Calcolo delle incertezze

Esercizi sulla propagazione delle incertezze
M. Parvis
Gennaio 2004
Indice
1 Questa dispensa.....
6
2 Regole generali su come affrontare i problemi (nella vita ed
in sede di esame)
7
2.1 Modalità di svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Modello deterministico o probabilistico . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Presentazione dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Esercizi svolti
3.1 Resistenze in serie . . . . . . . . . . . .
3.1.1 PROBLEMA . . . . . . . . . .
3.1.2 DATI . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 DOMANDE . . . . . . . . . .
3.1.4 COMMENTI . . . . . . . . . .
3.1.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . .
3.1.6 Soluzione . . . . . . . . . . . .
3.2 Incertezza di un partitore - I parte . .
3.2.1 DATI . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 COMMENTI . . . . . . . . . .
3.2.3 RISPOSTE . . . . . . . . . . .
3.2.4 Soluzione . . . . . . . . . . . .
3.3 Incertezza di un partitore - II parte . .
3.3.1 PROBLEMA . . . . . . . . . .
3.3.2 DATI . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 DOMANDE . . . . . . . . . .
3.3.4 COMMENTI . . . . . . . . . .
3.3.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . .
3.3.6 Soluzione . . . . . . . . . . . .
3.4 Scelta di un metodo di misura - I parte
3.4.1 PROBLEMA . . . . . . . . . .
3.4.2 DATI . . . . . . . . . . . . . .
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3.5
3.4.3 DOMANDE . . .
3.4.4 COMMENTI . . .
3.4.5 RISPOSTE . . . .
3.4.6 Soluzione . . . . .
Produzione di una misura
3.5.1 PROBLEMA . . .
3.5.2 DATI . . . . . . .
3.5.3 DOMANDE . . . .
3.5.4 COMMENTI . . .
3.5.5 RISPOSTA . . . .
3.5.6 SOLUZIONE . . .
4 Esercizi
4.1 . .
4.2 . .
4.3 . .
4.4 . .
4.5 . .
4.6 . .
4.7 . .
4.8 . .
4.9 . .
4.10 . .
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generici sul calcolo delle
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incertezze
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5 Esercizi sull’uso degli strumenti di base
5.1 Caratteristiche degli strumenti . . . . . .
5.1.1 Oscilloscopio . . . . . . . . . . .
5.1.2 Voltmetro a vero valore efficace .
5.1.3 Voltmetro a valore medio . . . . .
5.1.4 Voltmetro di picco . . . . . . . .
5.1.5 Voltmetro in continua . . . . . .
5.1.6 Strumenti ad indice . . . . . . . .
5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Altri esercizi
6.1 Scelta di un metodo di misura - II parte . . . .
6.1.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Misura della componente alternata di un segnale
6.2.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Errori nel ponte di Wheatstone - I parte . . . .
6.3.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Errori nel ponte di Wheatstone - II parte . . . .
6.4.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Errori nel ponte di Wheatstone - III parte . . .
6.5.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . .
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6.5.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misura di un carico induttivo ad alto cosφ - I parte . .
6.6.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misura di un carico induttivo ad alto cosφ - II parte . .
6.7.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misura di un carico induttivo a basso cosφ - I parte . .
6.8.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misura di un carico induttivo a basso cosφ - II parte .
6.9.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Determinazione della resistenza interna di un voltmetro
6.10.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dimensionamento di un partitore - I parte . . . . . . .
6.11.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dimensionamento di un partitore - II parte . . . . . . .
4
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71
71
71
72
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.12.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . .
6.12.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.12.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . .
6.12.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . .
6.12.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . .
Dimensionamento di un partitore - III parte
6.13.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . .
6.13.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . .
6.13.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . .
6.13.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . .
Misura di una piccola resistenza - I parte . .
6.14.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . .
6.14.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.14.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . .
6.14.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . .
6.14.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . .
Misura di una piccola resistenza - II parte .
6.15.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . .
6.15.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.15.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . .
6.15.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . .
6.15.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . .
Propagazione di grandi errori . . . . . . . .
6.16.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . .
6.16.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . .
6.16.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . .
6.16.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . .
Errori nel ponte di Wheatstone - IV parte .
6.17.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . .
6.17.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.17.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . .
6.17.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . .
6.17.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . .
Resistenze in parallelo . . . . . . . . . . . .
6.18.1 PROBLEMA . . . . . . . . . . . . .
6.18.2 DATI . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.18.3 DOMANDE . . . . . . . . . . . . . .
6.18.4 COMMENTI . . . . . . . . . . . . .
6.18.5 RISPOSTE . . . . . . . . . . . . . .
5
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Capitolo 1
Questa dispensa.....
Questa dispensa è stata pensata per facilitare l’apprendimento del trattamento dell’incertezza nelle misure (elettroniche e non). In questa dispensa
sono contenuti più di 50 problemi sul trattamento dell’incertezza simili a
quelli che lo studente potrebbe trovarsi a dover affrontare sia nella vita sia,
nell’immediato, in fase di superamento dell’esame.
In particolare questa dispensa contiene:
• problemi svolti
• problemi di tipo generale non legati al mondo elettronico
• problemi legati all’impiego della strumentazione elettronica di base
• problemi di approfondimento
Questa dispensa NON contiene la teoria della misura e del trattamento
dell’incertezza.
6
Capitolo 2
Regole generali su come
affrontare i problemi (nella vita
ed in sede di esame)
2.1
Modalità di svolgimento
Nessun risultato è accettato se mancano i passaggi logico-matematici che
portano a tale risultato, anche se il risultato è corretto . In mancanza dei
passaggi intermedi il problema viene considerato completamente non risolto.
2.2
Modello deterministico o probabilistico
Se il testo non indica diversamente
• Se tutte le incertezze sono fornite secondo il modello determinstico,
impiegare il modello deterministico.
• Se anche una sola incertezza è fornita secondo il modello probabilistico,
impiegare il modello probabilistico.
Se è necessario convertire un’incertezza espressa secondo il modello deterministico in un’incertezza espressa secondo il modello probabilistico e il testo
non dice diversamente, ipotizzare una distribuzione di probabilità uniforme
(rettangolare).
7
2.3
Presentazione dei risultati
I risultati del problema, come per ogni misurazione, devono essere forniti
in modo corretto e utile per chi deve impiegare la misura, che non deve
essere costretto ad eseguire calcoli e conversioni per arrivare a decodificare il
risultato secondo quanto desiderato. In particolare
• Impiegare il corretto numero di cifre significative e scrivere il risultato
completo di unità di misura e di incertezza in una delle forme accettate.
• Se il testo non dice altrimenti, ed ove possibile, si può indifferentemente esprimere l’incertezza in modo assoluto o relativo; diversamente
esprimere l’incertezza secondo quanto richiesto.
• Se il testo richiede il risultato in una specifica unità di misura ed uno
specifico multiplo o sottomultiplo è obbligatorio impiegare quella unità
di misura e quel multiplo o sottomultiplo.
• Unità non SI possono essere accettate solo se il testo del problema
richiede espressamente il loro uso.
• Se non specificato diversamente i tempi si misurano in secondi. Se viene
richiesto un risultato in giorni, ore o minuti è obbligatorio convertire
il risultato in tali unità ricordando che non è accettabile impiegare le
frazioni di ora ecc.. (esempio 3.25 ore non è un risultato accettabile, si
deve eseguire obbligatoriamente la conversione in 3 h 15’).
• Convenzionalmente un mese vale 30 giorni ed un anno vale 365 giorni.
Il mancato rispetto delle regole di presentazione dei risultati comporta
una penalizzazione sul giudizio dell’esercizio
8
Capitolo 3
Esercizi svolti
Questi esercizi svolti affrontano diversi problemi principalmente metodologici
utili per comprendere le implicazioni della produzione di una misura. Sono
discussi sia il trattamento deterministico sia il trattamento probabilistico
dell’incertezza. Per la comprensione completa di questi esercizi è necessario
che l’allievo abbia seguito le lezioni sulla propagazione dell’incertezza e sugli
strumenti di base ed abbia le conoscenze dei corsi obbligatori di matematica
e fisica più le nozioni base di elettrotecnica. Lo svolgimento degli esercizi
riportati al capitolo 4 non richiede di aver compreso a fondo le problematiche
di questo capitolo.
3.1
Resistenze in serie
Un esempio utile per verificare i diversi comportamenti dei metodi per esprimere l’incertezza viene da un semplice caso in cui si proceda alla creazione
di un resistore di elevato valore a partire dalla serie di un numero opportuno
di resistori di valore inferiore.
3.1.1
PROBLEMA
Determinare l’incertezza di un resistore da 10M Ω ottenuto dalla serie di 10
resistori da 1M Ω
3.1.2
DATI
Resistori 1M Ω ± 1%
9
3.1.3
DOMANDE
Determinare l’incertezza del resistore da 10M Ω in modo deterministico e con
l’analisi statistica dell’incertezza.
3.1.4
COMMENTI
L’incertezza con cui sono caratterizzati i resistori è di tipo B e deve essere
trattata di conseguenza.
3.1.5
RISPOSTE
• Incertezza calcolata in modo deterministico: 1%
• Incertezza calcolata in modo probabilistico ed ipotesi di distribuzione di probabilità rettangolare 0.18%(1σ) , nel caso di distribuzione
triangolare 0.13%(1σ)
3.1.6
Soluzione
La prima operazione da compiere, sia si decida di operare secondo il modello
probabilistico, sia si decida di operare secondo il modello deterministico,
è esprimere la grandezza cercata in funzione delle grandezze misurate. In
questo caso l’equazione è molto semplice, riconducendosi ad una semplice
sommatoria:
P
Rtot = 10
i=1 Ri
Le derivate della funzione (ovvero i coefficienti ci ) sono parimenti semplici
in quanto tutte unitarie.
Dal punto di vista deterministico quindi lo scarto massimo di Rtot è
semplicemente pari alla somma degli scarti, che per ipotesi sono tutti uguali:
∆Rtot = 10∆Ri
Lo scarto massimo relativo di Rtot è quindi identico alla scarto massimo
dei singoli resistori impiegati e quindi pari all’1%:
∆Rtot
i
i
i
= 10∆R
= 10∆R
= ∆R
Rtot
Rtot
10Ri
Ri
Dal punto di vista probabilistico l’incertezza tipo combinata di Rtot , nell’ipotesi che le incertezze che affliggono i singoli resistori siano indipendenti,
è:
qP
10
2
uc (Rtot ) =
i=1 uc (Ri )
Per la stima dell’incertezza tipo u(Ri ) dei singoli resistori è necessario
ricorrere a informazioni a priori e quindi si è in presenza di una stima dell’incertezza di tipo B, che è dichiarata nella forma: il valore è R ± a . Come visto
10
in precedenza, la stima dell’incertezza si basa su una scelta della distribuzione
generalmente assunta di tipo rettangolare o triangolare.
Le due scelte portano ai seguenti risultati:
Distribuzione
Rettangolare
Triangolare
Incertezza tipo
u(Ri ) =
u(Ri ) =
q
q
a2
3
a2
6
Incertezza tipo
relativa
r
=
r
=
(0.01Ri )2
3
= 5.8kΩ
u(Ri )
Ri
= 0.58%
(0.01Ri )2
6
= 4.1kΩ
u(Ri )
Ri
= 0.41%
L’incertezza tipo combinata di Rtot diventa quindi:
Distribuzione
Incertezza tipo comb.
Rettangolare
u(Rtot ) =
Triangolare
u(Ri ) =
q
10u2 (Ri ) = 18kΩ
q
10u2 (Ri ) = 12kΩ
Incertezza tipo
relativa comb.
u(Rtot )
= 0.18%
Rtot
uc (Ri )
Ri
= 0.13%
Un confronto empirico dei risultati determinati nel caso di incertezza
calcolata secondo il metodo deterministico e probabilistico si può ottenere
determinando il fattore di copertura necessario per ottenere che l’incertezza
tipo estesa sia espressa da un numero identico allo scarto massimo.
Distribuzione
Fattore
di
copertura per
eguaglianza nei
singoli resistori
Rettangolare
Triangolare
1.7
2.4
Fattore
di
copertura per
eguaglianza
nel
resistore
somma
5.5
7.6
Rapporto tra i
fattori di copertura
√
√10 ≈ 3.2
10 ≈ 3.2
In questo esempio, in cui compaiono incertezze tutte della stessa entità, il
metodo di caratterizzazione statistica produce una contrazione dell’incertezza
di una entità pari alla radice quadrata del numero dei termini coinvolti e
quindi di circa tre volte. Se si fosse analizzata una serie di cento resistori, la
riduzione sarebbe stata pari a dieci volte e cosı̀ via.
L’osservazione che sorge spontanea è evidentemente: è corretto che l’incertezza continui a decrescere (indefinitamente) all’aumentare del numero di
resistori? Evidentemente, se davvero si ipotizza che i contributi di incertezza
siano indipendenti, la cosa è apparentemente ragionevole, ma è altrettanto
ragionevole che:
11
• I resistori siano in qualche modo parenti tra loro, cioè ad esempio provengano da uno stesso costruttore e quindi il loro valore effettivo, pur
se certamente compreso nella fascia dichiarata dal costruttore, appartenga ad una distribuzione che non è esattamente centrata sul valore
medio.
• I resistori siano stati misurati per confronto con un campione che ha una
sua propria incertezza, che però è sempre la stessa (anche nel segno) per
tutti i resistori In altre parole è le incertezze che affliggono i resistori non
sono scorrelatee dunque in dovrebbe essere impiegata l’equazione di
stima dell’incertezza in cui sono tenute in conto le correlazioni. L’effetto
della correlazione è quello di porre un limite alla riduzione di incertezza
ottenibile con il metodo probabilistico: se la correlazione fosse unitaria
non si avrebbero riduzioni, con valori di correlazione tra uno e zero la
riduzione cresce via via fino a raggiungere il valore precedentemente
calcolato.
A questo punto però nasce il problema di conoscere (o determinare) la correlazione esistente tra i diversi resistori e questo può essere ottenuto:
• Tramite conoscenze a priori, ad esempio legate ai processi produttivi
degli oggetti, al tipo di controlli di qualità cui i resistori sono sottoposti,
al tipo di campione utilizzato per definire il loro valore, al fatto che i
resistori appartengano tutti ad una stessa partita ovvero siano stati
fabbricati in tempi diversi, ecc. Si tratta chiaramente di informazioni
molto complesse e delicate, che richiedono una analisi assolutamente
non facile.
• Tramite determinazione del fattore di correlazione per mezzo di misurazioni. Anche questo è un procedimento molto delicato, che passa
attraverso la misurazione del valore dei resistori (e di altri resistori dello
stesso tipo) al fine di evidenziare anomalie, come ad esempio un valore
medio non corrispondente al centro della fascia. Però, se tali misurazioni sono fatte con il livello di accuratezza necessario, non vi è ragione
di non impiegare i valori misurati in luogo di quelli nominali ed assegnare ad essi l’incertezza corrispondente alla misurazione effettuata,
trasferendo cosı̀ il problema su un altro piano.
Si può dunque concludere che il problema è di difficilissima soluzione e
quindi, salvo casi particolarmente fortunati, l’unico consiglio che si può dare
è quello di prestare estrema attenzione agli effetti per cosı̀ dire secondari,
ogniqualvolta una analisi od elaborazione statistica tende a ridurre in modo
considerevole l’incertezza di una misura.
12
3.2
Incertezza di un partitore - I parte
I partitori vengono sovente impiegati per variare (diminuire) valori di tensione. L’incertezza del rapporto può essere molto piccola se il rapporto di
partizione è prossimo ad uno.
PROBLEMA
Determinare l’incertezza del rapporto di attenuazione K ottenuto con un
partitore di tensione.
3.2.1
DATI
• Partitore di tensione formato da due resistori R1 ed R2 connessi in serie.
Uscita del partitore ai capi del resistore R2
• Prima condizione R1 = 9900Ω ± 1% R2 = 100Ω ± 1%
• Seconda condizione R1 = 100Ω ± 1% R2 = 9900Ω ± 1%
DOMANDE
Determinare l’incertezza con cui si ottiene il rapporto di partizione nei due
casi
3.2.2
COMMENTI
3.2.3
RISPOSTE
• Nel primo caso si ha K = 0.01 ± 0.8%(1σ) (e 2% con il metodo
deterministico)
• Nel secondo caso si ha K = 0.99 ± 0.008%(1σ) ( 0.02% con il metodo
deterministico)
3.2.4
Soluzione
Il modello a cui si fa riferimento è:
K=
R2
R1 +R2
13
Quindi i valori richiesti del rapporto di partizione sono, nei due casi:
K1 = 0, 01
K2 = 0, 99
Il modello si presenta sotto forma di rapporto; ciò potrebbe far pensare di
stimare l’incertezza semplicemente come:
x=
a
b
⇒
Mod.deterministico : x = a + b
Mod.probabilistico :
u(x) 2
x
=
u(a) 2
a
+
u(b) 2
b
dove rappresenta l’incertezza relativa associata alla grandezza indicata a
pedice.
Cio è SBAGLIATO! Le formule sono valide solo se a e b sono indipendenti , cosa che non si verifica nell’esempio in esame. In questo caso è quindi
necessario procedere al calcolo dell’incertezza a partire dalla derivazione della
formula che esprime la grandezza richiesta in funzione delle grandezze misurate (o di cui si conosce il valore). Si noti che però, come sovente accade,
è possibile aggirare la necessità di calcolare esplicitamente le derivate della
funzione purché si proceda ad alcune elaborazioni matematiche. Si tratta, in
pratica, di eliminare la dipendenza reciproca di numeratore e denominatore;
ciò si ottiene esprimendo il rapporto di partizione come:
K=
1
R
1+ R1
2
A questo punto, prima di procedere alla stima dell’incertezza, giova ricordare le formule presentate a lezione valide per modelli di tipo somma:
x=a±b⇒
Mod.deterministico : ∆x = ∆a + ∆b
Mod.probabilistico : uc (x)2 = u2 (a) + u2 (b)
dove ∆ rappresenta l’incertezza assoluta associata alla grandezza indicata
accanto.
Le formule presentate1 si prestano bene alla stima dell’incertezza nel
caso in esame: l’unica accortezza richiesta è che le si applichi al modello
riformulato nel modo indicato.
Secondo il modello deterministico si ha:
1
L’importanza di disporre di formule che semplifichino i passaggi di calcolo (in questo
caso eliminando il calcolo di derivate, che talora possono essere piuttosto complesse) non
va trascurata: si vengono cosı̀ a minimizzare le possibilità di errori di calcolo e di errori di
battitura sulla calcolatrice quando si sostituiscono i valori numerici in formule complicate.
14
K = 1 + 1+ R1 = 1+ R1 ← 1 =
R2
R2
∆1
1
= ∆1 = 0
dal che si può verificare che, come già dovrebbe essere noto, l’incertezza relativa associata ad una grandezza è uguale a quella associata al suo reciproco;
lo stesso vale, naturalmente, se l’incertezza è stimata in modo probabilistico.
E, ricordando che ∆x = x x , si ha che:
K =
R
∆ 1+ R1
2
R
1+ R1
2
= K∆
R1
R2
=
R2
R1 +R2
∆1 + ∆
R1
R1 =
= KR
2
R2
R1
R1 +R2
R1
R2
=
(R1 + R2 )
Quindi, sostituendo i valori numerici dati, si ha che:
K,1 ≈ 2%
K,2 = 0, 02%
Secondo il modello probabilistico si ha:
 uc (K)
K
2
=
u(1)
1
2
+
R
u 1+ R1
2
R
1+ R1
2
  =
2
=
=
2
R
1+ R1
2
 =
2
R1
=
R2
2 2
u (R1 )
R1
1
K 2 u2 R
= K2 R
R2
R12
2
R12
u2 (R1 )
u2 (R2 )
+ R2
(R1 +R2 )2
R12
2
= K 2 u2 (1) + u2
R
u 1+ R1
+
u2 (R2 )
R22
=
Quindi:
u2c (K) =
R1 R2
(R1 +R2 )2
2 u2 (R1 )
R12
+
u2 (R2 )
R22
Da cui, sostituendo i valori numerici dati (e trattando l’incertezza sulle resistenze come contributo di tipo B, con distribuzione rettangolare), si ha che,
grazie alla simmetria della formula ricavata rispetto ad R1 ed R2 , l’incertezza tipo combinata assoluta è la stessa per ciascun valore di K :
uc,1,2 (K) ≈ 8 · 10−5
Quindi:
uc,1 (K)
K
uc,2 (K)
K
≈ 0, 8%
≈ 0, 008%
15
16
3.3
Incertezza di un partitore - II parte
L’uso di resistori con comportamento simile nei confronti delle grandezze di
influenza consente di minimizzare gli effetti di tali grandezze
3.3.1
PROBLEMA
Determinare l’incertezza del rapporto di attenuazione K ottenuto con un
partitore di tensione.
3.3.2
DATI
• Partitore di tensione formato da due resistori R1 ed R2 connessi in serie.
Uscita del partitore ai capi del resistore R2
• Resistori R1 = R2 = 5000Ω ± 1% a 20◦ C
• Coefficiente di temperatura dei resistori α = 0.4%◦ (C−1 )±4·10−4◦ (C−1 )
3.3.3
DOMANDE
Determinare l’incertezza con cui si ottiene il rapporto di partizione nel caso
di operazioni con temperature comprese tra 10◦ C e 30◦ C
3.3.4
COMMENTI
3.3.5
RISPOSTE
K = 0.5 ± 0.4%(1σ) ( ±1.4% con il metodo deterministico)
3.3.6
Soluzione
Il modello a cui si fa riferimento è:
K=
R2 (1+α2 ∆t)
R1 (1+α1 ∆t)+R2 (1+α2 ∆t)
Quindi il valore nominale (ossia a 20◦ C , per ∆t = 0 ) del rapporto di
partizione è:
K = 0, 5
17
L’incertezza della misura di K, indipendentemente dal fatto che si usi un
modello probabilistico o deterministico per la sua stima, consta di due contributi, uno legato all’incertezza sulle resistenze ed uno legato all’incertezza
sui coefficienti di temperatura (si osserva che non è presente il termine di
incertezza dovuto a ∆t in quanto non si tratta di un valore misurato2 , ma
del parametro in funzione delle cui variazioni si vuole valutare la variazione
dell’incertezza di misurazione di K).
I due contributi citati possono essere confrontati, verificando che il secondo è trascurabile rispetto al primo.
A questo scopo si devono calcolare le derivate dell’equazione di modello
rispetto ai quattro parametri ( R1 , R2 , α1 , α2 ), valutandone i valori in corrispondenza dei valori nominali dei parametri stessi, che sono forniti come dati
del problema. Ponendo R = R1 = R2 e α = α1 = α2 , risulta per il modello
deterministico:
∆KR =
1 ∆R1 +∆R2
;
4
R
∆Kα =
1 ∆t(∆α1 +∆α2 )
4
(1+α∆t)
Per il calcolo dei corrispondenti valori numerici, si può osservare che, trattandosi di un’operazione finalizzata alla stima dell’incertezza, è lecito compiere
alcune approssimazioni (ed ovviamente lo stesso vale per il modello probabilistico); in particolare, se α∆t 1 (cosa che si verifica nel caso proposto), si
ha che:
∆Kα ≈ 14 ∆t(∆α1 + ∆α2 )
Quindi, poiché
∆R1 = ∆R2 = 50Ω
∆α1 = ∆α2 = 4 · 10−4◦ (C−1 )
si conclude che
∆KR ≈ 5 · 10−3
∆Kα ≈ 2 · 10−3
⇒
∆K = ∆KR + ∆Kα = 7 · 10−3 ⇒
2
∆K
K
= 1, 4%
Ovviamente ciò non significa che a ∆t deve essere associata un’incertezza nulla: al
contrario, dal momento che i suoi valori estremi costituiscono un’indicazione di massima
dell’intervallo operativo di interesse, si deve ritenere che i risultati ottenuti svolgendo l’esercizio possano essere applicati anche a temperature ad essi vicine. Un’incertezza dell’ordine
del 20% sui valori di ∆t forniti può in questa fase essere considerata ragionevole.
18
Secondo il modello probabilistico si ha invece:
u2c,R (K) =
u2 (R1 )+u2 (R2 )
16R2
u2c,α (K) = ∆t2 u
2 (α
1 )+u
2 (α
2)
16R
E, poiché
u2 (R1 ) = u2 (R2 ) ≈ 833Ω2
u2 (α1 ) = u2 (α2 ) ≈ 5, 3 · 10−8◦ (C−2 )
si conclude che
uc,R (K) ≈ 2 · 10−3
uc,α (K) ≈ 8 · 10−4
⇒
⇒
1
uc (K) = u2c,R (K) + u2c,α (K)
uc (K)
K
≈ 0, 4%
19
2
= 2, 1 · 10−3
3.4
Scelta di un metodo di misura - I parte
Sovente nell’esecuzione di una misura si è nella condizione di scegliere diverse
configurazioni e strategie tutte idonee ad ottenere il risultato richiesto sebbene con diverse accuratezze. In questo esercizio si osserverà come diversi
parametri, in genere secondari, possano condizionare la scelta del metodo
migliore.
3.4.1
PROBLEMA
Misurare la corrente che fluisce in un circuito misurando la caduta di tensione
che essa provoca ai capi di uno shunt. Sono disponibili due shunt di valore
diverso ed un voltmetro elettronico.
3.4.2
DATI
• Voltmetro elettronico con tre portate: F S = 1V ; 10V ; 100V , incertezza
dichiarata dal costruttore nella forma ∆V = 0.01%lettura + 0.001%F S
; resistenza di ingresso infinita
• Shunt tipo A: RA = 100Ω accuratezza dichiarata dal costruttore RA =
0.01%
• Shunt tipo B: RB = 1000Ω accuratezza dichiarata dal costruttore RB =
0.015%
• Valore nominale della corrente 1mA
3.4.3
DOMANDE
Determinare l’incertezza con cui si misura la corrente utilizzando i due resistori di shunt e indicare quale di essi consente di ottenere l’incertezza
minore.
3.4.4
COMMENTI
L’incertezza di misura del voltmetro è data con una formula binomia (termine
assoluto più termine relativo). Con strumenti per cui l’incertezza sia data con
formule di questo genere si ha una incertezza relativa complessiva che cresce
al diminuire del valore letto a causa della presenza del termine assoluto, il
cui peso relativo è maggiore quando si utilizza lo strumento all’inizio della
scala. In questo esercizio, non avendo a disposizione portate inferiori ad 1V ,
20
le condizioni di migliore impiego del multimetro saranno quelle con lo shunt
di valore più elevato; d’altra parte lo shunt di valore più elevato, è affetto da
un maggiore incertezza e quindi la decisione di quale configurazione utilizzare
non è evidente prima di svolgere i calcoli.
3.4.5
RISPOSTE
• Impiegando lo shunt A si ha una incertezza (distribuzione rettangolare)
pari a uc (I) = 1.3 · 10−4 ( 3 · 10−4 con il metodo deterministico)
• Impiegando lo shunt B si ha una incertezza (distribuzione rettangolare)
uc (I = 1.1 · 10−4 ( 2.6 · 10−4 con il metodo deterministico)
• Conviene quindi impiegare lo shunt B che, pur essendo di qualità inferiore, porta il voltmetro elettronico a lavorare a fondo scala e quindi in
condizioni migliori.
3.4.6
Soluzione
La prima operazione da fare è esprimere il misurando in funzione delle grandezze effettivamente misurate:
Iˆ =
V
R
L’espansione in serie di Taylor di tale formula è:
∆Iˆ =
1
∆V
R
−
V
∆R
R2
L’incertezza sulla corrente espressa secondo il modello deterministico è:
∆Iˆ =
1
∆V
R
+
V
∆R
R2
Dove nel caso si utilizzi lo shunt da 100Ω si ha:
∆V100 = 10−4 · 0.1 + 10−5 · 1 = 2 · 10−5 V
∆R100 = 10−4 · 100 = 0.01Ω
Mentre per lo shunt da 1000Ω si ha:
∆V1000 = 10−4 · 1 + 10−5 · 1 = 1.1 · 10−4 V
∆R1000 = 1.5 · 10−4 · 1000 = 0.15Ω
21
e quindi:
−5
∆I100 = 2·10
+ 0.01·0.1
= 3 · 10−7 V ⇒ ∆II100 = 3 · 10−4
100
1002
−4
∆I1000 = 1.1·10
+ 0.15·1
= 2.6 · 10−7 V ⇒ ∆II100 = 2.6 · 10−4
1000
10002
Se si impiega il modello probabilistico l’incertezza sulla corrente è invece:
ˆ =
uc (I)
q
u2c (V )
R2
+
u2c (R)
R4
Per determinare la varianza e lo scarto tipo da associare alle letture di tensione e degli shunt si ricorre all’ipotesi di distribuzione rettangolare dell’incertezza e quindi:
u2c (V ) =
∆V 2
; u2c (R)
3
=
∆R2
3
e quindi:
−5 2
2
= 33 · 10−6 Ω2
u2c100 (V ) = (2·103 ) = 1.3 · 10−10 V 2 ⇒ uc100 (R) = 0.01
3
−4 2
2
u2c1000 (V ) = (1.1·103 ) = 4 · 10−9 V 2 ⇒ uc1000 (R) = 0.15
= 7.5 · 10−3 Ω2
3
L’incertezza diventa quindi:
u100 (I) =
1/2
(I)
33·10−6 ·0.12
1.3·10−10
= 0.13 · 10−6 A ⇒ uc100
+
= 1.3 · 10−4
104
108
I
−3 ·12 1/2
(I)
4·10−9
= 0.11 · 10−6 A ⇒ uc1000
+ 7.5·10
= 1.1 · 10−3
106
1012
I
u1000 (I) =
La conclusione, quale che sia la metodologia di analisi dell’incertezza impiegata, è che conviene operare con lo shunt di valore più alto, che fa funzionare
il voltmetro in modo migliore.
22
3.5
Produzione di una misura
3
Si vuole conoscere il valore della resistenza interna di un voltmetro magnetoelettrico, per due diversi scopi:
• operare correzioni per l’effetto del carico strumentale in misurazioni di
tipo voltamperometrico (si tratta in questo caso di verificare l’attendibilità del dato fornito dal costruttore, ad esempio perché si teme che
possa essere variato per qualche motivo);
• raddoppiare la portata del voltmetro tramite l’impiego di un resistore
addizionale esterno, mantenendo inalterata la classe dello strumento.
3.5.1
PROBLEMA
Scegliere un metodo di misurazione adeguato per misurare il valore della
resistenza interna di un voltmetro magnetoelettrico.
3.5.2
DATI
• Voltmetro per correnti continue in classe 0,5, con fondo scala di 100 V
e carico strumentale dichiarato di 200 Ω/V ;
• Strumenti disponibili:
– ohmetro a tre cifre e mezza di risoluzione con incertezza di ±1 count±
0, 7% lettura;
– milliamperometro in classe 0,2 e con F S = 10 mA e resistenza
interna RA ≈ 10 Ω ;
– vari resistori (si suppone di disporre di tutti quelli necessari in
ogni caso) con incertezza di 2 · 10−4 .
3.5.3
DOMANDE
Determinare il metodo di misurazione più idoneo, compatibilmente con gli
strumenti disponibili, a perseguire gli scopi richiesti.
3
Questo esercizio è dovuto a Ugo Grimaldi
23
3.5.4
COMMENTI
• Il valore nominale del misurando è 100 V · 200 Ω/V = 20 kΩ .
• Nell’enunciare il secondo scopo della misurazione si richiede implicitamente di stimare l’incertezza di misura secondo il modello deterministico: infatti solo in questo caso ha senso parlare di indice di classe del
voltmetro che si vuole realizzare. Ciononostante, nel corso dello svolgimento dell’esercizio sarà frequentemente consigliato, a mo’ di esercizio,
di stimare l’incertezza anche applicando il modello probabilistico.
• Con gli strumenti disponibili si possono adottare sostanzialmente quattro metodi di misurazione:
– diretto, con l’ohmetro;
– con un metodo pseudo-voltamperometrico, in cui il voltmetro è
utilizzato come strumento di misura, essendo la sua resistenza
interna il misurando;
– con il ponte di Wheatstone, usando i resistori campione ed il
milliamperometro per rilevare la condizione di azzeramento del
ponte;
– con il metodo della resistenza serie, ossia misurando la stessa tensione (per comodità prossima al fondo scala) prima con il voltmetro da solo, poi ponendo una resistenza in serie ad esso (si può
dimostrare che, per questa misurazione, la condizione ottimale è
quella in cui il voltmetro misura intorno al 40% della scala ( esercizio a pag. 70), il che richiede una resistenza in serie R ≈ 12 kΩ );
in tal modo, dette V0 la tensione misurata dal voltmetro da solo e
V1 quella misurata con la resistenza in serie, applicando la formula
del partitore di tensione si ha:
RV
1
V0
⇒
RV = R V0V−V
V1 = R+R
1
V
Ovviamente, affinché il metodo possa essere applicato, si richiede
che la tensione misurata sia stabile, entro l’accuratezza richiesta,
nell’intervallo tra le due misurazioni.
Per il primo scopo si può ritenere ragionevole conoscere il valore della
resistenza interna del voltmetro con un’incertezza del 10% , trattandosi
di una sorta di incertezza del second’ordine. Si provi a verificarlo, sulla
base delle seguenti indicazioni:
24
– si suppone di eseguire una misurazione voltamperometrica con
il voltmetro connesso a valle; si suppone altresı̀ che l’incertezza data dai due strumenti usati (voltmetro ed amperometro) sia
complessivamente dell’ 1% ;
– l’incertezza del consumo V = RRVx sia anch’essa dell’ordine dell’1%,
cosicché è necessario procedere ad una correzione dell’effetto dei
consumi (vale a dire che il modello della misurazione deve essere
modificato in modo da tenere in conto la resistenza interna del
voltmetro).
Per il secondo scopo si può ritenere appropriato misurare la resistenza
interna del voltmetro con un’incertezza relativa dell’ordine di 10−3 .
Infatti:
– un voltmetro magnetoelettrico è realizzato con un milliamperometro in serie ad una resistenza campione molto stabile (in genere di
manganina);
– il peso maggiore tra i contributi che determinano la classe dello
strumento è quello del milliamperometro, quindi si può ritenere
che nel caso in esame il milliamperometro sia in classe 0,4 e la
restante incertezza sia dovuta alla resistenza 4 da 20 kΩ; il calcolo dell’incertezza su tale resistenza, che può quindi essere agevolmente effettuato facendo riferimento ai valori di fondo scala,
conduce a ritenere che essa sia stata misurata dal costruttore con
un’incertezza relativa dello 0, 1%;
– il raddoppio della portata del voltmetro si ottiene aggiungendo in
serie ad esso un’altra resistenza da 20 kΩ;
– non volendo degradare le prestazioni dello strumento, si deve usare
una resistenza addizionale della stessa qualità di quella interna,
ossia almeno con incertezza di 10−3 ;
– il nuovo voltmetro cosı̀ ottenuto è quindi ancora in classe 0,5 se la
resistenza interna è misurata con incertezza di 10−3 .
4
Una simile ripartizione dell’incertezza può apparire irragionevole, nel senso che una
resistenza di manganina può essere considerata di qualità molto superiore a quella citata.
In realtà la resistenza interna del voltmetro è costituita da un resistore molto stabile (quello
in manganina) in serie alla bobina, la quale, pur avendo un valore di resistenza molto più
basso dell’altra, essendo di rame, ha una variabilità molto maggiore con la temperatura:
ciò impedisce di assicurare il valore della serie di resistenze con un’accuratezza superiore
a quella citata.
25
3.5.5
RISPOSTA
• Per il primo scopo proposto il metodo più adatto è quello diretto, con
l’ohmetro.
• Non è possibile conseguire il secondo scopo proposto con la sola strumentazione disponibile; si può però dire che, nell’ipotesi che il resistore addizionale esterno sia noto con incertezza relativa di 10−3 , il miglior metodo di misurazione adottabile, che è il ponte di Wheatstone,
consente di realizzare un voltmetro di portata doppia in classe 1,5.
3.5.6
SOLUZIONE
Nello svolgimento dell’esercizio si seguirà passo per passo lo schema di produzione di una misurazione proposto a lezione, conducendo in parallelo l’analisi
dei quattro metodi di misurazione consigliati.
Oggetto e scopo della misurazione
Nella programmazione di una misurazione il primo termine con cui confrontarsi è l’incertezza intrinseca del misurando. Nel caso di una resistenza,
definita in corrente continua, due sono i principali fenomeni che concorrono
all’incertezza intrinseca:
• le resistenze di contatto e collegamento;
• le variazioni di temperatura rispetto a quella di riferimento indicata
per il misurando, in questo caso i (20 ± 1) ◦ C stabiliti dalle norme CEI
per strumenti come quello impiegato in questo problema.
Nel caso in esame le resistenze di contatto e collegamento hanno influenza
sempre trascurabile: infatti, anche nell’ipotesi di condizioni circuitali pessime, sono al massimo dell’ordine del decimo di ohm, che, confrontato con il
valore del misurando, costituisce un’incertezza approssimativa di 5 · 10−6 .
Per il coefficiente di temperatura della manganina si può assumere il valore α ≤ ±2·10−5◦ C−1 . Supponendo di effettuare la misura a 20◦ C e nel campo
di temperature ammesso, che è di ±1◦ C, ci si attende una variazione relativa
di resistenza di ±2 · 10−5 , che è anch’essa trascurabile rispetto all’incertezza
tollerata.
Si conclude pertanto che un modello del misurando adeguato a rendere
possibile, almeno in linea di principio, la misurazione è: il valore (unico) della resistenza interna di un voltmetro magnetoelettrico (definita a due morsetti) a (20 ± 1)◦ C. Si può quindi proseguire con la
pianificazione della misurazione.
26
Programmazione della misurazione
I diversi metodi di misura adottabili con la strumentazione disponibile sono
stati già presentati.
Il metodo diretto usa come campioni per la misurazione quelli interni
all’ohmetro (in strumenti come quello menzionato si tratta di solito di un
campione di tensione e di un certo numero di campioni di resistenza: lo
strumento esegue in realtà una misurazione di tipo voltamperometrico).
Il metodo pseudo-voltamperometrico usa come campioni materiali le
molle di richiamo delle bobine interni ai due strumenti.
Il metodo a ponte di Wheatstone usa come campioni le resistenze del
ponte.
Il metodo della resistenza serie usa come campioni materiali le molle
di richiamo della bobina del voltmetro e la resistenza inserita in serie.
Con ciascuno dei quattro metodi si può evitare il ricorso a misurazioni ripetute, dal momento che con questo misurando e con questi strumenti
l’esperienza indica che le sorgenti di incertezza di natura aleatoria - le sole
per cui abbia utilità un metodo di misurazione a letture ripetute - hanno
rilevanza trascurabile rispetto alle altre sorgenti di incertezza.
La previsione dell’incertezza di misura porta, per i quattro metodi, ai
seguenti risultati:
• Ohmetro
Si può supporre che l’espressione tre cifre e mezza faccia riferimento
ad una indicazione massima sul display dello strumento del tipo 2999
o 1999 (entrambi i casi possono corrispondere a strumenti con indicazione tre cifre e mezza). La portata dello strumento deve essere la
minima superiore al valore nominale del misurando; essa sarà quindi, nei due casi, 29, 99 kΩ e 199, 9 kΩ. La componente assoluta di incertezza (±1/; count) vale quindi rispettivamente ±10 Ω e ±100 Ω (±
un’unità sull’ultima cifra letta sul display). La componente relativa
di incertezza ( ±0, 7% della lettura ) è la stessa nei due casi e vale:
0, 7% · 20 kΩ = 140 Ω.
Si conclude che l’incertezza assoluta, con i due possibili ohmetri, è di
150 Ω o 240 Ω , corrispondenti ad incertezze relative di 0, 75% e 1, 25%.
• Metodo pseudo-voltamperometrico
Occorre innanzi tutto scegliere la tensione di alimentazione del circuito in modo da minimizzare i contributi di incertezza degli strumenti
utilizzati: come si vede la migliore scelta (se ne lascia per esercizio la
dimostrazione formale) è un’alimentazione prossima a 100 V , che porta
27
il voltmetro a lavorare a fondo scala. In questo modo, però, la corrente
che attraversa il milliamperometro è di 5 mA , cosicché esso lavora a
metà scala. L’incertezza relativa della misurazione può essere stimata
con la formula (nel caso si adotti un modello deterministico; si lascia
per esercizio la stima secondo il modello probabilistico):
RV = I + V =
0,002·10mA
5mA
+
0,005·100V
100V
≈ 1%
• Ponte di Wheatstone
La formula per la stima dell’incertezza, secondo il modello deterministico, in una misurazione di resistenza con il ponte di Wheatstone
(costituito dalle resistenze RV , misurando, e R1 , R2 e R3 ), trascurando altre cause di incertezza di ordine superiore grazie all’applicazione di
opportune precauzioni circuitali ed operative (come spiegato a lezione),
è:
RV = R1 + R2 + R3 + σ
ove σ è la sensibilità del circuito, che può essere stimata per via teorica
secondo quanto spiegato a lezione. Supponendo di realizzare il ponte
in modo che sia, nominalmente, RV = R1 = 20 kΩ e R2 = R3 = 10 kΩ,
si ottiene:
σ ≈ 2RV dI
E
dove E è la tensione di alimentazione del ponte e dI è la minima deviazione dallo zero segnalata dal milliamperometro. Per il valore di
quest’ultima si può assumere il valore dell’incertezza strumentale del
milliamperometro, che vale 20µA.
Si ottiene quindi:
RV = 3 · 2 · 10−4 + 2 · 20 kΩ 20EµA = 6 · 10−4 +
0,8 V
E
L’incertezza relativa RV dipende quindi dalla tensione di alimentazione
del ponte. Nel caso in esame questa è a sua volta vincolata alla massima tensione sopportabile dal voltmetro, rappresentata dal suo valore
di fondo scala F S = 100 V . Ne segue che la massima tensione di
alimentazione dl ponte è E = 200 V , e dunque RV ≈ 0, 45%. Un ulteriore limitazione alla tensione viene posta dalla massima dissipazione
ammessa dei resistori. In questo caso i componenti più sollecitati sono
i resistori da 10kΩ che devono poter dissipare una potenza di 1W.
• Resistenza serie
La formula per la stima dell’incertezza, secondo il modello deterministico, è in questo caso:
28
RV = R +
δV 1+β
V0 β−β 2
ove δV è l’incertezza assoluta del voltmetro, determinata dalla sua
classe, e β è il rapporto tra V1 e V0 (il cui valore, come si è detto, è
circa 0, 4 ).
L’incertezza relativa ottenibile è quindi RV ≈ 3% .
Si può quindi concludere la pianificazione della misurazione con la valutazione critica dell’adeguatezza dei metodi di misurazione adottabili agli scopi
prefissi.
• Primo scopo
Tutti i metodi di misurazione adottabili sono adeguati per il primo scopo (un’alimentazione minima di 8 V è necessaria per il ponte di Wheatstone): si sceglierà l’uso dell’ohmetro perché è quello di più semplice e
rapida esecuzione.
• Secondo scopo
Nessuno dei metodi realizzabili risulta efficace per misurare la resistenza interna del voltmetro con l’accuratezza richiesta. Benché a stretto
rigore si debba concludere che la misurazione non può essere eseguita con la strumentazione disponibile, due interessanti considerazioni
possono essere sviluppate:
1. Il metodo che fornisce il risultato più prossimo a quello desiderato è il ponte di Wheatstone. Si può valutarne l’efficacia in modo
più tangibile calcolando l’indice di classe del voltmetro di portata F S = 200 V che si ottiene misurando RV con tale metodo.
Il nuovo voltmetro risulta costituito dal milliamperometro, dalla
resistenza RV e dal resistore addizionale; si ha perciò la relazione:
Vletta = (RV + R)I
ove I è la corrente che attraversa il voltmetro ed il resistore addizionale. L’incertezza assoluta a fondo scala, secondo il modello
deterministico, si può stimare come:
δV = IF S (δRV + δR) + (RV + R)δI
ove IF S è la corrente di fondo scala del milliamperometro, che vale
5mA , e δI è la sua incertezza strumentale, che è già stata calcolata
e vale 20 µA . Dal valore di δV cosı̀ calcolato, detto F S 0 = 200 V
il fondo scala del voltmetro ottenuto, si ricava che la sua classe è:
0
cl = FS 100δV ≈ 1, 5
29
2. L’esame della formula che esprime l’incertezza di misura per il
ponte di Wheatstone consente d’altra parte di stabilire una possibile via da percorrere per rendere possibile il raggiungimento dello
scopo prefisso: l’eccessivo valore dell’incertezza che si ottiene con
tensioni di alimentazione del ponte normali è dovuto all’elevato
valore di dI , mentre l’accuratezza dei resistori campione è invece
adeguata allo scopo; pertanto l’acquisizione di un miglior rivelatore di zero offre la possibilità di ottenere il risultato richiesto. Detta
R l’incertezza relativa con cui sono note le resistenze campione,
la sensibilità amperometrica dI del nuovo rivelatore deve essere:
dI ≤ (RV − R ) 2REV = 2µA
30
Capitolo 4
Esercizi generici sul calcolo
delle incertezze
Questi esercizi sono concentrati sul calcolo delle incertezze e possono essere
risolti da una persona che, oltre alle lezioni sul calcolo dell’incertezza, abbia
seguito i corsi obbligatori di matematica e fisica. Scopo di questi esercizi
è dimostrare di aver capito le regole di propagazione dell’incertezza nelle
misurazioni indirette. L’esame non può essere considerato superato se non si
raggiunge la sufficienza nello svolgimento di questo tipo di esercizi.
4.1
Un apparecchio per la misura della densità di un liquido si compone di una
vasca rettangolare con dimensioni nominali 10cm 2 cm e massa a vuoto nominale 0.1kg. La misura si ottiene introducendo liquido nella vasca fino ad
un’altezza nominale di 5cm e pesando la vasca piena. Se:
• le dimensioni della vasca sono note con un’incertezza assoluta di ±1mm
• il misuratore ad ultrasuoni ha incertezza pari a ±0.1mm ± 0.01% del
valore misurato
• la massa a vuoto è nota con incertezza dello ±0.5%
• la massa misurata è 200 ± 1g
determinare la densità del liquido
31
4.2
Una emulsione di acqua distillata ed olio ha una densità di 0.9kg/dm3 ± 1%.
Se l’olio ha densità 0.8g/cm3 ± 0.01g/cm3 , quale è la concentrazione di olio
nell’emulsione?
4.3
Si deve stimare la densità di una lastra radiografica. Per fare ciò si eseguono
10 misure locali che danno i seguenti valori
m1 = m2 = m3 = 0.9
m4 = m5 = m6 = 0.8
m7 = m8 = m9 = 0.7
m10 = 0.8
(4.1)
Le misure possono essere considerate statisticamente indipendenti con
incertezza u(m) = 0.01. Quale è l’incertezza della densità media ? Se le
singole misure si possono considerare a distribuzione gaussiana, quale valore
di densità massima fornireste con probabilità del 99.7% ?
4.4
Un sistema di misura di posizione viene impiegato per rilevare le coordinate
di tre punti A=(0,0) cm; B=(10,5) cm; C=(5,10) cm.
Se l’incertezza con cui è nota ciascuna coordinata è ±0.01cm, quanto vale
l’area del triangolo ABC ?
4.5
Un sistema di misura di posizione viene impiegato per rilevare le coordinate
di tre punti A=(0,0) cm; B=(0,10) cm; C=(20,0) cm.
Se l’incertezza con cui è nota ciascuna coordinata è ±0.01cm, quanto vale
l’angolo con vertice in B ?
4.6
Una vasca cilindricha diametro di base pari a 2m ± 1cm ed altezza 3 ± 1cm.
Se la si vernicia con un impermeabilizzante che copre 3m2 /kg ± 1%, quanto
impermeabilizzante è necessario ?
32
4.7
la lunghezza della radice di un dente viene stimata a partire da una radiografia. I due punti estremi A e B della radice vengono fatti indicare da diversi
operatori ed il risultato, in coordinate lastra, è A=(10,20) u(a)=1 B=(50,80)
u(b)=2.
Una taratura ha indicato che uno spostamento sulla lastra pari a 50 unità
corrisponde a 2cm ± 0.1cm. Quale è la lunghezza della radice ?
4.8
Un distanziale viene realizzato giustapponendo una trave della lunghezza
0.19m ± 1% ed una trave di lunghezza 0.01m ± 5%. Quale è la lunghezza
complessiva della trave ?
4.9
Un tracciante viene eliminato dall’organismo in ragione costante del 2% ±
0.1% del valore iniziale all’ora. Dopo quanti giorni la concentrazione residua
scende sotto il 10% del valore iniziale ?
4.10
Un grave viene lasciato cadere da un’altezza di 10m ± 1cm. Essendo l’accelerazione di gravità pari a 9.81m/s2 ± 1%, dopo quanto tempo il grave cadrà
a terra ?
33
Capitolo 5
Esercizi sull’uso degli strumenti
di base
Questi esercizi sono concentrati sull’uso della strumentazione di base e possono essere svolti da chi è in grado di svolgere gli esercizi di cui al capitolo 4
ed ha seguito le lezioni relative alla strumentazione di base. L’esame non può
essere considerato superato se non si raggiunge la sufficienza nella risoluzione
di questo tipo di esercizi.
5.1
Caratteristiche degli strumenti
Per la determinazione delle incertezze durante i calcoli si faccia riferimento
alla seguente tabella, che riporta le caratteristiche di strumenti analoghi a
quelli disponibili in laboratorio.
5.1.1
Oscilloscopio
• Impostazione della base tempi a scatti 1-2-5 tra 20ns/div e 1 s/div
• Incertezza della base tempi: 0.01%
• Incertezza del valore di ritardo impostato: 0.01% del valore impostato
+200 ps
• Impostazione del fattore di scala a scatti 1-2-5 tra 0.1V/div e 10V/div
• Incertezza del fattore di scala verticale: 1.5%
• Banda passante dell’oscilloscopio: 60MHz
34
5.1.2
Voltmetro a vero valore efficace
• Accoppiamento AC (misura le sole componenti alternative del segnale)
• Range 1V e 10V
• Incertezza 0.1% della lettura più 0.05% del range
5.1.3
Voltmetro a valore medio
• Tarato in valore efficace
• Range 1V, 10V
• Classe 1
• Tre tipi di raddrizzatori
– Raddrizzatore a doppia semionda con accoppiamento in continua
– Raddrizzatore a doppia semionda con accoppiamento in alternata
– Raddrizzatore a singola semionda per semionda positiva ed accoppiamento in continua
5.1.4
Voltmetro di picco
• Tarato in valore efficace
• Range 1V, 10V
• incertezza 3% + 0.01% range
• due tipi di schemi
– condensatore in serie e diodo per semionde positive
– diodo in serie per semionde positive
5.1.5
Voltmetro in continua
• Range 1V, 10V
• incertezza 0.01% lettura + 0.005% range
35
5.1.6
Strumenti ad indice
• Range indicato volta per volta
• Carico strumentale indicato volta per volta
• Incertezza strumentale espressa come classe
• Incertezza di lettura trascurabile
36
5.2
Determinare l’ampiezza dei due segnali, la loro frequenza e lo sfasamento
reciproco.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
1ms/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
37
5.3
Determinare l’ampiezza dei due segnali, la loro frequenza e lo sfasamento
reciproco.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
1ms/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
38
5.4
Determinare l’ampiezza dei due segnali, la loro frequenza e lo sfasamento
reciproco.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
1ms/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
39
5.5
Determinare l’ampiezza dei due segnali, la loro frequenza e lo sfasamento
reciproco.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
1ms/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
40
5.6
Determinare l’ampiezza dei due segnali e lo sfasamento reciproco.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
XY
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
41
5.7
Determinare l’ampiezza dei due segnali e lo sfasamento reciproco.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
XY
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
42
5.8
Determinare l’ampiezza dei due segnali e lo sfasamento reciproco
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
XY
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
43
5.9
Determinare lo sfasamento dei segnali impiegando la seconda base tempi
per amplificare la parte di interesse. Indicare i valori necessari di velocità e
ritardo della seconda base tempi.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
1ms/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
44
5.10
Determinare lo sfasamento dei segnali impiegando la seconda base tempi
per amplificare la parte di interesse. Indicare i valori necessari di velocità e
ritardo della seconda base tempi.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
1ms/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
45
5.11
Determinare l’impostazione del trigger, sensibilità e base tempi per visualizzare nel modo migliore il disturbo presente sulla sinusoide.
Sensitivity Channel A 2V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B
off
Coupl.:DC
Time base A
1ms/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
46
5.12
Determinare l’impostazione del trigger, sensibilità e base tempi per visualizzare nel modo migliore il disturbo presente tra i segnali sinusoidali.
Sensitivity Channel A
Sensitivity Channel B
Time base A
Time base B
Delay
Trigger
2V/div Coupl.:DC
off
Coupl.:DC
10ms/div
off
300ms
Slope: + Coupl.:DC
47
5.13
Determinare il tempo di salita del segnale.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
20ns/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
48
5.14
Determinare le indicazioni attese dal voltmetro a vero valore efficace, dei tre
tipi di voltmetro a valor medio e dal voltmetro valore di picco; tenere conto
anche delle incertezze dell’oscilloscopio.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
20ns/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
49
5.15
Determinare le indicazioni attese dal voltmetro a vero valore efficace, dei tre
tipi di voltmetro a valor medio e dal voltmetro valore di picco; tenere conto
anche delle incertezze dell’oscilloscopio.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
20ns/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
50
5.16
Determinare le indicazioni attese dal voltmetro a vero valore efficace, dei tre
tipi di voltmetro a valor medio e dal voltmetro valore di picco; tenere conto
anche delle incertezze dell’oscilloscopio.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
20ns/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
51
5.17
Determinare le indicazioni attese dal voltmetro a vero valore efficace, dei tre
tipi di voltmetro a valor medio e dal voltmetro valore di picco; tenere conto
anche delle incertezze dell’oscilloscopio.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
20ns/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
52
5.18
Determinare le indicazioni attese dal voltmetro a vero valore efficace, dei tre
tipi di voltmetro a valor medio e dal voltmetro valore di picco; tenere conto
anche delle incertezze dell’oscilloscopio.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
20ns/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
53
5.19
Determinare le indicazioni attese dal voltmetro a vero valore efficace, dei tre
tipi di voltmetro a valor medio e dal voltmetro valore di picco; tenere conto
anche delle incertezze dell’oscilloscopio.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
20ns/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
54
5.20
Determinare l’indicazione attesa dal voltmetro in continua; tenere conto
anche delle incertezze dell’oscilloscopio.
Sensitivity Channel A 1V/div Coupl.:DC
Sensitivity Channel B 1V/div Coupl.:DC
Time base A
20ns/div
Time base B
off
Delay
300ms
Trigger
Slope: + Coupl.:DC
55
5.21
E’dato un segnale ad onda quadra, simmetrico, di ampiezza e duty cycle non
noti. Il voltmetro a vero valore efficace indica 1V ed il voltmetro a valor
medio a doppia semionda con accoppiamento in continua indica 2V. Quanto
valgono l’ampiezza ed il duty cycle del segnale?
5.22
E’dato un segnale ad onda quadra, simmetrico, di ampiezza e duty cycle non
noti. Il voltmetro di picco a vero valore efficace con diodo in serie indica
1V ed il voltmetro a valor medio a singola semionda con accoppiamento in
continua indica 0.5V. Quanto valgono l’ampiezza ed il duty cycle del segnale?
5.23
Si misura un segnale ad onda quadra, non simmetrico e con duty cycle 0.5. Il
voltmetro a vero valore efficace indica 4V ed il voltmetro in continua indica
1V. Quali sono i valori massimo e minimo del segnale ?
56
Capitolo 6
Altri esercizi
Questi esercizi aggiuntivi, parzialmente commentati e con indicazione del risultato, consentono di esplorare diversi aspetti del calcolo delle incertezze. Lo
svolgimento di questi esercizi richiede la conoscenza degli argomenti trattati
nel corso più quelli dei corsi obbligatori di matematica e fisica.
6.1
Scelta di un metodo di misura - II parte
In questo esercizio, prosecuzione dell’esercizio 3.2 si terranno gli effetti del
consumo dello strumento, che possono alterare i risultati di un processo di
misura anche in modo significativo.
6.1.1
PROBLEMA
Misurare la corrente che fluisce in un circuito misurando la caduta di tensione
che essa provoca ai capi di un shunt. Sono disponibili due shunt di valore
diverso ed un voltmetro elettronico di cui si conosce l’impedenza di ingresso.
6.1.2
DATI
• Voltmetro elettronico con fondo scala F S = 1V ; 10V ; 100V , accuratezza dichiarata dal costruttore V = 0.01%lettura + 0.001%F S ; resistenza di ingresso del voltmetro dichiarata dal costruttore Ri = 1M Ω; Ri =
10%
• Shunt tipo A: RA = 100Ω accuratezza dichiarata dal costruttore RA =
0.01%
57
• Shunt tipo B: RB = 1000Ω accuratezza dichiarata dal costruttore RB =
0.015%
• Valore nominale della corrente 1mA
6.1.3
DOMANDE
Determinare l’incertezza con cui si misura la corrente utilizzando i due resistori di shunt e indicare quale di essi consente di ottenere l’incertezza minore.
Considerare l’effetto della resistenza di ingresso del voltmetro, che non si può
assumere infinita, e procedere alla sua correzione.
6.1.4
COMMENTI
Essendo nota la resistenza di ingresso del voltmetro è possibile procedere alla
correzione dei sui effetti introducendoli nella formula impiegata per il calcolo
della corrente. Ovviamente la correzione non sarà completa, visto che la
resistenza stessa è nota con una incertezza non trascurabile, ma si tratterà di
un incertezza sulla correzione che, salvo casi anomali sarà minore degli altri
contributi di incertezza in gioco.
6.1.5
RISPOSTE
(I)
• Incertezza impiegando lo shunt A uc100
= 1.3 · 10−4 a 1σ e distribuI
−4
zione rettangolare ( I = 3.1 · 10 con il modello deterministico).
(I)
= 1.2 · 10−4 a 1σ e distribu• Incertezza impiegando lo shunt B uc1000
I
−4
zione rettangolare ( I = 3.6 · 10 con il modello deterministico).
• I risultati ottenibili con i due metodi di calcolo dell’incertezza questa volta portano a conclusioni di tipo diverso ! Si noti come l’effetto
della sommatoria quadratica legato al trattamento probabilistico dell’incertezza, di fatto elimini il contributo di incertezza connesso con il
consumo dello strumento, almeno nel caso di resistenza inferiore.
58
6.2
Misura della componente alternata di un
segnale
In questo esercizio si vedranno gli effetti sull’incertezza su una misurazione
condotta sostanzialmente per differenza
6.2.1
PROBLEMA
Determinare la componente alternata a frequenza 100Hz presente nella tensione disponibile all’uscita di un sistema di raddrizzamento filtrato con un
induttore serie. Si ha a disposizione un voltmetro magnetoelettrico ed uno
elettrodinamico.
6.2.2
DATI
• Voltmetro magnetoelettrico: classe 0.5, fondo scala 100V , 100 divisioni
• Voltmetro elettrodinamico: classe 1, fondo scala 100V , 100 divisioni
• Lettura del voltmetro magnetoelettrico 80 div
• Lettura del voltmetro elettrodinamico 85 div
6.2.3
DOMANDE
Determinare il valore picco-picco della componente alternata e la sua incertezza
6.2.4
COMMENTI
• Gli strumenti magnetoelettrici sono intrinsecamente sensibili al valore
medio della grandezza che viene loro applicata mentre gli strumenti
elettrodinamici sono sensibili al suo valore efficace.
• L’indice di classe di uno strumento è un metodo per fornire una indicazione di incertezza assoluta, che viene riportata come percentuale del
fondo scala dello strumento stesso e quindi classe 1 indica incertezza
assoluta costante per tutte le letture pari all’uno percento del sondo
scala.
• L’uscita di un sistema di raddrizzamento del tipo descritto si può
esprimere come V = Vm + Vp sinωt .
59
6.2.5
RISPOSTE
Il valore picco-picco della componente alternata è 81V con una incertezza
di 5.2V (1σ) pari a circa il 6.4% ( 12.3V con il metodo deterministico pari a
circa il 15% )
60
6.3
Errori nel ponte di Wheatstone - I parte
Il ponte di Wheatstone è largamente impiegato come sistema di zero per la
determinazione di valori resistivi con elevata accuratezza.
6.3.1
PROBLEMA
Effettuare una misura di resistenza tramite un ponte di Wheatstone.
6.3.2
DATI
• Ponte di Wheatstone con i quattro lati formati in sequenza da R1 , R2 , Rx, Rc
ed alimentazione connessa alle giunzioni R1 − Rc ed R2 − Rx
• Rc resistore a sette decadi 10kΩ; 1kΩ; 100Ω; 10Ω; 1Ω; 0.1Ω accuratezza
di ciascun resistore di ciascuna decade Rc = 2 · 10−4
• R1 = 100kΩR1 = 2 · 10−4
• R2 = 1kΩR2 = 5 · 10−6
• Rx resistore incognito
• Si ottiene l’azzeramento del ponte per Rc = 12000.0Ω
6.3.3
DOMANDE
Determinare la il valore della resistenza incognita e la sua incertezza.
6.3.4
COMMENTI
Il resistore a decadi è un resistore in cui il valore complessivo viene ottenuto
come somma di termini, inseriti tramite opportuni commutatori. Questa
considerazione è importante nel trattamento probabilistico dell’incertezza.
6.3.5
RISPOSTE
Il resistore incognito vale 120Ω con incertezza uc (Rx ) = 0.018Ω1σ (distribuzione rettangolare) pari a circa 0.015% (0.041% con il modello deterministico)
Il calcolo dell’incertezza espressa in forma statistica è stato fatto considerando scorrelate le incertezze dei resistori componenti la cassetta anche
se probabilmenteuna qualche forma di correlazione tra di essi esiste (vedere
primo esercizio).
61
6.4
Errori nel ponte di Wheatstone - II parte
Il ponte di Wheatstone è largamente impiegato come sistema di condizionamento per sensori di grandezze fisiche nei quali la traduzione è affidata ad
una variazione di resistenza.
6.4.1
PROBLEMA
Effettuare una misura di temperatura utilizzando un resistore in platino
PT100 montato in un ponte di Wheatstone.
6.4.2
DATI
• Ponte di Wheatstone come nell’esercizio precedente ma con Pt100 P t
in luogo di Rx
• P t resistore al platino RP t0 = 100Ω ± 1 · 10−2 Ωa0◦ C con coefficiente di
temperatura α = 4 · 10−3 ± 1 · 10−5◦ C−1
• Si ottiene l’azzeramento del ponte per Rc = 12000.0Ω
6.4.3
DOMANDE
Determinare la temperatura a cui si trova il PT100 e la incertezza della
temperatura stessa.
6.4.4
COMMENTI
Nel trattamento probabilistico dell’incertezza si dispone già di una incertezza
fornita sotto forma di scarto tipo dall’esercizio precedente. Si provi anche a
impiegare una incertezza tipo determinata dal valore deterministico dell’esercizio precedente. Il valore è più grande di quello determinato partendo
dall’inizio perché?
6.4.5
RISPOSTE
La temperatura è 50◦ C con una incertezza di 0.087◦ C(1σ) ( 0.25◦ C con il
metodo deterministico)
62
6.5
Errori nel ponte di Wheatstone - III parte
In questa terza parte si terrà conto della presenza del galvanometro e dell’effetto della sensibilità finita
6.5.1
PROBLEMA
Effettuare una misura di temperatura utilizzando un resistore in platino
PT100 montato in un ponte di Wheatstone.
6.5.2
DATI
• Ponte di Wheatstone come nell’esercizio precedente
• Sensibilità del galvanometro 10µV /div (si supponga infinita la resistenza interna).
• Alimentazione del ponte 10V
6.5.3
DOMANDE
• Determinare la temperatura a cui si trova il PT100 e la sua incertezza
tenedo conto della presenza del galvanometro
• La sensibilità del galvanometro è sufficiente ?
• Sarà possibile azzerare il ponte o sarà necessario interpolare ?
6.5.4
COMMENTI
6.5.5
RISPOSTE
• La temperatura è 50◦ C come nell’esercizio precedente e l’ incertezza è
0.087◦ C(1σ) ( 0.25◦ C con il metodo deterministico) come nell’esercizio
precedente
• La sensibilità del galvanometro consente di apprezzare variazioni di
resistenza di temperatura di 0.03◦ C e dunque la sensibilità è certamente
sufficiente.
63
• La sensibilità del galvanometro corrisponde ad una variazione di Rc
pari a 1.2Ω , valore che è ampiamente superiore alla risoluzione di Rc
, che è 0.1Ω . Per questo motivo non ci sarà necessità di interpolare.
64
6.6
Misura di un carico induttivo ad alto cosφ
- I parte
Questo è il primo di quattro esercizi molto simili in cui le diverse combinazioni
dei valori di resistenza e reattanza producono effetti molto diversi.
6.6.1
PROBLEMA
Misurare i parametri di un carico induttivo formato da un resistore in serie ad
un induttore potendo eseguire prove sia in corrente continua sia in corrente
alternata.
6.6.2
DATI
• Voltmetro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 10V , 100 div.
• Amperometro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 1A , 100 div.
• Wattmetro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 10W , cosφ = 1 , 100
div.
• Letture in corrente continua: voltmetro 91.5 div; amperometro 100 div.
• Letture in corrente alternata: voltmetro 100 div, amperometro 100 div,
wattmetro 91.5 div
6.6.3
DOMANDE
Determinare il valore di resistenza e reattanza ed impedenza del carico con
la minore incertezza possibile
6.6.4
COMMENTI
:
• Le informazioni sono ridondanti; si tratta di scegliere il modo più
corretto di impiegare i dati.
• Gli strumenti elettrodinamici forniscono una indicazione che è legata
al valore efficace della grandezza misurata
• Il wattmetro fornisce una indicazione che vale P = V · I · cos(φ)
65
6.6.5
RISPOSTE
Conviene ricavare la resistenza dalle misure in corrente continua ottenendo
cosı̀ 9.15Ω ± 0.43%(1σ) ( 1.05% con il metodo deterministico). L’impedenza
si può ricavare solo dalle grandezze alternate e vale 10Ω ± 0.4%(1σ) ( 1% con
il metodo deterministico). Il modo più conveniente di ricavare la reattanza è
tramite l’impiego delle sole grandezze in corrente alternata con cui si ottiene
4Ω ± 2.7%(1σ) ( 8% con il metodo deterministico). Impiegando anche le
grandezze continue si otterrebbe invece 4Ω ± 3.4%(1σ) ( 11.7% con il metodo
deterministico).
66
6.7
6.7.1
Misura di un carico induttivo ad alto cosφ
- II parte
PROBLEMA
Misurare un carico induttivo formato da un resistore in serie ad un induttore
avendo già determinato il valore di resistenza in precedenza.
6.7.2
DATI
• Voltmetro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 10V , 100 div.
• Amperometro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 1A , 100 div.
• Wattmetro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 10W , cosφ = 1 , 100
div.
• Resistenza del carico 9.165Ω ± 0.1%
• Letture (in corrente alternata): voltmetro 100 div, amperometro 100
div, wattmetro 91.5 div
6.7.3
DOMANDE
Determinare il valore di reattanza ed impedenza del carico con la minore
incertezza possibile
6.7.4
COMMENTI
Anche in questo esercizio le informazioni sono ridondanti; si tratta di scegliere
il modo più corretto di impiegare i dati.
6.7.5
RISPOSTE
L’ impedenza è la stessa dell’esercizio precedente e vale 10Ω ± 0.4%(1σ) (
1% con il metodo deterministico). Il modo più conveniente di ricavare la
reattanza è questa volta a partire dall’impedenza tenendo conto del valore di
resistenza. Si ottiene 4Ω ± 2.6%(1σ) ( 6.8% con il metodo deterministico)
67
6.8
6.8.1
Misura di un carico induttivo a basso cosφ
- I parte
PROBLEMA
Misurare un carico induttivo formato da un resistore in serie ad un induttore
potendo eseguire prove sia in corrente continua sia in corrente alternata.
6.8.2
DATI
• Voltmetro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 10V , 100 div.
• Amperometro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 1A , 100 div.
• Wattmetro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 10W , cosφ = 1 , 100
div.
• Letture in corrente continua: voltmetro 40 div; amperometro 100 div.
• Letture in corrente alternata: voltmetro 100 div, amperometro 100 div,
wattmetro 40 div
6.8.3
DOMANDE
Determinare il valore di resistenza, reattanza ed impedenza del carico con la
minore incertezza possibile
6.8.4
COMMENTI
Le informazioni sono ridondanti; si tratta di scegliere il modo più corretto di
impiegare i dati.
6.8.5
RISPOSTE
Conviene ricavare la resistenza dalle misure in corrente continua ottenendo
cosı̀ 4Ω ± 0.78%(1σ) (1.75% con il metodo deterministico). La impedenza si
può ricavare solo dalle grandezze alternate a vale 10Ω ± 0.41%(1σ) (1% con
il metodo deterministico). Il modo più conveniente di ricavare la reattanza è
tramite l’impiego delle sole grandezze in corrente alternata con cui si ottiene
9.16Ω ± 0.44%(1σ) (1.24% con il metodo deterministico)
68
6.9
6.9.1
Misura di un carico induttivo a basso cosφ
- II parte
PROBLEMA
Misurare un carico induttivo formato da un resistore in serie ad un induttore
avendo già determinato il valore di resistenza in precedenza.
6.9.2
DATI
• Voltmetro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 10V , 100 div.
• Amperometro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 1A , 100 div.
• Wattmetro elettrodinamico classe 0.5 fondo scala 10W , cosφ = 1 , 100
div.
• Resistenza del carico 4Ω ± 1 · 10−5
• Letture (in corrente alternata): voltmetro 100 div, amperometro 100
div, wattmetro 40 div
6.9.3
DOMANDE
Determinare il valore di reattanza ed impedenza del carico con la minore
incertezza possibile
6.9.4
COMMENTI
Anche in questo esercizio le informazioni sono ridondanti; si tratta di scegliere
il modo più corretto di impiegare i dati.
6.9.5
RISPOSTE
L’ impedenza è la stessa dell’esercizio precedente e vale 10Ω±1% . Il modo più
conveniente di ricavare la reattanza è questa volta a partire dalle sole misure
in corrente alternata senza utilizzare il valore di resistenza preventivamente
determinato. Si ottiene 9.16Ω ± 1.2%
69
6.10
Determinazione della resistenza interna
di un voltmetro
In questo esercizio si osserveranno i problemi relativi all’ottimizzazione delle
misure per differenza
6.10.1
PROBLEMA
Determinare la resistenza interna di un voltmetro tramite due misure a
tensione fissa, una delle quali condotta ponendo in serie al voltmetro una
resistenza di valore noto.
6.10.2
DATI
• Voltmetro 100V f s classe 0.5
• Resistenza interna dell’ordine di 100kΩ
6.10.3
DOMANDE
• Determinare il valore di resistenza serie che rende minima l’incertezza
nella stima di Ri
• Determinare l’incertezza risultante nel caso migliore.
6.10.4
COMMENTI
Nella ricerca del valore ottimo si deve ricordare che esiste un solo grado di
libertà; cioè, fissata la resistenza serie, il valore di tensione letto è univocamente determinato. Conviene esprimere tutto in funzione del rapporto tra
la lettura con la resistenza serie inserita e quella senza.
6.10.5
RISPOSTE
• La lettura senza resistenza serie conviene
sia fatta al fondo scala; la
√
resistenza serie deve essere pari a 2Ri
• nelle condizioni migliori l’incertezza è circa il 3%
70
6.11
6.11.1
Dimensionamento di un partitore - I parte
PROBLEMA
Costruire un divisore resistivo 1:2 (uscita metà dell’ingresso) usando due
cassette a decadi identiche
6.11.2
DATI
• Cassetta a quattro decadi 1 − 10 − 100 − 1000Ω , ciascuna decade
impostabile tra 0 e 9.
• Accuratezza delle decadi 1·10−2 , 1·10−3 , 5·10−4 , 1·10−4 rispettivamente
per le decadi 1, 10, 100, 1000Ω
6.11.3
DOMANDE
• Determinare i valori di resistenza da impostare sulle due decadi per
avere il partitore più accurato
• Determinare l’incertezza del rapporto di partizione
6.11.4
COMMENTI
Esistono varie possibili combinazioni che producono la stessa accuratezza
6.11.5
RISPOSTE
• Le resistenze impostate sulle due cassette devono essere uguali. Dato
che la decade da 1000Ω è la migliore conviene utilizzare solo quella;
pertanto sono valide tutte le coppie tra 1000 − 1000Ω e 9000 − 9000Ω
• L’incertezza del rapporto è 1 · 10−4
71
6.12
Dimensionamento di un partitore - II
parte
6.12.1
PROBLEMA
Costruire un divisore resistivo 1:2 usando due cassette a decadi identiche
nell’ipotesi che ad esso sia applicato un carico variabile tra R = ∞ e R =
100kΩ
6.12.2
DATI
• Cassetta a quattro decadi 1 − 10 − 100 − 1000Ω , ciascuna decade
impostabile tra 0 e 9.
• Accuratezza delle decadi 1·10−2 , 1·10−3 , 5·10−4 , 1·10−4 rispettivamente
per le decadi 1, 10, 100, 1000Ω
6.12.3
DOMANDE
• Determinare i valori di resistenza da impostare sulle due decadi per
avere il partitore più accurato
• Determinare l’incertezza del rapporto di partizione
6.12.4
COMMENTI
Essendo il carico variabile non è possibile impostare a priori il rapporto di
partizione per ottenere il valore corretto.
6.12.5
RISPOSTE
• Le resistenze impostate sulle due cassette devono essere uguali. Tenendo conto dell’effetto del carico i due valori migliori sono le coppie
10 + 10Ω e 100 + 100Ω
• L’incertezza del rapporto in entrambi i casi è 1 · 10−3
72
6.13
Dimensionamento di un partitore - III
parte
6.13.1
PROBLEMA
Costruire un divisore resistivo 1:10 usando due cassette a decadi con diverse
caratteristiche
6.13.2
DATI
• Cassetta A a tre decadi 100 − 1000 − 10000Ω , ciascuna decade impostabile tra 0 e 9.
• Accuratezza delle decadi della cassetta A 2 · 10−4 , 1 · 10−4 , 1 · 10−4
rispettivamente per le decadi 100, 1000, 10000Ω
• Cassetta B a tre decadi 100 − 1000 − 10000Ω , ciascuna decade impostabile tra 0 e 9.
• Accuratezza delle decadi della cassetta B 2 · 10−3 , 1 · 10−3 , 1 · 10−3
rispettivamente per le decadi 100, 1000, 10000Ω
6.13.3
DOMANDE
• Determinare i valori di resistenza da impostare sulle due decadi per
avere il partitore più accurato
• Determinare la posizione migliore per la cassetta più accurata (verso il
terminale comune o verso l’ingresso)
• Determinare l’incertezza del rapporto di partizione
6.13.4
6.13.5
COMMENTI
RISPOSTE
• Le resistenze impostate sulle due cassette devono essere in rapporto
9:1. Sono utilizzabili valori tra 1000 − 9000 e 10000 − 90000 .
• La posizione della cassetta più accurata è ininfluente.
• L’incertezza del rapporto è 1 · 10−4
73
6.14
6.14.1
Misura di una piccola resistenza - I parte
PROBLEMA
Si vuole misurare una piccola resistenza con un metodo volt-amperometrico
ma gli strumenti disponibili sono poco adatti
6.14.2
DATI
• Voltmetro 1.2V f s , 240 div. classe 0.5
• Amperometro 1Af s , 200 div. classe 0.5
• Resistenza da misurare circa 50mΩ
6.14.3
DOMANDE
Determinare l’incertezza con cui si determina la resistenza incognita
6.14.4
COMMENTI
Conviene utilizzare la massima corrente possibile per ridurre al minimo le
incertezze
6.14.5
RISPOSTE
L’incertezza è circa 12.5%
74
6.15
Misura di una piccola resistenza - II parte
6.15.1
PROBLEMA
Si vuole misurare una piccola resistenza con un metodo volt-amperometrico,
ma gli strumenti disponibile sono poco adatti; in particolare, il voltmetro
è poco sensibile e lavora all’inizio della scala. Si decide quindi di inserire
un resistore molto accurate in serie al misurando in modo da far lavorare il
voltmetro vicino al fondo scala e quindi con piccoli errori.
6.15.2
DATI
• Voltmetro 1.2V f s , 240 div. classe 0.5
• Amperometro 1Af s , 200 div. classe 0.5
• Resistenza da misurare circa 50mΩ
• Resistenza campione 1Ω ± 1 · 10−4
6.15.3
DOMANDE
Determinare l’incertezza con cui si determina la resistenza incognita
6.15.4
COMMENTI
Non sempre quel che luccica è oro !
6.15.5
RISPOSTE
L’incertezza è circa 22.5%
75
6.16
Propagazione di grandi errori
Le tecniche di linearizzazione delle funzioni coinvolte nelle misurazioni condotte in modo indiretto consentono grandi semplificazioni nel calcolo della propagazione degli errori, ma devono essere usate sempre con cautela,
specialmente in presenza di errori .. grandi..
6.16.1
PROBLEMA
Si vuole determinare la potenza assorbita da un bipolo ma si hanno a disposizione strumenti con campo di misura molto ampio in rapporto alle grandezze
presenti nel circuito
6.16.2
DATI
• Si dispongono il voltmetro e l’amperometro per misurare rispettivamente la tensione ai capi del bipolo e la corrente in esso circolante
• Voltmetro classe 1 100 V f.s. 100 divisioni
• Amperometro classe 1 10 A f.s. 100 divisioni
• Lettura voltmetro 3 div.
• Lettura amperometro 4 div.
6.16.3
DOMANDE
Determinare il valore di potenza assorbita dal bipolo in modo che l’incertezza
sia la minima possibile
6.16.4
COMMENTI
Gli errori sono molto grandi visto che gli strumenti lavorano all’inizio della
scala. In questi casi può accadere che la linearizzazione applicata usualmente
nella propagazione degli errori introduca di per sé errori inaccettabili. Se
il sistema non è lineare è anche possibile che le fasce di incertezza siano
dissimmetriche rispetto al valore nominale e quindi che questo valore, benché
sembri il più naturale da usare, non sia quello che rende minima l’incertezza.
76
6.16.5
RISPOSTE
• Linearizzando si ottiene P = 1.2 W con incertezza 58 %
• Effettuando una analisi senza linearizzazione si ottengono P min 0.6
W e P max 2 W. Il risultato che rende minima l’incertezza espressa in
modo simmetrico è quindi P = 1.3 W con incertezza 54 %
• Se non si modifica il valore centrale ma si mantiene 1.2 W l’incertezza
massima raggiunge il 66 %
77
6.17
Errori nel ponte di Wheatstone - IV parte
Scopo di questo esercizio è l’analisi delle incertezze nel caso si debbano misurare piccole differenze rispetto ad un valore che non è necessario sia noto
con grande accuratezza
6.17.1
PROBLEMA
Misurare variazioni di temperatura dell’ordine di 1◦ C attorno ad un valore
di 50◦ C utilizzando un resistore in platino PT100 montato in un ponte di
Wheatstone.
6.17.2
DATI
• Ponte di Wheatstone e Pt100 come negli esercizi precedenti
• La temperatura attorno a cui si lavora è 50◦ C
• La variazione di temperatura da misurare è 1◦ C
6.17.3
DOMANDE
• Con che incertezza è possibile misurare una variazione di temperatura
di 1◦ C ?.
• Le incertezze nella conoscenza dei parametri del PT100 influiscono sul
risultato finale ?
6.17.4
COMMENTI
L’incertezza (in valore assoluto) che si consegue nella misura della temperatura è diversa da quella ottenuta negli esercizi precedenti perché in questo
caso si effettua solo la misura di un incremento di una quantità anziché del
suo valore totale. Molti strumenti e metodi di misura si comportano meglio in questa situazione. Fanno eccezione quei dispositivi caratterizzati da
un errore assoluto costante lungo la scala (come ad esempio gli strumenti a
indice)
78
6.17.5
RISPOSTE
• La misurazione si può effettuare con una incertezza di 6, 6 · 10−4◦ C
• L’incertezza nella conoscenza del valore di α non è più trascurabile
79
6.18
6.18.1
Resistenze in parallelo
PROBLEMA
Costruire un resistore da 950Ω avendo a disposizione due resistori fissi da
500Ω ed una cassetta a decadi
6.18.2
DATI
• Resistore fisso RA valore nominale 500Ω , incertezza 2 · 10−5
• Resistore fisso RB valore nominale 500Ω incertezza 5 · 10−5
• Cassetta a decadi valore massimo 100kΩ risoluzione 1Ω incertezza 1 ·
10−3
6.18.3
DOMANDE
Determinare il valore da impostare sulla cassetta e l’incertezza del resistore
ottenuto utilizzando tutte le possibili combinazioni di circuiti serie-parallelo.
6.18.4
COMMENTI
La cassetta a decadi ha una incertezza notevolmente superiore ai resistori
fissi e quindi è assurdo utilizzarla da sola. Le altre tre possibili combinazioni
danno risultati analoghi ma ovviamente non identici.
6.18.5
RISPOSTE
Vi sono sette configurazioni che producono il risultato richiesto: 1- cassetta
usata da sola, impostata a 950Ω con incertezza finale 1 · 10−3 ; 2- cassetta in
serie a RA , impostata a 450Ω con incertezza 4, 84 · 10−4 ; 3- cassetta in serie
a RB impostata a 450Ω con incertezza 5 · 10−4 ; 4- cassetta in parallelo alla
serie di RA e RB , impostata a 19000Ω con incertezza 8, 32 · 10−5 ; 5- cassetta
in parallelo a RA il tutto in serie a RB , impostata a 4500Ω con incertezza
8, 22 · 10−5 ; 6- cassetta in parallelo a RB il tutto in serie a RA , impostata
a 4500Ω con incertezza 7, 92 · 10−5 , 7- cassetta in serie al parallelo di RA ed
RB impostata a 700Ω con incertezza 7, 46 · 10−5
80