BREVE RIEPILOGO SULLE FRAZIONI
Linea di frazione
= divisione
3 ---> Numeratore = numero di parti uguali considerate
<--- ––
5 ---> Denominatore = numero di parti uguali in cui è
diviso l'intero
3
si può leggere in modi diversi: tre quinti, tre fratto cinque, tre su cinque, tre diviso 5.
5
3
=3:5=0,6
La linea di frazione corrisponde ad una divisione:
5
3
Prendere i
di una certa quantità detta “intero”,
5
ad esempio un numero o un segmento o una figura
geometrica, significa dividere l'intero in 5 parti
uguali e prenderne 3.
3
Quindi per calcolare i
di un numero che rappresenta l'intero bisogna dividere l'intero per il
5
denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore.
3
3
×20=(20 :5)×3=4×3=12
Calcolare i
di 20 vuol dire calcolare:
5
5
3
AL CONTRARIO: se un valore, ad esempio 15, corrisponde ai
di un intero, vuol dire che l'intero è
5
stato diviso in 5 parti uguali e 3 parti insieme valgono 15, quindi ogni parte vale 15:3=5.
Per calcolare l'intero bisogna divivere il numero dato per il numeratore e moltiplicare il risultato
3
per il denominatore. Se 15 corrisponde ai
di un intero allora intero= (15 : 3) x 5 = 5 x 5 = 25
5
la frazione
Due o più frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano la stessa
parte dell'intero e quindi corrispondono allo stesso valore, ad esempio
1 2 3
= = =0, 25 . Per trovare frazioni equivalenti si applica la
4 8 12
proprietà invariantiva della divisione , cioè si moltiplica o divide
numeratore e denominatore per lo stesso numero diverso da zero.
2 2×3 6
8
8 :8 1
=
= =0,4 ;
=
= =0,2
Ad esempio
5 5×3 15
40 40 : 8 5
Una frazione è ridotta ai minimi termini quando
numeratore e denominatore sono primi tra loro.
Ridurre una frazione ai minimi termini vuol dire trovare
una frazione equivalente in cui numeratore e
denominatore siano primi tra di loro. Quindi per
ridurre una frazione ai minimi termini applico la
proprietà invariantiva: divido numeratore e
denominatore per lo stesso numero diverso da zero
fino a quando numeratore e denominatore sono primi
tra loro.
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
ADDIZIONE e SOTTRAZIONE
FRAZIONI CON STESSO DENOMINATORE
+
=
+
3
5
=
1
5
4
5
La SOMMA di due o più frazioni con stesso denominatore è la frazione che ha:
→ per denominatore lo STESSO DENOMINATORE
→ per numeratore la SOMMA DEI NUMERATORI
Esempi:
2 4 2+4 6
+ =
= ;
9 9
9
9
14 2 14+2 16
+ =
=
3 3
3
3
3
5
-
=
1
5
=
2
5
La DIFFERENZA di due o più frazioni con stesso denominatore è una frazione che ha:
→ per denominatore lo STESSO DENOMINATORE
→ per numeratore la DIFFERENZA DEI NUMERATORI
Esempi:
4 2 4−2 2
− =
= ;
9 9
9
9
14 2 14−2 12
− =
=
3 3
3
3
2 1 3
− + =?
3 4 5
FRAZIONI CON DIVERSO DENOMINATORE
Prima di svolgere le operazioni bisogna TRASFORMARE TUTTE le frazioni in frazioni equivalenti CON
LO STESSO DENOMINATORE. Poi è possibile addizionare o sottrare i numeratori trasformati come
visto nel caso precedente. I passaggi da seguire sono:
1) Calcolare il denominatore comune cioè il minimo comune multiplo di TUTTI i denominatori:
denominatore comune = m.c.m (3, 4, 5) = 60
2) Trasformare TUTTE le frazioni in modo che abbiano il denominatore uguale al denominatore
comune. Per farlo uso la proprietà invariantiva: moltiplico numeratore e denominatore per lo stesso
numero in modo da ottenere come denominatore 60.
2 2×20 40
=
=
3 3×20 60
;
1 1×15 15
=
=
4 4×15 60
;
3 3×12 36
=
=
5 5×12 60
Come si calcola il numero per cui devo moltiplicare per ottenere 60?
→ Con l'operazione inversa: dividere il denominatore comune per i denominatori delle frazioni:
60 : 3 = 20 ; 60 : 4 = 15 ; 60 : 5 = 12
3) Svolgere le operazioni come visto prima con le frazioni trasformate con lo stesso denominatore:
2 1 3 40 15 36 40−15+36 61
− + = − + =
=
3 4 5 60 60 60
60
60
NELLA PRATICA per comodità si uniscono i passaggi 2 e 3 quindi alla fine :
→ si traccia un'unica riga di frazione, si calcola il denominatore comune e si scrive a denominatore
→ a numeratore, per calcolare i numeri da sommare o sottrarre, si divide il denominatore comune
per il denominatore di ogni frazione e si moltiplica il risultato per il numeratore:
2 1 3 (60:3)×2−(60 : 4)×1+(60 : 5)×3 20×2−15×1+12×3 40−15+36 61
− + =
=
=
=
3 4 5
60
60
60
60
NOTE IMPORTANTI
PRIMA DI SVOLGERE I PASSAGGI E' MOLTO UTILE RIDURRE LE FRAZIONI AI MINIMI TERMINI
altrimenti si rischia di svolgere conti con numeri inutilmente grandi con cui è più facile sbagliare.
SE SONO PRESENTI DEI NUMERI INTERI BISOGNA RICORDARE CHE CORRISPONDONO A
FRAZIONI CON DENOMINATORE UGUALE A 1 .
3
5
2 3
1 5
Ad esempio: 2+ = + =
(5: 1)×2+(5: 5)×3 5×2+1×3 10+3 13
=
=
=
5
5
5
5
MOLTIPLICAZIONE
Il PRODOTTO di due o più frazioni è una frazione che ha:
→ per numeratore il PRODOTTO dei NUMERATORI
→ per denominatore il PRODOTTO dei DENOMINATORI
Esempi:
2 4 2×4 8
× =
=
;
3 5 3×5 15
2 3 2 3×2 6
3× = × =
= ;
7 1 7 1×7 7
1 2 4 1×2×4 8
× × =
=
3 5 3 3×5×3 45
NOTE IMPORTANTI
PRIMA di svolgere i prodotti è molto utile RIDURRE LE FRAZIONI AI MINIMI TERMINI.
Per farlo applichiamo la proprietà invariantiva: dividiamo per lo stesso numero un NUMERATORE E
UN DENOMINATORE QUALSIASI. Questa operazione si dice “semplificazione a croce”.
Esempi:
;
ERRORE GRAVE
DA NON COMMETTERE
← NON SI POSSONO
SEMPLIFICARE TRA LORO
DUE NUMERATORI O DUE
DENOMINATORI
→ Per capire il significato della regola della moltiplicazione dobbiamo ricordare che:
il prodotto di due numeri rappresenta l'area di un rettangolo con i lati lunghi quanto i numeri
2 x 3 = 6 → 6 è l'area di un rettangolo con i lati lunghi 2 e 3
il rettangolo è formato da 2 righe ognuna con 3 quadratini
La stessa cosa vale quando si moltiplicano due frazioni!
Nel disegno si vede un quadrato di lato 1 la cui area vale 1 x 1 = 1.
Un lato è stato diviso in 3 parti uguali e l'altro lato in 5 parti uguali.
In questo modo si sono formati 3 x 5 = 15 rettangolini uguali, per cui
l'area di un rettangolino, colorata in blu, è
1
dell'area totale.
15
Quindi ci ritroviamo con la regola della moltiplicazione:
area di un rettangolino =
1 1 1×1 1
× =
=
3 5 3×5 15
Prima di ricordare la regola della divisione, è importante ricordare che:
→ la frazione INVERSA (o RECIPROCA) di un frazione data si ottiene SCAMBIANDO il numeratore con
denominatore. Il prodotto di una frazione con la sua inversa è uguale a 1
Esempi:
1 2
1 3
2
3
––
inversa → –– ; prodotto –– x –– = 1
1 3
1 2
3
2
2
2 = ––
1
1
inversa → ––
2
1
; prodotto 1 2 x –– = 1
1 2
DIVISIONE
→ La divisione tra due frazioni si svolge moltiplicando la prima per l'inverso della seconda:
Esempi:
1 2 1 5 5
2 5 10 1
: = × = → verifichiamo il risultato con la prova della divisione:
× = =
3 5 3 2 6
5 6 30 3
3
3 1 3
3
6 3
:2= × =
=
→ verifichiamo il risultato con la prova della divisione: 2× =
7
7 2 14
14 14 7
POTENZA
L'operazione dell'elevamento a potenza è la stessa operazione già vista per i numeri interi.
→ La potenza di una frazione, detta base della potenza, si ottiene moltiplicando la frazione per se
stessa tante volte quante indica l'esponente della potenza.
Esempi:
2 2 2 2 2×2 22 4
;
= × =
= =
5
5 5 5×5 52 25
()
3 3 3 3 3 3×3×3 33 27
= × × =
= =
4
4 4 4 4×4×4 4 3 64
()
Dagli esempi si capisce che:
→ la potenza di una frazione si ottiene elevando all'esponente il numeratore e il denominatore
Inoltre valgono tutte le proprietà delle potenze viste per i numeri interi:
2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( )
2 2 2 3 2
×
=
5
5
5
2+3
2
=
5
5
2 2 3 2 2 3 2
6
×
= × =
5
7
5 7
35
() () (
2 4 2 2 2
:
=
5
5
5
;
2
4− 2
2
=
5
2
=
2×3
2
5
2 2 3 2 2 3 2 2 7 2 14
:
= :
= × =
5
7
5 7
5 3
15
) ( ) ()() ( ) (
;
;
2
5
=
2
) ( )
2
5
6
;
TABELLA RIASSUNTIVA
NOTA: PRIMA DI SVOLGERE LE OPERAZIONI RIDUCI LE FRAZIONI AI MINIMI TERMINI
OPERAZIONE
REGOLA
ESEMPI
ADDIZIONE e
Denominatore: il denominatore
SOTTRAZIONE resta uguale
STESSO
DENOMINATORE Numeratore: si sommano o
sottraggono i numeratori di ogni
frazione
ADDIZIONE e
Denominatore:
SOTTRAZIONE si calcola il minimo comune
DENOMINATORE multiplo di tutti i denominatori
DIVERSO
Numeratore: si sommano o
sottraggono i numeratori DOPO
AVER TRASFORMATO le frazioni
in frazioni equivalenti con stesso
denominatore
1)
2)
POTENZA
La divisione tra due frazioni si
trasforma nella moltiplicazione
della prima frazione per
l'INVERSA della seconda
Si elevano all'esponente della
potenza sia il numeratore che il
denominatore. Valgono tutte le
proprietà viste con gli interi.
2)
5 3 5−3 2
− =
=
9 9
9
9
3 1 (12: 4)×3−(12 : 6)×1
− =
=
4 6
12
3×3−2×1 9−2 7
=
=
=
12
12 12
1)
Numeratore: si moltiplicano tra
di loro i numeratori
DIVISIONE
2 4 2+4 6
+ =
=
7 7
7
7
1 2 (15: 3)×1+(15 :5)×2
+ =
=
3 5
15
5×1+3×2 5+6 11
=
=
=
15
15 15
MOLTIPLICAZIONE Denominatore: si moltiplicano
tra loro i denominatori
→ Semplificazione a croce: si
possono semplificare tra loro un
qualsiasi numeratore con un
qualsiasi denominatore
1)
2 5 2×5 10
× =
=
3 7 3×7 21
2)
3)
1)
2 5 2 7 2×7 14
: = × =
=
3 7 3 5 3×5 15
2)
2
2 1 2×1 2
:5= × =
=
3
3 5 3×5 15
2 3 23 8
= 3=
3
3 27
()
