Circuiti elettronici per la elaborazione analogica delle informazioni

Circuiti elettronici per la elaborazione analogica delle
informazioni
La maggior parte dei segnali applicati agli ingressi di un sistema elettronico provengono da
dispositivi chiamati sensori i quali, sulla base della loro caratteristica ingresso-uscita, convertono
grandezze non elettriche (ad esempio una temperatura) in corrispondenti grandezze elettriche in
forma analogica (ad esempio una tensione). Inoltre, la maggior parte dei segnali presenti alle uscite
di un sistema elettronico sono utilizzati per pilotare dispositivi chiamati attuatori (ad esempio un
altoparlante) i quali convertono grandezze elettriche in forma analogica (ad esempio una tensione)
in grandezze non elettriche (ad esempio onde acustiche).
Per tale ragione, sebbene la elaborazione delle informazioni avvenga tipicamente sotto forma
digitale, tutti i sistemi elettronici richiedono la presenza di circuiti per elaborare segnali analogici,
se non altro per convertire tali segnali analogici in segnali digitali (conversione analogica/digitale
o A/D) e viceversa (conversione D/A).
Le principali operazioni che possono essere eﬀettuate su segnali analogici sono l’ampliﬁcazione
(il che equivale a moltiplicare il segnale per una costante), la somma pesata di segnali diversi, le
operazioni di derivazione ed integrazione nel tempo e il ﬁltraggio nel dominio della frequenza, come
sintetizzato nella Tab.1.
La più importante tra le operazioni analogiche è l’ampliﬁcazione, dato che essa rappresenta
la funzione base per l’esecuzione della maggior parte delle altre funzioni analogiche e, come sarà
illustrato in seguito, perché indispensabile per condizionare i segnali prima dell’operazione di conversione A/D. Sulla base di queste considerazioni, nel seguito saranno illustrati i circuiti elettronici
che consentono di eseguire l’operazione di ampliﬁcazione (ossia gli ampliﬁcatori ) insieme con le loro
limitazioni pratiche.
Funzione
y(t) = Ax(t)
y(t) = Ax(t) + C
y(t) = A1 x1 (t) + A2 x2 (t) + . . .
y(t) = kx1 (t)x2 (t)
y(t) = kx1 (t)/x2 (t)
y(t) = k1 log [k2 x(t)],
y(t) = k1 exp [k2 x(t)],. . .
y(t) = k dx(t)
∫dt
t
y(t) = k 0 x(t′ )dt′
Y (f ) = H(f )X(f )
Descrizione
Ampliﬁcazione
Ampliﬁcazione con oﬀset C
Somma pesata
Prodotto tra segnali
Rapporto tra segnali
Altre funzioni non lineari
Derivata
Integrale deﬁnito
Filtraggio nel dominio della frequenza
(Passa-basso,
passa-alto,
passa-banda,. . . )
Tabella 1: Alcune tra le più importanti funzioni analogiche: x(t) segnale(i) in ingresso, y(t) segnale
in uscita, A, k valori reali (dimensionati).
1
1
Ampliﬁcatori
Gli ampliﬁcatori saranno descritti in ciò che segue dapprima considerando un comportamento ideale
delle loro caratteristiche in modo da focalizzare l’attenzione solo sui meccanismi di funzionamento.
Dopodiché, saranno discusse le principali limitazioni dei circuiti ampliﬁcatori reali.
1.1
Classiﬁcazione
Un ampliﬁcatore ideale è un circuito elettronico il quale genera un segnale di uscita y(t) dato dal
prodotto del segnale in ingresso x(t) ed una costante A, cioè
y(t) = Ax(t).
(1)
Dato che sia x(t) che y(t) in (1) sono grandezze elettriche (tensioni o correnti), un ampliﬁcatore
può essere considerato un dispositivo a due porte: alla porta di ingresso viene applicato un segnale
di tensione oppure di corrente (possibilmente senza perturbare il circuito che ha generato tale
segnale), mentre alla porta di uscita, l’ampliﬁcatore forza una tensione o una corrente proporzionali
al segnale in ingresso secondo l’Eqn.(1). A seconda della natura (tensione o corrente) di tali segnali
gli ampliﬁcatori si classiﬁcano in quattro categorie come mostrato in Fig.1.
Ampliﬁcatore di tensione sia il segnale di ingresso che quello in uscita sono tensioni. Esso è
caratterizzato dalla relazione ingresso-uscita
vOUT = Av vIN
dove la costante adimensionata Av è detta ampliﬁcazione di tensione.
Ampliﬁcatore di transconduttanza il segnale di ingresso è una tensione mentre il segnale di
uscita è una corrente. Esso è caratterizzato dalla relazione ingresso-uscita
iOUT = gm vIN
dove la costante gm ha le dimensioni di una conduttanza (cioè il reciproco di una resistenza)
ed è nota come transconduttanza.
Ampliﬁcatore di transresistenza il segnale di ingresso è una corrente mentre il segnale di uscita
è una tensione. Esso è caratterizzato dalla relazione ingresso-uscita
vOUT = Rm iIN
dove la costante Rm ha le dimensioni di una resistenza ed è nota come transresistenza.
Ampliﬁcatore di corrente sia il segnale di ingresso che quello in uscita sono correnti. Esso è
caratterizzato dalla relazione ingresso-uscita
iOUT = Ai iIN
dove la costante adimensionata Ai è detta ampliﬁcazione di corrente.
Nel caso in cui la grandezza alla porta di uscita di un ampliﬁcatore sia un tensione (cioè un
ampliﬁcatore di tensione o di transresistenza, come indicato nella prima colonna in Fig.1), tale
porta di uscita è equivalente ad un generatore ideale di tensione, il quale forza la tensione ai propri
2
Corrente
Grandezza d’ingresso:
Tensione
Grandezza d’uscita:
Tensione
Corrente
Amplificatore di tensione
Amplificatore di transconduttanza
iOUT
vIN
+
AvvIN vOUT
vIN
gmvIN
vOUT=AvvIN
iOUT=gmvIN
Amplificatore di transresistenza
Amplificatore di corrente
iOUT
iIN
+
RmiIN vOUT
vOUT=RmiIN
iIN
AiiIN
iOUT=AiiIN
Figura 1: Ampliﬁcatori ideali: classiﬁcazione.
terminali indipendentemente dalla corrente che vi circola. La tensione forzata da tale generatore
equivalente, tuttavia, non è indipendente ma dipende dalla tensione (esso è cioè un generatore di
tensione pilotato in tensione) o dalla corrente (generatore di tensione pilotato in corrente) presente
alla porta di ingresso.
La porta di uscita di un ampliﬁcatore il quale, invece, generi una corrente (cioè un ampliﬁcatore
di transconduttanza o di corrente, come indicato nella seconda colonna in Fig.1) è equivalente ad
un generatore ideale di corrente, il quale forza una data corrente indipendentemente dalla tensione
ai propri terminali. La corrente forzata da tale generatore equivalente, tuttavia, non è indipendente
ma dipende dalla tensione (esso è cioè un generatore di corrente pilotato in tensione) o dalla corrente
(generatore di corrente pilotato in corrente) presente alla porta di ingresso.
La porta di ingresso di un ampliﬁcatore il quale ampliﬁchi una tensione (cioè un ampliﬁcatore
di tensione o di transconduttanza, come indicato nella prima riga in Fig.1) è equivalente ad un
circuito aperto, il quale può essere collegato in parallelo alla porta di uscita del circuito che genera
la tensione da ampliﬁcare senza dare luogo ad alcuna perturbazione (vale a dire che la tensione
all’uscita del circuito che genera la tensione da ampliﬁcare è identica sia che vi sia collegata la porta
di ingresso dell’ampliﬁcatore sia che non sia collegata, come mostrato in Fig.2a).
La porta di ingresso di un ampliﬁcatore il quale ampliﬁchi una corrente (cioè un ampliﬁcatore
di transresistenza o di corrente, come indicato nella seconda riga in Fig.1) è equivalente ad un corto
circuito, il quale può essere collegato in serie al ramo nel quale scorre la corrente da ampliﬁcare
senza dare luogo ad alcuna perturbazione (vale a dire che tale corrente è identica sia che vi sia
collegata la porta di ingresso dell’ampliﬁcatore sia che non sia collegata, come mostrato in Fig.2b).
3
Porta di ingresso
di un amplificatore di tensione
o di transconduttanza
vx,0
vx,a
CIRCUITO
APERTO
Porta di ingresso
di un amplificatore di corrente
o di transresistenza
vx,a =vx,0
ix,0
ix,a
CORTO
CIRCUITO
ix,a =ix,0
Figura 2: Collegamento di un ampliﬁcatore ideale di tensione o di transconduttanza tra due nodi
in un circuito (a) e collegamento di un ampliﬁcatore ideale di transresistenza o di corrente in serie
ad un ramo (b).
1.2
Resistenze di ingresso ed uscita ed eﬀetto di carico
Contrariamente agli ampliﬁcatori ideali, i circuiti reali hanno resistenze di ingresso e di uscita ﬁnite.
Ciò signiﬁca che la porta di ingresso degli ampliﬁcatori reali di tensione e di transconduttanza non è
modellizzabile come un circuito aperto e che la porta di ingresso degli ampliﬁcatori di transresistenza
e di corrente non è un corto circuito. Negli ampliﬁcatori reali la porta di ingresso è modellizzabile,
invece, con una resistenza di valore ﬁnito detta resistenza di ingresso. Inoltre, la porta di uscita
degli ampliﬁcatori reali di tensione e di transresistenza non è equivalente ad un generatore ideale di
tensione, ma è rappresentata da un circuito equivalente di Thévénin1 il quale include un generatore
ideale di tensione ed una resistenza serie. In modo analogo, la porta di uscita degli ampliﬁcatori reali
di transconduttanza e di corrente non sono generatori ideali di corrente, ma sono rappresentabili
con un circuito equivalente di Norton2 il quale include un generatore ideale di corrente in parallelo
1
Anche se, come insegna la teoria dei circuiti, la porta di uscita degli amplificatori reali di tensione e di transresistenza è altresı́ rappresentabile con un equivalente Norton, tuttavia si preferisce la rappresentazione Thévénin
in quanto essa sottolinea maggiormente il fatto che tale porta di uscita è da considerarsi una sorgente di tensione
piuttosto che di corrente.
2
La porta di uscita degli amplificatori reali di transconduttanza e di corrente è anche rappresentabile con un
equivalente Thévénin, tuttavia si preferisce la rappresentazione Norton per mettere in evidenza il fatto che tale porta
di uscita è da considerarsi una sorgente di corrente piuttosto che di tensione.
4
ad una resistenza.
Tensione
Corrente
Amplificatore di tensione
Amplificatore di transconduttanza
iOUT
Rout
vIN
Rin
+
AvvIN vOUT
vIN
Rin
Rout
gmvIN
vOUT=AvvIN
iOUT=gmvIN
Amplificatore di transresistenza
Amplificatore di corrente
iIN
Corrente
Grandezza d’ingresso:
Tensione
Grandezza d’uscita:
iIN
Rout
Rin
+
RmiIN vOUT
iOUT
Rout
Rin
AiiIN
vOUT=RmiIN
iOUT=AiiIN
Figura 3: Ampliﬁcatori reali con resistenze di ingresso ed uscita ﬁnite.
Sulla base di quanto detto, i circuiti equivalenti degli ampliﬁcatori con resistenze di ingresso ed
uscita entrambe di valore ﬁnito sono riportati in Fig.3. Di seguito sarà analizzato l’impatto di tali
resistenze di ingresso ed uscita sul funzionamento di un ampliﬁcatore. A tale scopo, si consideri
per primo un ampliﬁcatore di tensione. Tale ampliﬁcatore, come mostrato in Fig.4a, dovrebbe
ampliﬁcare la tensione vS , presente tra due nodi di un circuito, generando una tensione pari a
Av vS alla propria uscita alla quale è collegato un carico RL . Supponendo che il circuito collegato
all’ingresso dell’ampliﬁcatore sia di tipo resistivo (e dunque lineare), lo si può rappresentare da
un equivalente Thévénin costituito da una resistenza ﬁnita RS come mostrato in Fig.4b e 4c.
Nell’ipotesi in cui l’ampliﬁcatore fosse ideale (Fig.4b), si ha che
vIN = vS
and vOUT = Av vIN ,
come conseguenza
vOUT = Av vS
(2)
come ci si aspetta. Nel caso in cui, invece, l’ampliﬁcatore fosse reale con resistenze di ingresso ed
uscita ﬁnite, come in Fig.4c, si ha che
vIN =
Rin
vS
Rin + Rs
and vOUT =
5
RL
Av vIN ,
RL + Rout
Figura 4: Eﬀetto di carico in un ampliﬁcatore di tensione: a) sorgente in ingresso all’ampliﬁcatore
e carico, b) ampliﬁcatore di tensione ideale, c) ampliﬁcatore di tensione con resistenze di ingresso
ed uscita ﬁnite.
come conseguenza
vOUT =
Rin
RL
Av vS .
Rin + Rs RL + Rout
(3)
Si può osservare che la tensione di uscita non è più quella ideale, ma è aﬀetta da un errore,
noto come errore dovuto all’eﬀetto di carico in ingresso ed uscita, dovuto alla presenza dei partitori
di tensione all’ingresso e all’uscita dell’ampliﬁcatore. Tale errore dipende dalla presenza della
resistenza di sorgente Rs e da quella di carico RL . Tuttavia, si può notare come il partitore di
in
tensione in ingresso RinR+R
tenda ad 1 per Rin → ∞ o, comunque se Rin ≫ Rs . In modo analogo,
s
RL
il partitore di tensione in uscita RL +R
tende ad 1 per Rout → 0 o se Rout ≪ RL . In modo da
out
rendere il funzionamento dell’ampliﬁcatore indipendente dalle resistenze di sorgente e di carico la
resistenza di ingresso Rin di un ampliﬁcatore di tensione dovrebbe essere la più alta possibile e la
sua resistenza di uscita Rout dovrebbe essere la più bassa possibile.
Oltre che negli ampliﬁcatori di tensione, l’eﬀetto di carico si può osservare anche nelle altre
conﬁgurazioni ampliﬁcatrici. Si consideri, ad esempio, un ampliﬁcatore di corrente il quale ampliﬁca
la corrente iS che circola in un ramo di un circuito in modo da generare una corrente pari a
6
Ai iS , la quale circola nel carico RL , come mostrato in Fig.5a. Se il circuito collegato all’ingresso
dell’ampliﬁcatore è di tipo resistivo (e dunque lineare), lo si può rappresentare da un equivalente
Norton costituito da una resistenza RS di valore ﬁnito in parallelo come mostrato in Fig.5b e 5c.
Nell’ipotesi di ampliﬁcatore ideale, si ha che
iIN = iS
and iOUT = Ai iIN ,
e di conseguenza
iOUT = Ai iS
(4)
come ci si aspetta. Nel caso in cui, invece, l’ampliﬁcatore fosse reale con resistenze di ingresso ed
uscita ﬁnite, tuttavia, si ha che
iIN =
Rs
iS
Rin + Rs
and iOUT =
Rout
Ai iIN ,
RL + Rout
per cui
iOUT =
Rout
Rs
Ai iS .
Rin + Rs RL + Rout
(5)
In quest’ultima espressione, la corrente d’uscita non è più data dalla precendente espressione
ideale ma è aﬀetta da un eﬀetto di carico in ingresso ed uscita il quale dipende dalla resistenza
della sorgente Rs e da quella del carico RL . Tuttavia si può osservare che il partitore di corrente
s
in ingresso RinR+R
tende ad 1 se Rin → 0 o se Rin ≪ Rs e, analogamente, il partitore di corrente
s
Rout
in uscita RL +Rout tende ad 1 se Rout → ∞ oppure se Rout ≫ RL . Conseguentemente, aﬃnché
l’ampliﬁcatore di corrente reale sia indipendente dalla sorgente e dal carico e il suo comportamento
si avvicini il più possibile a quello ideale è necessario che la sua resistenza di ingresso Rin sia la più
bassa possibile e la sua resistenza di uscita Rout sia la più alta possibile.
L’eﬀetto di carico in un ampliﬁcatore di transresistenza è considerato in Fig.6a. Si può osservare
che la tensione di uscita di un ampliﬁcatore di transresistenza il quale abbia resistenze di ingresso
ed uscita ﬁnite, invece di essere
vOUT = Rm iS ,
è data da
vOUT =
RL
Rs
Rm iS .
Rin + Rs RL + Rout
(6)
Procedendo come visto in precedenza per gli ampliﬁcatori di corrente e tensione, è possibile aﬀermare che aﬃnché l’ampliﬁcatore operi in modo indipendente dalla sorgente e dal carico e si comporti
come un ampliﬁcatore ideale entrambe le resistenze di ingresso ed uscita di un ampliﬁcatore di
transresistenza dovrebbero essere le più basse possibili.
Inﬁne, l’eﬀetto di carico in un ampliﬁcatore di transconduttanza è considerato in Fig.6b. In
questo caso, la corrente di uscita di un ampliﬁcatore di transresistenza il quale abbia resistenze di
ingresso ed uscita ﬁnite, invece di essere
iOUT = gm vS ,
vale
iOUT =
Rout
Rin
gm vS .
Rin + Rs RL + Rout
(7)
Ora aﬃnché l’ampliﬁcatore operi in modo indipendente dalla sorgente e dal carico e si comporti
come un ampliﬁcatore ideale entrambe le resistenze di ingresso ed uscita dovrebbero essere le più
alte possibili.
7
Figura 5: Eﬀetto di carico in un ampliﬁcatore di corrente: a) sorgente in ingresso all’ampliﬁcatore
e carico, b) ampliﬁcatore di corrente ideale, b) ampliﬁcatore di corrente con resistenza di ingresso
ed uscita ﬁnite.
1.3
Non idealità degli ampliﬁcatori
Oltre alle resistenze di ingresso ed uscita ﬁnite, gli ampliﬁcatori hanno le seguenti ulteriori limitazioni:
dinamica di ingresso Mentre il funzionamento di un ampliﬁcatore ideale dovrebbe essere indipendente dal valore assunto dal segnale applicato al suo ingresso, gli ampliﬁcatori reali
funzionano correttamente solo per segnali di ingresso (tensioni o correnti) i cui valori sono
compresi in un intervallo speciﬁco noto come dinamica di ingresso. Ogniqualvolta tale segnale
di ingresso oltrepassa i limiti della dinamica di ingresso, la grandezza all’uscita dell’ampliﬁcatore satura al massimo (o al minimo) valore consentito, cioè la dinamica di ingresso di un
ampliﬁcatore è (XMIN , XMAX ) tale che

 y = AXMIN per x < XMIN
y = Ax
for XMIN < x < XMAX
(8)

y = AXMAX per x > XMAX .
8
Figura 6: Eﬀetto di carico in un ampliﬁcatore di transresistenza reale (a) e in un ampliﬁcatore di
transconduttanza reale (b).
Inoltre, l’ampliﬁcatore potrebbe subire danni nel caso in cui il segnale applicato all’ingresso abbia un’ampiezza molto maggiore o molto minore dei limiti imposti dalla dinamica di
ingresso.
Dinamica di uscita gli ampliﬁcatori reali funzionano correttamente solo se il segnale generato in
uscita (tensione o corrente) assume un valore compreso all’interno di uno speciﬁco intervallo
noto come dinamica di uscita dell’ampliﬁcatore. Si osserva, inoltre, che anche nel caso in cui il
segnale applicato all’ingresso dell’ampliﬁcatore sia compreso all’interno della sua dinamica di
ingresso, il segnale generato alla porta di uscita di un ampliﬁcatore reale potrebbe non essere in
grado di pilotare correttamente il carico collegato dando origine ad una ulteriore limitazione
della dinamica di uscita. Tale limitazione non dipende soltanto dal segnale desiderato in
uscita, ma principalmente dal valore del carico. Ad esempio, un ampliﬁcatore di tensione
potrebbe avere una dinamica di uscita compresa tra -5V e +5V se la corrente richiesta dal
carico collegato in uscita è inferiore a 10mA, mentre potrebbe generare una tensione di uscita
compresa tra -2.5V e +2.5V se tale corrente fosse superiore a 10mA.
Oﬀset Secondo l’Eqn.(1), se ad un ampliﬁcatore ideale si applica un segnale di ingresso nullo ci
si aspetta una uscita nulla. In pratica, l’uscita di un ampliﬁcatore reale con ingresso nullo è
spesso una costante (tensione o corrente) C. In generale, l’uscita di un ampliﬁcatore non è
data dalla (1) ma si può esprimere come
y(t) = Ax(t) + C.
(9)
La costante C è nota come oﬀset (di tensione o corrente) dell’ampliﬁcatore. Essa è spesso
legata alle caratteristiche di fabbricazione dell’ampliﬁcatore ed il suo valore varia come una
variabile casuale da un ampliﬁcatore all’altro.
9
Tensione
Corrente
Amplificatore di tensione
Amplificatore di transammettenza
Iout
Zout
Vin
Zin
+
AvVin Vout
Vin
Zout
Zin
YmVin
Vout=AvVin
Iout=YmVin
Amplificatore di transimpedenza
Amplificatore di corrente
Iin
Corrente
Grandezza d’ingresso:
Tensione
Grandezza d’uscita:
Iin
Zout
+
ZmIin
vOUT
Iout
Rin
Zout
AiiIN
Vout=ZmIin
Iout=AiIin
Figura 7: Ampliﬁcatori reali nel dominio della frequenza con impedenze di ingresso ed uscita ﬁnite.
Tale oﬀset non voluto non si deve confondere con il termine costante che spesso si aggiunge
intenzionalmente all’uscita di un ampliﬁcatore allo scopo di traslare la forma d’onda (si veda
la Tab.1, seconda riga) e che è chiamato oﬀset anch’esso.
Larghezza di banda Il funzionamento di un ampliﬁcatore ideale non dipende dalla frequenza dei
segnali applicati in ingresso, per cui un ampliﬁcatore ideale mostra lo stesso comportamento
sia che tali segnali siano caratterizzati da variazioni lente oppure molto veloci. In pratica, a
causa dei tempi di risposta ﬁniti dei loro circuiti interni, gli ampliﬁcatori reali non possono
tuttavia elaborare segnali i quali variano troppo velocemente mentre essi riescono ad elaborare
correttamente i segnali il cui spettro non include signiﬁcative componenti al di sopra di una
frequenza B detta larghezza di banda (o semplicemente banda) dell’ampliﬁcatore.
Per descrivere il comportamento in frequenza di un ampliﬁcatore lineare, l’ampliﬁcazione di
tensione e corrente, i parametri di transresistenza e transconduttanza possono essere generalizzati in una ampliﬁcazione di tensione e corrente dipendente dalla frequenza, cioè Av (f )
and Ai (f ), in una transimpedenza Zm (f ) e in una transammettenza Ym (f ) i quali assumono
il signiﬁcato di funzioni di trasferimento nel dominio della frequenza. Analogamente, le resistenze di ingresso ed uscita possono essere rimpiazzate da impedenze di ingresso ed uscita
Zin (f ) and Zout (f ) nel dominio della frequenza, come mostrato in Fig.7.
Slew Rate Oltre alla limitazione di banda appena descritta, la quale è indipendente dall’ampiezza
del segnale, gli ampliﬁcatori reali sono aﬀetti da una limitazione che riguarda il massimo slew
10
rate, vale a dire il massimo valore della derivata temporale della tensione in uscita. Ciò
signiﬁca che, per funzionare correttamente, deve essere
dvOUT ∀t
(10)
dt < SR
dove SR è noto come limitazione di slew rate dell’ampliﬁcatore. In altre parole, si può dire
che la limitazione di slew rate si manifesta quando l’uscita di un ampliﬁcatore non è più in
grado di inseguire la corretta tensione di uscita perché essa varia troppo velocemente.
Nonlinearità Mentre la relazione ideale ingresso-uscita di un ampliﬁcatore ideale, riportata nella
Eqn.(1), è una funzione lineare, un ampliﬁcatore reale potrebbe mostrare una caratteristica
ingresso-uscita y = f (x) non (o non esattamente) lineare. Ciò potrebbe corrompere la qualità
dei segnali da elaborare.
11
2
Retroazione negativa e ampliﬁcatori operazionali
Gli ampliﬁcatori elettronici basati sui dispositivi a semiconduttore (transistori) introdotti in precedenza sono pesantemente aﬀetti da non-idealità e i loro parametri sono scarsamente controllabili
a causa delle tolleranze di fabbricazione. Per ottenere ampliﬁcatori il cui comportamento si avvicini all’idealità utilizzando blocchi costitutivi lontani dalla idealità, si sfrutta il principio della
retroazione negativa. In ciò che segue verrà descritto tale principio, fondamentale non solo in
elettronica.
2.1
Il principio della retroazione negativa
La retroazione negativa è un principio generale che si può applicare a svariati sistemi di natura
meccanica, biologica, sociale, economica, etc. . . , inclusi gli ampliﬁcatori elettronici. Per introdurre
questo concetto cosı̀ importante, si consideri un esempio tratto dalla vita quotidiana. Si supponga
di voler guidare un’automobile da Torino a Milano. La traiettoria descritta dal veicolo dipende in
modo deterministico dalle azioni che l’autista esegue sui pedali, sul volante, sulla trasmissione, etc...
Per cui, noto il percorso da Torino a Milano, si può stabilire una corrispondenza tra la traiettoria
desiderata e una sequenza speciﬁca di operazioni da eﬀettuare sui pedali, sul volante, etc...
Sulla base di tale ragionamento, se si applica una speciﬁca sequenza di operazioni (cioè l’ingresso)
ai comandi dell’automobile (cioè il sistema) essa seguirà la traiettoria desiderata e giungerà a destinazione (cioè l’obiettivo, l’uscita). Di conseguenza, in teoria, l’autista potrebbe chiudere gli occhi
e raggiungere la destinazione solo riproducendo la sequenza di operazioni precedentemente determinata. Questo approccio, chiamato controllo ad anello aperto, è concettualmente simile a quanto
succede nel funzionamento delle conﬁgurazioni ampliﬁcatrici di base, in cui si applica un ingresso
all’ampliﬁcatore, le cui caratteristiche si suppone di conoscerle accuratamente, in modo da ottenere
l’uscita necessaria.
In realtà, tutti sappiamo che se si prova a guidare chiudendo i propri occhi, anche supponendo
di conoscere perfettamente il percorso, si urterà un ostacolo dopo pochi metri. La ragione di ciò
è dovuta al fatto che, anche se la traiettoria del veicolo è completamente determinata dalle azioni
dell’autista, la conoscenza della relazione esistente tra le azioni sui comandi ed il comportamento
eﬀettivo del veicolo non è suﬃcientemente accurata per cui anche piccoli errori nei comandi producono inaccettabili errori nell’uscita (cioè un incidente). Inoltre, tale relazione non tiene conto della
presenza dei fattori esterni presenti nell’ambiente nel quale l’automobile viaggia (cioè la presenza
di altri veicoli).
Se si vuole viaggiare in sicurezza, è necessario osservare la traiettoria (cioè l’uscita) in tempo
reale in maniera tale da poter individuare qualunque errore tra la traiettoria desiderata e quella
eﬀettiva del veicolo ed agire di conseguenza sui comandi. In pratica, quello che si fa mentre si
guida è agire sui comandi in modo da correggere la diﬀerenza esistente tra la traiettoria voluta e
quella eﬀettiva. Facendo cosı̀, è possibile seguire la traiettoria corretta anche nel caso in cui la
nostra conoscenza del comportamento del veicolo è limitata (ad esempio, è suﬃciente sapere che
il veicolo gira a destra se si ruota a destra il volante e gira a sinistra se lo si ruota a sinistra).
Tale approccio in cui l’uscita del sistema (ad esempio, la traiettoria dell’automobile istante per
istante) è riportata all’ingresso del sistema, viene chiamato controllo ad anello chiuso oppure in
retroazione. Più precisamente, esso è detto approccio in retroazione negativa perché l’informazione
riportata all’ingresso è utilizzata per correggere la diﬀerenza tra l’uscita eﬀettiva e quella desiderata
in modo da generare un comando di segno opposto, cioè negativo, in modo tale da ridurre questa
diﬀerenza (ad esempio, se si nota che l’autoveicolo sta girando verso destra mentre si vuole che
prosegua in modo rettilineo, sarà necessario ruotare il volante verso sinistra cosicché la diﬀerenza
12
Figura 8: Schema a blocchi di un sistema retroazionato negativamente.
tra la traiettoria attuale e quella desiderata si riduca). Lo stesso principio si sfrutta per ottenere
ampliﬁcatori elettronici molto accurati costruiti con componenti (ad esempio, transistori MOS e
bipolari) la cui caratteristiche non sono note in modo preciso.
Il principio della retroazione negativa, illustrato in modo cosı̀ intuitivo, può essere descritto in
maniera più formale facendo riferimento allo schema a blocchi di Fig.8. In tale schema, un ampliﬁcatore (caratterizzato da un guadagno elevato ma non accurato) viene utilizzato per ampliﬁcare
la diﬀerenza, cioè l’errore tra il segnale desiderato e (una funzione del) segnale di uscita, riportato
indietro all’ingresso dal blocco β (un blocco passivo, ad esempio un partitore di tensione). Dato
che si desidera una retroazione negativa, la correzione dovrebbe variare l’uscita in modo tale da
ridurre l’errore. A tale scopo, è importante che il segno del termine proporzionale all’uscita che
viene riportato indietro all’ingresso sia negativo.
Facendo riferimento allo schema a blocchi di Fig.8, il segnale di uscita y può essere espresso
come
y = A (x − βy)
(11)
quindi,
y=
A
1 Aβ
x=
x.
1 + Aβ
β 1 + Aβ
(12)
Dalla Eqn.(12) si può osservare che se Aβ ≫ 1, l’uscita y tende a βx , che è indipendente dalla
ampliﬁcazione A (tipicamente non accurata). Siccome β è un termine passivo (vale a dire β < 1),
il suo reciproco β1 è una termine attivo (cioè β1 > 1) e fornisce un fattore di ampliﬁcazione (non una
attenuazione), il cui valore è determinato dal termine passivo β. La quantità T = Aβ, sul valore
della quale si fonda l’eﬃcacia della retroazione negativa secondo la Eqn.(12), è chiamato guadagno
d’anello del sistema retroazionato.
Dall’Eqn.(12) si può anche osservare che il segnale d’errore ε, posto all’ingresso del blocco A, è
dato da
1
ε = x − βy =
x
(13)
1 + Aβ
ed è mantenuto a zero dalla retroazione negativa se il guadagno d’anello T = Aβ è suﬃcientemente
ampio.
13
Figura 9: Ampliﬁcatori operazionali: simbolo (a) e schema funzionale di base (b).
2.2
Ampliﬁcatori operazioanli
Il principio operativo della retroazione negativa può essere sfruttato in modo vantaggioso per progettare ampliﬁcatori molto accurati prossimi all’idealità a partire da componenti poco ideali. Per
poter ricostruire lo schema a blocchi di Fig.8, prima di tutto, si ha bisogno di un ampliﬁcatore
diﬀerenziale, cioè di un ampliﬁcatore che ampliﬁchi la diﬀerenza tra due grandezze in ingresso
(tipicamente tensioni) in modo da realizzare il blocco diﬀerenza di Fig.8. Inoltre, secondo quanto
discusso precedentemente, si richiede un ampliﬁcatore con una alta (non è necessario, invece, che
sia accurata) ampliﬁcazione diﬀerenziale A, in modo tale che il guadagno d’anello Aβ in Eqn.(12)
sia molto maggiore di 1. Tale ampliﬁcatore diﬀerenziale ad elevata ampliﬁcazione è uno dei più
importanti circuiti analogici ed è noto come ampliﬁcatore operazionale o, più semplicemente, come
opamp.
Un opamp, il cui simbolo è riportato in Fig.9a possiede due terminali di ingresso, il terminale
non-invertente, + e quello invertente, -, un terminale di uscita e due di alimentazione. Il circuito è
progettato per ampliﬁcare la diﬀerenza tra le tensioni presenti ai terminali di ingresso non-invertente
ed invertente, cioè la tensione diﬀerenziale di ingresso
vD = v + − v −
(14)
indipendentemente dal valore assunto dalle due tensioni di ingresso v + and v − valutate ciascuna rispetto al riferimento di tensione, cioè indipendentemente dalla cosiddetta tensione di modo
comune.
v+ + v−
vCM =
.
(15)
2
La tensione tra il terminale di uscita e il riferimento di tensione è la tensione di uscita, imposta
da un generatore di tensione controllato in tensione vOUT = AvD , come evidenziato in Fig.9b. Inoltre, tutti gli opamp comprendono due terminali di alimentazione i quali devono essere collegati ad
una tensione costante. Alcune volte uno dei due terminali di alimentazione (ma non necessariamente) coincide con la tensione di riferimento del circuito. I terminali di alimentazione spesso non sono
inclusi nel simbolo di un opamp per non complicare troppo il disegno, ciononostante è fondamentale
comprendere che tali terminali sono sempre presenti in quanto essenziali per il funzionamento del
circuito.
14
2.2.1
Un circuito ampliﬁcatore retroazionato: l’ampliﬁcatore di tensione con opamp
In questo paragrafo si studierà come realizzare un ampliﬁcatore di tensione pressochè ideale utilizzando un ampliﬁcatore operazionale e la retroazione negativa. Si supponga di voler realizzare un
ampliﬁcatore di tensione con una valore di ampliﬁcazione Av = 5 molto accurato. A tale scopo,
si può utilizzare la retroazione negativa e realizzare lo schema di Fig.8 usando un ampliﬁcatore
operazionale. Se si fanno corrispondere gli ingressi più e meno del nodo di somma, rispettivamente,
con i terminali di ingresso non-invertente (+) e con quello invertente (-) di un opamp, bisogna
poi collegare l’ingresso non-invertente dell’opamp alla tensione di ingresso vIN e quello invertente
ad una funzione (il blocco β in Fig.8) della tensione di uscita vOUT in modo tale che, se l’uscita
vOUT assume il valore desiderato (in questo caso speciﬁco vOUT = 5vIN ), la tensione all’ingresso
invertente sia uguale a quella presente al terminale non-invertente. Dato che v + = vIN , il terminale
invertente sarà v − = vOUT
cosicché
5
v− = v+
⇒
vOUT
= vIN
5
⇒
vOUT = 5vIN .
(16)
Per ottenere v − = vOUT
5 , si introduce il partitore di tensione R1 -R2 come mostrato in Fig.10,
con R2 = 4R1 in modo tale che
v− =
R1
1
R1
vOUT =
vOUT = vOUT = βvOUT .
R1 + R2
R1 + 4R1
5
(17)
Ipotizzando che l’ampliﬁcazione diﬀerenziale A dell’ampliﬁcatore operazionale sia grande a sufﬁcienza, la diﬀerenza v + − v − , che corrisponde al segnale d’errore ε in Fig.8, è mantenuto ad un
valore molto piccolo dalla retroazione negativa e la tensione d’uscita è prossima al valore ideale
vOUT =
1
vIN = 5vIN .
β
Utilizzando circuiti con ampliﬁcatori operazionali retroazionati negativamente è possibile ottenere altre conﬁgurazioni ampliﬁcatrici (ampliﬁcatore di corrente, di transconduttanza e di transresistenza) e altri circuiti analogici molto utili (sommatori e sottrattori, ﬁltri, ampliﬁcatori non
lineari) alcuni dei quali saranno descritti in dettaglio in quanto segue. Prima di introdurre tali
circuiti speciﬁci, però, si discuterà di come analizzare in generale circuiti contenenti ampliﬁcatori
operazionali.
2.3
Analisi di circuiti contenenti ampliﬁcatori operazionali
In questa sezione verrà aﬀrontata l’analisi dei circuiti contenenti ampliﬁcatori operazionali. A tale
scopo, si prenderà in considerazione il circuito equivalente di un opamp che includa le resistenze di
ingresso ed uscita mostrato in Fig.11, e lo si utilizzerà nella conﬁgurazione ampliﬁcatrice introdotta
nella sezione precedente. Inoltre, si supponga che il segnale in ingresso sia fornito da una sorgente
di tensione con resistenza interna ﬁnita RS e che l’uscita dell’ampliﬁcatore di tensione piloti in
carico RL .
Il circuito in Fig.11, il quale comprende un generatore di tensione pilotato in tensione, può essere
analizzato utilizzando il metodo convenzionale di analisi dei circuiti contenenti generatori dipendenti
descritto in precedenza. Secondo tale metodo, bisogna per prima cosa calcolare la grandezza pilota
vD in funzione dei generatori indipendenti e dipendenti. In particolare, il generatore dipendente di
tensione in Fig.11 è considerato, per il calcolo del pilota, alla stregua di un generatore indipendente
di valore ê. Dopo avere eseguito i calcoli si ottiene
vD = vIN
Rin
− βê.
Rin + RS + R1 ∥ (R2 + Rout ∥ RL )
15
(18)
Figura 10: Ampliﬁcatore di tensione con ampliﬁcatore operazionale.
dove
β=
R1 ∥ (RS + Rin )
Rin
RL ∥ [R2 + R1 ∥ (RS + Rin )]
.
RL ∥ [R2 + R1 ∥ (RS + Rin )] + Rout R1 ∥ (RS + Rin ) + R2 RS + Rin
(19)
Dato che ê = Avd , l’Eqn.(18) può essere riscritta come
vD = vIN
Rin
− AβvD
Rin + RS + R1 ∥ (R2 + Rout ∥ RL )
(20)
Rin
Rin + RS + R1 ∥ (R2 + Rout ∥ RL )
(21)
quindi,
(1 + Aβ) vD = vIN
ed inﬁne
vD =
vIN
Rin
1 + Aβ Rin + RS + R1 ∥ (R2 + Rout ∥ RL )
(22)
Dall’Eqn.(22) si può osservare che, se A → ∞ (o meglio, se il guadagno d’anello Aβ tende ad
inﬁnito), la grandezza pilota vD tende a zero. Questa proprietà, valida in generale per qualunque
circuito che comprenda un opamp connesso in retroazione negativa, determina alcune importanti
conseguenze e permette di analizzare i circuiti con opamp in retroazione negativa in modo più
semplice. Con l’ipotesi, infatti, che il guadagno di tensione A tenda ad inﬁnito, assunzione questa
detta di ampliﬁcatore operazionale ideale, il circuito di Fig.11 si può analizzare considerando che
vD = 0
(23)
v+ = v− .
(24)
o, equivalentemente,
16
Figura 11: Analisi di un circuito ampliﬁcatore di tensione con ampliﬁcatore operazionale ideale.
Si può osservare che, siccome A → ∞, l’Eqn.(24) non implica che la tensione del generatore pilotato
di tensione ê sia nulla. Infatti,
ê
vD =
A
e, per A che tende ad inﬁnito, vD può essere zero anche se ê non è nulla.
Inoltre, ﬁnché rimane valida l’Eqn.(24), la caduta di tensione ai capi del resistore di ingresso Rin
dell’ampliﬁcatore operazionale è zero e, di conseguenza, la corrente che la attraversa, che equivale
alla corrente che ﬂuisce nei terminali invertente e non-invertente dell’opamp, è anch’essa nulla, cioè
i+ = i− = 0.
(25)
Le Eqn.(24) e Eqn.(25), valide per qualunque circuito comprendente ampliﬁcatori operazionali
in retroazione negativa, possono essere utilizzate per calcolare la tensione di uscita del circuito in
Fig.11. A tale scopo, l’Eqn.(24) stabilisce che la caduta di tensione ai capi di R1 (cioè v − ) è uguale
a vIN (cioè v + ). Di conseguenza, la corrente che attraversa R1 è data da
iR1 =
vIN
.
R1
Siccome poi l’Eqn.(25) è valida, nessuna corrente entra nell’ingresso invertente dell’opamp e, per
la legge di Kirchoﬀ delle correnti, si ottiene che
iR2 = iR1 .
Di conseguenza, la tensione di uscita vOUT , che può essere espressa tramite la legge di Kirchoﬀ
delle tensioni come
vOUT = v − + vR2 ,
(26)
17
Figura 12: Ampliﬁcatore di tensione con ampliﬁcatore operazionale.
si può calcolare come
vOUT = v − + vR2
= vIN + iR2 R2 ,
vIN
R2 ,
= vIN +
R1
(
)
R2
= vIN 1 +
.
R1
(27)
In particolare, si può osservare che, se si considera R2 = 4R1 come è stato fatto nell’Eqn.(17),
allora l’Eqn.(27) fornisce come valore dell’ampliﬁcazione di tensione del circuito in Fig.11 il valore di cinque, in accordo con quanto ottenuto in precedenza. Si può, inoltre, osservare che tale
ampliﬁcazione è indipendente dalla resistenza di sorgente RS , dalla resistenza di carico RL e dalle
resistenze di ingresso ed uscita dell’opamp Rin and Rout , come ci si aspetta da un ampliﬁcatore
di tensione ideale. In conclusione, grazie alla retroazione negativa, è stato possibile ottenere un
circuito ampliﬁcatore di tensione ideale3 , a partire da un opamp con resistenze di ingresso ed uscita
ﬁnite. In ciò che segue sarà mostrato come poter sfruttare tale approccio per ottenere circuiti
ampliﬁcatori con caratteristiche (quasi) ideali.
3
Circuiti ampliﬁcatori realizzati utilizzando ampliﬁcatori operazionali
Il principio della retroazione negativa, sfruttato nell’ampliﬁcatore di tensione in Fig.12, può essere
utilizzato per sviluppare altre conﬁgurazioni ampliﬁcatrici basate su ampliﬁcatori operazionali. A
tale scopo, nel seguito, si discuterà di come realizzare i circuiti ampliﬁcatori di base mostrati in
Fig.1 attraverso l’uso degli ampliﬁcatori operazionali e della retroazione negativa.
18
Figura 13: Ampliﬁcatore di transconduttanza con ampliﬁcatore operazionale.
3.1
Ampliﬁcatore di tensione
Sulla base della precedente analisi, si può osservare che le tensioni di ingresso ed uscita del circuito
in Fig.12 sono legate tra loro come descritto di seguito
)
(
R2
vIN .
vOUT = 1 +
(28)
R1
Inoltre, l’ampliﬁcazione di tensione calcolata in Eqn.(28) non è inﬂuenzata dalle resistenze di ingresso ed uscita Rin and Rout dell’ampliﬁcatore operazionale né dalle resistenze di sorgente e di
carico RS and RL .
Se si considera la Fig.12, infatti, si può notare che, dall’Eqn.(25), la corrente che attraversa la
resistenza di sorgente RS è zero indipendentemente dalla tensione vS applicata all’ingresso, per cui
la resistenza equivalente di ingresso dell’ampliﬁcatore di tensione complessivo è inﬁnita, come ci si
aspetta da un ampliﬁcatore di tensione ideale. Inﬁne, la tensione di uscita espressa dall’Eqn.(27)
è indipendente dalla corrente assorbita dal carico RL e, di conseguenza, la porta d’uscita dell’ampliﬁcatore di tensione è simile ad un generatore ideale di tensione con una resistenza equivalente
di uscita nulla, come ci si aspetta da un ampliﬁcatore ideale di tensione. In conclusione, si può
aﬀermare che a patto che il guadagno d’anello sia suﬃcientemente elevato, l’ampliﬁcatore di tensione costruito utilizzando un ampliﬁcatore operazionale, riportato in Fig.12, funziona come un
ampliﬁcatore di tensione ideale.
3.2
Ampliﬁcatore di transconduttanza
Con riferimento al circuito in Fig. 13, si osserva che, data l’Eqn.(24), la tensione ai capi di R è vIN .
Di conseguenza, la corrente che scorre attraverso R vale
vR
vIN
iR =
=
.
(29)
R
R
Inoltre, dato che secondo Eqn.(25) la corrente che ﬂuisce attraverso il morsetto invertente dell’opamp è nulla e che, dalla legge di Kirchoﬀ per le correnti iOUT = iR , si ottiene che
iOUT =
3
vIN
,
R
(30)
Come sarà discusso nel seguito, in realtà, esistono deviazioni dalla idealità causate dal valore finito di
amplificazione A e da altre limitazioni
19
Figura 14: Ampliﬁcatore di transresistenza con ampliﬁcatore operazionale.
cioè il circuito in Fig.13 funziona come un ampliﬁcatore di transconduttanza con transconduttanza
pari a gm = R1 .
Analogamente a quanto detto per l’ampliﬁcatore di tensione, purché il guadagno d’anello sia
suﬃcientemente elevato, la corrente assorbita dalla sorgente in ingresso vIN è zero, per cui l’impedenza di ingresso di questo circuito è idealmente inﬁnita, come deve essere per un ampliﬁcatore
ideale di transconduttanza. Inoltre, l’Eqn.(30) è valida indipendentemente dal carico (rappresentato da una scatola in Fig.13) e dalla tensione ai suoi capi. Di conseguenza, la resistenza di uscita
di questo circuito è (idealmente) inﬁnita, come ci si aspetta in un ampliﬁcatore ideale di transconduttanza. In conclusione, si può aﬀermare che purché il guadagno d’anello sia suﬃcientemente
elevato, il circuito in Fig.13, funziona come un ampliﬁcatore di transconduttanza ideale.
3.3
Ampliﬁcatore di transresistenza
Con riferimento al circuito in Fig. 14, si osserva che, siccome la corrente che ﬂuisce attraverso
l’ingresso invertente dell’opamp è nulla in accordo a quanto stabilito dall’Eqn.(25)
iR = iIN
and
vR = RiR = RiIN .
Inoltre, per la legge di Kirchoﬀ delle tensioni si ottiene che,
vR + v − − vOUT = 0
di conseguenza, dato che v − = v + = 0 dall’Eqn.(24), si ha
vOUT = RiIN ,
(31)
cioè il circuito in Fig.14 si comporta da ampliﬁcatore di transresistenza con transresistenza pari a
Rm = R.
Dall’Eqn.(24) si ha che la tensione ai capi della sorgente di corrente in ingresso è idealmente
nulla indipendentemente dalla corrente impressa da tale sorgente. Ciò signiﬁca che l’impedenza
del circuito è (idealmente) zero, come deve essere per un ampliﬁcatore di transresistenza ideale.
Inoltre, dato che l’Eqn.(31) è valida indipendentemente dal carico e dalla corrente che esso assorbe,
l’impedenza di uscita di questo circuito è (idealmente) zero, come ci si aspetta da un ampliﬁcatore
di transresistenza ideale. In conclusione, si può aﬀermare che purché il guadagno d’anello sia
suﬃcientemente elevato, il circuito in Fig.14 funziona come un ampliﬁcatore di transresistenza
ideale.
20
Figura 15: Ampliﬁcatore di corrente con ampliﬁcatore operazionale.
3.4
Ampliﬁcatore di corrente
Con riferimento al circuito in Fig.15, si può osservare che, siccome la corrente che ﬂuisce attraverso
il morsetto invertente dell’opamp è zero in accordo all’ Eqn.(25)
iR2 = iIN .
and
vR2 = R2 iIN .
Inoltre, per la legge di Kirchoﬀ delle tensioni, si ha che
vR2 + v − − vR1 = 0
di conseguenza, dato che v − = v + = 0 dall’Eqn.(24), si ottiene
vR1 = vR2
(32)
da cui la corrente che attraversa R1 è
vR2
.
R1
= iIN , applicando la legge di Kirchoﬀ per le correnti, si ha
(
)
R2
iOUT = iR1 + iR2 = 1 +
iIN
R1
iR1 =
Dato che iR2
(33)
(34)
cioè
il circuito
in Fig.15 è un ampliﬁcatore di corrente con un’ampliﬁcazione di corrente pari a
(
)
R2
1 + R1 .
Dall’Eqn.(24) si osserva che la caduta di tensione ai capi della sorgente di corrente applicata
in ingresso è idealmente zero indipendentemente dalla corrente impressa da tale sorgente. Vale
a dire che l’impedenza di ingresso di tale circuito è (idealmente) zero, come deve essere in un
ampliﬁcatore di corrente ideale. Inoltre, l’impedenza di uscita del circuito è (idealmente) inﬁnita,
come deve essere in un ampliﬁcatore di corrente ideale. In conclusione, si può aﬀermare che ﬁnché
il guadagno d’anello è suﬃcientemente elevato, il circuito di Fig.15, è un ampliﬁcatore di corrente
ideale.
Un sommario delle principali topologie ampliﬁcatrici realizzate utilizzando un ampliﬁcatore
operazionale e la retroazione negativa è riportato in Fig.16.
21
Tensione
Corrente
Amplificatore di tensione
Amplificatore di transconduttanza
+
vIN
vOUT
+
vIN
iOUT
R2
R1
(
vOUT= 1 +
R
)
R2
v
R1 IN
iOUT=
Amplificatore di transresistenza
1
v
R IN
Amplificatore di corrente
iOUT
Corrente
Grandezza d’ingresso:
Tensione
Grandezza d’uscita:
R2
vOUT
iIN
R
iIN
R1
(
iOUT= 1 +
vOUT=RiIN
)
R2
i
R1 IN
Figura 16: Topologie ampliﬁcatrici di base ottenute utilizzando un ampliﬁcatore operazionale in
retroazione negativa.
22
Figura 17: Inseguitore di tensione.
3.5
Circuiti contenenti ampliﬁcatori operazionali
Oltre che negli ampliﬁcatori di base descritti in precedenza, gli opamp possono essere impiegati
per realizzare circuiti che svolgono altre importanti funzioni. Alcune di queste applicazioni sono
l’oggetto di quanto segue.
3.5.1
Inseguitore di tensione
Un circuito semplice ed importante basato sull’uso degli operazionali è mostrato in Fig.17. Tale
circuito è noto come inseguitore di tensione, buﬀer di tensione o voltage follower. Considerando
l’Eqn.(24) si ottiene immediatamente che
vOUT = vIN ,
(35)
cioè l’inseguitore di tensione è un ampliﬁcatore di tensione ideale con ampliﬁcazione uguale ad uno.
L’importanza dell’inseguitore di tensione è legata al concetto di carico. Se si desidera generare
una tensione speciﬁca ai capi di un carico collegato ad una porta di un circuito4 , allora collegare il
carico come mostrato nella parte superiore della Fig.18 non è tipicamente possibile, perché il carico
introduce un eﬀetto di carico che modiﬁca la tensione che si desidera ai suoi capi come discusso
in precedenza a proposito agli ampliﬁcatori. Tuttavia, collegando un inseguitore di tensione con
operazionale tra la sorgente ed il carico come mostrato nella parte inferiore della Fig.18, la sorgente
di tensione non è perturbata in quanto la corrente assorbita dall’ingresso non invertente dell’opamp
è nulla e all’uscita si ha la tensione desiderata vOUT = vIN come fosse prodotta da un generatore
di tensione pressoché ideale.
4
in un circuito lineare, tale porta può essere rappresentata dal suo equivalente Thévénin
23
Figura 18: Disaccoppiamento di impedenza tramite un circuito inseguitore di tensione.
24
Figura 19: Ampliﬁcatore di transresistenza con ampliﬁcatore operazionale impiegato come
Ampliﬁcatore di tensione invertente.
Figura 20: Circuito integratore con ampliﬁcatore operazionale.
3.5.2
Ampliﬁcatore di tensione invertente
Un ampliﬁcatore spesso utilizzato nella pratica si ottiene a partire dall’ampliﬁcatore di transresistenza ed è riportato in Fig.19. In tale circuito, secondo quanto stabilito dall’Eqn.(24), la tensione
vR1 ai capi di R1 è −vIN , per cui la corrente iR1 che attraversa R1 è − vRIN1 . La corrente che attraversa R1 gioca lo stesso ruolo della corrente di ingresso nell’ampliﬁcatore di transresistenza, cosı̀ in
accordo con l’Eqn.(31), si ha
R2
vOUT = R2 iR1 = − vIN ,
(36)
R1
Si può osservare come la tensione di uscita sia proporzionale alla tensione di ingresso tramite un
fattore di ampliﬁcazione negativo. Per tale ragione, tale circuito è universalmente noto come ampliﬁcatore di tensione invertente. Tuttavia, il circuito di Fig.19 non è un ampliﬁcatore di tensione.
A diﬀerenza del circuito ampliﬁcatore di tensione non invertente in Fig.12, infatti, l’impedenza di
ingresso del circuito in Fig.19 è data da R1 e non è inﬁnita. Di conseguenza, se la sorgente di tensione applicata all’ingresso dell’ampliﬁcatore fosse reale, tale resistenza di ingresso introdurrebbe
un fattore di partizione di tale tensione.
3.5.3
Integratore
Lo stesso principio sfruttato nell’ampliﬁcatore invertente, vale a dire la traslazione di un tensione
in una corrente la quale pilota un ampliﬁcatore di transresistenza, può essere sfruttato per ottenere
25
Figura 21: Circuito derivatore con ampliﬁcatore operazionale.
altri circuiti molto utili. Ad esempio, se il resistore R2 in Fig.19 fosse sostituito da un condensatore,
come mostrato in Fig.20, si ottiene che la corrente circolante in tale condensatore è data da
vIN
iC =
.
R
Inoltre, siccome
dvC
iC = C
,
dt
segue che la caduta di tensione ai capi del condensatore C può essere espressa come
∫ t
∫ t
iC (t′ ) ′
vIN (t′ ) ′
vC (t) =
dt + vC (0) =
dt + vC (0)
(37)
C
RC
0
0
dove vC (0) è la tensione iniziale del condensatore all’istante t = 0 e la tensione d’uscita vOUT = −vC
può essere espressa come
∫ t
1
vOUT (t) = −
vIN (t′ )dt′ − vC (0)
(38)
RC 0
che è proporzionale all’integrale nel tempo della tensione in ingresso. Per tale ragione, il circuito di
Fig.20 è detto circuito integratore.
3.5.4
Derivatore
Rimpiazzando il resistore R1 in Fig.19 con un condensatore, come nel circuito in Fig.21, si ha che
la caduta di tensione ai capi di tale condensatore, a causa della retroazione negativa, è uguale alla
tensione vIN applicata in ingresso in accordo con l’Eqn.(24). Dato che
dvIN
dvC
=C
dt
dt
e che nessuna corrente ﬂuisce attraverso l’ingresso invertente dell’opamp, si ottiene che la medesima
corrente iC scorre anche attraverso la resistenza posta in retroazione R. Per cui,
iC = C
dvC
dt
= −vR può essere espressa come:
vR = RC
e la tensione d’uscita vOUT
(39)
dvIN (t)
(40)
dt
ed è perció proporzionale alla derivata nel tempo della tensione d’ingresso. A causa di ciò, il circuito
in Fig.21 è detto circuito derivatore.
vOUT (t) = −RC
26
Figura 22: Ampliﬁcatore sommatore.
3.5.5
Ampliﬁcatore sommatore
Tale circuito, realizzato utilizzando un ampliﬁcatore operazionale, permette di eseguire la somma
pesata di due o più segnali. A tale scopo si osservi che un circuito contenente un ampliﬁcatore
operazionale (ideale) è un sistema lineare e, come tale, può essere analizzato utilizzando lo strumento
della sovrapposizione degli eﬀetti. In tal modo, il circuito sommatore si riduce ad uno dei circuiti
analizzati in precedenza. Se si considera il circuito di Fig.22, ad esempio, la tensione d’uscita vOUT
(1)
(2)
è esprimibile tramite la sovrapposizione degli eﬀetti come la somma dei contributi vOUT , vOUT ,
(3)
(4)
vOUT e vOUT ciascuno relativo ad una tensione di ingresso v1 , v2 , v3 and v4 .
Si nota, inoltre, che la tensione all’ingresso non invertente dell’opamp non è inﬂuenzata dalla
presenza dell’ampliﬁcatore operazionale dato che i+ = 0. Di conseguenza tale tensione può essere
calcolata attraverso la sovrapposizione degli eﬀetti come
v + = v3
R4
R3
+ v4
R 3 + R4
R3 + R4
(41)
e la si può considerare come una singola sorgente equivalente di tensione. Questo approccio ha
validità generale e lo si può applicare alle sorgenti collegate all’ingresso non invertente. Il contributo
dovuto a v + alla tensione di uscita può essere valutato spegnendo v1 e v2 . In tal modo i resistori
R1 , R2 e R5 sono collegati in parallelo e possono essere sostituiti dalla loro resistenza equivalente
Req = R1 ∥ R2 ∥ R5 . Il circuito che scaturisce da tali modiﬁche è analogo all’ampliﬁcatore di
tensione di Fig.12, per cui il contributo dovuto a v + alla vOUT , che corrisponde al contributo di
27
(3)
(4)
vOUT e vOUT , può essere espresso come
(+)
(3)
(4)
vOUT = vOUT + vOUT
(
)
RF
v+
=
1+
Req
(
)
RF
=
1+
v+
R1 ∥ R2 ∥ R5
(
)(
)
RF
R4
R3
=
1+
v3 +
v4
R1 ∥ R2 ∥ R5
R3 + R4
R3 + R4
(42)
Dopodiché, il contributo di v1 può essere calcolato spegnendo v3 e v4 (cioè considerando v + = 0)
e v2 . Cosı̀ facendo la tensione v − all’ingresso non invertente dell’opamp, che è uguale a v + per
l’Eqn.(24), è zero. Di conseguenza, la caduta di tensione su R2 e R5 è zero, nessuna corrente
(1)
li attraversa e possono essere rimossi dal circuito per il calcolo di vOUT . Sulla base di questa
considerazione, si ricava che, per il calcolo del contributo di v1 , il circuito in Fig.22 è equivalente
all’ampliﬁcatore invertente5 di Fig.19. Di conseguenza,
(1)
vOUT = −
RF
v1 .
R1
(43)
Per ciò che concerne la sorgente di ingresso v2 , in modo simile si ottiene che
(2)
vOUT = −
RF
v2
R2
(44)
In conclusione, la tensione d’uscita vOUT si può esprimere come
(+)
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(+)
(4)
vOUT = vOUT + vOUT + vOUT + vOUT
= vOUT + vOUT + vOUT
(
)(
)
RF
RF
RF
R4
R3
= −
v1 −
v2 + 1 +
v3 +
v4
R1
R2
R1 ∥ R2 ∥ R5
R3 + R4
R3 + R 4
(45)
Dall’Eqn.(45) si nota che la tensione d’uscita è data dalla somma pesata delle tensioni in ingresso
v1 , v2 , v3 e v4 . Inoltre, le sorgenti collegate (indirettamente) all’ingresso non invertente hanno un
peso positivo nell’Eqn.(45), mentre le sorgenti collegate all’ingresso invertente hanno peso negativo.
Scegliendo opportunamente i resistori tali pesi possono essere progettati in modo speciﬁco per
ottenere una determinata somma. Se uno degli ingressi in Fig.45 fosse sostituito da una tensione
costante, il circuito sommatore di Fig.22 può essere impiegato per sommare o sottrarre una quantità
costante (un termine di oﬀset) ad un segnale, ad esempio per traslare verticalmente tale segnale
sull’asse delle ampiezze e renderlo compatibile con la dinamica di ingresso di un altro circuito
elettronico.
3.5.6
Filtri attivi
I circuiti contenenti ampliﬁcatori operazionali possono essere utilizzati per realizzare operazioni
di ﬁltraggio nel dominio della frequenza. A tale scopo, nei circuiti con opamp considerati in
5
Si ricordi che l’amplificatore invertente non è un amplificatore di tensione, per cui l’impedenza vista dai generatori
di tensione v1 e v2 non è infinita. Inoltre, anche l’impedenza vista dai generatori di tensione v3 e v4 in Fig.22 non è
infinita a causa della presenza della rete resistiva di somma.
28
Figura 23: Filtri basati sull’uso di ampliﬁcatori operazionali.
precedenza possono essere introdotti elementi reattivi, cioè condensatori (molto spesso) ed induttori
(raramente), il cui comportamento in funzione della frequenza è descritto da una ammettenza o
da una impedenza complessa. A causa di tale dipendenza, le caratteristiche di tali circuiti sono
descritte tramite una funzione di trasferimento nel dominio della frequenza.
Facendo riferimento al circuito di Fig.23, ad esempio, la tensione in ingresso nel dominio della
frequenza Vout (f ) è legata alla tensione in uscita nel dominio della frequenza Vin (f ) come descritto
di seguito
)
(
Z2
Vin (ω)
(46)
Vout (ω) = 1 +
Z1
dove
Z1 (ω) = R1
and Z2 (ω) =
Per cui la funzione di trasferimento H(f ) =
Vout (f )
Vin (f )
Vout (ω)
R1 + R2 + jωCR1 R2
H(ω) =
=
=
Vin (ω)
R1 (1 + jωCR2 )
(
k =1+
(47)
può essere descritta come
R2
1+
R1
dove
R2
.
1 + jωCR2
)
1 + j ffz
1 + jωC (R1 ∥ R2 )
=k
1 + jωCR2
1 + j ffP
(48)
R2
R1
è l’ampliﬁcazione a bassa frequenza,
fz =
1
2π (R1 ∥ R2 ) C
e
fp =
1
.
2πR2 C
Assumendo R1 = 10kΩ, R2 = 100kΩ C = 10
π nF, si ottiene che k = 11 (circa 21dB), fz = 5.5kHz
e fp = 500Hz. Il diagramma di Bode della funzione di trasferimento H(f ) in Fig.24 si ottiene con
la procedura nota.
I ﬁltri attivi presentano due vantaggi principali rispetto a quelle passivi, cioè ai ﬁltri che sono
costituiti solo da componenti passivi:
• l’ampliﬁcazione in banda può essere maggiore di 1 (vale a dire che il guadagno in banda può
essere maggiore di 0dB);
29
Figura 24: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento H(f ) =
riferimento al circuito in Fig.23.
Vout (f )
Vin (f )
valutata con
• a seconda dalla conﬁgurazione del ﬁltro attivo, è possibile evitare l’eﬀetto di carico.
Per ciò che concerne il primo punto, si può osservare che il ﬁltro in Fig.23, usato precedentemente
come esempio, ha un guadagno di tensione in banda di 21dB > 0dB. Inoltre, ﬁntantoché l’opamp
si può considerare ideale, l’impedenza di ingresso di tale circuito è inﬁnita in modulo e la sua
impedenza d’uscita è zero. Di conseguenza, esso si comporta come un ampliﬁcatore ideale di
tensione la cui funzione di trasferimento ingresso-uscita possiede le caratteristiche di ﬁltraggio
richieste.
30
VDD
vD
Dinamica di ingresso
di modo comune
Dinamica di ingresso
di modo differenziale
VSS
+
v
-
vCM v
Figura 25: Dinamica di ingresso di modo diﬀerenziale e di modo comune di un ampliﬁcatore
operazionale.
4
Non idealità degli ampliﬁcatori operazionali
In precedenza si è discusso di come gli ampliﬁcatori operazionali possono essere utilizzati per
ottenere circuiti ampliﬁcatori con caratteristiche molto vicine all’idealità. Sfortunatamente gli
ampliﬁcatori operazionali reali soﬀrono di alcune limitazioni pratiche le quali limitano le prestazioni
dei circuiti che li contengono. In questa sezione saranno discusse le principali di tali limitazioni,
la cui entità sono riportate nei fogli tecnici degli ampliﬁcatori operazionali in commercio, e sarà
evidenziato l’impatto che tali limitazioni hanno sulle prestazioni dei circuiti con opamp.
4.1
Dinamica di ingresso
L’intervallo dei valori applicati all’ingresso di un ampliﬁcatore operazionale reale che può essere
elaborato correttamente è limitato. Più precisamente per un corretto funzionamento dovrebbero
sempre essere rispettate le limitazioni dovute alla dinamica di ingresso di modo diﬀerenziale and
alla dinamica di ingresso di modo comune.
4.1.1
Dinamica di ingresso di modo diﬀerenziale
Gli ampliﬁcatori operazionali, come qualunque altro circuito ampliﬁcatore reale, ampliﬁcano i segnali diﬀerenziali solo all’interno di un intervallo (−VD,max , VD,max ), noto come dinamica di ingresso
di modo diﬀerenziale. La dinamica di ingresso di modo diﬀerenziale di un ampliﬁcatore operazionale reale è solitamente molto ristretta (poche centinaia di microvolt), tuttavia ciò non rappresenta
un problema dato che i circuiti con opamp che sfruttano il meccanismo della retroazione negativa in
modo corretto determinano una tensione diﬀerenziale all’ingresso dell’opamp, la quale corrisponde
al segnale d’errore ε in Fig.8, che è molto vicino a zero come discusso in precedenza con riferimento
all’Eqn.(13).
4.1.2
Dinamica di ingresso di modo comune
Oltre alla limitazione costituita dalla dinamica di ingresso di modo diﬀerenziale, gli ampliﬁcatori
operazionali funzionano correttamente solo se la loro tensione di ingresso di modo comune è compresa in un intervallo (VCM,min , VCM,max ), noto come dinamica di ingresso di modo comune. Nei
circuiti contenenti ampliﬁcatori operazionali reali, la dinamica di ingresso di modo comune è sempre
31
vOUT
Uscita desiderata
Uscita reale
(dinamica di uscita
non rispettata)
vOUT,max
dinamica di uscita
rispettata
t
vOUT,min
Figura 26: Eﬀetti della limitazione della dinamica della tensione uscita di un ampliﬁcatore
operazionale.
compresa all’interno della dinamica delle tensioni di alimentazione, cioè
VSS ≤ VCM,min ≤ VCM,max ≤ VDD
per cui tale limitazione sta diventando sempre più stringente a causa della continua riduzione delle
tensioni di alimentazione. Gli opamp che hanno una dinamica di ingresso di modo comune che
coincide con quella delle tensioni di alimentazione, cioè tale per cui VCM,min = VSS and VCM,max =
VDD sono detti ampliﬁcatori operazionali con ingresso rail to rail. Le limitazioni di un ampliﬁcatore
operazionale in termini di dinamica di ingresso di modo diﬀerenziale e di modo comune sono
illustrate in Fig.25.
4.2
Dinamica di uscita
Nelle precedenti sezioni, la porta di uscita di un ampliﬁcatore operazionale è stata rappresentata come un generatore di tensione pilotato da una tensione. Inoltre è stato sottolineato come,
sebbene si consideri un generatore controllato in tensione con una impedenza ﬁnita, l’eﬀetto di
tale impedenza di uscita è compensato dalla retroazione negativa ﬁntatoché il guadagno d’anello è
suﬃcientemente elevato. In pratica nei circuiti reali, si manifestano alcune limitazioni legate alla
dinamica di tensione e corrente d’uscita.
4.2.1
Dinamica della tensione d’uscita
La tensione di uscita che può essere forzata da un ampliﬁcatore operazionale reale è limitata all’interno dell’intervallo (VOUT,min , VOUT,max ), detto dinamica di uscita dell’opamp. Se si applica
una tensione diﬀerenziale in ingresso tale per cui la tensione d’uscita AvD supera i limiti imposti
dalla dinamica di uscita, allora l’uscita dell’operazionale satura o al minimo valore ammissibile
(VOUT,min ) della tensione d’uscita o a quello massimo (VOUT,max ), come mostrato in Fig.26.
32
vD=VOFF
vD=0
vOUT=0
vOUT=0
a)
b)
Generatore di tensione
di offset in ingresso
modello di opamp con offse
VOFF
VOFF
VOFF
vOUT=0
Opamp
senza offset
c)
d)
Figura 27: Oﬀset di tensione in un ampliﬁcatore operazionale: opamp aﬀetto da oﬀset (a), deﬁnizione di oﬀset di tensione in ingresso (b), circuito equivalente di un opamap aﬀetto da oﬀset (c),
dimostrazione che il circuito equivalente di un opamp aﬀetto da oﬀset si comporta come un opamp
con oﬀset (d).
4.2.2
Dinamica della corrente d’uscita
Anche nel caso in cui la tensione AvD all’uscita di una ampliﬁcatore operazionale sia compresa
all’interno della dinamica di tensione d’uscita, un ampliﬁcatore operazionale funziona correttamente solo se la corrente richiesta alla propria uscita (fornita o assorbita) dal carico non eccede un
valore massimo IMAX 6 . Tale limitazione, in pratica, può essere convertita in un limite alla massima potenza che può essere trasferita da un opamp al carico. Se l’uscita di un ampliﬁcatore di
potenza deve pilotare un carico di potenza (ad esempio un altoparlante, un attuatore, . . . ) e deve
fornire/assorbire una corrente rilevante, è necessario collegare all’uscita dell’opamp un opportuno
stadio di uscita che ampliﬁchi in potenza.
4.3
Oﬀset di tensione in ingresso
Analogamente a qualunque altro ampliﬁcatore, anche gli ampliﬁcatori operazionali sono aﬀetti da
oﬀset dovuti alle inevitabili tolleranze di fabbricazione. Di conseguenza, se si applica all’ingresso
di un opamp una tensione diﬀerenziale nulla, l’uscita corrispondente non è zero come mostrato in
Fig.27a. In altre parole, si può dire che, per poter ottenere una tensione d’uscita nulla si dovrebbe
applicare una tensione diﬀerenziale non nulla all’ingresso, come mostrato in Fig.27b. Tale tensione
è nota come oﬀset di tensione in ingresso VOFF di un ampliﬁcatore operazionale.
6
Nel caso in cui i limiti per la corrente assorbita (in inglese sink) e per quella fornita (in inglese source) all’uscita
dell’operazionale siano diversi, saranno specificati due diversi valori IMAX,sink and IMAX,source .
33
|A(f)|, [dB]
Guadagno
ad anello aperto
100
A(0)|dB
80
60
40
20
Larghezza di banda
ad anello aperto
fP
fT
0
10
2
10
10
3
10
4
105
10
6
7
10
f, [Hz]
-20
Figura 28: Ampliﬁcazione diﬀerenziale di un ampliﬁcatore operazionale in funzione della frequenza
(diagramma di Bode).
Sulla base di questa considerazione, un ampliﬁcatore operazionale aﬀetto da un oﬀset di tensione
non nullo equivale ad un ampliﬁcatore operazionale senza oﬀset con un generatore di tensione
equivalente VOFF collegato in serie al morsetto non invertente, come descritto in Fig.27c. Questa
equivalenza si dimostra sostituendo il modello di un opamp con oﬀset nel circuito di Fig.27b, come
mostrato in Fig.27d. Il modello di opamp con oﬀset può essere utilizzato per valutare l’impatto che
l’oﬀset di tensione in ingresso di un opamp ha sulla tensione di uscita di un circuito ampliﬁcatore
realizzato tramite opamp.
4.4
Oﬀset della corrente di polarizzazione in ingresso e oﬀset della corrente di
ingresso
A diﬀerenza degli ampliﬁcatori operazionali ideali, per i quali i+ = i− = 0, alcuni opamp (realizzati
con transistori bipolari) assorbono/forniscono una piccola corrente continua dai loro terminali di
ingresso. Tali correnti, tipicamente di valore uguale tra loro, possono determinare un oﬀset all’uscita
dei circuiti nei quali siano impiegati degli ampliﬁcatori operazionali. Inoltre, nel caso in cui tali
correnti siano leggermente diverse tra loro, danno luogo ad ulteriori errori.
Il valore medio delle correnti continue ai terminali di ingresso di un ampliﬁcatore operazionale
è noto con il termine di oﬀset della corrente di polarizzazione IB mentre la massima diﬀerenza
tra le due correnti è nota semplicemente come oﬀset di corrente in ingresso IOFF . Si può osservare, tuttavia, che gli ampliﬁcatori operazionali più recenti, basati su tecnologia CMOS, non sono
sostanzialmente aﬀetti da questo fenomeno (vale a dire IB = IOFF = 0).
34
4.5
Limitazione della larghezza di banda
In modo simile a quanto capita per gli altri circuiti ampliﬁcatori, anche le prestazioni degli ampliﬁcatori operazionali reali dipendono dalla frequenza Per dimostrare in che modo ciò avviene, si
consideri che l’ampliﬁcazione diﬀerenziale di un ampliﬁcatore operazionale ideale ha tipicamente la
seguente espressione funzione della frequenza
A(f ) =
A0
(49)
1 + j ffp
dove A(0) è l’ampliﬁcazione a bassa frequenza, cioè l’ampliﬁcazione di un opamp per frequenze
molto minori di fp ed fp è detta banda ad anello aperto dell’opamp.
Si nota che per f = fp , il
√
modulo dell’ampliﬁcazione diﬀerenziale si riduce di un fattore 2 (3dB) e, per frequenze superiori,
decresce come f1 , cioè di 20dB per decade. L’ampliﬁcazione di bassa frequenza A(0) di un opamp
può essere molto elevata (A0 = 105 − 106 ) mentre la banda ad anello aperto fp è tipicamente
piuttosto bassa (dell’ordine di grandezza dei 100Hz).
Gli eﬀetti di tale dipendenza dalla frequenza dell’ampliﬁcazione A nei circuiti con opamp possono essere tenuti in conto considerando l’opamp come un ampliﬁcatore diﬀerenziale con una ampliﬁcazione diﬀerenziale di valore ﬁnito (e cioè modellizzabile con il circuito equivalente in Fig.9b),
analizzando dunque il circuito con opamp come fosse un circuito contenente dei generatori di tensione dipendente da un tensione e, inﬁne, sostituendo l’ampliﬁcazione A con la sua espressione nella
Eqn.(49).
In maniera alternativa, la limitazione di banda dei circuiti con opamp può essere determinata (in
modo più semplice) tenendo conto che i beneﬁci eﬀetti della retroazione negativa sono strettamente
legati al fatto che il guadagno d’anello Aβ nell’Eqn.(12) sia molto maggiore di 1. Tenendo a mente
questa considerazione, la limitazione di banda dei circuiti con opamp è legata alla condizione
|A(f )β| > 1.
Siccome, dall’Eqn.(49), per f superiore di fp , |A(f )| ≃
opamp funziona correttamente se
βA0 fp
> 1.
f
cioè se
f < βA0 fp .
A0 fp
f ,
(50)
l’Eqn.(50) aﬀerma che un circuito con
(51)
(52)
Cosicché la limitazione di banda B del circuito si può esprimere come:
B = βA0 fp .
(53)
Si può osservare che la quantità fT = A0 fp nell’Eqn.(53) corrisponde alla frequenza di guadagno
unitario dell’ampliﬁcatore operazionale, cioè la frequenza alla quale l’ampliﬁcazione diﬀerenziale
vale 1 (0dB). Inoltre siccome l’ampliﬁcazione ad anello chiuso Ac di un sistema retroazionato7 è
data da β1 , l’Eqn.(53) può essere espressa come
BAc = fT ,
(54)
cioè il prodotto tra la larghezza di banda B e l’ampliﬁcazione ad anello chiuso Ac è una costante
per un dato opamp e corrisponde alla sua frequenza di guadagno unitario fT che, per tale ragione,
è anche nota come il prodotto banda-guadagno di un opamp.
7
Il seguente ragionamento può essere espresso in questi termini solo per l’amplificatore di tensione, dato che la
sua struttura rispecchia fedelmente lo schema di Fig.8 e la sua amplificazione di tensione ad anello chiuso è espressa
da β1 . L’Eqn.(50), tuttavia, è valida per qualunque configurazione amplificatrice, purché il guadagno d’anello Aβ sia
definito e caluato in modo opportuno.
35
|A(f)|, [dB]
100
80
60
40
Guadagno
ad anello chiuso
Larghezza di banda
ad anello chiuso
Ac|dB
20
fT
B
0
10
2
10
10
3
10
4
105
10
6
7
10
f, [Hz]
-20
Figura 29: Guadagno di tensione ad anello chiuso di un ampliﬁcatore di tensione con ampliﬁcatore
operazionale in funzione della frequenza (diagramma di Bode).
Sulla base dell’Eqn.(54), se si possiede un opamp con un prodotto banda-guadagno fT = 1MHz,
la banda di un ampliﬁcatore di tensione con ampliﬁcazione 10 realizzato utilizzando tale opamp
nella conﬁgurazione mostrata in Fig.12 sarà
B=
1MHz
fT
=
= 100kHz,
Ac
10
mentre la banda di un ampliﬁcatore di tensione con ampliﬁcazione 100 ottenuto con la stessa
topologia sarà
fT
1MHz
B=
=
= 10kHz.
Ac
100
Si dovrebbe altresı̀ osservare che, dall’Eqn.(54) un ampliﬁcatore operazionale può fornire una
ampliﬁcazione (Ac > 1) solo se f < fT .
4.6
Limitazione di slew rate
Oltre la limitazione di banda, che è indipendente dall’ampiezza del segnale da ampliﬁcare, gli
ampliﬁcatori operazionali reali possono essere aﬀetti dalla limitazione di massimo slew rate, cioè
il massimo valore della derivata nel tempo della tensione di uscita. Ciò signiﬁca che, per poter
funzionare correttamente, dovrebbe essere
dvOUT ∀t
(55)
dt < SR
dove SR è lo slew rate dell’operazionale.
Si osserva che, a diﬀerenza della limitazione di banda, la limitazione di slew rate coinvolge sia la
frequenza che l’ampiezza del segnale da ampliﬁcare. Per poter illustrare tale fatto, si supponga, ad
36
vOUT
Uscita desiderata
(il limite di slew rate non è rispettato)
Massima
pendenza
(SR)
Uscita affetta dall
limitazione
di slew rate
t
Uscita desiderata
(il limite di slew
rate è rispettato)
Figura 30: Limitazione di slew rate.
esempio, che un segnale sinusoidale con frequenza f = 100kHz e ampiezza di picco Vin = 100mV sia
applicato all’ingresso di un ampliﬁcatore di tensione con ampliﬁcazione 10 realizzato utilizzando
un ampliﬁcatore operazionale con prodotto banda-guadagno di 5MHz a una limitazione di slew
rate di 4V/µs. Dopodiché si ipotizzi di applicare un segnale sinusoidale alla stessa frequenza e con
ampiezza di picco di 1V all’ingresso dello stesso ampliﬁcatore di tensione. Per ciò che concerne la
limitazione di banda, si può notare che entrambi i segnali dovrebbero essere ampliﬁcati in modo
= 500kHz. Se si
corretti dato che la banda dell’ampliﬁcatore di tensione è data da B = 5MHz
10
calcola il modulo della derivata nel tempo della tensione di uscita, cioè
dvOUT = d [Ac Vin sin(2πf t)]
dt dt
= |2πf Ac Vin cos(2πf t)| ≤ 2πf Ac Vin
(56)
che ha il massimo valore negli istanti di tempo per i quali cos(2πf t) = ±1, cioè in corrispondenza
dell’attraversamento dello zero del sin(2πf t), si nota che per Vin = 100mV, si ha che
2πf Ac Vin = 0.628V/µs < SR = 4V/µs,
per cui il circuito funziona correttamente. Nel caso in cui Vin = 1V, invece, si ottiene che
2πf Ac Vin = 6.28V/µs > SR = 4V/µs
ed il circuito non funziona correttamente. In particolare, quando il limite di slew rate è violato,
la tensione d’uscita mostra una distorsione nella forma d’onda per la quale in corrispondenza delle
parti di tale forma d’onda la cui pendenza non soddisfa il limite di slew rate, la pendenza della
forma d’onda è limitata al valore massimo consentito di SR. A causa di tale fenomeno, ad esempio,
una sinusoide può essere distorta in una forma d’onda triangolare come mostrato in Fig.30.
4.7
Reiezione del modo comune
Come è stato aﬀermato in precedenza, gli ampliﬁcatori operazionali dovrebbero ampliﬁcare solo la
tensione di ingresso diﬀerenziale vD = v + − v − , indipendentemente dalla tensione di ingresso di
37
+
−
modo comune vCM = v +v
, la quale dovrebbe perciò essere completamente rigettata. In pratica,
2
tuttavia, la tensione d’uscita di un opamp può essere inﬂuenzata dalla tensione di ingresso di modo
comune. Le prestazioni in termini di reiezione del modo comune di un ampliﬁcatore operazionale sono spesso espresse in dal rapporto di reiezione del modo comune (in inglese, common-mode
rejection ratio), CMRR, deﬁnito come
CMRR =
dove
A=
A
ACM
(57)
vOUT
vD
è l’ampliﬁcazione diﬀerenziale e
vOUT
vCM
ACM =
è l’ampliﬁcazione di modo comune, cioè il rapporto tra le ﬂuttuazioni dell’uscita indotte dal modo
comune e il modo comune stesso.
Dato che sia A che ACM dipendono dalla frequenza, anche il CMRR di un ampliﬁcatore operazionale dipende dalla frequenza. A bassa frequenza il CMRR può avere dei valori superiori ai
100dB, mentre a frequenze più elevate (ad esempio dell’ordine dei 100kHz) il CMRR potrebbe
scendere a 20-40dB.
4.8
Alimentazione e reiezione dell’alimentazione
In precedenza è stato aﬀermato che gli ampliﬁcatori operazionali, come qualunque altro circuito
elettronico, richiedono una tensione di alimentazione in continua per poter funzionare. Sebbene sia
lecito assumere che tali tensioni siano costanti, spesso esse sono in realtà disturbate e/o mostrano
oscillazioni residue. Tali disturbi non dovrebbero inﬂuenzare la tensione di uscita di un opamp,
tuttavia, la tensione di uscita di un ampliﬁcatore operazionale reale in pratica mostra un errore
APS vPS proporzionale alle ﬂuttuazioni della tensione di alimentazione vPS .
Le prestazioni in termini di reiezioni dei disturbi dell’alimentazione di un ampliﬁcatore operazionale sono spesso espresse in termini del rapporto di reiezione della tensione di alimentazione (in
inglese, power-supply rejection ratio), PSRR, deﬁnito come
PSRR =
dove
A=
A
APS
(58)
vOUT
vD
è l’ampliﬁcazione diﬀerenziale e
APS =
vOUT
vPS
è l’ampliﬁcazione a cui è sottoposta la tensione di alimentazione, cioè il rapporto tra le ﬂuttuazioni all’uscita dell’opamp indotte dal disturbo sull’alimentazione e l’ampiezza del disturbo
dell’alimentazione.
Dato che sia A che APS dipendono dalla frequenza, anche il PSRR di un ampliﬁcatore operazionale dipende dalla frequenza. A bassa frequenza il PSRR può avere dei valori superiori ai 120dB,
mentre a frequenze più elevate (ad esempio dell’ordine dei 100kHz) il PSRR potrebbe scendere a
30-40dB.
38
Esercizi sugli amplificatori operazionali
1
Esercizi su ampliﬁcatori operazionali ideali
Ipotizzando che l’ampliﬁcatore operazionale sia ideale, valutare l’espressione della tensione vOUT
nel circuito di Fig.1 in funzione delle sorgenti indipendenti v1 , v2 and v3 .
Figure 1: Circuito da analizzare.
1.1
Metodo dell’analisi diretta
In qualunque circuito che sfrutti la retroazione negativa e che contenga ampliﬁcatori operazionali,
la tensione di uscita dell’opamp si può esprimere attraverso l’applicazione della legge di Kirchoﬀ
per le tensioni come
vOUT = v + − vD + vRF
(1)
dove v + è la tensione al terminale non invertente, vD è la tensione diﬀerenziale in ingresso all’opamp
e vRF è la tensione ai capi del resistore di retroazione RF , come mostrato in Fig.2. Inoltre, siccome
si suppone l’opamp ideale segue che
{
vD = v + − v − = 0
(2)
i+ = i− = 0
e l’Eqn.(1) fornisce
vOUT = v + + vRF
1
(3)
Figure 2: Analisi di un circuito contenente un ampliﬁcatore operazionale che sfrutta la retroazione
negativa.
Sulla base dell’Eqn.(3), la tensione d’uscita vOUT può essere calcolata in tre passi:
• calcolo di v +
• calcolo di vRF
• calcolo di vOUT tramite l’Eqn.(3).
Calcolo di v +
Per poter calcolare v + , si può osservare che, dall’Eqn.(2), la corrente i+ è zero, per cui il terminale
di ingresso non invertente dell’opamp equivale ad un circuito aperto e non inﬂuenza la parte di
circuito collegato ad esso. Di conseguenza, la tensione v + può essere valutata senza considerare
la connessione all’ampliﬁcatore operazionale, come mostrato in Fig.3. Si nota che tale tensione
dipende solo dalla rete A in Fig.3, la quale è direttamente o indirettamente collegata al terminale
non invertente dell’opamp.
Con riferimento al circuito in Fig.1, la rete ottenuta al primo passo é riportata in Fig.4 e
include i resistori R1 e R2 e le sorgenti indipendenti v1 e v2 . La tensione v + può essere valutata,
sia attraverso l’applicazione del principio di sovrapposizione degli eﬀetti o attraverso il teorema di
Millman, come
R1
R2
+ v2
(4)
v + = v1
R 1 + R2
R1 + R2
Calcolo di vRF
Per poter calcolare la tensione vRF , è conveniente calcolare la corrente iRF che scorre attraverso
RRF . Una volta nota iRF , vRF si ricava immediatamente come
vRF = RF iRF .
Dato che la corrente i− che entra nel terminale invertente dell’opamp è zero per l’Eqn.(2),
la corrente iRF è uguale alla corrente iB entrante nella rete B connessa al terminale invertente
2
Figure 3: Analisi di un circuito con opamp retroazionato negativamente: calcolo di v + .
Figure 4: Rete da considerare per il calcolo di v + nel circuito di Fig.1.
dell’opamp. Per poter calcolare tale corrente, si può considerare che, ancora dall’Eqn.(2), la tensione
v − all’ingresso invertente dell’opamp è forzata al valore della tensione v + al terminale non invertente
dell’opamp (calcolata sopra) a causa della retroazione negativa. Di conseguenza, la corrente iRF può
essere calcolata considerando la rete B collegata al terminale invertente dell’opamp e considerando
l’ingresso invertente come una sorgente ideale di tensione che forza una tensione v + , come mostrato
in Fig.5.
Con riferimento al circuito in Fig.1, il circuito da considerare per calcolare iRF è riportato in
Fig.6. Applicando il principio di sovrapposizione degli eﬀetti o la legge di Kirchoﬀ per le correnti
si ottiene
iRF = iR3 + iR4
dove
iR3 =
v + − v3
R3
e
iR4 =
3
v+
,
R4
l’espressione della iRF in funzione di v3 e della sorgente equivalente v + è
iRF =
v+
v3
−
R3 ∥ R4 R3
(5)
di conseguenza, considerando che RF = R5
vRF = R5 iRF = v +
R5
R5
− v3
R3 ∥ R4
R3
Figure 5: Analisi di un circuito con opamp retroazionato negativamente: calcolo di vRF .
Figure 6: Rete da considerare per il calcolo di iRF nel circuito di Fig.1.
4
(6)
Calcolo di vOUT
Dato che sia v + e iRF sono stati calcolati, la tensione di uscita dell’opamp vOUT può essere calcolata
attraverso l’Eqn.(3). Con riferimento al circuito di Fig.1, si ottiene
vOUT = v + + vRF
R5
R5
− v3
= v+ + v+
R3 ∥ R4
R3
)(
)
(
R1
R5
R5
R2
+ v2
1+
− v3
=
v1
R1 + R2
R1 + R 2
R3 ∥ R4
R3
5
(7)
′
Figure 7: Rete da considerare per il calcolo del contributo vOUT
di v1 nel circuito di Fig.1.
1.2
Riduzione alle conﬁgurazioni base
L’analisi del circuito in Fig.1 può anche essere eﬀettuata attraverso l’applicazione del principio di
sovrapposizione ricordando le proprietà delle conﬁgurazioni ampliﬁcatrici fondamentali. Secondo
questo metodo, la tensione d’uscita vOUT può essere valutata attraverso la sovrapposizione degli
eﬀetti come
′
′′
′′′
vOUT = vOUT
+ vOUT
+ vOUT
(8)
′
′′
′′′
dove vOUT
è il contributo di v1 , vOUT
è il contributo di v2 e vOUT
è il contributo di v3 .
Il contributo di v1 può essere calcolato facendo riferimento al circuito di Fig.7. In tale circuito,
la tensione v + all’ingresso non invertente dell’opamp è
v + = v1
R2
R1 + R2
e i resistori R3 e R4 sono in parallelo e possono essere sostituiti dalla resistenza equivalente R3 ∥ R4 .
Tenendo conto delle precedenti considerazioni, il circuito in Fig.7 può essere ridotto al circuito
di Fig.8, il quale analogo alla topologia base di un ampliﬁcatore di tensione. Richiamando tale
conﬁgurazione, la tensione d’uscita Fig.8, si calcola immediatamente come
(
)
R2
R5
′
vOUT
= v1
1+
(9)
R1 + R2
R3 ∥ R4
Attraverso un ragionamento analogo, il contributo della sorgente di tensione v2 si può calcolare
come
(
)
R1
R5
′′
vOUT = v2
1+
.
(10)
R1 + R2
R3 ∥ R4
Per calcolare il contributi di v3 , si consideri il circuito di Fig.9. In tale circuito, la corrente che
attraversa i resistori R1 e R2 è zero dato che la corrente che entra nel terminale non invertente
6
Figure 8: Ampliﬁcatore di tensione non invertente equivalente per la valutazione del contributo
′
vOUT
di v1 ne circuito di Fig.1.
dell’opamp è zero. Di conseguenza, la caduta di tensione ai loro capi è zero e possono essere sostituiti
da un corto circuito che collega l’ingresso non invertente e il nodo di riferimento. Inoltre, siccome la
tensione v + è zero, la tensione v − al terminale invertente dell’opamp è pure zero. Per cui la caduta
di tensione ai capi di R4 è zero, nessuna corrente lo attraversa ed esso non fornisce alcun contributo
′′′
al calcolo della tensione d’uscita vOUT
. Tali considerazioni consentono di ridurre il circuito di
Fig.9 nel circuito di Fig.10, analogo alla topologia di ampliﬁcatore invertente. Ricordando tale
′′′
conﬁgurazione, la tensione d’uscita vOUT
si ricava immediatamente come
′′′
vOUT
= −v3
R5
.
R3
(11)
Sommando i risultati dell’Eqn.(9), Eqn.(10) e Eqn.(11), si ottiene
′
′′
′′′
vOUT = vOUT
+ vOUT
+ vOUT
(
)
(
)
R5
R1
R5
R5
R2
1+
+ v2
1+
− v3
= v1
R1 + R2
R3 ∥ R4
R1 + R2
R3 ∥ R4
R3
(
)(
)
R2
R1
R5
R5
=
v1
+ v2
1+
− v3
R1 + R2
R1 + R2
R3 ∥ R4
R3
(12)
come ottenuto nell’Eqn.(7).
Lo stesso metodo poteva essere impiegato calcolando per prima la tensione complessiva al
nodo non invertente dell’ampliﬁcatore operazionale e poi considerando la tensione al terminale
non invertente come fosse erogata da una sorgente di tensione ideale, Facendo in questo modo, il
principio di sovrapposizione può essere applicato considerando la sorgente equivalente v + e quella
v3 come sorgenti d’ingresso.
7
′′′
Figure 9: Rete da considerare per il calcolo del contributo vOUT
di v3 nel circuito di Fig.1.
′′′
Figure 10: Ampliﬁcatore di tensione equivalente per il calcolo del contributo vOUT
di v3 nel circuito
di Fig.1.
8
Ulteriori considerazioni sui circuiti contenenti ampliﬁcatori operazionali ideali
Di seguito sono raccolti alcuni suggerimenti utili per la risoluzione di circuito contenenti ampliﬁcatori operazionali
• I circuiti contenenti più di un opamp possono essere risolti considerando dapprima i circuiti
operazionali i cui ingressi sono collegati a generatori indipendenti e calcolando le loro tensioni
d’uscita tramite le tecniche considerate in precedenza. Poi, dato che l’uscita di un opamp ideale può essere considerata come una sorgente ideale di tensione, tale ampliﬁcatore può essere
sostituito da un generatore indipendente di tensione avente il valore calcolato in precedenza,
dopodiché si risolve il resto del circuito.
• I circuiti operazionali ideali sono elementi lineari, per cui i circuiti contenenti opamp ideali
e altri elementi lineari possono essere analizzati nel dominio della frequenza attraverso la
deﬁnizione di una funzione di trasferimento ingresso-uscita. A tale scopo, i componenti passivi
del circuito sono descritti in funzione della loro ammettenza/impedenza.
• Se è richiesto il calcolo di una quantità diﬀerente dalla tensione d’uscita di un opamp, la tecnica precedente deve essere adattata alla uscita richiesta (ad esempio Eqn.(3) dovrebbe essere
sostituita da un’altra relazione). Ciononostante, i primi due passi del metodo di soluzione
diretto precedentemente descritto sono utili per risolvere la maggior parte dei circuito con
ampliﬁcatori operazionali ideali.
9
Esercizi
Esercizio 1. Calcolare l’espressione della tensione vOUT del circuito di Fig.11 in funzione delle
sorgenti indipendenti v1 , i2 e v3 per R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 10kΩ.
Figure 11: Circuito per l’Es.1.
Esercizio 2. Calcolare l’espressione della tensione vOUT del circuito di Fig.12 in funzione delle
sorgenti indipendenti v1 , i2 , i3 e v4 per R1 = R2 = R3 = R4 = 10kΩ and R5 = 50kΩ.
Figure 12: Circuito per l’Es.2.
10
Esercizio 3. Calcolare l’espressione della tensione vOUT del circuito di Fig.13 in funzione delle
sorgenti indipendenti v1 , i2 e v3 .
Figure 13: Circuito per l’Es.3.
Esercizio 4. Calcolare l’espressione della tensione vOUT del circuito di Fig.14 in funzione delle
sorgenti indipendenti v1 e v2 .
Figure 14: Circuito per l’Es.4.
Esercizio 5. Calcolare l’espressione della corrente iOUT del circuito di Fig.15 in funzione delle
sorgenti indipendenti v1 e v2 .
Esercizio 6. Con riferimento al circuito riportato in Fig.16, in cui R1 = 10kΩ, R2 = 22kΩ e
(f )
C = 10nF, calcolare l’espressione della funzione di trasferimento H(f ) = VVout
e disegnare
1 (f )
il diagramma di Bode del modulo e della fase di H(f ).
11
Figure 15: Circuito per l’Es.5.
Figure 16: Circuito per l’Es.6.
12
Esercizio 7. Con riferimento al circuito di Fig.17, in cui R1 = 10kΩ, R2 = 100kΩ, C1 =
Vout (f )
C2 = 100
π nF, calcolare H(f ) = Vin (f ) e disegnare il diagramma di Bode di H(f ).
10
π nF
e
Figure 17: Circuito per l’Es.7.
Esercizio 8. Con riferimento al circuito in Fig.18, in cui R = 100kΩ e C = 2.2nF, calcolare
(f )
H(f ) = VVout
e disegnare il diagramma di Bode di H(f ).
in (f )
Figure 18: Circuito per l’Es.8.
Esercizio 9. Con riferimento al circuito in Fig.19, con R = 100kΩ e C =
Vout (f )
Vin (f ) e disegnare il diagramma di Bode di H(f ).
Figure 19: Circuito per l’Es.9.
13
10
π nF,
calcolare H(f ) =
2
Esercizi su ampliﬁcatori operazionali reali
Figure 20: Circuito considerato nell’esempio.
2.1
Dinamica di tensione/corrente
Si consideri il circuito di Fig.20, in cui R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 100kΩ e la porta di uscita
del circuito pilota un resistore RL = 1kΩ. Le dinamiche dei segnali di ingresso v1 , v2 e v3 sono
riportate nella Tab.1.
Table 1: Dinamica dei segnali di ingresso in Fig.20
Sorgente
v1
v2
v3
VMIN
-2V
0
0
VMAX
1V
1V
500mV
Calcolare
• la minima dinamica della tensione di uscita;
• la minima dinamica della corrente d’uscita;
• la minima dinamica di modo comune per i segnali di ingresso
necessarie aﬃnché l’opamp in Fig.20 funzioni correttamente con i segnali di ingresso speciﬁcati in
precedenza.
14
Soluzione
Dinamica della tensione di uscita L’espressione della tensione di uscita ottenuta nell’ipotesi
di ampliﬁcatore operazionale ideale è riportata nell’Eqn.(7). Sostituendo i valori numerici, si
ottiene
)(
)
(
R1
R5
R5
R2
+ v2
1+
− v3
vOUT =
v1
R 1 + R2
R1 + R2
R3 ∥ R4
R3
3
3
=
v1 + v2 − v3
(13)
2
2
Tenendo in conto la dinamica dei segnali in ingresso, il massimo valore all’uscita dell’opamp
dovrebbe essere
)
(
3
3
vOUT,MAX = max
v1 + v2 − v3
2
2
3
3
=
max v1 + max v2 − min v3
2
2
3
3
=
· V1,MAX + · V2,MAX − V3,MIN
2
2
3
3
· 1V + · 1V − 0V
=
2
2
= 3V.
(14)
Analogamente, il minimo valore all’uscita dell’opamp dovrebbe essere
)
(
3
3
v1 + v2 − v3
vOUT,MIN = min
2
2
3
3
=
min v1 + min v2 − max v3
2
2
3
3
=
· V1,MIN + · V2,MIN − V3,MAX
2
2
3
3
=
· (−2V) + · 0V − 0.5V
2
2
= −3.5V
(15)
Tenendo conto dell’Eqn.(14) e (15), l’opamp dovrebbe avere una minima dinamica di uscita
di (-3.5V, 3V) per poter ampliﬁcare correttamente i segnali d’ingresso. Un opamp con una
dinamica di uscita (VOUT,MIN , VOUT,MAX ) con VOUT,MIN < −3.5V e VOUT,MAX > 3V dovrebbe
essere, dunque, utilizzato nel circuito di Fig.20.
Dinamica della corrente di uscita Se il circuito in Fig.20 funziona correttamente, la corrente
che scorre nel resistore di carico RL è proporzionale alla tensione d’uscita per cui, per un
dato carico, l’opamp dovrebbe erogare una massima corrente d’uscita in corrispondenza della
massima tensione d’uscita e dovrebbe assorbire la massima corrente quando sul carico si
stabilisce la minima (negativa) tensione d’uscita. Di conseguenza,
iOUT,MAX,sourced =
e
iOUT,MAX,sunk =
vOUT,MAX
3V
= 3mA
=
RL
1kΩ
vOUT,MIN
−3.5V
= −3.5mA
=
RL
1kΩ
15
(16)
(17)
Dinamica del modo comune in ingresso Se il circuito in Fig.20 funziona correttamente, si ha
che v + ≃ v − e, di conseguenza,
vCM =
v+ + v−
≃ v+ .
2
Allo scopo di calcolare la minima dinamica del modo comune in ingresso per l’opamp in Fig.20,
si devono calcolare i valori minimo e massimo della tensione di ingresso non invertente, la
quale è espressa come
R2
R1
+ v2
R1 + R2
R1 + R2
1
1
v1 + v2 ,
2
2
v + = v1
=
tenendo conto delle dinamiche dei segnali di ingresso. In tal modo, si ottiene
)
(
1
1
+
v1 + v2
vCM,MAX = vMAX = max
2
2
1
1
=
max v1 + max v2
2
2
1
1
=
· 1V + · 1V
2
2
= 1V.
e
(19)
(20)
(
vCM,MIN =
+
vMIN
=
=
=
=
)
1
1
min
v1 + v2
2
2
1
1
min v1 + min v2
2
2
1
1
· (−2V) + · 0V
2
2
−1V
(18)
(21)
(22)
Tenendo conto della Eqn.(20) e (22), l’opamp dovrebbe avere una minima dinamica di modo
comune di (-1V, 1V) per elaborare correttamente i segnali in ingresso. Di conseguenza, nel
circuito di Fig.20 si dovrebbe usare un ampliﬁcatore operazionale con dinamica di uscita
(VCM,MIN , VCM,MAX ) con VCM,MIN < −1V and VCM,MAX > 1V.
2.2
Tensione di oﬀset
Si supponga di utilizzare nel circuito di Fig.20, con i valori dei componenti speciﬁcati in precedenza,
un ampliﬁcatore operazionale TLC271, il cui costruttore dichiara un valore massimo della tensione
di oﬀset in ingresso pari a 5mV.
Soluzione
Con l’obiettivo di calcolare la tensione di oﬀset in uscita nel circuito di Fig.20, tutti i generatori
di segnale in ingresso devono essere spenti e si deve considerare il modello di opamp, mostrato in
Fig.21, che include la sorgente VOFF che tiene conto dell’oﬀset in ingresso.
16
Figure 21: Circuito da considerare per il calcolo del massimo valore della tensione di oﬀset sulla
tensione di uscita vOUT dovuto alla tensione di oﬀset VOFF in ingresso all’opamp nel circuito di
Fig.20.
Come conseguenza, dall’analisi del circuito di Fig.21, assumendo l’opamp ideale, si ottiene che
il contributo VOFF,OUT dovuto al generatore di tensione di oﬀset VOFF sulla tensione d’uscita vOUT
è dato da:
)
(
R5
= 3VOFF .
(23)
VOFF,OUT = VOFF 1 +
R3 ∥ R4
Il valore massimo della tensione di oﬀset all’uscita è perciò in modulo
max |VOFF,OUT | = 3 max |VOFF | = 15mV.
(24)
Di conseguenza, la tensione d’uscita vOUT del circuito in Fig.21 può essere aﬀetta da un errore
−15mV < VOFF,OUT < 15mV.
2.3
Inﬂuenza del valore ﬁnito dell’ampliﬁcazione diﬀerenziale
Figure 22: Circuito considerato nell’esercizio.
17
Figure 23: Circuito equivalente di un ampliﬁcatore operazionale con ampliﬁcazione diﬀerenziale
ﬁnita e resistenza di uscita ﬁnita.
Si consideri il circuito ampliﬁcatore di transresistenza in Fig.22, in cui R = 10kΩ. Con riferimento a tale circuito calcolare
• la transresistenza Rm =
vOUT
iIN ;
• la resistenza di ingresso Rin indicata in Fig.22;
• la resistenza di uscita Rout indicata in Fig.22
nel caso di ampliﬁcatore operazionale ideale (cioè con ampliﬁcazione diﬀerenziale A → ∞) e nel caso
di ampliﬁcatore operazionale reale il cui circuito equivalente è mostrato in Fig.23, con Ro = 10kΩ
e con i seguenti valori ﬁniti di A: A = 104 , A = 102 , A = 10 e A = 1.
Soluzione
La transresistenza Rm e le resistenze di ingresso ed uscita, nel caso di opamp ideale, sono
calcolabili immediatamente come segue:
Transresistenza Se l’opamp è ideale, v − = v + = 0 e la tensione d’uscita vOUT è uguale alla
tensione che cade ai capi del resistore di retroazione R come si desume dall’applicazione
della legge di Kirchoﬀ per le tensioni. Inoltre, siccome la corrente i− all’ingresso invertente
dell’opamp è zero, dalla legge di Kirchoﬀ per le correnti segue che iR = iIN .
Di conseguenza,
vOUT = vR = RiIN
e la trasresistenza dell’ampliﬁcatore è
Rm = R = 10kΩ
(25)
Resistenza di ingresso Se l’opamp in Fig.22 è ideale, v − = v + = 0. Di conseguenza, spegnendo
tutti i generatori indipendenti e collegando un generatore di corrente di test iT alla porta di
18
ingresso, la tensione di test ai capi di tale generatore è zero. La resistenza di ingresso, deﬁnita
come il rapporto tra la tensione di test e la corrente di test, è data da
Rin =
vT
= 0,
iT
come ci si aspetta da un ampliﬁcatore di transresistenza ideale.
Resistenza di uscita Per calcolare la resistenza di uscita, bisogna spegnere tutti i generatori
indipendenti ed applicare alla porta di uscita un generatore di corrente iT di test. Poi, la
resistenza di uscita è calcolata applicando la deﬁnizione come
Rout =
vT
.
iT
Con riferimento al circuito di Fig.22, se la sorgente di ingresso é spenta, la corrente che
attraversa R è zero dato che i− = 0. Per cui, dato che vT = vOUT = vR , la tensione di test
vT è zero e
vT
Rout =
= 0,
iT
come deve essere in un ampliﬁcatore di transresistenza ideale.
La transresistenza Rm e le resistenze di ingresso ed uscita, nel caso in cui l’opamp sia rappresentato dal modello riportato in Fig.23 possono essere calcolate analizzando il circuito di Fig.24.
Transresistenza Per calcolare la transresistenza Rm = vOUT
iIN , si applica la solita procedura per
i circuiti contenenti generatori dipendenti In tal modo, si calcola dapprima la grandezza di
controllo in funzione di iIN e di ê = AvD come
vD = (R + Rout ) iIN − ê
quindi
vD + AvD = (R + Ro ) iIN
ed inﬁne
R + Ro
iIN
1+A
La tensione d’uscita può essere calcolata come
vD =
(26)
R + Ro
iIN
1+A
AR + ARo − ARo − Ro
= +
iIN
1+A
AR − Ro
iIN
=
1+A
vOUT = −Ro iIN + A
(27)
Di conseguenza, la transresistenza è data da
Rm =
AR − Ro
1+A
(28)
Con i valori numerici dati, e per i tre valori dell’ampliﬁcazione diﬀerenziale A speciﬁcati in
precedenza, si ottengono i valori di transresistenza riportata in Tab.2.
19
Table 2: Transresistenza dell’ampliﬁcatore in Fig.22 per diversi valori di A
A
104
103
10
1
Rm
9.998kΩ
9.98kΩ
8.18kΩ
0Ω
Si può osservare che la transresistenza dell’ampliﬁcatore è prossima a quella ottenuta nel caso
di opamp ideale se l’ampliﬁcazione diﬀerenziale è maggiore di 103 . Per A = 10 si nota un
errore di circa il 20%, mentre per A = 1, la transresistenza è completamente diversa rispetto
al caso ideale.
Resistenza di ingresso Per calcolare la resistenza di ingresso del circuito in Fig.24, bisogna spegnere i generatori indipendenti e applicare un generatore di test alla porta di ingresso. I
generatori dipendenti (cioè AvD ) devono essere mantenuti accesi. Il circuito si analizza con
la procedura usuale per circuiti contenenti generatori dipendenti. Si calcola dapprima la
grandezza pilota in funzione della corrente di test iT e di ê = AvD come
vD = (R + Ro ) iT − ê
quindi
R + Ro
iT
1+A
Siccome vT = vD in questo circuito, si ottiene immediatamente che
vD =
Rin =
vT
R + Ro
=
.
iT
1+A
(29)
(30)
Con i valori numerici dati, e per i tre valori dell’ampliﬁcazione diﬀerenziale A speciﬁcati in
precedenza, si ottengono i valori di resistenza di ingresso riportati in Tab.3.
Table 3: Resistenza di ingresso dell’ampliﬁcatore in Fig.22 per diversi valori di A
A
104
103
10
1
Rin
2Ω
19.98Ω
1.8kΩ
10kΩ
Si può notare che la resistenza di ingresso è dell’ampliﬁcatore è simile a quella calcolata nel
caso in cui l’opamp è ideale (cioè zero) se l’ampliﬁcazione diﬀerenziale è maggiore di 103 .
Resistenza di uscita Per calcolare la resistenza di uscita del circuito in Fig.24, si devono spegnere
i generatori indipendenti ed applicare un generatore di corrente di test alla porta di uscita.
I generatori dipendenti (cioè AvD ) devono essere mantenuti accesi. Il circuito si analizza
20
con la procedura usuale per circuiti contenenti generatori dipendenti. Si calcola dapprima la
grandezza pilota in funzione della corrente di test iT e di ê = AvD come
vD = −Ro iT − ê
quindi
Ro
iT
1+A
Dato che vT = −vD in questo circuito, si ottiene immediatamente che
vD = −
Rout =
vT
Ro
=
.
iT
1+A
(31)
(32)
Con i valori numerici dati, e per i tre valori dell’ampliﬁcazione diﬀerenziale A speciﬁcati in
precedenza, si ottengono i valori di resistenza di uscita riportati in Tab.4.
Table 4: Resistenza di uscita dell’ampliﬁcatore in Fig.22 per diversi valori di A
A
104
103
10
1
Rout
1Ω
9.99Ω
909Ω
5kΩ
Si può notare che la resistenza di ingresso è dell’ampliﬁcatore è simile a quella calcolata nel
caso in cui l’opamp è ideale (cioè zero) se l’ampliﬁcazione diﬀerenziale è maggiore di 103 .
Figure 24: Circuito da analizzare per tenere conto del valore ﬁnito della ampliﬁcazione diﬀerenziale
dell’opamp A
21
2.4
Limitazione di banda dell’ampliﬁcatore operazionale
out (f )
Calcolare la transimpedenza Zm (f ) = VIout
(f ) dell’ampliﬁcatore in Fig.22 dove R = 10kΩ e dove
l’ampliﬁcatore operazionale è rappresentato dal circuito equivalente in Fig.23, in cui Ro = 100kΩ e
la ampliﬁcazione diﬀerenziale dell’opamp è
A(f ) =
A0
1 + j ffp
(33)
dove A0 = 104 e fp = 100Hz. Disegnare il diagramma di Bode del modulo e della fase di Zm (f ).
22
Soluzione
L’espressione della transimpedenza Zm , che tiene conto dell’ampliﬁcazione A(f ) di valore ﬁnito
può essere calcolata come fatto nel precendente esercizio (Eqn.(28)):
A(f )R − Ro
1 + A(f )
Zm (f ) =
(34)
Sostituendo l’espressione di A(f ) si ottiene
Zm (f ) =
A0
1+j ff
R − Ro
p
1+
A0
1+j ff
(
)
A0 R − Ro 1 + j ffp
p
=
=
A0 + 1 + j ffp
A0 R − Ro − Ro j ffp
A0 + 1 + j ffp
f )
A0 RR −1 fp
1 − j(
=
A0 R − Ro
o
f
A0 + 1
1 + j (A0 +1)f
p
= Zm (0)
1 − j ffzc
1 + j ffpc
(35)
dove, considerando i valori numerici, Zm (0) ≃ 10kΩ, fpc ≃ 1MHz e fzc ≃ 100kHz. Si ottiene il
diagramma di Bode di Zm in Fig.25.
Figure 25: Diagrammi di Bode della transimpedenza Zm del circuito di Fig.22.
23
2.5
Esercizi
Esercizio 1. L’ampliﬁcatore di corrente in Fig.26, dove R1 = 10kΩ, R2 = 1kΩ e RL = 10kΩ
include un opamp con una dinamica della tensione di ingresso pari a (-10V,+10V) e una
dinamica della corrente di uscita di (-3mA,5mA). Calcolare i valori minimi e massimi del
segnale in ingresso iIN che possono essere ampliﬁcati correttamente.
Figure 26: Circuito per l’Es.1.
Esercizio 2. L’opamp in Fig.26, dove R1 = 10kΩ, R2 = 1kΩ e RL = 10kΩ, ha un massimo
valore dell’oﬀset della tensione di ingresso di 5mV. Calcolare il valore massimo dell’oﬀset
della corrente di uscita iOUT .
Esercizio 3. Il circuito in Fig.27, dove R1 = 1kΩ, R2 = 2kΩ e R3 = 10kΩ ha due segnali in
ingresso: v1 (t) con dinamica (V1,MIN , V1,MAX )=(10mV, 500mV) e v2 (t) avente una dinamica
pari a (V2,MIN , V2,MAX )=(-250mV, 1V).
• Calcolare il valore minimo della dinamica della tensione in uscita necessario per il corretto
funzionamento;
• supporre che la dinamica della corrente di uscita dell’opamp sia (-10mA, +10mA), calcolare il minimo valore del carico resistivo che può essere pilotato dal circuito.
Figure 27: Circuito per l’Es.3.
24
Esercizio 4. Entrambi gli opamp in Fig.28 hanno un oﬀset di tensione in ingresso di 4mV. Calcolare l’oﬀset di tensione di uscita vOUT , assumendo R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 10kΩ.
Figure 28: Circuito per l’Es.4.
Esercizio 5. Con riferimento al circuito in Fig.29, in cui R = 10kΩ, calcolare la transconduttanza
gm = iOUT
vIN , la resistenza di ingresso Rin and la resistenza di uscita Rout considerando il
circuito equivalente dell’ampliﬁcatore operazionale mostrato in Fig.23, dove Ro = 5kΩ
• assumendo che l’ampliﬁcazione diﬀerenziale A dell’opamp sia inﬁnita (opamp ideale);
• assumendo A = 103 ;
• assumendo A = 10.
Figure 29: Circuit per l’Es.5.
25
Exercise 6. Con riferimento al circuito in Fig.30, in cui R1 = 10kΩ e R2 = 100kΩ, calcolare
l’ampliﬁcazione di tensione Av = vvOUT
, la resistenza di ingresso Rin e la resistenza di uscita
IN
Rout considerando il circuito equivalente dell’ampliﬁcatore operazionale mostrato in Fig.23,
dove Ro = 10kΩ
• assumendo che l’ampliﬁcazione diﬀerenziale A dell’opamp sia inﬁnita (opamp ideale);
• assumendo A = 103 ;
• assumendo A = 10.
Figure 30: Circuito per l’Es.6.
Esercizio 7. Con riferimento al circuito in Fig.30, in cui R1 = 10kΩ e R2 = 100kΩ, calcolare
(f )
, l’impedenza di ingresso Zin e l’impedenza di
l’ampliﬁcazione di tensione Av (f ) = VVout
in (f )
uscita Zout considerando il circuito equivalente dell’ampliﬁcatore operazionale mostrato in
Fig.23, dove Ro = 10kΩ e A(f ) = A0 f , A0 = 104 e fp = 50Hz.
1+j f
p
Esercizio 8. Un ampliﬁcatore operazionale in conﬁgurazione di inseguitore di tensione pilota un
carico resistivo RL = 1kΩ con un segnale proveniente da una sorgente con resistenza interna
RS = 100kΩ come mostrato in Fig.31. L’ampliﬁcatore operazionale ha il circuito equivalente
di Fig.32, dove Ri = 10kΩ, Ro = 100kΩ e A(f ) = A0 f , A0 = 106 and fp = 1Hz.
1+j f
p
supponendo che il carico sia direttamente
• calcolare la funzione di trasferimento
collegato alla sorgente di segnale senza il circuito inseguitore di tensione;
vOUT
vIN ,
• calcolare la funzione di trasferimento
∞);
vOUT
vIN ,
assumendo che l’opamp sia ideale (cioè A →
• calcolare la funzione di trasferimento
vOUT
vIN
alla frequenza f = 0;
• calcolare la funzione di trasferimento
diagramma di Bode in modulo e fase.
Vout (f )
Vin (f )
in funzione della frequenza e disegnarne il
Esercizio 9. Con riferimento al circuito in Fig.16, calcolare la funzione di trasferimento nel do(f )
minio della frequenza H(f ) = VVout
, tenendo in considerazione la dipendenza dalla frein (f )
quenza della ampliﬁcazione diﬀerenziale A(f ) =
A0
1+j ff
, con A0 = 104 and fp = 100Hz,
p
dell’ampliﬁcatore operazionale. Assumere che l’impedenza di ingresso dell’opamp sia inﬁnita
e l’impedenza di uscita dell’opamp sia nulla.
26
Figure 31: Circuito per l’Es.8.
Figure 32: Circuito equivalente dell’opamp per l’Es.8.
27
Esercizi sugli amplificatori operazionali
Soluzioni
1
Esercizi su amplificatori operazionali ideali
Soluzioni
Esercizio 1.
vOUT = 32 v1 + 15kΩ · i2 − v3 .
Esercizio 2.
vOUT = 3v1 − 90kΩ · i2 − 50kΩ · i3 − 5v4 .
Esercizio 3.(
5
vOUT = − R
R3 1 +
Esercizio
( 4.
vOUT = 1 +
R3
R2
Esercizio(5.
iOUT = − 1 +
)
R3
R4
R2
R1
)
v1 −
)(
(
v1 − R5 i2 + 1 +
R5
R3
)
v3 .
R3
R2 v2 .
v1
R1
+
v2
R2
)
.
Esercizio 6. f
H(f ) = k
1+j f
z
1+j ff
with k = 1, fp =
p
Esercizio 7.
H(f ) = − (
1+j ff
p1
with f0 =
1
2πR1 C
= 1.59kHz, fz =
1
2π(R1 +R2 )C
j ff
0
)(
)
1+j ff
1
2πR2 C1
p2
= 500Hz, fp1 =
1
2πR1 C1
= 5kHz and fp2 =
Esercizio 8.
H(f ) = k 1 f
1+j f
p
with k = −1 and fp1 =
Exercise 9.
H(f ) = (
= 497Hz.
1
2πRC
k
)(
1+j ff
p1
with k = 2, fp1 =
= 723Hz.
)
1+j ff
p2
1
2π10RC
= 50Hz and fp2 =
1
2πRC
1
= 500Hz.
1
2πR2 C2
= 50Hz.
2
Esercizi su amplificatori operazionali reali
Soluzioni
Esercizio 1.
−0.83mA < iIN < 0.83mA.
Esercizio 2.
IOUT,OFF = 610nA.
Esercizio 3.
∆VOUT,mim = (−10V, 1.15V).
ROUT,mim = 1kΩ.
Esercizio 4.
VOUT,OFF = 16mV.
Esercizio 5.
for A → ∞ : gm = 100µS, Rin → ∞, Rout → ∞
for A = 103 : gm = 99.85µS, Rin → ∞, Rout = 10.015MΩ
for A = 10 : gm = 86.96µS, Rin → ∞, Rout = 115kΩ.
Esercizio 6.
for A → ∞ : Av = −10, Rin = 10kΩ, Rout = 0
for A = 103 : Av = −9.88, Rin = 10.11kΩ, Rout = 108Ω
for A = 10 : Av = −4.5, , Rin = 20kΩ, Rout = 5kΩ.
Esercizio 7.
Av (f ) =
1+j ff
p
−R2 A0 +Ro
(A0 +1)R1 +R2 +Ro 1+j f
f (A
[
Zin (f ) = R1 +
Zout (f ) =
R2 +Ro
1+A0
]
Ro
−R2 A0 +Ro
R1 +R2 +Ro
p
0 +1)R1 +R2 +Ro
R1 +R2 +Ro
1+j ff (A +1)R
p
0
1 +R2 Ro
f
1+j f (1+A
p
0)
[Ro ∥(R1 +R2 )](R1 +R2 +Ro )
(A0 +1)R1 +R2 +Ro
1+j
1+j ff
p
R1 +R2 +Ro
f
fp fp (A0 +1)R1 +R2 +Ro
Esercizio 8.
vOUT
1
vIN = 101
vOUT
vIN = 1
vOUT
vIN = 0.999
Vout (f )
Vin (f )
=
A0
1
f
1+A0 1+j
f (1+A
p
0)
Esercizio 9.
Vout (f )
Vin (f )
= k(
1+ ff
)(z
)
1+ ff
1+ ff
p1
where k = 1, fp1 =
p2
1
2πR1 C
= 1.59kHz, fp2 =
fp A0
11
= 90.9kHz fz =
2
1
2π(R1 +R2 )C
= 497Hz.

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