2 2 6 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI Fondamenti di teoria dei circuiti elettrici (ultimo aggiornamento: 8 Novembre 2000) In questo capitolo vengono richiamate le grandezze elettriche fondamentali. La teoria dei circuiti elettrici puo essere ricavata a partire dalla trattazione classica dell'elettromagnetismo. In particolare, i parametri macroscopici degli elementi circuitali dipendono dalle proprieta microscopiche. Verranno inoltre illustrate le leggi fondamentali per la risoluzione dei circuiti in continua (in cui le grandezze elettriche sono costanti nel tempo). 2.1 Carica elettrica La carica elettrica e una proprieta che caratterizza ogni particella, come la massa. A dierenza della massa, che non puo essere negativa, la carica elettrica puo essere sia positiva sia negativa. La carica elettrica si misura in coulomb (C) 1 . Tutte le cariche elettriche sono multiple di una carica elementare q = 1:6021 10 19 C. La carica del protone e +q, mentre la carica dell'elettrone e q. Poiche in ogni atomo e in ogni molecola il numero delle cariche positive (protoni) e uguale al numero delle cariche negative (elettroni), la materia generalmente presenta caratteristiche di neutralita dal punto di vista elettrico. E possibile produrre cariche elettriche isolate solo separando cariche positive da cariche negative; non e possibile produrre solamente cariche di una polarita. Vale il principio di conservazione della carica : in un sistema isolato la carica totale si conserva. 2.2 Forza di Coulomb (*) Due particelle con cariche q1 e q2 si attraggono (se le cariche sono di segno opposto) o si respingono (se le cariche sono dello stesso segno) con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle cariche q1 e q2 , e inversamente proporzionale al quadrato della distanza R12 che separa le due cariche. Questa forza si chiama forza di Coulomb [3, pagine 3{4]. La forza di Coulomb che agisce sulla carica q1 e: 1 q1 q2 ~u ~1 = F (2.1) R12 2 4 R12 dove ~uR12 e il vettore unitario (versore) diretto da q2 a q1 , come illustrato nella Fig. 2.1. q2 uR12 F1 F2 + + q 1 Figura 2.1: Forza di Coulomb tra due cariche elettriche. 1 Charles-Augustin de Coulomb, 1736{1806. Fisico francese, uÆciale del genio e studioso di meccanica, pose i fondamenti dell'elettrostatica e del magnetismo. 2 7 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI Come e noto, la forza si misura in newton (N) 2 . Si noti che il segno positivo nella (2.1) indica che la forza e repulsiva per cariche aventi lo stesso segno. Sulla carica q2 agisce una forza uguale e contraria: ~2 = F ~1 F (2.2) La costante che compare nella (2.1) e detta costante dielettrica , e si misura in farad al metro (F/m). Ogni materiale presenta un suo valore caratteristico di costante dielettrica. Nel vuoto la costante dielettrica e 0 = 8:8544 10 12 F/m. In un mezzo materiale, la costante dielettrica viene scritta come: = 0 r (2.3) dove r e la costante dielettrica relativa (adimensionale). 2.3 Campo elettrico (*) Il campo elettrico generato da una carica Q e dato da: 1 Q ~u E~ = 4 (2.4) R R2 Il campo elettrico puo essere considerato come il rapporto tra la forza che agisce su una carica q0 e la carica q0 medesima [3, pagina 7]: ~ E~ = qF (2.5) 0 Il campo elettrico si misura in volt al metro (V/m), che equivalgono a newton al coulomb (N/C). 2.4 Dierenza di potenziale La dierenza di potenziale o tensione tra due punti a e b e l'integrale di linea del campo elettrico su un percorso qualsiasi l che congiunge a e b: Vab = Z b a E~ d~l (2.6) La Fig. 2.2 illustra un esempio di integrale di linea; la dierenza di potenziale e indipendente dal percorso l e dipende solo dai punti iniziale e nale. Invertendo i due estremi del percorso, la dierenza di potenziale cambia segno: Vba = Vab (2.7) Nel caso in cui il percorso sia chiuso, cioe i due estremi siano coincidenti, la dierenza di potenziale e nulla. La dierenza di potenziale (o tensione ) si misura in volt (V) 3 . 2.5 Energia L'energia (o lavoro) occorrente per muovere una particella con carica q0 da un punto a a un punto b e l'integrale di linea della forza applicata sul percorso l tra a e b: Wab = 2 Z b a F~ d~l (2.8) Isaac Newton, 1643{1727. Fisico, matematico e astronomo inglese, fondo il calcolo innitesimale, den le leggi della dinamica e perfeziono la formulazione della meccanica classica. 3 Alessandro Volta, 1745{1827. Fisico italiano, inventore della pila. Docente di sica a Pavia dal 1778, per primo introdusse i concetti di tensione, carica e capacita. 2 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI 8 b l dl a E Figura 2.2: Dierenza di potenziale tra due punti a e b. Poiche dalla (2.5) F~ = q0 E~, risulta Wab = Z b a q0 E~ d~l = q0 Z b a E~ d~l = q0Vab (2.9) L'energia si misura in joule (J) 4 . 2.6 Potenza La potenza e la derivata dell'energia rispetto al tempo: P = dW dt (2.10) La potenza si misura in watt (W) 5 . 2.7 Mobilita Una carica q0 immersa in un campo elettrico e soggetta alla forza di Coulomb (2.1). Di conseguenza, se la carica si puo muovere liberamente, essa subisce una accelerazione ~a = F~ =m. Supponendo che la carica sia inizialmente ferma, all'istante t essa acquista una velocita ~v(t) data da: Z t Z t ~ Z t ~ F q0 E ~v (t) = ~a dt = dt = dt (2.11) m m 0 0 0 Se la carica fosse isolata, la sua velocita aumenterebbe linearmente nel tempo (entro i limiti di validita della meccanica classica). In un mezzo materiale, pero, la carica e soggetta a collisioni. Ad esempio, all'interno di un metallo gli elettroni sono liberi di muoversi, ma collidono con il reticolo cristallino costituito dagli ioni del metallo. Durante queste collisioni, gli elettroni perdono velocita, trasferendo la loro energia cinetica al reticolo. In condizioni di equilibrio termico, l'energia trasferita dagli elettroni al reticolo cristallino e uguale all'energia trasferita dal reticolo cristallino agli elettroni. In condizioni di non equilibrio (ad esempio, in una stufa 4 James Prescott Joule, 1818{1889. Fisico britannico, svolse ricerche sull'energia termica e sui suoi legami con la meccanica e l'elettricita, ponendo le basi della formulazione del primo principio della termodinamica. 5 James Watt, 1736{1819. Ingegnere e inventore britannico, perfeziono la macchina a vapore e ideo il meccanismo per trasformare il moto alternativo dello stantuo in moto rotatorio. 2 9 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI v vmedia t Figura 2.3: Velocita dei portatori di carica elettrica. elettrica), il trasferimento di energia dagli elettroni al reticolo cristallino del metallo corrisponde ad un aumento di temperatura del materiale. La Fig. 2.3 illustra l'andamento nel tempo della velocita degli portatori in un materiale conduttore. Denotando con tc il tempo medio tra due collisioni successive, la velocita media dei portatori e: q E~ (2.12) ~vmedia = 0 tc 2m La (2.12) puo essere riscritta come: ~vmedia = E~ (2.13) dove e la mobilita dei portatori , denita nel modo seguente: = q0 tc 2m (2.14) La mobilita si misura in m2 =V s. La mobilita ha lo stesso segno della carica elettrica. Infatti, le particelle con carica positiva si muovono nel verso del campo elettrico, mentre le particelle con carica negativa si muovono nel verso opposto a quello del campo elettrico. Tuttavia, nelle tabelle delle proprieta dei materiali, solitamente si indica solo il valore assoluto della mobilita: si veda ad esempio la Tabella 2.1. Osservazione: in questo paragrafo si e supposto che la velocita della particella carica sia inizialmente nulla, e che la velocita torni a zero dopo ogni collisione. Nella realta, tutte le particelle hanno un'energia cinetica proporzionale alla temperatura; di conseguenza, poiche i portatori di carica elettrica sono solitamente gli elettroni, la cui massa e molto piccola (me = 9:1091 10 31 kg), essi si muovono con una velocita molto elevata, dell'ordine del centinaio di kilometri al secondo, dovuta alla agitazione termica del materiale. Questa velocita, tuttavia, e diretta in modo casuale e cambia in seguito ad ogni interazione con il reticolo cristallino; facendone la media nel tempo, si ottiene un risultato nullo, per cui la velocita dovuta all'agitazione termica non contribuisce ad un trasporto netto di cariche, ma solamente al loro \rimescolamento". L'applicazione di un campo elettrico, invece, provoca una velocita media dei portatori molto piu bassa in modulo, ma avente la direzione del campo: di conseguenza, questa velocita, detta velocita di deriva , non e a media nulla e produce eetti macroscopici evidenti. 2 10 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI E v media q0 J Figura 2.4: Densita di corrente (nel caso di portatori con carica negativa). 2.8 Densita di corrente In un materiale in cui la densita dei portatori (cioe il numero di particelle mobili per unita di volume) e n e ciascun portatore possiede una carica q0 , applicando un campo elettrico E~ si produce una densita di corrente : J~ = nq0~vmedia = nq0 E~ (2.15) La densita di corrente e illustrata in Fig. 2.4. La gura mostra il caso di portatori con carica negativa, che si muovono con verso opposto al campo elettrico. Si osservi che il prodotto tra carica negativa e velocita opposta alla direzione del campo elettrico fornisce una densita di corrente che ha la stessa direzione del campo elettrico. Di conseguenza, la densita di corrente ha sempre la stessa direzione del campo elettrico. La densita di corrente J~ si misura in ampere al metro quadrato (A/m2 ). Nel seguito, supporremo sempre che la densita di corrente sia nulla al di fuori del volume occupato dagli elementi di un circuito. In altre parole, faremo l'ipotesi che lo spazio intorno ai circuiti sia occupato da un isolante perfetto. 2.9 Conducibilita Nella (2.15) il prodotto nq0 dipende solo dal materiale; si puo pertanto denire la conducibilita del materiale: = nq0 (2.16) e riscrivere la (2.15) come: J~ = E~ (2.17) La conducibilita si misura in siemens al metro (S/m). La Tabella 2.1 riporta la mobilita degli elettroni e la conducibilita di alcuni metalli (rame e alluminio) e semiconduttori (silicio e germanio) a temperatura ambiente T = 300 K. La mobilita e stata indicata con n anziche con , per indicare che si tratta della mobilita degli elettroni (cariche negative o portatori di tipo n ). Questa specicazione e necessaria perche, come si vedra nel Capitolo 6, nei semiconduttori esistono anche portatori con carica positiva (di tipo p o lacune ). Si osservi che, benche la mobilita sia negativa per i portatori di carica negativa (in base alla (2.14)), nella tabella si riporta solo il valore assuluto della mobilita. E importante sottolineare che nei semiconduttori gli elettroni hanno una mobilita molto superiore a quella dei metalli. Tuttavia, la conducibilita dei metalli e piu elevata perche la densita di elettroni liberi e molto maggiore. 2 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI 11 Tabella 2.1: Mobilita e conducibilita di alcuni materiali a 300 K Elemento Simbolo Mobilita Conducibilita 2 n in m =V s in S/m rame Cu 0.0032 5:9 107 alluminio Al 0.0012 3:75 107 silicio Si 0.15 4:34 10 4 germanio Ge 0.39 2.12 I valori di mobilita e conducibilita variano con la temperatura. In particolare, un aumento di temperatura del materiale equivale ad un aumento dell'agitazione media delle particelle; quindi le collisioni aumentano e la mobilita diminuisce. Nei metalli il numero di elettroni liberi e costante e di conseguenza la conducibilita varia come la mobilita, diminuendo all'aumentare della temperatura. Nei semiconduttori, invece, il numero di portatori liberi aumenta all'aumentare della temperatura. Poiche questo eetto prevale sulla diminuzione della mobilita, nei semiconduttori la conducibilita aumenta con la temperatura. Quando detto in questo paragrafo a proposito dei semiconduttori vale solo per i semiconduttori intrinseci (cioe puri). Nei semiconduttori non intrinseci (detti semiconduttori drogati ), l'aggiunta di quantita controllate di impurezze particolari produce un notevole aumento della conducibilita, come si vedra nei capitoli successivi. 2.10 Resistivita La resistivita di un materiale e l'inverso della sua conducibilita: 1 = (2.18) Usando la (2.18), la (2.17) puo essere riscritta come: E~ = J~ La resistivita si misura in ohm metro ( m). (2.19) 2.11 Corrente elettrica La corrente elettrica (o intensita di corrente ) e il usso della densita di corrente J~ attraverso la sezione S di un conduttore: Z Z ~ ~ I = J dS = J~ ~uS dS (2.20) S S dove ~uS e il vettore unitario (versore) perpendicolare alla sezione S , come illustrato in Fig. 2.5. Si noti che si suppone sempre che la supercie sia orientata, cioe si assegna un verso all'attraversamento di S (indicato dal verso del versore ~uS ). La corrente puo essere negativa: questo signica che il vettore densita di corrente J~ attraversa la supercie S nel verso opposto a quello del versore ~uS . 2 12 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI x J uS S Figura 2.5: Intensita di corrente. Consideriamo ora un conduttore cilindrico avente sezione S , come illustrato nella Fig. 2.5, attraverso cui uisce una densita di corrente costante J parallela all'asse x e perpendicolare alla sezione S del conduttore. L'intensita di corrente e: I = JS = nq0 vS (2.21) dove v e la velocita media. Ricordando che v= si puo scrivere la (2.21) come: dx dt I = nq0 S (2.22) dx dt (2.23) La quantita Sdx = dV e il volume del cilindro innitesimo avente base S e altezza dx; si puo dunque scrivere: dV I = nq0 (2.24) dt Inne, osservando che nq0dV = dQ e la carica contenuta nel volume dV , si ottiene: I= dQ dt (2.25) Pertanto, la corrente elettrica e il rapporto tra la quantita di carica che attraversa la sezione di un conduttore e il tempo. La corrente elettrica si misura in ampere (A) 6 ; un ampere equivale ad un coulomb al secondo. Poiche la corrente e costituita da cariche in movimento, il concetto di carica elettrica e piu primitivo di quello di corrente elettrica. Tuttavia, il SI adotta l'ampere come grandezza primitiva ed il coulomb come grandezza derivata, in quanto la corrente e piu facilmente misurabile della carica. Si veda anche [1, pagina 7]. Calcolare il campo elettrico presente all'interno di un lo di rame con sezione percorso da una corrente di intensita 1 A. Esercizio 2.1. 6 1 mm2 , Andre-Marie Ampere, 1775{1836. Fisico, matematico e losofo francese, fondatore dell'elettrodinamica classica, per primo evidenzio l'azione di una corrente su se stessa. 2 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI S E 13 J uS _ + V Figura 2.6: Corrente in un conduttore cilindrico a cui e applicata una dierenza di potenziale. Dalla (2.21), ricaviamo che la densita di corrente nel lo e: 1 A = 106 A=m2 I = J = S 10 6 m2 Possiamo applicare la (2.19), con il valore di resistivita calcolato in base alla (2.18) e alla conducibilita del rame data nella Tabella 2.1: 6 A=m2 E = J = J = 510 = 1:75 10 2 V=m = 17:5 mV=m :9 107 S=m A causa dell'elevata conducibilita del rame, il valore del campo elettrico e basso, mentre la densita di corrente e molto alta. Soluzione. 2.12 Conduttanza Consideriamo nuovamente un conduttore cilindrico avente sezione S e lunghezza l, fra le cui estremita e applicata una dierenza di potenziale V , come illustrato in Fig. 2.6. Se il materiale conduttore ha caratteristiche uniformi in tutto il volume, all'interno del cilindro si ha un campo elettrico costante E , legato alla dierenza di potenziale V tramite la relazione: V = El (2.26) L'intensita di corrente e I = E S (2.27) Ricavando E dalla (2.26) e sostituendo nella (2.27), otteniamo: S V l (2.28) S l (2.29) = GV (2.30) I= Possiamo ora denire la conduttanza G del conduttore come: G= e riscrivere la (2.28) nel modo seguente: I 2 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI 14 Nel SI, l'unita di misura della conduttanza e il siemens (S) 7 ; un siemens equivale ad un ampere diviso un volt. Alcuni testi chiamano in altri modi l'unita di misura della conduttanza: ampere al volt (A/V) oppure mho (f); quest'ultimo e un \ohm capovolto" [1, pagina 21]. 2.13 Resistenza La resistenza elettrica R (o piu semplicemente resistenza ) e il reciproco della conduttanza: 1 R= (2.31) G Dalle (2.18), (2.29) e (2.31), si ottiene: R= l S (2.32) La resistenza si misura in ohm ( ) 8 . 10 m e con sezione pari a 1 mm2 . Soluzione. Dalla Tabella 2.1 ricaviamo che la conducibilita del rame a temperatura ambiente ha il valore = 5:9 107 S/m. Quindi la conduttanza del lo e: S 5:9 107 S=m 10 6 m2 = 5:9 S G= = l 10 m e la resistenza vale: 1 = 1 = 0:17 : R= G 5:9 S Il valore di resistenza ottenuto e molto basso, perche il rame e un buon conduttore. Esercizio 2.2. Calcolare la resistenza di un lo di rame lungo 2.14 Resistore Il componente elettronico costruito per avere una resistenza elettrica di un determinato valore e detto resistore . Il simbolo circuitale del resistore e illustrato nella Fig. 2.7. In commercio sono disponibili resistori con resistenza compresa tra 1 e 10 M . Il resistore e un bipolo , cioe un dispositivo avente due terminali (o morsetti ), a cui e applicata la dierenza di potenziale V e attraverso cui uisce la corrente I . Per indicare in modo univoco i versi della tensione e della corrente, i due terminali del bipolo vengono contrassegnati con i simboli + (morsetto positivo) e { (morsetto negativo), come nella Fig. 2.7. 2.15 Legge di Ohm Combinando le (2.31) e (2.30), si ricava: V = RI (2.33) La (2.33) e detta legge di Ohm ed e una delle equazioni fondamentali nell'analisi dei circuiti elettrici. 7 Werner von Siemens, 1816{1892. Inventore e industriale tedesco, invento la dinamo con sistema di autoeccitazione e nel 1847 fondo una societa per la produzione di materiale telegraco. 8 Georg Simon Ohm, 1787{1854. Fisico tedesco, den esattamente i concetti di carica elettrica, forza elettromotrice e intensita di corrente, formulando la legge che porta il suo nome. 2 15 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI R + - I V Figura 2.7: Simbolo elettrico del resistore. + + + V - (a) I I V (b) + (c) (d) Figura 2.8: Simboli elettrici: (a) e (b) dei generatori di tensione; (c) e (d) dei generatori di corrente. Si veda anche [1, pagine 8{10]. Osservazione : la legge di Ohm e stata ricavata assumendo che la direzione di attraversamento della sezione del conduttore fosse nello stesso verso del campo elettrico (Fig. 2.6); di conseguenza la corrente risulta positiva quando uisce internamente al conduttore dal terminale a cui e collegato il polo positivo della batteria (morsetto +) verso il terminale a cui e collegato il polo negativo (morsetto {). Come illustrato nella Fig. 2.7, la dierenza di potenziale deve essere misurata dal morsetto positivo a quello negativo, e la corrente e positiva quando uisce dal morsetto positivo verso quello negativo internamente al bipolo. Questa e la convenzione degli utilizzatori, usata anche dal simulatore circuitale SPICE. Esiste tuttavia un'altra convenzione (dei generatori ), secondo cui la corrente e positiva quando uisce nell'altro verso; se adottassimo questa convenzione, la legge di Ohm andrebbe scritta come: V = RI . Nel seguito, si adottera sempre la convenzione degli utilizzatori. 2.16 Generatori di tensione e di corrente Un generatore di tensione ideale e un bipolo che produce ai sui capi una dierenza di tensione di valore denito, indipendentemente dal resto del circuito in cui il generatore e inserito. I simboli circuitali piu frequentemente utilizzati per i generatori di tensione sono rappresentati in Fig. 2.8(a) e (b). Il simbolo illustrato nella Fig. 2.8(a) si utilizza per indicare un generatore di tensione costante (come, ad esempio, una pila o una batteria ). Un generatore di corrente ideale e un bipolo che impone una corrente di valore denito, indipendente dai valori degli altri elementi del circuito. I simboli circuitali piu frequentemente utilizzati per i generatori di corrente sono rappresentati in Fig. 2.8(c) e (d). Si veda anche [1, pagine 4{8]. 2 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI I 16 G crescente G decrescente V I = GV Figura 2.9: Caratteristica tensione-corrente in un resistore. 2.17 Caratteristica tensione-corrente Ogni elemento circuitale e caratterizzato da una relazione tra le grandezze elettriche. Questa relazione puo essere rappresentata in forma analitica da un'equazione: ad esempio, la legge di Ohm per un resistore (2.33). Una rappresentazione equivalente in forma graca e costituita dalla caratteristica tensione-corrente , che e il graco dell'equazione nel piano V -I . La Fig. 2.9 illustra la caratteristica tensione-corrente di un resistore; la pendenza della retta e data dalla conduttanza G. Le caratteristiche di un generatore di tensione costante V0 e di un generatore di corrente costante I0 sono mostrate nella Fig. 2.10. 2.18 Cortocircuiti e circuiti aperti Un cortocircuito puo essere considerato come un generatore di tensione nulla; la sua caratteristica tensione-corrente coincide con l'asse verticale (V = 0). Un circuito aperto puo essere considerato come un generatore di corrente nulla; la sua caratteristica tensione-corrente coincide con l'asse orizzontale (I = 0). Nel disegno dello schema di un circuito elettrico, un cortocircuito e rappresentato gracamente come un lo che collega due punti (Fig. 2.11(a)); un circuito aperto e rappresentato dall'assenza di collegamenti tra due punti (Fig. 2.11(b)). Si veda anche [1, pagine 13{14]. 2.19 Nodi e maglie di un circuito Un nodo e un punto a cui sono collegati i terminali di due o piu elementi di un circuito. Il nodo non e necessariamente limitato ad un solo punto geometrico: tutti i punti collegati da cortocircuiti possono essere considerati come appartenenti allo stesso nodo. La denizione di nodo e indipendente dal modo in cui il circuito viene disegnato. La Fig. 2.12 illustra lo stesso circuito, raÆgurato in due modi diversi. In entrambe le rappresentazioni, il circuito ha due nodi, indicati con le lettere A e B. 2 17 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI I I I = I0 V = V0 V V (a) (b) Figura 2.10: Caratteristiche tensione-corrente: (a) di un generatore di tensione V0 e (b) di un generatore di corrente I0 . I=0 V=0 (a) (b) Figura 2.11: Simboli rappresentativi di: (a) cortocircuito, (b) circuito aperto. Una maglia e un percorso chiuso attraverso due o piu elementi di un circuito. La Fig. 2.13 illustra un circuito con tre maglie, di cui due interne e una esterna. Si veda anche [1, pagine 14 e 24]. 2.20 Legge di Kirchho per le correnti Consideriamo un nodo di un circuito in cui convergono N bipoli. Avendo ipotizzato che la densita di corrente sia nulla al di fuori degli elementi di un circuito, se nel nodo considerato non si verica accumulo di carica (cioe se dQ dt = 0), deve essere I = 0; in altre parole, la corrente netta entrante nel nodo deve essere nulla. Poiche la corrente totale entrante nel nodo e data dalla somma algebrica di tutte le N correnti nei bipoli, prendendo con il segno positivo le correnti con verso entrante nel nodo e con segno negativo le correnti con verso uscente dal nodo, risulta: X k2nodo Ik = 0 (2.34) La (2.34) e detta legge di Kirchho 9 per le correnti o KCL (Kirchho's Current Law). Si veda anche [1, pagine 14{19]. 9 Gustav Robert Kirchho, 1824{1887. Fisico tedesco, si occupo di elettrologia, enunciando le leggi per ricavare le grandezze elettriche nei circuiti, e di irraggiamento, introducendo il concetto di corpo nero. 2 18 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI A A 1 2 3 4 1 B 2 3 4 B Figura 2.12: Circuito con due nodi A e B, raÆgurato in due modi diversi. 3 1 2 Figura 2.13: Circuito con tre maglie. Osservazione : l'ipotesi che non si verichi accumulo di carica nei nodi verra sempre soddisfatta, poiche nel seguito si terra conto del fenomeno dell'accumulo di carica introducendo un opportuno bipolo (il condensatore, descritto nel paragrafo 3.1), in modo tale che la KCL sia sempre valida. 2.21 Legge di Kirchho per le tensioni R Applicando la (2.6) ad una maglia di un circuito, si ottiene Vaa = aa E~ d~l = 0, qualunque sia il punto a di partenza e di arrivo; in altre parole, la dierenza di potenziale lungo una maglia deve essere nulla. La dierenza di potenziale lungo un percorso chiuso e data dalla somma algebrica delle dierenze di potenziale dei bipoli lungo il percorso considerato, prendendo con il segno positivo le tensioni per cui si incontra per primo il terminale contrassegnato con (+) e con segno negativo le tensioni per cui si incontra per primo il terminale contrassegnato con ({). Risulta: X k2maglia Vk = 0 (2.35) La (2.35) e detta legge di Kirchho per le tensioni o KVL (Kirchho's Voltage Law). Si veda anche [1, pagine 24{27]. 2.22 Risoluzione di un circuito elettrico Risolvere un circuito elettrico signica trovare i valori della dierenza di potenziale ai capi di ogni elemento e il valore della corrente in ogni elemento. Per un circuito contenente soltanto resistori, 2 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI 19 V I1 + I2 A 1 V1 - + 2 V2 - Figura 2.14: Bipoli in serie. generatori di tensione e generatori di corrente (tutti di valore noto), le grandezze elettriche da determinare sono: due per ogni resistore (la tensione e la corrente) e una per ogni generatore (la tensione per un generatore di corrente e la corrente per un generatore di tensione). Anzitutto, per ogni elemento circuitale occorre stabilire i versi delle correnti e delle tensioni, secondo la convenzione degli utilizzatori. La soluzione si ottiene risolvendo un sistema lineare di equazioni, ottenute applicando: la legge di Ohm ad ogni resistore; la legge di Kirchho per le tensioni a tutte le maglie del circuito meno una (se c'e piu di una maglia); la legge di Kirchho per le correnti a tutti i nodi del circuito meno uno. Osservazione : le leggi di Kirchho applicate a tutte le maglie e a tutti i nodi forniscono un sistema di equazioni fra loro dipendenti, in cui un'equazione alle maglie e un'equazione ai nodi possono essere eliminate. I programmi di simulazione circuitale, come SPICE [1, capitolo 16], risolvono i circuiti ricavando dalla descrizione del circuito il sistema di equazioni e trovandone la soluzione mediante algoritmi numerici. 2.23 Resistenze in serie e in parallelo Due bipoli sono in serie quando essi hanno un nodo in comune, che non e in comune con nessun altro elemento del circuito: si veda, ad esempio, il nodo A nella Fig. 2.14. Supponiamo, per semplicita, che le correnti nei due bipoli siano concordi; applicando la KCL al nodo A, si ottiene I1 I2 = 0, da cui: I = I1 = I2 (2.36) mentre dalla proprieta di additivita degli integrali si ricava: V = V1 + V2 (2.37) Quindi, due bipoli in serie sono attraversati dalla stessa corrente, mentre la dierenza di potenziale ai capi dalla serie e uguale alla somma delle dierenze di potenziale ai capi dei bipoli. Se i due bipoli in serie sono due resistenze, come in Fig. 2.15, allora dalle (2.37) e (2.36) si ottiene V = (R1 + R2 )I , per cui la serie di due resistenze e equivalente ad una resistenza di valore: R = R1 + R2 (2.38) 2 20 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI + V1 R1 + V + - V2 R2 Figura 2.15: Resistori in serie. I A + + I1 I2 1 V1 2 - V2 - B Figura 2.16: Bipoli in parallelo. Le due tensioni V1 e V2 sono date dalle formule: V1 = V R R+1 R ; 1 2 V2 = V R R+2 R 1 2 (2.39) per cui il circuito di Fig. 2.15 e detto partitore di tensione . Due bipoli sono in parallelo quando essi hanno entrambi i terminali in comune, come ad esempio i bipoli della Fig. 2.16. Supponiamo che i segni delle tensioni ai capi dei due bipoli siano concordi; applicando la KVL alla maglia costituita dai due bipoli, si ottiene V1 V2 = 0, da cui: V1 = V2 (2.40) Applicando invece la KCL al nodo A di Fig. 2.16, si ottiene: I = I1 + I2 (2.41) Quindi, due bipoli in parallelo hanno la stessa dierenza di potenziale ai capi, mentre la corrente totale e uguale alla somma delle correnti nei due bipoli. Se i due bipoli in parallelo sono due resistenze, come in Fig. 2.17, allora dalle (2.40) e (2.41) si ottiene I = ( R11 + R12 )V . Il parallelo delle due resistenze, che si indica con R1 ==R2 , e equivalente ad una resistenza di valore: 1 = R1 R2 R = R1 ==R2 = 1 (2.42) 1 R1 + R2 R1 + R2 2 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI + I R1 - I1 + R2 - 21 I2 Figura 2.17: Resistori in parallelo. + V1 + V2 Figura 2.18: Generatori di tensione in serie. In alternativa, esprimendo la legge di Ohm mediante la conduttanza, si ricava I = (G1 + G2 )V , per cui il parallelo di due conduttanze e equivalente alla somma delle conduttanze: G = G 1 + G2 (2.43) Le due correnti I1 e I2 sono date dalle formule: R2 G2 R1 = I ; I2 = I = I G1 + G2 R1 + R2 G1 + G2 R1 + R2 per cui il circuito di Fig. 2.17 e detto partitore di corrente . Si veda anche [1, pagine 19{24 e 27{32]. I1 = I G1 (2.44) 2.24 Generatori in serie e in parallelo Consideriamo due generatori di tensione in serie, come in Fig. 2.18. Dalla (2.37), si ricava che la tensione ai capi della serie dei due generatori e V = V1 + V2 . Il risultato ottenuto puo essere generalizzato ad un numero qualsiasi di generatori di tensione in serie: la tensione risultante e pari alla somma delle tensioni di tutti i generatori. Se invece consideriamo due generatori di corrente in serie, come nella Fig. 2.19, e applichiamo la KCL al nodo tra i due generatori, ricaviamo che dev'essere I1 = I2 . Quindi, due generatori di corrente possono essere collegati in serie solo se erogano la stessa corrente. Due generatori di corrente possono essere collegati in parallelo, come nella Fig. 2.20. Dalla (2.41), ricaviamo che la corrente totale e I = I1 + I2 . Quindi, la corrente risultante da piu generatori di corrente in parallelo e la somma delle correnti erogate dai generatori. Inne, consideriamo due generatori di tensione collegati in parallelo, come nella Fig. 2.21. Applicando la KVL alla maglia dei due generatori, si ricava V1 = V2 . Quindi, due generatori di tensioni posono essere collegati in parallelo solo se le loro tensioni sono uguali. Si veda anche [1, pagine 32{34]. 2 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI 22 I1 I2 Figura 2.19: Generatori di corrente in serie. I1 I2 Figura 2.20: Generatori di corrente in parallelo. 2.25 Generatori dipendenti Un generatore (di tensione o di corrente) si dice dipendente (o controllato ) quando il suo valore e funzione di un'altra grandezza elettrica presente nel circuito [1, pagine 34{38]. Consideriamo il caso piu semplice, in cui la grandezza elettrica fornita dal generatore dipendente e proporzionale alla grandezza elettrica di controllo. Poiche ci sono due grandezze elettriche (tensione e corrente), possiamo avere quattro tipi di generatori dipendenti. Indichiamo con Vo (Io ) la tensione (corrente) generata dal generatore dipendente, e con Vi (Ii ) la tensione (corrente) di controllo. I quattro tipi di genaratori dipendenti sono: generatore di tensione controllato in tensione, detto anche VCVS (\voltage-controlled voltage source"), illustrato nella Fig. 2.22(a): Vo = EVi ; generatore di corrente controllato in corrente, detto anche CCCS (\current-controlled current source"), illustrato nella Fig. 2.22(b): Io = F Ii ; generatore di corrente controllato in tensione, detto anche VCCS (\voltage-controlled current source"), illustrato nella Fig. 2.22(c): Io = GVi; + V1 + V2 Figura 2.21: Generatori di tensione in parallelo. 2 23 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI + + + Vi - - Ii Vo = E Vi (a) - + + Vi Io = F Ii (b) + + Ii Io = G Vi - - + - (c) Vo = H Ii (d) Figura 2.22: I quattro tipi di generatori dipendenti. Tabella 2.2: Dualita nei circuiti elettrici corrente ! tensione generatore di corrente ! generatore di tensione conduttanza ! resistenza nodo ! maglia KCL ! KVL parallelo ! serie capacita a ! induttanza b a b La capacita e denita nel paragrafo 3.1. L'induttanza e denita nel paragrafo 3.5. generatore di tensione controllato in corrente, detto anche CCVS (\current-controlled voltage source"), illustrato nella Fig. 2.22(d): Vo = HIi . Si osservi che E e F sono numeri puri; G ha le dimensioni di una conduttanza, mentre H ha le dimensioni di una resistenza. L'uso delle lettere E , F , G e H per designare questi generatori e conforme alla convenzione sui nomi degli elementi circuitali usata nel simulatore SPICE [1, capitolo 16]. 2.26 Dualita Osservando le leggi fondamentali che descrivono il comportamento dei circuiti elettrici, si nota che molte coppie di formule sono simili. Per ogni circuito, e possibile ricavare il circuito duale , ottenuto tramite le sostituzioni indicate nella Tabella 2.2. Il circuito duale e descritto da un sistema di equazioni numericamente identico a quello del circuito di partenza. Si veda anche [1, pagine 127{129]. 2.27 Potenza dissipata In base alla (2.9), l'energia necessaria per far muovere una carica Q all'interno di un resistore a cui e applicata una dierenza di potenziale costante V e: W = QV (2.45) Derivando la (2.45), e utilizzando le (2.10) e (2.25), si ottiene: P dQ = dW = V =VI dt dt (2.46) 2 24 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI La (2.46) fornisce la potenza dissipata da qualsiasi elemento di un circuito. Se l'elemento considerato e un resistore con resistenza R, possiamo scrivere la potenza dissipata in funzione della corrente: P = V I = RI I = RI 2 (2.47) oppure in funzione della tensione: 2 = V I = V VR = VR (2.48) Avendo adottato la convenzione degli utilizzatori per tutti gli elementi di un circuito, la potenza dissipata risulta sempre positiva per i resistori, mentre per i generatori essa puo risultare positiva o negativa. In ogni caso, la somma algebrica delle potenze in tutti gli elementi di un circuito deve essere zero, come conseguenza del principio di conservazione dell'energia: poiche P = ddWt , il fatto che l'energia W sia costante comporta necessariamente che P = 0. Questo risultato e noto come teorema di Tellegen , e viene solitamente scritto nella forma: P X k Vk Ik = 0 (2.49) dove la sommatoria e estesa a tutti i bipoli del circuito. La potenza e positiva per gli elementi circuitali che la ricevono (ad esempio, i resistori); mentre e di solito negativa per gli elementi che la erogano (i generatori). In alcuni casi, tuttavia, un generatore puo ricevere potenza: questo e il caso, ad esempio, di una batteria che viene ricaricata. Si veda anche [1, pagine 39{44]. Esercizio 2.3. 220 V. Soluzione. Calcolare la resistenza interna di una stufetta elettrica da 1 kW alimentata con tensione Dalla (2.48) ricaviamo: 2 V)2 = 48400 V2 = 48:4 = VP = (220 103 W 1000 W Approssimando, possiamo dire che la resistenza interna della stufetta vale circa 50 . R 2.28 Generatori equivalenti di Thevenin e di Norton In tutti i casi in cui non occorre ricavare tutte le grandezze elettriche di un circuito, ma occorre soltanto calcolare le grandezze ai terminali di uscita, e possibile semplicare il calcolo facendo uso del teorema del generatore equivalente . Dal punto di vista di due terminali di uscita A e B, il comportamento di una qualsiasi rete elettrica contenente generatori e resistenze e equivalente a quello di un generatore di tensione Veq in serie ad una resistenza Req , come illustrato in Fig. 2.23. Questo circuito equivalente prende il nome di generatore equivalente di Thevenin 10 , benche la prima formulazione del teorema del generatore equivalente sia dovuta a Helmholtz 11 . 10 Leon Thevenin, 1857{1926. Ingegnere francese, docente presso l'Ecole Superieure de Telegraphie, studio le reti elettriche e nel 1883 formulo il teorema del generatore equivalente. 11 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz, 1821{1894. Fisico tedesco, formulo il principio di conservazione dell'energia, introducendo il concetto di energia potenziale. Nel 1853 pubblico il teorema del generatore equivalente in un libro sull'elettricita negli organismi animali; tuttavia la sua opera rimase sconosciuta agli ingegneri delle telecomunicazioni, e il teorema prese il nome da Thevenin, che lo riscopr 30 anni dopo. 2 25 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI V, I, R, E, F, G, H A + A Req Veq B - B Figura 2.23: Generatore equivalente di Thevenin. V, I, R, E, F, G, H A A Ieq B Req B Figura 2.24: Generatore equivalente di Norton. In base al principio di dualita, possiamo anche dire che il circuito e equivalente ad un generatore di corrente Ieq in parallelo ad una resistenza Req , come illustrato in Fig. 2.24; questo e il generatore equivalente di Norton 12 . I parametri dei due circuiti equivalenti sono fra loro dipendenti: la resistenza Req ha lo stesso valore per entrambi i circuiti, mentre la tensione del generatore di Thevenin Veq e la corrente del generatore di Norton Ieq sono legate dalla relazione: Veq = Req Ieq (2.50) La tensione Veq e la tensione di circuito aperto presente tra A e B; mentre la corrente Ieq e la corrente di corto circuito che scorre da A verso B quando questi nodi vengono cortocircuitati. Il valore della resistenza equivalente Req si calcola spegnendo tutti i generatori indipendenti nel circuito. Si veda anche [1, pagine 80{90]. 2.29 Massimo trasferimento di potenza Consideriamo il circuito illustrato in Fig. 2.25, costituito da un generatore di Thevenin a cui e collegato un carico resistivo RL . Vogliamo trovare il valore della resistenza di carico RL che assorbe la massima potenza dal generatore. Indicando con I la corrente nell'unica maglia, possiamo scrivere l'equazione: Veq = Req I + RL I 12 (2.51) Edward L. Norton. Ingegnere statunitense, lavoro presso i Bell Laboratories, occupandosi del progetto del primo apparecchio elettrico per la registrazione fonograca; nel 1926 formulo il duale del teorema di Thevenin nel corso della sua attivita di progettista, in cui sfruttava l'elaborazione dei segnali di corrente. 2 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI + A Req I Veq 26 - RL B Figura 2.25: Generatore di Thevenin con resistenza di carico RL . da cui otteniamo I= La potenza dissipata dal carico e: Veq Req + RL = RL I 2 = Veq2 (R R+LR )2 eq L il cui valore massimo si ottiene calcolando il massimo della funzione: P (2.52) (2.53) RL (2.54) (Req + RL )2 rispetto alla variabile RL . Poiche le resistenze non possono essere negative, osserviamo che y e sempre positiva, tranne che per RL = 0 e RL ! 1, per cui si ha y = 0. Ricordando che nei massimi e minimi di una funzione la derivata prima si annulla, possiamo concludere che il valore cercato e la soluzione dell'equazione: (Req + RL )2 2(Req + RL )RL = 0 dy = (2.55) dRL (Req + RL )4 Moltiplicando per (Req + RL )4 e svolgendo i calcoli, si ottiene: 2 Req RL2 = 0 (2.56) le cui soluzioni sono RL = Req e RL = Req . Scartando la soluzione negativa, che non e sicamente realizzabile (e per cui si annullerebbe il denominatore della (2.55)), si ha l'unica soluzione: RL = Req (2.57) Possiamo quindi concludere che la potenza trasferita al carico e massima quando la resistenza di carico e uguale alla resistenza interna del generatore equivalente. Questo risultato e noto come teorema del massimo trasferimento di potenza . Quando la resistenza di carico e uguale alla resistenza interna del generatore, la tensione ai capi del carico e: V VL = eq (2.58) 2 e la potenza dissipata dal carico e: V2 (2.59) P = eq 4R y= eq Si noti che una potenza uguale viene dissipata dalla resistenza interna Req . Si veda anche [1, pagine 90{92]. 2 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI 27 V1 R, E, F, G, H Vn I1 Im Figura 2.26: Esempio di applicazione del principio di sovrapposizione degli eetti. 2.30 Principio di sovrapposizione degli eetti In un circuito che contiene piu generatori indipendenti di tensione e di corrente, come nel caso della Fig. 2.26, le grandezze elettriche dipendono da tutti i generatori. Tuttavia, se il circuito e lineare, gli eetti dei generatori si sommano, pertanto si puo calcolare separatamente l'eetto prodotto da ogni generatore e poi calcolarne la somma. Questo e il principio di sovrapposizione degli eetti . In pratica, si procede nel modo seguente: 1. si spengono tutti i generatori indipendenti tranne uno; 2. si calcolano le tensioni e le correnti risultanti; 3. si ripetono i passi 1 e 2 per ciascuno dei generatori indipendenti; 4. si sommano i risultati parziali ottenuti. Si rammenti che il principio di sovrapposizione degli eetti si applica solo per circuiti linerari e solo per grandezze che dipendono linearmente. Inoltre, quando si applica questo principio, tutti i generatori dipendenti devono essere lasciati come sono, come per il calcolo della resistenza dei generatori equivalenti di Thevenin e di Norton. Si veda anche [1, pagine 93{98]. Gli elementi del circuito in gura 2.27 hanno i valori: R1 = 8 k , R2 = 2 k , R3 = 1 k , Si determini il valore della resistenza di carico RL da inserire tra i nodi A e B, in modo da rendere massima la potenza erogata al carico, e si calcoli la potenza dissipata da RL . Esercizio 2.4. R4 = 5 k , I= = 5 mA, V0 = 9 V. Il circuito equivalente di Thevenin e illustrato nella gura 2.23, dove Veq e la tensione di circuito aperto e Req e la resistenza equivalente tra i nodi A e B. Possiamo ricavare Veq usando il principio di sovrapposizione degli eetti. Calcoliamo anzitutto il contributo dovuto a I0 , ponendo V0 = 0 (cortocircuito). La resistenza vista dal generatore I0 e R0 = (R1 ==R2)==(R3 + R4 ), con R1 ==R2 = 1:6 k e R3 + R4 = 6 k ; pertanto risulta R0 = 1:26 k . La tensione ai capi del generatore I0 e VI0 = R0 I0 = 6:31 V e la tensione di circuito aperto tra A e B, calcolata con la formula del partitore di tensione, risulta essere: Soluzione. 0 = V 0 = VI eq 0 R4 + R4 = 5:26 V Calcoliamo poi il contributo dovuto a V0 , ponendo I0 = 0 (circuito aperto). Il circuito in questo caso puo essere ridisegnato nel modo illustrato nella gura 2.28. La resistenza tra i nodi C e B e VAB R3 2 28 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI R3 R2 I0 A R1 + RL R4 V0 B Figura 2.27: Esercizio 2.4. C R2 R3 + A R1 V0 R4 B Figura 2.28: Circuito ottenuto spegnendo il generatore di corrente. ( + R4 ) = 3:43 k . Usando la formula del partitore di tensione si calcola la tensione tra C e B: 00 = V0 R1 ==(R3 + R4 ) = 5:68 V VCB R2 + R1 ==(R3 + R4 ) e quindi, applicando nuovamente la stessa formula al partitore costituito da R3 e R4 , si ottiene: R1 == R3 00 VAB 00 R4 = 4:74 V = Veq00 = VCB R3 + R4 Sommando i due contributi trovati, si ricava: 0 + V 00 = 10 V Veq = Veq eq Per calcolare il valore della resistenza equivalente Req occorre spegnere entrambi i generatori. Risulta: Req = R4 ==(R3 + (R1 ==R2 )) = 1:71 k In base al teorema della massima potenza, possiamo aermare che la potenza trasmessa al carico e massima quando RL = Req = 1:71 k . La corrente IL nella resistenza di carico e: Veq V IL = = 2 10 Req + RL 1:71k = 2:92 mA e la potenza dissipata dal carico e PL = RLIL2 = 14:5 mW. 2 29 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI 2.31 Problemi Una linea di interconnessione all'interno di un circuito integrato, realizzata in alluminio, ha larghezza w = 5 m, spessore z = 1 m e lunghezza l = 1 mm (Fig. 2.29). Calcolare la resistenza elettrica tra le due estremita della linea. Problema 2.1. z l w Figura 2.29: Problema 2.1 Problema 2.2. Quale sarebbe il valore della resistenza elettrica se la linea del Problema 2.1 fosse realizzata in rame, anziche in alluminio? I resistori comunemente disponibili per la realizzazione di circuiti su scheda hanno i seguenti valori: 10 , 12 , 15 , 18 , 22 , 27 , 33 , 39 , 47 , 56 , 68 , 82 , 100 , 120 , 150 , . . . , e cos via no a 10 M . Disegnare lo schema di una combinazione di resistori che presenti una resistenza pari a : Problema 2.3. A. B. 50 ; 75 . Problema 2.4. della serie. Quattro pile da 1.5 V sono collegate in serie. Calcolare la tensione risultante ai capi Due generatori di tensione controllati in tensione E1 e E2 sono connessi in cascata: l'uscita del primo e collegata all'ingresso del secondo, come illustrato nella gura 2.30. Calcolare la tensione di uscita Vo . Problema 2.5. + Vi + + E1 - + Vo E2 - - - Figura 2.30: Problema 2.5 Calcolare la resistenza e l'intensita di corrente nel lamento di una lampadina da alimentata con tensione 220 V. Problema 2.6. Problema 2.7. R1 Gli elementi del circuito in gura 2.31 hanno i seguenti valori: IA = 5 mA, IB = 50 , R2 = 150 , R3 = 600 , R4 = 400 , R5 = 1 k . 40 W = 2 mA, A. Ricavare il circuito equivalente di Thevenin ai terminali A e B. B. Determinare il valore della resistenza di carico RL che, inserita tra i terminali A e B, assorbe la massima potenza, e calcolarne la potenza dissipata. 2 30 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI R1 IA R2 A IB R4 R5 R3 B Figura 2.31: Problema 2.7 Problema 2.8. R1 Gli elementi del circuito in gura 2.32 hanno i seguenti valori: = 1 k , R2 = 500 , R3 = 500 , R4 = 500 . V0 = 5 V, I0 = 8 mA, A. Ricavare il circuito equivalente di Norton ai terminali A e B. B. Determinare il valore della resistenza di carico RL che, inserita tra i terminali A e B, assorbe la massima potenza, e calcolarne la potenza dissipata. R2 R1 + A V0 R3 I0 R4 B Figura 2.32: Problema 2.8 Problema 2.9. R1 Gli elementi del circuito in gura 2.33 hanno i seguenti valori: = 8 k , R2 = 4 k , R3 = 4 k , R4 = 1 k , R5 = 3 k . V0 = 3 V, I0 = 2 mA, A. Ricavare il circuito equivalente di Thevenin ai terminali A e B. B. Determinare il valore della resistenza di carico che, inserita tra A e B, assorbe la massima potenza, e calcolare il valore della potenza assorbita. R2 + V0 R1 A R4 R3 R5 I0 B Figura 2.33: Problema 2.9 2 31 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI Problema 2.10. R1 Gli elementi del circuito in gura 2.34 hanno i seguenti valori: = 50 , R2 = 50 , R3 = 150 e R4 = 300 . V0 = 5 V, I0 = 1 mA, A. Si trovi il valore della resistenza di carico RL che deve essere collegata tra i terminali A e B perche la potenza assorbita sia massima. B. Si calcoli il valore della potenza dissipata dalla resistenza di carico RL ottenuta al punto precedente. R1 I0 R2 + A V0 R3 R4 B Figura 2.34: Problema 2.10 Problema 2.11. R2 Gli elementi del circuito in gura 2.35 hanno i seguenti valori: Il guadagno dell'amplicatore ideale di corrente e F = 3:9 k , R3 = 250 . A. Calcolare la potenza erogata dal generatore V0 = 9 V, R1 = 100 , = 10. V0 in assenza di carico tra A e B. B. Ricavare il circuito equivalente di Thevenin ai terminali A e B. C. Determinare il valore della resistenza di carico massima potenza. D. Calcolare la potenza erogata dal generatore V0 RL che, inserita tra i terminali A e B, assorbe la in presenza del carico R3 R2 A F + V0 Ii Io = F Ii R1 B Figura 2.35: Problema 2.11 RL tra A e B.