Fondamenti di Teoria dei Campi
(di Fazzi Federico)
Introduzione
Consideriamo nello spazio due particelle (masse o cariche o qualsiasi altre particelle), tra queste si
instaurerà una interazione che obbedirà a particolari leggi (es. la legge della gravitazione universale
se si parla di masse, la legge di coulomb se si parla di cariche ecc.).
La natura di queste interazioni può essere spiegata con la meccanica di Newton, giustificando una
certa forma di interazione a distanza.
Si consideri ora una particella; evidentemente non noterò nulla, poiché non vi sono condizioni
necessarie per assistere ad una interazione.
Mi sorge spontanea una domanda: il fatto di non poter osservare nessuna interazione, implica
necessariamente l’assenza di ogni forza potenzialmente applicabile ad una generica particella di
prova? La quiete del moto implica necessariamente l’assenza dell’interazione?
Rispondiamo a queste introducendo una grandezza fisica E (campo):
F
E
(1)
Dove α è la generica particella di prova e F la forza d’interazione generata tra la particella
generatrice del campo e quella di prova.
E’ evidente che la presenza di una singola particella nello spazio dà a quest’ultimo delle proprietà
riassunte nella formula (1).
DEF: il campo è la proprietà dello spazio che associa localmente, in un punto P, una forza agente su
una qualunque particella (di natura coerente con quella del campo) tale che: F = αE.
A questo punto abbiamo abbastanza informazioni per definire il campo generato da una generica
particella (massa e carica) in un punto P a distanza r dall’origine:
GM
E gravitazionale 2 rˆ
r
Q
Eelettrostatico 2 rˆ
r
Per loro natura il campo gravitazionale ed elettrostatico sono conservativi. Conservativi sono tutti
quei campi vettoriali tali che:
E
E _ conservativo rotE 0
(2)
Dom E aperto _ semplicemente _ connesso
Questa definizione equivale a dire che il lavoro compiuto dal campo su una carica di prova lungo un
circuito chiuso è nullo.
Vediamo alcune conseguenze importanti di questa definizione:
1) Si viene a definire così una grandezza scalare φ (potenziale) tale che:
1
GM
r
Q
E dr
r
gravitazionale E dr
elettrostatico
2) Dal sistema deriva che il lavoro compiuto dal campo si può scrivere come meno la differenza di
potenziale (ammesso che il campo sia opposto in verso al sistema di riferimento scelto).
3) Ricordando il teorema dell’energia cinetica, in un modello fisico in cui compiono lavoro le sole
forze conservative l’equazione del lavoro totale può essere riarrangiata in modo che risulti il
principio di conservazione di energia meccanica (Ea=Eb).
Teoremi di Gauss in forma integrale e locale:
in forma integrale
( Eelettrostatico ) E ds 4qint
s
( E gravitazionale ) E ds G 4M int
s
in forma locale
Eelettrostatico 4qint
E gravitazionale G 4M int
Mint e qint sono la massa contenuta in una superficie gaussiana e la carica contenuta in una superficie
gaussiana.
Nota: la scelta positiva o negativa del campo e del potenziale elettrico/gravitazionale è dettata dal
sistema di riferimento; bisogna sapere a priori come sarà diretto il campo (forza attrattiva o
repulsiva) e agire di conseguenza nella scelta del segno.
Quanto detto sin’ora spiega e descrive elementarmente i campi ma non ci dice nulla su quella che è
la loro natura intrinseca: non possiamo rispondere alla domanda “cos’è il campo?” ma possiamo
tranquillamente descriverlo.
2
Vediamo alcuni esempi di derivazione di campi e potenziali:
Derivazione della teoria gravitazionale del campo generato da una distribuzione piana omogenea
di masse
A
Si consideri una distribuzione piana infinita di massa di densità
σ.
Data la simmetria le linee di forza del campo saranno
perpendicolari il piano.
Considerata una superficie gaussiana parallelepipeda si ha dal
teorema di Gauss:
2 E dA G 4A
A
E rˆ 2G
Il potenziale del campo sarà:
Edr r 2G
L’asse di riferimento su cui misurare r è perpendicolare al piano è uscente ed ha lo 0 sul piano.
Sia dato un corpo di massa m all’interno del campo E. La forza F e l’energia potenziale U associate
sono:
F mE m2Grˆ
U m mr 2G
Se si considera la F come l’unica forza che compie lavoro, si ha che il lavoro totale compiuto per
portare il corpo m dal punto A al punto B sarà -ΔU=m(ri – rf)2Gπσ.
Per il teorema dell’energia cinetica si avrà:
v f vi2 4G (ri r f )
Considerazioni
Questo è solo un esercizio! La fisica sta nelle prime due pagine in cui si generalizza la teoria dei
campi elettrostatici e gravitazionali qualunque sia la distribuzione di carica; la difficoltà che si può
incontrare nel descrivere il campo di una distribuzione di particelle più complicata possibile sta in
disquisizioni prevalentemente matematiche (la difficoltà di trovare le primitive).
La bellezza di questa trattazione è la generalizzazione (e universalità) del concetto di campo: ogni
campo conservativo può essere descritto dal sistema (2) e dall’equazioni di Gauss.
Da queste formule, ad esempio, deriva la descrizione del campo gravitazionale nei pressi della
crosta terrestre dove g è considerato costante e diretto in verso opposto al sistema di riferimento
(questo consente di scrivere algebricamente il principio di conservazione dell’energia).
3
Derivazione del campo elettrostatico di un guscio cilindrico
Potrei continuare ad annoiarvi con la descrizione di campi elettrici e gravitazionali relativamente
semplici e dotati di simmetrie (come il caso precedente) tali da cavarsela con una matematica
ordinaria (campo di una distribuzione sferica, lineare, ecc.); invece procedo con la derivazione del
potenziale e del campo elettrostatico sull’asse di simmetria di una distribuzione (σ) di cariche posta
sulla superficie laterale di un guscio cilindrico (il cilindrico è privo di basi).
0
R
A
P
α
x
r
H
Ho considerato un sistema ‘sì fatto: 0 è il punto di riferimento coincidente con il centro della
circonferenza base del cilindro; A individua l’elemento infinitesimo di carica; R la distanza tra il
generico punto P appartenente all’asse di simmetria e l’elemento di carica; x è la distanza di P
dall’origine.
In questo caso è difficile pretendere una simmetria del campo; per quello che è il nostro intento
risulta inutile il Teorema di Gauss (utile per descrivere campi simmetrici). Il procedimento che
seguo è considerare il contributo al potenziale dato dall’infinitesima distribuzione di carica
(individuata da A) ed applicare il principio di sovrapposizione.
Risulta:
dq
rd dh
dh
2r
2
2
R
r 2 x h
r 2 x h
0
H
R è scritto con il teorema di Pitagora, ricordando che ogni punto della superficie (ogni carica) dista r
dall’asse X. La quantità rdαdh è l’infinitesimo elemento di superficie (evidentemente bisogna
integrare su tutta la circonferenza e poi su tutta la lunghezza del cilindro).
Per integrare sostituisco a (x-h) la quantità r.senh(y) (senh è il seno iperbolico) si avrà:
x h r sinh y dh r cosh( y )dy
Da cui:
h 0
h H
2
xh
r cosh y
xh
xh
2r
dy 2r sett sinh
2r ln
1
r
r cosh y
r h 0
r
h H
2r ln
x
x2
2 1
r
r
xH
xH
1
r
r
2
Ricordando che il settsenh(y) può essere scritto come ln(y+(y2+1)0.5)
4
Il campo elettrico è E= -▼φ:
E
E
xH
r
d
2r ln
dx
x
r
xH
1
x H 2 r 2
2r
x H x H 2 r 2
2
xH
1
r
xˆ
x2
1
2
r
x
1
2
2
x
r
xˆ
2
2
x x r
Sull’asse X si ha il seguente andamento del Campo e del Potenziale:
Posto H = 3cm, r = 1cm, σ = 1/(2π) si ha:
x = H/2
Si noti la bellezza di questo grafico: la curva rossa descrive il potenziale, quella blu il campo
elettrico. L’area compresa tra le due rette è interna al cilindro.
Il potenziale è minimo a metà del cilindro.
Il campo elettrico è nullo a metà del cilindro; questa condizione era prevedibile a priori: il
contributo che ogni carica dà al campo nel punto centrale dell’asse di simmetria è annullato da
quello fornito dalla carica diametralmente opposta. Considerando che (data la geometria del
sistema) ogni carica possiede una carica diametralmente opposta, risulta che il campo elettrico al
centro è nullo.
E’ IMPORTANTE RICORDARE CHE QUESTE FUNZIONI DESCRIVONO IL CAMPO E IL
POTENZIALE NELL’IPOTESI DI UNA CARICA DI PROVA CONCORDE CON QUELLA
GENERATRICE (qσ > 0).
5
