teorema di bayes - Silvano Rossetto
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5. PROBABILITA’ CONDIZIONATA INDIPENDENZA TEOREMA DI BAYES Anna Maria Anconelli - Claudia Bartolotti - Enrica Pirazzini Ada Pirazzoli - Maria Roberta Randi Docenti di matematica e fisica Liceo Scientifico St. “G. Ricci Curbastro” Lugo di Romagna (Ra) Premessa Il Piano Nazionale per l’Informatica prevede, per i trienni, la trattazione della probabilità condizionata, dell’indipendenza e del teorema di Bayes in quarta classe. Questi contenuti possono contribuire a raggiungere alcune delle finalità elencate dal P.N.I.: 1. l’acquisizione di conoscenze a livelli più elevati di astrazione e di formalizzazione; 2. la capacità di cogliere i caratteri distintivi dei vari linguaggi (storico-naturali, formali, artificiali); 3. la capacità di utilizzare metodi, strumenti e modelli matematici in situazioni diverse; 4. l’attitudine a riesaminare criticamente ed a sistemare logicamente le conoscenze via via acquisite; 5. l’interesse sempre più vivo a cogliere gli sviluppi storico-filosofici del pensiero matematico. In particolare ci riferiamo alla n.1, alla n.3, alla n.4 e alla n.5. Essi possono poi contribuire a raggiungere alcuni degli obiettivi di apprendimento elencati dal P.N.I; alla fine del triennio, l’alunno dovrà essere in grado di: 1. sviluppare dimostrazioni all’interno di sistemi assiomatici proposti o liberamente costruiti, 2. operare con il simbolismo matematico riconoscendo le regole sintattiche di trasformazione di formule; 3. utilizzare metodi e strumenti di natura probabilistica e inferenziale, 4. affrontare situazioni problematiche di varia natura avvalendosi di modelli matematici atti alla loro rappresentazione; 1 5. costruire procedure di risoluzione di un problema e, ove sia il caso, tradurle in programmi per il calcolatore; risolvere problemi geometrici per via sintetica o per via analitica; interpretare intuitivamente situazioni geometriche spaziali; applicare le regole della logica in campo matematico; utilizzare consapevolmente elementi del calcolo differenziale; riconoscere il contributo dato dalla matematica allo sviluppo delle scienze sperimentali; 11. inquadrare storicamente l’evoluzione delle idee matematiche fondamentali; 12. cogliere interazioni tra pensiero filosofico e pensiero matematico. In particolare ci riferiamo al n.1, al n.3, al n4, al n5,al n.8, al n.10, al n.11 e al n.12. 6. 7. 8. 9. 10. Nel commento al tema n.4 - probabilità e statistica – del quale gli argomenti in oggetto fanno parte con l’indicazione 4.c, il P.N.I. sostiene che “gli elementi di probabilità e statistica rispondono all’esigenza di abituare l’alunno ad effettuare modellizzazioni di situazioni in condizioni di incertezza”. Nelle indicazioni metodologiche, il P.N.I. insiste sull’opportunità che l’insegnamento sia condotto per problemi: “dall’esame di una data situazione problematica l’alunno sarà portato, prima a formulare una ipotesi di soluzione, poi a ricercare il procedimento risolutivo mediante il ricorso alle conoscenze già acquisite, ed infine ad inserire il risultato ottenuto in un organico quadro teorico complessivo, un processo in cui l’appello all’intuizione sarà via via ridotto per dare più spazio all’astrazione ed alla sistemazione razionale. Si ricorda che il termine problema va inteso nella sua accezione più ampia…in questa ipotesi potrà risultare didatticamente proficuo storicizzare la questione presentandola come una successione di tentativi portati a livello di rigore e di astrazione sempre più spinti…A conclusione degli studi secondari scaturirà così naturale nell’alunno l’interesse ad una revisione critica dei concetti e delle teorie via via apprese, anche in un contesto interdisciplinare…che lo porterà a recepire un procedimento che è diventato paradigmatico in qualsiasi ricerca e in ogni ambito disciplinare.” Quanto detto fino qui, con gli opportuni riferimenti, si adatta perfettamente anche ai programmi ministeriali elaborati dalla Commissione Brocca per i trienni. Per quanto riguarda i vari indirizzi di studio ci si riferisce a quanto detto espressamente per ciascuno di essi sia nel P.N.I. che nel Progetto Brocca. A nostro parere la probabilità condizionata, l’indipendenza e il teorema di Bayes si prestano benissimo come esempio per far vedere che la probabilità e la statistica non sono argomenti in più da trattare, ma temi che si possono “fondere” con gli altri e non solo a livello contenutistico, ma anche e soprattutto a livello metodologico: possono aiutare moltissimo a superare la visione negativamente dogmatica della 2 matematica; possono, inoltre, aumentare le possibilità di saper indagare e conoscere in modo consapevole la realtà. Consigliamo in particolare di fare riferimento al primo capitolo del Quaderno n.8 del M.P.I. ( vedi bibliografia [1] ). Gli studenti incontrano: l’induzione matematica come nuova forma di ragionamento che procede dal particolare al generale; l’induzione sperimentale, quasi esclusivamente in fisica, per capire che in campo scientifico dalla conoscenza dei dati sperimentali si vuole arrivare alle leggi, alle proprietà che regolano il fenomeno al quale l’esperimento si riferisce. In questo caso essi hanno l’opportunità di avvicinarsi all’induzione statistica: si cerca di arrivare a conclusioni, di formulare leggi aventi una validità generale per l’intera collettività partendo da una parte di essa o campione; questo processo è ovviamente attuato con gli strumenti della metodologia statistica e della probabilità e quindi rappresenta un nuovo e diverso ambiente di lavoro e favorirà al massimo livello quel “diventare paradigmatico” citato in precedenza. Per quanto riguarda in particolare il teorema di Bayes, esso conclude la trattazione della probabilità ed è di importanza fondamentale per l’induzione statistica; le eventuali applicazioni anche nel continuo, si realizzeranno in quinta classe, quando si concluderà il lavoro con la parte inferenziale e gli studenti saranno in possesso anche di adeguati concetti matematici. L’insistenza su tale teorema è giustificata dal fatto che crediamo possa permettere la rivisitazione quasi naturale di tanti argomenti già trattati, in un momento in cui gli studenti sono in possesso di più strumenti conoscitivi e sono anche in grado di valutare diversi metodi da vari punti di vista; la conoscenza di quegli argomenti diventerà quindi più ampia e più sicura. In particolare pensiamo che lavorare su questi argomenti rappresenti un’occasione in più e diversa dalle solite, concettualmente più impegnativa e di applicazioni più profonde della logica. Prerequisiti 1. concetti di base della teoria degli insiemi; (unione, intersezione, complementare, prodotto cartesiano); 2. concetti di base corrispondenti di logica matematica (vel, et, non); 3. uso appropriato di diagrammi di vario tipo e in particolare ad albero; 4. concetti di base di calcolo combinatorio (non indispensabili, ma utili per avere più libertà di scelta di esempi di vario genere); 5. probabilità: definizione classica; definizione statistica, frequentista; definizione soggettiva; 3 definizione assiomatica; primi riferimenti storici. OBIETTIVI SAPERE SAPER FARE Concetti di prova e di evento Lavorare con gli eventi Concetto di probabilità degli eventi da vari punti di vista Calcolare la probabilità di eventi in vari contesti Concetti di eventi incompatibili e compatibili Calcolare la probabilità di eventi anche definiti attraverso i connettivi e, o, non Legge delle probabilità totali Lavorare sia in caso di incompatibilità che in caso di compatibilità Definizione di probabilità condizionata Calcolare la probabilità condizionata lavorando anche con gli insiemi Legge delle probabilità composte Applicare la legge Concetto di indipendenza Lavorare con esempi rispetto anche a tre casi Enunciare il teorema di Bayes Applicare il teorema in casi standard Dimostrare il teorema di Bayes Applicare il teorema in situazioni nuove Esporre il concetto, il significato ad esso sotteso Distinguere le situazioni in cui il teorema è applicabile Sintetizzare le nuove conoscenze Usare la tecnica insiemistico Valutare queste conoscenze in rapporto ad altre e anche di altre discipline Usare la tecnica del diagramma ad albero Utilizzare consapevolmente la logica Usare la tecnica della tabella Distinguere l’induzione matematica da quella sperimentale Stabilire la probabilità che un evento sia “causa” di un altro significativi del diagramma 4 Inquadrare storicamente il teorema Applicare il teorema in vari contesti ed anche di ambiti disciplinari diversi Contenuti: probabilità condizionata; indipendenza; teorema di Bayes e sue applicazioni in ambito discreto. Strumenti: appunti personali di corsi di aggiornamento; articoli su riviste di didattica della matematica (vedi bibliografia); libri di scuola secondaria o universitari (vedi bibliografia); libri divulgativi (vedi bibliografia); strumenti informatici adeguati. Metodologia Il lavoro si articola in fasi di vario genere che possono essere così schematizzate: 1) si assegnano problemi stimolo individualmente, in classe o a casa; 2) si discutono in classe le “pensate individuali”; 3) dalla discussione emerge la necessità di esaminare altre situazioni, allora si assegnano altri problemi stimolo che sono affrontati in classe in gruppo ed eventualmente “ripensati” a casa; 4) dalla nuova discussione emerge una prima sistematizzazione; 5) si assegnano esercitazioni di rinforzo da fare a casa individualmente, 6) si correggono in classe, 7) seguono le necessarie lezioni frontali fino alla completa sistematizzazione; 8) si fa una prima verifica formativa individuale scritta ; 9) alla sua correzione segue un eventuale lavoro di sostegno-recupero , 10) si fa una verifica sommativa individuale scritta; 11) segue la sua correzione; 12) gli studenti, a casa, lavorano con tutti gli elementi in loro possesso; 13) si fa una verifica sommativa, individuale, orale, conclusiva. Tempi e osservazioni Il lavoro didattico così organizzato implica la necessità di utilizzare un certo tempo; pensiamo che ne valga la pena data l’importanza che questi argomenti hanno dal punto di vista concettuale, rappresentando il nucleo fondante l’argomento della probabilità. E’ opportuno un buon approfondimento per portare gli studenti a padroneggiare con sicurezza un argomento di cui vogliamo che condividano l’importanza, senza dover superare più difficoltà rispetto a quando “fanno matematica” e nello stesso tempo a 5 vederlo ben integrato con gli altri temi visto anche il notevole interesse che suscita dato che il contesto è stimolante, aderente alla realtà e diverso dal solito. Considerazioni storiche Gli studenti, fin dal biennio, hanno avuto varie occasioni per riflessioni storiche riguardanti la statistica e la probabilità: ci sembra opportuno, infatti, stimolare da subito la loro curiosità circa l’origine dei lavori su tali argomenti. Esaminate le varie ipotesi riguardanti dove e quando sarebbe nata la probabilità, si passa attraverso un’opera di Cicerone e dopo un salto di secoli si arriva fino a Cardano; la grande diffusione del gioco d’azzardo porta in particolare ai lavori di Galileo, di Pascal e di Fermat che segnano l’inizio di lavori organici. Suscita sicuro interesse entrare un po’ nei particolari di vicende come quella del problema dei tre dadi nel gioco della zara circa i punteggi 9, 10, proposto dai gentiluomini fiorentini a Galileo o del problema della ripartizione della posta, del Cavaliere De Meré, accanito giocatore, che lo propose a Pascal: G. Prodi nel suo libro “Matematica come scoperta” lo titola “l’utilità dei fannulloni”. Nel tempo, con il contributo di tanti, la probabilità diventa una teoria autonoma; nascono e si sviluppano le varie concezioni e dai contrasti nascono dibattiti proficui che rivelano la complessità dei problemi e nuovi campi di applicazione. In particolare si può fare riferimento al teorema o, come riportato da diversi autori, alla formula, che risale ad un lavoro di Thomas Bayes(1702-1761). In tale studio veniva implicitamente ammesso che le varie alternative (in numero finito) avessero uguale probabilità e quindi le probabilità a posteriori risultavano proporzionali alle probabilità condizionate o verosimiglianze. Questo risultato lasciò dubbioso Bayes che non pubblicò il suo lavoro. Quest’ultimo apparve solo nel 1763, dopo la sua morte, a cura di un amico e sollevò molto interesse. Solo in seguito, il procedimento per ricavare le probabilità a posteriori venne separato dalla ipotesi di uguale probabilità e il risultato venne esteso, lasciando cadere tale ipotesi, e si ottenne la forma che oggi vediamo del teorema. L’ipotesi di uguali probabilità a priori venne ripresa e analizzata in particolare da Laplace, e viene detta ipotesi di Bayes-Laplace. Molte discussioni, spesso polemiche, hanno accompagnato sia questa ipotesi che in generale le applicazioni del Teorema di Bayes. L’insegnante presenta, in classe, brevemente, le principali situazioni storiche; gli studenti, singolarmente o a gruppi , a seconda degli interessi personali sviluppano a casa delle parti, per un tempo concordato, durante il quale possono consultarsi con l’insegnante per una miglior riuscita del percorso. In un incontro prefissato ciascuno porta i materiali di riferimento ed espone la propria parte, anche con l’aiuto di lucidi, cartelloni, mezzi informatici, in ordine rispetto all’impianto complessivo di cui tutti debbono essere a conoscenza. 6 Didatticamente un momento come questo è proficuo da vari punti di vista; in particolare accresce la capacità di autonomia del singolo ma aiuta soprattutto il lavoro globale a cui ogni singolo deve sentire di partecipare in modo determinante. 5.1. Prove, eventi, insiemi, probabilità Il lavoro inizia riprendendo e cercando di consolidare quanto è stato fatto nel precedente biennio. In particolare gli studenti debbono avere ben chiari i concetti di base tra i quali quelli di prova o esperimento e di evento. Il lancio di un dado è una prova. L’apparire di un 3 o di un 6 o di un numero pari, sono eventi. Se lanciamo un dado successivamente per tre volte e ci chiediamo se la terna che appare è fatta di numeri tutti pari, per il risultato che ci interessa, la prova è l’insieme dei tre lanci e solo per utilità pratica possiamo pensare ad ogni singolo lancio come ad una “sottoprova” delle prova; l’apparizione di una terna di numeri tutti pari è un evento. Chiamiamo l’insieme totale o spazio che rappresenta tutti i possibili risultati della prova: in esso ci sono tutti gli eventi su cui si possono fare le operazioni che interessano; esso è l’evento certo e il suo complementare, l’insieme vuoto, è l’evento impossibile. E’ opportuno chiarire che la scelta di è legata sì alla prova, all’esperimento, ma può dipendere anche dal problema. Facciamo un esempio. Se lanciamo un dado, in generale si ha che =1,2,3,4,5,6; se ci interessa distinguere solo l’uscita di un numero pari o dispari si ha che =P,D. Un evento è un insieme di eventi elementari, un sottoinsieme dell’insieme di tutti i possibili risultati della prova, cioè dello spazio . Per rafforzare ulteriormente la chiara comprensione concettuale proponiamo il seguente esempio: abbiamo un’urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5, estraiamo due palline con reimbussolamento; ci interessa l’evento E “uscita di due numeri dispari”. è costituto dalle 25 coppie ordinate (1,1); (1,2); …(5,5) che si ottengono associando i 5 numeri che possono uscire alla prima estrazione con i 5 numeri che possono uscire alla seconda estrazione. Sia A l’evento “esce un numero dispari nella prima estrazione ed esce un numero qualsiasi nella seconda estrazione”, sia B l’evento “esce un numero qualsiasi nella prima estrazione ed esce un numero dispari nella seconda estrazione”. In tal modo E=AB e P(E)=9/25. 7 Attenzione a non lavorare con l’evento A1 “il primo numero estratto è dispari” e con l’evento B1 “il secondo numero estratto è dispari” intendendo A1=B1=1,3,5 come sottoinsiemi di =1,2,3,4,5; in tal modo E=A1B1 è concettualmente errato perché è costituito da tutte le coppie ordinate risultato della prova che è costituita da due estrazioni. La seguente tabella, opportunamente schematizzata, ci sembra visivamente efficace: (1,1) (1,3) (1,5) (3,1) (3,3) (3,5) (5,1) (5,3) (5,5) (1,2) (1,4) (3,2) (3,4) (5,2) (5,4) (2,1) (2,3) (2,5) (4,1) (4,3) (4,5) (2,2) (2,4) (4,2) (4,4) Diamo un’importante definizione. Una famiglia di eventi, non vuota (che abbia almeno un evento) e tale che: 1. se A, allora A, 2. se A, B , allora anche AB, si dice che costituisce un’algebra di eventi o una famiglia non vuota chiusa rispetto alla negazione e all’unione, detta classe additiva. Si vede facilmente che sia che appartengono ad . Sappiamo infatti che A A= e che = ; applicando poi 1) e 2) si deduce l’appartenenza. Si vede inoltre che contiene anche l’intersezione di due suoi eventi qualsiasi. Basta ricordare l’identità che lega la negazione di AB con A B e applicando 1) e 2) si ottiene l’appartenenza. Una classe additiva può essere composta da tutti i sottoinsiemi di o solo da una parte. A tal proposito si può vedere l’esempio a pag. 23 di [13]. Un evento si dice elementare se è diverso dall’insieme vuoto e, intersecato con un qualunque altro evento, o rimane invariato o dà l’insieme vuoto. A tal proposito si può vedere l’esempio a pag. 24 di [13]. Scegliamo di rappresentare gli eventi come insiemi perché così facendo si ha uno strumento di lavoro agile ed utilissimo: si calcolano le probabilità degli eventi e si ottiene una struttura di calcolo per gli eventi stessi ad esempio attraverso i concetti di unione, passaggio al complementare e chiusura negli insiemi. 8 In altre parole, adottando gli insiemi come rappresentazione degli eventi, si realizza un collegamento fra l’algebra degli insiemi e la logica degli eventi. Nel lancio di una moneta =T, C, gli eventi elementari T=“testa”, C=“croce” costituiscono una partizione e l’algebra degli eventi ad essa associata è: =T,C,,. Proseguiamo il lavoro riprendendo altri concetti importanti. Due eventi si dicono incompatibili se la loro intersezione è l’evento impossibile (non si verificano contemporaneamente). Più eventi si definiscono incompatibili se lo sono a due a due. Più eventi si definiscono necessari se la loro unione è l’evento certo (almeno uno di essi si deve verificare). Se più eventi sono necessari e incompatibili costituiscono una partizione di . Riprendiamo, in particolare, la ”legge delle probabilità totali” per eventi incompatibili e la sua estensione quando cade la condizione di incompatibilità. Lavoriamo sempre su tanti esempi adeguati che sono facilmente reperibili nei testi. Riteniamo che sia importantissimo fare sempre riferimento alle varie definizioni di probabilità mano a mano che si incontrano situazioni adatte a ciascuna di esse; in tal modo si spera di evitare che per gli studenti esse risultino appartenere ad una classificazione astratta anziché rappresentare precisi punti di vista. Quando riteniamo che gli studenti abbiano raggiunto un’adeguata preparazione passiamo a trattare la probabilità condizionata seguita nell’ordine dalla indipendenza tra eventi. La scelta di tale ordine di presentazione è dettata anche da motivazioni didattiche ma soprattutto da motivazioni concettuali; la sua importanza emergerà chiaramente nel proseguimento del lavoro. A tal proposito si possono vedere i riferimenti bibliografici [13] e [R9]. 5.2. La probabilità condizionata Proponiamo il seguente problema: lanciando due volte un dado qual è la probabilità che la somma dei punti sia dodici? Si invitano gli studenti a riflettere sulle varie posizioni che singolarmente o a gruppi possono aver preso; si cerca di aiutarli con la seguente tabella, opportunamente predisposta: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (1,6) (2,6) 9 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (3,6) (4,6) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Si arriva alle seguenti situazioni: effettuo il primo lancio e, senza guardare il risultato, immediatamente effettuo il secondo lancio; delle 36 coppie ordinate possibili (tutte ugualmente possibili) l’unica favorevole all’evento è la (6,6) per cui la valutazione che faccio è che la probabilità dell’evento considerato è 1/36; effettuo il primo lancio e guardo il risultato ottenuto; ora la valutazione che posso fare è diversa dalla precedente e dipende da quale risultato ho ottenuto: se il risultato è 6 concludo che la probabilità dell’evento considerato è 1/6; se il risultato è diverso da 6 concludo che la probabilità è 0. Questo primo problema viene analizzato a fondo e appositamente senza ricorrere ad alcun formalismo per portare gli studenti a riflessioni libere e per rivisitare ancora una volta i concetti di prova e di evento. Proponiamo un secondo problema. Consideriamo un’urna contenente sei palline, numerate da uno a sei; estraiamo una prima pallina, la mettiamo da parte ed estraiamo una seconda pallina (procedimento chiamato di estrazione senza reimbussolamento). Ci proponiamo di valutare la probabilità dell’evento E: “la seconda pallina è contrassegnata dal numero quattro”. Procedendo come per il problema precedente arriviamo alle seguenti situazioni: se non abbiamo potuto vedere il numero della prima pallina, la probabilità dell’evento E è ancora 1/6; in assenza di altre informazioni, ciascuno dei sei numeri presenti nell’urna potrebbe esservi rimasto dopo la prima estrazione, per considerazioni di simmetria a ciascuno di tali sei numeri va attribuita uguale probabilità di uscita alla seconda estrazione; ragionando sulla seguente tabella si ottiene 5/30=1/6. (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (1,3) (2,3) (3,2) (4,2) (4,3) (5,2) (5,3) (6,2) (6,3) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (1,4) (2,4) (3,4) (5,4) (6,4) 10 se invece abbiamo potuto vedere il numero della prima pallina e tale numero non era il quattro, la probabilità dell’evento E è 5/25=1/5; ci aiutiamo con la seguente tabella: (1,2) (1,3) (1,5) (1,6) (1,4) (2,1) (2,3) (2,5) (2,6) (2,4) (3,1) (3,2) (3,5) (3,6) (3,4) (5,1) (5,2) (5,3) (5,6) (5,4) (6,1) (6,2) (6,3) (6,5) (6,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (4,6) se, infine, abbiamo potuto vedere il numero della prima pallina e tale numero era proprio il quattro, la probabilità dell’evento E è 0, come ci fa vedere bene la tabella relativa al caso precedente. A questo punto si fanno riflettere gli studenti sulla seguente frase: “Calcolo delle probabilità di certi eventi, partendo da quelle di altri eventi che vengono considerate note” ( dalla relazione “Introduzione alla probabilità” di G. Dall’Aglio in [R9] ). La nozione di probabilità si ricollega strettamente a situazioni di incertezza, ossia di incompletezza delle informazioni relative al fenomeno che si intende esaminare; non stupisce pertanto il fatto che, al variare delle informazioni in nostro possesso, la valutazione della probabilità di uno stesso evento possa modificarsi anche radicalmente. Affrontiamo un terzo problema e cominciamo a lavorare in forma precisa, con il formalismo adeguato. Consideriamo un’urna contenente 10 palline numerate da 1 a 10 e ne estraiamo una. Sapendo che è uscito un numero pari calcolare la probabilità che esso sia divisibile per tre. Sia A l’evento “numero pari”, sia B l’evento “numero divisibile per tre”. Allora. A=2,4,6,8,10, B=3,6,9, AB=6. Calcoliamo: P(A)=5/10, P(B)=3/10, P(AB)=1/10 11 P( B / A) 1 nA B nA B / n P( A B) 1 / 10 1 / 5 5 nA nA / n P( A) 5 / 10 I casi possibili non sono più tutti quelli iniziali, ma solo quelli favorevoli ad A e i casi favorevoli sono, tra questi, quelli favorevoli a B, cioè i casi favorevoli sia ad A che a B, in altre parole i casi favorevoli ad AB. 1 7 5 A B 2 4 3 6 9 10 8 Altro problema Si ha una partita di 300 pneumatici, dei quali 25 presentano delle irregolarità solo nello spessore del battistrada (S), 12 hanno solo le tracce non regolamentari (T) e 7 presentano entrambi i difetti. Se ogni pneumatico ha la stessa probabilità di essere estratto, calcolare la probabilità di estrarre un pneumatico avente le tracce non regolamentari, sapendo che ha delle irregolarità nello spessore. Calcoliamo: P(T/S)=7/32=P(TS)/P(S)=7/300 : 32/300 = 7/32. (300) T (19) S (32) (25) (7) (12) (256) 12 Diamo ora la definizione di probabilità condizionata. Dati due eventi E ed H con P(H)0 si dice probabilità condizionata di E dato H il numero P(EH)/P(H)e si indica P(E/H). P( H ) 0 nE H nE H nH P ( E H ) : P( E / H ) nH n n P( H ) Il concetto di probabilità condizionata fornisce: la probabilità dell’evento E condizionata dal verificarsi dell’evento H; in altre parole, la probabilità che si verifichi l’evento E quando si sa che l’evento H si è verificato; la probabilità dell’evento E quando si considera valida la prova solo se l’evento H si verifica; la probabilità dell’evento E considerando possibili solo i casi favorevoli all’evento H condizionante. Si fa poi riferimento alle diverse impostazioni della probabilità. Dalla definizione, inoltre, si ottiene che: P(E/E)=1; se EH P(E/H)=P(E)/P(H); se HE P(E/H)=1; se EH= P(E/H)=0. Se scriviamo: P(H)0 P(EH) = P(H)P(E/H) Otteniamo la legge delle probabilità composte. E’ bene insistere con gli studenti che non debbono confondere gli eventi: E/H, EH. E/H significa che H si deve verificare e poi si vede che cosa succede ad E. EH significa che per verificarsi debbono verificarsi sia E che H. 13 Facciamo un’ulteriore considerazione attraverso un esempio. Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte, la si guarda, la si tiene fuori e si estrae un’altra carta dal mazzo delle 39 rimanenti e la si guarda. Si vuole calcolare la probabilità dell’evento M “entrambe le carte sono di denari”. Possiamo pensare a due eventi: A “la prima carta estratta è di denari, la seconda carta estratta è qualsiasi”; B “la prima carta estratta è qualsiasi, la seconda carta estratta è di denari”. Vediamo con estrema facilità che non c’è differenza fra l’evento AB e l’evento BA. 40 D D 10/40 30/40 39 39 D D 9/39 30/39 10/39 10/40*9/39 10/40*30/39 D 30/40*10/39 D 29/39 30/40*29/39 Calcoliamo poi: 14 P(A)=(10*9+10*30)/(40*39)=1/4 P(B)=(10*9+30*10)/(40*39)=1/4 P(AB)=(10*9)/(40*39)=3/52 P(A/B)=P(B/A)=3/13 P(M)=P(BA)=P(B/A)P(A)=3/13*1/4=3/52; P(M)=P(AB)=P(A/B)P(B)=3/13*1/4=3/52. (40*39) A (10+9+10*30) B (10*9+30*10) (10*30) M (10*9) (30*10) (30*29) Dal punto di vista logico tutto funziona bene, ma ovviamente dobbiamo vedere che cosa succede in pratica: P(B/A) si legge “la seconda carta estratta è di denari, sapendo che la prima estratta è di denari”; P(A/B) si legge “la prima carta estratta è di denari, sapendo che la seconda estratta è di denari”. Questo secondo enunciato, non privo di senso dal punto di vista logico, nella realtà non si prende in considerazione perché le due estrazioni avvengono in due tempi successivi e nell’ordine già precisato. Facciamo ora altri esempi. Esempio 1 Giochiamo al lotto il numero 50 sulla ruota di Napoli. Ascoltiamo l’estrazione alla radio e sentiamo 14,25,39,21 e non capiamo l’ultimo numero estratto. 15 Calcolare la probabilità di vincere: al momento della giocata; dopo aver ascoltato in quel modo l’estrazione. Sia E l’evento “tra i cinque numeri estratti sulla ruota di Napoli c’è il 50”. Sia H l’evento ”i primi quattro numeri estratti sono 14,25,39,21”. Calcoliamo P(E)=5/90, P(E/H)=1/86. L’evento E è condizionato dall’evento H negativamente perché 1/86 < 5/90. Esempio 2 Consideriamo il gioco della “roulette russa”: si carica con un solo proiettile una pistola a tamburo a sei colpi, si fa ruotare il tamburo, si punta l’arma alla tempia e si preme il grilletto. In caso di sopravvivenza si preme di nuovo il grilletto senza ruotare il tamburo. Calcolare: la probabilità di morte al primo colpo (evento A); la probabilità di morte al secondo colpo (evento B). Sia H l’evento “il primo colpo non è mortale”. Calcoliamo: P(A)=1/6 P(B)=1/5. Possiamo commentare che quando si calcola la probabilità relativa all’evento B si ha un’informazione (si è verificato l’evento H) che determina una situazione diversa rispetto a quando ci si riferisce all’evento A. La probabilità di morte al secondo colpo è maggiore della probabilità di morte al primo colpo. Esempio 3 Uno studente deve rispondere con si/no a cinque domande di un test. E’ completamente impreparato per cui decide di rispondere a caso. Durante la prova un amico gli fornisce la risposta esatta alle ultime tre domande. Calcolare la probabilità di rispondere esattamente a tutte e cinque le domande: prima di effettuare la prova; dopo aver ricevuto i suggerimenti dall’amico. Sia E l’evento “ tutte e cinque le risposte sono esatte”. Sia H l’evento “ le ultime tre risposte sono esatte”. Calcoliamo: P(E)=1/32 P(E/H)=1/4. L’evento E è condizionato dall’evento H positivamente perché 1/4 > 1/32. 16 Esempio 4 Si lanciano due dadi: se la somma dei due punteggi è 6 si determini la probabilità che uno dei dadi abbia dato punteggio 2. Indichiamo con H l’evento “la somma dei punteggi è 6”. Indichiamo con E l’evento “uno dei dadi ha dato punteggio 2”. Ci serviamo della seguente tabella opportunamente strutturata: (1,1) (1,3) (1,4) (3,1) (4,1) (3,4) (3,5) (3,6) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (6,1) (1,6) (5,1) (3,3) (1,5) (1,2) (2,2) (3,2) (5,2) (6,2) (2,1) (2,3) (2,5) (2,6) (4,2) (2,4) Calcoliamo: P(E/H)= P(EH)/P(H)=2/5 P(E)=11/36. L’evento E è condizionato dall’evento H positivamente perché 2/5>11/36. Esempio 5 La seguente tabella mostra l’incidenza del daltonismo per il rosso-verde in una popolazione umana (i valori sono in percentuale): DALTONICO NORMALE TOTALE MASCHIO 4.23 48.48 52.71 FEMMINA 0.65 46.64 47.29 TOTALE 4.88 95.12 100.00 Qual è l’incidenza del daltonismo per i maschi? 17 P(D/M)= P(DM)/P(M)=4.23/52.71=8.03%. Qual è l’incidenza del daltonismo per le femmine? P(D/F)= P(DF)/P(F)=0.65/47.29=1.37%. Poiché P(D)=4.88%, il daltonismo dipende dal sesso e precisamente, positivamente per i maschi (8.03>4.88), negativamente per le femmine (1.37<4.88) e si conclude che il daltonismo per il rosso-verde si osserva più frequentemente nei maschi che nelle femmine (8.03>1.37). Esempio 6 In una elezione i candidati A, B, C, D hanno rispettivamente probabilità di riuscire eletti: P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(C)=0.2, P(D)=0.1. Prima delle elezioni il candidato C si ritira. Calcolare come si modificano le probabilità di elezione degli altri tre candidati. P( A/C)=P( AC)/P(C )=0.4/0.8=0.500 > P(A) P( B/C)=P( BC)/P(C )=0.3/0.8=0.375 > P(B) P( D/C)=P( DC)/P(C )=0.1/0.8=0.125 > P(D) Diamo la seguente definizione: se P(E/H)>P(E) si dice che l’evento E è correlato positivamente all’evento H. Teorema Se P(E/H)>P(E) allora anche P(H/E)>P(H). Dimostrazione Per ipotesi P(E/H)=P(EH)/P(H)>P(E). Allora P(H/E)=P(HE)/P(E)=P(E/H)P(H)/P(E)=[P(E/H)/P(E)]*P(H). Per l’ipotesi P(E/H)>P(E) si può anche dire che P(E/H)/P(E)>1 e allora si ottiene P(H/E)>P(H). c.v.d. Abbiamo dimostrato che se l’evento E è correlato positivamente all’evento H allora anche l’evento H è correlato positivamente all’evento E. Con gli ovvi cambiamenti si parla di correlazione negativa. In generale si parla di eventi correlati positivamente o negativamente. 5.3. L’indipendenza Gli ultimi esempi ci hanno portato a conclusioni del tipo P(E/H)>P(E) oppure del tipo P(E/H)<P(E). Lavoriamo con altri esempi per vedere se incontriamo anche l’uguaglianza. 18 Esempio 1 Lanciamo un dado e consideriamo i seguenti eventi: E=2,4,6, H=1,2. Otteniamo che EH=2 e che P(E)=3/6, P(H)=2/6, P(EH)=1/6. Con semplici calcoli otteniamo: P(E/H)=P(EH)/P(H)=1/6 : 2/6=1/2 = P(E); P(H/E)=P(HE)/P(E)=1/6 : 3/6 = 1/3 = P(H). Esempio 2 Lanciamo un dado e consideriamo i seguenti eventi: E=2,3,4,6, H=1,2,6. Otteniamo che EH=2,6 e che: P(E)=4/6, P(H)=3/6, P(EH)=2/6. Con semplici calcoli otteniamo: P(E/H)=P(EH)/P(H)=2/6 : 3/6=2/3 = P(E); P(H/E)=P(HE)/P(E)=2/6 : 4/6 = 1/2 = P(H). Esempio 3 Lanciamo un dado e consideriamo i seguenti eventi: E=2, H=1,2,6. Otteniamo che EH=2 e che: P(E)=1/6, P(H)=3/6, P(EH)=1/6. Con semplici calcoli otteniamo: P(E/H)=P(EH)/P(H)=1/6 : 3/6=1/3 P(E); P(H/E)=P(HE)/P(E)=1/6 : 1/6 = 1 P(H). Esempio 4 Lanciamo un dado e consideriamo i seguenti eventi: E=2,3,4, H=1,2,6. Otteniamo che EH=2 e che: P(E)=3/6, P(H)=3/6, P(EH)=1/6. Con semplici calcoli otteniamo: P(E/H)=P(EH)/P(H)=1/6 : 3/6=1/3 P(E); P(H/E)=P(HE)/P(E)=1/6 : 3/6 =1/3 P(H). Esempio 5 Un’urna contiene sei palline rosse e quattro verdi; da essa si estrae una pallina, si guarda, poi si estrae una seconda pallina e si guarda. Sia E l’evento “la prima pallina estratta è rossa, la seconda pallina estratta è qualsiasi”, sia H l’evento “la prima pallina estratta è qualsiasi, la seconda pallina estratta è verde”. 19 Con semplici calcoli otteniamo: P(E)=(6*5+6*4)/(10*9)=54/90=3/5; P(H)=(6*4+4*3)/(10*9)=36/90=2/5; P(EH)=(6*4)/(10*9)=24/90=4/15. Allora: P(E/H)=P(EH)/P(H)=4/15 : 2/5=2/3 P(E); P(H/E)=P(HE)/P(E)=4/15 : 3/5=4/9 P(H). Esempio 6 Un’urna contiene sei palline rosse e quattro verdi; da essa si estrae una pallina, si guarda, si rimette nell’urna, poi si estrae una seconda pallina e si guarda. Sia E l’evento “la prima pallina estratta è rossa, la seconda pallina estratta è qualsiasi”, sia H l’evento “la prima pallina estratta è qualsiasi, la seconda pallina estratta è verde”. Con semplici calcoli otteniamo: P(E)=(6*6+6*4)/(10*10)=60/100=3/5; P(H)=(6*4+4*4)/(10*10)=40/100=2/5; P(EH)=(6*4)/(10*10)=24/100=6/25. Allora: P(E/H)=P(EH)/P(H)=6/25 : 2/5=3/5 = P(E); P(H/E)=P(HE)/P(E)=6/25 : 3/5=2/5 = P(H). Da questi sei esempi sembra che: se P(E/H)=P(E) allora P(H/E)=P(H); in generale P(E/H) P(H/E); se P(E/H) = P(H/E) allora, in generale P(E/H) P(E) e P(H/E) P(H); infatti, se in un caso valesse l’uguaglianza, data l’ipotesi, varrebbe in entrambi i casi e allora si avrebbe: P(E/H)=P(H/E)=P(E)=P(H)=p e P(EH)=p^2, cioè una situazione particolarissima. A proposito dell’ultima considerazione vediamo il seguente esempio: un’urna contiene tre palline rosse, tre palline verdi e quattro gialle; da essa si estrae una pallina, si guarda, si rimette nell’urna, poi si estrae una seconda pallina e si guarda. Sia E l’evento “la prima pallina estratta è rossa, la seconda pallina estratta è qualsiasi”, sia H l’evento “la prima pallina estratta è qualsiasi, la seconda pallina estratta è verde”. Con semplici calcoli otteniamo: P(E)=(3*3+3*3+3*4)/(10*10)=30/100=3/10; P(H)=(3*3+3*3+4*3)/(10*10)=30/100=3/10; 20 P(EH)=(3*3)/(10*10)=9/100. Allora: P(E/H)=P(EH)/P(H)=9/100 : 3/10=3/10 = P(E); P(H/E)=P(HE)/P(E)=9/100 : 3/10=3/10 = P(H). Vediamo di sistemare concettualmente le considerazioni suggerite dai casi esaminati. Diamo la definizione di indipendenza stocastica. L’evento E si dice indipendente probabilisticamente dall’evento H se il verificarsi di H non influisce sulla probabilità di verificarsi di E: P(E/H)=P(E). Teorema Se P(E/H)=P(E) allora P(H/E)=P(H). Dimostrazione Per ipotesi P(E/H)=P(EH)/P(H)=P(E). Possiamo scrivere: P(EH)=P(H)P(E/H) = P(H)P(E). Allora P(H/E)=P(HE)/P(E)=[P(E/H)P(H)]/P(E)=[P(E/H)/P(E)]*P(H). Per l’ipotesi P(E/H)=P(E) allora si ottiene P(H/E)=P(H). c.v.d. Riprendiamo una relazione che abbiamo trovato facendo la dimostrazione del teorema precedente: P(E)0, P(H) 0 P(E/H)=P(EH)/P(H)=P(E) P(H/E)=P(HE)/P(E)=P(H) e allora: P(E)0, P(H) 0 P(EH)=P(H)P(E). Quest’ultima relazione può essere presa come definizione matematica di indipendenza e come tale va considerata come una condizione necessaria e sufficiente: in base alla prova, se i due eventi sono indipendenti, valgono quelle relazioni, viceversa, se valgono quelle relazioni, calcolando le varie probabilità, allora i due eventi sono indipendenti. La relazione ottenuta è simmetrica rispetto ai due eventi cioè l’indipendenza è reciproca: se E è indipendente da H anche H è indipendente da E. Si parla di legge delle probabilità composte. Nel caso di dipendenza si ha: P(E)0, P(H) 0 P(EH)=P(H)P(E/H) P(HE)=P(E)P(H/E). 21 Nel caso di indipendenza è chiamata anche regola del prodotto e si ha: P(E)0, P(H) 0 P(EH)=P(H)P(E). Se l’evento E è probabilisticamente indipendente dall’evento H significa che il verificarsi o meno di H non influisce sulla probabilità di E, la probabilità condizionata di E è uguale alla probabilità “assoluta”; l’informazione che H si sia verificato non modifica la valutazione della probabilità di E. Si può facilmente dimostrare che se E ed H sono indipendenti, lo sono anche: E e H; E e H; E e H. Per la dimostrazione si può vedere il riferimento bibliografico [13]. E’ importante chiarire che l’indipendenza non va valutata in base allo svolgimento della prova: due eventi sono considerati indipendenti perché relativi a prove indipendenti, come ad esempio due lanci successivi di un dado. Ribadiamo, anche riferendoci agli esempi fatti, che lanciando due dadi le due sottoprove in cui si articola la prova possono dare la convinzione errata dell’indipendenza degli eventi. Ciò non esaurisce il concetto di indipendenza. Ripensando agli esempi fatti, in alcuni casi c’era una analogia “fisica”, eppure a volte si aveva dipendenza, a volte si aveva indipendenza, a ribadire il fatto che il concetto di indipendenza stocastica è più ampio. Calcolate le probabilità, in base alla definizione si conclude che i due eventi sono indipendenti o dipendenti. Ribadiamo che la definizione di indipendenza è data mediante una relazione sulle probabilità e dipende dalla probabilità degli eventi; invece la incompatibilità è una proprietà intrinseca degli eventi. Inoltre se P(A)>0 e se P(B)>0, A e B non possono essere contemporaneamente incompatibili e indipendenti. Se sono incompatibili allora per definizione P(AB)=0. Se sono indipendenti allora P(AB)=P(A)P(B)>0. Quando scriviamo E/H, indichiamo che l’evento E è condizionato all’evento H e l’ipotesi H equivale a dire che esaminiamo la questione solo se l’evento H non è falso (se si acquisisce l’informazione che H è falso non interessa più sapere se E è vero o falso). Sotto questa ipotesi possono poi aversi due sottocasi: 22 H vero, E vero; H vero, E falso. (Ovviamente H non equivale a P(H) 0). Nel valutare la probabilità di un evento si deve tenere conto di ogni altro evento che interviene a modificare lo stato di informazione e che influenza la valutazione della probabilità. Esempio Si hanno 10 monete, 9 normali ed 1 truccata (con 2 T). Se ne estrae una a caso e, senza guardarla, si lancia sei volte, ottenendo sei volte T (sia E questo evento): ci proponiamo di calcolare la probabilità che la moneta estratta sia quella truccata. Chiamando H l’evento “la moneta estratta è quella truccata”, si ha, prima della prova, P(H)=1/10; d’altra parte, essendo HE, si ha P(EH)=P(H) e allora P(H/E)=P(HE)/P(E)=P(H)/P(E)=(1/10)/[1/10+(9/10)*(1/64)]=64/73. Concludendo la valutazione iniziale P(H)=1/10 si è trasformata nella valutazione finale P(H/E)=64/73. E’ aumentata infatti 64/73 > 1/10. Esempio Si vuole sapere se c’è dipendenza tra il daltonismo e la sordità in un certo gruppo di maschi, conoscendo le probabilità come indicato nella seguente tabella: DALTONICO NON DALTONICO TOTALE SORDO 0.0004 0.0046 0.0050 NON SORDO TOTALE 0.0796 0.0800 0.9154 0.9200 0.9950 1.0000 Dai dati ricaviamo che: P(S)=0.0050, P(D)=0.0800, P(S/D)= P(SD)/P(D)=0.0004/0.0800=0.0050=P(S) P(D/S)= P(DS)/P(S)=0.0004/0.0050=0.800=P(D) Si conclude che la sordità è indipendente dal daltonismo. Esempio Sono date due urne: la prima urna contiene una pallina bianca, una rossa, una nera e da essa si estrae una pallina; la seconda urna contiene una pallina bianca, una rossa, una nera, una gialla e da essa si estrae una pallina. Chiamiamo B1,R1,N1 gli eventi relativi alla prima urna. Chiamiamo B2, R2, N2,G2 gli eventi relativi alla seconda urna. 23 Chiamiamo E1=B1R1, E2=B2R2, H1=B1N1, H2=B2N2, A2= B2G2. Calcoliamo le varie probabilità. P(B1)=P(R1)=P(N1)=1/3 P(B2)=P(R2)=P(N2)=P(G2)=1/4 P(E1)=P(H1)=2/3 P(E2)=P(H2)=P(A2)=1/2 P(E1H1)=1/3 P(E1)P(H1)=2/3*2/3=4/9 P(E2H2)=1/4 = P(E2)P(H2)=1/2*1/2=1/4 P(E2A2)=1/4 = P(E2)P(A2)=1/2*1/2=1/4 P(A2H2)=1/4 = P(A2)P(H2)=1/2*1/2=1/4 P(E2H2A2)=1/4 P(E2)P(H2)P(A2)=1/2*1/2*1/2=1/8 Dai calcoli fatti si trova che, mentre E1, H1 non sono indipendenti, E2, H2 sono indipendenti: dal punto di vista fisico sono situazioni simili ma dal punto di vista stocastico può non avere alcuna importanza. Si traggono conclusioni diverse a sostegno del fatto che il concetto di indipendenza stocastica è appunto più ampio di quello di eventi relativi a prove indipendenti. Sempre dai calcoli fatti si trova che i tre eventi E2, H2, A2 non sono indipendenti mentre lo sono due a due. Esempio Si lancia tre volte una moneta. I risultati possibili sono otto: =TTT;TTC;TCT;CTT;CCT;CTC;TCC;CCC. Sia E1 l’evento “almeno due T”. Sia E2 l’evento “un numero pari di T”. Sia E3 l’evento “C al primo posto”. Allora: E1=TTT;TTC;TCT;CTT E2=TTC;TCT;CTT;CCC E3=CTT;CCT;CTC;CCC E1E2=TTC;TCT;CTT E2E3=CTT E1E3=CTT E1E2E3=CTT Calcoliamo le probabilità: P(E1)=4/8=1/2 P(E2)=4/8=1/2 P(E3)=4/8=1/2 24 P(E1E2)=3/8 P(E2E3)=1/8 P(E1E3)=1/8 P(E1E2E3)=1/8 P(E1E2)=3/8P(E1)P(E2)=4/8*4/8=1/4 P(E2E3)=1/8P(E2)P(E3)=4/8*4/8=1/4 P(E1E3)=1/8P(E1)P(E3)=4/8*4/8=1/4 P(E1E2E3)=1/8=P(E1)P(E2)P(E3)=4/8*4/8*4/8=1/8. Dall’esempio si vede che gli eventi presi a tre sono indipendenti mentre non lo sono due a due. L’indipendenza di tre eventi si definisce: P(E1E2E3)=P(E1)P(E2)P(E3) e P(E1E2)=P(E1)P(E2) P(E1E3)=P(E1)P(E3) P(E2E3)=P(E2)P(E3) 5.4. Il teorema di Bayes I processi logici, che rendono esplicita una conoscenza già contenuta implicitamente nelle premesse, accrescono la nostra conoscenza. Pensiamo ad esempio alle regole del modus ponens o del modus tollens: con la prima facciamo delle deduzioni (la direzione lungo cui la verità si trasmette è dall’universale al particolare), con la seconda delle falsificazioni (se una teoria A prevede una conseguenza B, se si verifica non B, A deve essere rigettata.). Come ampliare il quadro della logica e trovare degli strumenti che consentano di imparare dall’esperienza? Si può invertire quella direzione e andare dal particolare all’universale, si può fare cioè dell’induzione? Si può trovare un legame fra probabilità e conoscenza? Ampliamo il quadro della logica che assegna agli enunciati i valori di verità zero oppure uno, assegnando loro un valore di probabilità compreso fra zero e uno: la nozione di probabilità fa riferimento alla nostra conoscenza, riguarda anche i giudizi che noi possiamo formulare. 25 Scrivere AB equivale a dire che l’evento A implica l’evento B, ogni volta che si verifica A si verifica anche B. Dalla teoria degli insiemi si ha che: AB B A. La corrispondente legge logica è che se A implica B, B implicaA: sapendo che ogni volta che si verifica A si verifica necessariamente anche B, possiamo dire che se non si verifica B non si può verificare A. Generalizziamo poi il quadro della logica per quanto riguarda l’implicazione: vi sono molte situazioni in cui, dati due eventi, non si può affermare che “uno implica l’altro”, ma si può solo attribuire una certa probabilità all’uno, una volta che sia noto che l’altro si è verificato (concetto di probabilità condizionata). Ricordiamo che se supponiamo che P(A) e P(B) siano entrambi valori non nulli, possiamo considerare sia P(B/A) che P(A/B) e che fra i quattro valori sussiste il seguente legame: P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) = P(AB) = P(BA). Nella interpretazione che ci interessa, B potrà essere un’ipotesi ed A un evento che si è verificato (ad esempio: l’esito di un esperimento); P(B) ha il significato di probabilità attribuita a B “a priori” (cioè prima dell’esperimento e, comunque , a prescindere dal suo esito) e indipendentemente dal presentarsi o meno dell’evento A, mentre P(B/A) ha il significato di probabilità “a posteriori”, o finale, cioè sapendo che l’evento A si è verificato. Se supponiamo di conoscere P(A/B) (valore che misura il grado di dipendenza dell’evento A dall’evento B) e P(A), si può esprimere la probabilità “a posteriori” di B nel seguente modo: P(B/A)=[P(B)P(A/B)]/P(A). Il verificarsi dell’evento A modifica la probabilità di B facendola passare da P(B) a P(B/A) e tale modifica è dovuta alla probabilità probativa o verosimiglianza P(A/B). Per concludere, escludendo il caso di eventi con probabilità nulla, dall’espressione P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)=P(AB)=P(BA) si ottiene la relazione, particolarmente significativa: P( B / A) P( B)P( A / B) P( A) Consideriamo ora il caso particolare in cui si hanno: un evento A, con P(A)0; le due sole alternative B,B; A B B. Si ottiene che: 26 A=A(B B)=(A B)(A B); P(A)=P(A B) + P(A B)=P(B)P(A/B) + P(B )P(A /B); P( B / A) P( B) P( A / B) P( B) P( A / B) P( B) P( A / B) Esempio Diagnosticare la presenza o meno di una certa malattia, sulla base della presenza o meno di un determinato sintomo. Schematizziamo opportunamente il problema; indichiamo con A l’evento “il paziente presenta il sintomo”, indichiamo con B l’evento “il paziente è affetto dalla malattia”. A seguito di opportune indagini epidemiologiche, si conoscono: la percentuale degli individui della popolazione che presentano il sintomo, indicata con P(A) la percentuale degli individui ammalati che presentano il sintomo, indicata con P(A/B). Possiamo allora calcolare P(B/A) cioè la probabilità che quel tale sintomo sia un indicatore atto a segnalare la presenza della malattia. In concreto i dati siano i seguenti: P(A)=5%, P(B)=15%, P(A/B)=30%. Diamo la seguente rappresentazione, sicuramente efficace ai fini della comprensione concettuale: B (15) A (5) B (85) (10.5) (4.5) (0.5) (84.5) (100) 27 Si ricava allora: P(B/A) = (15%*30%)/(5%) = 90%. La presenza del sintomo segnala la presenza della malattia nel 90% dei casi. Altro esempio Da un rilevamento statistico è noto che una certa popolazione è composta per il 40% di fumatori abituali, che il 5% dei decessi avviene a causa di un certo tumore T e che, tra quanti sono deceduti a causa del tumore T, il 60% erano fumatori abituali. Calcolare la probabilità, per i fumatori abituali, di morire per il tumore T. Indichiamo con B “fumatore abituale” e con A “decesso per tumore T”. Ci aiutiamo con gli insiemi: B (40) B (60) A (5) (37) (3) (2) (58) (100) Abbiamo che: P(A)=5%, P(B)=40%, P(B/A)=60%. 28 Allora: P(A/B)=[P(A)P(B/A)]/P(B)=(5%*60%)/(40%)=7.5% Questo esempio, così formulato, viene riportato appositamente in questa fase iniziale, in cui può essere facile per gli studenti cadere nei formalismi anziché preoccuparsi di far prevalere i ragionamenti. Cerchiamo di andare oltre le due sole ipotesi B, B. Consideriamo tre ipotesi A1, A2, A3 incompatibili e necessarie. Sia P(A) 0 e A A1A2A3. Si può scrivere: A(A1A2A3) = (AA1) (AA2) (AA3). Si ottiene: P(A) = P(AA1)+P(AA2)+P(AA3); P(A) = P(A/A1)P(A1)+P(A/A2)P(A2)+P(A/A3)P(A3). Facciamo il seguente esempio. Un medico visita un ammalato, che può essere affetto da una delle tre malattie A1, A2, A3. Tenendo conto dei primi sintomi, delle statistiche di cui dispone, di tutte le informazioni in suo possesso, assegna le seguenti probabilità a ciascuna delle tre malattie: P(A1)=0.2, P(A2)=0.3, P(A3)=0.5. A questo punto il medico prescrive un esame clinico, che, secondo le statistiche, ha il seguente comportamento: risulta positivo nel 15 % dei casi se l’ammalato ha la A1; risulta positivo nel 25% dei casi se l’ammalato ha la A2, risulta positivo nel 98 % dei casi se l’ammalato ha la A3. Se l’esito del test è positivo (chiamato evento A) che cosa si può concludere? A2 (30) A1 (20) A (59.5) (22.5) (17) (3) (7.5) (49) A3 (50) (1) (100) 29 Dal punto di vista didattico crediamo che quando la situazione si presenta più complessa, oltre alla rappresentazione con gli insiemi, sia di grande efficacia per la buona comprensione concettuale usare anche il mezzo del disegno ad albero o della tabella, opportunamente strutturati. A1 A2 20% 15% 85% 3% Malattia A1 A2 A3 + 30% 25% 7.5% P(Ai) P(A/Ai) 0.2 0.3 0.5 0.15 0.25 0.98 A3 50% 75% + 98% 2% 49% = 59.5% P(Ai)P(A/Ai) P(Ai/A) 0.030 0.075 0.490 0.030/0.595=0.050 0.075/0.595=0.126 0.490/0.595=0.824 30 Totali 1 0.595 1 Si può concludere che il test ha nettamente rafforzato la probabilità che il malato sia affetto dalla malattia A3. Cerchiamo ora la sistemazione teorica di quanto visto negli esempi. Il teorema di BAYES Sono dati: un insieme finito o numerabile di eventi incompatibili un evento E tale che: P(E) 0 Ar E Ar r allora P ( Ar / E ) P ( Ar ) P ( E / Ar ) P( A ) P( E / A ) Dimostrazione: Per la definizione di probabilità condizionata e per la legge delle probabilità composte possiamo scrivere: P( Ar / E ) dall’ipotesi P( Ar E ) P( Ar ) P( E / Ar ) P( E ) P( E ) E Ar segue che: E E ( A ) ( E A ) r ma per l’ipotesi di incompatibilità fatta sugli Ar anche gli eventi E A sono incompatibili per cui si ha che: P( E ) P( E A ) P( A ) P( E / A ) 31 c.v.d. Nell’ipotesi che gli eventi Ar siano anche necessari, cioè che Ar r la condizione E Ar è soddisfatta per ogni E. r L’importanza del teorema di Bayes sta anche nelle applicazioni, come si può desumere da esercizi di vario genere riportati nei testi, ma un suo significato profondo riguarda i fondamenti del calcolo delle probabilità e della induzione statistica. Gli eventi Ar possono essere considerati come possibili cause dell’evento E, o ipotesi che lo spiegano. La condizione: E A significa che se si verifica E, si verifica necessariamente r r uno degli eventi Ar e uno solo perché sono incompatibili. Ciò significa che l’insieme delle cause è esaustivo: se si verifica E, una e una sola delle cause deve aver agito. Osservato l’evento E ci chiediamo quale delle cause abbia agito: si trova la risposta applicando il teorema di Bayes. Ovviamente la risposta è di tipo probabilistico. P( Ar ) è chiamata probabilità iniziale o a priori perché è la semplice probabilità che si verifiche l’evento P( Ar / E ) Ar indipendentemente da ciò che accade per l’evento E. è chiamata probabilità finale o a posteriori ed è la probabilità di Ar condizionata perché è valutata sapendo che E si è verificato. Il teorema di Bayes ci dice come il verificarsi dell’evento E modifica la probabilità dell’evento Ar per cui da P( Ar / E ) ; dall’espressione del che tale cambiamento dipende dalla P ( E / Ar ) che P( Ar ) teorema si vede chiaramente si ottiene poi è chiamata probabilità probativa o verosimiglianza. 32 Le informazioni fornite dai dati osservati sono sintetizzate nelle verosimiglianze. Ar , As P( E / Ar ) / P( E / As ) Se si lavora rispetto a due cause verosimiglianza: si può introdurre il rapporto di P( Ar / E ) P( Ar ) P( E / Ar ) P( As / E ) P( As ) P( E / As ) Facciamo ora alcuni esempi che ci sembrano significativi. Esempio (1) Si hanno tre scatole (che indichiamo con A1, A2, A3): nella prima ci sono due monete da 50 lire, nella seconda una da 50 lire e una da 100 lire e nella terza due da 100 lire. Si sceglie a caso una delle tre scatole e si estrae da questa una moneta (con probabilità uguale per le due monete: si fa l’ipotesi che le due monete siano “fisicamente” uguali, di diverso hanno eventualmente solo la scritta). La moneta estratta è da 50 lire. A questo punto si estrae un’altra moneta. Qual’ è la probabilità che anche la seconda moneta sia da 50 lire? In altre parole qual’ è la probabilità che si tratti della prima scatola? Indichiamo con E l’evento “estrazione di una moneta da 50 lire”. Ci aiutiamo con una tabelle opportunamente strutturata: Scatola Prima A1 Seconda A2 Terza A3 Totali P(Ai) P(E/Ai) P(Ai)P(E/Ai) 1/3 1/3 1/3 1 1/2 0 1/3 1/6 0 1 P(Ai/E) 1/3:1/2=2/3 1/6:1/2=1/3 0 1/2 1 Sapendo che la moneta estratta è da 50 lire, la probabilità che avessimo scelto la terza scatola è nulla. Il rapporto di verosimiglianza relativo alle prime due scatole è P(E/A1) / P(E/A2)=2. Due è il fattore che, come dice la relazione: 33 P( Ar / E ) P( Ar ) P( E / Ar ) P( As / E ) P( As ) P( E / As ) fa passare dal rapporto tra le probabilità a priori, a quello tra le probabilità a posteriori. In questo caso le probabilità a priori sono uguali, per cui il rapporto tra le probabilità a posteriori è uguale al rapporto di verosimiglianza; in altre condizioni non si avrà questa uguaglianza. A questo proposito facciamo un esempio opportuno. Esempio (2) Vedi esempio (1) con la seguente situazione: una scatola del primo tipo, 8 scatole del secondo tipo, una scatola del terzo tipo. Indichiamo con A1, A2, A3 i tre gruppi di scatole. Ci aiutiamo di nuovo con una tabella opportunamente strutturata: Gruppi di scatole P(Ai) P(E/Ai) P(Ai)P(E/Ai) Primo Secondo Terzo 1/10 8/10 1/10 1 1/2 0 1/10 8/20 0 A1 A2 A3 Totali 1 P(Ai/E) 1/10:1/2=1/5 8/20:1/2=4/5 0 1/2 1 Sapendo che la moneta estratta è da 50 lire, la probabilità che avessimo scelto la terza scatola è nulla. Il rapporto di verosimiglianza relativo ai primi due gruppi di scatole è: P(E/A1)/P(E/A2)=2; inoltre P(A1/E)/P(A2/E)=1/4 e P(A1)/P(A2)=1/8 per cui è soddisfatta la relazione P( Ar / E ) P( Ar ) P( E / Ar ) P( As / E ) P( As ) P( E / As ) Esempio (3) (Esempio di riapplicazione del Teorema di Bayes) Vedi esempio (1) con la seguente situazione: si rimette nella scatola la moneta estratta e se ne estrae a caso un’altra che risulta ancora da 50 lire. Qual’ è ora la probabilità che si tratti della prima scatola? 34 Dopo aver rimesso la moneta nella scatola, non mescoliamo le scatole; se facessimo così rinunceremmo alla informazione acquisita con l’evento E. Indichiamo con E1 l’evento “la seconda estrazione di una moneta da 50 lire”. Facciamo riferimento ai risultati dell’esempio (1) e ci aiutiamo sempre con una tabella opportunamente strutturata: Scatola Prima A1 Seconda A2 Terza A3 P(Ai/E) P(E1/Ai) P(Ai/E)P(E1/Ai) 2/3 1/3 0 1 1/2 0 2/3 1/6 0 Totali 1 P(Ai/E1) 2/3:5/6=4/5 1/6:5/6=1/5 0 5/6 1 Esempio (4) Vedi esempio (3) con la seguente situazione: scelta a caso una delle tre scatole si estraggono successivamente con reimbussolamento due monete ed esse risultano entrambe da 50 lire. Quale è la probabilità che si tratti della prima scatola? Ci aiutiamo con una tabella opportunamente strutturata: Scatola P(Ai) P((EE1)/Ai) P(Ai)P((EE1)/Ai) P(Ai/(EE1)) A1 A2 A3 1/3 1/3 1/3 1 ¼ 0 1/3 1/12 0 1/3:5/12=4/5 1/12:5/12=1/5 0 Totali 1 5/12 1 Si ottiene lo stesso risultato dell’esempio precedente ma ora si lavora in un tempo mentre prima si lavorava in due tempi. E’ interessante confrontare le due tabelle. Riteniamo che l’uso di tabelle, alberi, insiemi vada sollecitato il più possibile per scongiurare il pericolo, con questo argomento, di cadere nell’abitudine ai formalismi perdendo così di vista i concetti sottesi. In questo caso ad esempio può aiutare il grafo ad albero: 35 Esempio (5) Vedi esempio (4) con la seguente situazione: senza reimbussolamento. Ci aiutiamo con una tabella opportunamente strutturata: Scatola P(Ai) P((EE1)/Ai) P(Ai)P((EE1)/Ai) P(Ai/(EE1)) A1 A2 A3 1/3 1/3 1/3 1 0 0 1/3 0 0 1/3:1/3=1 0 0 Totali 1 1/3 1 36 Facciamo un ulteriore esempio che ci sembra significativo: uno studente ad una domanda di un test con quattro risposte alternative risponde esattamente. L’esaminatore si chiede quale è la probabilità che egli conosca veramente la risposta. Indichiamo con H l’evento “lo studente sa la risposta” e supponiamo che P(H)=p. Sia E l’evento “lo studente indica la risposta esatta”. Ovviamente P(E/H)=1. Se non conosce la risposta supponiamo che risponda a caso: P( E/H)=1/4. Allora P(H/E)=[P(H)P(E/H)]/P(E)=(1*p)/[1*p+(1/4)(1-p)]=4p/(3p+1). Com’è p rispetto a 4p/(3p+1)? È minore. L’aver risposto giusto fa aumentare la probabilità che conosca la risposta. Facciamo il grafo ad albero opportunamente strutturato: 37 Quando si studia un fenomeno o si realizza un esperimento si hanno dei dati che possono confermare o meno un’ipotesi iniziale. Questi dati costituiscono l’evento E e la verosimiglianza P(E/H) è la misura di quanto l’evento E conferma l’ipotesi. La verosimiglianza e ogni altra indicazione che possiamo trarre dalle osservazioni, non ci danno informazioni sulla validità assoluta dell’ipotesi; si trova la probabilità dell’ipotesi condizionata da E, P(H/E), sfruttando i dati sperimentali osservati; oltre alla verosimiglianza P(E/H) bisogna conoscere la probabilità a priori P(H). Un esempio adatto a certi avvenimenti. Un medico può trovare in un paziente un insieme di sintomi (E) che accompagna sempre il colera (A1) ma anche, meno frequentemente, una forma benigna di tifo (A2). In altri termini: P(E/A1)=1, p=P(E/A2)<1. La verosimiglianza, quindi, è favorevole al colera, ma non per questo la diagnosi si fermerà automaticamente su questa malattia. In condizioni normali il medico propenderà per il tifo, che in Italia è più frequente del colera; se nella zona però è in atto un’epidemia dell’altra malattia, la diagnosi si orienterà verso il colera. Nella formulazione probabilistica, la probabilità a priori P(A1) del colera sarà, in condizioni normali, molto minore di P(A2), e quindi il rapporto tra le probabilità a posteriori: P( A2 / E ) P( A2 ) P( E / A2 ) P( A2 ) p P( A1 / E ) P( A1 ) P( E / A1 ) P( A1 ) sarà maggiore di uno, pur essendo il rapporto di verosimiglianza p minore di uno. In presenza di un’epidemia di colera, P(A1) è più grande e quindi il rapporto al primo membro può risultare minore di 1. Per quanto riguarda ulteriori considerazioni legate alle varie impostazioni, si rimanda alla bibliografia [12]. La formula che esprime il teorema di Bayes si presta bene a rappresentare il modo con cui la conoscenza si accresce mediante l’esperienza. All’inizio di un’esperienza si hanno delle valutazioni, delle opinioni (le probabilità a priori); un insieme di ipotesi, con le relative probabilità a priori si aggiornano con i risultati sperimentali mediante il Teorema di Bayes si può verificare un’ipotesi iniziale alla luce delle nuove informazioni possedute; a questo proposito vedi bibliografia [23]. Si può notare che P(Ai/E)=1 perché ovviamente la somma “ a posteriori” delle probabilità deve essere ancora 1. 38 Si può anche notare che le probabilità “ a posteriori “ sono proporzionali ai prodotti P(Ai)P(E/Ai). Nella formula compaiono le probabilità a priori. Di fatto all’inizio di ogni esperienza, la nostra mente non è mai “tabula rasa”: c’è sempre una valutazione, un’opinione. Inoltre, la formula di Bayes fornisce un interessante modello di come la conoscenza possa accrescersi per successivi apporti. Le Ai sono un insieme di ipotesi con le relative probabilità a priori; queste probabilità possono essere aggiornate tenendo conto dei risultati sperimentali B, C e così via cioè dell’evento globale BC. E’ indifferente lavorare prima con B poi con C o viceversa, per il discorso fatto sulla proporzionalità. A tal proposito vedi bibliografia [23]. Osservazioni conclusive: - crediamo sia importante, in ogni situazione, esplorare i significati che gli alunni attribuiscono ai termini e mettere in luce le differenze tra linguaggio comune e linguaggi specialistici in particolare per prevenire/superare confusioni concettuali; - abbiamo affrontato parecchie applicazioni per avere un ampio ventaglio di casi che permettano di mettere a fuoco natura e limiti dei modelli matematici; - in ogni caso, ci adoperiamo per evitare il più possibile l’uso della ricetta (in questo caso può essere particolarmente facile cadere nel solo uso inconsapevole di formule), facendo un’analisi senza pregiudizi, che eviti di applicare uno schema risolutivo magari non adatto e non faccia cogliere la possibilità di affrontare la situazione con strumenti magari anche più elementari fino a trovare un procedimento risolutivo con consapevolezza concettuale; - i temi della statistica e della probabilità, che offrono una grande varietà di attività di modellizzazione significative e spesso realizzabili con tecniche matematiche elementari, possono avere un ruolo importante nella educazione matematica, nella esplorazione delle abilità di matematizzazione degli alunni, nel recupero di motivazioni alla matematica stessa; - non abbiamo presentato il lavoro sotto forma di unità didattica “pulita”, appositamente per comunicare ai colleghi tante considerazioni secondo noi importanti e che non è detto che potessero essere desunte “tra le righe”. 39 Dedichiamo questo lavoro ai nostri alunni la cui collaborazione è stata determinante per giungere a queste scelte di percorso. I colleghi presenti al seminario ricorderanno la presentazione che la classe 4^S di quell’anno scolastico fece di tutto il lavoro fatto rispecchiando appunto quanto più volte abbiamo ribadito e in particolare a proposito delle considerazioni storiche; una dedica particolare va a ROBERTO che ci ha lasciato. BIBLIOGRAFIA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. G.T.Bagni CORSO DI MATEMATICA vol 1-2-3 ed. Zanichelli P.Baldi CALCOLO DELLE PROBABILITA’ E STATISTICA ed. McGrawHill E.Ballatori M.A.Pannone DIDATTICA DELLA STATISTICA E DELLA PROBABILITA’ ed. Mondadori P.Baraggia, N.Nava PROBABILITA’ E STATISTICA ed. Hoepli E.Batschelet INTRODUZIONE ALLA MATEMATICA PER BIOLOGI ed. Piccin K.Baclawski, M.Cerasoli, G.Rota INTRODUZIONE ALLA PROBABILITA’ U.M.I. A.Boggio, G.Borello STATISTICA ed. Petrini M.Cerasoli PROBLEMI RISOLTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’ ed. Ambrosiana A.M.Cerasoli CALCOLO DELLE PROBABILITA’ ed Zanichelli G.Chichitelli PROBABILITA’ E STATISTICA ed Maggioli D.Costantini INTRODUZIONE ALLA PROBABILITA’ ed. Boringhieri G. Dall’Aglio CALCOLO DELLE PROBABILITA’ ed. Zanichelli Di Bacco, Lombardo FATTI E CONGETTURE vol 1-2 ed. La Nuova Italia P.Dupont PRIMO INCONTRO CON LA PROBABILITA’ ed. Sei A.Frigessi CALCOLO DELLE PROBABILITA’ ed.Etas Gambotto Manzone PROBABILITA’ E STATISTICA ed. Tramontana G.Girone, M.Stoka CALCOLO DELLE PROBABILITA’ STATISTICA ed. Cedam F. R.Malara LA MACCHINA DELLA PROBABILITA’ ed La Scuola W.Maraschini, M.Palma PROBABILITA’ E STATISTICA ed.Paravia P.Negrini, M.Ragagni PROBABILITA’ ed Faenza Kemeny, Snell, Thompson MATEMATICA E ATTIVITA’ UMANE ed. Feltrinelli 40 22. F.Pesarin INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITA’ ed. La Nuova Italia Scientifica 23. G. Prodi METODI MATEMATICI E STATISTICI ed. McGraw-Hill 24. G. Prodi MATEMATICA COME SCOPERTA vol. 1-2 ed. D’Anna 25. G.Prodi, E.Magenes ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA ed. D’Anna 26. Quaderno n. 8 M.P.I. L’INSEGNAMENTO DI PROBABILITA’ E STATISTICA NELLA SCUOLA LICEALE Liceo Scientifico st. “G.R.Curbastro Lugo di Romagna 27. R. Quatrale CORSO DI PROBABILITA’ E STATISTICA vol. 1-2 ed.Cedam 28. P.Rocchi LA PROBABILITA’ E’ OGGETTIVA O SOGGETTIVA? Ed. Pitagora 29. R. Scozzafava LA PROBABILITA’ SOGGETTIVA E LE SUE APPLICAZIONI ed. Veschi 30. M.Trovato,F.Rossetti PROBABILITA’ ed. Ghisetti e Corvi 31. G.Vicario, R.Levi CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ed Progetto Leonardo Bo 32. V.Villani MATEMATICA PER DISCIPLINE BIO-MEDICHE ed. McGrawHill Vari articoli sulla probabilità sono stati letti sulle seguenti riviste: R1) ARCHIMEDE Le Monnier R2) DIDATTICA DELLE SCIENZE La Scuola R3) INDUZIONI Istituti Editoriali e Poligrafici Internazionali Pisa R4) L’EDUCAZIONE MATEMATICA C.R.S.E.M. Cagliari R5) LA MATEMATICA E LA SUA DIDATTICA Armando R6) LE SCIENZE E IL LORO INSEGNAMENTO Le Monnier R7) LETTERA MATEMATICA PRISTEM Bocconi R8) L’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE INTEGRATE Centro Ricerche Didattiche U.Morin R9) NOTIZIARIO U.M.I. Supplemento al n. 7 Luglio 1994 R10) NUOVA SECONDARIA La Scuola R11) PERIODICO DI MATEMATICHE Mathesis N.B.: Teniamo a precisare che in questi vari anni di lavoro abbiamo consultato tanti testi sia a livello universitario che di scuola secondaria superiore e abbiamo letto tanti articoli di didattica; abbiamo inoltre utilizzato i materiali ricavati da vari corsi di aggiornamento che abbiamo seguito, riguardanti la probabilità e la statistica. Questo nuovo tema non apparteneva ai nostri studi universitari e poiché abbiamo condiviso in pieno la necessità della sua introduzione nella scuola, abbiamo cercato 41 di impadronircene e piano piano lo abbiamo inserito nel nostro lavoro cercando sempre di fonderlo in esso, di non lasciarlo mai a sé. Nella fase della trasposizione didattica, non avendo una esperienza consolidata e per le motivazioni sopra dette, ognuna di noi ha attinto dall’esistente quelle che sembravano le idee che più si adattavano alla propria realtà; questo lavoro è il risultato delle nostre esperienze in classe che ci hanno portato a questo percorso che abbiamo descritto; di conseguenza non abbiamo alcuna pretesa di originalità e sicuramente parecchi autori si riconosceranno negli esempi; ci scusiamo dell’eventualità di aver tralasciato involontariamente fonti bibliografiche. 42
