Metodo di Cramer (solo per i sistemi 3x3)
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Metodo di Cramer (solo per i sistemi 3x3) Si può notare che, per risolvere i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, i metodi analizzati nell’altro articolo non sono altre che delle “ripetizioni”, ma adattate, dei metodi usati per i sistemi lineari in due incognite. Il metodo di Cramer, invece, richiede nelle nozioni di Algebra Lineare Prima di illustrare il metodo di Cramer, dobbiamo spiegare i seguenti concetti. Sistemi e Matrici Dato un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite, (detto anche sistema 3x3), possiamo associare ad esso una tabella (matrice) di tre righe e tre colonne formata dai coefficienti delle incognite: dato un sistema del tipo a1,1 x a1, 2 y a1,3 z b1 a1,1 a1, 2 a1,3 a 2,1 x a 2, 2 y a 2,3 z b2 associamo la tabella a 2,1 a 2, 2 a 2,3 , dove ai,j sono i coefficienti delle a x a y a z b a3,1 a3, 2 a3,3 3, 2 3, 3 3 3,1 incognite; il numerino i indica il numero di riga e il numerino j indica il numero di colonna. Se qualche incognita manca, allora il rispettivo coefficiente è uguale a zero. a1,1 a1, 2 a1,3 Questa tabella a 2,1 a 2, 2 a 2,3 si chiama matrice dei coefficienti. a3,1 a3, 2 a3,3 Se alla matrice dei coefficienti aggiungiamo la colonna dei termini noti, otteniamo la matrice a1,1 a1, 2 a1,3 b1 completa del sistema: a 2,1 a 2, 2 a 2,3 b2 . a3,1 a3, 2 a3,3 b3 Esempi x y z 1 - Dato il sistema 2 x y z 5 scriviamo la matrice dei coefficienti e la matrice completa. x 2 y 2z 6 1 1 1 1 1 1 1 Matrice dei coefficienti è 2 1 1 e la matrice completa è 2 1 1 5 . 1 2 2 6 1 2 2 x y z 1 - Dato il sistema 3 x z 10 scriviamo la matrice dei coefficienti e la matrice completa. y 2z 0 Poiché nella II equazione manca la y, mettiamo 0 al posto a2,2, poiché manca la x nella terza equazione, mettiamo 0 al posto di a3,1, e poiché manca il termine noto nella III equazione, mettiamo 1 1 1 1 1 1 1 0 al posto di b3. La matrice dei coefficienti 3 0 1 è e la matrice completa è 3 0 1 10 . 0 1 2 0 1 2 0 1 Determinanti Per ogni matrice 3x3 possiamo calcolare il determinante. Che cos’è il determinante? Il determinante è un numero, che si calcola così: - Il determinante di una matrice 1x1, cioè una matrice con un unico elemento A= a1,1 , è A = a1,1 = a1,1; a1,1 a1, 2 - Il determinate di una matrice 2x2 A= è A a1,1 a 2, 2 a1, 2 a 2,1 . (prodotto degli a 2,1 a 2, 2 elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi della diagonale secondaria. a1,1 a1, 2 a1,3 a1,1 a1, 2 a1,3 - Il determinante di una matrice 3x3 A= a 2,1 a 2, 2 a 2,3 è A = a 2,1 a 2.2 a 2,3 = a3,1 a3, 2 a3,3 a3,1 a3, 2 a3,3 a1,1 a 2, 2 a3,3 a1, 2 a 2,3 a3,1 a 2,1 a3, 2 a1,3 a1,3 a 2, 2 a3,1 a1, 2 a 2,1 a3,3 a1,1 a 2,3 a3, 2 (Sembra complicato, ma con un po’ di esercizio e di pratica si ricorda facilmente!) Esempi x y z 1 - Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti del sistema 2 x y z 5 x 2 y 2z 6 1 1 1 1 1 1 Matrice dei coefficienti A = 2 1 1 il determinante A = 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 (1) (2) 1 1 1 2 2 1 1 (1) 1 1 2 (2) 1 1 2 2 1 4 1 4 2 10 x y z 1 - Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti del sistema 3 x z 10 y 2z 0 1 1 1 1 1 1 Matrice dei coefficienti A = 3 0 1 il determinante A = 3 0 1 0 1 2 0 1 2 = = 1 0 (2) 1 1 0 3 1 1 1 0 0 1 3 (2) 1 1 1 0 0 3 0 6 1 8 . Metodo (o anche regola) di Cramer Dato un sistema lineare 3x3 per risolverlo con il metodo di Cramer seguiamo i seguenti passaggi: 2 -consideriamo la matrice dei coefficienti del sistema e ne calcoliamo il determinante a1,1 x a1, 2 y a1,3 z b1 a1,1 a1, 2 a1,3 a 2,1 x a 2, 2 y a 2,3 z b2 matrice dei coefficienti a 2,1 a 2, 2 a 2,3 e calcoliamo il determinante a x a y a z b a3,1 a3, 2 a3,3 3, 2 3, 3 3 3,1 a1,1 a1, 2 a1,3 D= a 2,1 a 2.2 a 2,3 a3,1 a 3, 2 a 3, 3 - nella matrice dei coefficienti, sostituiamo alla colonna dei coefficienti delle x, la colonna dei termini noti ed otteniamo una nuova matrice di cui calcoliamo il determinante Dx si ha: a1,1 a1, 2 a1,3 b1 a1, 2 a1,3 nella a 2,1 a 2, 2 a 2,3 sostituiamo alla I colonna, la colonna dei termini noti b2 a 2, 2 a 2,3 e a3,1 a3, 2 a3,3 b3 a3, 2 a3,3 b1 a1, 2 a1,3 calcoliamo il determinante Dx di questa matrice Dx= b2 b3 a 2.2 a 2,3 . a 3, 2 a 3, 3 Ripetiamo questo passaggio sostituendo alla colonna dei coefficienti delle y, la colonna dei termini a1,1 b1 a1,3 noti ed otteniamo una nuova matrice, di cui calcoliamo il determinante Dy si ha Dy= a 2,1 b2 a 2,3 a3,1 b3 a 3, 3 Ripetiamo questo passaggio sostituendo alla colonna dei coefficienti delle z, la colonna dei termini a1,1 a1, 2 b1 noti ed otteniamo una nuova matrice dei cui calcoliamo il determinante Dz si ha Dz= a 2,1 a 2.2 b2 . a3,1 a 3, 2 b3 - calcoliamo la soluzione del sistema con le seguenti formule Dx , D Esempi x y Dy z D Dz . D x y z 1 - Risolviamo con il metodo di Cramer il seguente sistema: 2 x y z 5 x 2 y 2z 6 1 1 1 1 1 1 Scriviamo la matrice dei coefficienti 2 1 1 e calcoliamo D = 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 (1) (2) 1 1 1 2 2 1 1 (1) 1 1 2 (2) 1 1 2 2 1 4 1 4 2 10 . 1 1 = 1 Calcoliamo ora Dx= 5 1 1 = 1 (1) (2) 1 1 6 5 2 1 1 (1) 6 1 5 (2) 1 1 2 = 6 2 2 3 = 2 6 10 6 10 2 32 1 1 1 Calcoliamo ora Dy= 2 5 1 1 5 (2) 1 1 1 2 6 1 1 5 1 1 2 (2) 1 1 6 1 6 2 =-10+1+12-5+4-6=-4 1 1 1 Calcoliamo ora Dz= 2 1 5 1 (1) 6 1 5 1 2 2 1 1 (1) 1 1 2 6 1 5 2 1 2 6 =-6+5+4+1-12-10=-18. Infine, sostituiamo i valore trovati nelle formule x x Dy Dx D z z e abbiamo la soluzione ,y D D D 32 16 18 4 2 9 , y ,z . 10 5 10 10 5 5 x y z 1 -Risolviamo con il metodo di Cramer il seguente sistema: 3 x z 10 y 2z 0 Scriviamo 1 1 la matrice dei coefficienti 1 1 1 3 0 1 0 1 2 e calcoliamo il determinante 1 1 = 1 0 (2) 1 1 0 3 1 1 1 0 0 1 3 (2) 1 1 1 0 0 3 0 6 1 8 0 1 2 3 0 1 1 1 Calcoliamo Dx= 10 0 1 = 1 0 (2) 1 1 0 10 1 1 1 0 0 1 10 (2) 1 1 1 =+10+20-1=29 0 1 2 1 1 1 Calcoliamo Dy= 3 10 1 = 1 10 (2) 1 1 0 3 0 1 1 10 0 1 3 (2) 1 1 0 -20+6=-14 0 0 2 1 1 1 Calcoliamo Dz = 3 0 10 = 1 0 0 110 0 3 11 1 0 0 1 3 0 110 1 3-10=-7 0 1 0 Infine sostituiamo i valore trovati nelle formule x x 29 , 8 y 14 7 , 8 4 Dy Dx D z z e abbiamo la soluzione ,y D D D 7 z . 8 4
