ANALISI DI UNA ESPERIENZA DI LABORATORIO DI RECUPERO DI MATEMATICA
SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO DI ALBANELLA E MATINELLA
Nei mesi di Novembre e Dicembre del 2012 ho attuato alcune lezioni di recupero delle
abilità logiche matematiche e scientifiche finalizzate non tanto allo svolgimento
meccanizzato degli argomenti matematici ma allo sviluppo delle capacità deduttive e
induttive in studenti poco allenati all’uso del ragionamento e in età insospettabile 1. .
Le lezioni, due ore pomeridiane settimanali per ogni plesso, sono state molto diverse
dalla normale concezione del corso di recupero, sia per uso dei materiali che per
metodologie, alcune innovative ma tutte improntate sullo sviluppo della creatività dello
studente.
Questo è un breve racconto della mia esperienza.
ANALISI DELLA SITUAZIONE INIZIALE
Albanella- Il primo giorno di corso, dei venti alunni convocati per le valutazioni
negative in matematica e scienze, diciotto hanno confermato la partecipazione ma si
sono presentati
a lezione solo undici. Cinque
studenti erano indecisi, ovvero
non
avevano ancora presentato volontà di partecipazione né dissenso ed hanno in seguito
confermato la non partecipazione.
Nei giorni seguenti si è pensato di inserire altri studenti su richieste volontarie.
Naturalmente, le adesioni volontarie sono giunte dagli studenti della classe IC, nella
quale insegno, sono studenti che non hanno alcun bisogno di recupero in senso lato,
anzi evidenziano buone capacità di organizzazione del lavoro e studio personale, ma
sono spinti verso un miglioramento continuo e dunque di stimolo per gli studenti in
difficoltà. La presenza di questi studenti è utile per evitare l’errore tipico della
costituzione di gruppi di livello omogeneo che spesso porta a risultati fuorvianti.
Il comportamento è stato inizialmente civile e improntato verso il rispetto reciproco così
come la partecipazione iniziale è stata molto attiva ed alcuni alunni si sono distinti come
decisamente operosi e volenterosi. La situazione si è modificata in conseguenza del tipo
di attività proposta.
Matinella – Il primo giorno di corso, dei diciassette invitati, si sono presentate tredici
persone. Tre erano assenti mentre solo una ha rifiutato di fare il corso. Il corso sembra
di approfondimento alle mie lezioni mattutine in quanto solamente cinque studenti non
1
La capacità deduttiva è da alcuni considerata al di fuori della portata degli studenti medi.
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fanno parte delle mie classi. Il comportamento è quindi stato decisamente migliore
rispetto ad Albanella. Gli argomenti sono gli stessi perché l’intento è anche quello di
confrontare le attività didattiche delle due sedi cercandone analogie e differenze. Fermo
restando quanto già indicato, i discenti si sono mostrati più tenaci rispetto agli studenti
del corso di Albanella.
CALENDARIO DELLE LEZIONI
Prima lezione – Albanella, venerdì sedici Novembre – Matinella, martedì
venti Novembre
Albanella - Il primo giorno è stato somministrato un test motivazionale avente un
duplice scopo: la comprensione del modo con cui i ragazzi affrontano l’impegno
scolastico e l’atteggiamento verso una matematica diversa dal solito. E’ subito stato
possibile rilevare la difficoltà di alcuni studenti nel compilare la scheda anagrafica. In
alcuni casi mi è stato chiesto il significato della parola residenza, piuttosto che
suggerimenti di altro tipo. Considerando che la compilazione di una scheda anagrafica è
una richiesta che riguarda la vita quotidiana e che tutti prima o poi si sono trovati ad
affrontare, la difficoltà riscontrata è un pessimo segnale. Oltretutto, una scheda simile è
proposta nelle rilevazioni Invalsi (la fatidica scheda alunno) e mi sono chiesta quanti
errori commettano gli alunni nel compilarla.
In aggiunta a quello scritto è stato somministrato un test orale “La stella nascosta”
ideato da Samuel Loyd (1841-1911), uno dei più grandi creatori di enigmi matematici di
tutti i tempi. Nella famosa immagine da lui ideata, qui riprodotta, è possibile individuare
una stella a cinque punte.
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L’esercizio è utile per la ricerca della motivazione e per la concentrazione.
In altre
parole, non ha importanza il tempo e la strada che si impiega per comprendere dove si
trovi la stella, ciò che conta è trovarla. La cosa incredibile del test è che una volta
rintracciata la stella non si dimenticherà mai più dove essa si trovi.
Due sono stati i ragazzi che si sono dimostrati più veloci ai quali si sono via via aggiunti
gli altri. Tali ragazzi, appartenenti alla classe terza ed entusiasti per aver fatto qualcosa
di speciale, si sono poi dimostrati i più tenaci nella risoluzione anche dei più complessi
quesiti matematici.
Al termine del test è stato proposto un famoso gioco di pazienza, concentrazione e
abilità visivo - spaziale, oltre che di strategia: la torre di Hanoi2. Il famoso gioco è noto
da tempi antichissimi e consiste in tre supporti verticali e diversi anelli colorati. Occorre
portare gli anelli da un paletto al terzo, utilizzando il secondo come transito e
rispettando numerose regole. Il gioco è stato proposto in due parti: uno al computer,
quindi più semplice perché le regole del gioco erano implicite nel software, e l’altro
pratico per la presenza in laboratorio di un oggetto simile al gioco. L’inventiva dei
ragazzi ha fatto sì che tale oggetto somigliasse al gioco rappresentato sullo schermo
LIM. Il gruppo classe unito ha risolto l’enigma fino al livello dei sette anelli.
L’ultima parte della lezione è stata dedicata al cosiddetto test di Bertoldino3 nella
versione più semplice del 2005, anche in questo caso il lavoro è stato collettivo e alcune
risposte sbalorditive e, contrariamente alla credenza comune, molto matematiche hanno
suscitato l’ilarità della scolaresca.
Matinella – Anche in questo caso si evidenziano difficoltà nella compilazione della parte
anagrafica del test motivazionale, mentre nel test orale dedicato alla stella di Loyd sono
stati decisamente più lenti e arrendevoli del corso di Albanella. Il più veloce a trovare la
stella è uno studente di prima e ciò è tanto più stupefacente quanto più si pensa alle
difficoltà che questo studente presenta la mattina durante le ordinarie lezioni.
I discenti si sono mostrati molto collaborativi nel caso del test di Bertoldino e anche
tenaci nel perseguire i livelli successivi della Torre di Hanoi, raggiungendo però solo il
livello dei cinque dischetti, ben due in meno rispetto ai discenti di Albanella.
2
3
http://it.wikipedia.org/wiki/Torre_di_Hanoi. Il software si trova al sito: http://www.math.it/torrih/torri.htm
http://utenti.quipo.it/base5/testmania/bertoldino2005.htm
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Seconda lezione – Albanella, venerdì ventitre Novembre – Matinella,
martedì ventisette Novembre
Albanella - La seconda lezione del corso è stata aperta ai nuovi alunni della classe IC
che subito si sono ambientati.
La lezione è stata dedicata alla geometria e al suo fondamentale ruolo di matematica
del reale. Considerate le difficoltà manuali che molti studenti hanno evidenziato durante
la lezione precedente, si è pensato di far costruire loro il soggetto del gioco.
La lezione si è aperta con un gioco di abilità geometriche dal titolo Mattone Marrone4
che, come il tangram e il tetris, ha lo scopo di far spostare diverse figure con movimenti
rigidi in un piano virtuale e portare il mattone marrone, appunto, verso la meta. Il gioco
inizia da un livello molto semplice, poi i tipi di figure e le situazioni problematiche
aumentano. Il gruppo classe unito si è fermato al livello sette senza riuscire a risolverlo.
La parte centrale della lezione ha previsto l’uso di una presentazione al computer da me
redatta e che riporta le figure costruibili con il tangram. Utilizzando dei fogli bianchi e le
istruzioni ordinate nelle diverse slide, ho poi proposto ai discenti di costruire il loro
tangram.
Le difficoltà sono state subito evidenti e solo due studenti hanno individuato come
ricavare un quadrato da un foglio rettangolare senza alcun suggerimento.
Nelle diverse fasi il problema principale si è riscontrato nell’uso della creatività
soggettiva e nel coordinamento fra ciò che la slide di suggerimento indica e il lavoro
pratico. Come a dire che la maggioranza dei ragazzi intervenuti al corso conoscono
perfettamente regole, formule, teoremi ma poi non sanno autonomamente decidere
quando utilizzarle. L’esempio tipico che si utilizza è: c’è un bel giardino, abbiamo tanti
semi da piantare, abbiamo a disposizione tutti gli strumenti (zappa, vanga, piccone,
trattore, tosaerba) ma rimaniamo a guardare le aiuole nella speranza che i fiori si
piantino da soli.
Senza aiuto, senza slide, senza le mie sollecitazioni e, in seguito, quelle dei compagni
più volenterosi, gli studenti in difficoltà non sarebbero riusciti a terminare il compito.
L’esercizio si è ripetuto numerose volte consumando tutti i fogli che avevo portato e
previsto all’inizio, ovvero tre fogli per ciascun studente.
Matinella – In questo caso le difficoltà sono state molto maggiori. Da un certo punto di
vista i discenti hanno mostrato non solo una scarsissima manualità, espressione di una
didattica estremamente teorica e poco calata nel contesto, ma anche poca pazienza e
così il più delle volte si è creata la confusione che segue tipicamente la difficoltà di
4
http://www.vbscuola.it/applicazioni/applicazioni2005.htm#MattoneMarrone
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esecuzione. E’ l’atteggiamento che si crea in classe quando un discente non sa risolvere
un esercizio e si innervosisce anziché chiedere aiuto. Così, dopo aver consumato ben più
dei tre fogli a disposizione per ciascuno studente, il lavoro finale si è mostrato molto
scadente ed ho deciso di farli lavorare nuovamente sul programma al computer. In
questo caso, vedendo un gioco maggiormente alla loro portata si sono incoraggiati
raggiungendo il livello dodici del gioco.
Terza lezione – Albanella, venerdì trenta Novembre - Matinella, martedi
quattro Dicembre.
Albanella - Anche in questa lezione si sono presentati altri tre studenti, uno di IC e gli
altri di IA. I due studenti risultano ripetenti e pluri-ripetenti, uno aveva inizialmente
rifiutato di venire a fare il corso e si è presentato senza autorizzazione. Il clima è
decisamente cambiato.
La lezione era incentrata sulla risoluzione dei problemi, capacità trasversale a tutti i temi
e inerente non solo la matematica. I problemi proposti sono i cosiddetti Fermi
Questions5 con i quali Enrico Fermi si rallegrava a intrattenere i propri studenti
individuando i più intelligenti e scaltri. La validità didattica è elevata:
sviluppo delle abilità laterali di analisi di un problema
capacità di immaginare visualmente una situazione prima di giungere a soluzione
capacità di creare qualche cosa che non è reale
affinamento dello spirito d’iniziativa
abilità
matematiche
di
base
come
che
consistono
semplicemente
le
approssimazioni dei risultati di un problema.
Non è detto che tali problemi abbiano soluzione, quindi è il discente a dover decidere se
la soluzione esiste.
Ho suddiviso la classe in tre gruppi fortemente disomogenei approfittando della non
conoscenza di alcuni di essi. Gli alunni di seconda sono stati distribuiti in tutti e tre i
gruppi, ma oggi ne mancava uno. Il primo gruppo era costituito da quattro studenti di
prima, uno di seconda ed uno solo (ma capace) di terza. Il secondo gruppo dallo
studente ripetente di prima, uno di seconda e i quattro di terza. Il gruppo non era
sbilanciato per la presenza di due studentesse con poca capacità organizzativa. Il terzo
gruppo era costituito dal secondo ripetente, due studenti di terza e alunne di prima,
quindi in maggioranza femminile.
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http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Fermi .
Alcuni esempi eseguibili on line al sito http://www.fermiquestions.com/ (in inglese).
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A parte il secondo nel quale l’alunno ripetente ha immediatamente tacitato il suo gruppo
come “quello dei somari” discreditandolo e abbassando il seppur minimo morale
necessario ad affrontare le questioni, il lavoro è proseguito con forte spirito di
collaborazione da parte soprattutto degli studenti di prima e ciò porta a trarre molte
conclusioni.
La ragione principale risiede nel fatto che gli studenti che hanno frequentato di recente
le scuole elementari sono abituati alla collaborazione reciproca ed al lavoro di gruppo, e
acquisiscono in seguito, nel corso della frequentazione della scuola media, una forte
individualità e dissociazione dal gruppo. Quindi i due gruppi con presenza di ragazzi di
prima media hanno sicuramente lavorato meglio.
Approfitto per fare una breve digressione. Le scuole medie e le superiori prediligono il
lavoro individuale in quanto la presenza di tanti docenti, con le relative metodologie e
personalità, comporta una maggiore difficoltà ad accordarsi lungo un filo conduttore
comune. La conseguenza logica è che il discente perde la visione di insieme della scuola
e inizia a prevalere su una disciplina piuttosto che un’altra raggiungendo, nei casi dei
discenti meno motivati, risultati per “simpatia” verso il docente e non per maturazione
personale. Se quel docente lascia la scuola, il discente lascia la materia.
Stante la teoria delle intelligenze multiple di Gardner 6, la scuola deve limitarsi a
proporre quale forma di intelligenza usare in prevalenza non a costringere il discente a
utilizzarne solo una, e in ciò solo il lavoro di gruppo, attentamente vigilato, può essere
una soluzione.
Il gruppo tre con forte presenza femminile ha escluso le provocazioni dello studente
ripetente senza troppi preamboli. Il primo gruppo, con la presenza di uno studente
molto attivo durante le lezioni precedenti, si è dimostrato il più industrioso ed ha redatto
risposte sicuramente fantasiose e scientifiche. Il gruppo che ha lavorato di meno è stato
il due che, dopo aver perso fiducia causa la triste espressione del compagno, non è più
riuscito a lavorare e si è perso in questioni che esulavano dalla lezione.
La lezione si è conclusa con il gioco del 157, ancora una invenzione di Samuel Loyd, ma
anziché collaborare come avevano fatto nelle due lezioni precedenti, i discenti si sono
coalizzati intorno ai ripetenti perdendo di vista l’obiettivo del corso ed arretrando di un
passo rispetto alla maturazione vantaggiosa raggiunta nelle due lezioni precedenti.
Alla luce delle risultanze, si decide di escludere i due ripetenti dalla partecipazione al
corso e di adottare analoga misura anche per i corsi futuri onde evitare che pochi
possano rendere infruttuoso il lavoro di molti.
6
http://www.uciim.sicilia.it/intell_multiple.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_del_quindici con software scaricabile dalla pagina dell’autore
http://www.maurorossi.net/pagine/programmi.htm
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Quest’ultimo discorso, in apparenza egoistico, ha un motivo logico alquanto consolidato:
inutile tentare di sciogliere sale in un bicchiere di acqua già saturo, ovvero senza la
volontà nessun metodo didattico può funzionare e il mio corso esula da questo obiettivo
verso il quale occorre avere strumenti psicologici che solo uno psicoanalista è in grado di
attuare.
Matinella – Considerando l’esperienza avuta ad Albanella ho deciso di non formare i
gruppi e di farli lavorare tutti insieme in un approccio simile al brainstorming ma da me
modulato e guidato. In apertura il gioco del quindici non è stato nemmeno compreso,
fino a che uno studente di terza, molto infantile ed immaturo, lo ha riconosciuto ed ha
ammesso di averlo risolto eliminando i tasselli dal supporto. Davanti al fatto che il gioco
al computer non consente trucchi, si è immediatamente arreso.
La risposta ai Fermi Questions è stata controversa ma perfettamente in sintonia con
quanto già notato ad Albanella. I discenti non riescono a calare il sistema di regole,
teoremi, proprietà, concetti matematici ad un ambito reale e di fronte alla difficoltà si
dimostrano incredibilmente arrendevoli, segnale molto pericoloso se si esce dal semplice
contesto scolastico.
Alla fine, senza il mio aiuto, nessun discente, nemmeno quelli che durante le lezioni
mattutine dimostrano un netto miglioramento, sarebbe stato capace di risolvere uno
solo dei problemi proposti. In alcuni casi mi è stato detto che il problema era impossibile
e non risolubile, esattamente come quando i ragazzi di prima si trovano di fronte ad
operazioni del tipo
e dicono che non si possono risolvere.
In altre parole, o il problema è facile, lo comprendo subito, lo so fare perché qualcuno
me lo suggerisce (oppure lo so fare perché è diretta applicazione di una regola
mnemonica), oppure non lo so fare e non lo faccio. E la regola è perentoria.
Il nervosismo è ovviamente aumentato, anche se è stato maggiormente misurato
rispetto al corso di Albanella, ma ciò evidenzia la lontananza della didattica scolastica dal
mondo reale e la conseguente nascita di discorsi monotematici al di fuori dei quali un
ragazzo non sa come approcciarsi. Manca la creatività.
Ecco le Fermi Questions8 proposte ai discenti.
1) Quanto carburante consumano in un anno le automobili di un paese europeo di 50
milioni di abitanti?
2) Stimate il numero di respiri che una persona fa in una giornata.
3) Quanti capelli ha in media un essere umano?
8
http://mathforum.org/workshops/sum96/interdisc/sheila1.html
“Spesso gli studenti credono che i problemi abbiano una risposta esatta e che sia ricavabile in un solo modo. Le “Fermi questions”
incoraggiano approcci diversi, sottolineano il processo piuttosto che il risultato, e promuovono strategie di risoluzione
non convenzionali.” (Sheila Talamo Univ. Louisiana)
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4) Quante palline da ping-pong occorrerebbero per riempire la vostra aula?
Quarta e quinta lezione – Albanella, venerdì sette e quattordici Dicembre–
Quarta lezione Matinella, martedì undici Dicembre
Matinella – Il corso ha una lezione in meno e si ferma alla quarta lezione durante la
quale si è tenuta la verifica di intercorso con i risultati indicati sul registro del corso e
brevi giudizi motivati dei risultati raggiunti. Le lezioni sono state sospese nella settimana
prenatalizia per consentire ai discenti di seguire le prove di strumento musicale per il
concerto natalizio tenuto in questa settimana.
Albanella – Nella quarta lezione precedente la festività della Immacolata Concezione,
erano assenti sette alunni, tutti presenti nelle attività mattutine. La conclusione è
evidente: i ragazzi credono che lavorare con materiali alternativi sia non fare
matematica e tale è la frase pronunciata da alcuni di essi. Ovviamente tali discenti
saranno esclusi dal prossimo gruppo, onde evitare che la disattenzione di pochi possa
precludere la laboriosità di tutti.
Ne ho approfittato per fare una lezione maggiormente personalizzata. La lezione di
geometria trattava l’argomento dello sviluppo delle figure solide. Con il software
geogebra9 ho costruito lo sviluppo piano di un cubo e poi ho costruito la figura solida.
Con un pdf10 sullo sviluppo dei solidi ho mostrato come ogni solido sia la derivazione di
più poligoni piani opportunamente incollati lungo gli spigoli. Questo lavoro è stata la
premessa per la presentazione degli esamini, ovvero di tutti i possibili sviluppi del cubo.
In un foglio ho proposto le 35 possibilità di esamini e detto loro che fra quelli ve ne sono
undici che rappresentano lo sviluppo di un vero cubo. I discenti hanno lavorato
singolarmente e anche i meno bravi, seppur aiutati, sono riusciti a capire il meccanismo
del gioco.
Un secondo foglio, poi, comprendeva le soluzioni e i discenti hanno avuto l’opportunità
di auto-correggere le risposte al test precedente. In un terzo momento è stato proposto
loro di ritagliare gli esamini corretti del secondo foglio e di costruire i cubi a
dimostrazione della realtà degli sviluppi.
Come gioco al computer è stato proposto Abbie11, un gioco francese in cui la
protagonista, una bambina di nome Abbie, deve raggiungere un fiore senza incappare
negli estintori che spruzzano acqua virtuale. Il gioco è in realtà un labirinto su più livelli
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http://geogebra.forumer.it/
http://www.relisys.it/Anno3/UD1_Lo%20sviluppo%20dei%20solidi.PDF
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Gioco èresente nel software Start 3 al seguente link http://usp.scuole.bo.it/ele/
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e sviluppa le capacità di cercare soluzioni a un problema individuando i dati superflui,
ovvero senza lasciarsi ingannare dall’apparenza.
La lezione è stata molto tranquilla e tutti gli studenti presenti hanno partecipato con
grande attenzione.
La quinta e ultima lezione prenatalizia ha previsto la prova di intercorso così come
descritto nella sezione dedicata al corso di Matinella.
CONCLUSIONI E CONSIDERAZIONI
Nel voler dare un giudizio dei risultati raggiunti, il corso di Matinella si è mostrato
decisamente più proficuo. La differenza principale è l’arrendevolezza: gli alunni di
Albanella non affrontano con tenacia le difficoltà e non riescono ad affrontare situazioni
problematiche, a meno che non si propongano contenuti a lungo meccanizzati come
possono essere i classici quesiti di matematica (espressioni, problemi guidati eccetera)
ma inutili alla luce delle proposte della nuova commissione Invalsi di cui abbiamo avuto
dimostrazione nei quesiti proposti nella prova d’esame dell’anno scolastico precedente.
Occorre modificare il piano delle attività e proporre una didattica breve, se non
brevissima, su più argomenti piuttosto che una didattica lunga con pochi argomenti. Gli
studenti devono avere l’opportunità di comprendere quale argomento è adeguato al
proprio modo di lavorare e utilizzare quel metodo per risolvere questioni sui punti in cui
hanno difficoltà. La didattica breve, proponendo più argomenti, è in grado di lasciare allo
studente ampia scelta cosa che la meccanicità e la staticità della classica didattica lunga
non può fare12.
Nel proporre il corso all’inizio del prossimo secondo quadrimestre, mentre Matinella
proseguirà nel suo lavoro con la scelta di nuovi studenti in difficoltà, per Albanella si
continuerà a miscelare gli studenti migliori con quelli in difficoltà e si solleciterà il lavoro
di gruppo così da tentare di ripristinare una situazione di forte disorganicità che porta ad
annullare ogni azione didattica proposta.
12
Si legga a proposito la trattazione esaustiva presente al link: http://www.swif.uniba.it/lei/scuola/Ruffaldi1.htm
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