12 Simulazione di prova d`Esame di Stato

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Simulazione di prova d’Esame di Stato
Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
Problema 1
È assegnata la funzione y = f (x) = (x + 2)e− 2 + 1, essendo x una variabile reale.
a. Studiare la funzione assegnata, descrivendo in particolare il suo comportamento all’infinito e mostrando che essa ammette una retta r come asintoto. Rappresentare quindi
il grafico di tale funzione in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy.
b. Mostrare che l’equazione f (x) = 0 possiede una soluzione reale, indicata con α, e ricavare un valore approssimato di α, a meno di 0,01, utilizzando un metodo di approssimazione numerica a piacere.
c. Dopo aver verificato che la retta tangente al grafico della funzione assegnata nel suo
punto di ascissa 2 ha equazione
x 4
x 4
y = − + + 1, porre h(x) = f (x) − − + + 1
e
e
e
e
e calcolare le due derivate h (x) e h (x). Studiare il segno di h (x), quindi dedurre
la variazione e il segno di h (x) e infine ricavare la variazione e il segno di h(x). Interpretare graficamente quest’ultimo risultato.
d. Determinare infine la misura dell’area della regione piana delimitata dal grafico della funzione y = f (x) e dalle rette di equazioni y = 1, x = 0, x = 2, fornendo una valutazione decimale approssimata della suddetta area.
x
Risoluzione
a. La funzione assegnata tende a −∞ se x → −∞ e tende a 1 se x → +∞; la retta r
è y = 1, che rappresenta un asintoto orizzontale destro.
x x
La derivata prima della funzione è y = − e− 2 e la derivata seconda è
2
(x
−
2)
x
y =
e− 2 .
4
y
3
y = (x + 2)e − 2 + 1
x
O
x
1
1
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b. Si ha −2,32 < α < −2,31; in effetti, più precisamente, è −2,315 < α < −2,314.
(x − 2) − x
x x
1
e 2.
e h (x) =
c. h (x) = − e− 2 +
4
2
e
h (x) presenta un minimo relativo in x = 2, mentre h(x), che cresce in x = 2, si annulla in x = 2 e passa da valori negativi a valori positivi. Questo perché la funzione assegnata presenta un flesso in x = 2 e la retta tangente d’inflessione attraversa il suo grafico nel punto di ascissa 2.
y
x
1
x
h (x ) = − e − 2 +
2
e
O
h (x ) =
d. L’area richiesta vale 6 −
x
2
(x − 2) − x
e 2
4
12
.
e
Problema 2
a. Disegnare un quadrilatero con due soli angoli retti, sia nel caso siano essi consecutivi sia nel caso siano opposti. Descrivere i quadrilateri così ottenuti motivandone le
relative proprietà. Discutere inoltre la loro inscrittibilità e la loro circoscrittibilità rispetto a una circonferenza.
b. Nel caso di un quadrilatero ABCD in cui gli angoli retti siano opposti, sono assegnate la misura della diagonale AC = 10 cm, che ha
√ per estremi i vertici degli angoli non retti, e la misura della corda AB = 5 3 cm. Determinare l’angolo
( = x per il quale il quadrilatero ABCD ha perimetro massimo.
DAC
c. Tracciare per il vertice A la perpendicolare r al piano del quadrilatero e fissare su
di essa un punto V . Calcolare l’area della superficie laterale della piramide che ha
come vertice V e come base il quadrilatero ABCD di perimetro massimo individuato nel punto precedente, sapendo che l’altezza V A è uguale alla diagonale AC.
d. Inscrivere nella piramide di cui al punto precedente il prisma retto che ha la base sul
piano di base della piramide e il volume massimo. Esprimere il volume in funzione del-
2
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la distanza della base superiore del prisma dal vertice V della piramide e motivare il
fatto che nel dominio di tale funzione relativamente al problema geometrico cui ci si
riferisce, esiste sicuramente almeno un punto c interno al dominio in cui la f (c) = 0.
Risoluzione
a. Se il quadrilatero viene disegnato con due angoli retti consecutivi, allora esso è un
trapezio rettangolo, perché i due lati opposti perpendicolari a uno stesso lato sono tra
loro paralleli. Tali lati paralleli sono le basi e il lato a cui sono perpendicolari è uno dei
lati obliqui e quindi il quadrilatero è un trapezio rettangolo, infatti in questo caso avrebbe tutti i quattro angoli retti, cosa esclusa dall’ipotesi.
A
D
B
C
Gli angoli opposti non possono essere supplementari a due a due, altrimenti tutti gli angoli sarebbero retti, contro quanto richiede l’ipotesi, quindi il quadrilatero non può mai
essere inscritto in una circonferenza.
In generale non è nemmeno circoscrittibile a una circonferenza, ma può esserlo nel caso in cui la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due, per esempio nella figura AB + DC = AD + BC .
A
D
B
C
Se il quadrilatero viene disegnato con due angoli retti non consecutivi, allora non è un
quadrilatero particolare, ma ha la proprietà di essere sempre inscrittibile in una circonferenza, perché i suoi angoli opposti sono a due a due supplementari, essendo la
somma degli angoli interni di un quadrilatero convesso uguale a un angolo giro.
D
C
A
B
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Se si traccia la diagonale AC, allora il quadrilatero risulta inscrivibile nella circonferenza di diametro AC: infatti i triangoli ACD e ABC, essendo rettangoli rispettivamente, in D e in B, sono inscrittibili in semicirconferenze aventi lo stesso diametro AC.
D
A
O
C
B
In generale un tale quadrilatero non è circoscrivibile a una circonferenza, ma può esserlo quando la somma di due lati opposti è uguale a quella degli altri due: ciò avviene
solo nel caso in cui i lati consecutivi siano a due a due uguali (a forma di aquilone), come, per esempio, nella seguente figura, con il centro L della circonferenza inscritta appartenente al diametro AC. Ciò perché i due triangoli rettangoli, in cui viene diviso il
quadrilatero dal diametro AC, hanno l’ipotenusa in comune e quindi, dato un cateto,
l’altro è univocamente determinato.
D
A
L
O
C
B
AC = 10 cm
√
AB = 5 3 cm
b.
D
x
A
C
O
B
( e C AB
( misurano rispettivamente 60◦ e 30◦ ,
Da ciò si può dedurre che gli angoli B CA
poiché tale corda è uguale al lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza
BC = 5 cm
( = x; 0◦ < x < 90◦
DAC
DC = 10 sen x
AD = 10 cos x
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√
Perimetro: p = 5 3 + 5 + 10 sen x + 10 cos x
p = 10 cos x − 10 sen x
p = −10 sen x − 10 cos x
p = 0 quando cos x − sen x = 0 ovvero quando cos x = sen x, quindi, tenendo conto del
dominio, x = 45◦
p (45◦ ) = −10 sen 45◦ − 10 cos 45◦ < 0
x = 45◦ è dunque un punto di massimo relativo.
Quindi:
√
DC = 5 2 cm
√
AD = 5 2 cm
c.
V
D
A
C
B
I lati del quadrilatero di perimetro massimo misurano rispettivamente
√
√
√
AB = 5 3 cm; BC = 5 cm; DC = 5 2 cm; AD = 5 2 cm.
Le altezze delle facce laterali V AB e V AD coincidono con lo spigolo V A che, essendo
perpendicolare al piano del quadrilatero, è perpendicolare a ogni retta del piano passante per il punto d’intersezione con il piano stesso, ovvero il punto A.
L’altezza della faccia V BC coincide con lo spigolo V B: infatti, per ipotesi, dal piede A
della perpendicolare V A al piano del quadrilatero è tracciata la retta AB, perpendicolare alla retta BC dello stesso piano, e quindi, per il teorema delle tre perpendicolari,
BC è perpendicolare a V B.
L’altezza della faccia V DC coincide con lo spigolo V D, analogamente al caso precedente: infatti, per ipotesi, dal piede A della perpendicolare V A al piano del quadrilatero è tracciata la retta AD perpendicolare alla retta DC dello stesso piano e quindi, per
il teorema delle tre perpendicolari, DC è perpendicolare a V D.
√
√
√
√
2
2
V B = V A + AB = 102 + (5 3)2 = 100 + 75 = 175 = 5 7 cm
√
√
√
√
2
2
V D = V A + AD = 102 + (5 2)2 = 100 + 50 = 150 = 5 6 cm
5
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Area della superficie laterale della piramide:
1 AB · V A + BC · V B + DC · V D + AD · V A =
2
√
√
√
√
1 √
=
5 3 · 10 + 5 · 5 7 + 5 2 · 5 6 + 5 2 · 10 cm2 =
2
√ √
√
1 √
=
50 3 + 25 7 + 50 3 + 50 2 cm2 =
2
√ √
1 √
=
100 3 + 25 7 + 50 2 cm2 .
2
d.
V
K
D
A
C
B
Area della superficie di base della piramide espressa come somma delle aree dei triangoli rettangoli ABC e ACD:
√
√
√
1
1 √
(5 2 · 5 2 + 5 3 · 5) cm2 = (50 + 25 3) cm2 .
2
2
Sapendo che l’area delle sezioni di una piramide parallele al piano di base sono proporzionali ai quadrati delle distanze dal vertice, se si indica con x la distanza V K della base superiore del prisma dal vertice della piramide, allora l’area di base del prisma,
β, è ricavabile dalla seguente proporzione:
2
β : A(ABCD) = x2 : V A
√
√
1
1
β=
(50 + 25 3)x2 = (2 + 3)x2
200
8
Altezza del prisma: KA = 10 − x
Volume del prisma:
√
√
1
1
(2 + 3)x2 · (10 − x) = (2 + 3) · (10x2 − x3 ), con 0 ≤ x ≤ 10.
8
8
√
1
y = (2 + 3) · (20x − 3x2 )
8
20
y > 0 nel dominio quando 0 < x <
.
3
y=
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Quindi si ottiene il prisma avente il volume massimo quando la base superiore del prisma dista dal vertice della piramide 20
3 cm.
L’esistenza di almeno un punto c interno al dominio della funzione, [0; 10], in cui
f (c) = 0, è assicurata dal Teorema di Rolle in quanto, nel caso in oggetto, sono verificate le relative ipotesi, ovvero la continuità in [0; 10], la derivabilità in (0; 10) e l’uguaglianza dei valori della funzione negli estremi dell’intervallo: f (0) = f (10) = 0.
Questionario
Si sa che l’uguaglianza ax2 + bx + 1 = 2x + 1 è valida ∀x ∈ R. Ricavare allora
i valori dei coefficienti a e b, spiegando il proprio ragionamento.
1
Risoluzione
I valori dei coefficienti a e b sono rispettivamente 0 e 2 (principio di identità dei polinomi).
2
L’usuale formato A4 di un foglio di carta è un rettangolo in cui il rapporto
lato maggiore
v=
lato minore
possiede la particolare proprietà che, se si taglia il rettangolo in due tracciando il segmento che unisce i punti medi dei due lati maggiori, ciascuno dei due rettangoli così ottenuti
presenta ancora lo stesso rapporto v tra il lato maggiore e il lato minore. Tale rapporto v
verifica una sola delle seguenti relazioni: v = 4, v 2 = 4, v 3 = 4, v 4 = 4. Individuare allora
la relazione soddisfatta dal valore numerico v, spiegando il proprio ragionamento.
Risoluzione
Il rapporto v verifica la relazione v 2 = 2, pertanto si ha v 4 = 4.
3
Una successione (un )n∈N è definita mediante le seguenti uguaglianze:
un = un−1 + un−2
u0 = 0
∀n ∈ N , n ≥ 2
Sapendo che u10 = 10, determinare il valore di u1 .
Risoluzione
Si ricava direttamente u1 =
10
28 .
4
In riferimento alla figura a fianco riportata, si sa
che ABCD è un quadrato di lato 1, che I è il punto medio di AD e che L è il punto medio di DC. Ricavare il valore dell’area del quadrilatero IJKD.
A
J
I
K
D
Risoluzione
Il valore dell’area del quadrilatero IJKD è pari a
7
7
60 .
B
L
C
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Per ciascuna delle seguenti funzioni,
√
1
y = x + 3, y = , y = x, y = sen x + 2,
x
stabilire se esistono punti P = (a; b), appartenenti al relativo grafico C, tali che la retta
tangente al grafico C in P abbia una pendenza uguale al valore b dell’ordinata del punto P . Se la risposta è affermativa, trovare i valori delle coordinate dei suddetti punti P .
Risoluzione
Per la prima funzione il punto P del corrispondente grafico ha coordinate (−2; 1); per
la seconda
funzione P ha coordinate (−1; −1); per la terza funzione P ha coordinate
√ 1
2
;
; per la quarta funzione non esiste un punto P del corrispondente grafico con
2 2
la proprietà richiesta.
Spiegare quale dei seguenti grafici può rappresentare la funzione y = x5 − x3
relativamente all’intervallo [−1; 1] dei valori della variabile indipendente x.
a.
b.
6
y
y
1
–1
–1
x
O
1 x
O
c.
d.
y
–1
y
O
1
–1
x
O
1
x
Risoluzione
Il grafico che può rappresentare la funzione y = x5 − x3 , relativamente all’intervallo
[−1; 1] dei valori della variabile indipendente x, è il b.
7
È data la funzione y = 6 + x cos x definita in [π; 2π]. Determinare l’altezza h
del rettangolo di base π ed equivalente al trapezoide individuato dal grafico di tale funzione. Motivare l’esistenza di un punto c dell’intervallo [π; 2π] in cui la funzione assume
il valore h.
Risoluzione
x cos x dx = x sen x −
sen x dx = x sen x + cos x + c
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Dopo aver osservato che la funzione è positiva nell’intervallo [π; 2π], si calcola l’area del
trapezoide:
2π
2π
(6 + x cos x) dx = [6x + x sen x + cosx]π = 12π + 1 − 6π + 1 = 6π + 2
π
2
π
Essendo y = 6 + x cos x continua nell’intervallo chiuso e limitato [π; 2π], è possibile applicare, ad esempio, il Teorema della Media, che, in tali ipotesi, assicura l’esistenza di
un punto c interno
b all’intervallo [a; b] per il quale si ha:
1 2
1
f (x) dx, ovvero, nel caso in esame: f (c) =
(6 + x cos x) dx
f (c) =
b−a a
π 0
2
f (c) = h = 6 + ≈ 6,64.
π
h=6+
8
Il capitello qui rappresentato ha come base un
esagono regolare di lato 1 dm e la sua altezza misura
2 dm. Ricavare il valore del seno dell’angolo al vertice α
di ciascuna delle facce laterali.
Risoluzione
Risulta che sen α =
S
α
√
19
10 .
Data la funzione y = 2x − x3 + sen x, stabilire se si tratta di una funzione pari, dispari, oppure né pari né dispari. Determinare quindi quanti punti stazionari presenta la funzione assegnata.
9
Risoluzione
Si tratta di una funzione dispari che presenta esattamente due punti stazionari simmetrici rispetto all’origine, ovvero con ascisse opposte.
10
Sono date le funzioni
2
x
ln 2
y = ln , y = x, y = x ln 3 , y = 3x2 .
3
3
Stabilire per quali di queste funzioni vale la relazione f (3x) = 2f (x), qualunque sia il
valore x appartenente al relativo dominio.
Risoluzione
ln 2
La relazione f (3x) = 2f (x) è valida soltanto per la funzione y = x ln 3 , come si può verificare direttamente.
9
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