Il teorema di Pitagora e le sue dimostrazioni

Giada Macrifugi Anna Rita Morena In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito
sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei
quadrati costruiti sui cateti.
a c ​𝑐↑2 =​𝑎↑2 +​𝑏↑2 b Leggenda sulla scoperta del Teorema di Pitagora: Si racconta che … Una leggenda racconta che Pitagora abbia formulato il suo teorema mentre stava aspe=ando un'udienza da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento, si pensa che ne abbia vista una ro=a perfe=amente su di una diagonale, così da formare due triangoli re=angoli uguali. Dal par6colare al generale Pitagora dove=e aspe=are alcune ore prima di essere ricevuto e così ebbe tempo di scoprire che il suo teorema era vero non soltanto nel caso parDcolare del triangolo re=angolo isoscele, ma anche in molD altri casi, come quello qui so=o. In praDca è valido per qualunque triangolo re=angolo. In realtà la storia del teorema è molto più complessa e le sue origini risalgono a un migliaio di anni prima che Pitagora si dedicasse allo studio dei triangoli re=angoli. La tavoletta babilonese (1800-1600 a.C.), nella ricostruzione di O. Neugebauer,
Il primo numero sulla diagonale è 1;24,51,10, dove il punto e virgola separa la parte intera dalla parte decimale ed è in notazione sessagesimale. Lo stesso numero nel sistema decimale è: 1+
24 51 10
+
+
= 1,414213...
60 60 2 603
che è un valore approssimato della radice di 2. Se il lato del quadrato è 1, la diagonale è la radice quadrata di 1^2 più 1^2, cioè di 2. Se il lato è 30, sarà naturalmente il prodo=o di 30 per la radice quadrata di 2. Le dimostrazioni del celebre teorema non sono infinite, ma nel corso dei secoli ne sono state proposte diverse cenDnaia. La dimostrazione del teorema di Pitagora più immediata e più diffusa nei libri scolasDci consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateD prima con qua=ro copie del triangolo re=angolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con qua=ro copie del triangolo re=angolo più i quadraD costruiD sui cateD, come nella figura a pagina seguente Si prendano due quadraD di lato a+b e si dividano come in figura. Si osserva che il quadrato sulla sinistra risulta diviso in due quadraD di area ​𝑎↑2 e ​𝑏↑2 e in due re=angoli di dimensioni a e b (tagliaD lungo la diagonale). Il quadrato sulla destra, invece, presenta un quadrato al centro di area ​𝑐↑2 e qua=ro triangoli re=angoli equivalenD. Se immaginiamo di togliere dalla prima e dalla seconda figura tuW i triangoli re=angoli, che sono tra loro equivalenD, o=eniamo figure tra loro equivalenD cioè: (I quadraD azzurri sono rispeWvamente quelli costruiD sui cateD e sull’ ipotenusa di un triangolo re=angolo giallo.) ​𝑎↑2 +​𝑏↑2 =​𝑐↑2 DIMOSTRAZIONE DI POMI CON I QUADRATI CONCENTRICI di laD rispeWvamente pari all’ipotenusa c e alla somma dei due cateD del triangolo re=angolo a+b Come si vede dalla figura, tolD al quadrato più grande (di lato a+b) i qua=ro triangoli re=angoli (in giallo, di area ​𝑎∗𝑏/2 ), si oWene il quadrato più piccolo (di lato c), rappresentato in bianco. Quindi ​(𝑎+𝑏)↑2 −4∗​𝑎∗𝑏/2 =​𝑐↑2 da cui ​𝑎↑2 +​𝑏↑2 +2𝑎𝑏−2𝑎𝑏=​𝑐↑2 ​𝑎↑2 +​𝑏↑2 =​𝑐↑2 Dimostrazione di Garfield (1876) ( x + y )( x + y ) 2 xy z 2
=
+
2
2
2
( x + y )( x + y ) = 2 xy + z 2
x 2 + y 2 + 2 xy = 2 xy + z 2
x2 + y2 = z 2
Questa dimostrazione si basa sul calcolo dell’area del trapezio. In questo caso non dobbiamo costruire nessun quadrato. Consideriamo una copia del triangolo re=angolo in quesDone, ruotata di 90 gradi in modo da allineare i due cateD differenD. Si uniscono poi gli estremi delle ipotenuse, e si oWene un trapezio. Uguagliando l'area del trapezio alla somma di quelle dei tre triangoli reW, si dimostra il teorema. Dimostrazione con il 1° Teorema di Euclide In ogni triangolo re=angolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al re=angolo che ha per laD l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa. Q1 = R1
Q2 = R2
Q1 + Q 2 = R1 + R 2
DIMOSTRAZIONE (triangoli simili) B A D Definizione: Due triangoli si dicono simili se hanno ordinatamente gli angoli uguali e i laD in proporzione. II° criterio di similitudine Se due triangoli hanno due laD in proporzione e l’angolo compreso uguale sono simili. C AD è l’altezza relaDva all’ipotenusa Osserviamo che i triangoli ABC, ABD e ADC sono simili dunque: ​𝐴𝐵/𝐵𝐶 =​𝐵𝐷/𝐴𝐵 , ​𝐴𝐶/𝐵𝐶 =​𝐷𝐶/𝐴𝐶 allora 𝐴𝐵∗𝐴𝐵=𝐵𝐶∗𝐵𝐷 𝐴𝐶∗𝐴𝐶=𝐵𝐶∗𝐷𝐶 Sommando le ulDme due equazioni o=enute si ha: 𝐴𝐵∗𝐴𝐵+𝐴𝐶∗𝐴𝐶=𝐵𝐶∗𝐵𝐷+𝐵𝐶∗𝐷𝐶 ​𝐴𝐵↑2 +​𝐴𝐶↑2 =𝐵𝐶(𝐵𝐷+𝐷𝐶) ma 𝐵𝐷+𝐷𝐶=𝐵𝐶 allora ​𝐴𝐵↑2 +​𝐴𝐶↑2 =𝐵𝐶∗𝐵𝐶 ​𝐴𝐵↑2 +​𝐴𝐶↑2 =​𝐵𝐶↑2 C DIMOSTRAZIONE: B a c b D E A Consideriamo il triangolo re=angolo ABC re=o in ​𝐶 . Tracciamo la circonferenza di centro A e raggio ​𝐴𝐶 =𝑏; essa individua i punD D e E (rispeWvamente su ​𝐴𝐵 e sul suo prolungamento). Il triangolo AEC è isoscele dunque 𝐴​𝐶 𝐸=𝐶​𝐸 𝐴 𝐷​𝐶 𝐸 è re=o (1) ogni angolo alla circonferenza è metà dell’angolo al centro (2) tuW gli angoli alla circonferenza che insistono sul diametro sono reW Allora 𝐵​𝐶 𝐷=𝐴​𝐶 𝐸 (in rosso) e 𝐴​𝐶 𝐸=𝐶​𝐸 𝐴 (per quanto già de=o). I triangoli DBC e EBC hanno l’angolo 𝐷​𝐵 𝐶 in comune e 𝐵​𝐶 𝐷=𝐵​𝐸 𝐶 C C dunque sono triangoli simili ​𝐵𝐶/𝐵𝐸 =​𝐵𝐷/𝐵𝐶 ​𝑎/𝑐+𝑏 =​𝑐−𝑏/𝑎 D B ​𝑎↑2 =(𝑐+𝑏)(𝑐−𝑏)=​𝑐↑2 −​𝑏↑2 ​𝑎↑2 +​𝑏↑2 ​=𝑐↑B 2 E GENERALIZZAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA Solitamente, una generalizzazione è una relazione che si applica a tuW i triangoli, e che risulta essere equivalente al teorema di Pitagora nei triangoli re=angoli. TEOREMA DEL COSENO
TEOREMA DEI SENI
TEOREMA DEL COSENO o di Carnot In ogni triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadraD degli altri due laD meno il doppio prodo=o degli stessi laD per il coseno dell' angolo fra essi compreso In formule: a2 = b2 + c2 -­‐ 2bc cos α b2 = a2 + c2 -­‐ 2ac cos β c2 = a2 + b2 -­‐ 2ab cos γ γ a b α β c B β DIMOSTRAZIONE 1: Si tracci l’altezza BH; essa individua due triangoli re=angoli ai quali è possibile applicare il Teorema di Pitagora. Da cui si ha: A c α a γ b ​𝐵𝐶 ↑2 =​𝐶𝐻 ↑2 +​𝐵𝐻 ↑2 ​𝐵𝐻 ↑2 =​𝐴𝐵 ↑2 −​𝐴𝐻 ↑2 ​𝐶𝐻 ↑ =​𝐴𝐶 −​𝐴𝐻 ​𝐵𝐶 ↑2 =​(​𝐴𝐶 −​𝐴𝐻 )↑2 +(​𝐴𝐵 ↑2 −​𝐴𝐻 ↑2 ) ​𝐵𝐶 ↑2 =​𝐴𝐶 ↑2 +​𝐴𝐻 ↑2 −2​𝐴𝐶 ​𝐴𝐻 +​𝐴𝐵 ↑2 −​𝐴𝐻 ↑2 ​𝐵𝐶 ↑2 =​𝐴𝐵 ↑2 +​𝐴𝐶 ↑2 −2​𝐴𝐶 ​𝐴𝐻 poiché ​𝐴𝐻 = c cosα si ha: a2 = b2 + c2 -­‐ 2bc cos α Le altre relazioni si dimostrano analogamente. H C B β DIMOSTRAZIONE 2: c A a α γ b Una seconda dimostrazione del teorema è basata sul calcolo ve=oriale. Dato il triangolo ABC (in figura), consideriamo la seguente relazione ve=oriale: ​𝐵𝐶 =​𝐵𝐴 +​𝐴𝐶 ed eleviamo al quadrato entrambi i membri. Si oWene: ​𝐵𝐶 ↑2 =​𝐵𝐴 ↑2 +​𝐴𝐶 ↑2 +2​𝐵𝐴 ∙​𝐴𝐶 da cui (per le proprietà del prodo=o scalare): a2 = b2 + c2 -­‐ 2bc cos α C TEOREMA DEI SENI ​𝑎/𝑠𝑒𝑛α =​𝑏/𝑠𝑒𝑛β =​𝑐/
𝑠𝑒𝑛γ DIMOSTRAZIONE 1 : c Consideriamo il triangolo ABC (nell’immagine so=ostante) e tracciamo le sue altezze ​𝐴𝑀 e ​𝐵𝑁 . Prendendo in esame dapprima il triangolo re=angolo AMC e poi il triangolo re=angolo AMB, si oWene: ​𝐴𝑀 =𝑎𝑠𝑒𝑛β e ​𝐴𝑀 =𝑏𝑠𝑒𝑛α; perciò: 𝑎𝑠𝑒𝑛β= 𝑏𝑠𝑒𝑛α da cui segue:​𝑎/𝑠𝑒𝑛α =​𝑏/𝑠𝑒𝑛β . Analogamente, prendendo in esame i triangoli re=angoli BNA e BNC, si oWene: ​𝐵𝑁 =𝑐𝑠𝑒𝑛β, ​𝐵𝑁 =𝑏𝑠𝑒𝑛γ; da cui segue: ​
A 𝑏/𝑠𝑒𝑛β =​𝑐/𝑠𝑒𝑛γ . In definiDva, come si voleva dimostrare: N γ ​𝑎/𝑠𝑒𝑛α =​𝑏/𝑠𝑒𝑛β =​𝑐/𝑠𝑒𝑛γ b a Osserviamo che questa dimostrazione condo=a avendo implicitamente supposto che il triangolo acutangolo, sostanzialmente non ABC fosse cambia se esso è o=usangolo. C β c α M B C γ DIMOSTRAZIONE 2: Una seconda dimostrazione del teorema è b basata sul calcolo ve=oriale. Dato il triangolo α ABC (in figura), consideriamo la seguente A H relazione ve=oriale: ​𝐴𝐵 =​𝐴𝐶 +​𝐶𝐵 e K a c β B molDplichiamo scalarmente entrambi i membri per il ve=ore ​𝐶𝐻 , dove H è il piede dell’altezza relaDva al lato AB: ​𝐴𝐵 ∙​𝐶𝐻 =(​𝐴𝐶 +​𝐶𝐵) ∙​𝐶𝐻 tenendo ora presente che i ve=ori ​𝐴𝐵 e ​𝐶𝐻 sono tra loro ortogonali e perciò il loro prodo=o scalare è nullo, allora (​𝐴𝐶 +​𝐶𝐵) ∙​𝐶𝐻 =0. Osserviamo che l’angolo tra i ve=ori ​𝐴𝐶 e ​
𝐶𝐻 è il supplementare di 𝐴​𝐶 𝐻 che misura π −(​𝜋/2 −α)e che, analogamente, l’angolo tra i ve=ori ​𝐶𝐵 e ​𝐶𝐻 (H​𝐶 B) è ​𝜋/2 − β allora: ​𝐴𝐶 ​𝐶𝐻 ​cos⁠(​𝜋/2 + α)+ ​𝐶𝐵 ​𝐶𝐻 ​cos⁠(​𝜋/2 − β) =0 -­‐ 𝑏​𝐶𝐻 ​sin⁠α +𝑎​𝐶𝐻 ​sin⁠β =0
𝑎​𝑠𝑖𝑛⁠𝛽 =𝑏​𝑠𝑖𝑛⁠𝛼 ​𝑎/𝑠𝑒𝑛𝛼 =​𝑏/𝑠𝑒𝑛𝛽 Le dimostrazioni grafiche che vi proponiamo di seguito sono un felice connubio tra geometria e arte; si basano tu=e sulla scomposizione dei quadraD costruiD sui cateD del triangolo re=angolo e la ricomposizione dei pezzi sul quadrato costruito sull’ipotenusa. I «puzzle pitagorici» che seguiranno hanno il vantaggio di avere una rappresentazione visiva semplice e dire=a che richiede solamente lo spostamento di forme geometriche. Consideriamo qua=ro triangoli re=angoli idenDci disposD in modo da formare un quadrato con il lato uguale all’ipotenusa. Se ridisponiamo le stesse figure nel modo indicato nella figura a destra, possiamo osservare che o=eniamo due quadraD che hanno per laD uno, il cateto minore e l’altro quello maggiore. DIMOSTRAZIONE DI PERIGAL (1873) Si divide il quadrato costruito sul cateto maggiore in qua=ro parD, con due segmenD passanD per il centro del quadrato stesso, uno dei quali parallelo e l’altro perpendicolare alla ipotenusa, e si ricompongono poi i qua=ro pezzi, insieme al quadrato costruito sull’altro cateto, nel quadrato dell’ipotenusa. DIMOSTRAZIONE DI LIU HUI (Cina III sec a.C.) Per suddividere il quadrato costruito sul cateto maggiore: !  si traccia il segmento simmetrico dell'ipotenusa rispe=o al cateto maggiore !  si traccia il quadrato piccolo !  si traccia la diagonale del quadrato grande !  si traccia quindi l'ulDmo segmento Il quadrato costruito sul cateto minore del triangolo re=angolo, è invece tagliato dalla diagonale. DIMOSTRAZIONE DI BOETTCHER (1898-­‐1967) Per scomporre i quadraD costruiD sui cateD: tracciare una diagonale a ciascun quadrato. Dagli altri due verDci di ciascun quadrato tracciare la perpendicolare all'ipotenusa fino ad incontrare la diagonale del quadrato precedentemente rappresentata. Ciascuno dei quadraD costruiD sui cateD risulterà così scomposto in qua=ro triangoli. 1 2 3 4 5 6 8 7 Gli o=o pezzi così o=enuD, possono essere assemblaD per coprire il quadrato costruito sull'ipotenusa. DIMOSTRAZIONE DI THABIT IBN QURRA Questa dimostrazione si basa unicamente sul ribaltamento del quadrato costruito sull'ipotenusa. Esso scompone i quadraD costruiD sui cateD in cinque parD che, tagliate, possono essere ricomposte per coprire esa=amente il quadrato costruito sull’ipotenusa. 2 3 4 1 5 4 5 3 1 2 DIMOSTRAZIONE SENZA NOME (forse di derivazione cinese) La scomposizione del quadrato costruito sul cateto minore si oWene prolungando il lato del quadrato costruito sull'ipotenusa. La scomposizione del quadrato costruito sul cateto maggiore inizia dalla linea parallela all'ipotenusa che parte dal verDce del quadrato. Essa individua sia la fascia, orizzontale sul disegno, che il lato del quadraDno in fondo a destra. L'ulDmo triangolo, il più piccolo si oWene tracciando la perpendicolare all'ipotenusa partendo dal verDce del quadrato fino all'incontro con la fascia orizzontale descri=a sopra. Alcuni riferimenD bibliografici e sitografici http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/
Elisha Scott Loomis,
The Pythagorean proposition (ristampa, 1968)
A. Cerasoli, Mr. Quadrato, Sperling & Kupfer 2006
B.Vitrac, Sur Pythagore et le “théorème de Pythagore”, in
Euclide, Les Éléments, PUF, vol.1 1990, pp.310-321
Pitagora e il suo teorema, a cura di E.Giusti, Firenze,
Polistampa 2001
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/
http://www.palais-decouverte.fr/index.php?id=858%20