la nozione di derivata

LA NOZIONE DI DERIVATA
Definizione 1
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x0  I.
Il rapporto:
f ( x)  f ( x0 )
con x  I-{ x0 }
x  x0
si chiama rapporto incrementale di f relativo al punto x0 .
Si dice che la funzione f è derivabile in x0 se il rapporto incrementale di f relativo ad
x0 è convergente in x0 e, in tale ipotesi, il limite lim
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
si chiama la derivata
x  x0
di f in x0 e si denota con uno dei seguenti simboli:
f '( x0 ) ; D f ( x0 ) ;
df
( x0 ).
dx
In conclusione
f '( x0 )
è
lim
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
purché il limite del secondo membro esista e sia finito.
Definizione 2
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x0  I .
I limiti: xlim
x
0
f ( x)  f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
; xlim
se esistono finiti si chiamano
x 
x  x0
x  x0
0
rispettivamente la derivata sinistra e la derivata destra di f in x0 e si denotano con uno
dei simboli:
f  ( x0 ) ; D f ( x0 ) ; f  ( x0 ) ; D f ( x0 ) .
In conclusione :
f  ( x0 )
lim
x x
0
f ( x)  f ( x0 )
; f  ( x0 )
x  x0
lim
x x
0
f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0
Osservazione
E’ evidente che vale la seguente equivalenza
( f derivabile in x0 )  ( f  ( x0 )= f  ( x0 )= f '( x0 ) )
1
Conseguentemente:
( f  ( x0 )  f  ( x0 ))  (f non è derivabile in x0 )
Definizione 3
Si dice che la funzione f è derivabile nell’intervallo I se f è derivabile in ogni punto
di I. In tal caso la funzione
x  I  f’(x) si chiama la derivata della funzione f
nell’intervallo I e si denota con uno dei simboli f’, Df,
df
oppure anche f’(x), Df(x),
dx
df
(x).
dx
La nozione di derivata si generalizza mediante la seguente definizione:
Definizione 3 (generalizzata)
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x0  I. Se accade che
lim
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
= 
x  x0
si dice che la funzione f ha in x0 derivata infinita.
Osservazione 1
Una volta data questa definizione se f è derivabile in x0 e xlim
x
0
f ( x)  f ( x0 )
 R si dice
x  x0
anche che f ha derivata finita.
Osservazione 2
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
f ( x)  f ( x0 ) f ( x0  h)  f ( x0 )
poniamo h=x- x0 , risulta:
=
e quindi
h
x  x0
f ( x0  h)  f ( x0 )
.
f '( x0 ) = lim
h 0
h
Se nel rapporto incrementale di una funzione f :
Analogamente, posto x  x  x0 , si ha f '( x0 ) = lim
x 0
f ( x0  x)  f ( x0 )
.
x
Tali notazioni sono utili quando si voglia calcolare la derivata di f in un punto di I che
non si voglia precisare. Infatti f '( x0 ) = lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
. x  I .
h
2
La differenza f  f ( x  h)  f ( x) si chiama incremento della funzione f.
Ciò è il motivo per cui la funzione
f ( x)  f ( x0 )
si chiama rapporto incrementale.
x  x0
Proposizione
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x0  I. V.s.i.
(f derivabile in
x0 )  (f
Dim
f ( x)  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 ) 
continua in
x0 )
f ( x)  f ( x0 )
( x  x0 )  f ( x0 )
x  x0
Conseguentemente (aggiungo e sottraggo f(x0))
lim f ( x)  lim
x  x0
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
( x  x0 )  lim f ( x0 )  f '( x0 )  0  f ( x0 )  f ( x0 ) .
x  x0
x  x0
ESEMPI
1) se c è una costante reale risulta Dc=0
f ( x  h)  f ( x ) c  c

0
h
h
f ( x  h)  f ( x )
0
e quindi Dc  f ( x)  lim
h 0
h
infatti se f(x)=c x  I , si ha:
2) risulta Dx=1 x  R .
posto f(x)0x si ha:
f ( x  h)  f ( x ) x  h  x h
=
= =1 x  R
h
h
h
e quindi
Dx= lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
= lim1
=1.
h0
h
3) Risulta [ D 3 x ]x0   e cioè la funzione f(x)= 3 x ha in 0 derivata infinita
infatti: lim
x 0
3
f ( x)  f (0)
x
1
 lim
 lim 3   .
x

0
x

0
x0
x
x
4) La funzione f ( x) | x | non è derivabile nel punto 0.
f ( x) - f (0) | x | 1 se x>0


x-0
x -1se x <0
conseguentemente f (0)  1 e f (0)  1 ciò implica che f (0)
infatti
3
OPERAZIONI CON LE DERIVATE
Teorema(sulle operazioni con le derivate)
Siano f ( x) e g ( x ) due funzioni definite nell’intervallo I e x0  I.
valgono le seguenti implicazioni
 f  g derivabili in x0 e

1) (f e g derivabili in x0 )  

 (f  g )( x0 )  f ( x0 )  g ( x0 ) 
SOMMA
 f  g derivabili in x0 e

2) (f e g derivabili in x0 )  
 PRODOTTO



(
f

g
)
(
x
)

f
(
x
)
g
(
x
)

f
(
x
)
g
(
x
)
0
0
0
0
0


f

 g derivabile in x0 e



 f e g derivabili in x0 e 
3) 
RAPPORTO




 ( x0 ) g ( x0 )  f ( x0 ) g  ( x0 ) 


f
f
 g(x0 )  0



2
  g  ( x0 ) 

g
(
x
)
0
 

La prima di queste tre implicazioni è di facile verifica e non ce ne occuperemo.
Dim. 2)
Sottraendo e aggiungendo f( x0 ) g(x) risulta
f ( x)  g ( x)  f ( x0 ) g ( x0 ) f ( x) g ( x)  f ( x0 ) g ( x)  f ( x0 ) g ( x)  f ( x0 ) g ( x0 )
=
=
x  x0
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
g ( x)  g ( x0 )
 f ( x0 )
= g ( x)
x  x0
x  x0
Ponendo il limite per x  x0 si ha la tesi, tenendo conto che g(x) è continua in x0 perché
ivi derivabile ed inoltre il teorema sulle operazioni con i limiti.
Dim. 3)
Osserviamo innanzitutto che essendo g ( x0 )  0 , per il teorema della permanenza del
segno, esiste un intorno di x0 in cui risulta ancora g ( x)  0 . In tale intorno si ha,
sottraendo e aggiungendo f ( x)  g ( x) ;
4
f ( x) f ( x0 )

f ( x) g ( x0 )  f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)  f ( x0 ) g ( x)
1
g ( x) g ( x0 )
f ( x) g ( x0 )  f ( x0 ) g ( x)
1



g ( x) g ( x0 )
x  x0
x  x0
g ( x) g ( x0 )
x  x0

g ( x0 )  g ( x)
f ( x)  f ( x0 ) 
1
f
(
x
)

g
(
x
)


=
g ( x) g ( x0 ) 
x  x0
x  x0

Passando al limite per x  x0 tenuto conto che le funzioni f e g sono continue
in x0 perché derivabili e il teorema sulle operazioni con i limiti(limite della somma e
limite del prodotto), si ha la tesi.
3)DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI
Ci proponiamo di calcolare le derivate di alcune funzioni elementari sfruttando i
limiti fondamentali ed il teorema sulle operazioni con le derivate. A tale scopo è bene
osservare che, per le regole di derivazione del prodotto, tenuto conto che la derivata
di una costante è nulla, si ha:
Dc  f ( x)  ( Dc)  f ( x)  cDf ( x)  D  f ( x)  c  f  ( x)  cf  ( x)
Dc  f ( x)  c'  f ( x)  c  f ' ( x)  0  f ( x)  c  f  ( x)  cf  ( x)
Infatti :
Conseguentemente è lecito portare le costanti fuori dal campo di derivata.
1- Da x  a x log a x  R
Dimostrazione
h
a xh  a x
a x  ah  a x
x a 1
Da  lim
 lim
 lim a
 a x log a
h 0
h

0
h

0
h
h
h
x
Osservazione
si noti che, in particolare De x  e x . Infatti: De x  e x  log e  e x
2- D log a x 
1
x  log a
x  0
Dimostrazione
5
log a ( x  h)  log a x
 lim
h o
h o
h
D log a x  lim
log a
 h
xh
log a 1  
 x   1 lim log a (1  y )  1  1
x  lim
h o
h
h
x y 0
h
x log a
x
x
Osservazione
1
x
si noti che, in particolare, D log x  .
3- Dsinx  cos x x  R
Dimostrazione
sin( x  h)  sin x
sin x cosh  cos x sinh  sin x
cosh  1
sinh 

 lim
 lim  sin x
 cos x

h 0
h 0
h 0
h
h
h
h 

D sin x  lim
 sin x lim h 
h 0
cosh  1
sinh
 1
 cos x lim
 sin x  0      cos x 1  cos x
2
h 0 h
h
 2
4- Dcosx=-sinx x  R
Dimostrazione analoga al numero3
5- Dtgx 
1

x   k
2
cos x
2
Dimostrazione
Dtgx  D
sin x ( D sin x) cos x  sin x  D cos x cos 2 x  sin 2 x
1



2
2
cos x
cos x
cos x
cos 2 x
Osservazione
Si noti che risulta anche Dtgx  1  tg 2 x
6- D cotg x 
1
sin 2 x
x  k
Dimostrazione analoga al numero 5
TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
Consideriamo la funzione g(f(x)) con x  I composta mediante le funzioni f(x)
(componente interna) e g(y) (componente esterna);Vale la seguente implicazione
6

 f ( x) derivabile in x0  I
  g ( f ( x)) derivabile in x0 e






g
(
y
)
derivabile
in
y

f
(
x
)
Dg(f(x))x  x  g ( f ( x0 ))  f ( x0 ) 
0
0 

0


Dim.
Supporremo, per semplificare la dimostrazione, che esista un intorno di x0 nel quale
risulti f ( x)  f ( x0 ) .Inoltre utilizzeremo il teorema sul limite delle funzioni composte
effettuando la sostituzione y=f(x);
Ciò premesso si ha:
g ( f ( x))  g ( f ( x0 ) g ( f ( x))  g ( f ( x0 )) f ( x)  f ( x0 )


x  x0
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
e ponendo l limite per x  x0 :
 Dg ( f ( x))x x
lim
x  x0
0
f ( x)  f ( x0 )
g ( f ( x))  g ( f ( x0 ))
g ( f ( x))  g ( f ( x0 ))
 lim
  lim
=
x

x
x

x
0
0
x  x0
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
g ( f ( x))  g ( f ( x0 ))
= f ( x0 )  xlim
 x0
f ( x)  f ( x0 )
'
y  f ( xo )

f ' ( x0 )  lim
y  y0
g ( y)  g ( y0 )
=
y  y0
 f ' ( x0 )  g ' ( y0 )  g  f ( x0 )   f ' ( x0 ).
Osservazione
si noti che la regola di derivazione Dg ( fx))  g  ( f ( x))  f  ( x0 )
significa che la derivata della funzione composta g(f(x)) calcolata nel punto x è
uguale al prodotto della derivata della componente esterna g(y) calcolata nel punto
y=f(x) per la derivata della componente interna f(x) calcolata nel punto x.
Ne consegue che, se la funzione composta g(f(x)) è derivabile in un intervallo, allora
la derivata della funzione composta è uguale al prodotto della derivata di g rispetto ad
f(x) (pensata come una variabile indipendente) per la derivata di rispetto ad x.
Corollario(derivata della potenza) x (   0 ) è derivabile e si ha Dx   x 1
Dimostrazione
Essendo x  e log x , per la regola di derivazione delle funzioni composte risulta:
Dx  De log x  e log x  D log x  x  
1
  x 1
x
7
Osservazione
1
 n  N  1 si ha:
n
1
1 1n 1 1
1
D n x  Dx n  x n   n1 
n
n n
n n x n1
x
si noti che, in particolare, per  
5)DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE
Vogliamo ora calcolare la derivata della funzione arcsin. Ricordiamo che si tratta
 
dell’inverso della funzione seno rispetto all’intervallo   ,  per cui risulta
 2 2
  
y  sin x  x  arcsin y con x    ,  e y  1,1 .
 2 2
Vogliamo provare che:
1) D arcsin y 
1
1 y2
y ]  1,1[
Sia y0 ]  1,1[ e tale che y0  sin x0 si ha:
arcsin y  arcsin y0
  posto y  sin x  
y  y0
x  x0
1
1
1
1
 lim





2
x  x0 senx  senx
senx  senx0  D sin x 
cos
x
1

sin
x
0
0
x  x0
0
lim
x  x0
x  x0
1
1


1  sin 2 (arcsin y0 )
1  y0 2
 D arcsin y  y  y
0
lim
y  y0
Osservazioni
Si noti che il procedimento è lecito perché:
 
1- La funzione seno è continua e strettamente crescente in   , 
 2 2
2- La funzione seno(di cui arcoseno è l’inversa) è derivabile con derivata
 

  
maggiore di zero in   ,   Perchè x    ,   0  sin x  1 .
 2 2 
 2 2

Si noti anche che dal calcolo effettuato risulta (*)  D arcsin y  y  y 
0
1
 D sin x x x
0
Essendo y0  sin x0 possiamo affermare che la derivata della funzione
arcoseno(inversa della funzione seno) in un punto y0 è uguale alla reciproca della
derivata della funzione seno calcolata nel punto x0 , corrispondente di y0 mediante
il seno, e cioè nel punto x0 tale che sin x0  y0 .
Il risultato espresso dalla formula (*) vale in generale. Sussiste infatti il seguente
8
Teorema di derivazione delle funzioni inverse
Sia f(x) una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo I. V.s.i.
 f 1 derivabile in y  f ( x)
 f derivabile in x  I e  
1

  
Df 1 ( y ) 

f
(
x
)

0

 
f  ( x)

e




In maniera analoga, oppure anche utilizzando il teorema di derivazione delle funzioni
inverse si dimostra la D arcos y e la D arctg y (vedi fotocopie pag12)
SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA(grafico pag 13)  P0
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I. Considerato il diagramma di tale
funzione, fissiamo su di esso il punto P0  ( x0 , f(x0 )), e indichiamo con s la retta
secante passante per P0 ed un qualsiasi punto P  ( x, f ( x))  P0 del diagramma. Indicata
con y=mx+n l’equazione di una generica retta(non verticale), imponendo le
condizioni di passaggio di tale retta per i punti P e P0 , si ha:
 f ( x)  mx  n

 f ( x0 )  mx0  n
da cui sottraendo membro a membro ed utilizzando poi la seconda di queste
uguaglianze
m
f ( x)  f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
 x0 .
; n  f ( x0 ) 
x  x0
x  x0
Sostituendo in y=mx+n si ha infine y  f ( x0 ) 
f ( x)  f ( x0 )
 x  x0 
x  x0
e cioè la secante s è la retta per P0  ( x0 , f(x0 )) avente per coefficiente angolare
f ( x)  f ( x0 )
che è il rapporto incrementale di f relativo ad x0
x  x0
Ciò posto si ha la seguente
Definizione
Si dice che il diagramma di f ha in P0  ( x0 , f(x0 )) retta tangente quando il coefficiente
angolare della secante s è convergente in x0 e cioè quando la funzione f è derivabile
9
in x0 .In tale ipotesi la retta y  f ( x0 )  f  ( x0 )( x  x0 ) e cioè la retta passante per P0 ed
avente per coefficiente angolare la derivata f  ( x0 ) di f in x0 si chiama retta tangente
al diagramma di f nel punto P0 .
Osservazione 1
Da questa definizione si deduce il significato geometrico della derivata. La derivata
f  ( x0 ) di una funzione f nel punto x0 rappresenta il coefficiente angolare della
tangente al diagramma nel punto P0  ( x0 , f(x0 )) .
Osservazione 2(grafico pag. 14)
Se dichiariamo con  la misura in radianti formato dalla secante s con l’asse x risulta
tg 
f ( x)  f ( x0 )
e cioè che il coefficiente angolare della secante s è uguale alla
x  x0
tangente trigonometrica dell’angolo  .

E’ evidente allora che  lim
 xx0

f ( x)  f ( x0 )


     tg         .
x  x0
2


Queste condizioni giustificano la seguente
Definizione
Si dice che il diagramma di f ha nel punto P0  ( x0 , f(x0 )) tangente verticale quando f ha
in x0 derivata infinita. In tale ipotesi la retta verticale di espressione x= x0 si chiama la
tangente del diagramma di f nel punto P0 .
(da pagina 15 a pagina 18 si possono trovare esempi, esercizi ed un elenco di derivate
notevoli)
10