Soluzioni

Corso di Finanza
Professor Paolo Vitale
Anno Accademico 2011-12
UDA, Facoltà d’Economia
Corso di Laurea:
Numero di Matricola:
Esame del 13 dicembre 2012
Tempo consentito: 120 minuti
Domanda 1 [6 punti].
1. Il plowback ratio, ovvero il tasso di re-impiego, misura il rapporto tra utili non redistribuiti e utili totali.
Nel caso della STM per finanziare un’espansione della base produttiva del 10 percento occorre investire il
10 percento del valore contabile della società, cioè 10% di €10 = €1 per azione. Ciò sta ad indicare che,
pari a €2 il valore complessivo degli utili (stimati) per azione per l’anno a venire, il plowback ratio, b, è
pari a 0.5. Il payout ratio, o rapporto di re-distribuzione, misura il rapporto tra i dividendi per azione e
gli utili per azione. Nel presente caso il payout ratio, p, è pari a 0.5. Il return on book equity misura la
redditività del capitale netto ed è pari al rapporto tra utili per azione e valore contabile. Nel caso di STM
il valore stimato del ROE è pari al 20 percento (0.2).
2. Per calcolare il prezzo di STM occorre impiegare la formula di Gordon,
P =
E0 [D̃1 ]
,
r −g
dove E0 [D̃1 ] è il dividendo previsto per l’anno a venire, un valore pari a p × utili = €1, mentre g, il
tasso di crescita dei dividendi, è stimato pari al 10 percento. Questo valore è pari al tasso di espansione
della società e può anche essere ricavato come il prodotto tra il plowback ratio e il return on book equity,
g = b × ROE = 0.5 × 0.20 = 0.10. Il prezzo delle azioni STM è quindi pari a
P =
€1
= €12.5.
0.18 − 0.10
3. Nel caso in cui il tasso di re-impiego è pari a 0, g = b × ROE = 0, mentre E0 [D̃1 ] = €2. Cosı̀, nel caso il
management segua una politica di completa restituzione degli utili il prezzo equo della STM diventa
P =
€2
= €11.1.
0.18
La riduzione nel prezzo del titolo azionario è riconducibile alle opportunità di crescita a cui rinuncia il
management se segue una politica di completa re-distribuzione degli utili. In questo caso, infatti, il
management abandona le opportunità di investimento che promettono un rendimento sul capitale investito
del 20 percento a fronte di un costo opportunità del capitale inferiore (pari al 18 percento).
Domanda 2 [6 punti].
La durata di un’obbligazione è pari alla media ponderata delle scadenze dei singoli cash flow promessi dal titolo
a reddito fisso. Nel calcolo della media i pesi sono proporzionali ai valori presenti di ogni singolo cash flow.
Nel calcolo di questi valori presenti si impiega il tasso di interesse (yield rate) corrispondente ad una struttura
temporale dei tassi di interesse piatta. Ciò significa che un unico tasso di interesse, y, si applica a tutte le
scadenze. Definizione di durata, D, è quindi la seguente
D =
T
1 X CFt
× t,
B
(1 + y)t
t=1
dove B indica il prezzo del titolo a reddito fisso, T è la maturity dell’obbligazione e CFt indica il cash flow
promesso dal titolo nel periodo t, un valore che corrisponde alle cedole promesse nelle date intermedie, t < T , e
alla somma della cedola finale e del principale per la scadenza finale, t = T .
Soluzioni dell’Esame del 13 dicembre 2012
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Figura 1: Prezzo di un’obbligazione e tasso di interesse.
La durata di un’obbligazione è legata alla durata modificata, M D, in quanto
MD =
1
D.
1+y
La durata modificata rappresenta una misura sintetica della sensibilità del prezzo dell’obbligazione alle variazioni
del tasso di interesse. Più precisamente è funzione dell’elasticità del prezzo dell’obbligazione rispetto al tasso di
interesse, secondo la seguente definizione
1 ∂B
MD = −
.
B ∂y
La convessità, C, rappresenta invece la curvatura della relazione tra il prezzo dell’obbligazione e il tasso di interesse
secondo la definizione seguente
1 ∂2 B
C =
.
B ∂2 y
Questa curvatura è molto importante nella valutazione dei rischi sui tassi di interesse per le obbligazioni. Come
evidente dalla Figura 1, tenendo conto solo di un’approssimazione lineare si tende a sovrastimare la sensibilità
del prezzo di un’obbligazione rispetto alle variazione del tasso di interesse.
Piuttosto che l’approssimazione lineare
∆B ≈
∂B
∆y = − B M D ∆ y,
∂y
occorre quindi considerarne una quadratica cosı̀ come proposto dalla formula dell’espansione in serie di Taylor,
∆B ≈
∂B
1 ∂2 B
1
∆y +
∆ y2 = − B M D ∆ y + B C ∆ y2.
2
∂y
2 ∂ y
2
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Figura 2: Profitti totali derivanti dal Butterfly Spread nella Domanda 4.
Domanda 3 [3 punti].
1. L’affermazione è falsa, infatti β = 0 comporta che E[r̃] = rf , non zero.
2. L’affermazione è falsa, infatti gli investitori richiedono un premio di rischio unicamente sul rischio sistematico, cioè la compenente del rischio non diversificabile poiché correlata con il portafoglio di mercato.
3. L’affermazione è falsa, infatti si deve investire il 75% del proprio portafoglio nel portafoglio di mercato e il
rimanente nei T-bills, cosicché βp = (0.75 × 1) + (0.25 × 0) = 0.75.
Domanda 4 [6 punti].
1. Una butterfly spread mediante opzioni call si può costruire comprando un’opzione call con prezzo di
esercizio $90 ed una con prezzo di esercizio $110 e vendendo due opzioni call con prezzo di esercizio $100.
2. Si consideri la seguente Tabella, dove ST indica il prezzo finale del titolo sottostante.
Valore Finale del Butterfly Spread
Payoff Finale
ST ≤ $90
$90 < ST ≤ $100
$100 < ST ≤ $110
$110 < ST
Lunga in call 90
0
ST − $90
ST − $90
ST − $90
Corta in due calls 100
0
0
−2(ST − $100)
−2(ST − $100)
Lunga in call 110
0
0
0
ST − $110
Totale
0
ST − $90
$110 − ST
0
Posizione
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3. Nella Figura 2 sono rappresentati i profitti totali derivanti da questa strategia di investimento mediante
opzioni call. Questa risulta conveniente se a scadenza il prezzo del titolo sottostante non si allontana da
$100, ovvero si mantiene nell’intervallo ($92, $108)).
Domanda 5 [6 punti].
Si consideri che se il tasso di interesse reale annuale è pari all’uno percento e il tasso di inflazione annuale atteso
è pari al 2 percento, a meno di una approssimazione, il tasso di interesse nominale annuale è pari al 3 percento.
1. Si tratta di calcolare una rendita annuale il cui valore presente sia pari a €400,000 con un tasso di interesse
del 3%. Applicando la formula della rendita annua costante dobbiamo trovare C tale che:
"
#
C
1
C
C
400, 000 =
1 −
=
1 − 0.4776 =
0.5224 = C × 17.4131.
25
0.03
(1 + 0.03)
0.03
0.03
Cosı̀,
C =
400, 000
= 22, 971.15.
17.4131
2. Considerando che l’inflazione riduce il valore reale della rendita annua, questa deve crescere ad un tasso
pari a quello di inflazione per mantenere costante il potere d’acquisto. Impiegando la formula per il calcolo
del valore presente di una rendita annua crescente dobbiamo trovare C tale che:
"
"
#
#
C
1 + 0.02 25
C
C
400, 000 =
1 −
=
1 − 0.7836 =
0.2164 = C×21.6437.
0.03 − 0.02
1 + 0.03
0.01
0.01
Cosı̀ ora,
400, 000
= 18, 481.09.
21.6437
Ogni anno questa rendita aumenterà del 2 percento per conservare il potere d’acquisto iniziale.
C =
Per la derivazione delle formule per le rendite annue, costanti e crecenti, si consultino gli appunti delle lezioni,
Finanza8-Handout.pdf e Finanza9/Handout, presso i seguenti URL: http://www.unich.it/˜vitale/riservato/Finanza8Handout.pdf; http://www.unich.it/˜vitale/riservato/Finanza9-Handout.pdf.
Domanda 6 [3 punti].
Si consideri che quattro unità della seconda obbligazione costano €380. Negli anni da 1 a 4 promettono gli
stessi payoffs della prima obbligazione, cioè €10. Cosı̀, la differenza di prezzo tra quattro unità della seconda
obbligazione ed un’unità della prima obbligazione, pari a €280, deriva dal diverso payoff finale, pari a €110 per
l’unità della prima obbligazione e €410 per le quattro unità della seconda obbligazione.
Quindi il valore presente di €300 tra cinque anni è pari a €280, cioè
300
= 280
(1 + r5 )5
⇐⇒
(1 + r5 )
5
300
=
280
⇐⇒
(1 + r5 ) =
300
280
1/5
= 1.01389.
Domanda 7 [3 punti].
Secondo la condizione di non arbitraggio per contratti futures su titoli che promettono un interesse (yield) continuo
discussa in classe il prezzo d’equilibrio per il contratto sull’indice azionario è dato dalla seguente espressione:
Ft = St e(r−q)(T −t) ,
dove r = 0.05, q = 0.02, St = $1800 e T − t = 1/3. Cosı̀,
Ft = $1, 800 e0.03×1/4 = $1813.55.
Soluzioni dell’Esame del 13 dicembre 2012
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Domanda 8 [6 punti].
1. Se wx è il peso attribuito al titolo x, il rendimento del portafoglio p è pari a r̃p = wx r̃x + (1 − wx ) r̃y .
Cosı̀, il valore atteso del rendimento del portafoglio p è
E[r̃p ] = wx E[r̃x ] + (1 − wx ) E[r̃y ] = E[r̃y ] + (E[r̃x ] − E[r̃y ]) wx = 0.10 + 0.05 wx ,
cioè una funzione crescente del peso attribuito al titolo x. Per quanto riguarda la varianza del rendimento
del portafoglio p si noti che i due titoli sono perfettamente negativamente correlati, in quanto
ρxy =
σxy
= − 1,
σx σy
cosicché,
Var [r̃p ]
=
wx2 σx2 + (1 − wx )2 σx2 + 2 wx (1 − wx ) σxy
=
wx2 σx2 + (1 − wx )2 σx2 − 2 wx (1 − wx ) σx σy ,
cioè
!2
Var [r̃p ]
=
wx σx − (1 − wx ) σy
!2
=
0.6 wx − 0.2
,
2. La varianza del portafoglio p ammette quindi un minimo per wx = 13 . Inoltre, poiché i due titoli presentano rendimenti perfettamente negativamente correlati, il portafoglio di varianza minima è privo di rischio
(σmvp = 0). In corrispondente rendimento atteso è E[r̃mvp ] = 0.10 + wmvp 0.05 = 0.116̄.
3. Poiché il rendimento atteso del portafoglio p è crescente nel peso attribuito al titolo x, l’insieme dei
portafogli efficienti è dato dalla condizione che:
wx ≥
1
.
3
In particolare nello spazio della deviazione standard e valore atteso dei rendimenti, (σp , Ep ) i portafogli efficienti si trovano sulla semi-retta che unisce i punti (0, 0.116̄) e (0.4, 0.15) corrispondenti alla combinazione
di rischio e rendimento di rispettivamente, il portafoglio privo di rischio e il titolo x.