CLASSIFICAZIONE DI FUNZIONI Andrea Barberis Classe: 4°E Anno scolastico 2007/2008 ORGANIGRAMMA FUNZIONI FUNZIONI RR ALGEBRICHE TRASCENDENTE RAZIONALI INTERE IRRAZIONALI FRATTE INTERE ESPONENZIALE FRATTE LOGARITMICHE GONIOMETRICHE FUNZIONE • Funzioni matematiche • Sono quelle funzioni tali che le operazioni che • • • • permettono di passare dal valore della x al valore della y sono di tipo matematico. Se le operazioni sopraindicate si possono ridurre alle quattro operazioni algebriche allora la funzione si dice Algebrica esempio: y=x3-x2 -5x-3 In caso contrario la funzione si dice Trascendente esempio y=logx oppure y=senx+cosx FUNZIONI ALGEBRICHE • Si chiama funzione algebrica una funzione costruita • attraverso un numero finito di applicazioni delle quattro operazioni dell'aritmetica e dell'elevamento a potenza. Una sottoclasse molto importante è data dalle funzioni polinomiali, cioè quelle il cui valore coincide punto per punto con il valore assunto da un determinato polinomio; in altre parole, fissato il valore della variabile indipendente x, è possibile determinare il rispettivo valore f(x) applicando un numero finito di volte le quattro operazioni dell'aritmetica. Queste funzioni sono definite per tutti i numeri reali. RAZIONALI • Le funzioni razionali sono quelle date dal rapporto di due funzioni polinomiali, cioè del tipo n n 1 f ( x) N ( x) a0 x a1 x an P( x) b0 x m b1 x m1 bm • Il dominio D della funzione è l'insieme degli elementi tali che . A volte queste sono chiamate funzioni razionali fratte e le polinomiali funzioni razionali intere. IRRAZIONALE • Le funzioni irrazionali sono quelle per cui, fissato il valore • • • • • della variabile indipendente x, è possibile determinare il rispettivo valore della f(x) applicando per un numero finito di volte le quattro operazioni dell'aritmetica e l'operazione di estrazione di radice. Una funzione irrazionale è del tipo f ( x) n g ( x) dove g(x) è una funzione razionale definita in un certo sottoinsieme. I R Il dominio D della funzione dipende dall'indice n della radice: se n è dispari allora il dominio della funzione coincide con l'insieme I di g. Se n è pari allora il dominio D della funzione è dato dall'insieme degli elementi x I che soddisfano la disequazione. g ( x) o Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere e fratte. TRASCENDENTI • Si chiamano funzioni trascendenti tutte quelle funzioni • che non sono algebriche, cioè che contengano operazioni diverse dalle quattro operazioni standard dell'aritmetica e dall'operazione di potenza (e radice): logaritmo, esponenziale, espressioni trigonometriche... Fanno parte di questa classe anche le funzioni cosidette non elementari o non esprimibili analiticamente (da non confondere con le funzioni analitiche, che riguardano un altro aspetto), cioè per cui non esiste formula chiusa che consenta di calcolare i valori f(x) a partire da x arbitrari: tra queste funzioni si trovano ad esempio la campana di Gauss o la funzione degli errori, ma anche molte delle funzioni definite ricorsivamente. LOGARITMICHE • • • • • Dicesi funzione logaritmica una funzione g : R R del tipo: g ( x) log k ( x ) f ( x) e relative trasformate. Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi contenuti nell'intersezione dei due domini di k e f tali che f(x) > 0, k(x) > 0 e k ( x) 1 Tale funzione è l'inversa della funzione esponenziale. ESPONENZIALI • Dicesi funzioni esponenziali una funzione • • g : R R del tipo: g ( x) k ( x) f ( x ) e relative trasformate. Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi contenuti nell'intersezione dei due domini di k e f che soddisfano la condizione k(x) > 0. Tale funzione è l’inversa della funzione logaritmica. INTERE • Le funzioni razionali intere sono quelle nelle quali • compaiono le operazioni algebriche escluse la divisione e la radice . Un esempio è: y 3x 2 3x 4 Funzioni di questo genere sono definite per ogni valore reale di x in quanto le operazioni che occorre svolgere per determinare il valore della y, noto quello della x, sono sempre possibili. In altri termini, la potenza, il prodotto, l’addizione e la sottrazione si possono eseguire su tutti i numeri reali. Il dominio, quindi, delle funzioni razionali intere è costituito dall’insieme R di tutti i numeri reali. FRATTE • Le funzioni razionali fratte sono quelle che hanno la variabile indipendente al denominatore. Funzioni di questo tipo sono definite per tutti i valori reali di x esclusi quelli che annullano il denominatore. Infatti nell’insieme dei numeri reali la divisione per lo zero non è possibile. La funzione y x 2 3x 2 x 1 • è definita per x 1 , alla variabile x non si può attribuire il valore 1 perché in tal caso il denominatore diventa nullo. Un altro modo di indicare il dominio della suddetta funzione è : ;1 1; . GONIOMETRICHE • Le funzioni dove la variabile indipendente è un angolo vengono dette goniometriche o circolari. Per definire le funzioni goniometriche elementari si consideri fisso il lato di origine degli angoli (identificato, nel caso del riferimento cartesiano ortogonale xOy, col semiasse positivo delle ascisse) e variabile il secondo. INTERE y 3x 1 y 1 x y x 4 y x 1 4 2 3 FRATTE y 1 x 1 3x 1 y 2 x y x2 x7 x2 1 y x 5x 3