Crenca & Associati
CORPORATE CONSULTING SERVICES
RISK MANAGEMENT:
MAPPATURA E VALUTAZIONE
DEI RISCHI AZIENDALI.
UN COSTO O UN’OPPORTUNITA’?
Ufficio Studi
Milano, 3 aprile 2008
Introduzione al Risk Management
Management dell’Azienda
Risk Management
Assicurazione solo una possibile strategia
Ufficio Studi
2
Definizione del rischio - 1
• Rischio puro o statico è possibile solo un danno
economico per l’Azienda
– Rischi che causano danni materiali alla
proprietà dell’impresa
– Rischi di reponsabilità civile
– Rischi che causano danni materiali alle
proprietà altrui che si ripercuotono sull’impresa
– Morte, invalidità e malattia dei dipendenti
Ufficio Studi
3
Definizione del rischio - 2
• Rischio speculativo è possibile sia una perdita
che un profitto per l’Azienda con una certa
probabilità
– Rischi di mercato
– Rischi finanziari
– Rischi di produzione
– Rischi politici
– Rischi di innovazione
Ufficio Studi
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Rischi e profitto
SI
Rischi speculativi
E’ possibile un profitto?
NO
Rischi Puri
Ufficio Studi
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I principali step del Risk Management
1.
Individuazione dei rischi
2.
Quantificazione dei rischi
3.
Analisi del processo decisionale
4.
Scelta delle strategie
5.
Check-up periodici
Ufficio Studi
6
Obiettivi del Risk Management
1.
Massimizzazione del profitto
minimizzazione dei costi
d’impresa
2.
“Tranquillità” nella gestione
3.
Continuità della “vita” produttiva data la protezione dei
rischi
4.
Abbattimento della “probabilità di rovina”
5.
Coerenza nei riguardi degli obiettivi dell’impresa
Ufficio Studi
attraverso
la
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Obiettivi del Risk Management
• Interviste con i responsabili di area
• Visite periodiche con i centri di rischio analisi
dei processi
• Costruzione di una check list
– Rischi incombenti
– Sorgenti di rischio
– Fattori che possono modificare i rischi
– Conseguenze dei rischi
• Analisi della check list
Ufficio Studi
8
Analisi quantitativa dei rischi
• Principali fattori che devono essere considerati al fine di
quantificare il rischio:
– Frequenza sinistri
– Importo del singolo sinistro
– Valutazione del danno aggregato
Ufficio Studi
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Il requisito di capitale a fronte dei rischi
•
Elementi specifici:
• Probabilità di rovina (ad esempio 0,5%)
• Orizzonte temporale (ad esempio 1 anno)
• Misura di rischio (VaR o Tail VaR)
Ufficio Studi
10
Il requisito di capitale: le misure di
rischio
Orizzonte temporale = 1 anno
VaRα = Value at Risk = qα = α-Quantile
TVaRα = Tail Var = E[X|X>qα]
Ufficio Studi
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Modelli per la distribuzione di
probabilità del numero di sinistri
• Poisson: rischi omogenei
• Binomiale Negativa: rischi eterogenei
Ufficio Studi
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Poisson - osservazioni
• Buona approssimazione per il fenomeno dell’andamento del
numero dei sinistri per un determinato rischio
• Utilizzo limitato per la modellizzazione relativa all’intero
complesso dei rischi
• Il valore atteso di tale distribuzione è pari alla varianza possibile sottostima della variabilità del numero dei sinistri
• Test di best fitting
– Chi-quadro: test che permette di verificare se una data
distribuzione probabilistica ben si adatta alla serie storica di
partenza
− λt
k
pk (t ) =
e
(λt )
k!
Ufficio Studi
k = 0,1,2....
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Binomiale Negativa - osservazioni
• In linea con un modello che tenga conto della
differenziazione in classi di rischio
• Per ogni classe di rischio ipotizziamo una distribuzione di
Poisson
• Ipotizziamo una determinata struttura di rischio distribuzione Gamma
• Costruiamo una mistura di Poisson, ovvero una Binomiale
Negativa
k + a − 1 a k
p q
pk =
k
Ufficio Studi
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Modelli per la distribuzione di probabilità
dell’importo dei sinistri
• Le distribuzioni empiriche degli importi dei sinistri evidenziano in
genere asimmetria positiva e quindi code consistenti
– Prevalenza di sinistri di ridotte dimensioni
– Buoni modelli per la rappresentazione del fenomeno sono quelli
caratterizzati da un valore positivo dell’indice di asimmetria
µ3
γ1 = 3 > 0
σ
Ufficio Studi
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Principali distribuzioni di probabilità per
il costo del singolo sinistro -1• Lognormale:
2
1 (ln x − µ )
1
f (x ) =
exp−
σ > 0; x > 0
2
σ
2π σx
2
• Pareto:
α
f (x ) =
β
β
x
α +1
σ > 2; β > 0; x > β
Ufficio Studi
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Principali distribuzioni di probabilità
per il costo del singolo sinistro -2• Weibull:
α
α α −1
x
f ( x ) = α z exp− α > 0; β > 0; x > 0
β
β
• Gamma:
f (x ) =
τ e
a
−τx
a −1
x
Γ (a )
a ,τ > 0
• Esponenziale:
− x /θ
f (x ) =
e
θ
Ufficio Studi
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Osservazioni sull’importo del singolo
sinistro
• Anche per l’importo del singolo sinistro, chiamato anche
“severity”, valgono le stesse considerazioni fatte per la
frequenza sinistri, ovvero:
– Scelta della distribuzione
– Stima dei parametri
– Test per la verifica della bontà dell’ adattamento
Ufficio Studi
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Modelli di danno aggregato
• Obiettivo: creare un modello che rappresenti l’ammontare
della perdita complessiva legata al numero complessivo di
sinistri in un determinato intervallo temporale e riferito ad
uno specifica azienda
• Valutazione per linea di business
• Individuazione delle correlazione tra le diverse linee di
business
• Strumento: teoria collettiva del rischio
Ufficio Studi
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S = X1 + X 2 + K + X N
•
•
N :variabile aleatoria (v.a.) numero dei sinistri
X i :v. a. importo dell’i-esimo sinistro
• Ipotesi del modello:
N =n
X
– dato
le v.a.
i sono indipendenti e
identicamente distribuite (i.i.d.)
N =n
– dato
dipende da
n
le distribuzione delle
– la distribuzione di
N
X i non
non dipende dai valori delle
Ufficio Studi
Xi
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Il modello composto per il danno
aggregato
1.
Costruire la distribuzione di probabilità per il numero dei
sinistri partendo dai dati
2.
Costruire la distribuzione di probabilità dell’importo del
singolo sinistro
3.
Utilizzare le due distribuzioni al fine di ottenere la
distribuzione di probabilità per il danno aggregato
S = X1 + X 2 + K + X N
Ufficio Studi
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OBIETTIVO: SIMULAZIONE DEL DANNO
AGGREGATO
1.Costruire un modello per la variabile aleatoria: S = X1 + X 2 + K+ X N
• N ≈ Poisson ( λ )
• X i ≈ Exp(α )
• dato N = n
le variabili aleatorie
sono i.i.d.
X1, X 2 ,K, X n
• dato N = n la distribuzione delle v.a. X1, X 2 ,K, X n non dipende
da n
• la distribuzione di N non dipende dai valori di X1, X 2 ,K
2.Per j = 1K
, , n generare dei valori pseudo-random n j , x1 j , x2 j ,K, xn j
e calcolare il valore s j attraverso il modello costruito nel punto 1
3.Approssimare la funzione di ripartizione di S
con la funzione di
ripartizione empirica Fn (s) basata sul campione di numeri pseudorandom s1 K, sn
4.Calcolare le statistiche che ci interessano utilizzando Fn (s)
» Media, varianza, percentili, etc…
Ufficio Studi
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COSA DOBBIAMO SAPER FARE?
1.Simulare il numero dei sinistri, quindi nel nostro caso simulare
una v.a. discreta, ad esempio come la Poisson semplice
2.Simulare l’importo di ogni singolo sinistro, quindi nel nostro
caso simulare una v.a. continua, ad esempio come
l’Esponenziale
3.Simulare il danno aggregato come somma dei singoli sinistri
4.Ripetere l’esperimento n volte e calcolare le statistiche che ci
interessano
Ufficio Studi
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ESEMPIO - SIMULAZIONE DELLA V.A.
NUMERO DEI SINISTRI
0.25
100000 simulazioni
0.2
p(x) - Poisson
Momenti teorici
E[X ] = 3
0.15
σ [X ] = 1,7321
0.1
Momenti empirici
0.05
0
x = 2,9991
σˆ = 1,7227
0
2
4
6
8
10
12
14
x
Ufficio Studi
24
ESEMPIO - SIMULAZIONE DELLA V.A.
IMPORTO DEL SINGOLO SINISTRO
1
x 10
-3
100000 simulazioni
0.9
0.8
Momenti teorici
E[X ] = 1000
σ [X ] = 1000
f(x) - Esponenziale
0.7
0.6
0.5
0.4
Momenti empirici
0.3
x = 999,77
σˆ = 1000,91
0.2
0.1
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
X
Ufficio Studi
25
ESEMPIO - SIMULAZIONE DELLA V.A.
DANNO AGGREGATO
100000 simulazioni
0.035
Momenti teorici
0.03
E[X ] = 30000
σ [X ] = 13416
Frequenze relative
0.025
0.02
Momenti empirici
xˆ = 29946
σˆ = 13415
0.015
0.01
Intervallo di
confidenza per la
media (99% )
0.005
inf = 29837
0
0
2
4
6
Danno aggregato
8
Ufficio Studi
10
12
x 10
sup = 30055
4
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Problemi aperti sulla quantificazione
– Valutazione del danno aggregato
• Quale modello scelgo?
– Valutazione del rischio che l’Azienda vuole detenere
– Valutazione del prezzo assicurativo
– Valutazione delle correlazioni tra i rischi
• Lineare, funzioni copula
• Effetti dovuti alla diversificazione abbattimento del
capitale da detenere
• E’ possibile sulla base dei dati interni di una Azienda?
• Su quali statistiche?
– Costi medi
– Frequenze
Ufficio Studi
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La quantificazione dei rischi
STRESS TEST
• Al fine di valutare il risk capital nel caso di eventi o scenari
ritenuti particolarmente sfavorevoli:
– Stress test sulla base del percentile si considerano i
percentili “alti” (ad. es. 99.5%) della distribuzione delle
perdite
– Stress test di scenario si scelgono ipotesi di base
peggiorative rispetto alla solvibilità della Azienda
– Aggregazione tra i differenti rischi effetto di
diversificazione del rischio
– Stime al netto e al lordo dell’effetto assicurativo, qualora
venga scelta come strategia quella assicurativa
Ufficio Studi
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Risk management: costo o opportunità?
• Conoscenza del capitale al rischio
• Ricalibrazione degli obiettivi aziendali
• Costruzione di un modello di gestione integrato con
eventuali contingency plans
• Valutazione dei potenziali rischi finanziari
– Valutazione delle stock options
– Valutazione di titoli strutturati e derivati
– Valutazione di strategie assicurative
• Individuazione delle potenziali fonti di rischio
Ufficio Studi
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Il cuore del Risk management aziendale
• Dopo aver effettuato una corretta quantificazione dei rischi:
– Selezione della migliore tra le strategie possibili secondo criteri
di scelta razionali basati su modelli
matematici/statistici/finanziari/attuariali
– Follow up costante, altrimenti tutta l’attività svolta viene
vanificata
• Un corretto “ciclo” di Risk management allora non solo non
è più un costo ma diventa una chiara opportunità di
investimento profittevole in termini di minori costi che si
sosterranno al verificarsi dei rischi
Ufficio Studi
30
