Dispense - Corsi di Laurea a Distanza

LE MISURE PER LA QUALITÀ
LA COMPATIBILITÀ E LA RIFERIBILITÀ DELLE MISURE
VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA
E
PRESENTAZIONE DEI DATI SPERIMENTALI
PROF . ING. GIULIO BARBATO
Dipartimento di Sistemi di Produzione ed Economia dell’Azienda
Politecnico di Torino
e
C.N.R. - Istituto di Metrologia "G. Colonnetti" - Torino
RifMis.doc
1/35
06/02/01
LA COMPATIBILITÀ E LA RIFERIBILITÀ DELLE MISURE
VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA
E
PRESENTAZIONE DEI DATI SPERIMENTALI
PROF . ING. GIULIO BARBATO
1. I NTRODUZIONE
Molte regole, già da tempo adottate e dettate principalmente dal buon senso, sono ora parte
integrante delle normative che presiedono i Sistemi di Qualità (UNI EN ISO serie 9000 ed UNI
EN serie 45000).
Una, tra le citate regole di buon senso, consisteva nell'adottare le corrette metodologie di
controllo per evitare il contenzioso, tra committente e produttore, sulla quantità e sulla qualità
del prodotto scambiato.
La quantità è gestita con molto rigore dagli enti che presiedono alla metrologia legale, mentre
la "Qualità" è spesso un concetto più vago o, quanto meno, definito in modo più complesso.
Vi è, cioè, una più ampia zona di sfumatura e di tolleranza. Non nascondiamoci che in molti
casi i parametri che definiscono la qualità, pur essendo chiaramente scritti nei contratti, sono
dati a titolo indicativo.
Tutto funziona bene finché le specifiche sono facili da realizzare per cui, in modo naturale,
forse per consuetudine, il prodotto viene fatto dal produttore proprio come interessa all'utente,
anche se in tal modo è, talvolta, rigorosamente differente da come viene descritto nel
capitolato.
I problemi nascono quando, su un valore di qualche centinaio, o anche solo di qualche decina
di milioni di prodotto, l'utilizzazione è compromessa. In tal caso la tolleranza non ha
tolleranza, poiché la perdita sarà a carico di chi è formalmente fuori dal capitolato.
Molte sono le cause per cui si può giungere a un disaccordo, e può valer la pena di prenderne in considerazione due in particolare:
§
gli strumenti di misura utilizzati da committente e produttore non danno risultati compatibili.
§
le tolleranze stabilite sui parametri da misurare non tengono conto delle incertezze di
misura e della variabilitàdella produzione corrispondenti allo stato dell'arte
Per evitare entrambe le situazioni citate è necessario conoscere, come richiesto
espressamente al punto 4.11 delle norme della serie ISO 9000, l'entità delle incertezze di misura, dipendenti dalla strumentazione utilizzata e dallo stato dell'arte delle tecniche produttive.
RifMis.doc
2/35
06/02/01
Le norme preposte alla gestione dei sistemi di qualità stabiliscono due punti fondamentali allo
scopo di evitare i problemi di incompatibilità :
§
Gli strumenti di misura utilizzati nell'ambito dei sistemi di qualità certificati , utili per
stabilire la “Qualità” del prodotto, devono essere dotati di riferibilità ai Campioni
Nazionali o Internazionali;
§
I fornitori (quindi anche i fornitori di servizi, come tarature o prove) devono essere
certificati o qualificati nell'ambito del sistema di qualità del committente stesso.
Per dichiarare la riferibilità è indispensabile definire il campo d'incertezza entro il quale lo
strumento certificato produce risultati compatibili con il campione nazionale di riferimento.
Perciò i più importanti enti metrologici e normatori int ernazionali (ISO, IEC, BIPM, OIML,
IUPAP, IUPAC, IFCC) hanno ritenuto opportuno preparare una Guida per la valutazione
dell'Incertezza [1].
Tale guida deve considerarsi come documento base, nell'ambito dei Sistemi di Qualità, per
valutare la corretta compatibilità dei risultati prodotti dalle apparecchiature di misura, ove, con
questo termine, si devono intendere tutte le apparecchiature utilizzate per determinare il
valore dei parametri che definiscono la qualità del prodotto, quindi anche sistemi complessi di
collaudo come, ad esempio, le macchine di prova dei materiali.
Prima di iniziare un discorso sulle regole tecniche dettate da criteri metrologici, bisogna aver
ben presente la netta distinzione tra l'ambito volontario e l'ambito cogente.
In ambito volontario (Sistemi di Qualità, Servizi di Taratura, Laboratori di Prova) la base delle
scelte è il solo riscontro tecnico, che viene ampiamente descritto in quanto segue.
In ambito cogente implicazioni di carattere legale e di responsabilità impongono modalità più
complesse di codifica delle procedure ufficiali, che tendono a mantenersi legate a
metodologie consuetudinarie e quindi convenzionali, talvolta non aggiornate con i riscontri
tecnici attuali. Tuttavia la base tecnica, fortemente promossa in ambito europeo, ha assunto
un ruolo trainante e via via le regolamentazioni legali tendono ad acquisirla. Quindi il riscontro
tecnico, come detto descritto nel seguito, diviene una guida autorevole anche per l’ambito
cogente.
Il problema della corretta utilizzazione della strumentazione di misura non è banale né a
livello gestionale, né a livello tecnico. Per comprendere l'importanza di questo settore è
sufficiente citare una statistica di fonte UNI che ha evidenziato che i problemi relativi alla
gestione degli strumenti di misura sono una delle cause principali delle
non-conformità alle norme UNI EN ISO 9001 e 9002. Tale nota è stata presentata dal
presidente del Sistema Nazionale per l'Accreditamento degli Organismi di Certificazione
(SINCERT), nel corso del convegno del Servizio di Taratura in Italia (SIT) tenuto nel 1995.
2. L A COMPATIBILITÀ DELLE MISURE
La condizione basilare per non entrare in contenzioso sui risultati ottenuti con le misurazioni
dei parametri del prodotto fatte da produttore e committente è comprendere bene il concetto
di compatibilità delle misure.
Il fatto che i risultati ottenuti dal produttore e dal committente non siano uguali non dice nulla
di per sé. La normalità è che siano differenti, mentre l'uguaglianza è una mera casualità. Ciò
che importa è che i risultati non siano troppo discosti.
RifMis.doc
3/35
06/02/01
Ciò richiede un importante cambiamento di mentalità.
2.1. Un passaggio difficile: dalla certezza all'incertezza
Il primo passo per comprendere le ragioni delle regole che saranno nel seguito descritte
richiede un cambiamento di mentalità per passare dal concetto di esattezza al concetto
d'incertezza.
Iniziamo subito a vedere con un esempio come sia ingannevole il concetto di uguaglianza.
Tutti conoscono i moderni micrometri Palmer con uscita digitale. L'indicazione di misura è
data da un numero ben definito, che indica al millesimo di millimetro la dimensione misurata.
Se prendiamo due blocchetti pian paralleli con la stessa lunghezza nominale e li misuriamo
con tale micrometro, troveremo quasi certamente lo stesso valore di misura per entrambi.
Sembra naturale poter dire che essi sono uguali (Fig. 1).
Fig. 1. La misurazione con Palmer millesimale di due blocchetti pian paralleli di lunghezza
nominale uguale dà, in generale, un risultato uguale.
Ma se le lunghezze degli stessi blocchetti, o meglio la loro differenza, vengono misurate con
strumenti più sensibili, ad esempio con un trasduttore di spostamento induttivo con
risoluzione di un decimo di micrometro o migliore, ci rendiamo conto che, quasi certamente, i
due risultati di misura sono diversi (Fig. 2).
La conclusione di uguaglianza tratta dalle prime misurazioni è quindi falsa.
Ma anche dire che essi sono diversi potrebbe essere falso.
Infatti la differenza riscontrata potrebbe essere dovuta alle variazioni casuali di cui sono
affette le misurazioni.
Solo se, oltre al valore di misura, si completa l'informazione con l'indicazione dell'ampiezza
dell'intervallo d'incertezza ad essa associato, ecco che diviene possibile trarre dai dati un'informazione coerente (Fig. 3), che tuttavia non consente mai di stabilire una condizione di
uguaglianza.
RifMis.doc
4/35
06/02/01
Fig. 2. Se gli stessi blocchetti vengono misurati con strumenti di risoluzione più elevata, è
molto probabile vedere che la loro dimensione è diversa.
Fig. 3. L'informazione ottenuta dalle misure non è tanto data dal valore medio, quanto dalla
banda d'incertezza. L'uguaglianza descritta in A è una mera casualità, e l'informazione contenuta non è diversa da B, ove, essendoci sovrapposizione delle
bande d'incertezza, non si può dire che i risultati siano diversi. Nel caso C,
invece, non essendoci sovrapposizione delle bande d'incertezza, si può affermare
che i due risultati sono differenti, anche se si deve tener conto di un certo rischio
statistico che l'affermazione fatta sia errata.
Infatti le informazioni fornite da una coppia di misure sono di due tipi:
a. non si può affermare che le due misure sono differenti (Fig. 3, casi A e B);
b. si può affermare che le due misure sono differenti (Fig. 3, caso C).
RifMis.doc
5/35
06/02/01
Nel caso B, nonostante la differenza delle misure, non vi è ragione di contenzioso, mentre nel
caso C il contenzioso potrebbe esserci. La differente situazione non è legata ai valori stessi di
misura, ma agli estremi della banda d'incertezza ad essi assegnata.
Si vede, quindi, come il concetto di compatibilità sia strettamente legato al concetto d'incertezza e, quindi, l'importanza di una corretta valutazione della banda d'incertezza, che deve
essere fatta come prescritto dalla Guida ISO [1]. Per il rispetto delle tolleranze si veda anche
la ISO 14253-1.
Nella normativa la compatibilità delle misure è prevista intrinsecamente ed anche in maniera
più robusta dalla richiesta di riferibilità ai Campioni Nazionali.
3. L A RIFERIBILITÀ AI CAMPIONI NAZIONALI
La compatibilità di due misure fornisce un'informazione sulla loro differenza o sull'impossibilità
di dichiarare la loro differenza, ma non sulle cause di tale differenza.
Una delle ragioni di differenza può essere dovuta ad un'errata taratura degli strumenti di
misura utilizzati. Tale condizione può essere causa di contestazione anche se il prodotto è
perfettamente adeguato alle specifiche, e deve, quindi, essere assolutamente evitata.
Per evitare che vi siano differenze siste matiche tra le condizioni di taratura di due strumenti di
misura è necessario stabilire la riferibilità ai campioni nazionali o internazionali.
Per ottenere la riferibilità sono necessari campioni di trasferimento certificati, procedure
di trasferimento, che definiscono anche le condizioni ambientali di trasferimento, ed
infine personale addestrato per eseguire le operazioni di trasferimento.
Almeno una parte della riferibilità è affidata al Sistema di Qualità Aziendale, che deve gestire
gli strumenti di riferimento interni (detti Campioni di prima linea), gli strumenti per la
disseminazione interna delle unità di misura (in genere Campioni di seconda linea) ed infine
gli strumenti di lavoro con cui vengono fatte le misure necessarie per la produzione. Si deve
procedere, inoltre, a preparare ed implementare le opportune procedure di taratura periodica
di tutti gli strumenti di misura rilevanti per il controllo della qualità, ed alla qualificazione, ed
eventualmente alla certificazione, del personale addetto. Tale attività richiede un impegno
tanto maggiore quanto più elevata è l'accuratezza di misura richiesta, ed è giustificata solo
sulla base di economia e di efficienza. Ad esempio, l'acquisto di un costoso campione di
prima ilnea di elevatissima classe di precisione, la preparazione di un ambiente idoneo e
l'addestramento del personale potrebbe non essere giustificato da un'utilizzazione limitata a
qualche taratura di campioni di seconda linea ogni anno.
Per poter garantire la riferibilità ai campioni nazionali con una buona efficienza, in quasi tutti
gli Stati europei esiste un'organizzazione per la disseminazione delle unità di misura, basata
sull'attività degli Istituti Metrologici Primari, dei Servizi di Taratura, fino a giungere alla
qualificazione stessa del prodotto, tramite i Laboratori di Prova.
In Italia sia gli Istituti Metrologici Primari, preposti al trasferimento dei riferimenti dati dai
Campioni Internazionali ed alla gestione dei Campioni Primari Nazionali, (in Italia l'IMGC del
CNR, l'IEN e l'ENEA), sia i Centri del Servizio di Taratura in Italia (SIT), che operano per
trasferire i riferimenti dati dai Campioni Nazionali agli strumenti di misura industriali, sia i
laboratori di prova accreditati dal SINAL, che svolgono direttamente le misure sul prodotto,
rispettano le condizioni di gestione della strumentazione, controllo delle condizioni ambientali,
preparazione ed utilizzazione delle procedure di misura e qualificazione del personale sopra
citate.
RifMis.doc
6/35
06/02/01
Tali enti possono costituire la parte esterna della catena di riferibilità, che, come si è visto,
può essere limitata al solo collegamento con i campioni primari nazionali oppure giungere fino
alla qualificazione del prodotto.
La scelta del confine tra Riferibilità Esterna al Sistema di Qualità Aziendale e Riferibilità
Interna è dettata solo da regole di economicità ed efficienza. La riferibilità esterna ha un
costo per taratura in generale maggiore, ma viene fornita "chiavi in mano". La riferibilità
interna può avere un costo per taratura inferiore, ma richiede un'organizzazione di base,
l'acquisto dei campioni di riferimento, la stesura delle procedure, l'addestramento e la
qualificazione del personale addetto.
Difficilmente, invece, può risultare economico rivolgersi per le tarature a ditte che non facciano parte di un Servizio di Taratura riconosciuto, poiché, per l'obbligo di qualificare i fornitori,
rimarrebbero a carico del Sistema di Qualità Aziendale l'organizzazione e le qualificazioni
richieste. In molti casi, nell'ambito cogente, non è nemmeno prevista l'azione di qualificazione
del fornitore, e può addirittura essere indispensabile rivolgersi ai centri convenzionati del
Sistema Nazionale di Taratura (SNT), istituito dalla legge 273/91, periodicamente notificati
sulla Gazzetta Ufficiale. Quasi tutti i centri SIT esistenti sono notificati come centri
convenzionati S.N.T, ma, nel caso di applicazioni di metrologia legale in cui la notifica sia
strettamente necessaria, è opportuno accertarsi del fatto con il Centro specifico.
Dal punto di vista tecnico la riferibilità si ottiene mediante una catena ininterrotta di tarature
tra il campione primario nazionale e lo strumento di lavoro. Tale catena di tarature consente
di definire l'andamento più probabile della caratteristica metrologica dello strumento di lavoro
e la corrispondente banda d'incertezza. Se ad ogni passo della catena di riferibilità
l'incertezza viene calcolata correttamente, le misure ottenute con due strumenti riferiti a
campioni nazionali o internazionali risultano compatibili (Fig. 4).
Fig. 4
La riferibilità ai campioni nazionali o internazionali garantisce la compatibilità dei
risultati. Se, infatti, si valuta correttamente l'incertezza introdotta dal trasferimento del
riferimento ad ogni livello successivo, il valore di riferimento rimane sempre compreso
entro le diverse bande d'incertezza, e quindi le bande d'incertezza di due strumenti
entrambi riferibili devono essere parzialmente sovrapposte.
È opportuni fin da ora evidenziare due particolari, che potrebbero essere di una certa
importanza in alcuni casi, ma che sono spesso trascurati, essendo non significativi nella
maggior parte dei casi.
Per stabilire la banda d'incertezza l'analisi statistica dei risultati, ad esempio, fornisce lo
scarto tipo, il cui valore corrisponde a quello dell'incertezza tipo. Tale banda d'incertezza è
però troppo stretta per rappresentare in modo pratico la situazione, infatti oltre il 30% dei
RifMis.doc
7/35
06/02/01
risultati cade esternamente a tale banda. La pratica comune consiste nel prendere come
banda d'incertezza il doppio dell'incertezza tipo, che in gran parte dei casi contiene circa il
95% dei risultati e quindi descrive concretamente, per la maggior parte di utilizzazioni, il
campo di variabilità della misura.
In due casi tale metodo non è, però, applicabile:
•
quando la stima dell'incertezza tipo è basata su un numero ridotto di dati
•
quando considerazioni legate alla pericolosità o al costo prodotto da un risultato che cada
casualmente al di fuori della banda d’incertezza impongono che il rischio di tale evento
venga diminuito.
Quindi si può dire, per completezza che:
•
perché l'informazione così fornita sia utilizzabile nella sua completezza sarebbe
necessario anche fornire il numero dei gradi di libertà con cui è stata calcolata l'incertezza
tipo [2];
•
l'utente finale, o, nel caso di ambito cogente, l'ente preposto, valutando la pericolosità di
giungere a conclusioni errate (in pratica di utilizzare risultati che sono al di fuori della
banda d'incertezza estesa dichiarata) stabilisce il rischio d’errore (complemento a 1 del
livello di fiducia) da utilizzare, (cioè il rischio che il risultato utilizzato sia all'esterno della
banda d'incertezza estesa). Dato il numero dei gradi di libertà è possibile determinare
mediante la distribuzione di Student o la distribuzione di Gauss il fattore di copertura k da
usare come moltiplicatore dell'incertezza tipo per ottenere l'incertezza estesa [3]. Nel caso
non si conosca il numero dei gradi di libertà si utilizza la distribuzione di Gauss, ma in tal
caso il rischio statistico è leggermente maggiore.
4. L A PRESENTAZIONE DEI DATI SPERIMENTALI
La parte gestionale deve essere correttamente inserita nel Manuale di Qualità con il rispetto
delle relative regole.
Per quanto riguarda la parte tecnica si deve ricordare che tutti i documenti tecnici, siano essi
certificati, rapporti di prova o relazioni tecniche, richiedono una presentazione dei dati
sperimentali.
Tramite la presentazione dei dati sperimentali è possibile il trasferimento dell'informazione
ottenuta con le operazioni di misura ed elaborata dall'analisi dei risultati. È molto importante
che nessuna parte dell'informazione vada perduta, e che la presentazione indichi con
immediatezza il reale significato dei dati sperimentali.
Il lettore riceve da tale presentazione il primo impatto. Se la presentazione non è corretta, può
esterne fuorviato, come dalla presentazione di un disegno fuori scala, e quindi conservare
un'informazione distorta di quanto presentato nel documento tecnico.
L'importanza dell'incertezza per definire l'informazione ottenuta con una misurazione si
ripercuote su tre parti molto importanti:
1)
una parte legata alla disseminazione delle unità del sistema di misura S. I., che ci
consente di definire il concetto di riferibilità;
2)
una parte necessaria per consentirci di calcolare la stima dell'incertezza da associare
alla misura;
RifMis.doc
8/35
06/02/01
3)
una parte, infine, che potremmo definire "calligrafica", che descrive le regole per
presentare i dati sperimentali, in forma numerica o mediante grafici, in modo da fornire
automaticamente l'indicazione dell'incertezza associata.
4.1. Forme di presentazione dei dati sperimentali
Come è possibile trasferire questi concetti nelle rappresentazioni dei dati sperimentali
necessarie per poter trasmettere compiutamente l'informazione di misura?
Una ipotesi di lavoro può essere utile:
I risultati sperimentali devono essere presentati a misura d'incertezza
Un esempio può chiarire questo concetto: per valutare una forza F che giace in un piano
vengono misurate le sue due componenti ortogonali F1 = 4.23 N ed F2 = 7.38 N. Il valore
richiesto viene calcolato immediatamente come F = (F1² + F2 ²)½ = 8.506309 N.
Con una banale calcolatrice tascabile si è riusciti nella miracolosa operazione di migliorare la
risoluzione dei dati sperimentali (un centesimo di newton) fino ad un milionesimo di newton!
Ciò, evidentemente, non è corretto, e fornisce al lettore una indicazione falsa della situazione.
Ci potrebbe essere, e talvolta è accaduto che ci sia stato, un litigio per differenze sulla terza
cifra decimale, che non è significativa.
Per fornire un'indicazione corretta nella presentazione della misura, il risultato matematico
ottenuto deve essere arrotondato in modo da non aumentare la risoluzione.
Si deve scrivere F = 8.51 N.
La presentazione dei dati sperimentali deve essere fatta a dimensione della risoluzione di
misura, in modo tale, cioè, da consentire al lettore di avere un'indicazione immediata della
sola parte significativa del risultato di misura.
Ciò si ottiene adottando opportunamente alcune regole che sono contenute nell'appendice 1.
5. L A VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA
La misura di una grandezza dipende, oltre che dalla grandezza stessa, da un certo numero di
altre grandezze e da parametri strumentali del sistema di misura.
Esaminiamo alcuni esempi:
1)
La lunghezza di un manufatto. È ben noto che la lunghezza di un manufatto varia al
variare della temperatura e delle forze applicate. Varia anche, con la temperatura e
con l'entità delle forze applicate, la lunghezza della struttura che porta il trasduttore di
spostamento e, in linea di principio, la scala stessa del trasduttore di spostamento;
2)
La misura di temperatura con un termometro a dilatazione. La temperatura dell'oggetto
misurato varia per il calore assorbito dal termometro stesso. Il risultato dipende dalla
differenza di dilatazione del liquido contenuto nel termometro e del termometro stesso,
quindi risente della distribuzione di temperatura lungo l'intero termometro;
3)
La misura di pressione. La pressione di un fluido può variare notevolmente con la
temperatura. Inoltre la differenza di pressione tra il punto in cui si desidera conoscere
la pressione ed il punto in cui è posto il sensore dipende dalla pressione statica della
RifMis.doc
9/35
06/02/01
colonna di fluido tra i due punti, quindi dalla differenza in altezza e dalla densità del
fluido.
5.1 Errori di misura
Il primo passo per valutare l'incertezza consiste nel definire i principi fisici che sono alla base
delle operazioni di misurazione, individuando, per quanto necessario, i fattori che possono
produrre una variazione sul risultato.
5.1.1 Gli errori sistematici
In genere si possono individuare un certo numero di fattori di entità tale da produrre un ben
definito effetto sul risultato della misurazione. Tali fattori producono i cosiddetti errori
sistematici, che, essendo calcolabili, in generale vengono evitati, corretti o compensati.
Tali operazioni di sc hermatura, correzione o compensazione non sono però complete. Nel
caso della misura di lunghezza, ad esempio, si potrebbe fare una correzione completa
conoscendo esattamente la distribuzione di temperatura sul pezzo misurato e sullo
strumento di misura, la distribuzione dei coefficienti di dilatazione termica e, nel caso di
coazione meccanica, di elasticità ed infine, un algoritmo esatto per calcolare gli effetti
sistematici sul risultato di misura.
Ciò non è, evidentemente possibile, per cui, a valle delle correzioni, rimane sempre un
residuo degli errori sistematici che non può essere valutato completamente, quindi assume
un carattere accidentale.
5.1.2 Gli errori accidentali
Oltre ai residui presenti dopo la correzione degli errori sistematici, sono presenti gli effetti di
altri fattori, di entità tanto piccola da non essere chiaramente determinabile, che producono
piccoli errori.
I residui degli errori sistematici ed i piccoli errori prodotti dai fattori di entità tanto piccola da
non essere noti, sono detti errori accidentali.
Il carattere casuale degli errori accidentali richiede che per essi venga fatta una trattazione
per via statistica. Quando si può ritenere che le cause di errore siano piccole, numerose e
che agiscano sia in senso positivo, sia in senso negativo, si può applicare la statistica di
Gauss.
Esistono, però, anche fattori di tipo accidentale che producono effetti di entità elevata.
Ad esempio, se il collega sbatte la porta durante una misurazione, la causa è accidentale, ma
l'effetto potrebbe essere di entità elevata. Se non si è presenti al fatto, esaminando la serie
dei risultati si potrebbe trovare un dato il cui valore si discosta molto dagli altri in modo non
giustificato.
Questi errori accidentali di entità elevata non devono essere trattati con la statistica
gaussiana, ma eliminati con un criterio di esclusione (ad esempio criterio di Chauvenet) [4]
5.2 Errori ed incertezza
Deve essere ben chiaro che tra errore ed incertezza vi è una profonda differenza: gli errori
sistematici vengono evitati eliminandone la causa (schermatura) o corretti o compensati.
RifMis.doc
10/35
06/02/01
L'incertezza è quanto rimane di possibile variabilità del risultato dopo che esso è stato ripulito,
per quanto possibile, dagli effetti indesiderati sulla misura. Si comprende bene che le
incertezze non possono essere eliminate.
La caratteristica aleatoria delle incertezze richiede l'uso di metodi statistici per la loro
trattazione. Tuttavia spesso alcuni contributi dell'incertezza sono presenti nei dati sperimentali
a disposizione con una base statistica molto limitata, o addirittura come dato unico, per cui il
ricorso a metodi statistici non è possibile. La suddivisione della trattazione dei contributi
dell'incertezza nella metodologia statistica ed in altri metodi porta alla classificazione di
contributi dell'incertezza di categoria A e di categoria B.
6. I NCERTEZZA TIPO DI CATEGORIA A
La parte dell'incertezza che viene determinata con metodi statistici, utilizzando i dati delle
prove replicate 1, viene definita incertezza di categoria A.
Tale parte d'incertezza è evidentemente collegata ai fattori accidentali contenuti nelle
replicazioni delle misurazioni, ma si evita di chiamarla "incertezza accidentale" per non
generare un parallelo con le due categorie degli errori, sistematici ed accidentali, che
porterebbe alla contraddizione in termini della dizione "incertezza sistematica".
L'incertezza di categoria A tiene conto dei contributi dell'incertezza causati dai fattori che
possono aver prodotto le variazioni dei risultati nelle misurazio ni replicate.
Ad esempio, nel caso della misura dimensionale (Appendice A), è abbastanza semplice
replicare le misurazioni in condizioni di temperatura variabile. L'effetto della variazione di
temperatura sarà reso evidente dalla dispersione dei risultati.
L'incertezza di categoria A è prodotta dal contributo di numerosi fattori di piccola entità, che
possono produrre variazioni positive o negative. In tal caso si dimostra che la dispersione dei
risultati è descritta teoricamente dalla distribuzione di Gauss, detta anche distribuzione
normale. Il valore più probabile del risultato si ottiene dalla media µ, che è stimata con il
calcolo di m :
n
m=
∑x
i =1
i
n
La variabilità dei risultati viene, quindi, determinata dalla deviazione standard o scarto tipo σ,
stimata con il calcolo di s:
n
s=
∑( x
i =1
i
− m) 2
n−1
1
Possono essere classificati contributi di categoria A anche quelli prodotti da un’analisi statistica fatta da altri, ad
esempio le dichiarazioni d’incertezza contenute nei certificati di taratura.
RifMis.doc
11/35
06/02/01
Ciò è possibile, però, solo nell'ipotesi di distribuzione normale, che deve essere verificata.
Questo porta a un'importante conseguenza, poiché se l'ipotesi di distribuzione gaussiana
deve essere rifiutata, si può presumere che sia presente un fattore sistematico.
Un esempio mostrerà due metodi per valutare l'ipotesi di normalità della distribuzione dei dati
sperimentali riportati in tabella 1.
Per entrambi i metodi la prima cosa da fare è ordinare i dati in ordine crescente. Tale
operazione può essere fatta semplicemente realizzando uno spoglio dei dati sperimentali
(Fig. 5). Si segna su una retta una scala di valori, lasciando ampio spazio sia per i valori
inferiori, sia per quelli superiori, in tal modo non è necessario esaminare a fondo i dati per
trovare il valore minimo ed il valore massimo prima di dimensionare la scala. Si prendono i
valori dati dalla tabella dei risultati e si mette una crocetta nel posto corrispondente della
scala dei valori per ogni dato sperimentale. (quando il posto è già occupato da una o più
crocette, la crocetta si mette nella riga superiore, in modo da realizzare una specie di grafico
a colonne. In figura 5 sono rappresentate le crocette corrispondenti ai primi 30 dati
sperimentali. E opportuno completare, per esercizio, con le crocette corrispondenti agli ultimi
20 dati. Risulta poi facile, seguendo la scala dei valori, preparare una tabella con tutti i dati in
ordine crescente (Tab. 2).
Il metodo grafico di analisi della gaussianità dei dati sperimentali richiede, inoltre, il calcolo
delle frequenze relative cumulate dal numero d’ordine i, con la semplice formula (i-0,5)/n,
come mostrato nella stessa tabella 2. Sulla base dei dati così calcolati si può tracciare il
grafico della distribuzione relativa cumulata in funzione dei valori stessi dei dati sperimentali.
L'andamento di tale distribuzione assume, in genere, una forma ad S prossima a quella tipica
della distribuzione gaussiana (Fig.6a).
6.1 Normalità di una distribuzione sperimentale
Per valutare la normalità della distribuzione sperimentale si può utilizzare il grafico di
probabilità normale (GPN), che rappresenta la distribuzione cumulata teorica in una scala
deformata in modo da rappresentarla con una retta. Si possono utilizzare i fogli di GPN
prestampati, ma in tal caso bisogna riportare a mano i dati. Più comodo, nel caso i dati siano
stati inseriti in un foglio di calcolo elettronico, è calcolare mediante la funzione inversa della
distribuzione di Gauss normalizzata, i valori della variabile normalizzata z in funzione della
frequenza relativa cumulata, e rappresentare in un grafico z in funzione di x (Fig. 6b). In
entrambi i modi si può osservare, se la distribuzione dei dati è approssimativamente normale,
che il loro andamento sarà. Andamenti diversi da quello rettilineo evidenziano la presenza di
fattori sistematici [5]. La forma grafica non fornisce un criterio rigoroso di valutazione, ma
consente di desumere dall'andamento le possibili cause di non-normalità della distribuzione
sperimentale.
Nel caso si vogliano adottare metodi numerici, è possibile applicare il test del χ². A tale scopo
la distribuzione di frequenza si deve dividere in classi. Per ogni classe, usando la
distribuzione di Gauss cumulata si deve calcolare la frequenza assoluta teorica ed infine
calcolare il χ² e confrontarlo con la tabella dei valori teorici [6]. Se risulta accettabile l'ipotesi di
normalità, è possibile collegare il valore dello scarto tipo σ con un livello di fiducia
dell'accettazione (ad esempio 2 σ => 95%).
6.1.1 Normalità di una distribuzione sperimentale di valori medi
Nel caso la misura sia stata determinata mediando i risultati ottenuti da almeno 5 replicazioni
della misurazione, non è necessario valutare la normalità, poiché la combinazione stessa dei
RifMis.doc
12/35
06/02/01
vari contributi nella media rende quest'ultima normale, qualunque sia la distribuzione dei
singoli dati.
In tal caso la stima sm dello scarto tipo della distribuzione delle medie di campioni di
numerosità n è calcolata facilmente dalla stima s della distribuzione dei dati singoli mediante
la formula:
sm =
RifMis.doc
13/35
s
n
06/02/01
ESEMPIO
Tab. 1. Misure sperimentali della lunghezza x
N.
[mm]
N.
[mm]
N.
[mm]
N.
[mm]
N.
[mm]
1
9.2967
11
9.3017
21
9.2991
31
9.3017
41
9.3016
2
9.3012
12
9.3011
22
9.2997
32
9.3006
42
9.3007
3
9.3009
13
9.3007
23
9.2988
33
9.3027
43
9.3017
4
9.29 77
14
9.2985
24
9.3005
34
9.3016
44
9.3002
5
9.2988
15
9.3017
25
9.3020
35
9.3018
45
9.3000
6
9.2986
16
9.2996
26
9.3001
36
9.3010
46
9.3019
7
9.3007
17
9.2999
27
9.3003
37
9.2994
47
9.3028
8
9.3003
18
9.3023
28
9.3018
38
9.3038
48
9.3009
9
9.2997
19
9.3008
29
9.3024
39
9.3000
49
9.3017
10
9.2995
20
9.3025
30
9.2990
40
9.3012
50
9.3041
|-------------------------------------------------------------------------------|
|
|
|
|
|
x
x
x
x
x
|
|
x
x
xx x xx
xxx x x x x xxx xx
xx x x x
x
|
|....,....|....,....|....,....|....,....|....,....|....,....|....,....|....,....|
60
70
80
90
00
10
20
30
40
Fig. 5
Rappresentazione grafica dei primi 30 dati. Nella scala sono riportate solo le ultime
due cifre dei dati. Completarla per esercizio e costruire la tabella dei dati ordinati
(Tab. 2)
Tab. 2. Misure sperimentali della lunghezza x ordinate e
frequenza relativa cumulata Fc= (i - ½
)/n
i
x [mm]
Fc
i
x [mm]
Fc
i
x [mm]
Fc
i
x [mm]
Fc
i
x [mm]
Fc
1
9.2967
0.01
11
9.2996
0.21
21
9.3005
0.41
31
9.3012
0.61
41
9.3018
0.81
2
9.2977
0.03
12
9.2997
0.23
22
9.3006
0.43
32
9.3012
0.63
42
9.3019
0.83
3
9.2985
0.05
13
9.2997
0.25
23
9.3007
0.45
33
9.3016
0.65
43
9.3020
0.85
4
9.2986
0.07
14
9.2999
0.27
24
9.3007
0.47
34
9.3016
0.67
44
9.3023
0.87
5
9.2988
0.09
15
9.3000
0.29
25
9.3007
0.49
35
9.3017
0.69
45
9.3024
0.89
6
9.2988
0.11
16
9.3000
0.31
26
9.3008
0.51
36
9.3017
0.71
46
9.3025
0.91
7
9.2990
0.13
17
9.3001
0.33
27
9.3009
0.53
37
9.3017
0.73 47
9.3027
0.93
8
9.2991
0.15
18
9.3002
0.35
28
9.3009
0.55
38
9.3017
0.75
48
9.3028
0.95
9
9.2994
0.17
19
9.3003
0.37
29
9.3010
0.57
39
9.3017
0.77
49
9.3038
0.97
10
9.2995
0.19
20
9.3003
0.39
30
9.3011
0.59
40
9.3018
0.79
50
9.3041
0.99
RifMis.doc
14/35
06/02/01
Distriibuzione cumulata
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
9,296
9,298
9,300
9,302
9,304
9,306
x/mm
Fig. 6a Grafico della distribuzione sperimentale cumulata relativa
G. P. N.
3,0
2,0
1,0
0,0
-1,0
-2,0
-3,0
9,296
9,298
9,300
9,302
9,304
9,306
x/mm
Fig. 6b Grafico di probabilità normale
6.2 Conclusioni sull'incertezza tipo di categoria A
L'incertezza di categoria A è quella parte dell'incertezza che viene calcolata con metodi
statistici dalla distribuzione dei risultati.
Essa è solo una parte dell'incertezza globale, poiché reca solo testimonianza di quei fattori
che sono variati durante le replicazioni delle misurazioni fatte nel corso della valutazione
dell'incertezza.
RifMis.doc
15/35
06/02/01
Essa, inoltre, reca testimonianza solo dell'ampiezza di variazione dei fattori presente nel
corso delle replicazioni delle misurazioni fatte nel corso della valutazione dell'incertezza.
Bisogna porre molta attenzione, poiché se le prove di valutazione dell'incertezza non
contengono alcuni dei fattori presenti nei normali cicli di misura, o li contengono con
ampiezza di variazione significativamente inferiore, la stima dell'incertezza di categoria A così
ottenuta è errata. Ad esempio, una situazione molto comune è legata all’effetto della
temperatura. Di solito le operazioni di taratura degli strumenti vengono fatta in ambienti a
temperatura controllata con stretti intervalli di variabilità, mentre l’uso sul campo o anche in
officina implica variazioni di temperatura che possono essere ampie. È evidente che
l’incertezza di categoria A determinata nel corso della taratura e contenuta nella dichiarazione
d’incertezza espressa sul certificato non contiene affatto l’effetto delle variazioni di
temperatura, se non nell’entità limitata presente nel corso della taratura. L’effetto delle più
ampie variazioni di temperatura presenti nella normale utilizzazione deve, quindi essere
valutata separatamente, e ciò spesso viene fatto sulla base delle informazioni sul
comportamento dello strumento come contributo d’incertezza di categoria B.
7. I NCERTEZZA TIPO DI CATEGORIA B
Se si potessero far variare casualmente tutti i fattori da cui la misura dipende il valore totale
dell'incertezza sarebbe calcolabile con metodi statistici, e quindi sarebbe un'incertezza di
categoria A.
Si esamini, ad esempio, un tipico elenco di possibili cause d'incertezza riportato in tabella 3.
Tab. 3. Elenco di possibili cause d'incertezza
Dispersione dei risultati sperimentali
Definizione incompleta della grandezza
misurata o sua inadeguata realizzazione
Incompleta correzione degli effetti delle
grandezze d'influenza dovuta
all'inadeguata conoscenza del loro
effetto e all'incertezza nella loro misura
Definizione incompleta del misurando o
sua inadeguata realizzazione
Effetti dovuti al sistema di misura
(modifica del misurando dovuta alla
presenza dell'operatore e del sistema di
misura o all'azione stessa della
misurazione)
Risoluzione di lettura
Incertezza nel valore di costanti
universali o di altri parametri che
intervengono nel calcolo del valore del
misurando
Errori dovuti all'operatore
Incertezza nel riferimento ai campioni
nazionali
Isteresi e derive legate al ciclo subito dal
misurando durante la misurazione
Approssimazioni su cui si basa il metodo
di misura
Campione non rappresentativo del
misurando
Nella colonna di sinistra vi sono un certo numero di fattori che variano naturalmente durante
le replicazioni o che possono essere fatti variare con una certa facilità, per cui il loro effetto
RifMis.doc
16/35
06/02/01
può essere valutato mediante la stima dell'incertezza di categoria A. Nella colonna di destra,
invece, ci sono fattori che, in genere, non variano durante le replicazioni di misura, e sarebbe
oltremodo difficile farli variare.
Per tener conto dei contributi dei fattori che non sono variati durante le replicazioni delle
misurazioni, bisogna stimare l'incertezza di categoria B
7.1 Calcolo della stima dell'incertezza tipo di categoria B
Il concetto base che giustifica il metodo di calcolo adottato per stimare le incertezze di
categoria B è legato a quanto già visto, cioè al fatto che l'unione dei contributi di fattori
numerosi, pressoché equivalenti e non polarizzati (atti, cioè, a produrre variazioni in ogni
direzione) produc e una distribuzione gaussiana.
Per l'incertezza di categoria A è stata sfruttata la variazione con le replicazioni dei vari fattori.
Per l'incertezza di categoria B si ritiene che la presenza contemporanea di diversi fattori
porti ad una combinazione statistica dei loro effetti.
Essendo, cioè, improbabile che tutti i fattori agiscano per il loro valore massimo, la stima del
loro contributo congiunto viene fatta determinando per ogni fattore un valore ui, detto
incertezza tipo2 di categoria B, corrispondente ad uno scarto tipo equivalente, in modo da fare
poi una combinazione statistica con i contributi dell'incertezza di categoria A mediante la
legge di propagazione dell'incertezza.
7.1.1 Alcuni casi tipici
Nel fare le misurazioni usiamo uno strumento che non cambia durante le replicazioni. In certi
casi il certificato di taratura delle strumento è solo un certificato di conformità a norma, non ci
dice, cioè i dati sperimentali rilevati durante la taratura, ma dichiara solo l'appartenenza ad
una certa classe di precisione, ad esempio classe 1%.
Analogamente, se il calcolo della misura richiede l'inserimento di un parametro del materiale
(coefficiente di dilatazione termica, modulo elastico, ecc.) per esso prendiamo valori tabellari
a cui è assegnato un campo di variabilità senza ulteriori specificazioni.
Possiamo schematizzare tre casi tipici:
1)
non si conosce nulla della distribuzione dei possibili risultati nell'ambito del campo di
variabilità dichiarato. In questo caso si assume che la distribuzione sia rettangolare di
3
ampiezza ±b , quindi lo scarto tipo equivalente è
b
3
si ha ragione di ritenere che i risultati presso il valore medio siano più probabili
rispetto a quelli verso gli estremi. In questo caso si assume che la distribuzione sia
triangolare di ampiezza ±b, quindi lo scarto tipo equivalente è
u=
2)
2
La UNI CEI ENV 13005 utilizza il simbolo u per l’incertezza tipo, invece del simbolo s usato generalmente in
statistica per lo scarto tipo, per sottolineare come tali valori, pur essendo numericamente uguali, sono
concettualmente diversi per la presenza di contributi di categoria B nella valutazione dell’incertezza tipo.
3
Si preferisce qui utilizzare la lettera b per sottolineare l’appartenenza alla categoria B. Tale simbolo non è
normalizzato, e spesso in altre pubblicazioni, come la stessa norma UNI CEI ENV 13005 è usata la lettera a.
RifMis.doc
17/35
06/02/01
u=
3)
b
6
il fenomeno che determina la variazione del parametro ha andamento sinusoidale,
quindi con probabilità più alta verso gli estremi. In questo caso si assume che la
distribuzione sia ad U di ampiezza ± b, quindi lo scarto tipo equivalente è
u=
b
2
7.2 Conclusioni sulle incertezze standard di categoria B
Le incertezze di categoria B derivano dai fattori che non sono variati durante le replicazioni
delle misurazioni, quindi il loro effetto non può essere calcolato statisticamente.
Sull'effetto di tali fattori si possiede solo un'informazione limitata che indica un generico
campo di variabilità di ampiezza ± b.
Il valore b della semi ampiezza del campo di variabilità viene trasformato in un valore u di
scarto tipo equivalente adottando un'ipotesi della forma della distribuzione.
In generale si utilizza la distribuzione rettangolare, che porta a:
b
3
Molto raro è l'uso della distribuzione triangolare, che porta a:
u=
u=
b
6
Nel caso di fenomeni con andamento sinusoidale (ad esempio l’effetto di oscillazioni,
vibrazioni, variazioni di temperatura su lunghi periodi che implichino almeno la variazione
diurna-notturna) si assume una distribuzione ad U, che porta a:
u=
b
2
8. L A LEGGE DI PROPAGAZIONE DELL'INCERTEZZA TIPO
La grandezza misurata Y dipende, come si è visto, da un certo numero di grandezze Xi che
vengono misurate direttamente o che, in qualche modo, influenzano la grandezza che si
vuole misurare.
Si può dire che esiste una relazione:
Y = F(X1 , ... ,Xi, ... , Xn )
RifMis.doc
18/35
06/02/01
Ad esempio per la misura della lunghezza (che è definita alla temperatura di 20°C)
L = Lt [1- α (t - 20)]
Per il calcolo del valore di misura y dalle grandezza Y e delle correzioni da applicare si
utili zzano i valori di misura xi delle grandezze Xi:
y = F(X1 , ... , Xi, ... , Xn )
Nel caso della lunghezza si deve misurare Lt e t, ed assumere un valore di α dalle tabelle
sulle proprietà fisiche dei materiali.
8.1 Un caso molto comune di propagazione dell'incertezza
Molto spesso le variabili xi che compaiono nella funzione che descrive gli effetti di diversi
fattori sul risultato di misura, specialmente quando i fattori sono le grandezze di disturbo che
producono piccole variazioni casuali del risultato stesso, sono tra di loro indipendenti. In tal
caso la legge di propagazione dell'incertezza assume una forma molto semplice:
2
∂ F 2
 u ( xi )
u ( y) = ∑ u ( y) = ∑ 
i =1
i =1  ∂ x i 
2
n
n
2
i
ove si è usata la notazione della guida ISO u2(y) per la varianza, cioè il quadrato della
incertezza tipo u(y), equivalente allo scarto tipo:
var (y) = u² (y)
var (x i) = s² (x i)
oppure var (x i) = u² (x i)
Nel nostro caso abbiamo già calcolato i valori degli scarti tipo s(x i) (incertezze di categoria A)
ed u(x i) (incertezze di categoria B).
 ∂F 

 ∂x i 
Restano da calcolare i coefficienti di sensibilità rappresentati dalle derivate parziali 
8.2 Valutazione dei valori dei coefficienti di sensibilità
I coefficienti di sensibilità possono essere valutate in tre modi:
1.
se la funzione y = F(x1 , ... , x i, ... , x n) è nota si può utilizzare il metodo analitico
RifMis.doc
19/35
06/02/01
2.
3.
se la funzione y = F(x 1 , ... , x i, ... , x n) è nota ma complessa, e se il calcolo è fatto in
modo automatico, si può calcolare facilmente il rapporto incrementale e approssimare:
 ∂ F   ∆y 

 ≈ 

 ∂x i   ∆xi 
se la funzione y = F(x 1, ... , x i, ... , x n ) non è nota (ad esempio misurazioni come
durezza, resilienza ecc. definite solo da una procedura) è necessario determinare
sperimentalmente le differenze finite, valutando le differenze di y corrispondenti a
piccole variazioni delle diverse x i
9. I L LIVELLO DI FIDUCIA E L'INCERTEZZA ESTESA
Se esaminiamo la figura 5 con la distribuzione cumulata dei dati sperimentali, vediamo che
tale distribuzione non è limitata ad un intorno definito di valori di misura. Teoricamente la
dispersione dei risultati è dovuta al contributo di effetti di piccola entità, ma, essendo essi
numerosi, nulla esclude che il gioco del caso li porti tutti ad agire nella stessa direzione e
quindi a produrre una variazione totale molto grande, teoricamente infinita.
La statistica non consente, quindi, di definire un'ampiezza finita della banda d'incertezza tale
da contenere tutti i possibili dati sperimentali.
Per definire un'ampiezza finita è necessario che sia stabilito, a priori, il livello di fiducia, cioè la
percentuale dei risultati che si vuole cadano al suo interno [3].
Si noti che se, ad esempio, si intende operare a livello di fiducia 95%, come nel normale uso
metrologico, si accetta che nel 5% dei casi i risultati cadano al di fuori della banda
d'incerte zza stabilita. Il costo o il danno conseguente ad una misura fuori dalla banda
d'incertezza dichiarata possono essere valutati solo in base all'applicazione della misura
stessa. Se essa coinvolge fattori inerenti la sicurezza, potrebbe essere necessario richiedere
un più alto livello di fiducia.
In ogni caso il livello di fiducia deve essere stabilito dall'utilizzatore della misura, e non
dal metrologo!
Tuttavia, poiché all’atto della misurazione le conseguenze di misurazioni al di fuori del campo
d’incertezza dichiarato non sono note, convenzionalmente viene assunto il livello di fiducia del
95%. L’utente con questa informazione, meglio se associata all’informazione dei gradi di
libertà coinvolti nella valutazione dell’incertezza dichiarata, potrà ricalcolare l’intervallo
d’incertezza al livello di fiducia che è richiesto per l’applicazione specifica.
9.1 Stima dell'incertezza estesa
Nei paragrafi precedenti si è parlato di incertezza tipo di categoria A o B. Con tale termine,
come si è visto, si intende un valore assimilabile allo scarto tipo.
9.1.1 Distribuzione gaussiana
Nel caso di distribuzione gaussiana con scarto tipo σ e media µ dato il livello di fiducia, è
possibile determinare con opportune tabelle un fattore z che consente di calcolare l'incertezza
estesa:
µ - zσ < y < µ + zσ
RifMis.doc
20/35
06/02/01
nella pratica, avendo calcolato dai dati sperimentali la stima s dello scarto tipo ed m del valore
medio, s i avrà:
m - zs < y < m + zs
9.1.2. Distribuzione di Student
Nel caso il valore dello scarto tipo sperimentale s e della media m sia stato calcolato sulla
base di pochi dati sperimentali, è più opportuno usare la tabella del t di Student, il cui valore
dipende dal numero di gradi di libertà e, come nel caso di z, dal livello di fiducia voluto.
L'intervallo d'incertezza saràdato da:
m - ts < y < m + ts
In generale non è difficile valutare il numero dei gradi di libertà per le grandezze Xi misurate
direttamente. Se lo scarto tipo è stato determinato con n misure replicate, poiché gli n dati
sono stati usati per determinare il valore m hanno perso un grado di libertà, per cui i gradi di
libertà totali saranno n-1. Nella tabella del t di Student il valore di t voluto sarà nella colonna
corrispondente al livello di fiducia imposto e nella riga corrispondente agli n-1 gradi di libertà.
Nel caso il contributo d’incertezza in esame sia di categoria B, l’informazione è di solito
fortemente consolidata, spesso basata su anni di esperienza, per cui ad essa si associano
infiniti gradi di libertà. Un consiglio utile è tenere conto di quanto sia consolidata
l’informazione sul campo di variabilità utilizzata per calcolare il contributi di categoria B. Nel
caso di informazioni fortemente consolidate (dati forniti in Qualità da produttori certificati o
tratti da manuali rinomati) ma si possono assegnare 100 gradi di libertà che nel calcolo sono
equivalenti ad infiniti gradi di libertà. Nel caso di informazioni mediamente consolidate (dati
forniti da produttori non certificati ma rinomati, interviste ad operatori esperti) si possono
assegnare 30 gradi di libertà. Nel caso, infine, di informazioni poco consolidate (interviste ad
operatori di limitata esperienza) si possono assegnare 15 gradi di libertà.
Nel caso, poi, della grandezza Y determinata mediante la misura di altre grandezze Xi,
ciascuna di esse misurata con ν i gradi di libertà, si deve calcolare il numero di gradi di libertà
ν y di y mediante la formula di Welch-Satterthwaite:
u 4 (y )
u 4 ( y)
=∑ i
νy
νi
10. CONCLUSIONI
La richiesta delle normative di riferibilità ai campioni nazionali implica l'adozione di ben
precise modalità volte a garantire la compatibilità delle misure tra committente, produttore e
parti terze. Per ottenere la compatibilità ed evitare, così , ogni ragione di contenzioso, è
necessario realizzare una catena ininterrotta di tarature tra il campione nazionale e lo
strumento di lavoro. La riferibilità, e quindi la compatibilità, è ottenuta solo se a ogni
successiva taratura viene calcolata correttamente l'incertezza, con le modalità previste dalla
Guida ISO [1]
11. RIFERIMENTI
[1] International Organisation for Standardisation (ISO) TAG 4/WG 3, International
Electrotechnical Commission (IEC), Bureau Internazional des Poids et Mesures (BIPM),
RifMis.doc
21/35
06/02/01
Organisation Internationale de Métrologie Légale, (OIML), International Union of Pure and
Applied Chemistry (IUPAC), International Union of Pure and Applied Physics, IUPAP),
International Federation of Clinical Chemistry, IFCC), "Guide to the expression of
uncertainty in measurement", 1993 (Tradotta nella norma UNI CEI 9, ora UNI CEI ENV
13005)
[2] Bich
W. La valutazione delle incertezze di misura, SIT, Servizio di Taratura in Italia, Convegno
annuale 1995, pp. 52-55
[3] ISO TAG 4/WG 3, "Guide to the expression of uncertainty in measurement", pp.23-24
[4] Bray A., Vicentini V., “Meccanica Sperimentale”, Ed. Levrotto e Bella –Torino, 1975,
pp.616-618
[5] Bray A., Vicentini V., “Meccanica Sperimentale”, Ed. Levrotto e Bella –Torino, 1975,
pp.602-605
[6] Bray A., Vicentini V., “Meccanica Sperimentale”, Ed. Levrotto e Bella –Torino, 1975,
pp.614-615
RifMis.doc
22/35
06/02/01
APPENDICE 1. LA PRESENTAZIONE DEI DATI SPERIMENTALI
Per la presentazione dei dati sperimentali, sia in modo numerico, sia in modo grafico, si
devono utilizzare alcune regole che sono qui descritte.
A.1 LA PRESENTAZIONE DEI DATI NUMERICI
Dal punto di vista numerico si deve fare in modo che la cifra meno significativa
espressa corrisponda, come ordine di grandezza, all'intervallo d'incertezza.
Ciò viene quasi sempre fatto automaticamente quando si riportano i dati sperimentali.
infatti gli strumenti stessi sono costruiti in modo che la risoluzione di lettura coincida, come
ordine di grandezza, con l'intervallo d'incertezza. Inoltre, se, ad esempio, sullo strumento si
legge 2.0503 nessuno penserà mai di scrivere 2.050324, oppure solo 2., troncando
impropriamente il dato numerico.
Il troncamento viene talvolta erroneamente applicato quando le cifre decimali sono uguali a
zero, ad esempio per l'indicazione 1.0200, che viene scritta 1.02 troncando erroneamente la
parte decimale nulla e perdendo così l'informazione della reale risoluzione strumentale.
Il numero 1.02 reca l'informazione di un valore variabile tra 1.01 ed 1.03, mentre il numero
1.0200 significa che il valore è variabile tra 1.0199 e 1.0201.
Più attenzione deve essere posta quando i risultati vengono, invece, successivamente
elaborati.
Si deve cercare di rappresentare i risultati con il numero di cifre signi ficative adeguato per il
corrispondente intervallo d'incertezza. Senza dover a tale scopo utilizzare a fondo i metodi del
calcolo dell'incertezza, è opportuno almeno adottate alcune semplici regole:
- nel caso di addizioni e sottrazioni viene conservato il numero di cifre decimali
minore tra gli operandi;
- nel caso di moltiplicazioni e divisioni viene conservato il numero di cifre
significative minore tra i due termini.
Operando in tal modo si potranno scrivere con adeguata correttezza i numeri che
rappresentano i risultati di misura.
Esempio 1
Si debba determinare il valore di c = a - b dalle misure di a e b:
a = 128.35 b = 110.15 c = 18.20 e non c = 18.2
Esempio 2
Si debba determinare il valore di c = a*b dalle misure di a e b:
a = 128.35 b = 22.5 c = 2.89· 103 e non c = 2887.875
infatti b ha solo tre cifre significative.
Si sottolinea inoltre la necessità di usare gli opportuni multipli e sottomultipli delle unità di
misura, oppure, come nell'esempio la moltiplicazione per le potenze di dieci in modo che
vengano rappresentate solo le cifre significative e non una serie di zeri che possono essere di
difficile lettura:
RifMis.doc
23/35
06/02/01
0.000245 m si scrive 0.245· 10-3 m oppure 0.245 mm
A.2 LA PRESENTAZIONE GRAFICA DEI DATI SPERIMENTALI
Innanzitutto è opportuno riportare alcune semplici regole di presentazione delle scale dei
grafici (Fig. 7).
Le indicazioni sugli assi devono avere lo stile tipico delle righe millimetrate:
suddivisione numerata ulteriormente suddivisa in intervalli più piccoli.
numeri in successioni di 1, 2 o 5 moltiplicati per le opportune potenze di dieci.
fattore di scala 1, 2 o 5 moltiplicato per opportune potenze di dieci.
Per comodità di lettura le divisioni, in particolare le divisioni numerate, non devono essere
molto fitte.
Fig. 7 Esempi di graduazioni degli assi di un grafico.
In riferimento all'incertezza della grandezza rappresentata, analogamente alla presentazione
numerica, anche per la presentazione grafica si deve cercare di utilizzare gli stessi criteri.
Quando è possibile l'incertezza dovrebbe venir espressa con opportuni simboli grafici
(rettangoli, ellissi, croci) che hanno dimensioni atte a rappresentarla.
Ma ciò, oltre ad essere laborioso, fa spesso perdere il colpo d'occhio sull'insieme, per cui
preziose informazioni di forma, che talvolta sono molto importanti per comprendere il
fenomeno studiato, vengono confuse e mascherate.
Nel caso della presentazione grafica si deve cercare di fare in modo che l'incertezza
possa essere rappresentata graficamente con segmenti della lunghezza di circa
0.5 ÷ 1 cm per grafici di formato UNI A4, ed in proporzione per grafici di dimensioni
diverse.
RifMis.doc
24/35
06/02/01
Infatti, nel caso la scala fosse tale da presentare l'incertezza con un segmento più lungo, si
porrebbero in evidenza variazioni ed irregolarità nell'andamento rappresentato che sono
molto piccole, anche più piccole dell'incertezza e quindi prive di reale significato. Nel caso
opposto, invece, verrebbero nascoste delle variazioni di andamento significative.
In entrambi i casi la presentazione non sarebbe chiara e completa.
Evitare la prima condizione è usualmente facile: con la scelta della scala opportuna è sempre
possibile ottenere un grafico delle dimensioni desiderate.
Spesso capita, invece, che i valori da rappresentare hanno risoluzione troppo elevata per
poter presentare l'intero andamento in una scala tale da rendere appena visibile l'incertezza.
TABELLA DEI DATI SPERIMENTALI ED ELABORATI
DI UNO STRUMENTO (DINAMOMETRO) CON RISOLUZIONE 0.01%
F
[N]
U
Ft
OIML Regr. 1
[mV/V] [N/(mV/V)] [mV/V]
[N]
0
0.0000
100
0.2000
200
S1
[N]
Regr. 2
[N]
S2
[N]
0.0000
0.0002
-2.4E-04
0.0000
3.4E-05
500.00
0.0000
0.2002
-2.0E-04
0.2001
-9.2E-05
0.4002
499.75
0.0002
0.4002
3.7E-05
0.4002
1.9E-05
300
0.6003
499.75
0.0003
0.6001
1.8E-04
0.6002
6.7E-05
400
500
0.8002
1.0003
499.88
499.85
0.0002
0.0003
0.8001
1.0000
1.2E-04
2.5E-04
0.8002
1.0002
-4.9E-05
7.2E-05
600
1.2002
499.92
0.0002
1.2000
1.9E-04
1.2002
2.9E-05
700
1.4000
500.00
0.0000
1.4000
3.3E-05
1.4001
-7.7E-05
800
1.5999
500.03
0.0000
1.5999
-2.8E-05
1.5999
-4.6E-05
900
1000
1.7998
1.9996
500.06
500.10
-0.0001
-0.0003
1.7999
1.9999
-8.9E-05
-2.5E-04
1.7998
1.9996
2.1E-05
2.4E-05
Il grafico con l'andamento globale del fenomeno esaminato può essere utile per dare
un'indicazione di base (Fig. 8). Non è però assolutamente rappresentativo di quei fenomeni
che hanno entità dell'ordine dello 0.1% o meno del campo rappresentato, entità spesso
importanti nel campo delle misure
Si noti come non sia possibile evidenziare l'andamento leggermente non lineare e le piccole
irregolarità di funzionamento. Se si dovessero rappresentare gli intervalli d'incertezza con
segmenti, la loro lunghezza sarebbe nettamente inferiore ad un decimo di millimetro.
Il metodo per presentare graficamente andamenti di tale tipo consiste nel rappresentare non
l'intero fenomeno, ma solo la sua differenza rispetto ad un modello ideale.
Per scegliere il modello si può far riferimento alle leggi fisiche che lo governano, quando
siano note, ma più spesso si utilizzano semplici funzioni matematiche, nella maggior parte dei
casi funzioni lineari o polinomiali di grado inferiore al quarto.
RifMis.doc
25/35
06/02/01
Un metodo molto in uso per rappresentare fenomeni lineari passanti per lo zero è quello del
"Fattore di Taratura". Il fattore di taratura Ft è dato dal rapporto tra l'ingresso e l'uscita, nel
nostro caso F/U. Se l'andamento del fenomeno fosse perfettamente lineare passante per
l'origine il fattore di taratura sarebbe costante.
La forma assunta dal grafico del fattore di taratura descrive compiutamente la caratteristica
del dinamometro. La non linearità viene evidenziata da una pendenza dell'andamento del
fattore di taratura, e l'errore di zero da un andamento iperbolico nella parte bassa della scala.
Infatti se la caratteristica fosse del tipo:
F = a + b· U + c· U²
il fattore di taratura sarebbe:
Ft = a/U + b+c· U
il termine a/U produce un andamento iperbolico nella parte bassa della scala ed il termine cU
la pendenza, maggiormente evidente nella parte alta della scala.
La limitata estensione in ordinata consente di scegli ere la scala in modo tale che la
risoluzione corrisponda alla lunghezza di alcuni millimetri, evidente ma non eccessiva (Fig. 9).
Andamento globale
2.0
Uscita [mV/V]
1.5
1.0
0.5
0.0
0
200
400
600
800
1000
Forza [N]
Fig. 8
Rappresentazione globale di un fenomeno misurato con risoluzione dell'ordine dello
0.1%. Si noti che la risoluzione è rappresentata da 1/1000 della divisione della scala
in ascissa, ed è completamente invisibile. Le deviazioni dalla linearità, pur presenti, e
le irregolarità di misura non risultano visibili.
RifMis.doc
26/35
06/02/01
Fattore di taratura
500.20
Ft [N/(mV/V)]
500.10
500.00
499.90
499.80
499.70
0.0000
0.5000
1.0000
1.5000
2.0000
Uscita
Fig. 9
Rappresentazione del fenomeno mediante il fattore di taratura. La presenza di un
errore di zero è evidenziata dall'andamento iperbolico dei valori inferiori, mentre la
non-linearità è evidenziata dall'andamento lineare non orizzontale dei valori superiori.
Sono evidenti anche le irregolarità di misura dovute a fattori accidentali. La
rappresentazione grafica fornisce la necessaria risoluzione, ma è distorta e deve
essere correttamente interpretata.
Andamento del fattore di taratura. Gli effetti di piccola entità sono messi in evidenza rispetto
all'andamento nominale costante del fattore di taratura: la pendenza nell'andamento indica
quindi la presenza di una non-linearità, mentre la curvatura iperbolica presso l'origine indica
un errore di zero. La rappresentazione è significativa ma distorta.
Si può scegliere in modo semplice come modello la retta passante per il valore minimo e il
75% dell'intervallo tra minimo e massimo (Fig. 10): è questa di solito una buona retta di
compenso per strumenti con caratteristica parabolica, e viene adottata, ad esempio,
dall'Organizzazione Internazionale di Metrologia Legale (OIML) come retta di riferimento delle
celle di carico utilizzate negli strumenti per pesare. La retta di compenso utilizzata è, in
genere, accettabile, ma non la migliore dal punto di vista statistico
Una scelta migliore della retta di compenso può essere ottenuto adottando il metodo dei
minimi quadrati, per determinare quella che viene chiamata retta di regressione.
Con tale metodo si possono ottenere modelli di rappresentazione più raffinati; si può cercare
di rappresentare il fenomeno nella sua parte sistematica in modo completo, ad esempio
adottando un modello di secondo grado se si riscontra che la parte non lineare ha un
and amento regolare.
Si possono usare, quindi, le curve di regressione rappresentate da equazioni algebriche, ad
esempio y = a + bx o y = a + bx + cx², con i parametri a, b e c tali da rendere minima la
somma dei quadrati degli scarti tra i valori y calcolati ed i corrispondenti valori yi sperimentali.
Il principio dei minimi quadrati è coerente con la statistica gaussiana, e quindi in grado di
indicarci quale è l'andamento più probabile filtrando gli effetti di dispersione dovuti a fattori
accidentali (Fig. 11).
RifMis.doc
27/35
06/02/01
Grafico OIML
Scarti Uscita [mV/V]
0.0004
0.0002
0.0000
-0.0002
-0.0004
0
200
400
600
800
1000
Forza [N]
Fig. 10 Rappresentazione del fenomeno rispetto ad una retta di compenso arbitraria. In
questo caso è stata scelta come retta di compenso quella passante per l'origine e per
il punto della caratteristica al 75% della portata, metodologia scelta dall'OIML per le
celle di carico.
Metodo dei minimi quadrati
0.0003
1° Grado
Scarti Uscita [mV/V]
0.0002
0.0001
0.0000
2° Grado
-0.0001
-0.0002
-0.0003
0
200
400
600
800
1000
Forza [N]
Fig. 11 Andamento del fenomeno rappresentato dai residui rispetto alle linee di regressione
polinomiali di primo e secondo grado. Si noti come nel caso di primo grado si evidenzi
la non-linearitàcome fattore sistematico, corretto dalla regressione di secondo grado.
RifMis.doc
28/35
06/02/01
Il calcolo delle curve di regressione è oggigiorno semplice: la retta di regressione può essere
calcolata automaticamente con gran parte delle calcolatrici tascabili e le curve di grado
superiore si calcolano senza problemi con i moderni fogli di calcolo elettronici per personal
computer.
Gli scarti rispetto alla regressione indicano le differenze rispetto ad andamenti espressi da
polinomi di I e II grado. Anche in questo caso gli effetti di piccola entità sono messi bene in
evidenza, ma bisogna evi tare l'errore di utilizzare lo strumento matematico fino ad eliminare
ogni effetto dell'incertezza. Visto l'andamento regolare degli scarti rispetto al primo grado si è
applicata la regressione di secondo grado. Non è evidentemente possibile procedere oltre.
RifMis.doc
29/35
06/02/01
APPENDICE 2. UN ESEMPIO DI CALCOLO DELL'INCERTEZZA
MISURA DELL’OVALIZZAZIONE DI UN TUBO SOTTILE FATTO CON MICROMETRO PALMER
CENTESIMALE
Si vuole pianificare la valutazione dell’ovalizzazione di un manufatto cilindrico, misurandone
di due diametri ortogonali con un micrometro Palmer. Si assume come misura
dell’ovalizzazione la differenza tra i due diametri misurati.
Le condizioni di lavoro sono:
Strumentazione:
Micrometro Palmer con scala analogica centesimale, dotato di dichiarazione di conformitàalla
norma UNI 5708 “Micrometri per esterni”. Forza di compressione all’atto della misura ≈ 3 N
Condizioni Ambientali:
Ambiente schermato ma non condizionato, temperatura media 25°C, campo di variazione
naturale delle temperatura ±2°C
Misurando:
Diametri di un anello cilindrico in alluminio di diametro ≈ 46 mm vincolato sul un diametro B.
Rigidezza sul diametro vincolato KB = (2,0 ± 0,2) kN/mm, rigidezza sul diametro non vincolato
KA = (0,20 ± 0,02) kN/mm
Modelli utilizzati per la misura dei diametri:
Per costruire il modello matematico della misurazione si tiene conto che il risultato finale
dipende:
§
§
§
§
§
§
§
§
§
dai valori di lettura del micrometro DAm e D Bm
dallo zero del micrometro z
dalla tolleranza di norma sulla scala del micrometro Tm
dalla risoluzione del micrometro r
dal coefficiente di dilatazione termica del pezzo α
dal coefficiente di dilatazione termica del micrometro β
dalla differenza ∆t rispetto alla temperatura di riferimento di 20°C
dalla forza di contatto all’atto della misura F
dalle rigidezze del pezzo misurato KA e K B.
Tenendo conto dei fenomeni di dilatazione termica e di deformabilità meccanica si può
scrivere:
DA = (D Am – z ± Tm ± r/2)(1 - α∆t + β∆t) + F/K A
DB = (D Bm – z ± Tm ± r/2)(1 - α∆t + β∆t) + F/K B
La preparazione del modello di misura è molto importante, come si vedrà in seguito, e deve
essere fatta da persone esperte del tipo specifico di misura, che conoscono le peculiarità
della misurazione, i fenomeni fisici che ne stanno alla base, le grandezze d'influenza che
possono produrre variazioni significative del risultato. Compito, invece, di chi gestisce
l’organizzazione dell’attività di misura è rendersi conto se il modello rappresenta le reale
situazione.
RifMis.doc
30/35
06/02/01
Si nota ora che le misure dell’errore sullo zero z, di DAm e di DBm sono facilmente replicabili,
mentre le altre variabili indipendenti, cioè la tolleranza di norma Tm, la risoluzione r, i
coefficienti di dilatazione termica α e β, la differenza di temperatura ∆t rispetto alla
temperatura di riferimento di 20°C, la forza di misura F e le rigidezze del pezzo KA e KB non
sono replicabili o, quanto meno, non sono replicabili in modo efficiente.
Per pianificare il processo di misura è necessario valutare la variabilità del risultato
associabile a ogni fattore preso in considerazione. Per quelle facilmente replicabili si può
valutare l’incertezza di categoria A. Poiché le replicazioni delle misurazioni costano, è
opportuno decidere che numero di replicazioni sia effettivamente utile. Ciò viene fatto con
un’attività di indagine iniziale approfondita, quindi sulla base di un numero relativamente
elevato di prove.
Dati sperimentali
Diametro A (libero)
Operatore
N.
A
B
C
D
1
45,937
45,932
45,933
45,933
2
45,937
45,935
45,937
45,930
3
45,935
45,936
45,933
45,931
Media
45,936
45,934
45,934
45,931
Scarto tipo
0,001
0,002
0,002
0,002
Media globale
45,934
Scarto tipo globale
0,002
Diametro B (bloccato)
Operatore
N.
1
45,956
45,96
45,959
45,958
2
45,955
45,959
45,961
45,956
3
45,954
45,958
45,958
45,958
Media
45,955
45,959
45,959
45,957
Scarto tipo
0,001
0,001
0,002
0,001
Media globale
45,958
Scarto tipo globale
0,002
RifMis.doc
31/35
06/02/01
L’influenza delle variabili la cui misura non è replicabile deve essere valutato con fattori
d’incertezza di categoria B, sulla base di dati tratti da manuali e dall’esperienza pregressa.
Anche in questo caso le informazioni sul campo di variabilità di ogni fattore devono essere
richieste agli esperti della misurazione specifica, mentre il gestore dell’organizzazione della
misura deve cercare di rendersi conto se si applicano correttamente al caso in esame. Si noti
che è opportuno operare per passi successivi 4: in prima battuta si introducono valori dei
contributi di tipo B sulla base di un minimo di esperienza. Ad esempio, per i dati tratti da un
manuale che non dichiara il livello d’incertezza, come i coefficienti di dilatazione termica, si
possono prendere a tentativo due unità della cifra meno significativa; per quelli presi nei
certificati di taratura come incertezza estesa si divide semplicemente per 2; per quelli ottenuti
da calcoli come la rigidezza del pezzo si pone una stima anche grossolana. Svolti i calcoli si
controlla, come vedremo, quali sono i contributi critici ed eventualmente si svolge un
supplemento d’indagine per determinare valori più corretti dei contributi d’incertezza
corrispondenti.
Le informazioni disponibili sono:
Descrizione
Valore
Incertezza tipo
si cat.(A)
Unità
bi cat.(B)
Valori di lettura del micrometro D Am
45,934
2,0E-03
mm
Valori di lettura del micrometro D Bm
45,958
2,0E-03
mm
Valore di zero z
Incertezza del micrometro Um (dal certificato)
0,000
8,2E-04
0,004
2,0E-03
mm
mm
Risoluzione di lettura r
0,001
5,0E-04
Coefficiente di dilatazione termica del pezzo α
24
2
ppm/°C
Coefficiente di dilatazione termica del micrometro β
11
2
ppm/°C
Differenza media ∆t di temperatura rispetto a 20°C
5
2
°C
3
0,05
0,5
1
0,005
0,05
N
kN/mm
kN/mm
Forza di serraggio F
Rigidezza del pezzo (libero) K A
Rigidezza del pezzo (bloccato) K B
mm
Mediante i modelli matematici descritti è possibile determinare i valori medi dei due diametri:
Determinazione del valore medio del diametro A
DA
45,991 mm
Determinazione del valore medio del diametro B
DB
45,960 mm
Determinazione della differenza tra i diametri A e B
DA – DB
-0,029 mm
Esaminiamo se per valutare la differenza dei diametri si può usare la differenza dei due
modelli sopra citati. Si noti che in un primo momento non si devono fare semplificazioni,
anche banali. Le semplificazioni devono essere tutte discusse con attenzione, poiché per la
4
Vedi su questo argomento il metodo PUMA introdotto nella ISO 14253-2
RifMis.doc
32/35
06/02/01
valutazione dell’incertezza la legge di propagazione ci dice che nel caso della differenza tra
grandezze le incertezze tipo si sommano quadraticamente.
DA -DB = (D Am –z ± Um ± r/2)(1 - α∆t + β∆t) + F/KA - (D Bm –z ± Um ± r/2)(1 - α∆t + β∆t) + F/KB =
= [(DAm – z ± Tm ± r/2) - (D Bm – z ± Tm ± r/2)] (1 - α∆t + β∆t) + F/K A - F/KB
ora, mentre è corretto semplificare per calcolare il risultato:
DA -DB = [D Am - DBm] (1 - α∆t + β∆t) + F(1/KA - 1/KB)
non è corretto semplificare il modello per il calcolo dell’incertezza. Infatti, nella forma
semplificata è scomparso, ad esempio, l’effetto della risoluzione. Ora, siccome vengono fatte
due misure successive del diametro A e del diametro B, per ognuna di tali misure ci sarà un
contributo d’incertezza dovuto alla risoluzione, contributi che non si elideranno, anzi verranno
sommati quadraticamente secondo la legge della propagazione dell’incertezza. Possono
ritenersi compensati solo quei contributi che possono essere ritenuti costanti. Ad esempio, se
le misure dei due diametri sono molto vicine, si può ritenere costante l’errore della scala di
misura e trascurarla.
Si può, quindi, assumere come modello per la valutazione dell’incertezza il seguente:
DA -DB = [(DAm – z ± r/2) - (DBm – z ± r/2)] (1 - α∆t + β∆t) + F/KA - F/KB
Si noti tuttavia che, poiché si cerca con attenzione di evitare di dare un valore dell’incertezza
stimata troppo basso, mentre si può accettare un valore moderatamente più alto, può essere
buona regola utilizzare i modelli di ciascuna attività di misurazione effettivamente svolta e poi
comporre i risultati. Non si rischia, così, di semplificare dei fattori che producono un contributo
importante.
Le varianze u²(xi) e la loro propagazione alla varianza della variabile dipendente, detta
genericamente y, sono calcolate con la legge di propagazione dell’incertezza tipo, data dalla
formula vista al punto 8.:
2
 ∂F  2
 u ( x i )
u ( y ) = ∑ u ( y ) = ∑ 
i =1
i =1  ∂x i 
2
n
n
2
i
Bisogna, inoltre, valutare il numero di gradi di libertà equivalenti per la y, ottenuti usando la
formula di Welch-Satterthwaite:
u 4 (y )
u 4 ( y)
=∑ i
νy
νi
È molto utile organizzare questi calcoli secondo una tabella come segue, in modo da poter
valutare i contributi all’incertezza dei singoli fattori, e prendere le opportune decisioni:
RifMis.doc
33/35
06/02/01
I fattori che producono i contributi più alti devono essere esaminati per individuare possibili
azioni atte a diminuire il loro contributo di incertezza.
I fattori che presentano un contributo trascurabile devono essere anch’essi esaminati, per
valutare se su di essi non si spendano inutilmente troppe risorse.
Le tabelle del calcolo a livello di fiducia 95% risultano, per l’esempio in esame, come segue:
Determinazione dell'incertezza sul diametro A (y = D A)
DA = (D Am – z ± Um ± r/2)(1 - α∆t + β∆t) + F/K A
xi
si
bi
u²(xi)
Coeff. Sens.
ui²(y)
νi
[ui²(y)]²/ν
νi
DAm
2,0E-03 0,0E+00
4,0E-06
1,0E+00
4,0E-06
11
1,5E-12
z
8,2E-04 0,0E+00
6,7E-07
1,0E+00
6,7E-07
7
6,5E-14
Um
r
2,0E-03 0,0E+00
0,0E+00 5,0E-04
4,0E-06
8,3E-08
1,0E+00
1,0E+00
4,0E-06
8,3E-08
10
100
1,6E-12
6,9E-17
α
0,0E+00
2,0E-06
1,3E-12
-2,3E+02
7,0E-08
30
1,7E-16
β
0,0E+00
2,0E-06
1,3E-12
2,3E+02
7,0E-08
30
1,7E-16
∆t
0,0E+00 2,0E+00
1,3E+00
-6,0E-04
4,8E-07
15
1,5E-14
F
0,0E+00 1,0E+00
3,3E-01
2,0E-02
1,3E-04
15
1,2E-09
KA
0,0E+00
1,3E-04
-1,2E-03
1,2E-05
15
9,6E-12
1,5E-04
νy
19
2,0E-02
Varianza di D A
Determinazione dell'incertezza sul diametro B (y = D B)
DB = (D Bm – z ± Um ± r/2)(1 - α∆t + β∆t) + F/K B
xi
si
bi
u²(xi)
Coeff. Sens.
ui²(y)
νi
[ui²(y)]²/ν
νi
DBm
2,0E-03 0,0E+00
4,0E-06
1,0E+00
4,0E-06
11
1,5E-12
z
8,2E-04 0,0E+00
6,7E-07
1,0E+00
6,7E-07
7
6,5E-14
Um
2,0E-03 0,0E+00
4,0E-06
1,0E+00
4,0E-06
10
1,6E-12
r
0,0E+00
5,0E-04
8,3E-08
1,0E+00
8,3E-08
100
6,9E-17
α
0,0E+00
2,0E-06
1,3E-12
-2,3E+02
7,0E-08
30
1,7E-16
β
0,0E+00
2,0E-06
1,3E-12
2,3E+02
7,0E-08
30
1,7E-16
∆t
0,0E+00 2,0E+00
1,3E+00
-6,0E-04
4,8E-07
15
1,5E-14
F
KB
0,0E+00 1,0E+00
0,0E+00 5,0E+01
3,3E-01
8,3E+02
2,0E-03
-1,2E-05
1,3E-06
1,2E-07
15
15
1,2E-13
9,6E-16
1,1E-05
νy
36
Varianza di D B
RifMis.doc
34/35
06/02/01
l
Infine si può valutare la varianza e l’incertezza estesa sulla differenza dei diametri
Determinazione dell'incertezza sulla differenza dei diametri (y = D A - DB)
u²(xi)
Coeff. Sens.
ui²(y)
νi
[ui²(y)]²/ν
νi
DA
1,5E-04
1,0E+00
1,5E-04
19
1,3E-09
DB
1,1E-05
1,0E+00
1,1E-05
36
3,3E-12
Varianza di D A - DB
1,7E-04
νy
21
Incertezza tipo
1,3E-02
Livello di fiducia
95%
Fattore di copertura k
2,08
Incertezza estesa
0,03
xi
si
bi
Un’analisi dei contributi alle varianze di DA, DB e DA – DB si può fare valutando i valori
contenuti nelle colonne ui²(y). Se fosse necessario ottenere una diminuzione dell’incertezza
bisognerebbe cercare i valori maggiori in tali colonne, ed è facile notare che i il fattore
prepond erante dell’incertezza è conseguenza dell’incertezza sulla forza e della rigidezza del
diametro A. Per diminuire l’incertezza è quindi necessario operare su tale fattore, cercando di
determinare, eventualmente con prove sperimentali, il valore della forza F e della rigidezza
KA . Ogni intervento su altri fattori sarebbe pressoché inutile.
Se, invece, si dovesse valutare la possibilità di diminuire i costi, bisognerebbe prendere in
considerazione i contributi di entità inferiore, tali, quindi, da non produrre un aumento
significativo dell’incertezza estesa totale anche se vengono raddoppiati o triplicati. Si valuta,
quindi, se in tali contributi sono state impiegate risorse che possano essere risparmiate,
accettando un conseguente aumento dei contributi stessi. Nel nostro caso possiamo
osservare che i contributi dell’effetto della temperatura sono del tutto trascurabili, quindi la
misura potrebbe essere fatta in un ambiente normale senza controllo della temperatura. Si
nota anche che l’accuratezza dello strumento è sovrabbondante, per cui non sarebbe
deleterio uno strumento di classe inferiore.
RifMis.doc
35/35
06/02/01