Unipi

CAP.1
Concetti fondamentali e principi della meccanica
Grandezze fondamentali
Le grandezze fondamentali della meccanica sono spazio, tempo, massa e forza. Non possono essere
completamente definite, ma accettate sulla base dell’intuito e dell’esperienza.
concetto di spazio
necessario per definire la posizione di un generico punto P in un sistema di
riferimento attraverso le sue coordinate (lunghezze in 3 direzioni). L’unità di misura
è il m. Nella meccanica spesso si usa il mm.
concetto di tempo
necessario per definire una sequenza di eventi. L’unità di misura è il sec.
concetto di massa
caratteristica dei corpi che misura la resistenza da questi offerta a variare il proprio
moto. L’unità di misura è il kg.
concetto di forza
azione di un corpo su un altro per contatto diretto o a distanza.
Le prime tre grandezze sono primitive e tra loro indipendenti mentre la forza può essere definita a partire da
esse.
La forza
• definizione dinamica: agente fisico capace di alterare lo stato di quiete o di moto di un corpo (es. forza
peso).
• definizione statica: agente fisico capace di produrre una deformazione. Su tale definizione si basano i
dinamometri meccanici a molla, piezoelettrici, estensimetrici (celle di “carico”). Il dinamometro ideale è
costituito da una molla senza massa, con dimensioni trascurabili e con allungamento proporzionale alla
forza applicata.
Una forza è caratterizzata da un modulo, da una direzione e da un punto di applicazione. Può essere quindi
rappresentata matematicamente da un vettore applicato.
L’unità di misura della forza nel sistema S.I. è il Newton. Il Newton è una grandezza derivata esprimibile
come la forza necessaria ad imprimere ad una massa unitaria l’accelerazione di 1 m/s2.
Nel presente corso verranno trattati principalmente corpi che sono immobili sotto le azioni delle varie forze
applicate. In questo ambito la definizione statica di forza è più utile e significativa.
I tre principi fondamentali della meccanica newtoniana
Il più semplice corpo che può essere concepito è costituito da un punto geometrico dotato di massa (punto
materiale). Analizzando il suo comportamento si può evidenziare che:
1) un punto materiale permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se non agisce su di esso
una qualche causa esterna.
2) se la forza non è nulla, il punto materiale subirà un’accelerazione proporzionale alla forza stessa e
inversamente proporzionale alla massa
→
→
F =ma
3) principio di azione e reazione: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria, cioè se il
r
r
r
r
corpo A esercita una forza F su B allora il corpo B esercita una forza – F su A e F AB e F BA
giacciono sulla stessa retta. Esse sono dunque sempre presenti contemporaneamente ma agiscono su
corpi diversi e quindi hanno effetti diversi. Si applica sia a forze agenti per contatto che a forze agenti a
distanza. Come esempio si consideri il caso dell’attrazione gravitazionale:
1
corpo
r
FT −C
r
r
r
FT − C = mC g = − FC −T
terra
r
FC −T
FC −T mC
=
g ≅0
mT
mT
L’accelerazione prodotta sul corpo è molto maggiore dell’accelerazione della terra (trascurabile). Se il corpo
in questione è però la luna, i suoi effetti diventano evidenti (maree).
Nel caso di forze di contatto si consideri il seguente esempio:
Scatola S
r
r
P = mg
Tavolo T
forze agenti sulla
scatola
r
FT − S =Forza esercitata da T su S
L’evidenza sperimentale suggerisce, essendo la scatola in equilibrio, il seguente bilancio di forze:
r r
(1° principio)
P + FT − S = 0
(1)
Per il 3° principio l’azione del tavolo sulla scatola e l’azione della scatola sul tavolo soddisfano alla:
r
r
FS −T + FT − S = 0
(2)
r
FS −T =Forza esercitata da S su T
Si noti la differenza tra le equazioni (1) e (2); la (2) è sempre valida, mentre la (1) non vale più se il tavolo
cede, cioè se la scatola accelera, in quanto bisogna tenere conto, nell’equilibrio, della forza d’inerzia. Si
pensi alla misura del peso con una comune bilancia: la lettura si effettua quando lo strumento si è assestato
(immobile).
I problemi di statica vengono risolti mediante l’applicazione delle equazioni di equilibrio statico e l’utilizzo
del 3° principio.
Competenze matematiche necessarie
Per poter affrontare i problemi di statica e di resistenza dei materiali lo studente dovrà conoscere le basi
dell’algebra, della geometria, della trigonometria e del calcolo differenziale e integrale. Dovrà cioè essere in
grado di effettuare semplici calcoli algebrici, applicare la legge dei seni e dei coseni, conoscere le tecniche
per la discussione e risoluzione dei sistemi di equazioni lineari, calcolare derivate e integrali di funzioni
semplici e elementari sviluppi in serie di Taylor.
2
Regole per calcoli numerici
a) unità di misura: bisogna esprimere ogni termine nelle equazioni in unità di misura omogenee
(disattenzione a questo riguardo può comportare errori nei risultati di diversi ordini di grandezza)
b) approssimazione: quando si effettuano calcoli necessariamente si usano numeri approssimati, quindi il
risultato non può essere espresso con un numero maggiore di cifre significative o di decimali superiore a
quello dei dati di partenza; la maggior parte dei problemi pratici tollera un errore relativo del percento.
3
Richiami di algebra vettoriale
La forza è una grandezza vettoriale caratterizzata da intensità, direzione, verso e punto di applicazione e
viene indicata con la seguente notazione:
r
F
Graficamente la forza si disegna come un segmento orientato, cioè una freccia avente lunghezza,
rappresentata con una scala prefissata, proporzionale all’intensità , applicato ad un determinato punto.
Utilità del formalismo algebrico dei vettori
La rappresentazione cartesiana è comoda per operare con le grandezze fisiche caratterizzate da intensità,
direzione e verso come ad esempio spostamento, velocità, accelerazione, forza, ecc. Nel presente corso il
sistema di riferimento è sempre assunto come una terna cartesiana in cui:
1) gli assi sono ortogonali
2) le unità di misura sono uguali
3) gli orientamenti sono fissati mediante la regola della mano destra (pollice=asse X, indice=asse
Y, medio=asse Z)
Z (X3)
Y (X2)
X (X1)
Il verso di rotazione positivo è assunto antiorario. Un vettore si esprime allora con una sequenza ordinata
r
delle sue componenti. Nel piano si avrà una coppia ordinata di componenti u = u x u y e nello spazio una
r
terna ordinata u = u x u y u z . Nella notazione i pedici possono essere x,y,z oppure 1,2,3.
(
(
)
)
Il modulo di un vettore si calcola nel seguente modo:
r
u = u x2 + u y2 + u z2
La direzione e verso di un vettore è espressa dal corrispondente vettore unitario, o versore, definito mediante
un procedimento di normalizzazione,
r
u y uz 
u u
uˆ = r =  rx
r
r
u  u
u
u 
r r
u = u uˆ
Le componenti di un versore sono per definizione i coseni direttori,
cioè i coseni degli angoli che il versore forma con gli assi cartesiani.
Nel piano ad esempio, un generico versore ha per componenti:
Quindi
v̂
v2
β
v1 = vˆ cos α = cos α
v2 = vˆ cos β = cos β
α
v1
4
I versori degli assi cartesiani sono vettori di modulo unitario diretti come gli assi stessi. Nel caso spaziale
essi sono espressi come:
1
 0
 0
 
 
 
iˆ =  0 
ĵ =  1 
k̂ =  0 
 0
 0
1
 
 
 
Il vettore generico può quindi essere espresso come somma vettoriale delle sue componenti
r
u = u xiˆ + u y ˆj + u z kˆ
Operazioni sui vettori
1) Somma. E’ differente rispetto alla somma degli scalari: infatti la regola del parallelogramma afferma che
graficamente la somma di due vettori è pari alla diagonale del parallelogramma con lati ottenuti con i
vettori addendi. Nel caso di più vettori la risultante si ottiene con la poligonale, cioè una linea spezzata
formata dai vettori disposti in sequenza.
r
v
r
s
r
s
r
u
r
v
r
u
-a-
-b-
Il vettore risultante può essere determinato, in modulo e direzione, mediante calcoli trigonometrici
(applicazione del teorema di Carnot e dei seni). In componenti cartesiane la somma di due vettori si esprime
semplicemente come:
 s x   u x + vx 

 =
 sy   u y + vy 

  
La somma vettoriale è commutativa e quindi è indifferente l’ordine con cui vengono sommati due o più
vettori.
2) Differenza. Si riconduce al caso di somma con vettore opposto. Il vettore opposto di u è –u:
r r r r
r
d = v − u = v + (− u )
r
v
r r
v +u
r r
v −u
r r
v −u
r
u
r
−u
-b-
-aEspressa in componenti risulta:
 d x   vx − u x 

 =
d y  vy − uy 

  
5
r
v
r
3) Prodotto di uno scalare per un vettore. Il prodotto di un vettore u per uno scalare a dà come risultato un
r
r
vettore avente la stessa direzione di u , modulo pari al prodotto del modulo di u per a e verso concorde o
discorde se a è positivo o negativo.
r
au
r  au x 

a ⋅ u = 

 au y 
r
u
4) Prodotto scalare tra due vettori. Si definisce prodotto scalare di due vettori uno scalare dato dal prodotto
dei moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo formato dai vettori stessi. Si può interpretare come il
prodotto del modulo del primo vettore per la proiezione del secondo sul primo. Esso è positivo, nullo o
negativo se l’angolo formato dai due vettori è rispettivamente acuto, retto o ottuso.
r r r r
u ⋅ v = u v cos α
r
v
r
u
α
r
v cos α
 vx 
 
r r
u ⋅ v = u x vx + u y v y + u z vz = u x , u y , u z  v y 
v 
 z
(
)
Supponiamo di prendere un sistema cartesiano in modo che il piano XY sia quello su cui giacciono i due
r r
r
u ⋅ v = u x vx
vettori e che l’asse X sia orientato come u , è facile verificare che il prodotto scalare risulta
Il prodotto scalare è commutativo e distributivo:
r r r r r r r
r r r r
u ⋅v = v ⋅u
u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w
r
r
r
5) Prodotto vettoriale. Si definisce prodotto vettoriale w di due vettori u e v , il vettore che ha come
modulo il prodotto dei moduli per il seno dell’angolo compreso, come direzione quella normale al piano
individuato dai due vettori e verso dato dalla regola della mano destra.
r r r
w=u ∧v
r
w
α
r
v
r
u
r
r r
w = u v sinα
r
Il vettore w può essere ottenuto formalmente mediante il calcolo del seguente determinante:
6
iˆ
ux
vx
ˆj
uy
vy
kˆ
u z = iˆ u y v z − v y u z + ˆj (u z v x − v z u x ) + kˆ u x v y − v x u y
vz
(
)
(
)
Supponiamo di prendere un sistema cartesiano in modo che il piano XY sia quello su cui giacciono i due
r
vettori e che l’asse X sia orientato come u , è facile verificare che
ˆj kˆ
iˆ
r
r
r r r r
u 0 0 = u v y k = u v sinαk
vx v y 0
Il prodotto vettoriale è anticommutativor ed rè nulrlo nel
r caso di vettori paralleli.
u ∧ v = −v ∧ u
r r r r r r r
E’ distributivo
u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w
Forze come vettori
Consideriamo un corpo su cui agisce un insieme o sistema di forze. Si definisce risultante la somma
r r
r
r
r
vettoriale o poligonale delle forze: R = F1 + F2 + F3 + ... + Fn
Z
r
F1
r
F2
r
Fn
P2 P 1
r
F2
P Pn
P3
Q
O
r
F1
r
F3
r
F4
r
F3
r
Fn
r
R
Y
X
Sia OP il vettore posizione del punto P, ad esempio il punto di applicazione della forza generica.
 xp 
 
OP =  y p 
 
 zp 
 xq 
 
OQ =  yq 
 
 zq 
→
 x p − xq 


QP = OP − OQ =  y p − yq 


 z p − zq 
→
→
→
Consideriamo un punto Q qualunque dello
spazio. Si definisce momento di una generica
r
forza Fi applicata nel punto Pi rispetto al polo
Q, o meglio rispetto all’asse per Q
perpendicolare al piano contenente Q e la forza,
il vettore
Asse del momento
P
α
r
F
→
Q
→
r
r
M iQ = QP i ∧ Fi
braccio della forza = QP sinα
7
Il momento misura la tendenza della forza a far ruotare il corpo a cui è applicata intorno ad un punto o ad un
asse, con
→
r
r
M = F QP sinα = F ⋅ braccio
Il braccio è la distanza tra la retta d’azione della forza e l’asse. Il verso del momento è dato dal pollice della
mano destra quando le dita sono piegate nella direzione della rotazione prodotta dalla forza. Nel sistema S.I.
[M] = [N] [m] o sottomultiplo [M] = [N] [mm]. L’unità Nm rappresenta il momento prodotto da una forza di
1 N con un braccio di 1 m.
r
In generale M i dipende dalla scelta del polo, infatti rispetto ad un altro polo S è:
→
r
r
M iS = SP i ∧ Fi
Z
Ma vale anche
→
Q
S
O
→
→
r
r
= SQ ∧ Fi + QPi ∧ Fi
Y
→
r
r
r
M i , S = M i ,Q + SQ ∧ Fi
Q
r
Fi
braccio
→
→
r
 →
 r
M i ,S =  SQ + QPi  ∧ Fi =


X
S
→
SPi = SQ + QPi
Pi
r
Fi"
S
r
Fi '
Si nota che il vettore momento è invariato se SQ è
r
parallelo a Fi perché il secondo termine è pari a zero.
Quindi il momento di una forza è lo stesso per tutti i
punti di una retta parallela al vettore stesso. Lo
spostamento quindi di una forza lungo la sua retta
d’azione non modifica il suo momento rispetto a
qualunque polo. Il principio di trasmissibilità afferma
che forze equivalenti hanno stesso modulo, direzione,
verso e retta d’azione anche su punti di applicazione
diversi.
Dicesi momento risultante rispetto al polo Q la somma vettoriale dei momenti rispetto al medesimo polo,
n r
r
MQ =
M i ,Q
∑
i =1
Teorema di Varignon
Il momento di una forza rispetto ad un punto è uguale alla somma dei momenti delle componenti della forza
rispetto allo stesso punto. La dimostrazione deriva dalla proprietà distributiva del prodotto vettoriale. Infatti
data una forza applicata al punto P di componenti:
r r r
F = F1 + F2
si ha che
r
r
r
r
r
r
r
r
M Q = QP ∧ F = QP ∧ ( F1 + F2 ) = QP ∧ F1 + QP ∧ F2 = M Q1 + M Q 2
Questo concetto ha importanti applicazioni perché è spesso più semplice determinare i momenti delle
componenti di una forza piuttosto che il momento della forza stessa.
r
Nel caso piano, cioè sia QP che F appartengano al piano
8
r
F
P
Fy
α
Q
→
r
r
r
M Q = QP ∧ F = QP F sinα ⋅ kˆ
r
F
ˆj
iˆ
= ∆x ∆y
Fx F y
P
Fx
Q
∆y
∆x
kˆ
0 = ∆xFy − ∆yFx kˆ
0
(
)
Lavoro di una forza
r
r
r
Se il punto P su cui agisce una forza costante F subisce uno spostamento s , si dice che F compie un
lavoro definito da:
r r
L = F ⋅ s (grandezza scalare).
r
F
P r
s
r
r
Nel caso di forza variabile, si divide s in sottointervalli in modo che su ognuno la F possa ritenersi
costante. Si ha in questo caso:
n r
r
L≅
Fi ⋅ ∆s i
∑
i =1
Al limite la relazione esatta risulta:
r r
L = F ⋅ ds
∫
s
A seconda che la forza formi con lo spostamento un angolo acuto, retto, ottuso il lavoro sarà rispettivamente
positivo, nullo o negativo. Nel sistema S.I. si ha che [L] = [N] [m] = [J].
9
Es.1
Siano dati 2 versori â e b̂ applicati all’origine degli assi: aˆ è la trisettrice del primo ottante, bˆ giace sul
primo quadrante del piano XY e forma un angolo di 30° con l’asse X.
Determinare:
1) le componenti cartesiane dei due versori;
2) la somma vettoriale dei due versori;
3) il loro prodotto scalare, il loro prodotto vettoriale e il modulo di quest’ultimo;
4) l’angolo formato dai due versori;
5) i due versori ad essi perpendicolari.
1) Si considera dapprima un vettore ausiliario
diretto come â (equidistante dai tre assi)
Z
ΦΙ
ϑ
Γ
ϑ
Γ
ϑ
Γ
1Κ
Η
1
r
a1 = 1
â
Se ne calcola il modulo:
r
2
2
2
a1 = 1 + 1 + 1 = 3
O
Si determina allora il versore corrispondente:
X
Y
b̂
1  0.577 
r

a1
1   
aˆ = r =
1 ≅  0.577 
a1
3  

1  0.577 
il cui modulo è appunto aˆ = 1 .
Per quanto riguarda il secondo versore, il problema è più semplice perché, noto l’angolo che forma con gli
assi, si possono calcolare subito i coseni direttori.
 cos(30°)  0.866 

 

b̂ =  sen (30°) ≅  0.500 

0   0.000 

2) La somma dei due vettori, data dalla somma delle componenti, risulta:
 1.443 


aˆ + bˆ ≅  1.077 
 0.577 


3) Il prodotto scalare risulta:
aˆ ⋅ bˆ = a x b x + a y b y + a z b z = 0.789
Il prodotto vettoriale
ˆj
iˆ
kˆ
 − 0.289 


aˆ ∧ bˆ = 0.577 0.577 0.577 =  0.500 
0.866 0.500 0.000  − 0.211 
Il suo modulo
aˆ ∧ bˆ = 0.615
4) Dalla definizione di prodotto vettoriale si può ricavare l’angolo α formato dai due versori,
10
α = arcsen
aˆ ∧ bˆ
aˆ bˆ
= 38°
Tale angolo può essere anche ricavato dalla definizione di prodotto scalare
aˆ ⋅ bˆ
α = arc cos
= 38°
aˆ bˆ
5) Dalla definizione di prodotto vettoriale, il cui risultato è un vettore perpendicolare ai due vettori di
partenza, si ottiene il versore
 − 0.470 

aˆ ∧ bˆ 
cˆ =
=  0.813 
aˆ ∧ bˆ  − 0.343 


L’altro versore perpendicolare ai due versori è naturalmente − ĉ , che ha verso opposto.
Es.2
r
r
In un sistema di riferimento cartesiano piano, sono date due forze F1 e F2 agenti rispettivamente nei punti
P e Q di coordinate (5 m, 2 m) e (6 m, 1 m). Le forze hanno rispettivamente intensità di 300 N e 400 N e
formano con l’asse X angoli di 120° e 45°. Valutare:
r
1) la risultante R delle forze ed il suo modulo;
r
r
r
2) i momenti M 1 e M 2 delle forze rispetto all’origine e il momento risultante M ;
3) il momento risultante rispetto al polo O’ di coordinate (-1,1);
r
r
4) la posizione S in cui dovrebbe essere applicata una forza pari a R perché il prodotto vettoriale OS × R
r
sia uguale a M .
Y
r
F1
r
F2
120°
P
O’
45°
Q
O
X
1) Noti gli angoli che le rette d’azione delle forze formano con gli assi, si possono calcolare i coseni direttori
e quindi, noti i moduli, le componenti delle forze (in N)
Φ β γΙ Φ
−150.0Ι
Γ
ϑ
Γ
β γϑ= Γ259.8 ϑ
Γ
ϑ
Γ
ϑ
Γ
.
0
0
0
Κ
Η ΚΗ ϑ
Φ
cosβ
45°γΙ Φ
282.8Ι
Γ
ϑ
Γ
ϑ
senβ
45°γ
=Γ
= 400Γ
282.8ϑ
ϑ
Γ
Η0.0 ϑ
Κ
Η0 ϑ
ΚΓ
cos 120°
r
F1 = 300 sen 120°
r
F1
e quindi la loro risultante e il corrispondente modulo:
11
 132.8 
r r r 

R = F1 + F2 =  542.6 
 0.0 


r
R = 558.6
2) I momenti delle due forze rispetto all’origine (in Nm), e il corrispondente momento risultante, risultano:
ˆj
iˆ
kˆ  0 
r
r


M O1 = OP ∧ F1 =
5
2
0 = 0 
− 150.0 259.8 0.0 1.6 ⋅ 10 3 
r
r
M O 2 = OQ ∧ F2 =
ˆj
iˆ
kˆ  0 


6
1
0 = 0 
282.8 282.8 0.0 1.4 ⋅ 10 3 
 0 
r
r
r


M O = M O1 + M O 2 =  0 
 3.0 ⋅ 10 3 


3) Il momento risultante rispetto al nuovo polo O’ è
r
r
r
r
M O ' = M O + O ' O ∧ F1 + O' O ∧ F2 =
ˆj
iˆ
kˆ  0 
 0 
r
r 



0 = 0 
−1
= M O + O' O ∧ R =  0  + 1
 3.0 ⋅ 10 3  132.8 542.6 0.0  3.7 ⋅ 10 3 




4) Imponendo l’uguaglianza al momento risultante rispetto ad O del prodotto vettoriale indicato, si ha:
r r
OS ∧ R = M O
ˆj
iˆ
kˆ  0 


0 = 0 
xS yS
R x R y 0.0  M z 
da cui si ricavano le coordinate incognite del punto S
xS R y − y S Rx = M z
y = 4.1x − 27.9
Si ottiene l’equazione della retta di azione della risultante che ha rispetto al polo prescelto momento pari al
momento risultante. Tale retta è il cosiddetto asse centrale dei vettori.
Es.3
Due rimorchiatori A e B tirano una nave con delle funi che
formano ognuna un angolo di 20° rispetto all’asse della
nave stessa.
1) Sapendo che la forza esercitata da A è 1.5 volte
maggiore di quella di B, valutare la direzione in cui
viene spinta la nave.
2) Se la nave subisce uno spostamento di 2 m verso
sinistra e 10 m in avanti, quale lavoro compiono le due
navi?
3) In quale direzione dovrebbe spingere B se si vuole che
la risultante abbia la direzione dell’asse della nave?
12
r
R
r
FA
Y
r
s
20° 20°
O
r
FB
β
X
1) Considerando i moduli delle due forze, di cui si conosce il rapporto, come funzioni dell’incognita F
r
r
F A = 15
. F
FA = 1.0 F
si possono scrivere i due vettori
Φβ
Γ
Ηβ
γΙ
γϑ
Κ
Φβ
Γ
Ηβ
cos 110°
r
F A = 15
. F
sen 110°
γΙ
γϑ
Κ
cos 70°
r
FB = 1.0 F
sen 70°
e quindi la risultante
Φ Ι
Γ
Η ϑ
Κ
−0.171
r r
r
R = F A + FB = F
2.349
il cui modulo è
r
R = 2.355 F
A questo punto è semplice determinare la direzione della risultante, individuata dall’angolo
ΦR Ι
Φ−0.171Ιϑ= 94°
Γ
= arccosΓ
r ϑ
Γ
ΗR ϑ
Κ Η2.355 Κ
−2.0Ι
r Φ
s =Γ ϑ
Η10.0Κ
β = arccos
2) Dato lo spostamento
Il lavoro delle forze è subito calcolato:
x
r r
L A = F A ⋅ s = 151
. F
r r
L B = FB ⋅ s = 8.7 F
r r
Ltot = L A + L B = R ⋅ s = 23.8 F
3) Data invece la direzione della risultante come
ΦR Ι
Γ
= 90°
r ϑ
Γ
ϑ
R
ΗΚ
β = arccos
x
ed esprimendo la componente R x come somma delle componenti delle due forze, si ha
R x = 15
. F cos 110° + F cos α B = 0
r
e quindi l’angolo che la forza FB forma con l’asse X risulta
α B = arccos −15
. cos 110° = 59°
β γ
χη
β γη
Es.4
Due mezzi di soccorso C e D stanno effettuando la
rimozione di una macchina B caduta in una scarpata. Nella
figura sono rappresentate le posizioni dei due mezzi.
1) Nell’ipotesi che le forze esercitate dagli argani di
sollevamento siano le stesse (6000 N), valutare la
risultante applicata alla vettura B, l’angolo che questa
forma con la verticale e il momento risultante rispetto
al punto A.
2) Se all’inizio del sollevamento la macchina subisce uno
spostamento di 5 cm sul piano orizzontale,
perpendicolarmente al ciglio della scarpata CD, quale
lavoro compiono le due forze?
3) Volendo che la risultante giaccia su un piano
perpendicolare al ciglio, quale dovrebbe essere la
forza esercitata da ciascuno dei due mezzi?
D
Z
C
Y
2m
3m
χ
4m
O≡A
3m
B
X
1) Si determinano innanzi tutto i vettori posizione, in m, per arrivare a definire le direzioni delle forze
applicate, che sono dirette come BC e BD .
13
 0
 
OA =  0 
 0
 
 0
 
OC =  0 
 3
 
 3
 
OB =  4 
 0
 
 − 3
 
BC = −OB + OC =  − 4 
 3 
 
 0
 
OD =  6 
 3
 
 − 3
 
BD = −OB + OD =  2 
 3 
 
Si calcolano i versori corrispondenti:
 − 0.640 

BD 
ˆ
=  0.426 
d=
BD  0.640 


Noto quindi il modulo delle forze, F = 6000 N, e le direzioni, definite dai versori, si può calcolare la
risultante, in N,
3
 − 1.154   − 6.924 ⋅ 10 
r


r
R = Fcˆ + Fdˆ = Fr = 6000 − 0.260  =  − 1.560 ⋅ 10 3 
 1.154   6.924 ⋅ 10 3 

 

L’angolo che questa forma con la verticale è ricavabile dal coseno direttore corrispondente, cioè dalla
componente verticale del versore r̂ ,
r 
α = arccos rz  = 46°
r 
Il momento risultante rispetto ad O è, in Nm,
 2.77 ⋅ 10 4 

r 
v
M O = OB ∧ R =  − 2.08 ⋅ 10 4 

4 

 2.30 ⋅ 10 
2) Dato lo spostamento, in m,
 − 0.514 


cˆ =
=  − 0.686 
BC  0.514 


BC
r
s=
il lavoro complessivo delle due forze è
−0.05Ι
Φ
Γ
ϑ
0 ϑ
Γ
Γ
Η0 ϑ
Κ
r r
Ltot = R ⋅ s = R x ⋅ s x = 346.2 J
3) Se si vuole che la risultante giaccia su un piano parallelo a XZ, la sua componente R y deve essere nulla,
quindi
R y = FC c y + FD d y = 0
e
FD
FC
=−
cy
dy
14
= 1.61