2 FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI

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FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
Fondamenti di teoria dei circuiti elettrici
(ultimo aggiornamento: 8 Novembre 2000)
In questo capitolo vengono richiamate le grandezze elettriche fondamentali. La teoria dei circuiti elettrici puo essere ricavata a partire dalla trattazione classica dell'elettromagnetismo. In
particolare, i parametri macroscopici degli elementi circuitali dipendono dalle proprieta microscopiche.
Verranno inoltre illustrate le leggi fondamentali per la risoluzione dei circuiti in continua (in
cui le grandezze elettriche sono costanti nel tempo).
2.1 Carica elettrica
La carica elettrica e una proprieta che caratterizza ogni particella, come la massa. A dierenza
della massa, che non puo essere negativa, la carica elettrica puo essere sia positiva sia negativa.
La carica elettrica si misura in coulomb (C) 1 . Tutte le cariche elettriche sono multiple di una
carica elementare q = 1:6021 10 19 C. La carica del protone e +q, mentre la carica dell'elettrone
e q.
Poiche in ogni atomo e in ogni molecola il numero delle cariche positive (protoni) e uguale
al numero delle cariche negative (elettroni), la materia generalmente presenta caratteristiche
di neutralita dal punto di vista elettrico. E possibile produrre cariche elettriche isolate solo
separando cariche positive da cariche negative; non e possibile produrre solamente cariche di
una polarita. Vale il principio di conservazione della carica : in un sistema isolato la carica
totale si conserva.
2.2 Forza di Coulomb (*)
Due particelle con cariche q1 e q2 si attraggono (se le cariche sono di segno opposto) o si respingono (se
le cariche sono dello stesso segno) con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle cariche q1 e
q2 , e inversamente proporzionale al quadrato della distanza R12 che separa le due cariche. Questa forza
si chiama forza di Coulomb [3, pagine 3{4].
La forza di Coulomb che agisce sulla carica q1 e:
1 q1 q2 ~u
~1 =
F
(2.1)
R12
2
4 R12
dove ~uR12 e il vettore unitario (versore) diretto da q2 a q1 , come illustrato nella Fig. 2.1.
q2
uR12
F1
F2
+
+ q
1
Figura 2.1: Forza di Coulomb tra due cariche elettriche.
1
Charles-Augustin de Coulomb, 1736{1806. Fisico francese, uÆciale del genio e studioso di meccanica, pose i
fondamenti dell'elettrostatica e del magnetismo.
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Come e noto, la forza si misura in newton (N) 2 . Si noti che il segno positivo nella (2.1) indica che la
forza e repulsiva per cariche aventi lo stesso segno. Sulla carica q2 agisce una forza uguale e contraria:
~2 = F
~1
F
(2.2)
La costante che compare nella (2.1) e detta costante dielettrica , e si misura in farad al metro
(F/m). Ogni materiale presenta un suo valore caratteristico di costante dielettrica. Nel vuoto la costante
dielettrica e 0 = 8:8544 10 12 F/m. In un mezzo materiale, la costante dielettrica viene scritta come:
= 0 r
(2.3)
dove r e la costante dielettrica relativa (adimensionale).
2.3 Campo elettrico (*)
Il campo elettrico generato da una carica Q e dato da:
1 Q ~u
E~ = 4
(2.4)
R
R2
Il campo elettrico puo essere considerato come il rapporto tra la forza che agisce su una carica q0 e
la carica q0 medesima [3, pagina 7]:
~
E~ = qF
(2.5)
0
Il campo elettrico si misura in volt al metro (V/m), che equivalgono a newton al coulomb (N/C).
2.4 Dierenza di potenziale
La dierenza di potenziale o tensione tra due punti a e b e l'integrale di linea del campo elettrico
su un percorso qualsiasi l che congiunge a e b:
Vab =
Z b
a
E~ d~l
(2.6)
La Fig. 2.2 illustra un esempio di integrale di linea; la dierenza di potenziale e indipendente
dal percorso l e dipende solo dai punti iniziale e nale. Invertendo i due estremi del percorso,
la dierenza di potenziale cambia segno:
Vba = Vab
(2.7)
Nel caso in cui il percorso sia chiuso, cioe i due estremi siano coincidenti, la dierenza di potenziale e nulla.
La dierenza di potenziale (o tensione ) si misura in volt (V) 3 .
2.5 Energia
L'energia (o lavoro) occorrente per muovere una particella con carica q0 da un punto a a un
punto b e l'integrale di linea della forza applicata sul percorso l tra a e b:
Wab =
2
Z b
a
F~ d~l
(2.8)
Isaac Newton, 1643{1727. Fisico, matematico e astronomo inglese, fondo il calcolo innitesimale, den le
leggi della dinamica e perfeziono la formulazione della meccanica classica.
3
Alessandro Volta, 1745{1827. Fisico italiano, inventore della pila. Docente di sica a Pavia dal 1778, per
primo introdusse i concetti di tensione, carica e capacita.
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b
l
dl
a
E
Figura 2.2: Dierenza di potenziale tra due punti a e b.
Poiche dalla (2.5) F~ = q0 E~, risulta
Wab =
Z b
a
q0 E~ d~l = q0
Z b
a
E~ d~l = q0Vab
(2.9)
L'energia si misura in joule (J) 4 .
2.6 Potenza
La potenza e la derivata dell'energia rispetto al tempo:
P
= dW
dt
(2.10)
La potenza si misura in watt (W) 5 .
2.7 Mobilita
Una carica q0 immersa in un campo elettrico e soggetta alla forza di Coulomb (2.1). Di conseguenza, se la carica si puo muovere liberamente, essa subisce una accelerazione ~a = F~ =m.
Supponendo che la carica sia inizialmente ferma, all'istante t essa acquista una velocita ~v(t)
data da:
Z t
Z t ~
Z t ~
F
q0 E
~v (t) = ~a dt =
dt =
dt
(2.11)
m
m
0
0
0
Se la carica fosse isolata, la sua velocita aumenterebbe linearmente nel tempo (entro i limiti di
validita della meccanica classica). In un mezzo materiale, pero, la carica e soggetta a collisioni.
Ad esempio, all'interno di un metallo gli elettroni sono liberi di muoversi, ma collidono con
il reticolo cristallino costituito dagli ioni del metallo. Durante queste collisioni, gli elettroni
perdono velocita, trasferendo la loro energia cinetica al reticolo. In condizioni di equilibrio
termico, l'energia trasferita dagli elettroni al reticolo cristallino e uguale all'energia trasferita
dal reticolo cristallino agli elettroni. In condizioni di non equilibrio (ad esempio, in una stufa
4
James Prescott Joule, 1818{1889. Fisico britannico, svolse ricerche sull'energia termica e sui suoi legami con
la meccanica e l'elettricita, ponendo le basi della formulazione del primo principio della termodinamica.
5
James Watt, 1736{1819. Ingegnere e inventore britannico, perfeziono la macchina a vapore e ideo il meccanismo per trasformare il moto alternativo dello stantuo in moto rotatorio.
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v
vmedia
t
Figura 2.3: Velocita dei portatori di carica elettrica.
elettrica), il trasferimento di energia dagli elettroni al reticolo cristallino del metallo corrisponde
ad un aumento di temperatura del materiale.
La Fig. 2.3 illustra l'andamento nel tempo della velocita degli portatori in un materiale
conduttore. Denotando con tc il tempo medio tra due collisioni successive, la velocita media dei
portatori e:
q E~
(2.12)
~vmedia = 0 tc
2m
La (2.12) puo essere riscritta come:
~vmedia = E~
(2.13)
dove e la mobilita dei portatori , denita nel modo seguente:
=
q0 tc
2m
(2.14)
La mobilita si misura in m2 =V s.
La mobilita ha lo stesso segno della carica elettrica. Infatti, le particelle con carica positiva
si muovono nel verso del campo elettrico, mentre le particelle con carica negativa si muovono nel
verso opposto a quello del campo elettrico. Tuttavia, nelle tabelle delle proprieta dei materiali,
solitamente si indica solo il valore assoluto della mobilita: si veda ad esempio la Tabella 2.1.
Osservazione: in questo paragrafo si e supposto che la velocita della particella carica sia
inizialmente nulla, e che la velocita torni a zero dopo ogni collisione. Nella realta, tutte le
particelle hanno un'energia cinetica proporzionale alla temperatura; di conseguenza, poiche i
portatori di carica elettrica sono solitamente gli elettroni, la cui massa e molto piccola (me =
9:1091 10 31 kg), essi si muovono con una velocita molto elevata, dell'ordine del centinaio di
kilometri al secondo, dovuta alla agitazione termica del materiale. Questa velocita, tuttavia, e
diretta in modo casuale e cambia in seguito ad ogni interazione con il reticolo cristallino; facendone la media nel tempo, si ottiene un risultato nullo, per cui la velocita dovuta all'agitazione
termica non contribuisce ad un trasporto netto di cariche, ma solamente al loro \rimescolamento". L'applicazione di un campo elettrico, invece, provoca una velocita media dei portatori
molto piu bassa in modulo, ma avente la direzione del campo: di conseguenza, questa velocita,
detta velocita di deriva , non e a media nulla e produce eetti macroscopici evidenti.
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E
v media
q0
J
Figura 2.4: Densita di corrente (nel caso di portatori con carica negativa).
2.8 Densita di corrente
In un materiale in cui la densita dei portatori (cioe il numero di particelle mobili per unita
di volume) e n e ciascun portatore possiede una carica q0 , applicando un campo elettrico E~ si
produce una densita di corrente :
J~ = nq0~vmedia = nq0 E~
(2.15)
La densita di corrente e illustrata in Fig. 2.4. La gura mostra il caso di portatori con
carica negativa, che si muovono con verso opposto al campo elettrico. Si osservi che il prodotto
tra carica negativa e velocita opposta alla direzione del campo elettrico fornisce una densita di
corrente che ha la stessa direzione del campo elettrico. Di conseguenza, la densita di corrente
ha sempre la stessa direzione del campo elettrico.
La densita di corrente J~ si misura in ampere al metro quadrato (A/m2 ).
Nel seguito, supporremo sempre che la densita di corrente sia nulla al di fuori del volume
occupato dagli elementi di un circuito. In altre parole, faremo l'ipotesi che lo spazio intorno ai
circuiti sia occupato da un isolante perfetto.
2.9 Conducibilita
Nella (2.15) il prodotto nq0 dipende solo dal materiale; si puo pertanto denire la conducibilita
del materiale:
= nq0 (2.16)
e riscrivere la (2.15) come:
J~ = E~
(2.17)
La conducibilita si misura in siemens al metro (S/m).
La Tabella 2.1 riporta la mobilita degli elettroni e la conducibilita di alcuni metalli (rame e
alluminio) e semiconduttori (silicio e germanio) a temperatura ambiente T = 300 K.
La mobilita e stata indicata con n anziche con , per indicare che si tratta della mobilita
degli elettroni (cariche negative o portatori di tipo n ). Questa specicazione e necessaria perche,
come si vedra nel Capitolo 6, nei semiconduttori esistono anche portatori con carica positiva (di
tipo p o lacune ). Si osservi che, benche la mobilita sia negativa per i portatori di carica negativa
(in base alla (2.14)), nella tabella si riporta solo il valore assuluto della mobilita.
E importante sottolineare che nei semiconduttori gli elettroni hanno una mobilita molto
superiore a quella dei metalli. Tuttavia, la conducibilita dei metalli e piu elevata perche la
densita di elettroni liberi e molto maggiore.
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Tabella 2.1: Mobilita e conducibilita di alcuni materiali a 300 K
Elemento Simbolo Mobilita
Conducibilita
2
n in m =V s in S/m
rame
Cu
0.0032
5:9 107
alluminio Al
0.0012
3:75 107
silicio
Si
0.15
4:34 10 4
germanio Ge
0.39
2.12
I valori di mobilita e conducibilita variano con la temperatura. In particolare, un aumento di
temperatura del materiale equivale ad un aumento dell'agitazione media delle particelle; quindi le
collisioni aumentano e la mobilita diminuisce. Nei metalli il numero di elettroni liberi e costante
e di conseguenza la conducibilita varia come la mobilita, diminuendo all'aumentare della temperatura. Nei semiconduttori, invece, il numero di portatori liberi aumenta all'aumentare della
temperatura. Poiche questo eetto prevale sulla diminuzione della mobilita, nei semiconduttori
la conducibilita aumenta con la temperatura.
Quando detto in questo paragrafo a proposito dei semiconduttori vale solo per i semiconduttori intrinseci (cioe puri). Nei semiconduttori non intrinseci (detti semiconduttori drogati ),
l'aggiunta di quantita controllate di impurezze particolari produce un notevole aumento della
conducibilita, come si vedra nei capitoli successivi.
2.10 Resistivita
La resistivita di un materiale e l'inverso della sua conducibilita:
1
=
(2.18)
Usando la (2.18), la (2.17) puo essere riscritta come:
E~ = J~
La resistivita si misura in ohm metro (
m).
(2.19)
2.11 Corrente elettrica
La corrente elettrica (o intensita di corrente ) e il usso della densita di corrente J~ attraverso la
sezione S di un conduttore:
Z
Z
~
~
I = J dS = J~ ~uS dS
(2.20)
S
S
dove ~uS e il vettore unitario (versore) perpendicolare alla sezione S , come illustrato in Fig. 2.5.
Si noti che si suppone sempre che la supercie sia orientata, cioe si assegna un verso
all'attraversamento di S (indicato dal verso del versore ~uS ). La corrente puo essere negativa:
questo signica che il vettore densita di corrente J~ attraversa la supercie S nel verso opposto
a quello del versore ~uS .
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x
J
uS
S
Figura 2.5: Intensita di corrente.
Consideriamo ora un conduttore cilindrico avente sezione S , come illustrato nella Fig. 2.5,
attraverso cui uisce una densita di corrente costante J parallela all'asse x e perpendicolare alla
sezione S del conduttore. L'intensita di corrente e:
I
= JS = nq0 vS
(2.21)
dove v e la velocita media. Ricordando che
v=
si puo scrivere la (2.21) come:
dx
dt
I = nq0 S
(2.22)
dx
dt
(2.23)
La quantita Sdx = dV e il volume del cilindro innitesimo avente base S e altezza dx; si puo
dunque scrivere:
dV
I = nq0
(2.24)
dt
Inne, osservando che nq0dV = dQ e la carica contenuta nel volume dV , si ottiene:
I=
dQ
dt
(2.25)
Pertanto, la corrente elettrica e il rapporto tra la quantita di carica che attraversa la sezione di
un conduttore e il tempo.
La corrente elettrica si misura in ampere (A) 6 ; un ampere equivale ad un coulomb al secondo.
Poiche la corrente e costituita da cariche in movimento, il concetto di carica elettrica e piu
primitivo di quello di corrente elettrica. Tuttavia, il SI adotta l'ampere come grandezza primitiva
ed il coulomb come grandezza derivata, in quanto la corrente e piu facilmente misurabile della
carica.
Si veda anche [1, pagina 7].
Calcolare il campo elettrico presente all'interno di un lo di rame con sezione
percorso da una corrente di intensita 1 A.
Esercizio 2.1.
6
1 mm2 ,
Andre-Marie Ampere, 1775{1836. Fisico, matematico e losofo francese, fondatore dell'elettrodinamica classica, per primo evidenzio l'azione di una corrente su se stessa.
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S
E
13
J
uS
_
+
V
Figura 2.6: Corrente in un conduttore cilindrico a cui e applicata una dierenza di potenziale.
Dalla (2.21), ricaviamo che la densita di corrente nel lo e:
1 A = 106 A=m2
I
=
J =
S
10 6 m2
Possiamo applicare la (2.19), con il valore di resistivita calcolato in base alla (2.18) e alla conducibilita
del rame data nella Tabella 2.1:
6 A=m2
E = J = J = 510
= 1:75 10 2 V=m = 17:5 mV=m
:9 107 S=m
A causa dell'elevata conducibilita del rame, il valore del campo elettrico e basso, mentre la densita di
corrente e molto alta.
Soluzione.
2.12 Conduttanza
Consideriamo nuovamente un conduttore cilindrico avente sezione S e lunghezza l, fra le cui
estremita e applicata una dierenza di potenziale V , come illustrato in Fig. 2.6.
Se il materiale conduttore ha caratteristiche uniformi in tutto il volume, all'interno del
cilindro si ha un campo elettrico costante E , legato alla dierenza di potenziale V tramite la
relazione:
V = El
(2.26)
L'intensita di corrente e
I = E S
(2.27)
Ricavando E dalla (2.26) e sostituendo nella (2.27), otteniamo:
S
V
l
(2.28)
S
l
(2.29)
= GV
(2.30)
I=
Possiamo ora denire la conduttanza G del conduttore come:
G=
e riscrivere la (2.28) nel modo seguente:
I
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14
Nel SI, l'unita di misura della conduttanza e il siemens (S) 7 ; un siemens equivale ad un
ampere diviso un volt. Alcuni testi chiamano in altri modi l'unita di misura della conduttanza:
ampere al volt (A/V) oppure mho (f); quest'ultimo e un \ohm capovolto" [1, pagina 21].
2.13 Resistenza
La resistenza elettrica R (o piu semplicemente resistenza ) e il reciproco della conduttanza:
1
R=
(2.31)
G
Dalle (2.18), (2.29) e (2.31), si ottiene:
R=
l
S
(2.32)
La resistenza si misura in ohm (
) 8 .
10 m e con sezione pari a 1 mm2 .
Soluzione. Dalla Tabella 2.1 ricaviamo che la conducibilita del rame a temperatura ambiente ha il valore
= 5:9 107 S/m. Quindi la conduttanza del lo e:
S
5:9 107 S=m 10 6 m2 = 5:9 S
G=
=
l
10 m
e la resistenza vale:
1 = 1 = 0:17 :
R=
G
5:9 S
Il valore di resistenza ottenuto e molto basso, perche il rame e un buon conduttore.
Esercizio 2.2.
Calcolare la resistenza di un lo di rame lungo
2.14 Resistore
Il componente elettronico costruito per avere una resistenza elettrica di un determinato valore e
detto resistore . Il simbolo circuitale del resistore e illustrato nella Fig. 2.7. In commercio sono
disponibili resistori con resistenza compresa tra 1 e 10 M
.
Il resistore e un bipolo , cioe un dispositivo avente due terminali (o morsetti ), a cui e applicata
la dierenza di potenziale V e attraverso cui uisce la corrente I . Per indicare in modo univoco
i versi della tensione e della corrente, i due terminali del bipolo vengono contrassegnati con i
simboli + (morsetto positivo) e { (morsetto negativo), come nella Fig. 2.7.
2.15 Legge di Ohm
Combinando le (2.31) e (2.30), si ricava:
V
= RI
(2.33)
La (2.33) e detta legge di Ohm ed e una delle equazioni fondamentali nell'analisi dei circuiti
elettrici.
7
Werner von Siemens, 1816{1892. Inventore e industriale tedesco, invento la dinamo con sistema di autoeccitazione e nel 1847 fondo una societa per la produzione di materiale telegraco.
8
Georg Simon Ohm, 1787{1854. Fisico tedesco, den esattamente i concetti di carica elettrica, forza elettromotrice e intensita di corrente, formulando la legge che porta il suo nome.
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FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
R
+
-
I
V
Figura 2.7: Simbolo elettrico del resistore.
+
+
+
V
-
(a)
I
I
V
(b)
+
(c)
(d)
Figura 2.8: Simboli elettrici: (a) e (b) dei generatori di tensione; (c) e (d) dei generatori di
corrente.
Si veda anche [1, pagine 8{10].
Osservazione : la legge di Ohm e stata ricavata assumendo che la direzione di attraversamento
della sezione del conduttore fosse nello stesso verso del campo elettrico (Fig. 2.6); di conseguenza
la corrente risulta positiva quando uisce internamente al conduttore dal terminale a cui e
collegato il polo positivo della batteria (morsetto +) verso il terminale a cui e collegato il polo
negativo (morsetto {). Come illustrato nella Fig. 2.7, la dierenza di potenziale deve essere
misurata dal morsetto positivo a quello negativo, e la corrente e positiva quando uisce dal
morsetto positivo verso quello negativo internamente al bipolo. Questa e la convenzione degli
utilizzatori, usata anche dal simulatore circuitale SPICE. Esiste tuttavia un'altra convenzione
(dei generatori ), secondo cui la corrente e positiva quando uisce nell'altro verso; se adottassimo
questa convenzione, la legge di Ohm andrebbe scritta come: V = RI . Nel seguito, si adottera
sempre la convenzione degli utilizzatori.
2.16 Generatori di tensione e di corrente
Un generatore di tensione ideale e un bipolo che produce ai sui capi una dierenza di tensione
di valore denito, indipendentemente dal resto del circuito in cui il generatore e inserito. I
simboli circuitali piu frequentemente utilizzati per i generatori di tensione sono rappresentati in
Fig. 2.8(a) e (b). Il simbolo illustrato nella Fig. 2.8(a) si utilizza per indicare un generatore di
tensione costante (come, ad esempio, una pila o una batteria ).
Un generatore di corrente ideale e un bipolo che impone una corrente di valore denito,
indipendente dai valori degli altri elementi del circuito. I simboli circuitali piu frequentemente
utilizzati per i generatori di corrente sono rappresentati in Fig. 2.8(c) e (d).
Si veda anche [1, pagine 4{8].
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FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
I
16
G crescente
G decrescente
V
I = GV
Figura 2.9: Caratteristica tensione-corrente in un resistore.
2.17 Caratteristica tensione-corrente
Ogni elemento circuitale e caratterizzato da una relazione tra le grandezze elettriche. Questa
relazione puo essere rappresentata in forma analitica da un'equazione: ad esempio, la legge di
Ohm per un resistore (2.33). Una rappresentazione equivalente in forma graca e costituita
dalla caratteristica tensione-corrente , che e il graco dell'equazione nel piano V -I .
La Fig. 2.9 illustra la caratteristica tensione-corrente di un resistore; la pendenza della retta
e data dalla conduttanza G. Le caratteristiche di un generatore di tensione costante V0 e di un
generatore di corrente costante I0 sono mostrate nella Fig. 2.10.
2.18 Cortocircuiti e circuiti aperti
Un cortocircuito puo essere considerato come un generatore di tensione nulla; la sua caratteristica
tensione-corrente coincide con l'asse verticale (V = 0).
Un circuito aperto puo essere considerato come un generatore di corrente nulla; la sua caratteristica tensione-corrente coincide con l'asse orizzontale (I = 0).
Nel disegno dello schema di un circuito elettrico, un cortocircuito e rappresentato gracamente come un lo che collega due punti (Fig. 2.11(a)); un circuito aperto e rappresentato
dall'assenza di collegamenti tra due punti (Fig. 2.11(b)).
Si veda anche [1, pagine 13{14].
2.19 Nodi e maglie di un circuito
Un nodo e un punto a cui sono collegati i terminali di due o piu elementi di un circuito. Il
nodo non e necessariamente limitato ad un solo punto geometrico: tutti i punti collegati da
cortocircuiti possono essere considerati come appartenenti allo stesso nodo. La denizione di
nodo e indipendente dal modo in cui il circuito viene disegnato. La Fig. 2.12 illustra lo stesso
circuito, raÆgurato in due modi diversi. In entrambe le rappresentazioni, il circuito ha due nodi,
indicati con le lettere A e B.
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I
I
I = I0
V = V0
V
V
(a)
(b)
Figura 2.10: Caratteristiche tensione-corrente: (a) di un generatore di tensione V0 e (b) di un
generatore di corrente I0 .
I=0
V=0
(a)
(b)
Figura 2.11: Simboli rappresentativi di: (a) cortocircuito, (b) circuito aperto.
Una maglia e un percorso chiuso attraverso due o piu elementi di un circuito. La Fig. 2.13
illustra un circuito con tre maglie, di cui due interne e una esterna.
Si veda anche [1, pagine 14 e 24].
2.20 Legge di Kirchho per le correnti
Consideriamo un nodo di un circuito in cui convergono N bipoli. Avendo ipotizzato che la
densita di corrente sia nulla al di fuori degli elementi di un circuito, se nel nodo considerato non
si verica accumulo di carica (cioe se dQ
dt = 0), deve essere I = 0; in altre parole, la corrente
netta entrante nel nodo deve essere nulla.
Poiche la corrente totale entrante nel nodo e data dalla somma algebrica di tutte le N correnti
nei bipoli, prendendo con il segno positivo le correnti con verso entrante nel nodo e con segno
negativo le correnti con verso uscente dal nodo, risulta:
X
k2nodo
Ik = 0
(2.34)
La (2.34) e detta legge di Kirchho 9 per le correnti o KCL (Kirchho's Current Law).
Si veda anche [1, pagine 14{19].
9
Gustav Robert Kirchho, 1824{1887. Fisico tedesco, si occupo di elettrologia, enunciando le leggi per ricavare
le grandezze elettriche nei circuiti, e di irraggiamento, introducendo il concetto di corpo nero.
2
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FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
A
A
1
2
3
4
1
B
2
3
4
B
Figura 2.12: Circuito con due nodi A e B, raÆgurato in due modi diversi.
3
1
2
Figura 2.13: Circuito con tre maglie.
Osservazione : l'ipotesi che non si verichi accumulo di carica nei nodi verra sempre soddisfatta, poiche nel seguito si terra conto del fenomeno dell'accumulo di carica introducendo un
opportuno bipolo (il condensatore, descritto nel paragrafo 3.1), in modo tale che la KCL sia
sempre valida.
2.21 Legge di Kirchho per le tensioni
R
Applicando la (2.6) ad una maglia di un circuito, si ottiene Vaa = aa E~ d~l = 0, qualunque sia
il punto a di partenza e di arrivo; in altre parole, la dierenza di potenziale lungo una maglia
deve essere nulla.
La dierenza di potenziale lungo un percorso chiuso e data dalla somma algebrica delle
dierenze di potenziale dei bipoli lungo il percorso considerato, prendendo con il segno positivo
le tensioni per cui si incontra per primo il terminale contrassegnato con (+) e con segno negativo
le tensioni per cui si incontra per primo il terminale contrassegnato con ({). Risulta:
X
k2maglia
Vk = 0
(2.35)
La (2.35) e detta legge di Kirchho per le tensioni o KVL (Kirchho's Voltage Law).
Si veda anche [1, pagine 24{27].
2.22 Risoluzione di un circuito elettrico
Risolvere un circuito elettrico signica trovare i valori della dierenza di potenziale ai capi di ogni
elemento e il valore della corrente in ogni elemento. Per un circuito contenente soltanto resistori,
2
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
19
V
I1
+
I2
A
1
V1
-
+
2
V2
-
Figura 2.14: Bipoli in serie.
generatori di tensione e generatori di corrente (tutti di valore noto), le grandezze elettriche da
determinare sono: due per ogni resistore (la tensione e la corrente) e una per ogni generatore
(la tensione per un generatore di corrente e la corrente per un generatore di tensione).
Anzitutto, per ogni elemento circuitale occorre stabilire i versi delle correnti e delle tensioni,
secondo la convenzione degli utilizzatori.
La soluzione si ottiene risolvendo un sistema lineare di equazioni, ottenute applicando:
la legge di Ohm ad ogni resistore;
la legge di Kirchho per le tensioni a tutte le maglie del circuito meno una (se c'e piu di
una maglia);
la legge di Kirchho per le correnti a tutti i nodi del circuito meno uno.
Osservazione : le leggi di Kirchho applicate a tutte le maglie e a tutti i nodi forniscono un
sistema di equazioni fra loro dipendenti, in cui un'equazione alle maglie e un'equazione ai nodi
possono essere eliminate.
I programmi di simulazione circuitale, come SPICE [1, capitolo 16], risolvono i circuiti ricavando dalla descrizione del circuito il sistema di equazioni e trovandone la soluzione mediante
algoritmi numerici.
2.23 Resistenze in serie e in parallelo
Due bipoli sono in serie quando essi hanno un nodo in comune, che non e in comune con nessun
altro elemento del circuito: si veda, ad esempio, il nodo A nella Fig. 2.14. Supponiamo, per
semplicita, che le correnti nei due bipoli siano concordi; applicando la KCL al nodo A, si ottiene
I1 I2 = 0, da cui:
I = I1 = I2
(2.36)
mentre dalla proprieta di additivita degli integrali si ricava:
V
= V1 + V2
(2.37)
Quindi, due bipoli in serie sono attraversati dalla stessa corrente, mentre la dierenza di potenziale ai capi dalla serie e uguale alla somma delle dierenze di potenziale ai capi dei bipoli.
Se i due bipoli in serie sono due resistenze, come in Fig. 2.15, allora dalle (2.37) e (2.36)
si ottiene V = (R1 + R2 )I , per cui la serie di due resistenze e equivalente ad una resistenza di
valore:
R = R1 + R2
(2.38)
2
20
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
+
V1
R1
+
V
+
-
V2
R2
Figura 2.15: Resistori in serie.
I
A
+
+
I1 I2
1
V1
2
-
V2
-
B
Figura 2.16: Bipoli in parallelo.
Le due tensioni V1 e V2 sono date dalle formule:
V1 = V
R R+1 R ;
1
2
V2 = V
R R+2 R
1
2
(2.39)
per cui il circuito di Fig. 2.15 e detto partitore di tensione .
Due bipoli sono in parallelo quando essi hanno entrambi i terminali in comune, come ad
esempio i bipoli della Fig. 2.16. Supponiamo che i segni delle tensioni ai capi dei due bipoli
siano concordi; applicando la KVL alla maglia costituita dai due bipoli, si ottiene V1 V2 = 0,
da cui:
V1 = V2
(2.40)
Applicando invece la KCL al nodo A di Fig. 2.16, si ottiene:
I = I1 + I2
(2.41)
Quindi, due bipoli in parallelo hanno la stessa dierenza di potenziale ai capi, mentre la corrente
totale e uguale alla somma delle correnti nei due bipoli.
Se i due bipoli in parallelo sono due resistenze, come in Fig. 2.17, allora dalle (2.40) e (2.41) si
ottiene I = ( R11 + R12 )V . Il parallelo delle due resistenze, che si indica con R1 ==R2 , e equivalente
ad una resistenza di valore:
1 = R1 R2
R = R1 ==R2 = 1
(2.42)
1
R1 + R2
R1 + R2
2
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
+
I
R1
-
I1
+
R2
-
21
I2
Figura 2.17: Resistori in parallelo.
+
V1
+
V2
Figura 2.18: Generatori di tensione in serie.
In alternativa, esprimendo la legge di Ohm mediante la conduttanza, si ricava I = (G1 + G2 )V ,
per cui il parallelo di due conduttanze e equivalente alla somma delle conduttanze:
G = G 1 + G2
(2.43)
Le due correnti I1 e I2 sono date dalle formule:
R2
G2
R1
=
I
;
I2 = I =
I
G1 + G2
R1 + R2
G1 + G2
R1 + R2
per cui il circuito di Fig. 2.17 e detto partitore di corrente .
Si veda anche [1, pagine 19{24 e 27{32].
I1 = I G1
(2.44)
2.24 Generatori in serie e in parallelo
Consideriamo due generatori di tensione in serie, come in Fig. 2.18. Dalla (2.37), si ricava che
la tensione ai capi della serie dei due generatori e V = V1 + V2 . Il risultato ottenuto puo essere
generalizzato ad un numero qualsiasi di generatori di tensione in serie: la tensione risultante e
pari alla somma delle tensioni di tutti i generatori.
Se invece consideriamo due generatori di corrente in serie, come nella Fig. 2.19, e applichiamo
la KCL al nodo tra i due generatori, ricaviamo che dev'essere I1 = I2 . Quindi, due generatori
di corrente possono essere collegati in serie solo se erogano la stessa corrente.
Due generatori di corrente possono essere collegati in parallelo, come nella Fig. 2.20. Dalla
(2.41), ricaviamo che la corrente totale e I = I1 + I2 . Quindi, la corrente risultante da piu
generatori di corrente in parallelo e la somma delle correnti erogate dai generatori.
Inne, consideriamo due generatori di tensione collegati in parallelo, come nella Fig. 2.21.
Applicando la KVL alla maglia dei due generatori, si ricava V1 = V2 . Quindi, due generatori di
tensioni posono essere collegati in parallelo solo se le loro tensioni sono uguali.
Si veda anche [1, pagine 32{34].
2
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
22
I1
I2
Figura 2.19: Generatori di corrente in serie.
I1
I2
Figura 2.20: Generatori di corrente in parallelo.
2.25 Generatori dipendenti
Un generatore (di tensione o di corrente) si dice dipendente (o controllato ) quando il suo valore
e funzione di un'altra grandezza elettrica presente nel circuito [1, pagine 34{38].
Consideriamo il caso piu semplice, in cui la grandezza elettrica fornita dal generatore dipendente e proporzionale alla grandezza elettrica di controllo. Poiche ci sono due grandezze elettriche (tensione e corrente), possiamo avere quattro tipi di generatori dipendenti. Indichiamo
con Vo (Io ) la tensione (corrente) generata dal generatore dipendente, e con Vi (Ii ) la tensione
(corrente) di controllo. I quattro tipi di genaratori dipendenti sono:
generatore di tensione controllato in tensione, detto anche VCVS (\voltage-controlled voltage source"), illustrato nella Fig. 2.22(a): Vo = EVi ;
generatore di corrente controllato in corrente, detto anche CCCS (\current-controlled current source"), illustrato nella Fig. 2.22(b): Io = F Ii ;
generatore di corrente controllato in tensione, detto anche VCCS (\voltage-controlled current source"), illustrato nella Fig. 2.22(c): Io = GVi;
+
V1
+
V2
Figura 2.21: Generatori di tensione in parallelo.
2
23
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
+
+
+
Vi
-
-
Ii
Vo = E Vi
(a)
-
+
+
Vi
Io = F Ii
(b)
+
+
Ii
Io = G Vi
-
-
+
-
(c)
Vo = H Ii
(d)
Figura 2.22: I quattro tipi di generatori dipendenti.
Tabella 2.2: Dualita nei circuiti elettrici
corrente ! tensione
generatore di corrente ! generatore di tensione
conduttanza ! resistenza
nodo ! maglia
KCL ! KVL
parallelo ! serie
capacita a ! induttanza b
a
b
La capacita e denita nel paragrafo 3.1.
L'induttanza e denita nel paragrafo 3.5.
generatore di tensione controllato in corrente, detto anche CCVS (\current-controlled voltage source"), illustrato nella Fig. 2.22(d): Vo = HIi .
Si osservi che E e F sono numeri puri; G ha le dimensioni di una conduttanza, mentre H ha
le dimensioni di una resistenza.
L'uso delle lettere E , F , G e H per designare questi generatori e conforme alla convenzione
sui nomi degli elementi circuitali usata nel simulatore SPICE [1, capitolo 16].
2.26 Dualita
Osservando le leggi fondamentali che descrivono il comportamento dei circuiti elettrici, si nota
che molte coppie di formule sono simili. Per ogni circuito, e possibile ricavare il circuito duale ,
ottenuto tramite le sostituzioni indicate nella Tabella 2.2. Il circuito duale e descritto da un
sistema di equazioni numericamente identico a quello del circuito di partenza.
Si veda anche [1, pagine 127{129].
2.27 Potenza dissipata
In base alla (2.9), l'energia necessaria per far muovere una carica Q all'interno di un resistore a
cui e applicata una dierenza di potenziale costante V e:
W = QV
(2.45)
Derivando la (2.45), e utilizzando le (2.10) e (2.25), si ottiene:
P
dQ
= dW
=
V
=VI
dt
dt
(2.46)
2
24
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
La (2.46) fornisce la potenza dissipata da qualsiasi elemento di un circuito. Se l'elemento
considerato e un resistore con resistenza R, possiamo scrivere la potenza dissipata in funzione
della corrente:
P = V I = RI I = RI 2
(2.47)
oppure in funzione della tensione:
2
= V I = V VR = VR
(2.48)
Avendo adottato la convenzione degli utilizzatori per tutti gli elementi di un circuito, la
potenza dissipata risulta sempre positiva per i resistori, mentre per i generatori essa puo risultare
positiva o negativa. In ogni caso, la somma algebrica delle potenze in tutti gli elementi di un
circuito deve essere zero, come conseguenza del principio di conservazione dell'energia: poiche
P = ddWt , il fatto che l'energia W sia costante comporta necessariamente che P = 0. Questo
risultato e noto come teorema di Tellegen , e viene solitamente scritto nella forma:
P
X
k
Vk Ik = 0
(2.49)
dove la sommatoria e estesa a tutti i bipoli del circuito.
La potenza e positiva per gli elementi circuitali che la ricevono (ad esempio, i resistori);
mentre e di solito negativa per gli elementi che la erogano (i generatori). In alcuni casi, tuttavia,
un generatore puo ricevere potenza: questo e il caso, ad esempio, di una batteria che viene
ricaricata.
Si veda anche [1, pagine 39{44].
Esercizio 2.3.
220 V.
Soluzione.
Calcolare la resistenza interna di una stufetta elettrica da
1 kW alimentata con tensione
Dalla (2.48) ricaviamo:
2
V)2 = 48400 V2 = 48:4 = VP = (220
103 W
1000 W
Approssimando, possiamo dire che la resistenza interna della stufetta vale circa 50 .
R
2.28 Generatori equivalenti di Thevenin e di Norton
In tutti i casi in cui non occorre ricavare tutte le grandezze elettriche di un circuito, ma occorre
soltanto calcolare le grandezze ai terminali di uscita, e possibile semplicare il calcolo facendo
uso del teorema del generatore equivalente .
Dal punto di vista di due terminali di uscita A e B, il comportamento di una qualsiasi rete
elettrica contenente generatori e resistenze e equivalente a quello di un generatore di tensione Veq
in serie ad una resistenza Req , come illustrato in Fig. 2.23. Questo circuito equivalente prende
il nome di generatore equivalente di Thevenin 10 , benche la prima formulazione del teorema del
generatore equivalente sia dovuta a Helmholtz 11 .
10
Leon Thevenin, 1857{1926. Ingegnere francese, docente presso l'Ecole Superieure de Telegraphie, studio le
reti elettriche e nel 1883 formulo il teorema del generatore equivalente.
11
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz, 1821{1894. Fisico tedesco, formulo il principio di conservazione
dell'energia, introducendo il concetto di energia potenziale. Nel 1853 pubblico il teorema del generatore equivalente
in un libro sull'elettricita negli organismi animali; tuttavia la sua opera rimase sconosciuta agli ingegneri delle
telecomunicazioni, e il teorema prese il nome da Thevenin, che lo riscopr 30 anni dopo.
2
25
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
V, I,
R,
E, F,
G, H
A
+
A
Req
Veq
B
-
B
Figura 2.23: Generatore equivalente di Thevenin.
V, I,
R,
E, F,
G, H
A
A
Ieq
B
Req
B
Figura 2.24: Generatore equivalente di Norton.
In base al principio di dualita, possiamo anche dire che il circuito e equivalente ad un generatore di corrente Ieq in parallelo ad una resistenza Req , come illustrato in Fig. 2.24; questo e il
generatore equivalente di Norton 12 .
I parametri dei due circuiti equivalenti sono fra loro dipendenti: la resistenza Req ha lo stesso
valore per entrambi i circuiti, mentre la tensione del generatore di Thevenin Veq e la corrente
del generatore di Norton Ieq sono legate dalla relazione:
Veq = Req Ieq
(2.50)
La tensione Veq e la tensione di circuito aperto presente tra A e B; mentre la corrente Ieq e
la corrente di corto circuito che scorre da A verso B quando questi nodi vengono cortocircuitati.
Il valore della resistenza equivalente Req si calcola spegnendo tutti i generatori indipendenti nel
circuito.
Si veda anche [1, pagine 80{90].
2.29 Massimo trasferimento di potenza
Consideriamo il circuito illustrato in Fig. 2.25, costituito da un generatore di Thevenin a cui
e collegato un carico resistivo RL . Vogliamo trovare il valore della resistenza di carico RL che
assorbe la massima potenza dal generatore.
Indicando con I la corrente nell'unica maglia, possiamo scrivere l'equazione:
Veq = Req I + RL I
12
(2.51)
Edward L. Norton. Ingegnere statunitense, lavoro presso i Bell Laboratories, occupandosi del progetto del
primo apparecchio elettrico per la registrazione fonograca; nel 1926 formulo il duale del teorema di Thevenin nel
corso della sua attivita di progettista, in cui sfruttava l'elaborazione dei segnali di corrente.
2
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
+
A
Req
I
Veq
26
-
RL
B
Figura 2.25: Generatore di Thevenin con resistenza di carico RL .
da cui otteniamo
I=
La potenza dissipata dal carico e:
Veq
Req + RL
= RL I 2 = Veq2 (R R+LR )2
eq
L
il cui valore massimo si ottiene calcolando il massimo della funzione:
P
(2.52)
(2.53)
RL
(2.54)
(Req + RL )2
rispetto alla variabile RL . Poiche le resistenze non possono essere negative, osserviamo che y e
sempre positiva, tranne che per RL = 0 e RL ! 1, per cui si ha y = 0.
Ricordando che nei massimi e minimi di una funzione la derivata prima si annulla, possiamo
concludere che il valore cercato e la soluzione dell'equazione:
(Req + RL )2 2(Req + RL )RL = 0
dy
=
(2.55)
dRL
(Req + RL )4
Moltiplicando per (Req + RL )4 e svolgendo i calcoli, si ottiene:
2
Req
RL2 = 0
(2.56)
le cui soluzioni sono RL = Req e RL = Req . Scartando la soluzione negativa, che non e
sicamente realizzabile (e per cui si annullerebbe il denominatore della (2.55)), si ha l'unica
soluzione:
RL = Req
(2.57)
Possiamo quindi concludere che la potenza trasferita al carico e massima quando la resistenza di
carico e uguale alla resistenza interna del generatore equivalente. Questo risultato e noto come
teorema del massimo trasferimento di potenza .
Quando la resistenza di carico e uguale alla resistenza interna del generatore, la tensione ai
capi del carico e:
V
VL = eq
(2.58)
2
e la potenza dissipata dal carico e:
V2
(2.59)
P = eq
4R
y=
eq
Si noti che una potenza uguale viene dissipata dalla resistenza interna Req .
Si veda anche [1, pagine 90{92].
2
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
27
V1
R,
E, F,
G, H
Vn
I1
Im
Figura 2.26: Esempio di applicazione del principio di sovrapposizione degli eetti.
2.30 Principio di sovrapposizione degli eetti
In un circuito che contiene piu generatori indipendenti di tensione e di corrente, come nel caso
della Fig. 2.26, le grandezze elettriche dipendono da tutti i generatori. Tuttavia, se il circuito
e lineare, gli eetti dei generatori si sommano, pertanto si puo calcolare separatamente l'eetto
prodotto da ogni generatore e poi calcolarne la somma. Questo e il principio di sovrapposizione
degli eetti .
In pratica, si procede nel modo seguente:
1. si spengono tutti i generatori indipendenti tranne uno;
2. si calcolano le tensioni e le correnti risultanti;
3. si ripetono i passi 1 e 2 per ciascuno dei generatori indipendenti;
4. si sommano i risultati parziali ottenuti.
Si rammenti che il principio di sovrapposizione degli eetti si applica solo per circuiti linerari
e solo per grandezze che dipendono linearmente. Inoltre, quando si applica questo principio, tutti
i generatori dipendenti devono essere lasciati come sono, come per il calcolo della resistenza dei
generatori equivalenti di Thevenin e di Norton.
Si veda anche [1, pagine 93{98].
Gli elementi del circuito in gura 2.27 hanno i valori: R1 = 8 k
, R2 = 2 k
, R3 = 1 k
,
Si determini il valore della resistenza di carico RL da inserire tra i
nodi A e B, in modo da rendere massima la potenza erogata al carico, e si calcoli la potenza dissipata da
RL .
Esercizio 2.4.
R4
= 5 k
, I= = 5 mA, V0 = 9 V.
Il circuito equivalente di Thevenin e illustrato nella gura 2.23, dove Veq e la tensione di circuito
aperto e Req e la resistenza equivalente tra i nodi A e B. Possiamo ricavare Veq usando il principio di
sovrapposizione degli eetti.
Calcoliamo anzitutto il contributo dovuto a I0 , ponendo V0 = 0 (cortocircuito). La resistenza vista
dal generatore I0 e R0 = (R1 ==R2)==(R3 + R4 ), con R1 ==R2 = 1:6 k
e R3 + R4 = 6 k
; pertanto risulta
R0 = 1:26 k
. La tensione ai capi del generatore I0 e VI0 = R0 I0 = 6:31 V e la tensione di circuito aperto
tra A e B, calcolata con la formula del partitore di tensione, risulta essere:
Soluzione.
0 = V 0 = VI
eq
0
R4
+ R4 = 5:26 V
Calcoliamo poi il contributo dovuto a V0 , ponendo I0 = 0 (circuito aperto). Il circuito in questo
caso puo essere ridisegnato nel modo illustrato nella gura 2.28. La resistenza tra i nodi C e B e
VAB
R3
2
28
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
R3
R2
I0
A
R1
+
RL
R4
V0
B
Figura 2.27: Esercizio 2.4.
C
R2
R3
+
A
R1
V0
R4
B
Figura 2.28: Circuito ottenuto spegnendo il generatore di corrente.
( + R4 ) = 3:43 k
. Usando la formula del partitore di tensione si calcola la tensione tra C e B:
00 = V0 R1 ==(R3 + R4 ) = 5:68 V
VCB
R2 + R1 ==(R3 + R4 )
e quindi, applicando nuovamente la stessa formula al partitore costituito da R3 e R4 , si ottiene:
R1 == R3
00
VAB
00 R4 = 4:74 V
= Veq00 = VCB
R3 + R4
Sommando i due contributi trovati, si ricava:
0 + V 00 = 10 V
Veq = Veq
eq
Per calcolare il valore della resistenza equivalente Req occorre spegnere entrambi i generatori. Risulta:
Req = R4 ==(R3 + (R1 ==R2 )) = 1:71 k
In base al teorema della massima potenza, possiamo aermare che la potenza trasmessa al carico e
massima quando RL = Req = 1:71 k
. La corrente IL nella resistenza di carico e:
Veq
V
IL =
= 2 10
Req + RL
1:71k
= 2:92 mA
e la potenza dissipata dal carico e PL = RLIL2 = 14:5 mW.
2
29
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
2.31 Problemi
Una linea di interconnessione all'interno di un circuito integrato, realizzata in alluminio,
ha larghezza w = 5 m, spessore z = 1 m e lunghezza l = 1 mm (Fig. 2.29). Calcolare la resistenza
elettrica tra le due estremita della linea.
Problema 2.1.
z
l
w
Figura 2.29: Problema 2.1
Problema 2.2. Quale sarebbe il valore della resistenza elettrica se la linea del Problema 2.1 fosse realizzata in rame, anziche in alluminio?
I resistori comunemente disponibili per la realizzazione di circuiti su scheda hanno i
seguenti valori: 10 , 12 , 15 , 18 , 22 , 27 , 33 , 39 , 47 , 56 , 68 , 82 , 100 , 120 ,
150 , . . . , e cos via no a 10 M
. Disegnare lo schema di una combinazione di resistori che presenti
una resistenza pari a :
Problema 2.3.
A.
B.
50 ;
75 .
Problema 2.4.
della serie.
Quattro pile da
1.5 V sono collegate in serie.
Calcolare la tensione risultante ai capi
Due generatori di tensione controllati in tensione E1 e E2 sono connessi in cascata:
l'uscita del primo e collegata all'ingresso del secondo, come illustrato nella gura 2.30. Calcolare la
tensione di uscita Vo .
Problema 2.5.
+
Vi
+
+
E1
-
+
Vo
E2
-
-
-
Figura 2.30: Problema 2.5
Calcolare la resistenza e l'intensita di corrente nel lamento di una lampadina da
alimentata con tensione 220 V.
Problema 2.6.
Problema 2.7.
R1
Gli elementi del circuito in gura 2.31 hanno i seguenti valori: IA = 5 mA, IB
= 50 , R2 = 150 , R3 = 600 , R4 = 400 , R5 = 1 k
.
40 W
= 2 mA,
A. Ricavare il circuito equivalente di Thevenin ai terminali A e B.
B. Determinare il valore della resistenza di carico RL che, inserita tra i terminali A e B, assorbe la
massima potenza, e calcolarne la potenza dissipata.
2
30
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
R1
IA
R2
A
IB
R4
R5
R3
B
Figura 2.31: Problema 2.7
Problema 2.8.
R1
Gli elementi del circuito in gura 2.32 hanno i seguenti valori:
= 1 k
, R2 = 500 , R3 = 500 , R4 = 500 .
V0
= 5 V, I0 = 8 mA,
A. Ricavare il circuito equivalente di Norton ai terminali A e B.
B. Determinare il valore della resistenza di carico RL che, inserita tra i terminali A e B, assorbe la
massima potenza, e calcolarne la potenza dissipata.
R2
R1
+
A
V0
R3
I0
R4
B
Figura 2.32: Problema 2.8
Problema 2.9.
R1
Gli elementi del circuito in gura 2.33 hanno i seguenti valori:
= 8 k
, R2 = 4 k
, R3 = 4 k
, R4 = 1 k
, R5 = 3 k
.
V0
= 3 V, I0 = 2 mA,
A. Ricavare il circuito equivalente di Thevenin ai terminali A e B.
B. Determinare il valore della resistenza di carico che, inserita tra A e B, assorbe la massima potenza,
e calcolare il valore della potenza assorbita.
R2
+
V0
R1
A
R4
R3
R5
I0
B
Figura 2.33: Problema 2.9
2
31
FONDAMENTI DI TEORIA DEI CIRCUITI ELETTRICI
Problema 2.10.
R1
Gli elementi del circuito in gura 2.34 hanno i seguenti valori:
= 50 , R2 = 50 , R3 = 150 e R4 = 300 .
V0
= 5 V, I0 = 1 mA,
A. Si trovi il valore della resistenza di carico RL che deve essere collegata tra i terminali A e B perche
la potenza assorbita sia massima.
B. Si calcoli il valore della potenza dissipata dalla resistenza di carico RL ottenuta al punto precedente.
R1
I0
R2
+
A
V0
R3
R4
B
Figura 2.34: Problema 2.10
Problema 2.11.
R2
Gli elementi del circuito in gura 2.35 hanno i seguenti valori:
Il guadagno dell'amplicatore ideale di corrente e F
= 3:9 k
, R3 = 250 .
A. Calcolare la potenza erogata dal generatore
V0
= 9 V, R1 = 100 ,
= 10.
V0
in assenza di carico tra A e B.
B. Ricavare il circuito equivalente di Thevenin ai terminali A e B.
C. Determinare il valore della resistenza di carico
massima potenza.
D. Calcolare la potenza erogata dal generatore
V0
RL
che, inserita tra i terminali A e B, assorbe la
in presenza del carico
R3
R2
A
F
+
V0
Ii
Io =
F Ii
R1
B
Figura 2.35: Problema 2.11
RL
tra A e B.