Problema A1 Da un gruppo di 10 donne e 8 uomini si deve formare

A
Problema A1
Da un gruppo di 10 donne e 8 uomini si deve formare un comitato di 3 uomini
e 3 donne
a. In quanti modi differenti si puó scegliere questo comitato.
b. Qunati comitati diversi si possono formare se 2 uomini si rifiutano di stare
insieme nel comitato.
Soluzione.
a. Un comitato é costituito da 3 uomini tra gli 8 e da 3 donne tra le 10.
Dunque il numero totale é
( ) ( )
8
10
= 56 × 120 = 6720
3
3
b. Un comitato composto da 3 uomini tra gli 8 di cui 2 non vogliono stare
insieme e da 3 donne su 10, é una combinazione di 3 uomini tra gli 8 che
possono stare insieme e una combinazione di 3 donne tra le 10, oppure
una combinazione di un uomo tra i due che non vogliono stare insieme,
una combinazione di 2 uomini tra i 6 che possono stare insieme e una
combinazione di 3 donne. Si deduce che il numero totale di possibilitá é
( )( )
( )( )
6
10
6
10
+2
=
3
3
2
3
6!
10!
6!
10!
=
×
+2×
×
3!(6 − 3)! 3!(10 − 3)!
2!(6 − 2)! 3!(10 − 3)!
= 20 × 120 + 2 × 15 × 120 = 2400 + 3600 = 6000.
Problema A2
Una scatola contiene 9 palline numerate da 1 a 9. Si estrae a caso 2 palline dalla
scatola. Determinare la probabilitá di ottenere 2 palline della stessa paritá nei tre
casi seguenti:
1. Si estraggono le due palline simultaneamente.
2. Si estrae una pallina, non la si ripone nella scatola, poi si estrae la seconda
pallina.
3. Si estrae una pallina, si ripone la pallina nella scatola prima di estrarre
l’altra.
Soluzione. 1. L’estrazione é simultanea. Si scelga l’evento certo Ω = {combinazioni
di classe 2( di
) palline numerate, tra le 9 palline contenute nella scatola }. Dunque
CardΩ = 92 .
Si cerca la probabilitá dell’evento B = {si ottengono 2 numeri della stessa
paritá}. Poiché Ω é finito e vi é equiprobabilitá, si considera l’algebra di probabilitá data dalla terna {Ω, A, P } dove P é la probabilitá uniforme. Allora
P (B) =
Card (B)
.
Card Ω
1
2
Resta da determinare la Card (B). Si ha B = B1 ∪ B2 , dove B1 =” si ottengono
due numeri pari”
due numeri dispari”. Poiché B1 ∩ B2 = ∅,
( ) e B2 =” si ottengono
()
Card(B1 ) = 42 e Card(B2 ) = 52 , si ha
( ) ( )
4
5
Card(B1 ∪ B2 ) = Card(B1 ) + Card(B2 ) =
+
2
2
(4)
allora
P (B) =
2
()
+ 52
(9)
=
2
=
4!
2!(4−2)!
+
5!
2!(5−2)!
9!
2!(9−2)!
=
16
≃ 0, 4444.
36
2. Estrazione senza rimpiazzo. Si scelga l’evento certo Ω = { allineamenti di 2
palline tra le 9 senza ripetizioni}. Allora
Card Ω = 9 × 8.
Si cerca la probabilitá dell’evento B = {i 2 numeri hanno stessa paritá}. Ω é finito e
vi é equiprobabilitá, si considera l’algebra di probabilitá data dalla terna {Ω, A, P }
dove P é la probabilitá uniforme. Allora
Card (B)
.
Card Ω
Resta da determinare la Card (B). Si ha B = B1 ∪ B2 , dove B1 =” si ottengono
due numeri pari” e B2 =” si ottengono due numeri dispari”. Poiché B1 ∩ B2 = ∅,
Card(B1 ) = 4 × 3 e Card(B2 ) = 5 × 4, si ha
P (A) =
Card(B1 ∪ B2 ) = Card(B1 ) + Card(B2 ) = 4 × 3 + 5 × 4
allora
4×3+5×4
4
= ≃ 0, 4444
9×8
9
si giunge a un risultato noto, che la probabilitá é la stessa.
P (B) =
3. L’estrazione é con rimpiazzo. Si scelga l’evento certo Ω = {1, . . . , 9}2 , Dunque
Card Ω = 92 .
Si voglia la probabilitá dell’evento B = {i 2 numeri hanno stessa paritá}. Poiché Ω
é finito e vi é equiprobabilitá, si considera l’algebra di probabilitá data dalla terna
{Ω, A, P } dove P é la probabilitá uniforme. Allora
Card (B)
.
Card Ω
Resta da determinare la Card (B). Ora si ponga, come prima, B = B1 ∪B2 , dove
B1 =” si ottengono due numeri pari” e B2 =” si ottengono due numeri dispari”.
Poiché B1 ∩ B2 = ∅, Card(B1 ) = 42 e Card(B2 ) = 52 , si ha
P (A) =
Card(B1 ∪ B2 ) = Card(B1 ) + Card(B2 ) = 42 + 52
allora
P (B) =
42 + 52
41
=
≃ 0, 5061
2
9
91
Problema A3
3
In un allevamento di montoni, si scopre che il 15% degli animali sono malati. La
probabilitá che un montone che non sia malato abbia una reazione negativaad un
test dato é 0,90. D’altra parte, se un montone é malato, la reazione sará positiva
con probabilitá 0,80. Qual’é la probabilitá che un montone scelto a caso e che ha
una reazione positiva al test sia malato?
Soluzione.
Si considerino gli eventi M= {il montone é malato} e P= { la reazione al test é
positiva. } Dall’enunciato, si ha
15
P (M ) =
= 0, 15 P (P |M ) = 0, 9, P (P |M ) = 0, 8.
100
Si deve calcolare la probabilitá subordinata P (M |P ). La formula di Bayes fornisce
P (M |P ) =
P (P |M )P (M )
P (P |M )P (M ) + P (P |M )P (M )
=
P (P |M )P (M )
P (P |M )P (M ) + (1 − P (P |M ))(1 − P (M )
=
0, 8 × 0, 15
∼
= 0, 5853
0, 8 × 0, 15 + (1 − 0, 9)(1 − 0, 15)
Problema A4
In una spiaggia vive una popolazione di gamberi. Un ecologista ralizza una esperienza: egli dispone una nassa per gamberi ogni 20 metri. Ne piazza 25 e li numera
da 1 a 25. Si sa, da precedenti esperienze, che quando si preleva una nassa in questa
spiaggia, vi é il 25% che la nassa sia vuota. Sia X la variabile aleatoria uguale al
numero di nasse vuote.
1. Determinare la legge di probabilitá di X e dare (anche senza calcolo se
possibile), la speranza matematica e la varianza di X.
2. Determinare la probabiliá di prelevare esattamente 3 nasse vuote.
Soluzione.
1. Si ha X(Ω) = {0, . . . , 25}. Per definizione X é il numero di realizzazioni di
A = { la nassa é vuota } in 25 esperienze indipendenti. Si deduce che X segue la
legge binomiale B(n, p) con n = 25 e p = P (A) = 0, 15:
( )
25
P (X = k) =
(0, 15)k (1 − 0, 15)25−k , k ∈ {0, . . . , 25}.
k
Dunque
E(X) = np = 25×0, 15 = 3, 75 e D(X) = np(1−p) = 25×0, 15×(1−0, 15) = 3, 1875.
2. Utilizzando la legge di probabilitá di X determinata in 1., la probabilitá di
prelevare 3 nasse vuote é
( )
25
P (X = 3) =
(0, 15)3 (1 − 0, 15)25−3 ≃ 0, 2173.
3