La Bussola Magnetica di V. Croquette

La Bussola Magnetica di V. Croquette
Dipartimento di Fisica, Università di Bologna
Ghirardini Stefano
01/06/2009
[email protected]
Strumento reale:
La bussola magnetica di Croquette consta di un ago magnetico immerso in un campo
magnetico fisso ed in uno rotante, entrambi i campi sono perpendicolari all'asse di rotazione
dell'ago.
Il campo rotante ruota con velocità angolare fissata, i moduli dei campi sono costanti nel
tempo.
Dinamica:
m
 = momento magnetico dell'ago.
BF = campo magnetico fisso.
BR = campo magnetico rotante.
 = momento della forza dell'ago magnetico, .
N
L = momento della quantità di moto dell'ago magnetico.


I

= angolo tra l'ago magnetico e il campo fisso.
= angolo tra il campo rotante e il campo fisso.
= momento inerziale dell'ago magnetico.
= coefficiente d'attrito, positivo.

 = ∂L
N
∂t
 = m
N
 × BF  m
 × BR
Il momento magnetico e i due campi giacciono sullo stesso piano perpendicolare all'asse di
rotazione della bussola, quindi entrambi i momenti sono diretti lungo l'asse di rotazione e si
possono sostituire le loro proiezioni lungo quell'asse:
N = m B F sin   m BR sin  − 
L = I ̇
e quindi, aggiungendo anche l'attrito:
I ̈ = m B F sin   m BR sin  −  −  ̇
Adimensionalizziamo il tutto:
m BF
m BR

BF =
, BR =
,  =
I
I
I
̈ = BF sin   BR sin −  −  ̇
Siccome:
 = 0   t
L'unica incognita dell'equazione rimane  .
Ora possiamo scegliere se considerare solo la bussola ed avere un sistema non autonomo
con 2 dimensioni nello spazio delle fasi, , ̇ , oppure considerare anche il campo rotante
ed avere un sistema autonomo con 4 dimensioni, , ̇, , ̇ .
Dal momento che ̇ è costante il tutto si riduce ad un sistema autonomo con 3 gradi di
libertà:
d
= ̇
dt
d ̇
= BF sin   BR sin −  −  ̇
dt
d
= 
dt
Di cui non c'è soluzione analitica.
Simulazione 1:
Codice in C++, il programma utilizza un integratore di Runge-Kutta del quarto ordine, si
prendono 7 punti di partenza con diversi  , i valori del vettore , ̇,  vengono salvati
ad ogni iterazione e possono essere visualizzati con Gnuplot per ottenere plot sia
bidimensionali che tridimensionali, i valori di  e  variano nell'intervallo 0 , 2 .
dt = 1⋅10−4
N iterazioni = 5000
 = 1
I parametri da variare per osservare i vari regimi del sistema sono B R e  .
B F e  rimangono sempre gli stessi.
Risultati (in asse orizzontale
B F = 0,5 , B R = 0 ,  = 0

, in verticale
̇
):
B F = 0,5 , B R = 0,01 ,  = 0
B F = 0,5 , B R = 0,04 ,  = 0
B F = 0,5 , B R = 0,1 ,  = 0
B F = 0,5 , B R = 0,2 ,  = 0
B F = 0,5 , B R = 0,3 ,  = 0
B F = 0,5 , B R = 0,4 ,  = 0
B F = 0,5 , B R = 0 ,  = 0,1
B F = 0,5 , B R = 0,1 ,  = 0,1
B F = 0,5 , B R = 0,2 ,  = 0,1
B F = 0,5 , B R = 0,3 ,  = 0,1
B F = 0,5 , B R = 0,4 ,  = 0,1
B F = 0,5 , B R = 0,9 ,  = 0,1
B F = 0,5 , B R = 1,0 ,  = 0,1
B F = 0,5 , B R = 2,0 ,  = 0,1
B F = 0,5 , B R = 10,0 ,  = 0,1
Le proprietà della dinamica di un sistema sono legati agli esponenti di Lyapunov del
sistema.
Un esponente di Lyapunov associato ad una dimensione dello spazio delle fasi non fa altro
che dire come si comportano le distanze tra i punti nello spazio delle fasi lungo quella
specifica dimensione.
Se l'esponente è 0 lungo quella dimensione le distanze si conservano; se è positivo le
distanze di dilatano, così come l'errore associato alle variabili in evoluzione, per
quest'ultimo motivo se è presente un esponente di Lyapunov positivo la dinamica diventa
imprevedibile poiché l'errore si espande a tal punto da non poter più rintracciare il punto
precedente dell'evoluzione; se è negativo le distanze si contraggono.
E' detto esponente di Lyapunov massimo, o k-dimensionale con k pari al numero totale di
dimensioni dello spazio delle fasi in questione (nel nostro caso 3), la somma degli esponenti
di Lyapunov 1-dimensionali;
k = lim t ∞
V k t 
1
ln k
t − t 0 V t 0 
Dove V k t  è il volume k-dimensionale all'istante t.
Il valore di questo esponente determina la dinamica del sistema:
•
Esponente massimo uguale a 0, dinamica conservativa, i volumi nello spazio delle
fasi si conservano:
◦ Se è somma di tutti esponenti 1-dimensionali uguali a 0 la dinamica è periodica o
•
quasi-periodica e deterministica, le orbite giacciono su un toro nello spazio delle
fasi, se l'orbita è aperiodica il toro viene ricoperto interamente, se l'orbita è
periodica si chiude e ne ricopre solo una parte.
◦ Se sono presenti delle coppie di esponenti che si annullano vicendevolmente
l'orbita diventa stocastica e tende ad occupare densamente un volume nello spazio
delle fasi, perpendicolarmente al flusso i volumi vengono stirati lungo alcune
direzioni e contratti lungo altre, la forma iniziale può cambiare sostanzialmente,
la presenza di esponenti positivi porta all'imprevedibilità.
Esponente massimo negativo, sistema dissipativo, i volumi nello spazio delle fasi si
contraggono verso un attrattore:
◦ Tutti gli esponenti 1-dimensionali sono negativi, tutte le direzioni contraggono,
l'attrattore è un punto.
◦ Alcuni esponenti sono nulli, gli altri negativi, la dimensione dell'attrattore è pari
al numero di esponenti non negativi.
◦ C'è almeno un esponente positivo, la dinamica è imprevedibile nonostante la
presenza di un attrattore, “attrattore strano”, dimensione dell'attrattore frazionaria.
Nel nostro caso:
• In assenza di attrito:
◦ Quando il campo rotante è nullo le orbite sono periodiche.
◦ Finché il campo rotante è piccolo rispetto a quello fisso rimangono visibili alcune
strutture toroidali delle orbite quasi periodiche.
◦ Quando il campo rotante diventa comparabile con quello fisso la dinamica è
completamente caotica e le traiettorie occupano densamente un volume nello
spazio delle fasi, anche se rimangono visibili alcuni tratti di orbite.
•
In presenza di attrito:
◦ Se il campo rotante è nullo le traiettorie convergono.
◦ Se il campo rotante è abbastanza piccolo l'attrattore è un ciclo limite.
◦ Tra B R = 0,3 e B R = 0,4 si osserva la comparsa di un comportamento
caotico, “nasce” l'attrattore strano.
◦ Con B R 1,0 nascono delle strutture periodiche e si assiste ad una perdita di
caoticità.
Appendice: dipendenza dalle condizioni iniziali
Dalle simulazioni sembra che il valore del campo magnetico rotante che determina la
formazione dell'attrattore strano dipenda in qualche maniera dalle coordinate del punto
iniziale dello spazio delle fasi che viene fatto evolvere.
0 = 0,1
•
B R = 0,326
B R = 0,327
B R = 0,328
B R = 0,329
•
BR
0 = 0,6
= 0,332
B R = 0,333
B R = 0,334
B R = 0,335
0 = 1,1
•
B R = 0,290
B R = 0,291
B R = 0,292
B R = 0,326
In questo caso sembra comparire una sorta di ritorno all'ordine tra B R = 0,327 e
B R = 0,332 , intervallo in cui le forme delle traiettorie non hanno sostanziali differenze
(vedere sotto), poi ritorna il regime “strano” a B R = 0,333 .
B R = 0,327
B R = 0,332
B R = 0,333
B R = 0,334
•
BR
0 = 1,6
= 0,326
B R = 0,327
B R = 0,328
•
BR
0 = 2,1
= 0,324
B R = 0,326
B R = 0,329
B R = 0,325
B R = 0,327
•
BR
0 = 2,6
= 0,314
B R = 0,316
•
BR
0 = 3,1
= 0,306
B R = 0,315
B R = 0,317
B R = 0,307
B R = 0,308
B R = 0,309
0 = 3,6
•
B R = 0,315
B R = 0,316
B R = 0,317
B R = 0,318
•
BR
0 = 4,1
= 0,332
B R = 0,334
•
BR
0 = 4,6
= 0,332
B R = 0,333
B R = 0,335
B R = 0,333
B R = 0,334
B R = 0,335
0 = 5,1
•
A questo punto si assiste di nuovo a quelle che sembrano due transizioni consecutive, anche se in un
intervallo molto più breve, e, a differenza di prima, sembrano due aumenti di disordine.
B R = 0,329
B R = 0,331
B R = 0,332
B R = 0,333
B R = 0,334
•
BR
0 = 5,6
= 0,302
B R = 0,304
B R = 0,335
B R = 0,303
B R = 0,305
0 = 6,1
•
Qui assistiamo di nuovo all'apparente sequenza ordine-disordine-ordine-disordine.
B R = 0,308
B R = 0,309
B R = 0,310
B R = 0,321
B R = 0,322
B R = 0,333
B R = 0,334
B R = 0,335
Tutte le curve sono state simulate con:
−8
dt = 1⋅10
N iterazioni = 500000
 = 1
B F = 0,5
 = 0,1
˙0 = 0,0
0 = 0,0
Grafico:
In asse orizzontale il valore di partenza di  delle traiettorie, in asse verticale la prima
apparizione dell'attrattore strano (si ricorda che  varia in 0 , 2 ).
Questa analisi è stata condotto solo fino alla terza cifra decimale del campo rotante.