Matematica e Arte: Simmetria e rottura di simmetria
Nicoletta Sala
Accademia di Architettura
Università della Svizzera Italiana
Largo Bernasconi
CH – 6850 Mendrisio (Svizzera)
E-mail: nsala @arch.unisi.ch
Abstract
La simmetria è stata spesso utilizzata dagli artisti nella realizzazione delle loro opere. La moderna arte
ha però scoperto il fascino della “rottura di simmetria”. Lo scopo di questo lavoro è di presentare
alcuni esempi artistici che coinvolgono questi due importanti concetti. Il lavoro è organizzato nel
seguente modo: nel paragrafo 1 vi è un’introduzione che descrive i diversi tipi di simmetria (bilaterale,
di rotazione e di traslazione) e i gruppi di simmetria. Il paragrafo 2 descrive alcuni esempi di
simmetria nell’arte, nel paragrafo 3 vi sono esempi artistici di “rottura di simmetria”. Le conclusioni
sono nel paragrafo 4; mentre il paragrafo 5 è dedicato alla bibliografia.
1. Introduzione
Il concetto di simmetria, che unisce estetica e pratica, scienza ed economia, filosofia e matematica, ha
origini che si perdono nel tempo [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Questo concetto risale infatti ai tempi dell’Antica
Grecia, in quel periodo però aveva un significato diverso da quello attuale, era infatti legato ai concetti
di “proporzione” e di “armonia”. Di questa nozione “antica” di simmetria si appropriò il mondo latino
e rimase dominante per tutto il Rinascimento. All’inizio dell’età moderna, alla nozione “antica” di
simmetria si sovrappose una visione “moderna”, fondata non più su rapporti di proporzione, ma su un
rapporto di uguaglianza tra le parti di una figura. È questa “uguaglianza tra le parti che permette di
distinguere la simmetria “antica” da quella “moderna”. Questa caratteristica rese possibile lo sviluppo
in senso matematico della nozione di simmetria e permise di porre le basi per lo sviluppo della
nozione scientifica di simmetria.
La simmetria ha attualmente importanza nella descrizione dei fenomeni naturali. In questo ambito la
simmetria diviene [2, 5]:
• classificatoria, permette di classificare gli oggetti in relazione alle proprietà di simmetria;
• definitoria, consente di definire gli oggetti quando le proprietà di simmetria sono vincoli essenziali
per gli oggetti stessi;
• normativa, permette di usare la simmetria come “vincolo” per una determinata teoria;
• esplicativa, consente di spiegare molti fenomeni naturali come conseguenze più o meno dirette
della presenza di simmetria;
• unificatrice, permette di unificare;
• euristica, consente di prevedere, in base a determinate proprietà di simmetria, l’occorrenza e
l’evoluzione di certi fenomeni.
La nozione di simmetria in senso matematico è strettamente connessa alla nozione “moderna” di
simmetria e quindi fa riferimento a “uguaglianza delle parti”. In questo modo, una figura si può
definire simmetrica se non cambia quando le parti uguali che la compongono sono trasformate le une
nelle altre. È importante notare che il tipo di simmetria che caratterizza una figura dipende dal tipo di
operazione (o trasformazione) che lascia invariata la figura stessa. Una figura può avere:
• simmetria per riflessione se è invariante rispetto a operazioni di riflessione,
• simmetria di rotazione se è invariante rispetto a operazioni di rotazione,
• simmetria di traslazione se è invariante rispetto a operazioni di traslazione.
La caratterizzazione della simmetria in termini moderni si basa non più sui numeri, ma su uno
strumento matematico introdotto nei primi decenni dell’Ottocento dal geniale e precoce matematico
francese Evariste Galois (1811-1832). Il problema risolto da Galois riguardava la classificazione delle
equazioni algebriche risolubili per radicali. Il concetto di gruppo, introdotto da Galois allo scopo,
consente per così dire di “misurare” il grado di simmetria delle soluzioni di un’equazione algebrica.
Si definisce gruppo un insieme G, ad esempio di operazioni di simmetria, con un’operazione di
composizione (o prodotto, indicata con o) tale che per ogni elemento g1 e g2 appartenenti a G valgono
le seguenti proprietà:
• g1 o g2 (si legge g1 composto con g2) appartiene ancora G (proprietà di chiusura).
• Per tutti i g1, g2 e g3 che appartengono a G vale: g1 o (g2 o g3) = (g1 og2) o g3 (proprietà
associativa). Esiste un elemento e (identità o elemento neutro) tale che per ogni elemento g1 che
appartiene a G si ha: g1 o e = e o g1 = g1.
• Per ogni elemento g1 che appartiene a G esiste un unico inverso, indicato g1-1 che appartiene a G
tale che: g1 o g1-1 = g1-1 o g1 = e.
2. La simmetria nell’arte
La produzione artistica è da sempre influenzata dalla simmetria. L’arte dell’antica Roma ha utilizzato
la simmetria e le proporzioni come strumenti per realizzare le sue opere, ad esempio le figure e i visi
riprodotti nei mosaici bizantini presentano un’evidente simmetria assiale.
Nell’arte medioevale non vi era ancora una conoscenza della prospettiva che consentiva di riprodurre
fedelmente ciò che l’occhio vede. Per questo motivo le immagini erano frontali o al più “di tre quarti”.
La loro costruzione seguiva tuttavia schemi e regolarità di tipo matematico.
L’arte ha applicato anche i gruppi di invarianza delle figure geometriche nei rosoni, che non
contengono traslazioni, nei fregi che contengono traslazioni in una sola direzione e nei mosaici che
contengono traslazioni in direzioni diverse. L’insieme dei rosoni si divide in due sottoinsiemi: i
gruppi ciclici (gruppi che contengono rotazioni di angoli sottomultipli dell’angolo giro) e i gruppi
diedrali (gruppi che contengono non solo rotazioni, ma anche riflessioni). La realizzazione dei rosoni,
due esempi in figura 1, ha contribuito allo sviluppo dell’arte del vetro. Essa è a sua collegata
principalmente proprio alla costruzione delle chiese ed ebbe il suo massimo splendore tra il XII ed il
XV secolo, quando in tutta Europa iniziarono a sorgere le cattedrali che del vetro fecero ampio uso,
soprattutto nella realizzazione di splendide vetrate [5].
Figura 1 - Esempi di rosoni
I fregi e i mosaici sono due interessanti esempi di gruppi di invarianza applicati all’arte. Si definisce
fregio un gruppo infinito di motivi ripetuti che contiene traslazioni in un’unica direzione. Esistono
solo sette tipi di fregi, il cui schema è illustrato in figura 2.
Si definisce mosaico (o gruppo cristallografico del piano) un gruppo infinito di motivi ripetuti che
contiene due traslazioni indipendenti. All’Alhambra, il grande complesso architettonico costruito tra il
1230 e il 1354 a Granada al culmine della cultura moresca in Spagna, sono presenti tutti i diciassette
possibili tipi di mosaico nella complessa decorazione geometrica dei soffitti e delle pareti. Il nome
Alhambra, deriva dall’arabo e significa “la rossa” in quanto è costruita su una collina di argilla che al
tramonto dà alle mura della fortezza un aspetto infuocato [5]. La figura 3 riassume i diciassette
possibili mosaici, mentre le figura 4 e 5 illustrano rispettivamente alcuni esempi di mosaici presenti
all’Alhambra e tre mosaici che appartengono alla stessa categoria ma provengono da culture diverse
con la loro classificazione [2, 6].
In tutte le civiltà i sette gruppi dei fregi ed i diciassette dei mosaici sono stati usati da artisti ben prima
che si arrivasse alla classificazione matematica di questi gruppi, anche se ciò non significa che
esistesse la consapevolezza del fatto che non vi fossero altre possibilità.
Figura 2 - I sette tipi di fregi
a)
b)
c)
Figura 3 - I diciassette possibili tipi di mosaico ( o gruppi cristallografici del piano)
Ogni gruppo cristallografico in dimensione 2 (o gruppo cristallografico del piano, in inglese: wall
paper), viene indicato con un nome che ha una simbologia internazionale che sfrutta le lettere p, c, m,
g e i numeri 1, 2, 3, 4, 6. La lettera p sta per “primitive” e si riferisce ad un reticolo fatto di celle
primitive, ossia ad un reticolo formato da copie del parallelogramma di base che non contengono al
loro interno altri punti del reticolo.
Solo nel caso in cui il reticolo è rettangolare centrale si parla di celle non-primitive e si usa c per
indicare un “reticolo centrato”. Il simbolo m sta per “mirror” (in italiano specchio) e indica una
riflessione, g invece sta per “glide” e indica una glissoriflessione (o glissosimmeria). Infine il numero
1 viene utilizzato per la trasformazione identica e i numeri 2, 3, 4, 6 indicano rotazioni di ordini
corrispondenti.
La tabella 1 illustra la classificazione dei diciassette gruppi cristallografici del piano.
Gruppo Riflessio Glissorifless Rotazioni di Rotazioni
ni
ioni
ordine 2
ordine 3
p1
0
0
0
0
pg
0
2
0
0
pm
2
0
0
0
cm
1
1
0
0
p2
0
0
4
0
pmm
4
0
4
0
pmg
2
2
4
0
pgg
0
4
4
0
cmm
2
2
3
0
p3
0
0
0
3
p31m
3
3
0
2
p31m1
3
3
0
3
p4
0
0
2
0
p4m
6
2
2
0
p4g
2
6
2
0
p6
0
0
3
2
p6m
9
3
3
2
di Rotazioni
ordine 4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
0
0
di Rotazioni
ordine 6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
Tab. 1 - Classificazione dei mosaici (gruppi cristallografici di dimensione 2
p4
p4g
p4m
Figura 4 - Esempi di mosaici presenti all’Alhambra
a)
b)
c)
Figura 5 – Esempi di mosaici di gruppo p4 provenienti dall’Egitto a), dalla cultura bizantina in Italia b)
e in Francia c)
di
La proprietà della simmetria è stata usata nell’arte figurativa da molti artisti, uno splendido esempio
di simmetria di riflessione si ha nel Narciso (1597-1599) di Caravaggio (1573- 1610), in figura 6.
Figura 6 - Narciso (1597-1599) di Cavaraggio presenta una simmetria per riflessione
Un artista che invece ha utilizzato i gruppi di simmetria per realizzare le sue opere è stato Maurits
Cornelis Escher (1898-1972), famoso anche per i suoi studi strettamente connessi alla geometria di
Poincaré. Egli fu affascinato dai mosaici moreschi dell’Alhambra durante una sua visita, effettuata
nell’estate del 1936 e rimase colpito soprattutto dalla ripetizione regolare di figure geometriche e dalla
possibilità di continuarle all’infinito [2]. La ricchezza delle decorazioni, la dignità e la semplice
bellezza dell’intero edificio lo commossero. Nei giorni seguenti s’impegnò a lungo per schizzare
questi motivi e più tardi egli stesso dichiarerà che essi furono la più ricca fonte di ispirazione che egli
avesse mai incontrato. Lavorò basandosi quasi esclusivamente sulla tassellazione del piano e sul suo
riempimento mediante figure isometriche. Escher cercò di aumentare il numero delle figure
rappresentate, mediante il progressivo rimpicciolimento delle figure stesse. In seguito egli sostituì i
motivi geometrici con motivi di fantasia (angeli, diavoli, fantasmi, rettili, animali immaginari). Come
scrisse più tardi: “Per quanto mi riguarda, il limitarmi a figure geometriche mi risulta inammissibile,
dato che la possibilità di riconoscere le figure è il motivo principale del mio permanente interesse per
questa materia”.
In molte sue opere il motivo di base si ripete mediante traslazioni, simmetrie, rotazioni,
glissometrie e la loro composizione, oppure mediante similitudini. Chiari esempi di divisione del
piano sono presenti nel ciclo delle sue opere intitolato Metamorfosi, mentre nella litografia Rettili
(1943) è presente un accenno di tassellazione dalla quale fuoriescono dei piccoli rettili.
Nel 1954 l’artista incontrò il matematico Donald Coxeter (1907-2003) il quale gli inviò il suo libro
intitolato A Symposium on Symmetry che conteneva una figura basata su un modello elaborato da
Jules Henri Poincaré (1854-1912) del piano iperbolico.
Escher trovò nel modello Poincaré uno strumento per potere realizzare ciò che da tanto tempo
desiderava: ricoprire la superficie interna alla circonferenza che delimita tale piano con figure
piuttosto grandi poste al centro, che diventano sempre più piccole a mano a mano che ci si avvicina al
bordo del cerchio. Fece diversi tentativi in questo senso, il primo fu Limite del cerchio I a cui
seguirono le xilografie Limite del cerchio II, Limite del cerchio III e Limite del cerchio IV. Le figure
7a e 7b illustrano rispettivamente uno studio di Escher inerente i mosaici dell’Alahmbra (1936) e
Limite del cerchio III (1959) [6].
a)
b)
Figura 7 - Schizzo di Escher (1936) inerente un mosaico dell’Alhambra a) in cui appare una divisione del
piano e Limite del cerchio III (1959) b) che è stato creato utilizzando la geometria di Poicaré
3. La rottura della simmetria nell’arte
Molti artisti contemporanei hanno subito il fascino della “simmetria infranta”, come strumento che
permette di introdurre nuovi linguaggi nell’arte [7, 8, 9, 10]. Il mondo artistico del primo Novecento
ebbe un movimento di breve durata, che si è basato su forme cubiche e poliedriche, che rivoluzionò il
linguaggio figurativo: il Cubismo (1907-1914). Il cubismo consisteva in una scomposizione delle
forme in poliedri multipli e in una riduzione dei colori a una gamma che comprende i grigi, i blu, i
beige e i marroni. Le forme sono ridotte alla loro struttura geometrica (poliedri, coni e cilindri),
chiaroscuro ed effetti atmosferici sono eliminati, mentre permangono gli effetti di profondità anche se
non obbediscono più alle regole prospettiche; ocra e grigi, sapientemente assortiti, tendono quasi alla
monocromia: il colore non coincide più con la forma‚ né rispetta il colore reale degli oggetti; lo spazio
perde la propria omogeneità. II risultato che ne deriva è un’immagine ermetica che difficilmente lo
spettatore può ricomporre mentalmente. Il cubismo non fu cercato, ma fu semplicemente trovato da
Pablo Picasso (1881-1973), grazie al suo particolare atteggiamento di non darsi alcun limite, ma di
sperimentare tutto ciò che era nelle sue possibilità. Il cubismo viene solitamente diviso in due fasi
principali: una prima definita “cubismo analitico” ed una seconda definita “cubismo sintetico”. Il
cubismo analitico è caratterizzato da un procedimento di numerose scomposizioni e ricomposizioni,
che danno ai quadri di questo periodo la loro inconfondibile trama di angoli variamente incrociati. Il
cubismo sintetico, invece, si caratterizza per una rappresentazione più diretta ed immediata della
realtà che vuole evocare, annullando del tutto il rapporto tra figurazione e spazio. In questa fase,
compaiono nei quadri cubisti dei caratteri e delle scritte, e infine anche i “papier collés”: ossia
frammenti, incollati sulla tela, di giornali, carta da parati, carte da gioco e frammenti di legno. Il
cubismo sintetico, più di ogni altro movimento pittorico, rivoluzionò il concetto stesso di quadro
portandolo ad essere esso stesso “realtà” e non “rappresentazione della realtà” [2]. Autoritratto cubista
(1923), in figura 8a, di Salvador Dalì (1904-1989) è un interessante esempio di “non” simmetria.
Arnaldo Pomodoro è uno scultore che “rompe la simmetria”. Le sue opere più note sono
probabilmente le Sfere, che sintetizzano le caratteristiche formali e contenutistiche della sua poetica,
grandi forme in bronzo dorato, magiche, perfette, di levigata bellezza, che egli scompone e lacera con
sezioni frastagliate e tormentate quasi a scoprirne l’interno. La figura 8b illustra Sfera con sfera
(1991), realizzata in bronzo del diametro di 330 centimetri. La scultura evidenzia la sofferta differenza
tra la perfetta levigatezza della forma geometrica e l’oscura complessità del suo interno, simbolo e
metafora del drammatico confronto tra interno ed esterno, tra spirito e materia, tra apparenza e realtà.
a)
b)
Figura 8 - Autoritratto cubista (1923) di Dalì a) e Sfera con sfera (1991) di Pomorodoro b) sono due esempi
di rottura di simmetria
Jackson Pollock (1912-1956) è il rappresentante più emblematico dell’Action Painting, la corrente
che rappresenta il contributo americano all’informale. Le sue opere non possono essere interpretate
utilizzando una chiave di lettura che si basa sulla simmetria ma si deve utilizzare una chiave di
interpretazione che fa riferimento alla complessità e alla geometria frattale [10, 11, 12]. La figura 9
mostra il suo dipinto intitolato Blue Poles: Number 11 (1952), un chiaro esempio di “non simmetria” e
di complessità.
Figura 9 - Blue Poles: Number 11 (1952) di Pollock
4. Conclusioni
Il linguaggio dell’arte ha spesso utilizzato formalismi matematici, come ad esempio la simmetria, la
sezione aurea, le curve, le superfici e i poliedri [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Ciò evidenzia lo stretto
legame esistente tra matematica e arte. In questo breve lavoro abbiamo concentrato la nostra
attenzione sulla simmetria e la “rottura” di simmetria.
La storia e l’analisi delle caratteristiche essenziali del concetto di simmetria hanno permesso di
comprenderne le sue caratteristiche e di seguirne gli sviluppi. La presenza di simmetria e di equilibrio
proporzionale nelle più elevate espressioni creative dell’uomo testimonia, fin dall’antichità, lo stretto
rapporto che tali concetti realizzano tra scienza, estetica e arte. L’esigenza di individuare nell’arte un
linguaggio decifrabile di forme ha indotto da sempre gli artisti ad utilizzare i canoni geometrici, a
volte anche intuitivamente, anticipando in alcune conclusioni i matematici stessi.
L’arte contemporanea ha invece trovato nella “rottura” della simmetria e nella geometria frattale dei
potenti strumenti per introdurre nuovi canoni estetici non più basati sull’armonia delle parti [10, 11,
12, 21, 22, 23].
5. Bibliografia
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[2] Sala N. e Cappellato G. (2003), Viaggio matematico nell’arte e nell’architettura, Franco Angeli,
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[15] Snijders C.J. (1993), La Sezione Aurea. Arte, natura, matematica, architettura e musica, Franco
Muzzio Editore, Como.
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[18] Manna F. (1988), Le chiavi magiche dell’universo, Ed. Liguori, Napoli.
[19] Sala N. (1999), “Le spirali in arte, architettura e in natura”, Didattica delle Scienze e Informatica,
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[21] Taylor R.P. (2002), “Order in Pollock’s chaos”, Scientific American, 287, pp. 84-89.
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[23] Sala N. (2002), “I frattali in natura, nell'arte e nell'architettura/2”,Didattica delle Scienze e
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