Eulero - Dipartimento di Matematica

Leonhard Euler (Eulero)
nato a Basilea, Svizzera, il 15 aprile 1707
morto a San Pietroburgo, Russia, il 18 settembre 1783
Fu uno scienziato incredibilmente prolifico
ed eclettico. Vantava una straordinaria
capacità di elaborazione mentale ed una
prodigiosa memoria, grazie alle quali
riuscì a mantenere per tutta la vita un
ritmo produttivo elevatissimo, nonostante
le movimentate vicende familiari – si sposò
due volte ed ebbe tredici figli – e malgrado
la cecità, che lo accompagnò negli ultimi
diciassette anni della sua esistenza.
Il suo primo insegnante di matematica fu
il padre Paolo, pastore calvinista e parroco
di Riechen, un paesino svizzero situato alle porte di Basilea. Il suo
secondo insegnante fu Johann Bernoulli, che gli diede, per un certo
periodo di tempo, lezioni private. Leonhard prese un tale gusto alla
materia che vano fu il tentativo del padre di farne un religioso: il
giovane si iscrisse all’Università per studiare ebraico e teologia, ma,
sotto l’influenza dei Bernoulli, finì per scegliere definitivamente la
strada della matematica.
Non v’è campo della matematica settecentesca in cui Eulero non
abbia dato il suo contributo: il suo nome è legato alla teoria dei
numeri, all’algebra, alla geometria, alla fisica, al calcolo
infinitesimale. Ma seppe crearsi una fama soprattutto con la sua
abilità nel risolvere problemi di ordine pratico; molti dei suoi risultati
trovarono utile applicazione, ad esempio, nei trasporti marittimi. Egli
si occupò infatti di cartografia, studiò il flusso delle maree, scrisse
trattati sulla tecnica di costruzione delle imbarcazioni.
Durante la sua permanenza a San Pietroburgo svolse funzioni di
consigliere per il Governo russo; altri incarichi gli furono affidati da
Federico il Grande, che lo chiamò a corte nel 1741. Rimase a Berlino
per 25 anni. Il re lo nominò direttore dell’Accademia Prussiana e lo
volle come precettore di sua nipote, la principessa di Anhalt-Dessau.
Le lezioni, redatte sotto forma di lettere, furono in seguito raccolte e
pubblicate con il titolo di Lettere ad una principessa tedesca.
Eulero scrisse anche trattati di meccanica, astronomia e ottica. I
risultati da lui ottenuti sul moto della luna permisero all’inglese G.T.
Mayer di realizzare le prime tavole lunari, utili per la determinazione
della longitudine in mare.
È quasi superfluo aggiungere che l’opera matematica di Eulero è di
una tale vastità da non poter essere riassunta: non a caso è stato
soprannominato “dai cento occhi”. Inoltre, molti degli argomenti
affrontati sono troppo specialistici per poter essere qui esposti.
Possiamo però cogliere, nell’universo enciclopedico della sua
produzione scientifica, alcune piccole perle.
In teoria dei numeri Eulero risolse molti dei problemi lasciati da
Fermat, tra cui
alcuni casi particolari dell’Ultimo Teorema.
Generalizzò, inoltre, il Piccolo Teorema, mentre confutò la
congettura sui primi di Fermat. Egli dimostrò, inoltre, che i numeri
perfetti sono tutti e soli quelli dati dalla formula trovata da Euclide.
Generalizzando un risultato del matematico persiano Tâbit ibn Qorra,
formulò un criterio per individuare coppie di numeri amicabili. Fu
il primo ad enunciare la legge di reciprocità dei residui quadratici,
che sarebbe stata dimostrata da Legendre e Gauss.
Ad Eulero si deve anche una congettura, recentemente risultata falsa:
secondo il matematico svizzero, l'equazione
x4 + y4 + z4 = w4
non avrebbe avuto soluzioni intere non banali. Ma nel 1988 Noam
Elkies lo ha smentito, trovando la soluzione x=2682440,
y=15365639, z=18796760, w=20615673.
Nel frattempo è stato
trovato un controesempio con numeri più piccoli: x=95800,
y=217519, z=414560, w=422481. Più in generale, Eulero credeva che
la potenza n-esima di un numero intero maggiore di 1 non potesse
mai essere rappresentata come somma di meno di n potenze n-esime
di interi positivi. Questa sua convinzione è risultata falsa anche per
n=5, ed anche in questo caso, il primo controesempio è stato trovato
in tempi recenti.
Esso risale al 1967, ed è dovuto a Lander e
Parkin:
275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.
In algebra Eulero scoprì la possibilità di rappresentare il
complesso
z = (cos  + i sen )
numero
nella forma
z = e i .
Ne ricavò la sorprendente formula:
eiπ = -1.
Eulero fu il primo ad indicare con la lettera e il numero irrazionale,
pari a circa 2,71828, introdotto da Napier come base del suo
logaritmo naturale. E fu sempre Eulero a consolidare l’uso del simbolo
 per denotare il rapporto tra il perimetro ed il diametro della
circonferenza: prima del Settecento, erano state impiegate lettere
diverse. È inoltre dovuta ad Eulero la prima definizione rigorosa di
frazione continua.
In geometria diede il nome alla formula, già nota a Descartes, che
lega il numero v di vertici, il numero s di spigoli ed il numero f di
facce di un qualunque poliedro:
v – s + f = 2.
Il matematico francese Cauchy, un secolo dopo, diede interessanti
generalizzazioni di questa formula.
Il teorema del cerchio di Eulero afferma che, se un cerchio passa per
i piedi delle tre altezze di un triangolo, allora passa anche per i punti
medi dei lati.
In analisi, Eulero contribuì alla definizione del concetto di funzione,
alla risoluzione di equazioni differenziali legate alla meccanica
(come ricorda, tra l’altro, il Riccati) ma i suoi principali meriti
riguardano forse lo studio delle serie, cui egli si dedicò su ispirazione
dei lavori di Taylor e Maclaurin. Egli determinò la somma della
serie dei reciproci dei quadrati perfetti, con cui già Jakob Bernoulli e
Leibniz si erano cimentati invano. Utilizzando
audaci passaggi
algebrici Eulero dedusse che:
2/6 = 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/25 +…
Egli ottenne anche gli sviluppi in serie di alcune funzioni elementari,
tra cui la funzione esponenziale ex. I suoi metodi, basati sul
formalismo algebrico, mancano, però, di dimostrazione: essi nascono
in gran parte dall’intuizione, secondo la quale le proprietà aritmetiche
valide per le somme finite si estenderebbero, in modo naturale, alle
serie. Eulero si muoveva con grande disinvoltura tra infiniti e limiti,
senza preoccuparsi di inquadrare i suoi calcoli all’interno di una
teoria rigorosa. Aveva una fiducia cieca nella bontà delle sue tecniche,
così audacemente trasferite dal finito all’infinito. A proposito della sua
“ingenuità” metodologica, E.T. Bell scrive:
“La quasi totale capitolazione di Eulero nei confronti delle seduzioni del
formalismo è uno degli inspiegabili misteri della matematica. Al pari di
Newton, Eulero era conscio che le serie devono convergere “in
generale” se possono essere applicate praticamente, come in
astronomia; ma diversamente da Newton, era incapace di moderare
questa sua visione assurda. Pare che Eulero credesse che le formule
non potessero fare alcun male; e fintantoché esse continuavano a
fornire al loro genitore sempre nuove e prolifiche variazioni di se stesse,
egli le incoraggiava a crescere e moltiplicarsi, confidando pienamente
nel fatto che prima o poi tutti i loro frutti sarebbero stati legittimati. Per
molti di essi ciò si è avverato, ed oggi prosperano come solide teorie che
mossero i loro primi audaci passi in varie edizioni di tre capolavori di
questo matematico, il più prolifico della storia: Introductio in
Analysis Infinitorum (1748), Institutiones Calculi Differentialis
(1755), Institutiones Calculi Integralis (1768-94).”
A dire il vero, non tutti i risultati di Eulero si sono rivelati corretti. Ad
esempio, secondo lui la serie
1 – 1 + 1 – 1 + 1 -….
la cui somma sappiamo essere indeterminata, doveva avere come
somma ½. Di ciò era convinto anche Jakob Bernoulli, che ne trovò
una dimostrazione davvero curiosa. Per citare una sua conclusione
ancora più paradossale:
-1 = 1 + 2 + 4 + 8 + …
Ovviamente, questa serie, in realtà, è divergente, la sua somma è
infinita (+). Eulero non aveva problemi ad accettare risultati
contraddittori come questo, che appare assolutamente inconciliabile
con il fatto, già noto all’epoca, che
+ = 1 + 1 + 1 + 1 +…
A rigor di logica, poiché i termini di quest’ultima serie sono più piccoli
dei corrispondenti termini della serie precedente, la somma dovrebbe
essere minore di –1. Eulero, pur di giustificare questo paradosso,
arriva a dare una nuova interpretazione dell’infinito, a stravolgerne
completamente il significato intuitivo, definendolo come una sorta di
confine tra i numeri negativi ed i numeri positivi, ovvero
assimilandolo, in definitiva, allo zero. Occorre tenere presente che ciò
che ai nostri occhi appare ridicolo ed inammissibile, non aveva lo
stesso effetto in un momento in cui il concetto di infinito era ancora
indistinto e controverso tra i matematici.
A proposito del concetto di limite di una funzione, che proprio nel
Settecento andava prendendo forma, il Bell così commenta
l’atteggiamento di Eulero:
“Per Eulero una funzione divenne una congerie di rappresentazioni
formali, che potevano essere trasformate l’una nell’altra tramite
ingegnosi strumenti che spaziavano dall’algebra elementare al calcolo
infinitesimale. Pascendosi della potenza pragmatica dei suoi metodi,
Eulero non aveva bisogno di vedere alcunché di contraddittorio nella
sua concezione del calcolo differenziale come un procedimento per
determinare il rapporto di incrementi evanescenti. I suoi differenziali
sono primi ed ultimi zeri assoluti i cui rapporti, in virtù di qualche
incomprensibile spiritualismo, si materializzano in numeri finiti e
determinati. Come Lagrange, solitamente cortese, osserva, l’analisi di
Eulero è priva di senso.”
Eulero condivideva con Newton la fiducia nel metodo delle prime ed
ultime ragioni, che, però, appariva destituito di fondamento
matematico.
Sarà proprio Lagrange a provvedere ad una
risistemazione rigorosa del calcolo differenziale e della teoria delle
serie.
I ponti di Königsberg
Eulero non è ricordato come un
grande innovatore della matematica,
né come un grande teorico. Egli fu,
in realtà, essenzialmente un geniale
risolutore di problemi, un abile
manipolatore di formule, una mente
vivace ed attenta che, sfruttando al
meglio gli strumenti sviluppati dai
suoi predecessori, seppe tirare le somme della matematica
settecentesca, gettando, al contempo, le basi di nuovi sviluppi. Nei
suoi studi sulle linee di curvatura, ad esempio, si può vedere il primo
germe della moderna geometria differenziale.
E così la sua soluzione del problema dei ponti di Königsberg
contiene già alcune idee fondamentali di quella che sarebbe diventata
la teoria dei grafi: Eulero dimostrò che non è possibile trovare un
percorso continuo che attraversi ognuno dei ponti della figura una ed
una sola volta: si tratta dei ponti sul fiume Pregel, nel quale si trova
l’isola di Kneiphof.
La pianta dei ponti di Königsberg può essere schematizzata mediante
un grafo: ogni punto (vertice) simboleggia una delle zone di terra
delimitate dal fiume, due punti sono collegati da un arco (spigolo) se e
solo se esiste un ponte tra le zone corrispondenti. Il problema
studiato da Eulero appartiene ad un teorema più generale di teoria
dei grafi. Ne diamo la formulazione moderna:
Un grafo ammette una catena euleriana se e soltanto se è connesso e
se il numero dei vertici di grado dispari è 0 o 2.
Spieghiamo la terminologia: una catena euleriana è un percorso che
permette di tracciare l’intero grafo senza staccare la matita dal foglio,
e senza passare per più di una volta sullo stesso punto; un grafo si
dice connesso se, comunque presi due vertici, esiste un percorso che
conduce da uno all’altro; il grado di un vertice è il numero di spigoli
che da esso si dipartono.
Nel nostro caso il grafo è connesso, ma tutti e cinque i suoi vertici
sono di grado dispari. Quindi non è verificata la condizione necessaria
e sufficiente del teorema, e il percorso cercato da Eulero non esiste.
Curiosità In una lettera datata 7 giugno 1742, ed indirizzata ad
Eulero, il suo amico Goldbach formulò una congettura che è tuttora
ben lungi dall’essere dimostrata: ogni numero intero maggiore di 5 è
somma di tre numeri primi. Eulero dimostrò che questo enunciato è
equivalente ad un altro, che forse è ancora più notevole: ogni numero
pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi.