limitatore di precisione #1

ESERCIZIO: LIMITATORE DI PRECISIONE #1
Il circuito mostrato in figura 1 rappresenta un limitatore di precisione. Si ricavi la transcaratteristica
del circuito (andamento di vo in funzione di vs), inizialmente nell’ipotesi di diodi e amplificatore
operazionale ideali e successivamente considerando un modello a caduta di tensione costante per i
diodi e considerando un guadagno finito Ao dell’amplificatore operazionale.
i2
vs
R1
i1
R2
D2
D1
+
vA
-
vo
RL
Figura 1
SOLUZIONE
A) Componenti ideali
Essendo l’amplificatore operazionale ideale, le correnti assorbite ai morsetti di ingresso sono nulle e
la tensione differenziale di ingresso è nulla. Di conseguenza, il morsetto invertente è una massa
virtuale.
1) Hp: D1 = “off”, D2 = “on”
Essendo D2 un cortocircuito, la tensione di uscita VA dell’operazionale risulta nulla e nulla risulta
anche la tensione di uscita vo, in quanto la corrente i2 è nulla. Di conseguenza la tensione ai capi del
diodo D1 risulta anch’essa nulla e l’ipotesi di diodo D1 spento è verificata. In realtà, se anche
pensassimo il diodo D1 acceso, la tensione di uscita sarebbe comunque nulla e la corrente nel diodo
D1 sarebbe anch’essa nulla. In definitiva, tale diodo si trova in un punto di lavoro corrispondente
all’origine del diagramma iD1-vD1. Tale ambiguità, sparisce quando si utilizza un modello più
accurato per il diodo come dimostrato nella seconda parte dell’esercizio. Verifichiamo ora lo stato
del diodo D2. Essendo nulla la corrente i2, la iD2 coincide con la corrente i1 fornita dal generatore di
ingresso, cioè:
i D2 =
vs
= i1
R1
(1)
per cui una corrente iD2 positiva impone una tensione di ingresso positiva.
Riassumendo, per vs > 0, D2 è in conduzione mentre D1 è spento e la tensione di uscita è nulla.
2) Hp: D1 = “on”, D2 = “off”
In questa situazione il circuito diventa un amplificatore invertente per cui vale la seguente relazione:
vo = −
R2
vs
R1
(2)
La tensione ai capi del diodo D2 risulta:
v D2 = −v o =
R2
vs
R1
(3)
Una tensione vD2 negativa implica una tensione di ingresso negativa. La corrente iD1 risulta essere:
i D1 =
vo
v
v 
R 
+ o = − s  1 + 2 
RL R2
R1 
RL 
(4)
che risulta essere positiva sempre per vs < 0. Tale stato topologico è quindi verificato per tensioni di
ingresso negative.
La transcaratteristica risulta quindi come riportato in figura 2.
vo
−
D1=“on”
D2=“off”
R2
R1
D1=“off”
D2=“on”
0
vs
Figura 2 – Transcaratteristica ideale
B) Componenti reali
Consideriamo per l’analisi un modello a caduta di tensione costante VON per i diodi ed un guadagno
Ao finito dell’amplificatore operazionale.
1) Hp: D1 = “off”, D2 = “on”
Il circuito da analizzare è mostrato in figura 3 dove si devono verificare le condizioni iD2 > 0 e
vD1 < VON. Le equazioni del circuito sono le seguenti:
vs − vi
R1
(5)
v i = VON − A o v i
(6)
RL
vi
R2 + RL
(7)
i1 =
vo =
Dalla (6) ricaviamo vi:
vi =
VON
1+ Ao
che sostituita nella (7) dà la tensione di uscita:
(8)
vo =
VON
RL
= Vo1
R 2 + R L 1+ Ao
(9)
Come si può osservare, la caduta di tensione in diretta del diodo D2 risulta divisa per il guadagno
dell’amplificatore operazionale, per cui la tensione è molto prossima a zero.
i2
R2
iD2
R1
vs
VON
vi
i1
vD1
+
+
-
vo
-
-Aovi
RL
Figura 3 – Circuito relativo alla situazione D1 = “off”, D2 = “on”
Verifichiamo ora lo stato del diodo D1.
v D1 = − A o v i − v o = −
Ao
VON
RL
VON −
< VON
1 + Ao
R 2 + R L 1 + Ao
(10)
Tale diseguaglianza risulta sempre verificata. Verifichiamo ora lo stato del diodo D2.
i D 2 = i1 − i 2 =
 VON
vs − vi
v  1
vi
1

−
= s − 
+
>0
R1
R 2 + R L R 1  R 1 R 2 + R L  1 + A o
(11)
Questa condizione è verificata per vs > VT1, dove la tensione di soglia VT1 risulta essere:
VT1 =
VON 
R1 
1 +

1 + A o  R 2 + R L 
(12)
2) Consideriamo vs < VT1, così da avere D1 = “off”, D2 = “off”
Il circuito da analizzare è mostrato in figura 4.
i2
+
R1
vs
i1
vi
+
-
R2
vD2 vD1
+
-Aovi
vo
-
RL
Figura 4 – Circuito relativo alla situazione D1 = “off”, D2 = “off”
In questa situazione abbiamo che:
vi = vs
R2 + RL
R1 + R 2 + R L
(13)
vo = vs
RL
= m1 v s
R1 + R 2 + R L
v D 2 = v i + A o v i = (1 + A o )
(14)
R2 + RL
vs
R1 + R 2 + R L
(15)
La condizione vD2 < VON, coincide con la condizione vs < VT1 come ci si doveva aspettare. Per
quanto riguarda il diodo D1 possiamo scrivere:
v D1 = − A o v i − v o = − A o
R2 + RL
RL
vs −
vs
R1 + R 2 + R L
R1 + R 2 + R L
(16)
La condizione vD1 < VON, impone la condizione vs < VT2, dove tale soglia è data da:
 R1 + R 2 + R L 

VT 2 = − VON 

 R L + A o (R 2 + R L ) 
(17)
2) Consideriamo vs < VT2, così da avere D1 = “on”, D2 = “off”
Il circuito da analizzare è mostrato in figura 5.
i2
+
R1
vs
i1
vi
+
-
R2
vD2 -
iD1
VON
-Aovi
vo
iL
RL
Figura 5 – Circuito relativo alla situazione D1 = “on”, D2 = “off”
i1 =
vs − vi
R1
(18)
i2 =
vi − vo
R2
(19)
v o = − A o v i − VON
(20)
Dalla condizione i1 = i2 ricaviamo vi:
vi = vs
R2
R1
R
+ vo
= v s 2 β + v oβ
R1 + R 2
R1 + R 2
R1
(21)
dove
β=
R1
R1 + R 2
Sostituendo la (21) nella (20), otteniamo l’espressione della tensione di uscita:
(22)
vo = −
VON
VON
R 2 A oβ
vs −
= m2vs −
R 1 1 + A oβ
1 + A oβ
1 + A oβ
(23)
Venendo da una condizione in cui D1 era spento, e avendo considerato vs < VT2, non è necessario
verificare lo stato del diodo D1. Comunque, se si calcola la corrente iD1, si ottiene:
i D1 = i L − i 2 =
vo vi − vo
−
RL
R2
(24)
Utilizzando le (21) e (23), e imponendo iD1 > 0 otteniamo la condizione vs < VT2, come ci si poteva
aspettare.
Per quanto riguarda il diodo D2, risulta:

R2
R1 

v D 2 = v i + A o v i = (1 + A o ) v s
+ vo
R 1 + R 2 
 R1 + R 2
(25)
dove si è fatto uso della (21). Imponendo vD2 < VON, si ottiene la seguente condizione:
 1
2R 1 

v s < VON 
+

+
1
A
R
o
2 

(26)
che risulta senz’altro verificata essendo vs negativa (minore di VT2).
In definitiva, la transcaratteristica si modifica come mostrato in figura 6, dove si è posto in evidenza
l’andamento in prossimità dell’origine degli assi. Il valore di Vo1 è dato dalla (9), mentre
l’espressione di Vo2 si ricava dalla (14) oppure dalla (23) considerando vs = VT2:


RL

Vo 2 = − VON 

 R L + A o (R 2 + R L ) 
(27)
Le pendenze m1 e m2 si ricavano dalla (14) e (23) rispettivamente:.
vo
m2
vT2
Vo1
m1
vT1
vs
Vo2
Figura 6 – Transcaratteristica considerando componenti reali