Algebra delle derivate. Scheda di approfondimento 2
L’algebra delle derivate in quesiti dati Alla II prova d’ Esame dei Licei Scientifici
1. Dal problema 2 di ordinamento, 2014
È data la funzione f (x) = x 4 − x 2 . Si calcoli in gradi e primi sessagesimali, l’angolo α
che la tangente in O al grafico di f(x) forma con la direzione positiva dell’asse x.
(
f (x) = x 4 −
€
€
1
2 2
x
)
. Derivata del prodotto e di funzione composta. tan(α) = f’(0).
2. Dal problema 2 PNI, 2014
È data la funzione f (x) = (2 − x ) 4 x − x 2 . Si calcoli in gradi e primi sessagesimali,
l’angolo α che la tangente in A(2; 0) al grafico di f(x) forma con la direzione positiva
dell’asse x.
1
€
f (x) = (2 − x ) 4 x − x 2 2 . Derivata del prodotto e di funzione composta. tan(α) = f’(2).
(
€
)
3. Quesito 2 PNI, 2013
Se la funzione f(x) − f(2x) ha derivata 5 in x = 1 e derivata 7 in x = 2, qual è la derivata
di f(x) − f(4x) in x = 1?
4. Quesito 3 ordinamento, 2012
⎛ − t
⎞
La posizione di una particella è data da s(t) = 20⎜⎜e 2 + t − 2⎟⎟. Qual è la sua accelerazione
⎝
⎠
al tempo t = 4?
L’accelerazione è la derivata seconda di s(t). Derivata di funzione composta.
5. Quesito 6 ordinamento, 2012
€
5
2
Sia f (x) = 5sin(x)cos(x) + cos2 ( x ) − sin2 ( x ) − sin(2x) − cos(2x) −17 . Si calcoli f’(x)
Vedi esercizio 6 della Scheda Approfondimento1
€ 6. Dal problema 2 PNI, 2012
Sono date le funzioni f(x) = ex e g(x) = ln(x). Fissato x0 > 0, si considerino le rette r ed s
tangenti a f e g nei rispettivi punti di ascissa x0; si dimostri che esiste un solo x0 per il
quale r ed s sono parallele.
Per essere parallele le rette r ed s debbono avere la stessa pendenza m; perciò deve
essere f’(x) = g’(x). Soluzione grafica: rappresenta sullo stesso piano cartesiano f’(x) e
g’(x); quindi verifica che le curve si incontrano in un solo punto.
7. Quesito 3 PNI, 2012
Sia f(x) = 3x. Per quale valore di x, approssimato a meno di 10-3, la pendenza della
tangente alla curva nel punto (x, f(x)) è uguale a 1?
x
Deve essere f’(x) = 1; per la derivata di f(x) = 3 , vedi esercizio 8 della Scheda
Approfondimento1.
Treccani Scuola
1
8. Quesito 10 ordinamento e PNI, 2011
9. Dal problema 1 di ordinamento 2011
È data la funzione g(x) = sin(πx). Si considerino i punti del grafico della curva a
tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo [-6; 6] e se ne indichino le
coordinate.
Deve essere g’(x) = 0. Attenzione alla derivata di funzione composta.
10. Quesito 3 di ordinamento 2010
3x
Sia γ il grafico di f(x) = e + 1. Per quale valore di x la retta tangente a γ in (x, f(x)) ha
pendenza uguale a 2?
Deve essere f’(x) = 2. Attenzione alla derivata di funzione composta.
11. Quesito 2 di ordinamento 2009
È data la funzione g(x) = loga(x) e sia δ l’inclinazione sull’asse delle x della tangente al
grafico della funzione nel suo punto di ascissa 1. Per quale valore della base a è
δ = 45°? E per quale valore di a è δ = 135°?
tan(δ) = g’(1). Per derivare g(x) vedi esercizio 11 della Scheda Approfondimento1.
12. Quesito 8 di ordinamento e PNI 2008
x
π
È data la funzione f(x) = π − x . Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno delle
sue derivate prima e seconda nel punto di ascissa x = π.
Per le derivate di f vedi esercizi 8, 9 e 10 della Scheda Approfondimento 1.
13. Quesito 6 di ordinamento 2004
Verificate che le due funzioni f(x) = 3ln(x) e g(x) = ln(2x3) hanno la stessa derivata.
Quale giustificazione ne date?
Vedi esercizio 12 della Scheda Approfondimento 1
14. Quesito 1 PNI 2001
Calcolare la derivata della funzione f(x) = arcsenx+arcosx. Quali conclusioni se ne
possono trarre per la f(x)?
Vedi esercizi 1, 2, 3 e 4 della Scheda Approfondimento1
Treccani Scuola
2
