a 2  b 2  0 , cioè se a e b sono
entrambi nulli. In altre parole, ez non può dare il risultato zero per alcun valore complesso z, e
quindi non esiste log 0 neanche nel campo complesso.
1
Nell'ipotesi z = a + bi  0, dalla (8) si trova 2 x  log( a 2  b2 ) , cioè x  log( a 2  b 2 ) 
2
2
2
2
2
 log a  b ; e siccome a  b è uguale al modulo di z, possiamo dire che il numero x, parte
reale del logaritmo che stiamo cercando, e uguale a log |z|.
Posto z   , il sistema (7) diventa
 cos y  a

sen y  b,
il che vuol dire che y è l'argomento di z, o meglio una delle infinite possibili determinazioni
dell'argomento di z. Come è noto, l'insieme di tutti i possibili argomenti di z si indica con il simbolo
Arg(z); unendo allora i risultati trovati, si trova la formula
Log z = log|z| + i Arg(z),
(9)
che fornisce tutte le determinazioni del logaritmo di z; la formula è valida per qualunque numero
complesso z  0.
Ad esempio, per z = 1 + i, essendo z  2 e  
Log (1  i ) 

 2k (con k intero), la (9) dà:
4
1


log 2    2k i .
2
4

Tra le infinite determinazioni del logaritmo fornite dalla (9), indichiamo con logaritmo
principale quella corrispondente all'argomento principale di z, cioè l'angolo  compreso
nell'intervallo ( , ], e la indicheremo con log z. Tornando all'esempio precedente, si avrà
1

log (1  i )  log 2  i .
2
4
Come ulteriori esempi, calcoliamo i seguenti logaritmi:
4
Per z = 3 + 4i, è |z| = 5 e   arcsen  2k (indifferentemente, tale angolo si può anche
5
3
4
4


indicare con arccos o con arctg ); perciò si avrà Log (3  4i )  log 5   arcsen  2k i e
5
3
5


4
log (3  4i )  log 5  i arcsen .
5



Per z = 9i è |z| = 9 e    2k , perciò Log 9i  2 log 3  (4k  1) i e log 9i  2 log 3  i .
2
2
2
1
Per z =  7 è |z| = 7 e     2k , perciò Log ( 7 )  log 7  (2k  1)i e
2
1
log ( 7 )  log 7  i .
2
Ovviamente anche il logaritmo di un numero reale positivo ha infinite determinazioni in C: ad
esempio, Log 6 = log 6 + 2ki; la determinazione principale in questo caso coincide con il ben noto
logaritmo reale.
ESERCIZIO 1. Risolvere l'equazione e2 z  (1  3i)e z  (2  i)  0 .
SOLUZIONE. L'equazione è esponenziale, ma rispetto alla variabile ez è di secondo grado.
Possiamo sostituire con una nuova variabile, ma più semplicemente possiamo applicare la solita
formula risolutiva delle equazioni di secondo grado e scrivere:
ez 
1  3i  (1  3i)2  4(2  i) 1  3i   2i
.

2
2
Applicando il solito procedimento per il calcolo delle radici, si vede subito che le radici di 2i
sono date dalla formula
 2i 




  2k
  2k 

 = 2  cos    k   isen     k   ,
2  cos 2
 isen 2


2
2



 4

  4


con k = 0 oppure 1. Si ha quindi  2i   (1  i ) ; pertanto ez può assumere i due valori
1  3i  (1  i)
1  3i  (1  i )
 1  2i e
 i .
2
2
Per risolvere l'equazione e z  1  2i basta calcolare tutte le determinazioni del logaritmo di
1
2


1  2i. Per quanto detto sopra, tali soluzioni sono date da
log 5    arcsen
 2k i .
2
5


 

Analogamente, le soluzioni di e z  i sono date da    2k i .
 2

Grazie all'introduzione del logaritmo in C, possiamo dare un significato al simbolo zw, dove z
e w sono due generici numeri complessi con z  0. Diamo a tale scopo la seguente definizione:
zw = ewLogz.
(10)
Osserviamo che, essendo infinite le determinazioni di Log z, saranno infiniti anche i possibili
valori della potenza zw; tra queste, indicheremo con determinazione principale quella
corrispondente al logaritmo principale di z, cioè zw = ewlogz.
Ad esempio, si determinino tutti i valori della potenza ii; per la (10), si ha ii = eiLog i. Il numero



i ha modulo 1 ed argomento principale , per cui si ha Log i = i  2k  ; in conclusione, i valori
2
2

i
di i sono dati dalla formula e


 2 k 
2



, e tra questi la determinazione principale è e 2 .


1i
Come ulteriore esempio, si consideri la potenza  1  i 3 ; per il numero  1  i 3 è  = 2
2
 2

 2k , per cui è Log  1  i 3  log 2  
 2k i . Moltiplicando questo numero per
e 
3
 3

2

2


 

 2k   i log 2 
 2k  ; infine, l'esponenziale di questo numero è
(1 + i) si trova log 2  
3
 3
 



 2

 2 k 
 3

 
2
2



 2k   isen  log 2 
 2k   , e tra queste infinite determinazioni
 cos log 2 
3
3



 
2
 
2 
2  


quella principale è 2e 3  cos log 2 
  isen  log 2 
  , che si può anche scrivere
3 
3  

 
2e
e

2
3
 cos log 2 


3sen log 2  i  sen log 2  3 cos log 2 .
Si osservi infine che con la definizione (10) acquista significato anche l'operazione ab tra
numeri reali con a < 0 e b irrazionale (operazione che, come è noto, non è possibile nel campo
reale). Ad esempio, per calcolare (4) 3 , basta scrivere e 3Log( 4) ; poiché risulta Log(4) = 2 log 2 +
+ (2k + 1)i,
4
3
4
3
si
3Log (4)  2 3 log 2  (2k  1) 3i ,
ha
cos(2k  1) 3  isen (2k  1) 3 
cos 3  isen  3 .
per
cui
l'esponenziale
vale
. Tra queste infinite determinazioni, quella principale è


z
ESERCIZIO 2. Quali sono i numeri complessi z per i quali la potenza 1 i 3 assume
almeno un valore reale?



SOLUZIONE. Posto z = x + iy, si ha z Log 1  i 3  ( x  iy ) log 2  i  2k   
3


z





assume i valori
 x log 2    2k  y  i y log 2  x  2k   , per cui
1 i 3
3

3








 2 k 
3

 





 cos y log 2  x  2k    isen  y log 2  x  2k    . Affinché tale numero sia
3

3


 
reale, deve essere
x
2 e


y log 2  x  2k   h ,
3

(11)
dove anche h è un intero. Esistono quindi infinite soluzioni: fissati indipendentemente i due numeri
interi h e k, basta scegliere i numeri reali x ed y che verifichino la (11). Ad esempio, per h = k = 0 si


ha y log 2  x  0 , che è soddisfatta ad esempio con x = log 2 e y  ; infatti, calcolando la
3
3

log2 i
 
 




3
potenza 1  i 3
si trova   log 2  i Log 1  i 3    log 2  i  log 2    2k i  
3 
3 


3



 

  log 2 2    2k   2 log 2ki ,
33

2
log 2
e

2 2 2
 k
9 3
per
cos 2 log 2k  isen 2 log 2k ;
cui


la
potenza
assume
gli
infiniti
valori
in particolare, per k = 0 si ha il numero reale
 2 2
 k
9 3


. Se però nella (11) poniamo h = 1 e k = 2, essa diventa y log 2  x  4    , che è
3

13
vera ad esempio per x = log 2 e y    . Verifichiamo anche qui il risultato: essendo
3
13 
13 
26




i Log 1  i 3   log 2 
i  log 2    2k i   log 2 2  k2  (2k  4)i log 2 , la
 log 2 
3 
3 
3


3

2 log2 e

2


26 2
k
potenza dà i valori 2log2 e 3
trova il numero reale 2log2 e
cos(2k  4) log 2  isen (2k  4) log 2 ;
26 2
k
3
.
3. Funzioni goniometriche nel campo complesso
Se x è un numero reale, dalla formula (2) si ha immediatamente:
in particolare, per k = 2 si
eix  cos x  isen x
 ix
e  cos x  isen x.
(12)
Sommando membro a membro le equazioni (12), si trova eix  e ix  2 cos x , da cui:
eix  eix
.
cos x 
2
(13)
Analogamente, sottraendo membro a membro le (12), si trova eix  eix  2isen x , da cui:
sen x 
eix  eix
.
2i
(14)
Le formule (13) e (14) esprimono le funzioni seno e coseno (per x reale) come combinazioni
lineari di esponenziali complessi, mostrando così un'interessante analogia con le funzioni
iperboliche.
Si può allora pensare di estendere le definizioni delle funzioni goniometriche al campo
complesso, utilizzando formule analoghe alle (13) e (14). Poniamo quindi, per ogni z complesso:
eiz  eiz
.
2
eiz  eiz
.
sen z 
2i
cos z 
(15)
(16)
Volendo, è anche possibile dare delle formule esplicite per la parte reale e per il coefficiente
dell'immaginario di cos z = cos (x + iy), ed analogamente per il seno. Infatti si ha:
ei ( xiy)  ei ( xiy) e yix  e yix


2
2
e y (cos x  isen x)  e y (cos x  isen x)
e y  e y
e y  e y

 cos x
 isen x

2
2
2
 cos x cosh y  isen xsenh y ;
(17)
ei ( xiy)  ei ( xiy) e yix  e yix


2i
2i
e y (cos x  isen x)  e y (cos x  isen x) 1 
e y  e y
e y  e y 


   cos x
 isen x
2i
i
2
2 
 sen x cosh y  i cos xsenh y .
(18)
cos z  cos( x  iy ) 
sen z  sen ( x  iy ) 
Ad esempio, per calcolare il seno di 3i, si può utilizzare la (16):
sen 3i 
ei3i  ei3i e3  e3 i 3 3

 (e  e ) ,
2i
2i
2
che si può anche scrivere come i senh 3. Lo stesso risultato si trova applicando direttamente la
formula (18), dato che in questo caso è x = 0 ed y = 3.


Altro esempio: sia da calcolare cos  i log 7  . Dalla (15) abbiamo:
3




i  i log7 
3



i  i log7 
3


log7 i
3

log7 i
3
e
e
e

 e
cos  i log 7  


2
2
3

1

 


 cos  isen   7 cos  isen 
3 71
3  25 12
7
3
3 
3
3  1  1
  i

  i
 i 3.
2
14  2
2  2  2
2  14 7
Lo stesso risultato si ottiene applicando direttamente la formula (17); essendo x 


y = log 7, si ha cos cosh log 7  isen senh log 7 . Siccome poi è cosh log 7 
3
3
1
7
7  24 , si trova 1  25  i 3  24  25  12 i 3 .
senh log 7  
2 7
2 7 14 7
2
7

ed
3
1
7  25 e
2
7
7
Si può verificare che le classiche formule note dalla trigonometria conservano la loro validità
anche nel campo complesso. Ad esempio, per dimostrare la formula di addizione
sen ( z  w)  sen z cos w  cos z sen w ,
(19)
è sufficiente calcolare separatamente i due membri. Applicando la (16), si trova
sen ( z  w) 
ei ( zw)  ei ( zw) eizeiw  eizeiw
.

2i
2i
Sempre grazie alle formule (15) e (16), il secondo membro della (19) diventa:
eiz  eiz eiw  eiw eiz  eiz eiw  eiw


2i
2
2
2i
eizeiw  eizeiw  eizeiw  eizeiw  eizeiw  eizeiw  eizeiw  eizeiw eizeiw  eizeiw
,


4i
2i
il che dimostra appunto la (19).
ESERCIZIO 3. Risolvere l'equazione sen z = 3 .
SOLUZIONE. A differenza di quanto accade nel campo reale, si può vedere che l'equazione
sen z = a ammette infinite soluzioni comunque sia fissato il numero complesso a.
eiz  eiz
Per risolvere il problema, è sufficiente applicare la (16): posto
 3 , si ha
2i
eiz  eiz  2i 3 , cioè e2iz  2i 3eiz  1  0 . Rispetto all'incognita e iz questa equazione è di secondo
grado, e pertanto può essere risolta direttamente; si ha quindi eiz  i 3   3  1  i 3  2 . Ora,







l'equazione e  i 3  2 ammette le infinite soluzioni iz  Log i 3  2 ; essendo i 3  2
iz







situato sul semiasse immaginario positivo, si ha Log i 3  2  log 3  2    2k i , e da
2




ciò si trovano le soluzioni z    2k   i log 3  2 ; analogamente, da Log i 3  2 
2





 log 3  2    2k i , si trova z    2k   i log 3  2 .
2
2












65 2  63i 2
.
32
all'esercizio precedente, applichiamo
ESERCIZIO 4. Risolvere l'equazione cos z 
SOLUZIONE. Analogamente
e  e  iz 65 2  63i 2

si ha 32eiz  32eiz  130 2  126i 2 , cioè:
2
32
la
(15):
da
iz


16e 2iz  65 2  63i 2 eiz  16  0 .
Risolvendo rispetto ad
iz
e , si trova
e 
iz
65 2  63i 2 
(20)
65

2
2  63i 2  1024
=
32
65 2  63i 2  8450  7938  16380i  1024 65 2  63i 2  2  128  4095i


. Ora, per
32
32
calcolare la radice quadrata di 128  4095i, si consideri che il modulo di questo numero è
1282  40952  4097 , e che l'argomento principale  è l'angolo del terzo quadrante avente seno
4095
128

uguale a 
e coseno uguale a 
; siccome
cade nel secondo quadrante, si trova
4097
4097
2
128
128
1
1


4097   63
4097  65 , per cui le radici
facilmente cos  
e sen 
2
2
2
2
8194
8194
63
65 
63  65i

i
quadrate di 128  4095i sono  4097  
. Pertanto le soluzioni

8194
8194 
2

2
65  63i  (63  65i) , cioè 2 1  i  e 4 2 1  i  . L'equazione
32
16
2
1  i  ammette le infinite soluzioni iz  3 log 2     2k i , mentre l'equazione
eiz 
16
4

 

eiz  4 2 1  i  dà iz  3 log 2     2k i . In conclusione, tutte le soluzioni sono date dalle
 4



 

formule z    2k   3i log 2 e z     2k   3i log 2 .
 4

4

dell'equazione (20) sono