DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere, fratte e scomposte. Tutorial di Barberis Paola – agg 2015 FUNZIONE e DOMINIO LA FUNZIONE E’ UNA LEGGE che associa ad ogni valore di x uno ed un solo valore di y. Le funzioni si dividono in: -empiriche: ricavabili sperimentalmente o con metodi statistici -matematiche: legame fra x ( variabile indipendente)e y ( v. dipendente) è un calcolo matematico che si indica in forma esplicita y=f(x) oppure in forma implicita F(x,y)=0 Il GRAFICO di una funzione è la rappresentazione sugli assi cartesiani delle coppie ( x;y) che soddisfano la funzione Si chiama DOMINIO l’insieme dei valori di x che rendono calcolabile la y ( graficamente proietto il grafico verso l’asse x ) Si chiama CODOMINIO l’insieme delle immagini y ( graficamente proietto il grafico verso l’asse y ) CLASSIFICAZIONE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRICHE • ALGEBRICHE: funzioni formate da polinomi razionali intere fratte irrazionali (x sotto radice) y= 2 2 1 x + x 5 3 x−4 y = (x al denominatore) x2 − 9 intere y = 3x − 4 fratte y = 3x − 4 x−2 • TRASCENDENTI - funzioni non algebriche: y=ax funzione esponenziale y=loga(x) funzione logaritmica y=senx , y=cosx , y=tgx funzioni goniometriche dominio funzioni razionali intere Sono - RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice - INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore Il Dominio è sempre: qualunque valore di x appartenente ai numeri REALI D: ∀x ∈R cioè ] -∞;+∞[ oppure ( -∞;+∞) Attenzione: “parentesi quadra aperta” e “Parentesi tonda” si equivalgono y = 3x − 4 y=2 Retta y=mx+q Funz costante y=k D: ( -∞;+∞) y=x y = x 2 + 4 x + 3 Parabola y=ax2+bx+c Funz identità D: ( -∞;+∞) D: ( -∞;+∞) 2 2 1 Dominio: ∀x ∈R cioè D: ( -∞;+∞) Parabola y= x + x 5 3 2 Dominio: ∀x ∈R cioè D: ( -∞;+∞) y = x 3 − 4 x Cubica y=ax3+bx2+cx+d 3 dominio funz razionali fratte - RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice - FRATTE poiché la x si trova nel Denominatore Poiche‘la DIVISIONE per 0 in matematica è OPERAZIONE IMPOSSIBILE” non posso accettare le x che rendono il Denominatore uguale a zero. Condizione: DENOMINATORE DIVERSO DA ZERO 2 y= x x−4 y= x −5 Iperbole y=k/x den ≠ 0 D:x ≠ 0 Funzione omografica den ≠ 0 x−4 y= 2 x −9 den ≠ 0 x + 4 x −1 y= 10 − x den ≠ 0 4 D:(-∞;0)U(0;+∞) x−5≠0→ x ≠5 D:(-∞;5)U(5;+∞) x − 9 ≠ 0;x ≠ 9 → x ≠ ±3; 2 2 D:(-∞,-3)U(-3,+3)U(+3;+∞) 10− x ≠ 0 +x −10 ≠ 0 → x ≠ +10 D:(-∞,10)U(10,+∞) dominio funz irrazionali intere - IRRAZIONALI perché la x non compare sotto radice - INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore SE radice con indice PARI Condizione: RADICANDO≥0 SE radice con indice DISPARI D: y = 3x − 4 ∀x ∈ R rad ≥ 0 4 3x − 4 ≥ 0 → 3x ≥ 4 → x ≥ 3 y = x + 5x + 4 rad ≥ 0 x +5x+ 4 ≥ 0;→ Δ > 0, conc: x ≤ −4 ∨ x ≥ −1 y = x −4 rad ≥ 0 2 2 y= x−6 3 D: [4/3 ; +∞) 2 D: (-∞;-4] U [-1;+∞) x 2 − 4 ≥ 0;→ Δ > 0,conc:x ≤ −2∨ x ≥ +2 D: (-∞;-2] U [+2;+∞) D : ∀x ∈R dominio funz irrazionali fratte - IRRAZIONALI perché la x non compare sotto radice - FRATTE poiché la x si trova nel Denominatore Devo fare un sistema fra le varie condizioni 3x − 4 y= x−2 y= y= y= x−5 x−7 x−3 x −4 2 x−5 x−7 ⎧ 4 3x− 4 ≥ 0 radicando(numeratore)≥ 0 ⎧ ⎪x ≥ →⎨ 3 ⎨ denominatore ≠ 0 ⎩ x−2 ≠ 0 ⎪ x ≠ 2 ⎩ rad(num) ≥ 0 rad(den) > 0 ⎧x − 5 ≥ 0 ⎧x ≥ 5 →⎨ ⎨ ⎩x − 7 > 0 ⎩x > 7 Fai tu il grafico del sistema D: [4/3 ; 2)U(+2;+∞) Fai tu il grafico del sistema D: (+7;+∞) Le condizioni abbinate : den≠0 e rad⪰0 rad(den)>0 rad(den) > 0 x 2 − 4 > 0;→ x < −2 ∨ x > +2 D: (-∞;-2)U (+2;+∞) Caso particolare Attenzione: non è uguale al secondo esempio perché qui la frazione è TUTTA sotto radice quadrata quindi radicando(tutta frazione)⪰0 x−5 N ≥ 0 x−5 ≥ 0 x ≥ 5 ≥ 0 diseq Fratta x− 7 D > 0 x− 7 > 0 x > 7 Attenzione devi fare il grafico dei SEGNI D: (-∞;5)U (7;+∞) REGOLE DOMINIO FUNZ TRASCENDENTI y= FUNZIONE ESPONENZIALE a x per qualsiasi x-->esiste sempre l’ordinata y D: ( -∞;+∞ ) y = a f (x) Nessuna condizione per esponenziale, si trova il Dominio di f(x) FUNZIONE LOGARITMICA Devo risolvere la condizione-->ARGOMENTO>0 y = log a (x) y = log a ( f (x)) D : f (x) > 0 y = senx y = cos x y = tgx ∀x ∈R FUNZIONI GONIOMETRICHE SENO E COSENO ∀x ∈R Dominio: D: ( -∞;+∞) FUNZIONI GONIOMETRICA TANGENTE La x deve essere diversa da 90° più multipli di 180 π D : x ≠ + kπ 2 D:x > 0 dominio funz. logaritmica un logaritmo esiste solo se l’argomento è positivo. Pertanto devo risolvere la Condizione: ARGOMENTO >0 y = log(5x − 10) 5x − 10 > 0 → 5x > 10 → x > 2 D: (+2 ; +∞) y = log(x − 5x) x − 5x > 0;→ Δ > 0,conc → x < 0 ∨ x > 5 2 2 D: (-∞;0)U(5 ;+∞) y = log(x − 16) 2 x −16 > 0;→ Δ > 0,conc → x < −4 ∨ x > +4 2 D: (-∞;-4)U(+4;+∞ ) riepilogo : DOMINIO FUNZIONI MATEMATICHE FUNZIONI ALGEBRICHE (polinomi) RAZIONALI (la variabile x non compare sotto radice): - Intere (no x nel Denominatore) ∀x ∈R y = f (x) → D : ∀x ∈R - Fratte (x nel Denominatore) Denominatore ≠ 0 y= f (x) → g(x) y= pari IRRAZIONALI (x sotto radice) -Intere : radice indice pari --> D: Radicando ≥ 0 radice indice dispari --> D: ∀x ∈R D : g(x) ≠ 0 f (x) → D : f (x) ≥ 0 y = dispari f (x) → ∀x ∈R -Fratte: sistema (che dipende dal testo) fra condizioni FUNZIONI TRASCENDENTI y=ax esponenziale Dominio: ∀x ∈R y= logax logaritmica Dominio: Argomento > 0 funzioni goniometriche: y= senx , y= cosx Dominio : ∀x ∈R π D : x ≠ + kπ y= tgx Dominio: 2 y = log a ( f (x)) → f (x) > 0 1 esercizi Dominio Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le soluzioni: a) d) d) y= 6x x2 − 1 17 − x y= 4 x −1 x−4 y= 3 x −x b) e) e) y= x −x 2 y = x + 5x − x −5 3 3 y = x + 3x + 2x 3 2 y = log(2 − x) c) f) f) y = x −9x 3 y = log(x + 3x ) 3 2 Soluzioni a-b-c Dominio: a) 6x y= 2 x −1 y= x −x 2 b) c) y = log(2 − x) soluzioni: a) Pongo il denominatore diverso da 0 e ottengo x 2 −1 ≠ 0 → x 2 ≠ 1→ x ≠ ±1 b) c) x −x≥0 x 2 − x = 0 → xi(x −1) = 0 → x = 0, x = 1 Δ > 0 → concordanza : x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 Pongo il radicando ≥0 2 D: (-∞;-1)U(-1;+1)U(+1;+∞) E trovo risolvo l’equazione associata: D: (-∞;0] U [+1;+∞) Pongo l’argomento del logaritmo maggiore di zero 2 − x >→ −x + 2 > 0 cambio segni e verso x−2<0→ x<2 D: (-∞;+2) Soluzioni d-e-f Dominio d) 17 − x y= 4 x −1 e) y = x + 5x − x −5 3 3 f) y = x −9x 3 soluzioni: d) x 4 − 4 ≠ 0; x 4 − 4 ≠ 0; Pongo i due fattori diversi da 0 (… fai i passaggi ) si ottiene: (x 2 − 2) ⋅ (x 2 + 2) ≠ 0; e) x + 5x − x −5 ≥ 0 3 2 (x + 5)⋅(x 2 −1) ≥ 0 x + 5 ≥ 0 → x ≥ −5 x −1≥ 0 → x ≤ −1∨ x ≥ +1 2 f) x ≥0 x −9 ≥ 0 → x ≤ −3∨ x ≥ 3 2 Pongo i due fattori ≥0 con il grafo dei segni ( …svolgilo tu ) si ottiene: x 3 − 9x ≥ 0 → x ⋅ (x 2 − 9) ≥ 0 D:x ≠ − 2 ∧ x ≠ 2 D :−5 ≤ x ≤ −1∨ x ≥1 Pongo i due fattori ≥0 con il grafo dei segni, (..svolgilo tu ) si ottiene : D :−3 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 3 Soluzioni g-h-i Dominio: d) x−4 y= 3 x −x e) y = x + 3x + 2x 3 2 f) y = log(x 3 + 3x 2 ) soluzioni: d) x 3 − x ≠ 0; → x(x 2 − 1) ≠ 0 e) Pongo i due fattori diversi da 0 (fai tu i passaggi ) si ottiene: x + 3x + 2 ≥ 0 → x(x + 3x + 2) ≥ 0 3 2 2 x≥0 x + 3x + 2 ≥ 0 → x ≤ −2 ∨ x ≥ −1 2 f) x > 0 → ∀x ∈R − {0} x+3>0→ x > 3 2 Disequazione scomposta: Pongo i due fattori ≥0 …con il grafo dei segni (svolgilo tu ) si ottiene: x 3 + 3x 2 > 0 → x 2 ⋅ (x + 3) > 0 D : x ≠ ±1∧ x ≠ 0 D :−2 ≤ x ≤ −1∨ x ≥ 0 Disequazione scomposta: Pongo i due fattori ≥0 ….con grafo dei segni, (svolgilo tu ) si ottiene: D:x > 3 Esercizio 2 - Dominio di funzioni 4−x y= 2 x +x x 2 + 10 y= 2 x − 2x x−2 y= x−6 y = x + 3x x2 + 6 y= −2x + 6 y = log(x 2 − 9) y = log(8 − 2x) y = x 2 − 25 y = 5x + 20 y = x2 + x − 3 y = 3 5x − 10 y = −x 2 + 4 2 Esercizio 2 - Dominio: soluzioni x 2 + 10 4−x D:, x≠-1 x≠0 y= 2 y= 2 x − 2x x + x (-∞ ; -1) ∪(-1;0)∪(0;+∞) x−2 y= x−6 D: x≠ +6 (-∞ ; 6) ∪(6 ; +∞) x2 + 6 y= −2x + 6 D: x≠3 (-∞ ; 3) ∪(3; +∞) (-∞ ; 0)∪(0;2)∪(2;+∞) y = x 2 + 3x D: x ≤ -3 v x≥ 0 (-∞ ; -3] ∪[0 ; +∞) y = log(x − 9) D: x<-3 v x>3 (-∞ ; -3) ∪(3 ; +∞) D: x≤-5 v x≥5 (-∞ ; -5] ∪[5 ; +∞) 2 y = log(8 − 2x) D: x < 4 ( -∞ ; +4 ) y = x − 25 y = 5x + 20 D: x≥-4 [-4 ; +∞) y = x2 + x − 3 y = 5x − 10 D: (-∞ ; +∞) y = −x 2 + 4 3 D: x≠0 x≠2 2 D: (-∞ ; +∞) D: -2≤x≤ 2 [-2 ; 2]