Progetto
Lauree Scientifiche
Sperimentazioni
con Geogebra
Corso di formazione
“Software dinamici per la Matematica”
Anno Accademico 2010/2011
Nell’anno accademico 2010/2011 si è svolto presso il Liceo L. Da Vinci di Trento il corso di formazione per
insegnanti “Software dinamici per la Matematica”.
Il materiale seguente è stato prodotto dagli insegnanti esperti che hanno condotto gli incontri e dagli
insegnanti che hanno seguito il corso e hanno successivamente progettato e sperimentato percorsi didattici
nelle loro classi.
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Sommario
Materiale dei coordinatori ................................................................................................................................ 4
Prof. Domenico Luminati Mediane, rimbalzi e scatolette ...................................................... 4
Prof.ssa Renata Paoli Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi .............. 10
Prof. Giancarlo Dorigotti Volumi: Cubi e piramidi iscritte .................................................... 29
Prof. Stefano Pegoretti Grafico di funzione, derivata e integrale ......................................... 43
Composizione dei gruppi ................................................................................................................................. 55
Geometria del piano ........................................................................................................................... 61
Proff. Michele Avancini e Maura Bonazza Geometria del piano .......................................... 61
Prof.ssa Manola Bollani Introduzione alla geometria euclidea .............................................. 64
Prof.ssa Antonella Franceschini Le disuguaglianze dei triangoli ............................................ 73
Prof.ssa Marina Mingazzini Quadrilateri, triangoli e trasformazioni geometriche ................ 78
Prof.ssa Cristina Piva Parallelogrammi, teoremi di Talete, Pitagora ed Euclide ..................... 85
Prof.ssa Anna Scialino Introduzione alla geometria euclidea ................................................. 87
Prof.ssa Susan Veronesi Triangoli e quadrilateri con Geogebra ............................................. 93
Prof.ssa Tiziana Zambonato Geometria del piano .................................................................. 98
Gruppo funzioni ................................................................................................................................ 101
Proff. Alessandra Burattini e Clara Delpero Grafici di Funzione ........................................ 101
Proff. Claretta Carrara e Michela Pagliacci Funzioni e coniche .......................................... 108
Prof.ssa Alessandra Dalcolmo Parabole, disequazioni e traslazioni ..................................... 127
Prof.ssa Francesca Mazzini Rette e funzioni ......................................................................... 134
Prof.ssa Roberta Rizzi Funzioni inverse ................................................................................. 145
Gruppo integrale............................................................................................................................... 150
Prof.ssa Angela Aldrighetti Punti, funzioni e funzione integrale .......................................... 150
Prof. Luciano Cappello Integrale come area e funzione integrale ...................................... 155
Prof.ssa Antonella Frisanco Approssimazione di integrali .................................................... 161
Prof.ssa Cristina Bonmassar Approssimazione di integrali ................................................... 165
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Mediane, rimbalzi e scatolette
a cura di Domenico Luminati
Materiale dei coordinatori
Prof. Domenico Luminati Mediane, rimbalzi e scatolette
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Mediane, rimbalzi e scatolette
a cura di Domenico Luminati
Mediane
Tre segmenti e un punto
È facile far passare tre segmenti da uno stesso punto?
Prova a fare il seguente esperimento con GeoGebra:
1. traccia due segmenti a= AB e b= CD che si intersecano in un punto E (puoi trovare
E usando lo strumento intersezione
);
2. traccia ora un terzo segmento c = FG e sposta gli estremi F e G in modo che il
segmento c passi per il punto E.
3. Ci sei riuscito? Prova a verificarlo con lo strumento relazione
.
4. Se non ci sei riuscito prova a zoomare sul punto E (puoi farlo con la rotellina del
mouse o con lo strumento
) e cerca di nuovo di spostare il segmento c (basta
prenderlo con la freccetta e trascinarlo) per farlo passare da E.
5. Ci sei riuscito? Prova a verificarlo.
6. …
Ripeto la domanda: è facile far passare tre segmenti da uno stesso punto?
Scommettiamo che ci riesco al primo tentativo?
Traccia un triangolo di vertici A, B, C e di lati a, b, c. Usando lo strumento punto medio
trova I punti medi D, E,F dei lati a, b, c rispettivamente.
Traccia i segmenti AD, BE e CF.
Osservi qualcosa di particolare?
Prova a verificarlo?
Cosa succede se muovi I vertici A, B, C del triangolo?
È stata solo fortuna, o...
Caspita, che punto!
Traccia un triangolo ABC e prendi un punto D al suo interno.
Traccia I triangoli T1 = DAB T2 = DBC T3 = DCA . Magari per evidenziarli meglio falli di colori
diversi.
Sapresti trovare H in modo che I tre triangoli abbiano la stessa area? Controlla nella
finestra di algebra le tre aree. (prova a dare il comando T_1-T_2,comparirà una nuova
costante che esprime la differenza delle aree dei due triangoli.)
Prova con il punto G determinato come in precedenza (l'intersezione delle mediane).
È stata solo fortuna o c'è sotto qualcosa?
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Mediane, rimbalzi e scatolette
a cura di Domenico Luminati
Rimbalzi
Erone
Qual è il modo più “economico” (dal punto di vista della distanza percorsa) per andare a
prendere acqua al fiume e poi andare ad annaffiare un assegnato albero?
Se rappresentiamo la posizione di partenza e la posizione dell'albero con due punti e la
sponda del fiume con una retta, il problema si riformula – in matematichese: dati due punti,
qual è il percorso più breve che li congiunge e che tocca una retta assegnata?
Senza perdere in generalità si può supporre che la retta sia l'asse delle x e che i due punti
siano nel semipiano superiore (y > 0).
Prova a fare qualche esperimento con GeoGebra.
1. Traccia due punti A e B nel semipiano superiore e un punto C sull'asse delle x.
2. Traccia i due segmenti a = AC e b = BC .
3. Traccia la semiretta con origine in C, perpendicolare all'asse delle ascisse e
contenuta nel semipiano superiore e determina su di essa il punto P tale che la sua
distanza da C sia pari alla somma delle lunghezze di a e b.
4. Cosa succede muovendo C?
5. Cosa rappresenta la curva descritta da P al variare di C?. Disegnala con lo
strumento luogo geometrico (
)
6. Muovi C e cerca di congetturare quale sia il punto di minimo. Puoi aiutarti col
disegno e con il foglio elettronico, tabulando il punto P. Per far questo è
consigliabile legare la posizione di C ad uno slider (
tabulazione uniforme dei valori delle ascisse di P.
) in modo da avere una
Prova a disegnare gli angoli α = ACP e β = BCP , osservali al variare di C ed eventualmente
prova a tabularne i valori.
7. Noti qualcosa di particolare?
8. Sapresti dimostrare la congettura?
9. Prova a disegnare l'immagine speculare A ' del punto A rispetto all'asse delle
ascisse (ad esempio usando il comando )
. Congiungi A ' con C e con B e chiama
D, il punto di intersezione dell'asse x con il segmento A' B . Cosa puoi dire dei
segmenti AC A' C A' B BC ?
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Mediane, rimbalzi e scatolette
a cura di Domenico Luminati
Un biliardo particolare
Come rimbalzerebbero le biglie in un biliardo a forma di ellisse?
Facciamo qualche esperimento virtuale con GeoGebra.
1. Traccia un'ellisse per esempio assegnando i due fuochi A e B e l'asse maggiore (da
linea di comando ellisse[A,B,5]) oppure assegnando i due fuochi e un punto (
).
2. Prendi un punto P sull'ellisse, un punto Q al suo interno e traccia il segmento PQ .
3. Come faresti a trovare una retta passante per P e che produrrebbe lo stesso
rimbalzo dell'ellisse?
4. Traccia la retta t tangente a e in P e prova a vedere cosa succede zoomando (con
la rotellina dal mouse o con
) ripetute volte sul punto P.
Cosa noti?
Facciamo l'ipotesi che rimbalzare contro la curva sia lo stesso che rimbalzare contro la
retta tangente nel punto di contatto e sappiamo che il rimbalzo contro una retta avviene
con angoli di incidenza e di riflessione uguali.
Puoi allora cercare di determinare la traiettoria di rimbalzo.
5. Traccia la retta n normale a t in P e quindi l'immagine speculare Q ' di Q rispetto
alla retta n.
6. Traccia la semiretta PQ' e verifica che gli angoli di incidenza e di riflessione sono
uguali.
7. Puoi a questo punto determinare il punto D dell'ellisse e che sarà colpito dal
rimbalzo e quindi tracciare il segmento PD .
8. Prova a muovere il punto Q e vedi cosa succede. Ad esempio se Q = A? Prova
anche a cambiare P o a cambiare ellisse...
9. Costruisci un nuovo strumento che prende in input l'ellisse e . il punto P su e un
punto Q e produce in output il punto D, e il segmento PD .
10. Prova a vedere cosa succede con 10, 20, se ne hai voglia 50 rimbalzi successivi...
muovi il punto Q. Cosa osservi? Per esempio, si riescono a trovare traiettorie
chiuse? Cosa succede se Q è uguale a A?
Al fuoco!
Se il punto di partenza è un fuoco il raggio riflesso passa per l'altro fuoco.
Fai un po' di prove cambiando il punto di incidenza, cambiando l'ellisse...
Evidentemente non è un caso.
Prova a eseguire la seguente costruzione con GeoGebra:
1. Traccia un'ellisse e di fuochi A e B.
2. Prendi un punto P sull'ellisse e.
3. Traccia i segmenti AP e BP .
4. Traccia la retta t tangente all'ellisse in P.
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Mediane, rimbalzi e scatolette
a cura di Domenico Luminati
5. Prendi un generico punto Q su t e traccia i segmenti AQ , BQ .
6. Confronta la lunghezza del percorso APB con quella del percorso AQB. Cosa noti
al variare di Q?
7. Sapresti provare la tua congettura? Può forse esserti d'aiuto tracciare il punto R
d'intersezione tra l'ellisse e il segmento AQ e considerare il percorso ARB.
Scatolette
Un classico problema di scatolette
Che forma deve avere una scatoletta cilindrica per avere il miglior
rapporto tra capacità e quantità di materiale utilizzato per costruirla?
Dato che la quantità di materiale è proporzionale all'area della
superficie, la domanda può essere tradotta in matematichese così:
che forma (ossia che raggio di base e che altezza) deve avere un
cilindro di volume fissato, per avere superficie esterna di area
minima?
Se un cilindro ha volume V, area della superficie esterna (totale) S,
raggio di base r e altezza h, allora
2
1. V = π r h
2. S = 2πr 2 + 2πrh
dalle quali si ricava
3. S = 2πr 2 + 2V / r .
Il problema è allora diventato quello di trovare r tale che la funzione S r = 2πr 2 + 2V / r
assuma il valore più piccolo possibile.
Puoi provare a fare una simulazione con GeoGebra. Per semplificare i calcoli, inizia dando
al volume il valore 16π.
1. Traccia un punto A sull'asse delle x, e traccia il rettangolo simmetrico rispetto
all'asse delle y, avente un vertice in A e altezza determinata dalla (1). Cosa
rappresenta – in termini del problema – questo rettangolo?
Che curva viene tracciata dal vertice in alto a destra del rettangolo, al variare di A?
1. traccia ora il grafico della funzione S di cui si vuole trovare il punto di minimo. Come
puoi vedere la funzione S cresce molto rapidamente, può essere quindi opportuno
riscalarla, ossia considerare al suo posto una funzione del tipo S/30, S/40,... che ha
gli stessi punti di minimo di S, ma il cui andamento è “più morbido”.
2. Traccia il punto sul grafico di S corrispondente al punto A.
3. Muovi A e cerca di congetturare quale sia il punto di minimo. Puoi aiutarti col
disegno e con il foglio elettronico. Per far questo è consigliabile legare la posizione
di A ad uno slider (
) in modo da avere una tabulazione uniforme dei valori di S.
4. Sapresti dimostrare la congettura?
5. E se cambi il valore di V?...
Prova a collegare il valore V a uno slider e a fare qualche esperimento.
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Mediane, rimbalzi e scatolette
a cura di Domenico Luminati
Nota per l'insegnante
Riguardo alle richieste dei punti 2 e 3, è evidente che poste in questo modo sottintendono
che lo studente abbia una certa familiarità con il concetto di funzione. E anche in questo
caso non a tutti potrebbe essere chiara la necessità di riscalare la funzione S e soprattutto
che farlo non altera le soluzioni del problema. Si possono però riformulare, aggirando il
problema:
1. Traccia, inserendolo dalla linea di comando, il punto E che ha la stessa ascissa di A
e per ordinata il corrispondente valore di S ossia S x A . Riesci a vederlo? Se
no, controlla sulla finestra algebrica quali sono le sue coordinate. Come si può agire
(anche cambiando S, ma “senza snaturarla”) per renderlo visibile?
2. Traccia la curva descritta da E al variare di A. Per farlo puoi usare lo strumento
luogo geometrico (
comando.
) o alternativamente inserendo la funzione S, da linea di
A questo punto è sicuramente opportuno affrontare la questione insieme, con la
mediazione attiva dell'insegnante, magari facendo esperimenti su un altro file tipo
scala1.ggb e scala2.ggb, proponendo di tracciare il grafico di una funzione con diverse
scale sull'asse delle ordinate e/o di funzioni, differenti per un fattore di scala, per arrivare
alla conclusione, poi dimostrabile, che pur alterando i valori, i cambiamenti di scala
mantengono i punti di minimo e di massimo e contemporaneamente possono
“ammorbidire” la variazione della funzione.
Una buona occasione per introdurre/richiamare il concetto di funzione e di grafico di una
funzione
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Prof.ssa Renata Paoli Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e
luoghi
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
I CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Primo criterio
Con il comando poligono disegna il triangolo ABC (non importa se il senso è orario o
meno).
Misura i lati AB ed AC ed osserva la vista algebra: ad ogni segmento corrisponde un nome
ed una misura (al vertice A sta opposto il lato a..).
Segna e misura l’angolo CAB;
Prendi un punto A’ esterno alla figura e disegna la circonferenza di centro A’ e raggio il
nome del lato AC (che dovrebbe essere b);
Prendi un punto C’ sulla circonferenza e disegna il raggio A’C’ e visualizza la sua misura;
Scegli il tasto angolo di data misura e seleziona nell’ordine C’ ed A’ e digita poi il nome
dell’angolo CAB (che dovrebbe essere α) ;
Sulla circonferenza comparirà un punto C’’ per cui far passare una semiretta di origine A’;
Disegna ora la circonferenza di centro A’ e raggio AB (lato c);
L’intersezione fra essa e la semiretta sarà B’; disegna e misura A’B’;
Costruisci il triangolo A’B’C’ con l’opzione poligono; modifica le posizioni di A, B, C,
A’….
Come sono i due triangoli?
Misura il loro terzo lato: cosa noti?
Misura anche gli altri due angoli: cosa puoi dire circa i due triangoli?
Il triangolo A’B’C’ ha due lati congruenti al triangolo di partenza ed anche l’angolo fra essi
compresi è congruente ad α: i due triangoli cioè soddisfano le ipotesi del primo criterio di
congruenza dei triangoli.
Con il tasto Relazione fra due oggetti, presente nella penultima tendina, puoi selezionare
nell’ordine i due triangoli e il software ti conferma che essi sono congruenti.
Secondo criterio
Con il comando poligono disegna il triangolo ABC.
Misura il lato AB ed osserva la vista algebra: ad ogni segmento corrisponde un nome ed una
misura.
Segna e misura l’angolo CAB e l’angolo ABC;
Prendi un punto A’ esterno alla figura e disegna la circonferenza di centro A’ e raggio il
nome del lato AB (che dovrebbe essere c);
Prendi un punto B’ sulla circonferenza e disegna il raggio A’B’ e visualizza la sua misura;
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Scegli il tasto angolo di data misura e seleziona nell’ordine B’ ed A’ e digita poi il nome
dell’angolo CAB (che dovrebbe essere α) (se non ottieni l’angolo nel verso desiderato
cancella, ricomincia, ma quando digiti il nome dell’angolo, nella finestra in basso a sinistra
cambia l’opzione antiorario in orario) ;
Sulla circonferenza comparirà un punto B’’ per cui far passare una semiretta di origine A’;
Ripeti ora l’operazione con l’angolo β nel punto B’;
Il punto di incontro delle due semirette costruite chiamalo C’.
Costruisci il triangolo A’B’C’ con l’opzione poligono; modifica le posizioni di A, B, C,
A’….
Come sono i due triangoli?
Misura gli altri due lati: cosa noti?
Misura anche il terzo angolo: cosa puoi dire circa i due triangoli?
Il triangolo A’B’C’ ha due angoli congruenti al triangolo di partenza ed anche il lato fra essi
compresi è congruente: i due triangoli cioè soddisfano le ipotesi del secondo criterio di
congruenza dei triangoli.
Con il tasto Relazione fra due oggetti, presente nella penultima tendina, puoi selezionare
nell’ordine i due triangoli e il software ti conferma che essi sono congruenti.
Terzo criterio
Con il comando poligono disegna il triangolo ABC.
Misura i tre lati ed osserva la vista algebra: ad ogni segmento corrisponde un nome ed una
misura.
Prendi un punto A’ esterno alla figura e disegna la circonferenza di centro A’ e raggio il
nome del lato AB (che dovrebbe essere c);
prendi un punto B’ sulla circonferenza e disegna il raggio A’B’ e visualizza la sua misura;
disegna la circonferenza di centro B’ e raggio il nome del lato BC (che dovrebbe essere a);
prendi un punto C’ sulla circonferenza e disegna il raggio B’C’ e visualizza la sua misura;
Chiama D’ e D’’ i punti di intersezione fra la seconda e la terza circonferenza; disegna A’D’
e A’D’’ e misurali;
SCRIVERE FORSE: Apri ora Proprietà del punto C’: scegli l’opzione avanzate e
colori dinamici, quindi nella casella rosso scrivi x(C’)==x(D’)&&y(C’)==y(D’) (questo
serve a colorare il punto C’ di rosso quando esso si sovrappone a D’, ha cioè le stesse
coordinate) e nella casella verde scrivi x(C’)==x(D’’)&&y(C’)==y(D’’) (questo serve a
colorare il punto C’ di verde quando esso si sovrappone a D’’, ha cioè le stesse coordinate).
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Solo quando C’ e uno dei due D’ o D’’ si sovrappongono, il triangolo si chiude e tale
triangolo è congruente a quello di partenza.
Il triangolo A’B’C’ ha tre lati congruenti al triangolo di partenza: i due triangoli cioè
soddisfano le ipotesi del terzo criterio di congruenza dei triangoli.
Con il tasto Relazione fra due oggetti, presente nella penultima tendina, puoi selezionare
nell’ordine i due triangoli e il software ti conferma che essi sono congruenti.
Esercizio ulteriore: due triangoli aventi congruenti due lati e l’angolo fra essi non compreso
congruente, sono congruenti fra loro?
Con il comando poligono disegna il triangolo ABC in modo che il lato AB sia più piccolo di
AC.
Misura i lati AB ed AC ed osserva la vista algebra per conoscere i loro nomi;
Segna e misura l’angolo ACB;
Vogliamo tentare di costruire un triangolo ulteriore che abbia tre elementi con le stesse
misure ( posti nello stesso ordine).
Prendi un punto A’ esterno alla figura e disegna la circonferenza di centro A’ e raggio il
nome del lato AB;
disegna la circonferenza di centro A’ e raggio il nome del lato AC e prendi su di essa un
punto C’; disegna e misura A’C’;
Scegli il tasto angolo di data misura e seleziona nell’ordine A’ ed C’ e digita poi il nome
dell’angolo ACB (che dovrebbe essere α);
Compare nel piano un punto A’’ per cui fai passare una retta passante anche per C’: essa
interseca la prima circonferenza in due punti D ed E: disegna i due triangoli A’C’E e
A’C’D;
Misura i loro lati:
Cosa osservi? Come sono i tre triangoli fra loro?
Cosa puoi concludere a proposito della proposizione posta all’inizio dell’esercizio?
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Quadrilateri particolari con GeoGebra
Attività 1: costruzione di un trapezio
Prima di iniziare qualunque costruzione può essere comodo, dal menù opzioni, scegliere l’opzione
etichettatura e poi solo i nuovi punti.
Disegna un segmento AB ed un punto D esterno: vogliamo costruire un trapezio di base AB
e lato AD;
Traccia il segmento AD e la parallela ad AB per D;
Su tale retta prendi un punto C (in modo che il trapezio non sia intrecciato e congiungi B
con C;
A questo punto se muovi i punti A, B, D e C la figura si trasforma mantenendo però il parallelismo fra le
basi rimanendo perciò un trapezio (eventualmente intrecciato).
Di esso si possono misurare i segmenti AB, AD e BC che sono stati costruiti, per la lunghezza invece di DC si
deve misurare la distanza fra D e C selezionando nell’ordine i due punti.
L’area del poligono non si può misurare fino a quando il poligono non è stato definito costruendolo
utilizzando i quattro punti presenti.
Attività 1bis: costruzione di un trapezio isoscele
Esegui i due primi punti precedenti;
Apri la vista algebra dal menù visualizza: al segmento AD è stato assegnato il nome b
(essendo il secondo segmento costruito);
Traccia ora la circonferenza di centro B e raggio b (scegliendo il comando circonferenza
dati centro e raggio): il punto di intersezione fra la retta per D e la circonferenza, quello più
vicino a D, sarà C, il quarto vertice del trapezio isoscele;
Traccia il poligono ABCD.
Questa volta il punto C è vincolato da due fattori: la misura di AD e la retta r, quindi ha zero
gradi di libertà.
NB: le due costruzioni precedenti possono essere ottenute anche tracciando le parallele ad AB per un punto
qualunque.
Attività 2: costruzione di un parallelogramma
Disegna un segmento AB ed un punto C esterno: vogliamo costruire un parallelogramma di
lati AB e BC (che quindi va tracciato)
Traccia le parallele ad AB per C e a BC per A: chiama D il loro punto di intersezione;
traccia il poligono ABCD: esso è un parallelogramma anche se lo modifichi trascinando i
punti base A, B o C.
A questo punto puoi nascondere le rette costruite in precedenza scegliendo il comando
apposito dall’ultima tendina e selezionandole una dopo l’altra.
Puoi misurare i lati opposti : cosa osservi?
Disegna le diagonali: se misuro le parti in cui si tagliano una con l’altra cosa succede?
Misura gli angoli opposti, cosa ottieni?
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Attività 3: costruzione di un rettangolo
Disegna un segmento AB ed un punto C esterno; per esso traccia la parallela ad AB;
Traccia poi le perpendicolari ad essa per A e per B e chiama F ed E i punti ottenuti;
Il poligono ottenuto ABEF è un rettangolo: disegna e misura le due diagonali: cosa osservi?
Attività per approfondire
Costruire un quadrato (ricordando la definizione)
Costruire un rombo (partendo dalla proprietà delle sue diagonali che sono fra loro………….
e si tagliano……………….)
Costruire un quadrilatero qualunque ed unire i punti medi dei suoi lati: ciò che si ottiene è
sempre un………………………………..
Poligoni regolari
Attività 4: costruzione di un triangolo equilatero e di mediane, altezze e bisettrici
E’ possibile anche costruire poligoni regolari scegliendo l’opzione apposita: dopo aver
disegnato due punti nel piano (che danno la misura del lato) si apre una finestra in cui viene
richiesto il numero di lati del poligono desiderato: in questo caso 3;
Selezionando i vari lati si possono ottenere le loro misure, selezionando al centro il triangolo
si può ottenere o il perimetro (se si stanno misurando distanza e lunghezza) o l’area.
Si possono tracciare gli assi dei lati; le bisettrici degli angoli e le rette passanti per i vertici e
perpendicolari ai lati opposti; apparentemente la figura, dopo aver tracciato gli assi, non
cambia ma se si fa un clic sopra una delle rette si apre una piccola finestra che ne elenca tre
diverse (asse, bisettrice e retta dell’altezza).
Si può notare che il punto di intersezione fra esse è sempre lo stesso anche se si modifica il
triangolo trascinando uno dei vertici.
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Trasformazioni geometriche con GeoGebra
Attività 1: Simmetria centrale
Costruisci un triangolo ABC con il comando poligono (assegna i nomi ai vertici in modo
che l’etichetta sia in mostra);
Scegli un punto P qualunque e con il comando simmetrico rispetto ad un punto seleziona
prima il triangolo (con un clic al centro della figura) e poi il punto P:
Compare un triangolo i cui vertici sono A’, B’ e C’ (A’ il simmetrico di A…………..…….);
Muovendo i vertici di partenza (A, B e C) oppure P si possono osservare le caratteristiche
della trasformazione:
Misura i lati del triangolo di partenza e i lati del secondo triangolo: cosa osservi?
(quindi la simmetria centrale viene definita una isometria);
Cosa succede se misuri gli angoli? Ed i vertici come sono disposti?
Quindi la simmetria si dice trasformazione ……………………..
Attività 2: Simmetria assiale
Costruisci un triangolo ABC con il comando poligono (assegna i nomi ai vertici in modo
che l’etichetta sia in mostra);
Scegli una retta r qualunque e con il comando simmetrico rispetto ad una retta seleziona
prima il triangolo (con un clic al centro della figura) e poi r:
Compare un triangolo i cui vertici sono A’, B’ e C’ (A’ il simmetrico di A, B’ ……………);
Muovendo i vertici di partenza (A, B e C) oppure r si possono osservare le caratteristiche
della trasformazione:
Misura i lati del triangolo di partenza e i lati del secondo triangolo: cosa osservi?
(quindi la simmetria centrale viene definita una isometria);
Cosa succede se misuri gli angoli? Ed i vertici come sono disposti?
Quindi la simmetria si dice trasformazione ……………………..
Se si traccia una retta per A perpendicolare all’asse di simmetria, essa passa anche per
………………..; chiama H il punto di intersezione fra le due rette e misura AH e A’H;
Costruiamo quindi insieme la definizione di simmetria assiale e poi di simmetria centrale.
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Traslazione
Attività 3: Traslazione di un triangolo .
Disegna un triangolo ABC ed un vettore qualsiasi v;
Con il comando trasla di un vettore , seleziona prima il triangolo ABC e poi v: otterrai il triangolo A’B’C’;
Esplora la situazione, usando la possibilità di trascinare i singoli punti, il triangolo ABC ed il vettore v.
Quali informazioni sono necessarie per individuare A’B’C’ partendo da ABC?
Come sono i segmenti AB e A’B’ ?
Lo stesso vale per le altre coppie di segmenti?
Come sono i due triangoli?
Il triangolo ABC è il trasformato di A’B’C’ nella traslazione individuata dal vettore v.
Attività 4: Traslazione di un punto. (affrontiamo questa trasformazione in maniera diversa costruendo
inizialmente la traslazione senza utilizzare il menù predefinito)
Disegna un segmento qualsiasi AB ed un punto P AB;
traccia la retta r parallela ad AB e passante per P;
quindi traccia la retta s, passante per A e per P, e la retta t, passante per B e parallela ad s;
chiama P’ il punto di intersezione fra r e t .
Esplora la situazione, usando la possibilità di trascinare i singoli punti e il segmento AB.
Completa la frase e rispondi alle domande:
Quali informazioni sono necessarie per individuare P’ partendo da P?
Che tipo di quadrilatero hai ottenuto?
Costruisci la definizione di traslazione di un punto ed elenca le sue proprietà.
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Composizione di trasformazioni
Attività 5: Composizione di simmetrie assiali con assi paralleli..
Disegna un triangolo qualunque ABC ed una retta r esterna ad esso,
disegna quindi il suo simmetrico A’B’C’ rispetto ad r;
disegna un’altra retta s parallela alla retta r, in modo che il triangolo A’B’C’ sia compreso nella striscia
formata dalle due rette (per semplificare la costruzione iniziale);
disegna il triangolo A‘B‘C‘, simmetrico di A’B’C’ rispetto alla retta s;
Misura le distanze fra A ed A’’ e quella fra le rette r ed s (osserva che le due misure si modificano solo se
muovi una delle rette … non se muovi A o B o C!)
Esplora la situazione, usando la possibilità di trascinare i singoli punti, il triangolo ABC ed le rette r ed s.
Il secondo triangolo è il trasformato, nella simmetria assiale individuata dalla retta r, di
quale triangolo?
Il terzo triangolo è il trasformato, nella simmetria assiale individuata dalla retta s, di quale
triangolo?
Come sono i due triangoli ABC e A’’B’’C’’? (osserva i loro lati)
Quali informazioni sono necessarie per individuare A’’B’’C’’ partendo da ABC?
Costruisci sulla retta s un punto d, traccia la perpendicolare per esso ad r e sia E il punto di intersezione
con essa: disegna e misura DE.
Traccia e misura il segmento AA’’;
Modificando le posizioni delle due rette, cosa noti?
Che relazione c’è fra questi due segmenti?
I due triangoli ABC ed A’’B’’C’’ sono l’uno il traslato dell’altro. Di quale vettore?
Attività 6: Composizione di simmetrie assiali con assi incidenti.
Disegna un triangolo qualunque ABC ed una retta r esterna ad esso;
disegna, rispetto ad essa, il triangolo A’B’C’ simmetrico di ABC e poi un’altra retta s incidente alla r, in
modo che essa sia esterna ai due triangoli;
applica nuovamente l’opzione simmetria rispetto ad una retta (al triangolo A’B’C’ con la retta s)
ottenendo il triangolo A’’B’’C’’.
Il secondo triangolo è il trasformato, nella simmetria assiale individuata dalla retta r, di
quale triangolo?
Il terzo triangolo è il trasformato, nella simmetria assiale individuata dalla retta s, di quale
triangolo?
Come sono i due triangoli ABC e A’’B’’C’’? (osserva i loro lati)
Quali informazioni sono necessarie per individuare A’’B’’C’’ partendo da ABC?
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Chiama O il punto di intersezione fra r ed s; disegna i segmenti OA e OA’’ e misura l’angolo AOA’’ e
l’angolo rOs (nell’opzione stile delle proprietà di α cambia le dimensioni in modo da distinguere un
angolo dall’altro).
Muovi i triangoli e/o le rette.
A’’B’’C’’ è il trasformato di ABC nella rotazione individuata da quale angolo?
Che relazione c’è fra tale angolo e l’angolo rOs?
Attività 7: Composizione di simmetrie assiali con assi perpendicolari.
Disegna un triangolo qualunque ABC ed una retta r esterna ad esso;
disegna il triangolo A’B’C’ simmetrico di ABC, disegna un’altra retta s perpendicolare alla retta r, in modo
che essa sia esterna ai due triangoli;
applica nuovamente l’opzione simmetria rispetto ad una retta (al triangolo A’B’C’ con la retta s)
ottenendo il triangolo A’’B’’C’’.
Come sono i due triangoli ABC e A’’B’’C’’? (osserva i loro lati)
Quali informazioni sono necessarie per individuare A’’B’’C’’ partendo da ABC?
Chiama O il punto di intersezione fra r ed s; disegna i segmenti OA e OA’’ e misura l’angolo AOA’’.
A’’B’’C’’ è il trasformato di ABC secondo quale trasformazione?
Che relazione c’è fra l’angolo AOA’’ e l’angolo rOs?
Ma A’’B’’C’’ è anche il trasformato di ABC rispetto ad un’altra trasformazione: sai
individuarla?
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
L’omotetia
Attività 8: Dato un qualunque triangolo, costruisci un secondo triangolo i cui lati siano doppi e paralleli di
quelli del primo.
Disegna un triangolo ABC e sia P un qualunque punto del piano (inizialmente per facilitare la costruzione
fissalo fuori dal triangolo)
disegna ora tre semirette uscenti da P e passanti per i punti A, B e C;
come puoi ora disegnare su tali semirette dei segmenti adiacenti a PA, PB e PC e congruenti ad
essi?..................(pensa alla circonferenza di centro .... e raggio........);
detti A’, B’ e C’ gli estremi di tali segmenti, disegna il triangolo che li ha come vertici, misura i suoi lati e
quelli del triangolo iniziale.
Che relazione intercorre fra tali triangoli (cioè fra i loro lati)? Essi sono .................... e ...............
Osservazione: la trasformazione appena applicata al triangolo ABC per ottenere il triangolo A’B’C’ è detta
omotetia (di centro P e rapporto 2)
Attività 9: Dato un qualunque triangolo, costruisci un secondo triangolo i cui lati siano uguali e paralleli a
quelli del primo, ma esso sia ribaltato.
Attività 10: Dato un qualunque triangolo, costruisci un secondo triangolo i cui lati siano in proporzione (con
rapporto k) a quelli del primo.
Disegna un triangolo ABC e sia P un qualunque punto del piano (inizialmente per facilitare la costruzione
fissalo fuori dal triangolo)
Inserisci nella barra sottostante la scrittura k = 2.3;
Visualizza la vista algebra: compare l’elenco degli oggetti inseriti nella vista grafica; fai un clic sul pallino
a fianco della k: a destra compare un segmento con un punto. Esso rappresenta lo slider di k, ovvero
muovendo il punto lungo il segmento il valore del parametro k varia (si possono impostare intervallo di
variazione e incremento attraverso proprietà del punto).
Ora scegli l’opzione Dilata l’oggetto da un punto, dato un fattore e seleziona nell’ordine il triangolo, il
punto P e poi digita k nella casella di testo che compare.
Ottieni un secondo triangolo A’B’C’: esso è il trasformato di ABC nell’omotetia di centro P e rapporto k.
Modifica lo slider, vedi come varia l’immagine di ABC, cioè il triangolo A’B’C’, al variare del rapporto di
omotetia, cioè k. Modifica la posizione di P e osserva come variano i triangoli.
Cosa succede se k = 1?
Cosa succede se k = -1?
Cosa succede se k = 2?
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
I luoghi geometrici con GeoGebra
Attività 1: costruzione di un’ellisse (attraverso l’applicazione di una affinità ad una
circonferenza)
Disegna una circonferenza di centro O e passante per un punto A;
sia B un punto esterno ad essa e disegna la circonferenza di centro O e raggio OB;
considera un punto Q sulla circonferenza esterna;
disegna i segmenti OQ ed OB e sia M il punto di intersezione fra OQ e la circonferenza interna;
costruisci una retta passante per M e parallela ad OB;
costruisci una retta passante per Q e perpendicolare ad OB; sia P il punto di intersezione fra le
due rette;
Costruisci ora il luogo dei punti descritto dal punto P al variare di Q lungo la circonferenza esterna:
è un’ellisse.
Attività 1b: costruzione di un’ellisse (attraverso la costruzione detta “del giardiniere”)
Disegna un segmento AB e su di esso prendi il punto C;
Disegna quindi i segmenti AC e CB (ad essi vengono assegnati i nomi b e c che puoi
visualizzare nella vista algebra);
Disegna due ulteriori punti F1 ed F2 (distanti fra loro meno della lunghezza del segmento
AB);
Costruisci quindi due circonferenze, usando il comando “circonferenza dato centro e
raggio”: C1(di centro F1 e raggio b che inserisci nella finestra che è comparsa) e C2 (di
centro F2 e raggio c);
Chiama E ed F i punti di intersezione fra le circonferenze e costruisci i due luoghi: luogo1
di E al variare di C e luogo2 di F al variare di C;
L’unione dei due luoghi dà origine all’ellisse in cui l’asse maggiore è lungo AB.
Attività 2: costruzione di un’ellisse (secondo la definizione)
Disegna tre punti F1, F2 ed A; sia C la circonferenza di centro F1 e raggio F1A (con A scelto a
piacere purché F2 risulti all’interno di C);
segnare su C un qualunque punto Q e disegnare il segmento QF2;
tracciare la retta s asse di QF2 e tracciare la retta r passante per Q ed F1;
individuare il punto P intersezione delle due rette;
costruendo il luogo dei punti descritto da P al variare di Q, si trova una ellisse: è infatti costante la
somma delle distanze di P dai due fuochi (la somma di tali segmenti è sempre uguale al raggio della
circonferenza C).
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
Attività 3: l’iperbole
Disegna una iperbole ricostruendo la figura
della precedente attività, disegnando però la
circonferenza con questa modifica: il secondo
fuoco sia esterno ad essa.
Attività 4: costruzione di una parabola
Siano F ed A due punti del piano;
sia r una retta passante per A e non per F;
sia Q un punto della retta r (diverso da A e da B
(secondo punto della retta); disegna il segmento
FQ ed il suo asse;
disegna la retta s passante per Q e perpendicolare ad r;
sia P il punto di intersezione dell’asse con s;
costruisci quindi il luogo geometrico di P al variare di Q sulla retta r.
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a cura di Renata Paoli
Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Ricerca di luoghi geometrici
Problema 1: determina il luogo dei centri delle circonferenze che sono interne ad una stessa
circonferenza, tangenti ad essa ed ad un suo diametro.
Disegna una circonferenza di centro O e raggio a piacere; su di essa prendi un punto P;
disegna la retta passante per P ed O e sia Q il suo ulteriore punto di intersezione con la
circonferenza;
considera sulla circonferenza un punto P’ diverso da P;
disegna il raggio P’O e successivamente la retta t perpendicolare a P’O passante per P’ (retta che
sarà quindi tangente alla circonferenza nel punto P’);
un punto C che sia centro di una circonferenza tangente internamente in P’ a quella di partenza e
al diametro PQ è equidistante da esso e dalla retta t, quindi appartiene alla bisettrice dell’angolo
formato dalla t e dalla retta PQ.
Una volta disegnata l’intera figura vi sono due modi possibili di operare:
1. sfruttando l’opzione luogo dei punti applicata a punto C al variare di P’ sulla circonferenza;
2. segnando con l’opzione traccia il punto C e quindi, in modalità puntatore, spostando il punto
P’ lungo la circonferenza alla quale è vincolato.
Il risultato finale sarà quasi identico, la configurazione del luogo geometrico cercato più o meno
raffinata. Al variare della circonferenza e del punto P si deve fare attenzione ai comportamenti del
luogo creato nell’uno o nell’altro caso perché diversi: nel primo esso si modifica, nel secondo
invece la traccia ottenuta resta ferma.
Problema 2: determina il luogo dei punti medi delle corde staccate su una circonferenza da un
fascio di rette aventi per centro un punto della circonferenza stessa.
Disegna una circonferenza qualunque e siano C (centro del fascio di rette) e D due suoi punti
(sempre diversi da quelli dati dal sistema);
disegna la retta r passante per essi e sia E il punto medio del segmento CD;
A questo punto puoi procedere come sopra nel caso 1 o nel caso 2 (E è il punto che crea il luogo),
lasciando fisso C e modificando la posizione di D sulla circonferenza.
Osservazione: tale problema può essere risolto nello stesso modo se il centro del fascio di rette si
trova fuori o dentro la circonferenza (in entrambi i casi esso deve rimanere fisso e varia invece uno
dei due punti appartenenti alla retta ed alla circonferenza, cioè il punto D).
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Problema 3: determina il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti ad una retta e
passanti tutte per uno stesso punto.
disegna una retta t ed un suo punto P (diverso da…) quindi un punto esterno Q;
perché una circonferenza sia tangente alla retta t nel punto P deve avere il centro C sulla retta s,
perpendicolare a t in P;
tale centro deve poi essere equidistante da P e da Q (punti della circonferenza) e quindi
appartenere all’asse del segmento PQ.
Dopo aver eseguito la costruzione sopra descritta è sempre possibile optare per uno dei due modi di
procedere; nel caso si scelga il numero 2 è opportuno evidenziare la traccia non solo del punto C
(centro della circonferenza), ma anche della circonferenza stessa.
Problema 4: determina il luogo geometrico descritto dal vertice Q dei triangoli ABQ che hanno
perimetro costante e vertici A e B fissi.
disegna un segmento AB ed un ulteriore segmento CD maggiore di AB,1 sul quale prendi un
punto P (al variare di P su CD la somma dei segmenti CP e PD rimane invariata);
crea la circonferenza con centro in A e di raggio CP (che il sistema avrà chiamato b),
successivamente quella di centro B e di raggio PD (sarà c);
siano Q1 e Q2 i punti di intersezione fra le due circonferenze;
costruisci i due triangoli ABQ1 e ABQ2; il perimetro di tali triangoli è costante al variare di P sul
segmento CD
Come nei problemi 1 e 2 si ottiene il luogo seguendo le posizioni di Q1 e Q2 al variare di P lungo
il segmento CD. Che scopri essere……………………………
1
La condizione CD >AB assicura l’esistenza dei triangoli ABC (disuguaglianza triangolare).
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Esercizi sui luoghi geometrici
1. Per un punto quante circonferenze passano…perché….dove sono i loro centri?
2. Per due punti circonferenze passano…perché….dove sono i loro centri?
3. Per tre punti…?
4. Data una circonferenza disegna il luogo geometrico dei punti medi delle corde aventi un estremo in
comune P appartenente alla circonferenza.
5. Data una circonferenza disegna il luogo geometrico dei punti medi delle corde aventi un estremo in
comune P interno alla circonferenza.
6. Disegna il luogo geometrico dei punti medi delle corde di una circonferenza data, fra loro congruenti
ad una data corda AB. Giustifica perché esso è………………………………….?
7. Disegna il luogo geometrico dei punti di intersezione fra le rette appartenenti a due distinti fasci di
centri rispettivamente A ed O assegnati.
8. Disegna il luogo geometrico dei punti che sono i piedi delle perpendicolari condotte da un punto A a
tutte le rette passanti per un punto B.
9. Data una circonferenza C, disegna il luogo geometrico dei vertici dei triangoli equilateri circoscritti
alla C.
10.Data una circonferenza C, disegna il luogo geometrico dei vertici dei quadrati circoscritti alla C.
11.Data una circonferenza C, disegna il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti
contemporaneamente ad un diametro AB ed alla circonferenza C.
12.Disegna il luogo geometrico dei centri delle circonferenze di dato raggio e tangenti ad una
circonferenza data.
13.Disegna il luogo geometrico dei centri delle circonferenze di dato raggio minore di r e tangenti ad una
circonferenza data di raggio r.
14.Disegna il luogo geometrico dei centri delle circonferenze di dato raggio e tangenti ad una retta data.
15.Disegna il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti a due rette date.
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
16.Date tre rette come in figura disegna:
a.
Le circonferenze tangenti contemporaneamente alle tre rette (quante sono ?)
b. Tutte (se possibile ) le circonferenze tangenti ad almeno due delle suddette rette.
17.Disegna la circonferenza passante per due punti A e B assegnati e con centro appartenente ad una
retta data.
18.Disegna la circonferenza tangente ad una retta data e con centro in P assegnato.
19.Disegna la circonferenza tangente a due rette date e con centro appartenente ad una retta data.
20.Disegna il luogo geometrico dei punti medi dei segmenti che hanno per estremi un punto assegnato
A ed un punto della retta r data.
21.Dati due punti A e B , disegna il luogo geometrico dei punti P tali che i due segmenti PA e PB siano
perpendicolari.
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
Geometria analitica con GeoGebra
La retta nel piano cartesiano
Inserisci nella barra di algebra m=1 e l’equazione y=m*x;
Clicca sui cerchietti verdi in corrispondenza del simbolo m nella vista algebra per visualizzare lo
slider di m;
Spostando il pallino dell’m sul segmento si muove anche la retta la cui inclinazione cambia al
variare di m;
Se si vuole modificare l’intervallo entro cui varia m, clicca sul tasto dex del mouse in corrispondenza
del punto dello slider e vai su Proprietà; la finestra che compare permette variazioni di vario tipo
tra cui anche l’ampiezza dell’intervallo di m.
Fasci di rette
Inserisci due equazioni di due rette a e b che saranno le generatrici del fascio (per esempio a:y=3*x
e b:x=2), l’espressione k=1 e poi la scritta a+k*b=0 (non in questa forma ma come y-3*x+k*(x-2)=0)
Come sopra visualizza lo slider di k;
Al variare di esso sul segmento si visualizzano le rette del fascio.
Fasci di circonferenze
Inserisci l’espressione k=1 e visualizza lo slider corrispondente
Inserisci l’equazione di una circonferenza del tipo
Selezionando con il tasto destro del mouse la circonferenza, rendi attiva la traccia e quindi anima k
(sempre con il tasto destro del mouse)
I due punti fissi che appartengono a tutte le circonferenze che si disegnano sono proprio i punti di
intersezione fra la circonferenza di partenza e la retta generatrici del fascio.
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Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi
a cura di Renata Paoli
La trigonometria con Geogebra
Funzione seno
Disegna una circonferenza di centro O e raggio 1 (detta circonferenza goniometrica);
Segna un punto P su di essa, il segmento OP e segna l’angolo AOP;
Definisci ora α = Angolo[A , O, P ] ed il punto S = ( α, y(P));
A questo punto se selezioni S con il tasto destro del mouse e fai traccia attiva e poi animi P, al
muoversi di esso S disegna l’andamento della funzione senα, fintanto che l’angolo α varia da 0 a 2π.
Funzione coseno
Come sopra ma definisci C = ( α, x(P));
A questo punto se selezioni S con il tasto destro del mouse e fai traccia attiva e poi animi P, al
muoversi di esso C disegna l’andamento della funzione cosα, fintanto che l’angolo α varia da 0 a 2π.
Funzione tangente
Come da definizione si costruisce la circonferenza goniometrica, un angolo α il cui lato che non è
sovrapposto all’asse x, interseca in R la tangente alla circonferenza per il punto
A(1, 0);
Si definisce T = ( α, x(R));
Al variare di α, la traccia di T è proprio il grafico della tangente di α fra 0 a 2π.
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Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Prof. Giancarlo Dorigotti Volumi: Cubi e piramidi iscritte
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Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Volume del cubo
Costruzione del cubo
Basta costruire un quadrato e poi con opportune simmetrie assiali ottenere le altre 5 facce.
In Geogebra per costruire il primo quadrato:
Pulsante Poligono Regolare
Click del tasto sinistro per indicare i due
punti A e B, estremi del lato, appare la
finestra di dialogo punti dove si deve digitare
il numero di lati: 4 è il valore predefinito,
click sul pulsante OK e si ottiene il quadrato.
Costruire lo sviluppo del cubo:
Accanto al primo quadrato si possono
costruire altri quadrati (attenzione ad indicare
i due punti nell’ordine giusto2 per non
disegnare il quadrato sovrapposto a quello
iniziale) in modo da ottenere lo sviluppo,
oppure si possono usare i comandi per
ottenere il Simmetrico rispetto a una retta.
(vedi file 01Cubo.ggb)
Per visualizzare la misura del lato del quadrato in
modo da permettere di valutare se la stampa riuscirà
a sfruttare tutto il foglio disponibile, verificare le
lunghezze dei lati sulla finestra algebrica. Per
verificare se si riesce a rimanere all’interno di un
foglio A4 tener presente che le misure sono
210mm*297mm: Geogebra lascia un bordo di più di
2 cm, quindi conviene disegnare un rettangolo di
misura 16,5mm*25,5mm, selezionando la zona da
stampare e utilizzando l’anteprima di stampa che
permette anche di scegliere la stampa del foglio in orizzontale o in verticale.
Per i dettagli relativi alla costruzione di tale rettangolo si veda l’APPENDICE Stampare con
Geogebra, alla fine del testo.
Attività
In quanti modi si può disegnare lo sviluppo di un cubo?
Disegnare lo sviluppo di un cubo in modo da massimizzarne la superficie esterna e rimanere
all’interno di un foglio A4 (vedi file 01CuboStampa.ggb)
Costruire il cubo con forbici e nastro adesivo lasciando una faccia aperta per poter accedere
all’interno
Costruire un cubo di lato k ed uno di lato 2k, riempirli di farina (o sabbia). Se quello di lato
k pesa w grammi, quando peserà quello di lato 2k?
Pesare i due cubi e confrontare la misura con la previsione fatta.
2
Il senso di rotazione predefinito è antiorario, quindi per disegnare un quadrato in alto (sopra al segmento
iniziale) basta indicare il primo punto a destra e il secondo a sinistra, per disegnare un quadrato in basso
(sotto al segmento iniziale) basta indicare il primo punto a sinistra e il secondo a destra: la costruzione
prosegue nel senso indicato.
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Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Volume del parallelepipedo
Costruzione di un rettangolo qualunque
Costruiamo ora un rettangolo generico: si potrebbe pensare che sia sufficiente immettere le
lunghezze dei lati, ma per costruire il rettangolo sarà necessario dare un punto di base e la retta su
cui si trova il primo lato o, meglio, i due estremi AB. Procediamo in questo modo:
Inserire i punti A e B, che nella nostra costruzione abbiamo collocato in altezza
Tracciare una retta passante per A e B
Calcolare la distanza fra i punti A e B
utilizzando il pulsante (Distanza o
lunghezza)3
Inserire il valore del parametro b: ad
esempio nella riga di inserimento
digitare b=5
Usando il pulsante Circonferenza dati
centro e raggio si seleziona il centro
(ad esempio B), appare una finestra di
dialogo si digita b (parametro che
rappresenta la lunghezza del secondo
lato): si ottiene la circonferenza c
Tracciare le due perpendicolari ad AB
passanti per A e per B
Trovare il punto d’incontro fra
circonferenza
e
perpendicolare
passante per il suo centro A, sia C tale punto
Tracciare la perpendicolare a BC passante per C
Trovare il punto d’incontro fra tale perpendicolare e quella precedente, sia D tale punto
Costruire il poligono ABCD, usando il pulsante Poligono
(vedi file 02aCostruzioneRettangoloGenericoLati_a_b.ggb)
Macro comando per ottenere rettangoli di formato generico
Comando Crea un nuovo strumento … del Menù Strumenti
Prima inserire gli Oggetti iniziali (click su linguetta in alto): Selezionare gli oggetti nella
costruzione o sceglierli dall’elenco (click sui punti A e B e sul parametro b=5)
Poi gli Oggetti finali (click sul poligono ABCD e sui punti C e D)
Linguetta Nome e icona: Nome strumento digitare il nome: Rettangolo di lati dati (il Nome
comando viene scritto in automatico eliminando gli spazi dal comando precedente)
Guida rapida strumento, digitare: Dati i punti A, B e la lunghezza b costruisce un
rettangolo ABCD
Pulsante di spunta Nella barra strumenti: il comando è nelle barra degli strumenti
Bottone Icona: dove si sceglie il disegno da utilizzare come bottone di comando
Per modificare l’icona o altri aspetti usare il comando Organizza strumenti … del menù
Strumenti.
(vedi file 02bCostruzioneRettangoloGenericoLati_a_bConMacro.ggb)
3
Nella finestra algebrica appare l’oggetto distanzaAB
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Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Per costruire un bottone nuovo come immagine
In Geogebra, disegnare un rettangolo piccolo, inserire il testo, selezionare il disegno trascinando col
tasto sinistro del mouse premuto, poi File, Esporta, Vista grafica come Immagine, scegliere il
formato .png, altrimenti costruirlo usando altri software grafici nel formato .jpg
(vedi file 02cBottoneRettangoloGenericoLati_a_b.ggb)
Costruzione del parallelepipedo
Per costruire il parallelepipedo bisognerà collocare i punti iniziali A, B e definire i 2 parametri che
rappresentano le lunghezze degli altri due lati, in questo modo:
Collocare i punti iniziali A, B, con i quali si assegna implicitamente la lunghezza del primo
lato: le loro coordinate possono esser digitate direttamente nella riga di inserimento, ad
esempio digitando A=(-1,8) si inserisce il punto A alle coordinate (-1,8)
Inserire i 2 parametri (b=5 e c=2 ad esempio4), che rappresentano le lunghezze degli altri
due lati (si tenga presente che gli slider associati ai parametri vengono impostati
automaticamente da -5 a +5: visto che rappresentano lunghezze di lati conviene partire da
zero e arrivare magari a 10; comunque se si visualizza lo slider anche senza modificarlo e
successivamente si vuol assegnare al parametro b il valore 11 non è possibile e bisogna
prima modificare il valore massimo dello slider)
Disegnare 2 rettangoli uguali di lato iniziale AB e con l’altro lato b (ad esempio) usando la
macro Rettangolo di lati a e b, due rettangoli di lato AD e con l’altro lato c (ad esempio) e
due rettangoli di lato AB con l’altro lato c (sempre usando la macro Rettangolo),
Ovviamente i rettangoli vanno collocati
nel posto giusto per ritagliare il disegno
e ottenere così lo sviluppo del
parallelepipedo.
Calcolare poi le distanze AB, AD ed AF
e il volume.
(vedi file 03CostruzioneParallelepipedoGenericoLati_a_b_c.ggb)
4
Per modificarli, doppio click sulla loro definizione nella finestra algebrica o click sul bottone di visualizzazione che
fa apparire uno slider nel disegna per la modifica diretta.
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Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Per visualizzare la misura del lato dello sviluppo in modo da permettere di valutare se la stampa
riuscirà a sfruttare tutto il foglio disponibile, è possibile calcolare direttamente la distanza fra due
punti: ad esempio la distanza complessiva in larghezza ̅̅̅̅
, quella in altezza ̅̅̅̅
.
Attività
In quanti modi si può disegnare lo sviluppo di un parallelepipedo?
Disegnare lo sviluppo di un parallelepipedo in modo da massimizzarne la superficie esterna
e rimanere all’interno di un foglio A4
Costruire il parallelepipedo con forbici e nastro adesivo lasciando una faccia aperta per poter
accedere all’interno
Ingrandire lungo una direzione lo spigolo di un parallelepipedo di un fattore k. Come varia il
volume? (fare il rapporto fra il peso della farina contenuto nel parallelepipedo iniziale e
quello contenuto nel parallelepipedo finale. - Aumenta del fattore k).
Cosa succede se ingrandiamo in un un’altra direzione lo spigolo di un fattore h? (il volume
aumenta del fattore h).
Cosa succede se effettuiamo le due trasformazioni? (otteniamo un parallelepipedo di base kh
e il volume aumenterà del fattore kh).
Cosa succede se ingrandiamo in tutte tre le direzioni di un fattore 2? (il volume aumenterà di
un fattore 8, e in generale se aumentiamo di un fattore h in tutte tre le direzioni il volume
aumenterà di un fattore h3).
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Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Volume della piramide
Costruzione diretta di una piramide a base quadrata con spigoli uguali
La piramide più semplice da costruire è quella con gli spigoli uguali; le attività che possiamo
organizzare sul volume sono analoghe a quelle precedenti.
Si utilizza Geogebra per disegnare lo sviluppo con triangoli equilateri di lato uguale al lato del
quadrato di base.
Costruire il quadrato di base con il pulsante Poligono regolare
Per visualizzare la misura del lato del
quadrato in modo da permettere di valutare
se la stampa riuscirà a sfruttare tutto il
foglio disponibile, verificare le lunghezze
dei lati sulla finestra algebrica.
Per ottenere lo sviluppo bisogna costruire
dei triangoli equilateri di lato uguale al
lato del quadrato:
Usare il pulsante Poligono
regolare indicando gli estremi dei
lati e digitando 3 nella finestra di
dialogo
Si ripete l’operazione per 4 volte
per disegnare le 4 facce triangolari
della piramide (come si è visto in
precedenza, indicando i vertici del
quadrato di base in senso antiorario
i triangoli vengono disegnati
all’esterno, mentre in senso orario
vengono disegnati all’interno)
(vedi file 04PiramideBaseQuadrataSpigoliUguali.ggb)
Attività
In quanti modi si può disegnare lo sviluppo di una piramide?
Disegnare lo sviluppo di una piramide in modo da massimizzarne la superficie esterna e
rimanere all’interno di un foglio A4
Costruire la piramide con forbici e nastro adesivo lasciando la faccia cubica aperta per poter
accedere all’interno
Ingrandire lo spigolo della piramide di un fattore k. Come varia il volume? (fare il rapporto
fra il peso della farina contenuto nella piramide iniziale e quello contenuto nella piramide
finale. - Aumenta del fattore …).
Raddoppiando l’altezza della piramide, come cambia il volume? E ingrandendo l’altezza di
un fattore h?
Si possono fare altre trasformazioni?
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Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Piramide inscritta in un cubo
Più interessante è il caso della piramide inscritta in un cubo; in questo caso si pone il problema di
ricavare il rapporto fra il volume del cubo e quello della piramide.
Consideriamo una piramide retta a base quadrata ABCD iscritta in un cubo: il vertice sarà sul centro
della faccia superiore del cubo.
Per ottenere lo sviluppo bisognerà costruire dei triangoli isosceli aventi come base lo spigolo del
cubo; il problema è individuare la lunghezza dei lati obliqui.
A tale scopo possiamo pensare ad una sezione del cubo lungo un piano che passa per gli spigoli
opposti (ad esempio gli spigoli verticali uscenti da C e da A): la sezione che tale piano individua sul
cubo sarà un rettangolo avente come base la diagonale del quadrato di base e come altezza lo
spigolo del cubo.
Inoltre tale piano passerà per il vertice della piramide e quindi ci permette di individuarlo.
Per disegnare lo sviluppo procediamo quindi in questo modo:
disegnare il quadrato ABCD,
disegnare il cerchio di centro C e raggio CA,
tracciare le rette r1 ed r2 perpendicolari a DC e passanti per gli estremi D e C,
disegnare la retta r3 perpendicolare ad r1 e passante per E, intersezione di r1 con la
circonferenza c,
disegnare il rettangolo DCEF che rappresenta la sezione del cubo, con lato minore uguale allo
spigolo del cubo e lato maggiore uguale alla diagonale di base AC del cubo,
il punto medio M del lato lungo di tale quadrilatero, ad esempio FD, rappresenterà il vertice
della piramide ed il segmento MC lo spigolo.
(vedi file 05aPiramideIscrittaCubo.ggb)
35
Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
A questo punto, per evitare confusione possiamo nascondere il resto della costruzione e riportare lo
spigolo MC sul quadrato di base, in modo da ottenere il triangolo isoscele che individua la faccia
laterale della piramide:
disegnare la circonferenza c2 di centro C e raggio MC,
trovare il punto medio O sulla diagonale AC (ad esempio),
tracciare la retta ra passante per O e perpendicolare al segmento DC,
trovare il punto V1, di intersezione fra la circonferenza c2 e la retta ra
disegnare il triangolo DCV1 passante per V1.
(vedi file 05bPiramideIscrittaCubo.ggb)
36
Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Disegnare successivamente le altre tre facce laterali:
simmetria del triangolo DCV1 rispetto al punto O e si può ottenere la faccia opposta;
le facce che appoggiano sui lati DA e CB si possono ottenere con rotazioni di 90° rispetto al
centro O.
(vedi file 05cPiramideIscrittaCubo.ggb)
successivamente si nascondono le costruzioni intermedie
(vedi file 05dPiramideIscrittaCubo.ggb)
Dalla costruzione del solido si vede che non sembrano esistere semplici suddivisioni dello spazio
lasciato libero dalla piramide all’interno del cubo in modo da poter stabilire facilmente un
rapporto fra i volumi della piramide e quello del cubo.
Attività
Disegnare lo sviluppo di una di queste piramidi di altezza uguale al lato del cubo in modo da
poterle inserire all’interno del cubo. Perciò le misure dovranno esser leggermente inferiori a
quelle del cubo.
Costruire la piramide con forbici e nastro adesivo, lasciando la faccia uguale a quella del
cubo aperta per poter accedere all’interno
Per confrontare il volume di questa piramide col volume del cubo cosa si può fare?
E quindi quale è la stima del rapporto tra il volume del cubo della piramide a base quadrata e
il volume della piramide a base quadrata iscritta nel cubo?
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Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Piramide inscritta in un cubo di altezza metà del lato
Uno dei modi per stabilire un rapporto fra i volumi del cubo e
quello della piramide inscritta, è quello di costruire una
piramide di lato base uguale a quella del cubo e altezza metà
del lato.
Tali piramidi avranno volume uguale a metà di quello della
piramide inscritta (dato che l’altezza è metà); siccome nel cubo
sono contenute sei di tali piramidi (una per ogni faccia del
cubo), il volume della piramide inscritta sarà un terzo di quello
del cubo5.
Ci si basa sulla costruzione precedente per disegnare il parallelepipedo DCEF, sezione del
cubo.
Successivamente, per individuare lo spigolo si troverà M’ punto medio del segmento E’C’6.
(vedi file 06aPiramideIscrittaCuboAltezzaMeta.ggb)
Il segmento MC è lo spigolo cercato e il triangolo DCM’ una faccia della piramide.
(vedi file 06bPiramideIscrittaCuboAltezzaMeta.ggb)
Poi con successive rotazioni di 90° rispetto ad O, il centro del quadrato, si completa lo
sviluppo e si nascondono le costruzioni intermedie.
(vedi file 06cPiramideIscrittaCuboAltezzaMeta.ggb)
Attività
Disegnare lo sviluppo di una di queste piramidi di altezza uguale a metà del lato del cubo.
Quale è il volume di una di queste piramidi di altezza uguale a metà del lato del cubo in
rapporto al volume della piramide a base quadrata iscritta nel cubo?
Quante piramidi di altezza uguale a metà del lato del cubo, sono contenute nel cubo stesso?
Quale caratteristica del cubo bisogna conoscere per contarle?
Costruire la piramide con forbici e nastro adesivo e metterne assieme 6 per ottenere ..
E quindi quale è il rapporto tra il volume della piramide a base quadrata e il volume del
cubo?
Costruiamo piramidi di volume uguale al cubo: se la base è uguale al cubo, quale sarà la
misura dell’altezza? E se l’altezza è uguale all’altezza cubo, come cambia il lato del
quadrato di base? E se l’altezza e un lato di base sono uguali alla lunghezza dello spigolo del
cubo, come deve ambiare l’altro lato?
5
6
Se le sei piramidi vengono invece girate verso l’esterno (appoggiandole alle facce esterne del cubo)
otteniamo il dodecaedro rombico, che ha ovviamente volume doppio rispetto a quello del cubo.
Dove E’ è punto medio del segmento FE e C’ è punto medio del segmento CD.
38
Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Piramide inscritta in un cubo con vertice sul vertice del cubo
Un altro modo per stabilire un rapporto fra i volumi
del cubo e quello della piramide inscritta, è quello di
deformare la piramide spostando il vertice su quello
del cubo (ovviamente bisognerebbe dimostrare
l’equivalenza fra il volume delle due piramidi. Si veda
la scheda successiva).
Gli spigoli verticali B’C e D’C saranno uguali allo
spigolo del cubo mentre la base coincide con i due
spigoli di base del cubo (DC e CB): in questo modo
posso costruire le due facce triangolari che si
appoggiano alle facce laterali del cubo (DCB’ e CBD’)
Le altre 2 facce triangolari le ottengo costruendo uno
spigolo di lunghezza uguale allo spigolo D’B della
faccia precedente e congiungendo il vertice così
ottenuto con il vertice di base.
Quindi dato il quadrato di base ABCD, trovo il punto D’ simmetrico di D rispetto al lato BC
e il punto B’ simmetrico di B rispetto al lato DC
Questo mi permette di disegnare le due facce perpendicolari rispetto alla base e con altezza
uguale alla base
Il lato obliquo di tali facce sarà uguale (e in 3 dimensioni contiguo) ad uno dei lati delle altre
due facce e lo potrò trasportare sulla verticale della base usando una circonferenza di centro
B raggio BD’: in tal modo ottengo il punto B’’, intersezione di tale cerchio con la
perpendicolare ad AB.
Il punto D’’ lo posso ottenere con lo stesso metodo a partire da una circonferenza di centro
D e raggio DB’, oppure trovando direttamente il triangolo ADD’’ simmetrico di AB’’B
rispetto alla diagonale del quadrato AC.
(vedi file 07cPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)
Attività
Disegnare lo sviluppo di una di queste piramidi.
Costruire la piramide con forbici e nastro adesivo e metterne assieme 3 per ottenere ..
Quante di queste piramidi, sono contenute nel cubo stesso?
E quindi quale è il rapporto tra il volume della piramide a base quadrata e il volume del
cubo?
La costruzione evidenzia che il cubo contiene tre di tali piramidi e pertanto il volume della
piramide inscritta sarà un terzo di quello del cubo.
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Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Equivalenza fra piramide retta e piramide con vertice sul vertice del cubo
Uno dei modi per dimostrare l’equivalenza fra le due piramidi è quello di tener presente che
abbiamo già dimostrato che il volume del cubo è il triplo del volume della piramide retta
(utilizzando le 6 piramidi di altezza metà del cubo), quindi sarà anche uguale al volume delle tre
piramidi uguali che hanno il vertice su uno dei vertici del cubo e che lo riempiono completamente.
Usando invece il teorema di Cavalieri, un modo per dimostrare l’equivalenza è riuscire a trovare
una suddivisione della piramide in sezioni che rimangono equivalenti nella traslazione del vertice
della piramide dal centro della faccia del cubo ad uno dei vertici (del cubo).
Una sezione parallela al piano di base (costituito dalla faccia del cubo) sarà sempre un quadrato e
nella traslazione del vertice rimane sempre un quadrato (equivalente a quello iniziale) che scivola
verso lo spigolo della piramide fino a che gli spigoli e i due lati adiacenti non coincidono.
Ovviamente la dimostrazione dovrà verificare questo, ma poter visualizzare quanto succede può
essere di grande aiuto.
In Geogebra ho visualizzato la sezione della piramide vista dall’alto.
(vedi file 07dPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)
Il vertice della piramide retta si trova sul punto rosso O; muovendo il vertice V7 verso il basso lungo
la diagonale DB, la piramide e tutte le sue sezioni (fra le quali ho evidenziato la sezione S1S2S3S4
che si trova a metà altezza ed è costruita sui punti medi delle diagonali rispetto al vertice V) si
spostano rimanendo equivalenti8, finché S2 non coincide con B.
Quindi i volumi della piramide iniziale e finale coincidono.
Per evitare la difficoltà di catturare con il mouse il vertice V quando coincide con O9, è possibile
utilizzare uno slider, in modo da intervenire solo su quel pulsante. Allo scopo la diagonale può esser
definita come una funzione, ad esempio f(x) = Se[x ≥ 0 ∧ x ≤ 10, 10 - x]10
Lo slider che modifica la variabile e, permette di costruire il vertice V della piramide di coordinate
(e,f(e)) e i vertici del quadrato che rappresenta la sezione si possono costruire facendo i punti medi
dei segmenti che collegano i vertici del quadrato di base al punto V.
(vedi file 07ePiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)
Facendo molti punti medi (ad esempio 7) per ognuno dei segmenti che collegano i vertici del
quadrato di base al punto V e collegandoli assieme con 7 quadrilateri iniziando dal più grande (la
sezione che, vista dall’alto, si troverebbe in basso) si visualizzano le varie sezioni della piramide
con quella più vicina al vertice V di colore più scuro.
Muovendo lo slider in modo che il vertice V della piramide si sposti verso il vertice B del cubo, le
sezioni si spostano tutte assieme, avvicinandosi sempre più verso il vertice B del cubo e
allontanandosi sempre più dal vertice D del cubo. Quando il vertice V si sovrappone al vertice B, si
sovrappongono anche tutti i punti della diagonale VB, i punti delle diagonali VA e VC si allineano
sul rispettivo lato, mentre i punti sulla diagonale VD si collocano sulla diagonale del cubo.
(vedi file 07fPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)
Sullo sviluppo possiamo anche riportare le intersezioni fra le facce laterali e le linee di livello:
(vedi file 07gPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)
7
8
9
10
Che inizialmente è disegnato come leggermente spostato rispetto ad O, per facilitarne l’aggancio col mouse.
Avendo calcolato l’area iniziale di questo quadrato si può controllare che nel movimento non cambia. Deve
esser chiaro che questa non è una dimostrazione ma una verifica su un gran numero di casi e sotto condizioni
costruttive da dimostrare.
O con uno dei vertici del cubo.
Supponendo che il primo vertice del cubo abbia coordinate (0,0) e che il secondo abbia coordinate (10,0).
40
Volumi - Cubi e piramidi iscritte
a cura di Giancarlo Dorigotti
Semi piramide con vertice sul vertice del cubo e orientazione dello spazio 3d
Nel piano l’impronta della mano destra e della mano sinistra possono esser sovrapposte con una
simmetria assiale, operazione con la quale l’immagine viene ribaltata nello spazio e che così
diventa sovrapponibile.
Se utilizziamo oggetti collocati nello spazio, ad esempio una mano destra e una sinistra reali, tale
operazione non si può eseguire dato che non possiamo ribaltare oggetti nello spazio a 4 dimensioni.
Questo si può verificare anche con semplici oggetti tridimensionali come le piramidi costruite in
precedenza.
Consideriamo una delle piramidi con il vertice sul vertice del cubo. Dividiamola a metà lungo la
diagonale del cubo con la seguente costruzione:
Quadrato ABCD, faccia di base cubo
La faccia di base sarà il Triangolo ABC, metà della faccia di base del cubo
La faccia BED ha base e altezza uguali allo spigolo del cubo, il punto E si può ottenere
come intersezione della circonferenza di centro B e raggio DB con la retta per CD o come
simmetrico del punto D rispetto al centro C: così posso costruire lo spigolo BE (e quindi il
triangolo)
La faccia AFB ha base uguale allo spigolo del cubo e spigolo BF uguale allo spigolo BE
(precedentemente costruito) e perpendicolare allo spigolo AB
(vedi file 08aSemiPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)
Per procedere oltre nascondiamo la faccia di base ABCD del cubo, tracciamo il cerchio di
centro A e raggio AF, che rappresenta la lunghezza di uno degli spigoli diagonali del cubo
L’intersezione fra tale cerchio ed il cerchio di centro C che serve a costruire lo spigolo
uguale all’altezza del cubo, mi permette anche di trovare lo spigolo diagonale AI da
incollare ad AF: quindi disegnare l’ultima faccia triangolare ACI
(vedi file 08bSemiPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)
Riportiamo tale sviluppo sul rettangolo di stampa verticale A4, in modo da massimizzarne le
dimensioni
(vedi file 08cSemiPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)
Abbiamo costruito una delle due piramidi, come possiamo costruire l’altra?
Dato che sono simmetriche rispetto al piano diagonale del cubo, basterà utilizzare lo stesso
sviluppo della precedente, ma invertirne il verso piegando il foglio sul lato opposto rispetto all’altra:
se la prima è stata piegata sulla faccia stampata del foglio, la seconda va piegata sul lato bianco del
foglio.
Con tre di queste semi piramidi scelte in modo opportuno si può riempire un cubo tagliato a metà
lungo due spigoli opposti e paralleli, ma tali semi piramidi vanno scelte con l’orientamento
adeguato, altrimenti la composizione non riesce: rimanendo all’interno dello spazio a tre dimensioni
ci sono oggetti equivalenti e con la stessa forma che però sono orientati in modo diverso e non sono
sovrapponibili.
Un esempio classico è quello delle mani: la destra e la sinistra non sono sovrapponibili, invece con
una riflessione l’impronta della mano destra e di quella sinistra diventano sovrapponibili (anche se
mantengono un orientamento diverso e quindi un verso di percorrenza diverso)
41
Volumi - Cubi e piramidi iscritte
Appendice
a cura di Giancarlo Dorigotti
Ritorna alla Costruzione del cubo
Stampare con Geogebra
La stampa di un disegno Geogebra, soprattutto nel caso in cui si vogliano mantenere le dimensioni
o se comunque si vuol sfruttare al massimo l’area di stampa richiede alcune considerazioni:
Dato un qualunque disegno, con i menù File, Anteprima di stampa … viene visualizzata una
finestra di stampa11, che quasi sempre ritaglia una parte del disegno; tale finestra sulla prima riga
contiene 4 pulsanti:
Stampa, Chiudi, un terzo pulsante con una % che si riferisce all’ingrandimento a video e non alla
stampa, e il quarto pulsante che permette di stampare sul foglio in Verticale o in Orizzontale.
Sotto a questi pulsanti ci sono due righe in cui si può inserire Titolo, Autore e Data, quindi c’è una
riga che permette di cambiare e visualizzare la scala di stampa.
Cambiando la scala di solito si riesce ad ottenere una visualizzazione completa del disegno, ma con
dimensioni diverse da quelle previste, anche se in realtà il disegno poteva stare facilmente
all’interno di un foglio A4 (210mm*297mm)
Per evitare questo è bene selezionare con il mouse la figura da stampare12 e se la figura rimane
all’interno dell’area stampabile da Geogebra verrà visualizzata per intero.
Dato che Geogebra lascia un bordo di più di 2 cm, quindi conviene predisporre il disegno
all’interno di un rettangolo di misura 16,5mm*25,5mm, selezionando poi la zona da stampare e
utilizzando l’anteprima di stampa che permette anche di scegliere la stampa del foglio in orizzontale
o in verticale. Abbiamo preparato un rettangolo che rappresenta la massima dimensione stampabile.
(vedi file 10aRettangoloDiStampaVerticale.ggb)
Iniziare sempre i disegni con tale file e, a disegno ultimato, cambiare l’origine del rettangolo, in
modo che si trovi nel punto più in basso e più a sinistra del disegno, modificare quindi le
dimensioni del disegno spostandone i punti base fino a raggiungere i confini del rettangolo
Il disegno del rettangolo di stampa verticale è costruito in modo da parametrizzarne le dimensioni e
il punto origine in basso a sinistra:
Definire ed assegnare due variabili x_i=-2 e y_i=-1013, che rappresentano le coordinate del
punto origine in basso a sinistra (e che possono esser facilmente modificate)
Definire ed assegnare due variabili base=15.5 e altezza=25.5 che rappresentano le massime
dimensioni stampabili da Geogebra sul foglio A4, ma che vanno determinate
sperimentalmente e modificate se si vuol stampare su un foglio A3
Definire ed assegnare i 4 vertici del rettangolo: P_1= (x_i, y_i)
P_2= (x_i + base, y_i) P_3= (x_i + base, y_i + altezza) P_4= (x_i, y_i + altezza)
Disegnare il rettangolo P1P2P3P4, ponendo il Riempimento a zero con il comando Opzioni
Stile.
Per ottenere il disegno del rettangolo a stampa orizzontale basterà scambiare i valori delle variabili
base e altezza!
(vedi file 10bRettangoloDiStampaVerticale.ggb)
11
12
13
Finestra che rappresenta l’aspetto finale del foglio stampato.
Partire ad esempio dal punto più in alto e più a sinistra del disegno e trascinare con il tasto sinistro del mouse
premuto fino ad arrivare al punto più in basso e più a destra del disegno: viene visualizzato un rettangolo
azzurrino che rappresenta l’area selezionata.
Tali variabili vengono visualizzate con un pedice in basso; se l’indice in basso richiede più di una lettera o
numero, allora va racchiuso tra parentesi graffe.
42
Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Prof. Stefano Pegoretti Grafico di funzione, derivata e integrale
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Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Scheda introduzione a Geogebra
Dati due numeri a e b definire P(a,b).
1. a=3
2. b=5
3. P=(a,b)
Dato k intero compreso tra -2 e 1 determinare un numero b=k2 e determinare il punto Q(k,b)
1. Slider k tra -2 e 1 con incremento 1
2. B=k^2
3. Q=(k,b)
Al variare di k visualizzare la traccia del punto Q
1. Con il mouse che punta Q pulsante dx scegliere traccia attiva.
Data la funzione f(x)=x3-1 determinare un punto P sul grafico di f(x) di ascissa a=1.32.
1. f(x)= x^3-1
2. a=1.32
3. P=(a,f(a))
Dato il punto P definire un punto Q in modo che le sue coordinate risultino aumentate di 0.7
ovunque sia P.
1.
2.
3.
4.
5.
punto P sul piano
x_P=x(P)
y_P=y(P)
Q=(x_P+0.7,y_P+0.7)
Muovere P.
Data una retta r calcolare il coefficiente angolare m
1.
2.
3.
4.
5.
Strumento retta per due punti
Punti P e Q sulla retta
Δx=x(P)-x(Q)
Δy=y(P)-y(Q)
m=Δy/Δx
44
Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Dato il punto P definire un punto Q in modo che le sue coordinate risultino aumentate di una
quantità k definita da uno slider
1.
2.
3.
4.
punto P sul piano
slider k
P=(x(P)+k,y(P)+k)
Muovere P e lo slider
Dato un punto P sul grafico di f(x) definire Q, ancora sul grafico di f(x), in modo che le ascisse dei
due punti distino un valore h definito da uno slider.
1.
2.
3.
4.
5.
f(x)=0.2x^2-3x
P sul grafico di f(x)
Slider h da -2 a 6 incremento 0.2
x_Q=x(P)+h
Q=(x_P,f(x_Q))
Rappresentare la funzione f(x) = x2-3. Colorare in rosso la parte di funzione con ordinate negative
o nulle.
1. f(x)=x^2-3
2. determina le intersezioni del grafico di f(x) con l’asse x pulsante punto opzione “intersezione di
due oggetti”
3. rinomina con A e B i due punti di intersezione
4. x_A=x(A)
5. x_B=x(B)
6. g(x)=funzione[f(x),x_A,x_B]
7. proprietà di g(x) colore rosso
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Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Scheda grafico di funzione
Rappresentazione del grafico di una funzione
Utilizzando la traccia
1. Punto A sull’asse X
2. xA =x(A)
3. fneA =
4. P=(xA,fneA)
5. Attiva traccia per il punto P
6. Muovi il punto P sull’asse x
Utilizzando il foglio di calcolo
Esempio: sequenza di punti da -3 a 3 con passo 0.25
1.
2.
3.
4.
Visualizza vista foglio di calcolo
Nella cella A1 digitare -3
Cella A2 formula =A1+0.25
Trascinare in basso fino a cella A25
5. Cella B1 digitare =1/4*A1^3
( )
6. Trascina in basso fino a B25
7. Seleziona le celle da A1 a B25
8. Pulsante dx e opzione “crea lista di punti”
per evitare le etichette su ogni punto: menu opzioni e disattiva etichettatura per nuovi oggetti
Funzione definita su un intervallo
[
( )
1. Comando: f(x)=funzione[x^2,0,2]
Funzione definita su intervalli diversi
( )
{
1. Comando: f(x)=Se[x>=0,x^2,x-1]
46
]
Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Scheda derivata
Significato geometrico di derivata (e grafico funzione derivata)
La figura vuole essere un aiuto per la comprensione della definizione di derivata prima e del suo significato
geometrico; ed offrire inoltre la possibilità di valutare la relazione fra crescenza della funzione e segno della derivata.
In questa figura si è volutamente tralasciato il concetto di derivata dx e sx rimandandone lo studio in un successivo
modello nel quale sia rappresentata una funzione che possa valere quale contro esempio.
Comandi utilizzati:
ascissa
Ordinata
Punto
Funzione
Scheda slider
Derivata[f(x)]
x(punto)
Restituisce l’ascissa del punto
y(punto)
Restituisce l’ordinata del punto
P=(2,3)
Crea un punto definito P di coordinate 2,3
f(x)=-2*x^2+3*x
Crea una funzione definita f di equazione
Permette di definire un parametro variabile (numero oppure angolo) in un determinato intervallo
min max con un determinato incremento. E’ possibile utilizzare il parametro definito dallo slider ad
esempio per costruire un punto mobile oppure una famiglia di funzioni.
Per avere a disposizione un parametro a che varia da -2 a 3 con incremento 0,2 occorre definire una
lunghezza della barra slider pari a 25= 5/0,2
Rappresenta il grafico della derivata di una funzione f(x)
Costruzione:
1.
Definire funzione f(x)=
2.
Punto X0 sull’asse x. Sarà l’ascissa del punto P sul grafico di f(x) dove vogliamo calcolare il coeff angolare della
retta tangente (nascondi l’etichetta. (Usa la sintassi X_0 per ottenere il pedice e se il pedice è composto ES:
X0+h :usa la sintassi X_{0+h}).
3.
Determina il punto P sul grafico di ascissa X0. P=(x(X0),f(x(X0)))
Costruire un punto Q sul grafico di f(x) in modo che xQ disti h da xP.
1.
2.
3.
4.
5.
Slider definito h1 da 0 a 3 con passo 0.01 e lungo quindi 300 (3/0.01).
-lo slider simulerà il limite h→0.
Punto X0+h=(x(X0)+h1,0) (in questo modo X0+h dipende dalla scelta di X0).
Q=(x(X0+h),f(x(X0+h)))
Segmento h da X0 a X0+h colore rosso e spessore 6
Retta r passante per P e Q.
Calcolare il coefficiente angolare m della retta r
1.
2.
3.
4.
Variazione della x tra P e Q: Δ_x=x(Q)-x(P) notare come il valore coincida con h
Variazione della y tra P e Q: Δ_y=y(Q)-y(P)
m= Δ_y/ Δ_x
casella di testo per riportare il valore di m nel foglio
muovendo lo slider verso 0 la retta r si approssima a quella tangente.
Poiché quando h=0 si ha QP la retta r non può essere rappresentata conviene disegnare la retta
tangente in P e valutarne la pendenza mediante i pulsanti di comando dedicati.
47
Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Ovviamente sarà opportuno nasconderla mediante una casella di controllo da attivare solo quando
necessario.
Segno della derivata
Con lo slider a zero e la retta tg a P visibile muovere il punto X 0 ed osservare il valore del coefficiente angolare
Funzione derivata mediante il foglio di calcolo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
crea il punto DP=(x(X0),m) nascosto
Posizionare il punto X0 in ascissa 2
Attivare vista foglio di calcolo
Attivare traccia su foglio di calcolo per il punto DP
Muovere il punto X0 fino ad ascissa 6 (NB: senza inversioni di movimento!)
Disattivare traccia su foglio di calcolo per Dp
Per ripetere la generazione di nuova sequenza di punti eliminare i vecchi dati dal foglio di calcolo posizionare
lo slider nel punto di partenza e ripartire dal punto 4.
A questo punto è possibile analizzare la serie di dati
Rappresentare i dati del foglio di calcolo nel piano
8. Disattivare l’etichettatura automatica per i nuovi oggetti (menu opzioni)
9. Selezionare tutte le coppie di punti
10. Pulsante dx sulla selezione e creare lista di punti.
Attività
Perché la tangente non è definita quando h=0? Come risolvere il problema (limite h->0)?
Ricostruisci la figura utilizzando la funzione:
( )
come puoi distinguere i punti stazionari di
ascissa 2 e -2?
Ricostruisci la figura utilizzando la funzione ( )
cosa succede in (0,3)?
Derivata destra e sinistra
| secondo il procedimento descritto dai punti 1. – 12. Con l’unica
Rappresentare la funzione ( ) |
variazione costituita dallo slider h1 che dovrà variare tra -0.5 e 0.5 con incremento 0.01 (e quindi lunghezza
100) e valore iniziale 0.5.
Attività
Scorrere lo slider da un estremo all’altro in X0=0.4 e quindi in X0
Che cosa rappresenta il movimento dello slider?
Osservare come varia il coefficiente angolare della retta PQ nei due casi.
Eventualmente registrare la sequenza di valori nel foglio di calcolo.
Funzione derivata
1.
2.
3.
4.
Rappresenta la funzione ( )
Rappresenta il grafico della derivata di f(x) con il comando f’=derivata[f(x)] oppure f’(x)
Individua le intersezioni della derivata con l’asse X (secondo pulsante)
(eventualmente) traccia le perpendicolari all’asse X per i punti di intersezione derivata asseX
48
Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Attività
Cosa rappresentano i punti di intersezione derivata –asse X?
Quando il grafico della derivata è nel semipiano positivo (negativo) delle ordinate?
Cosa indica il punto di massima ordinata della derivata?
Rappresenta il grafico della derivata della derivata f’’=derivata[f’(x)]
Dove si annulla f’’?
Ripeti con ( )
Ripeti con ( )
( ) NB: colora i grafici in modo opportuno!
( )
con k definito attraverso uno slider da -5 a 5 incremento 1 e valore iniziale 0.
Cosa succede al variare di k?
49
Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Scheda Area sottesa da un grafico, funzione integrale
Comandi utilizzati:
integrale
Integrale[f,a,b]
Calcola l’area con segno di f(x) tra a e b
poligono
p=poligono[A,B,C,..]
Costruisce il poligono p di vertici A,B,C,… e ne restituisce l’area
Somma superiore
SommaSuperiore[f,a,b,n]
Approssima per eccesso l’area sottesa da f(x) nell’intervallo [a,b] con
n rettangoli
Somma inferiore
SommaInferiore[f,a,b,n]
Approssima per difetto l’area sottesa da f(x) nell’intervallo [a,b] con n
rettangoli
Somma Trapezi
SommaTrapezi[f,a,b,n]
Approssima per difetto l’area sottesa da f(x) nell’intervallo [a,b] con n
trapezi
Calcolare l’area sottesa al grafico della funzione
utilizzando il metodo dei trapezi.
( )
nell’intervallo [1,6],
Preparazione
1. definire la funzione ( )
2. punti A e B sull’asse x di ascissa rispettivamente 1 e 6 (usa il mouse con l’opzione cattura punto
automatica oppure attiva). Rappresentano gli estremi dell’area da calcolare.
3. a=x(A), b=x(B)
4. area = integrale[f,a,b). Con questa istruzione la variabile area=∫ ( ) è istanziata con il valore
numerico dell’area ed il sottografico tra a e b è evidenziato con una zona colorata.
Creazione dinamica dei trapezi
1. slider numTrapezi da 1 a 20 incremento 1 con valore iniziale 3
ciò significa che l’area sarà divisa con un massimo di 20 trapezi
2. Slider trapezioNum da 1 a 20 incremento 1 con valore iniziale 1
Individuiamo ora la lunghezza Δ della base dell’ i-esimo trapezio ed i suoi 4 vertici: Xi e Xj sull’asse X e Xif,
Xjf sulla curva f
1. Δ=(b-a)/numTrapezi
2. xi=a+(trapezioNum-1)*Δ
Se trapezioNum=1 allora xi coincide con a.
Se trapezioNum=n allora xi coincide con il punto distante (n-1)*Δ da a.
3. Xi=(xi,0)
4. xj=x(Xi)+Δ
xj precede xi di Δ
5. Xj=(xj,0)
6. Xif=(xi,f(xi))
7. Xjf=(xj,f(xj))
50
Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Costruire il poligono (trapezio) di vertici Xi e Xj, Xif, Xjf
8. trapezio=Poligono[Xi, Xj, Xjf, Xif]
la variabile trapezio è istanziata con la misura dell’area.
Muovendo lo slider trapezioNum visualizziamo , uno per volta, i trapezi che ricoprono l’area sottesa
dal grafico mentre la variabile trapezio ci da l’area relativa.
Calcolare l’area approssimata mediante il foglio di calcolo.
1. Per avere traccia di un valore nel foglio di calcolo è necessario che tale valore sia rappresentato da
un punto. Quindi creiamo il punto AT non necessariamente visibile sul foglio di coordinate
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
AT=(trapezioNum,trapezio)
Visualizza foglio di calcolo
Sposta slider trapezioNum su 1
Con il mouse su AT pulsante dx scegli “traccia sul foglio di calcolo”
Sposta lo slider trapezioNum facendo attenzione a non superare il limite dx dell’area.
Disattivare la traccia sul foglio di calcolo
Calcola la somma dei valori delle singole aree =somma[B1:Bn]
È possibile risolvere il problema delle aree, con una modalità molto più strutturata,
anche utilizzando i comandi forniti da geogebra.
51
Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Integrale definito come limite di successioni approssimanti
Esempio per l’uso del comando SommaSuperiore e SommaInferiore
Preparazione
1. Definire la funzione: f(x) = 4 sin((x + π / 4) / 4)
2. Impostare l’unità di misura delle ascisse in π con separazione in π/2
pulsante dx mouse sulla figura: opzione “vista grafica”unità π e distanza π/2
3. punti A e B sull’asse x di ascissa rispettivamente e
(usa il mouse con l’opzione cattura punto
automatica oppure attiva). Rappresentano gli estremi dell’area da calcolare
4. a=x(A), b=x(B)
5. area = integrale[f,a,b).
6. Slider numRettangoli da 1 a 100 incremento 1 valore iniziale 3 larghezza 200
7. comando sommaInf= SommaInferiore[f(x), x(A), x(B), numRettangoli]
8. comado sommaSup= SommaSuperiore[f(x), x(A), x(B), numRettangoli]
Esempio per comando SommaTrapezi
1. Ripetere i passi da 1. a 5.
2. Slider numTrapezi da 1 a 30 incremento 1 valore iniziale 2
3. Comando areaApprox=SommaTrapezi[f(x),a,b,numTrapezi]
Funzione Integrale
Rappresentare il grafico (come traccia) della funzione integrale ( )
∫ (
)
Preparazione
1.
2.
3.
4.
Definire la funzione: ( )
Slider b da 0 a 6 incremento 0.001 lunghezza 400 valore iniziale 0
Comando area=integrale[f(x),0,b]
Casella di testo con: "F(b)= \int_{0 }^{ " + b + "} " + f
Si tratta ora di associare alla variabile area un punto P nel piano di coordinate b ed area.
5. P=(b,area) proprietà: traccia attiva
6. Muovere lo slider per visualizzare la traccia menu visualizza ->aggiorna videata per eliminare la
traccia presente.
Attività
Cosa rappresenta il punto di massima ordinata della traccia?
Cosa rappresenta il punto di intersezione della traccia con l’asse X?
Traccia crescente? Traccia decrescente?
Variare l’intervallo dello slider e del comando integrale: da -4 a 6.
Al posto della traccia sul foglio grafico possiamo utilizza la traccia sul foglio di calcolo
52
Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Rappresentare il grafico (come Luogo) della funzione integrale ( )
∫ (
)
Preparazione
1. Punto X sull’asse x nell’intervallo (0,6)
2. Definire la funzione: f(x)=funzione[
,0,6]
Poiché il punto X non ha una reale limitazione in [0,6] è utile definire la funzione f(x) nell’
intervallo ove calcoliamo l’integrale
3. Comando area=integrale[f(x),0,x(X)] l’area dipende dalla posizione di X
Si tratta ora di associare alla variabile area un punto P nel piano della stessa coordinata x del punto X
ed ordinata area.
4. P=(x(X),area)
5. Comando FneIntegrale=luogo[P,X]
NB: geogebra costruisce il luogo per ogni x senza limitarsi all’intervallo scelto. C’è però il
vantaggio di poter porre un punto mobile sul luogo e valutarne la posizione.
53
Grafico di funzione, derivata e integrale
a cura di Stefano Pegoretti
Scheda funzione integrale
Dopo aver rappresentato il luogo geometrico della funzione integrale con la procedura già vista è
interessante offrire una “prova” grafica della congettura che lo studente ha costruito, nostra
speranza, riguardo al teorema fondamentale del calcolo integrale.
Ovvero provare graficamente che la derivata della funzione integrale è la funzione stessa.
Voglio quindi calcolare il coefficiente angolare della retta tg alla funzione integrale nel punto P che
ha generato il luogo.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
definisco f(x)
areaB=integrale[f(x),0,x(B)] . (B è il punto mobile sull’asse x)
Definisco PB=(x(B),areaB)
Luogo di B al variare di PB. (la funzione integrale)
Opzioni arrotondamento: 3 cifre decimali.
Slider h da 0.01 a 0.5 passo 0.01 lunghezza 300 (è il
)
Costruisco un altro punto sulla funzione integrale per poter trovare una secante e calcolare,
quando h->0, il limite del rapporto incrementale.
7. Definisco Bx+h=(x(B)+h,0) Dipende dalla posizione di B e dista h da esso e sarà la ascissa del
nuovo punto sul luogo
8. areaB+h= integrale[f(x),0,x(Bx+h)] è l’ordinata del nuovo punto sul luogo
9. Definisco PB+h=(x(Bx+h),areaB+h). (PB+h sta sul luogo)
10. Retta t per PB e PB+h
11. Definisco m=(y(Bx+h)-y(B))(x(Bx+h)-x(B)) è il coefficiente angolare di t
quando h->0 t è la tangente alla funzione integrale ed m la derivata della funzione integrale
nota: i punti 7. …11. sono necessari poiché Geogebra non permette di calcolare la tangente ad
un punto del luogo né di calcolare l’intersezione del luogo con una retta.
12. Q=(x(B),m)
13. Opzione traccia per Q. Muovendo B avremo che Q lascia la sua traccia sovrapposta ad f(x)
14. Un Ooh di straordinario stupore ora sarebbe gradito (dagli studenti, naturalmente -:))
Nota: è possibile nascondere i punti PB+h e Bx+h impostando la proprietà “condizione per mostrare
l’oggetto”per entrambi a: h > 0.01
54
Composizione dei gruppi
Composizione dei gruppi
Mingazzini
Avancini
1 A scientifico
1
scientifico
20
12/2010
05/2010
03/2011
06/2011
Prime costruzioni, triangoli, quadrilateri.
Computer aula
informatica
Schede
Salvataggio files
No
In laboratorio
(parte teorica,
parte al computer)
13
Criteri congruenza triangoli
Computer aula
informatica
Schede
Salvataggio files,
Appunti sul
quaderno
No
Verifica scritta
15
Introduzione alla geometria piana
Triangoli parallelogrammi
Computer aula
informatica
Appunti
Salvataggio files
No
Verifica pratica
15
55
Tipologia di verifica
Eventuale compresenza
di colleghi
10/2010
03/2010
Modalità di registrazione
del lavoro da parte degli
studenti
Periodo dell’anno
20
21
Modalità di lavoro
Numero di alunni per
classe
1G
1 H scientifico
Argomenti trattati
Classe/i coinvolta/e
Franceschini
Ore impiegate
Docente
Gruppo Geometria del piano
Composizione dei gruppi
Zambonato
Piva
Bollani
Scialino
Veronesi
1
scientifico
2
Tecnico
agrario
16
01/2011
03/2011
22
11/2010
03/2011
1A
ITI
1 A scienze
umane
1B scienze
umane
economico
1
Formazione
professionale
agraria
23
18
14
03/2011
06/2011
12/2010
02/2011
Computer aula
informatica
Schede
No
Verifiche in itinere
Aula informatica: lezione
partecipata,
esercitazione singoli e a
coppie
Schede con
esercizi
No
Correzione
elaborati studente
su file.
Introduzione alla geometria euclidea
Criteri congruenza triangoli
Computer aula
informatica
Schede
No
Verifica orale/
Pratica in
laboratorio
10
Introduzione alla geometria euclidea
Criteri congruenza triangoli
Computer aula
informatica
Schede
No
Verifica
scritta
12
Triangoli e loro classificazione
punti notevoli nei triangoli
proprietà dei triangoli
quadrilateri e loro costruzione
No
Verifica teorica
10
Triangoli
10
Parallelogrammi, Talete, Euclide.
Rette, parabole, sistemi lineari.
10
56
Computer aula
informatica
Schede da
compilare, files
da salvare su
una cartella
personale
Composizione dei gruppi
3S
Burattini
4
5 SB
Grafici di funzioni,
funzioni definite a tratti,
Analisi delle discontinuità
57
Tipologia di verifica
19
Dalcolmo
Eventuale compresenza
di colleghi
6
Parabola
Disequazioni
Vettori e traslazioni
10/2010
04/2011
Modalità di registrazione
del lavoro da parte degli
studenti
Introduzione alle funzioni
22
Lavagna
interattiva
Files
No
Orale
Computer aula
informatica
Schede da
compilare
Files da
salvare
No
Parte di una
verifica
tradizionale
Modalità di lavoro
Numero unità orarie
impiegate e loro
consistenza (50, 60 min.
etc.)
5
4 Rag
Argomenti trattati
Periodo dell’anno
11/2010
Numero di alunni per
classe
Rizzi
Classe/i coinvolta/e
Docente
Gruppo Funzioni
Composizione dei gruppi
Delpero
Grafici di funzioni,
funzioni definite a tratti,
Analisi delle discontinuità
2
3
Carrara 2
3 PNI
01/2010
Carrara 1
3 PNI
11/2010
Pagliacci
3 Liceo
Scientifico
3 ITI
Mazzini
2
Professionale
6
Coniche,
proprietà focali.
Equazioni e disequazioni irrazionali
Computer aula
informatica
Schede
Introduzione alle funzioni e loro
proprietà
Computer aula
informatica
Schede
Sì
Docente
informatica
In laboratorio,
salvataggio
files
Computer aula
informatica
Schede e
appunti
Sì
Docente
sostegno
Verifica
tradizionale
Verifica
tradizionale
Introduzione alle funzioni e loro
proprietà
Coniche,
proprietà focali.
Equazioni e disequazioni irrazionali
15
03/2011
8
Grafico funzioni
Rette
58
Composizione dei gruppi
5S
21
Febbraio
marzo 11
01/2011
6
7
59
Appunti
quaderno,
fogli esercizi,
salvataggio
files
no
2 lezioni con
osservatrice
(Ossanna)
Tipologia di verifica
Area, Integrale e Funzione integrale
Aula
informatica,
lavoro a casa,
discussione
uso LIM
Appunti
quaderno,
fogli esercizi
Eventuale compresenza di colleghi
Area, Integrale e Funzione integrale
Aula
informatica,
lavoro a casa,
discussione
uso LIM
Modalità di registrazione del lavoro da
parte degli studenti
Numero unità orarie impiegate e loro
consistenza (50, 60 min. etc.)
Periodo dell’anno
Numero di alunni per classe
23
Modalità di lavoro
Cappello
5S
Argomenti trattati
Bonmassar
Classe/i coinvolta/e
Docente
Gruppo Integrale
Controllo
lavoro svolto a
casa, parte di
una verifica
tradizionale
Controllo
lavoro svolto a
casa, parte di
una verifica
tradizionale
Composizione dei gruppi
Frisanco
Aldrighetti 1
Aldrighetti 2
5 LT
4 ITI
5 ITI
20
11
21
03/2011
01/2011
01/2011
2
2
4
Approssimazione di integrali
Computer aula
informatica
Schede in
parte da
compilare
No
Orali,
parte di una
verifica
tradizionale
Significato geometrico derivata
Proiezione su
schermo di
files preparati
discussione
Schede,
files salvati,
appunti sul
quaderno
ITP
No
Integrali, funzione integrale
Proiezione su
schermo di
files preparati
discussione
Schede,
files salvati,
appunti sul
quaderno
ITP
No
60
Gruppo Geometria del piano
Geometria del piano
Proff. Michele Avancini e Maura Bonazza Geometria del piano
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61
Gruppo Geometria del piano
Classe/i coinvolta/e
1^ Liceo Scientifico
Numero di alunni per
classe
28
Periodo dell’anno
(data inizio – data fine)
da metà marzo a giugno
Numero unità orarie
impiegate e loro
consistenza (50, 60 min.
etc.)
Circa 15 ore scolastiche (50 min.) di esercitazioni in laboratorio e
11 ore scolastiche (50 min.) di lezioni di teoria
Argomenti trattati
Concetti introduttivi della geometria euclidea (definizioni, assiomi,
struttura dei teoremi e schemi di dimostrazioni). Triangoli,
parallelogrammi e loro proprietà.
Modalità di lavoro
(individuale, a gruppi, con
lavagna interattiva, sulle
postazioni al computer in
aula informatica, etc.)
Gli studenti hanno potuto svolgere lavori individuali o collettivi su
postazioni al computer in aula informatica, mentre le lezioni
teoriche sono state svolte normalmente in classe.
Modalità di registrazione
del lavoro da parte degli
studenti
(schede da compilare, files
da salvare, appunti sul
quaderno etc.)
Gli studenti hanno registrato il loro lavoro sia attraverso appunti
personali sia salvando esercizi (svolti in classe oppure assegnati
come compito per casa) su file che venivano periodicamente
consegnati al docente.
Tipologia di verifica
(scritta, orale, relazione a
casa etc.) e tempo di
somministrazione
Per quanto riguarda l’aspetto di teoria, sono state svolte verifiche
scritte e orali, mentre è stata effettuata una verifica “pratica” al
computer in laboratorio di informatica.
valutazione
Esiti della verifica
(in percentuale)
Pratica
Teoria
-
Buono:
25%
43%
-
Discreto:
14%
29%
-
Sufficiente:
32%
21%
-
Insufficiente:
29%
7%
62
Gruppo Geometria del piano
Valutazione dell’attività
(dal punto di vista
dell’apprendimento, del
coinvolgimento degli
studenti e del
gradimento… )
Aspetti critici, aspetti
migliorabili …
E’ stato positivo il fatto di poter affiancare lezioni teoriche con lezioni
laboratoriali: gli argomenti vengono trattati in teoria e poi rivisti in laboratorio
(oppure viceversa). In questo modo i concetti possono essere assimilati più
facilmente perché studiati da punti di vista diversi. Inoltre, l’approccio “pratico” è
stato effettuato nelle ore di informatica: si è quindi cercato, ove possibile, di
richiamare anche alcuni aspetti legati non solo alla matematica ma al linguaggio
informatico di base: ad esempio, si è analizzato come è possibile
nascondere/visualizzare semplici oggetti (come caselle di testo) usando condizioni
espresse con un linguaggio di tipo logico-informatico, oppure come definire
semplici variabili e poi farle comparire, oltre che nella finestra algebra, nel foglio
da disegno.
Gli aspetti critici invece sono relativi all’approccio degli studenti sia nello studio
della geometria razionale, sia nell’utilizzare correttamente il computer. Infatti, dal
momento che non tutti hanno la stessa abilità e dimestichezza nell’usare il
computer, alcuni studenti hanno mostrato difficoltà anche nell’eseguire passo
passo, sotto dettatura del docente, semplici operazioni e istruzioni. Sicuramente,
se l’approccio alla geometria con il software geogebra verrà svolto anche nel
prossimo anno, ci si potrà avvalere del fatto che gli studenti hanno già imparato
ad usare il software, seppure nelle sue funzioni base, e quindi verrà a mancare la
fase di difficoltà iniziale riscontrata quest’anno. L’altro elemento di criticità
riscontrata riguarda, come si diceva, l’approccio degli studenti allo studio della
geometria: emerge infatti una consueta difficoltà generale, dal momento che
molti studenti credono di possedere già i concetti chiave della geometria piana,
convinti di averli già studiati nel corso degli studi della scuola secondaria di primo
grado.
Elenco dei files allegati:
schede di lavoro
esempi di file .ggb
utilizzati o prodotti
dagli studenti
eventuale descrizioni di
percorsi
1 tema teorico e 1 tema di recupero
File lezione/esercizi per casa/esercizi di verifica (vedi allegati)
63
Gruppo Geometria del piano
Prof.ssa Manola Bollani Introduzione alla geometria euclidea
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64
Gruppo Geometria del piano
Presentazione del percorso fatto
Istituto: M. Curie di Pergine
Classe: 1° A tecnologico
Tempi: un’ora settimanale in laboratorio per un totale di 10 incontri
Argomenti: introduzione alla geometria euclidea
Descrizione del percorso Introduzione alla geometria euclidea
Ho utilizzato le prime due schede (tesi-ipotesi) per introdurre alcune semplici costruzioni (triangolo
isoscele ed equilatero) ed in generale per avvicinare gli studenti all’uso del programma geogebra.
L’obiettivo delle schede era anche quello di far riflettere sul significato di ipotesi e tesi di un teorema.
Il primo obiettivo è stato generalmente raggiunto dagli studenti, anche se con notevoli differenze tra
individuali; le maggiori difficoltà riscontrate sono state in merito alla lettura attenta della scheda.
L’obiettivo di determinare ipotesi e tesi dalla lettura dell’enunciato è stato raggiunto solo in parte.
Le schede sugli angoli e sui segmenti avevano lo scopo di rivedere e precisare concetti già definiti alle
scuole medie mediante semplici costruzioni. Gli obiettivi sono stati generalmente raggiunti.
Ho verificato il raggiungimento degli obiettivi mediante una verifica orale/pratica in laboratorio.
Conclusione
Gli studenti hanno apprezzato le attività di laboratorio e l’uso del programma; ho dovuto dare una
valutazione formale alle attività svolte in laboratorio perché la tendenza diffusa era quella di non
considerare la modalità laboratoriale come lezione vera e propria.
I tempi si sono dilatati molto rispetto al previsto.
Continuerò a utilizzare il programma come utile supporto per la trattazione di altri argomenti.
SEGMENTI
Definizione di segmento: data una retta orientata e due suoi punti A e B, il segmento AB è l’insieme dei
punti della retta formato da A, B e dai punti compresi fra A e B.
A e B si dicono estremi del segmento.
Definizione di segmenti consecutivi: sono segmenti che hanno in comune soltanto un estremo.
Definizione di segmenti adiacenti: sono segmenti consecutivi che appartengono alla stessa retta.
Es 1: costruiamo segmenti consecutivi e adiacenti
- Disegna due segmenti: AB e CD a piacere
65
Gruppo Geometria del piano
Costruisci ora due segmenti uguali ad AB e CD ma che siano consecutivi, seguendo le seguenti istruzioni:
- fissa un punto P, che sarà il punto che avranno in comune i due segmenti
- disegna la circonferenza di centro P e raggio AB; su di essa scegli un punto e collegalo con P
mediante un segmento; disegna una seconda circonferenza di centro P e raggio CD; scegli su di essa
un punto e collegato con P
- Come sono i due segmenti?...........................................Quale punto hanno in comune?.......
Costruisci ora due segmenti uguali ad AB e CD che non siano solo consecutivi ma anche adiacenti:
- come prima disegna le due circonferenze di centro P e raggi rispettivamente uguali ai segmenti AB
e CD.
- Disegna ora una qualsiasi retta passante per P e per un punto appartenente ad una delle due
circonferenze (chiamalo Q); questa retta intersecherà anche la seconda circonferenza in due punti:
scegli tra questi due punti quello che rispetto a P sta dalla parte opposta di Q.
- Come sono i due segmenti?.............................. Quale punto hanno in comune?..............
Es 2: costruiamo l’insieme dei punti che sono equidistanti da due punti dati A e B.
Segna i punti A e B
Traccia il segmento AB
Traccia ora due circonferenze di centro rispettivamente A e B ed entrambe di raggio AB.
Che tipo di triangolo hai costruito?.........................................................................
Segna i due punti in cui le circonferenze si incontrano C e C’
Traccia la retta passante per C e C’
Prendi un qualsiasi punto P su questa retta e misura la distanza tra questo punto e l’estremo A e tra
lo stesso punto e l’estremo B. Cosa osservi?........................................................
- Il triangolo ABP è quindi un triangolo ……………………
perché……………………………………………………………………………………….
- Tutti i punti appartenenti alla retta CC’ hanno la stessa proprietà che hai verificato per il punto P?
………..
LA RETTA CC’ CHE HAI TRACCIATO SI CHIAMA ASSE DEL SEGMENTO AB ED E’ L’INSIEME DI TUTTI I PUNTI
DEL PIANO CHE SONO EQUIDISTANTI DAI PUNTI A E B
-
Es 3: dati due segmenti vogliamo costruire il segmento che è la somma dei due
-
disegna i segmenti AB e CD (non farli uguali)
disegna la semiretta AB
vogliamo ora disegnare un segmento uguale a CD che sia adiacente al segmento AB: traccia la
circonferenza di centro B e raggio CD. Chiama E il punto di intersezione tra la circonferenza e la
semiretta AB. Il segmento BE è ……………………………………
i segmenti AB e BE sono …………………………………
-
il segmento AE è il segmento che è la somma tra i due segmenti e si scrive: AB+CD=AE
-
CON QUESTO ESERCIZIO ABBIAMO IMPARATO CHE PER SOMMARE DUE SEGMENTI PER PRIMA COSA
DOBBIAMO FARE IN MODO CHE SIANO ADIACENTI; A QUESTO PUNTO LA LORO SOMMA E’ IL SEGMENTO
CHE HA PER ESTREMI I LORO ESTREMI NON COMUNI.
66
Gruppo Geometria del piano
Definizione di multiplo di un segmento: si chiama multiplo di un segmento a, secondo il numero naturale
n, un segmento b congruente alla somma di n segmenti congruenti ad a, cioè: b=na.
Definizione di sottomultiplo di un segmento: si chiama sottomultiplo di un segmento a, secondo il numero
naturale n≠0, un segmento b tale che a=nb.
UN POSTULATO AFFERMA CHE DATO UN SEGMENTO ESISTE SEMPRE IL SUO SOTTOMULTIPLO SECONDO
UN QUALSIASI NUMERO NATURALE n≠0
Definizione di punto medio di un segmento: il punto medio di un segmento è quel suo punto che lo divide
in due segmenti congruenti (uguali)
UN POSTULATO AFFERMA CHE ESISTE SEMPRE IL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO ED E’ UNICO
Es 4: Dato un segmento vogliamo costruire un suo multiplo e sottomultiplo
a) dato il segmento AB vogliamo costruire il multiplo del segmento AB secondo il numero naturale n=5
- traccia la semiretta AB; traccia la circonferenze di raggio AB e centro B; chiama C il punto di
intersezione tra circonferenza e semiretta diverso da A; disegna ora la circonferenza di centro C e
raggio AB e prosegui con le altre circonferenze in modo da avere 5 segmenti a due a due adiacenti e
tutti uguali ad AB. Il segmento che ha per estremi A e l’ultimo estremo trovato è il segmento multiplo
che si indica con 5AB
b) vogliamo ora costruire il sottomultiplo di AB secondo il numero n=5
- Disegna un segmento PQ uguale al segmento AB
- Traccia una qualunque semiretta di origine in P (che non sia PQ)
- Su questa semiretta riporta con il compasso 5 segmenti uguali tra loro di misura a piacere
- Il primo segmento sarà PA1, il secondo A1A2, il terzo A2A3, il quarto A3A4 e il quinto A4A5
- Traccia ora la retta QA5
- Traccia la retta passante per il punto A4 e parallela alla retta QA5
- Traccia la retta passante per il punto A3 e parallela alla retta QA5
- Traccia la retta passante per il punto A2 e parallela alla retta QA5
- Traccia la retta passante per il punto A1 e parallela alla retta QA5
- Queste cinque rette dividono il segmento PQ in 5 segmenti …………………
Ognuno di questi segmenti è un sottomultiplo secondo il numero 5 del segmento AB
Es 5: vogliamo costruire il punto medio del segmento AB
- Traccia i segmenti AB e CD (fai in modo che CD sia maggiore della metà di AB)
- Traccia la circonferenza di centro A e raggio CD
- Traccia la circonferenza di centro B e raggio CD
- Segna i due punti in cui le due circonferenza di incontrano E ed F
- Traccia il segmento EF
- Chiama M il punto di intersezione tra EF e il segmento AB
Verifica che M è il punto medio dell’intervallo AB
Es 6: vogliamo costruire la circonferenza circoscritta ad un triangolo
-
Disegna un triangolo qualsiasi ABC (scaleno)
Costruisci per ogni lato l’asse del segmento come hai imparato nell’esercizio n° 2
Osserva che tutti e tre gli assi si incontrano in un unico punto che chiamerai O
Disegna la circonferenza che ha centro O e ha per punto uno dei tre vertici del triangolo (è lo stesso il
punto che scegli)
Osserva che la circonferenza tracciata passa per tutti e tre i punti
67
Gruppo Geometria del piano
IL PUNTO O CHE E’ L’INTERSEZIONE TRA I TRE ASSI DEI LATI DEL TRIANGOLO SI CHIAMA CIRCOCENTRO IN
QUANTO E’ IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTI AL TRIANGOLO.
Definizione di angolo: un angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la
stessa origine, incluse le due semirette.
Definizione di angoli consecutivi: due angoli sono consecutivi se hanno in comune soltanto il vertice e un
lato.
Somma di angoli: dati due angoli consecutivi la loro somma è l’angolo che ha lo stesso vertice e ha per lati i
loro lati non comuni; quindi per sommare due angoli, prima li trasporto in modo che siano consecutivi.
Multiplo di un angolo: si chiama multiplo di un angolo α, secondo il numero naturale n>1, un angolo β che
sia la somma di n angoli congruenti (uguali) ad α. Scriviamo β=n α.
Definizione di bisettrice di un angolo: la bisettrice di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide
l’angolo in due angoli congruenti.
COSTRUZIONE DI UN ANGOLO CONGRUENTE AD UN ANGOLO DATO
-
Disegna un angolo ABC di ampiezza qualsiasi che vogliamo riprodurre
Traccia le semirette per AB (a) e per BC ( b)
Con il comando “ circonferenza di dato centro” disegna una circonferenza di centro B e di raggio
qualsiasi che incontra le semirette a e b rispettivamente nei punti D e E
Determina il raggio di tale circonferenza tracciando il segmento AD (d).
Traccia il segmento DE (e)
Vogliamo ora trasportare l’angolo ABC su una data semiretta
-
Traccia una semiretta (f) di origine O (su questa semiretta costruiremo l’angolo congruente ad ABC e
quindi fai in modo che ci sia spazio sufficiente)
Traccia una circonferenza di centro O e raggio d e sia F il punto in cui tale circonferenza incontra la
semiretta e.
Traccia la circonferenza di centro F e raggio e.
Sia H uno dei due punti d’intersezione tra le due circonferenze
l’angolo FOH misura………… quindi è uguale all’angolo …………
Esercizi da fare utilizzando la costruzione di un angolo congruente ad un angolo dato
1) Somma di due angoli
Disegna due angoli qualsiasi α e β; disegna una semiretta; costruisci sulla semiretta un angolo
congruente ad α; ora sul lato dell’angolo che hai costruito che non è la semiretta iniziale costruisci un
angolo che sia congruente a β. I due angoli sono …………………………. l’angolo che ha per lati i lati non
comuni è l’angolo ………..
2) Costruzione del multiplo secondo il numero 3 di un dato angolo
Disegna un angolo qualsiasi γ; su una semiretta disegna un primo angolo congruente a γ; sul lato di
questo nuovo angolo (che non sia la semiretta iniziale) costruisci un secondo angolo congruente a γ;
ripeti ancora una volta il procedimento in modo da ottenere 3 angoli congruenti ad γ che siano a due a
due consecutivi. L’angolo ………. che è la somma dei tre angoli è il multiplo ………………………………………….
68
Gruppo Geometria del piano
COSTRUZIONE DELLA BISETTRICE DI UN ANGOLO
-
Traccia due semirette a e b aventi in comune l’origine A :misura l’ampiezza dell’angolo BAC.
Disegna una circonferenza avente centro A e raggio qualsiasi : essa incontra le semirette a e b in due
punti che rinomini E ed F.
Traccia una circonferenza di centro E e raggio qualsiasi; con lo stesso raggio disegna anche la
circonferenza di centro F; se le circonferenza non si incontrano aumenta il raggio
Chiama M uno dei due punti di intersezione tra le due circonferenze.
Traccia la semiretta AM e misura l’ampiezza degli angoli EAM e MAF : come risultano?........... Verificala
relazione tra i due angoli anche con il comando “ relazione tra due oggetti
Per ogni teorema costruisci con geogebra la figura corrispondente e scrivi ipotesi e tesi
Leggi con attenzione le istruzioni e completa le parti richieste
1.
Enunciato:
Nel triangolo isoscele ABC, di vertice C, disegna le bisettrici AE e BF degli angoli alla
M il loro punto di intersezione. Dimostra che ME=MF.
base,
indicando con
Per costruire il triangolo isoscele ABC segui le seguenti istruzioni
-
-
-
-
Disegna un segmento GH (in automatico il segmento sarà AB usa il tasto destro mouse opzioni rinomina
oppure seleziona il punto nel riquadro oggetti liberi e sempre con il tasto destro rinomina); i lati obliqui del
triangolo isoscele avranno la stessa lunghezza di GH
Disegna il segmento AB (sarà la base del triangolo isoscele); poi con il comando circonferenza dati centro e
raggio traccia la circonferenza che ha come centro A e come raggio il segmento GH (a); allo stesso modo
traccia la circonferenza che ha centro in B e raggio a.
Le due circonferenze hanno punti in comune? Se non li hanno devi modificare il segmento
GH.
Le due circonferenze si incontrano in due punti; segna con intersezione tra oggetti uno dei due punti
d’intersezione (C)
Congiungi A con C e B con C. Il triangolo che si forma è isoscele perché
………………………………………………………………………………………..
Ora nascondi tutto tranne il triangolo ABC
Fine costruzione triangolo isoscele
Con il comando bisettrice traccia la bisettrice dell’angolo in A (clicca sui punti CAB) e dell’angolo in B (clicca
sui punti CBA).
Le due bisettrici si incontrano in un punto, con il comando intersezione tra oggetti segna questo punto (D)
che rinominerai M
Segna il punto di intersezione tra la bisettrice in A con il lato opposto BC che rinominerai con E e il punto di
intersezione tra la bisettrice in B e il lato opposto AC che rinominerai con F.
Con il comando distanza o lunghezza misura i segmenti ME e MF e verifica che sono uguali.
Scrivi ora l’ipotesi di questo teorema utilizzando il comando inserisci testo.
Ricorda che l’ipotesi è l’insieme di tutte le affermazioni considerate vere.
Leggendo l’enunciato del teorema per prima cosa abbiamo che il triangolo ABC è ……………, poi la retta AE è
bisettrice dell’angolo ……… e la retta BF è la bisettrice dell’angolo …….
M è il punto di intersezione tra………………………..
69
Gruppo Geometria del piano
Quindi scriveremo:
Ipotesi: ABC è un triangolo………….
AE è …………
BF è…………..
M è…………….
Scrivi ora la tesi di questo teorema utilizzando il comando inserisci testo.
Ricorda che la tesi è l’insieme delle affermazioni che devono essere dimostrate
Nel nostro teorema è semplice perché nell’enunciato c’è dimostra che ME=MF
Quindi la tesi è ………………………………………………………..
Enunciato:
Nel triangolo equilatero ABC disegna le bisettrici degli angoli in A e B. Indica con E il loro punto di intersezione.
Dimostra che i triangoli ABE, BEC e AEC sono congruenti (uguali).
Per costruire il triangolo equilatero ABC segui le seguenti istruzioni
-
Disegna il segmento AB che sarà il lato del triangolo equilatero.
Con lo strumento circonferenza dati centro e raggio costruisci la circonferenza di centro A e raggio AB (a)
Allo stesso modo costruisci la circonferenza di centro B e raggio AB (a)
Le due circonferenze si incontrano in due punti, segna uno di questi due punti (C)
Congiungi con un segmento A con C
Congiungi con un segmento B con C
Il triangolo ABC è equilatero perché………………………………………………………………………………………….
Nascondi tutto tranne il triangolo ABC
Fine costruzione del triangolo equilatero
-
Traccia le bisettrice degli angoli in A e in B (come hai fatto nell’esercizio precedente)
Segna il punto di intersezione tra le due bisettrici; rinominalo E. Nascondi le bisettrici.
Con lo strumento poligono disegna i triangoli ABE, BEC e AEC ; per ognuno scegli un colore diverso per
differenziarli
Con lo strumento relazione tra due oggetti verifica che i triangoli sono tutti uguali
-
70
Gruppo Geometria del piano
Scrivi ora l’ipotesi di questo teorema
Leggendo l’enunciato del teorema per prima cosa abbiamo che il triangolo ABC è ……………, poi la retta AE è
bisettrice dell’angolo ……… e la retta BE è la bisettrice dell’angolo …….
E è il punto di intersezione tra………………………..
Quindi scriveremo:
Ipotesi: ABC è un triangolo………….
AE è …………
BE è…………..
E è…………….
Scrivi ora la tesi di questo teorema
Nel nostro teorema è semplice perché nell’enunciato c’è: dimostra che i triangoli ABE, BEC e AEC sono uguali.
Quindi la tesi è ……………
2.
Enunciato:
In un triangolo equilatero le mediane sono congruenti (uguali).
-
Seguendo le istruzioni dell’esercizio 2 disegna un triangolo equilatero ABC
Devi ora tracciare le tre mediane; ricorda che la mediana riferita ad un lato è il segmento che congiunge il
punto medio del lato con il vertice opposto
Inizia a tracciare la mediana relativa al lato AB:
per prima cosa segna il punto medio del lato AB usando il comando punto medio o centro
congiungi con un segmento il punto medio trovato (D) e il vertice opposto al lato, in questo caso il vertice C. Il
segmento tracciato DC è la mediana relativa al lato AB
Allo stesso modo traccia le altre due mediane
Con il comando distanza o lunghezza misura le tre mediane esse sono ………………….
-
Scrivi ora in cosa consistono ipotesi e tesi
Ipotesi……………………………………………………….
Tesi……………………………………………………………
1. Enunciato:
Nel triangolo equilatero ABC , prolunga la base AB da ambo le parti di due segmenti
AE e BF. Dimostra che i triangoli AEC e BCF sono congruenti (uguali).
-
congruenti
Costruisci il triangolo isoscele ABC seguendo le istruzioni della scheda precedente
Per prolungare il segmento AB:
traccia la retta AB
Traccia un segmento AE (g) che sarà il prolungamento del lato AB
Traccia la circonferenza di centro B e raggio AF (g)
Segna il punto di intersezione tra la circonferenza e la parte di retta che non contiene la base AB;
rinominalo F
Osserva che i due segmenti AE e BF sono uguali
-
Disegna i triangoli AEC e BCF; con lo strumento relazione tra due oggetti verifica che questi due
triangoli sono uguali.
71
Gruppo Geometria del piano
Scrivi ora l’ipotesi di questo teorema
Ipotesi: ABC è un triangolo………….
AE … BF
Tesi: ………………………………………………………..
2. Enunciato:
Sui tre lati di un triangolo equilatero ABC considera tre punti, R, S e T, in modo che risulti
AR=BS=CT. Congiungi i tre punti. Dimostra che il triangolo RST è equilatero.
-
Per costruire il triangolo equilatero ABC segui le istruzioni nella scheda precedente
Devi ora disegnare tre punti (R, S e T) in modo che abbiano la stessa distanza con i vertici del
triangolo:
traccia un punto R appartenente al lato AB e traccia il segmento AR (e)
Per tracciare il punto S sul lato BC disegna la circonferenza di centro B e raggio AR (e); rinomina S
il punto di incontro tra circonferenza e lato BC
traccia la circonferenza di centro C e raggio e; chiama T il punto di incontro tra questa circonferenza
e il lato CA.
Traccia il triangolo RST congiungendo i tre vertici
Con lo strumento distanza o lunghezza verifica che il triangolo RST è equilatero cioè che i tre lati
sono ………………
Scrivi ora l’ipotesi di questo teorema
-
Ipotesi: ABC è un triangolo………….
R….. AB
S….. BC
T….. CA
AR=…….=………=……..
Scrivi ora la tesi di questo teorema
Tesi …………………………………………………………
3. Enunciato:
Nel triangolo equilatero ABC, costruisci sui tra lati, esternamente al triangolo, tre triangoli
isosceli congruenti (uguali) aventi per basi i lati di AB, BC e CA.
Dimostra che i loro vertici individuano un triangolo equilatero.
Prova tu a fare la costruzione utilizzando quanto hai imparato negli esercizi precedenti
Ipotesi……………………………………………………….
Tesi……………………………………………………………
72
Gruppo Geometria del piano
Prof.ssa Antonella Franceschini Le disuguaglianze dei triangoli
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73
Gruppo Geometria del piano
Prima di iniziare qualunque costruzione può essere comodo, dal menù opzioni, scegliere l'opzione
etichettatura e poi solo i nuovi punti.
Attività 1 : verifichiamo i due teoremi dell'angolo esterno
(PRIMO TEOREMA: In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli
interni non adiacenti ad esso;
SECONDO TEOREMA: In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma dei due
angoli interni non adiacenti ad esso).
Traccia una semiretta di origine A e passante per B.
Disegna il triangolo di vertici A, B e C, dove C è un punto del piano scelto da te a piacere.
Sulla semiretta AB, dalla parte di B scegli un punto, a tuo piacere, che chiamerai D.
Segna e misura gli angoli , , e . Confronta tali misure in modo tale da verificare la validità
del primo teorema dell'angolo esterno, anche variando con il puntatore la forma del
triangolo ABC.
Per verificare la validità del secondo teorema, scrivi nella linea di inserimento ( in basso), la
seguente dicitura: somma = dove e dovrebbero corrispondere rispettivamente agli angoli e .
E' vero che tale somma corrisponde alla misura dell'angolo
ovvero dell'angolo esterno ?
Sullo stesso triangolo traccia e misura gli altri due angoli esterni e ripeti la verifica avendo cura di
indicare in diversi modi le varie somme (somma1, somma2 ecc.).
Salva il file con il nome Teoremi angolo esterno.
Attività 2: verifichiamo le relazioni fra i lati di un triangolo
(TEOREMA: In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della
loro differenza).
Traccia un triangolo ABC, segna e misura i suoi lati ed i suoi angoli. E' vero che a lato
maggiore sta opposto angolo maggiore e viceversa?
Per ciascuna coppia di lati scrivi nella linea di inserimento la loro somma e la loro differenza
( esempio sommaab= a+b, differenzaab= a-b ) stando attento nel calcolo della differenza a
sottrarre lato minore da lato maggiore. Osserva e confronta i dati. E' vero che ogni lato è
minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza?
Controlla variando anche la forma del tuo triangolo con l'utilizzo del puntatore.
Salva il file con il nome Relazioni lati di un triangolo.
74
Gruppo Geometria del piano
SCHEDA NUMERO 10
PERPENDICOLARITA' E PARALLELISMO con GeoGebra
Prima di iniziare qualunque costruzione può essere comodo, dal menù opzioni, scegliere l'opzione
etichettatura e poi solo i nuovi punti.
Attività 1 : Data una retta r ed un punto P del piano, costruisco la retta passante per P e
perpendicolare ad essa ( senza fare uso del comando retta perpendicolare).
Caso 1: il punto P appartiene ad r.
Traccia una retta r per due punti A e B ( si consiglia di nascondere tali punti per non
confonderli con altri punti importanti per la costruzione).
Traccia un punto P appartenente a tale retta.
Prendi su r due punti C e D equidistanti da P.
Traccia una circonferenza di centro C e raggio a piacere purché maggiore di CP e una
circonferenza di centro D e lo stesso raggio della circonferenza precedente ( per costruire
due circonferenze con lo stesso raggio si consiglia di fare uso del comando compasso e di
costruire da parte un segmento maggiore di CP)
Chiama E uno dei punti di intersezione di tali circonferenze.
Traccia la retta passante per P e per E e verifica ( con il comando relazione fra due oggetti)
che tale retta è perpendicolare ad r.
Caso 2 : il punto P è esterno alla retta r.
Adesso tocca a te ….
Aiutandoti con la seguente descrizione ( della costruzione fatta con riga e compasso) scrivi
sul tuo quaderno i vari passaggi per ottenere la stessa costruzione con geogebra ed
eseguila.
Al termine verifica che la retta costruita sia perpendicolare a quella data.
(in questo spazio dovrebbe essere inserita la spiegazione della costruzione fatta con riga e
compasso)
75
Gruppo Geometria del piano
SCHEDA NUMERO 11
PROPRIETÀ DEL PARALLELISMO
Prima di iniziare qualunque costruzione può essere comodo, dal menù opzioni, scegliere l'opzione
etichettatura e poi solo i nuovi punti.
Attività 1: Teorema fondamentale del parallelismo
Traccia una retta r e, dato un punto P esterno ad essa, traccia la retta s passante per P e
parallela ad r. Traccia poi una trasversale che interseca le parallele in A e in B.
Inserendo opportunamente delle lettere sulle varie semirette, indica e misura gli otto angoli
che esse formano.
Verifica che vale quanto enunciato dal teorema del parallelismo ovvero che :
a) angoli alterni interni o esterni sono congruenti;
b) angoli corrispondenti sono congruenti;
c) angoli coniugati interni o esterni sono supplementari.
In quest'ultimo caso conviene calcolare la somma dei due angoli utilizzando la barra di
inserimento come nella scheda 9.
Scrivi di seguito i nomi e le misure delle coppie di angoli:
alterni interni : __________________
________________________
alterni esterni : ___________________
________________________
corrispondenti: ___________________
________________________
coniugati interni: ___________________ ________________________
coniugati esterni: ___________________ ________________________
Attività 2 : Teorema della somma degli angoli interni di un triangolo.
Traccia un triangolo qualsiasi ABC, segna e misura i suoi angoli interni.
Nella barra di inserimento scrivi la somma dei tre angoli e verifica che è sempre di 180
gradi.
Nei seguenti problemi la scelta delle lettere è arbitraria.
Problema 1
Disegna due rette parallele r ed s ed una trasversale t che interseca r nel punto A ed s nel punto B.
Scegli sul segmento AB un punto C. Dalla stessa parte sulla trasversale, traccia sulla retta r il
segmento AD AC e sulla retta s il segmento BE BC. Congiungi C con D e con E. Verifica che il
triangolo DCE è rettangolo in .
Problema 2
Disegna due rette parallele r ed s ed una trasversale t che interseca r nel punto A ed s nel punto B.
Traccia poi le bisettrici di due angoli coniugati interni che si incontrano nel punto P. Verifica che il
triangolo APB è rettangolo in .
76
Gruppo Geometria del piano
Liceo scientifico da Vinci
NOME E COGNOME ………………………………
Trento, sabato 9 aprile 2011
CLASSE ….......................
PROVA DI GEOMETRIA
PARTE A (CON GEOGEBRA)
1. Esegui le seguenti istruzioni, dopo essere entrato nel programma applicativo geogebra.
2. Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB.
3. Traccia poi una retta parallela ad AB che interseca i lati AC e BC del triangolo rispettivamente in P e
Q.
4. Traccia la retta passante per P e parallela a BC e la retta passante per Q e parallela ad AC. Indica
quindi con R il loro punto di intersezione.
5. Verifica, misurando i suoi lati, che il triangolo PQR è isoscele.
6. Verifica, misurando gli angoli da essa formati, che la semiretta CR è la bisettrice dello angolo
ACˆ B .
7.
8.
9.
10.
Dal vertice A di un triangolo ABC conduci la parallela a BC.
Dal punto medio M di AC conduci la parallela ad AB che incontra CB in E
Indica con D il punto d'intersezione delle due rette tracciate.
Verifica, con il tasto relazione fra due oggetti, che i triangoli AMD ed EMC sono congruenti.
PARTE B (DIMOSTRATIVA)
1. Relativamente all'esercizio precedente, dimostra la congruenza dei due triangoli AMD e EMC dopo
aver individuato ipotesi e tesi.
2. Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C. Si consideri un punto E sul lato AC e un punto F sul
prolungamento di CB dalla parte di B in modo che sia AE = BF. Si indichi con T il punto di
intersezione di EF con AB e sia R il punto in cui la parallela a CB per E interseca il lato AB.
Dimostrare che:
il triangolo AER è isoscele.
ER BF
TBF
ERT
FACOLTATIVO
Nella seguente figura supponiamo che
AB
AC
CD
e AD BD.
ˆC ?
Quanto misura in gradi l'angolo AD
Risposta:
ˆ C misura ….................................
L'angolo AD
77
Gruppo Geometria del piano
Prof.ssa Marina Mingazzini Quadrilateri, triangoli e trasformazioni geometriche
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78
Gruppo Geometria del piano
DESCRIZIONE PERCORSO
Ho utilizzato quasi interamente le schede prodotte dalla collega prof.ssa Renata Paoli, integrando o
togliendo alcune parti a seconda delle considerazioni e necessità che lungo il percorso emergevano.
Lezione 1
Scheda – I quadrilateri particolari con Geogebra
Obiettivo: Imparare a costruire figure con Geogebra utilizzando le
delle figure geometriche
proprietà
Lezione 2
Disegnare segmenti e angoli adiacenti e consecutivi.
Verificare il Teorema relativo agli angoli opposti al vertice
Verifica del seguente teorema: le bisettrici di due angoli adiacenti sono
perpendicolari tra loro
Lezione 3
Lezione 5
Verifica dei criteri di congruenza dei triangoli
Per il primo e secondo criterio schede già pronte.
Terzo criterio Allegato 1
Verifica con geogebra di alcune dimostrazioni che avevano creato difficoltà o
per la costruzione della figura o per il riconoscimento dei triangoli. Allegato 2
Le disuguaglianze nei triangoli . Allegato 3
Lezione 6
Perpendicolarità e parallelismo. Allegato 4a e 4b
Lezione 7
Problemi Allegato 5
Lezione 8
Le trasformazioni geometriche con geogebra: Simmetria centrale e assiale
Lezione 9
Traslazione
Lezione 10
Rotazione
Lezione 11
Composizione di trasformazioni: composizione di simmetrie assiali con assi
paralleli, con assi incidenti, e con assi perpendicolari
Prova
Lezione 4
Lezione 12
79
Gruppo Geometria del piano
Allegato 1
TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA
Problema: a partire da un triangolo dato, vogliamo costruire un triangolo che abbia tre lati congruenti ai
rispettivi elementi del triangolo di partenza .
Istruzioni:
Con il comando poligono disegna il triangolo ABC
Misura i tre lati ed osserva la vista algebrica: ad ogni segmento corrisponde un nome ed una misura
Prendi un punto A’ esterno alla figura e disegna la circonferenza di centro A’ e raggio il nome del
lato AB (che dovrebbe essere c)
Prendi un punto B’ sulla circonferenza e disegna il raggio A’B’ e visualizza la sua misura
Disegna la circonferenza di centro B’ e raggio il nome del lato BC (dovrebbe essere a)
Disegna la circonferenza di centro A’ e raggio il nome del lato AC (dovrebbe essere b)
La seconda e la terza circonferenza si incontrano in due punti; scegli uno dei due e chiamalo C’
Se unisci i punti A’B’C’ con il comando poligono, troverai un triangolo che è congruente al triangolo
dato
Con il tasto relazione tra due oggetti potresti verificarlo
Allegato 2
Problemi proposti
1) Sui lati AB e BC di un triangolo isoscele ABC di base AC, si considerano rispettivamente due punti T
e Q tali che BT BQ.
Sui prolungamenti di AB e BC rispettivamente dalla parte di A e di C, si considerano due punti P ed
R tali che AP CR.
PQ interseca AC in E e TR interseca AC in F. PQ e TR si incontrano nel punto D.
Dimostrare che:
a. PQ TR
b. I triangoli TDP e DQR sono congruenti
c. BD è bisettrice dell’angolo al vertice del triangolo dato
d. EDF è un triangolo isoscele.
2) Considera un triangolo isoscele di base AB.
Traccia le bisettrici degli angoli alla base A e B che incontrano i lati BC e AC rispettivamente nei
punti P e Q.
Prolunga i due lati congruenti di due segmenti congruenti AR e BS. Sia O il punto di intersezione di
QS e PR.
Dimostra che:
a. I triangoli QBS e PAR sono congruenti;
b. I triangoli CQS e CPR sono congruenti;
^
c. CO è la bisettrice dell’angolo ACB
3) Nel triangolo ABC sia AB=AC=2BC e sia O il punto di intersezione delle due mediane BM e CN
relative ai lati uguali. Congiungi M e N.
Dimostra che nella figura così formata sono individuabili sei triangoli isosceli; dimostra inoltre che
sono individuabili quattro coppie di triangoli tra loro uguali.
Vi sono nella figura triangoli isosceli uguali tra loro?
4) Dato il triangolo ABC isoscele sulla base BC, considera su AB e AC i segmenti AE e AF fra loro
congruenti e su BC i segmenti BS e CT fra loro congruenti. Le rette FS ed ET si intersecano in O.
5) Dimostra che:
a. I triangoli STO ed FEO sono isosceli;
b. I punti A ed O sono allineati con il punto medio M della base BC.
80
Gruppo Geometria del piano
6) Disegna due segmenti consecutivi e congruenti AB e BC; dai vertici A e C traccia due semirette che
formano angoli congruenti con i segmenti considerati e che si incontrano in P. Dimostra che AP=PC
^
7) Disegna un angolo acuto AOB ; da un punto P del lato OA traccia la perpendicolare PH ad OB;
^
disegna poi la bisettrice dell’angolo OPH che incontra OB in Q; da Q
perpendicolare QR ad OB.
Dimostra che il triangolo PQR è isoscele.
traccia
infine la
8) Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C. Si consideri un punto E sul lato AC e un punto F sul
prolungamento di CB dalla parte di B in modo che sia AE BF.
Si indichi con T il punto di intersezione di EF con AB e sia R il punto in cui la parallela a CB per E
interseca il lato AB. Dimostra che:
a. Il triangolo AER è isoscele
b. ER BF
c. ERT TBF (triangoli)
Allegato 3
LE DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI
Attività 1 : verifichiamo il primo teorema dell’angolo esterno
In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso
Traccia una semiretta di origine A e passante per B
Disegna un triangolo di vertici A, B, C, dove C è un punto del piano scelto da te a piacere
Sulla semiretta AB, dalla parte di B scegli un punto, a piacere, che chiamerai D
^
^
^
Segna e misura gli angoli BAC , ACB e DBC . Confronta tali misure in modo tale da verificare la
validità del primo teorema dell’angolo esterno, anche variando con il puntatore la forma del
triangolo.
Attività 2: verifichiamo le relazioni fra i lati di un triangolo
Teorema: In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza
Traccia un triangolo ABC, segna e misura i suoi lati ed i suoi angoli.
Osserva: è vero che a lato maggiore si oppone angolo maggiore e viceversa?
Per ciascuna coppia di lati scrivi nella linea di inserimento la loro somma e la loro differenza
(esempio sommaab=a+b, differenzaab=a-b) stando attento nel calcolo della differenza a sottrarre
lato minore da lato maggiore.
Osserva e confronta i dati : è vero il teorema. Controlla variando anche la forma del triangolo.
Allegato 4
Problemi proposti
1)
2)
3)
Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C. Si consideri un punto E sul lato AC e un punto F sul
prolungamento di CB dalla parte di B in modo che sia AE BF.
Si indichi con T il punto di intersezione di EF con AB e sia R il punto in cui la parallela a CB per E
interseca il lato AB. Dimostra che:
a. Il triangolo AER è isoscele
b. ER BF
c. ERT TBF (triangoli)
Nel triangolo ABC sia BE la bisettrice dell’angolo in B; dal punto E (E AC) si conduca la parallela a
BC che intersechi in D il lato AB. Dimostrare che BD è congruente a ED.
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e CH l’altezza relativa ad AB. Prolunghiamo CH, dalla
parte di H, di un segmento HD CH; dimostrare che la retta AC è parallela alla retta BD.
81
Gruppo Geometria del piano
Verifica proposta
Liceo scientifico L. da Vinci
9 maggio 2011
Nome e Cognome …………………………………………….. Classe …….
Vero o falso?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
un invariante di una trasformazione può essere l’allineamento di punti
l’inversa di una trasformazione geometrica non è una trasformazione geometrica
una trasformazione geometrica è una funzione biunivoca tra punti del piano
una simmetria centrale non conserva le direzioni
la figura simmetrica di un quadrato rispetto al suo centro è il quadrato stesso
la simmetria assiale è una trasformazione involutoria
due figure congruenti sono anche isometriche
ogni isometria conserva il parallelismo
la composizione di due traslazioni è sempre una traslazione
data una traslazione, esiste sempre almeno un punto unito nella traslazione
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
Test
Quali, fra i seguenti, sono invarianti per tutte le isometria
o
o
o
o
o
o
la lunghezza dei segmenti
l’ampiezza degli angoli
le direzioni
l’incidenza tra le rette
l’orientamento delle figure
il parallelismo tra rette
La trasformazione composta di due isometrie è una isometria.
Completa gli enunciati dei seguenti teoremi:
T1)
La trasformazione composta di due simmetrie assiali con assi paralleli è una ………………….. di
vettore ……………………..agli ……….. , con verso dal ……… al ……… asse, e modulo uguale al ……………….
della distanza tra gli assi.
T2)
La trasformazione composta di due simmetrie assiali con assi incidenti in O è una …………………..
avente centro in …. e un ………………………., orientato dal primo al secondo asse, di ampiezza uguale
al ………………. dell’angolo formato dai due assi.
82
Gruppo Geometria del piano
Esercizio 1
Esegui il seguente esercizio utilizzando geogebra e ricava opportune considerazioni
rispondendo alle domande
Disegna il triangolo ABC
Disegna il punto O esterno alla figura
Applica al triangolo ABC una simmetria centrale di centro O; sia A’B’C’ il triangolo trasformato
Disegna un nuovo punto O’
Applica al triangolo A’B’C’ una simmetria centrale di centro O’; sia A’’B’’C’’ il nuovo triangolo
trasformato.
Esplora la situazione, usando la possibilità di trascinare i singoli punti ed i triangoli
Calcola le seguenti distanze:
_____
_____
OO' =
AA' ' =
_____
_____
BB ' '
CC ' ' =
Scrivi le informazioni che puoi ricavare osservando la trasformazione che porta ABC in A’’B’’C’’.
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Ora scrivi il teorema relativo alla trasformazione composta di due simmetrie centrali.
T3)
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………….
Esercizio 2
Esegui il seguenti esercizio utilizzando geogebra e scrivi in modo dettagliato quali comandi hai usato per
fare la figura e verificare la richiesta
Disegna un triangolo isoscele ABC e prolunga la base AB di due segmenti AD e BE tra loro congruenti.
Verifica che i triangolo DAC e CBE sono tra loro congruenti.
83
Gruppo Geometria del piano
TABELLA DI VALUTAZIONE DEI RISULTATI Prova
Voto finale
Indicatori
Sufficiente
insufficiente
Conoscenze
Vero o Falso
40%
60%
Test
T1
T2
Capacità di eseguire un
disegno date le istruzioni
Esercizio 1
100%
Capacità di fare
osservazioni e ricavare
informazioni dalla
costruzione fatta
Compilazione tabella
35%
65%
Dato un testo visualizzare Correzione durante
la situazione con geogebra la prova del disegno
da effettuare
95%
5%
Capacità di descrivere in
modo dettagliato i
passaggi effettuati
45%
55%
T3
Esercizio 2 : scrittura
dei comandi.
84
Gruppo Geometria del piano
Prof.ssa Cristina Piva Parallelogrammi, teoremi di Talete, Pitagora ed Euclide
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85
Gruppo Geometria del piano
Classe/i coinvolta/e
Seconda sez.B ITA
Numero di alunni per classe
22
Periodo dell’anno
(data inizio – data fine)
Da novembre a marzo
Numero unità orarie
impiegate e loro consistenza
(50, 60 min. etc.)
Circa 10 ore da 50 minuti
Argomenti trattati
Caratteristiche del parallelogramma, tipi di parallelogramma, teorema di
Talete, teorema di Pitagora, teoremi di Euclide, Soluzione grafica di sistemi
lineari, equazione retta e parabola.
Modalità di lavoro
Lezione partecipata in aula di informatica con computer collegato al
proiettore, esercitazioni singole e a coppie.
Abbiamo verificato sperimentalmente alcuni degli argomenti affrontati in
classe ed anche alcuni problemi che i ragazzi avevano dimostrato
teoricamente.
Modalità di registrazione del
lavoro da parte degli studenti
Assegnazione di schede con esercizi .
Eventuale compresenza di
colleghi
Tipologia di verifica(scritta,
orale, relazione a casa etc.) e
tempo di somministrazione
Esiti della verifica
(in percentuale)
Valutazione dell’attività (dal
punto di vista
dell’apprendimento, del
coinvolgimento degli studenti
e del gradimento… )
Aspetti critici, aspetti
migliorabili …
Elenco dei files allegati:
schede di lavoro
esempi di file .ggb utilizzati
o prodotti dagli studenti
eventuale descrizioni di
percorsi
Correzione da parte dell’insegnante dell’elaborato dello studente sulla
chiavetta USB.
- Buono:
3
- Discreto:
14
- Sufficiente
4
- Insufficiente
1
Gli studenti hanno lavorato con impegno e passione.
Il fatto di aver svolto parte del programma di geometria con GeoGebra ha
favorito sicuramente l’apprendimento anche di contenuti teorici.
L’uso del software non è stato per nulla difficoltoso, i ragazzi hanno quasi
fatto a gara a chi imparava più velocemente. La loro è stata una
competizione positiva, si sono infatti aiutati molto fra loro.
Certo è il fatto che questo modo di operare implica tempo a disposizione e
la possibilità di usare l’aula di informatica con una certa regolarità ( fatto
non banale).
Ho pensato potesse essere utile inviarvi il contenuto della chiavetta USB di
un ragazzo che dall’uso del software ha sicuramente avuto giovamento
anche nell’apprendimento generale della matematica. E’ cambiato, infatti
il suo atteggiamento.
86
Gruppo Geometria del piano
Prof.ssa Anna Scialino Introduzione alla geometria euclidea
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87
Gruppo Geometria del piano
Insegno in una prima classe del Liceo delle Scienze applicate ( 1ASA) , in una prima del Liceo
delle Scienze Umane (1ASU) e in una prima del Liceo delle Scienze Umane indirizzo economico
(1BSE) e queste schede di lavoro e alcuni file prodotti da studenti vorrebbero essere la
esemplificazione di un pacchetto di dieci ore da proporre a studenti del Liceo delle Scienze
Umane e/o indirizzo economico.
Perché dieci ore e perché questa tipologia di Istituto? Perché il monte ore settimanale in questi
Licei è previsto in tre ore , il libro di testo di geometria non è stato adottato, l’utenza è debole
e ha , generalmente, difficoltà in matematica e di astrazione e al Dipartimento abbiamo deciso
che dieci ore erano il monte ore da dedicare a geometria per quest’anno scolastico.
Ho utilizzato alcune schede che avevo preparato per la classe 1ASA e mi sono servita dell’ora di
laboratorio come strumento per spiegare la teoria geometrica sperando che operare con un
programma come geogebra entusiasmasse maggiormente gli studenti rispetto a lezioni
frontali.
Devo dire che i ragazzi lavorano volentieri e sono contenti di usare uno strumento informatico;
con queste classi la lezione diventa per l’insegnante un po’ pesante perché, essendo le classi
numerose, non ho la postazione al proiettore e devo continuamente passare da un banco
all’altro perché c’è sempre qualcuno che non ha capito quale comando utilizzare, qualcun altro
che non segue la scheda….
Inoltre la lezione è vissuta come un bel momento più di divertimento che di conoscenza di
nuovi contenuti. Lo studio è scarso e non prendono appunti e per questo sono stata costretta a
fare una verifica sulle prime costruzioni che abbiamo affrontato. Questo atteggiamento è
trasversale in tutti i corsi di studio.
La parte di geometria che intendo svolgere può così essere sintetizzata:
definizione di geometria; enti, enti primitivi; assiomi, definizioni, teorema
assioma di appartenenza e di ordine
definizione di segmento, segmenti consecutivi, adiacenti; poligonali
duplicazione di un segmento; punto medio di un segmento; costruzione di un punto
equidistante dagli estremi di un segmento 8 costruzione dell’asse di un segmento)
definizione di angolo; classificazione di angoli; angoli concavi e convessi ; duplicazione di un
angolo
costruzione della bisettrice di un angolo e notare che è il luogo dei punti equidistanti dai lati
dell’angolo
definizione di teorema e riconoscimento di ipotesi e tesi
costruzione di un triangolo isoscele e accenno ai teoremi relativi al triangolo isoscele
costruzione dei punti notevoli di un triangolo
criteri di congruenza dei triangoli ( con geogebra e senza la dimostrazione)
dimostrazione del teorema : in un triangolo l’angolo esterno è maggiore degli angoli interni
non adiacenti ad esso
verificare con geogebra il teorema: in un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo
maggiore
dimostrazione del teorema: in un triangolo un lato è minore della somma degli altri due
88
Gruppo Geometria del piano
PRIME COSTRUZIONI CON GEOGEBRA
TRASPORTO DI UN SEGMENTO
Con il pulsante “Segmento tra due punti “ traccia il segmento AB: nella finestra Algebra ti
compaiono come oggetti liberi il punto A , il punto B, mentre come oggetto vincolato
compare il nome e la misura del segmento a disegnato.
Azionando il tasto” Muovi “ puoi modificare la lunghezza del segmento variando la
posizione dell’estremo A oppure B
Per trasportare il segmento in modo che il nuovo segmento sia adiacente a quello appena
disegnato:
seleziona il comando “Circonferenza di dato raggio e centro “ , clicca sul vertice B e inserisci
come misura di raggio il segmento a.
Costruisci il segmento BC essendo C un punto della circonferenza tale che AC risulti il
diametro della circonferenza; il nuovo segmento b che compare anche nella finestra
Algebra è il segmento a trasportato( verifica che la misura di a e quella di b sono uguali)
Per trasportare il segmento in un generico punto del piano:
seleziona il comando “Circonferenza di dato raggio e centro “ , clicca su un punto generico
del piano e inserisci come misura di raggio il segmento a.
Costruisci il segmento CD che è il raggio della circonferenza ma che è anche il segmento a
trasportato.
A questo punto, spuntando sulla circonferenza della finestra Algebra non è più evidente la
circonferenza e rimane solo il segmento trasportato
DUPLICAZIONE DI UN SEGMENTO
Con le stesse modalità illustrate sopra puoi duplicare il segmento a :nella circonferenza che
disegni traccia il diametro che risulta essere la duplicazione del segmento a
DUPLICAZIONE DI UN ANGOLO
Traccia due semirette a, b aventi la stessa origine A ( ti compaiono i punti B e C) e misura
con il pulsante apposito l’ampiezza dell’angolo BAC ( ricorda di digitare i vertici i senso
antiorario)
Disegna la circonferenza di centro A e raggio AB : essa interseca le semirette dell’angolo in
due punti di cui uno manca di nome: con il pulsante “ Intersezione tra due oggetti”
determina il punto D
Traccia la circonferenza di centro D e raggio il segmento DB che avrai prima tracciato .
La nuova circonferenza interseca la prima in un punto che chiami E : traccia il segmento DE
e misura l’ampiezza dell’angolo BED :essa risulta essere doppia rispetto a quella dell’angolo
BAC
(ci possono essere errori di approssimazione nelle ultime cifre)
89
Gruppo Geometria del piano
COSTRUZIONE DEL TRIANGOLO NOTI DUE VERTICI E IL BARICENTRO
Siano A e B i vertici del triangolo ABC e sia G il baricentro ( rinomini G il punto C).
Traccia i segmenti AG e BG che rappresentano una parte delle mediane: poiché il baricentro di un
triangolo divide le mediane in segmenti che stanno tra loro come…………………, per tracciare le
mediane complete segui il procedimento seguente.
Con il comando “ punto medio” determina il punto medio di AG (sarà D ) e di BG ( sarà E); con il
pulsante terzultimo a partire da destra, linguetta “ simmetrico rispetto ad un punto” traccia il
simmetrico di D e di E rispetto al baricentro G :troverai due punti D’ e E’.
Traccia la semiretta AD’ e BE’ :esse s’intersecano in un punto che chiamerai C.
Verifica che la mediana relativa al lato AB passi per il baricentro G.
COSTRUZIONE DELLE ALTEZZE DI UN TRIANGOLO
Con il comando “ poligono” disegna un triangolo ABC in modo che la base sia AB. Accanto ai lati
del triangolo compariranno i loro nomi per cui il lato AC si chiama b .
Disegna la circonferenza di centro C e raggio b : essa incontra la base in un punto che chiamerai D.
Disegna la circonferenza di centro A e raggio b e la circonferenza di centro D e raggio b : esse
s’incontrano in un punto che chiamerai E. Traccia la retta CE che incontra la base Ab in un punto
che chiamerai H usando l’opzione “rinomina”.
Verifica che gli angoli AHC e BHC sono retti.
Dalla vista algebra spunta tutte le circonferenze: ti rimarranno i punti E,D e H:con il comando
“segmento tra due punti” traccia l’altezza CH
Costruiamo adesso l’altezza relativa al lato BC.
Disegna la circonferenza di centro B e raggio a : essa incontra AC in un punto F( se non lo riesci ad
individuare sposta il vertice C in modo che ci sia intersezione tra la circonferenza disegnata e il lato
AC o il suo prolungamento ).
Disegna le circonferenze di centro F e raggio a e quella di centro C e raggio a : esse s’intersecano in
un punto G. Traccia la retta BG e verifica che sia perpendicolare al lato AC ( chiama con H1
l’intersezione tra la retta BG e il lato AC).
Spunta tutte le circonferenze che hai disegnato e traccia l’altezza BH1.
Costruiamo adesso l’altezza relativa al lato BC.
Disegna la circonferenza di centro….e raggio c : essa interseca il lato BC (o il suo prolungamento)
in un punto F.
Disegna la circonferenza di centro F e raggio …, la circonferenza di centro B e raggio….: esse
s’intersecano in un punto G. Traccia la retta AG e verifica che sia perpendicolare al lato BC. Traccia
l’altezza AH2 essendo H2 il punto d’intersezione tra …. E……..
Chiama Ortocentro il punto d’intersezione delle tre altezze
Osservazioni .
Con il tasto muovi prova a variare la posizione di un vertice del triangolo: sono sempre interne le
altezze del triangolo? Esiste sempre il punto d’intersezione tra le tre altezze? Dove cade? La sua
posizione varia al variare dell’ampiezza degli angoli?
90
Gruppo Geometria del piano
I CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
(Ipotenusa e cateto)
Costruisci una retta passante per due punti A B (a)
Traccia la perpendicolare alla retta (a) passante per A(b)
Fissa un punto C sulla retta perpendicolare (b) e disegna con il comando POLIGONI il triangolo
rettangolo ABC
Misura con il comando Distanza i lati del triangolo ABC
Prendi un punto E esterno al triangolo e traccia una retta passante per E (d)
Traccia la perpendicolare alla retta (d) passante per E(e)
Traccia la circonferenza di centro E e raggio c ( cateto AB) e chiama F una delle intersezioni tra
la circonferenza e la retta
Traccia la circonferenza di centro F e raggio ipotenusa a1 e sia G l’intersezione questa
circonferenza e la retta e.
Costruisci il triangolo EGF e misurane, con il comando Distanza, i lati.
Osserva che il nuovo triangolo è uguale al triangolo ABC e verifica con il comando Relazione tra
due oggetti che i due triangoli sono uguali.
(ipotenusa e un angolo acuto)
Costruisci una retta passante per due punti A B (a)
Traccia la perpendicolare alla retta (a) passante per A(b)
Fissa un punto C sulla retta perpendicolare (b) e disegna con il comando POLIGONI il triangolo
rettangolo ABC
Misura con il comando Distanza i lati del triangolo ABC
Prendi un punto E esterno al triangolo e traccia una retta passante per E (d)
Traccia la perpendicolare alla retta (d) passante per E(e)
Traccia la circonferenza di centro E e raggio l’ipotenusa
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
ORTOCENTRO
Def. Si chiama ortocentro il punto d’incontro delle tre altezze di un triangolo
Con il comando poligono disegna un triangolo qualsiasi ABC. Con il comando retta
perpendicolare traccia da C la perpendicolare al lato AB :quest’ultimo viene intersecato nel
punto D.
Costruisci il segmento CD :esso è l’altezza relativa al lato AB.
Con lo stesso procedimento traccia le altezze AE e BF. Noterai che le tre altezze s’incontrano in
un punto che individuerai con il comando intersezione e che chiamerai ORTOCENTRO.
Valuta se ci sono relazioni tra le lunghezze delle tre altezze, come variano al variare della
tipologia del triangolo ABC ( con il tasto muovi prova ad alterare il triangolo ABC facendolo
diventare acutangolo, rettangolo, isoscele, ottusangolo ).La posizione dell’ortocentro è
Interna
Esterna
( scrivi la tipologia del triangolo in cui si verifica che sia interno o esterno)
91
Gruppo Geometria del piano
INCENTRO
Def. Si chiama incentro il punto d’intersezione delle bisettrici relative agli angoli interni
Con il comando poligono disegna un triangolo qualsiasi ABC. Con il comando bisettrice traccia
le bisettrici dei tre angoli interni :esse s’intersecano in un punto che chiamerai INCENTRO.
Con in comando retta perpendicolare traccia la perpendicolare condotta dall’incentro ai tre lati
del triangolo e siano M, P, Q i punti in cui tali rette intersecano i lati AB,BC, AC rispettivamente.
Determina, con il comando segmento, i segmenti INCENTRO-M, INCENTRO-P, INCENTRO-Q e
determina la loro lunghezza.
Cosa noti? Sia a il segmento INCENTRO-M, con il comando circonferenza di centro e raggio
disegna la circonferenza di centro Incentro e raggio a : cosa noti?
Ebbene, l’incentro è il centro della……………………………………………………………….
Prova a far variare le dimensioni del triangolo ABC e vedi come varia la posizione dell’incentro
BARICENTRO
Def. Si chiama baricentro il punto d’intersezione delle tre mediane di un triangolo
Con il comando poligono disegna un triangolo qualsiasi ABC. Con il comando Punto medio
determina i punti medi dei tre lati ( oppure serviti del procedimento imparato per determinare
il punto medio di un segmento) e siano rispettivamente M ( punto medio di AB) ; P( punto
medio di BC) e Q ( punto medio di AC). Traccia i segmenti CM, AP, BQ : essi s’intersecano in un
punto che chiamerai BARICENTRO. Prova a muovere un vertice del triangolo ABC e vedi come
varia la posizione del baricentro.
Determina le lunghezze di Baricentro-A, Baricentro-B, Baricentro-C , Baricentro-P, BaricentroQ,
Baricentro-M : cosa noti ?
CIRCOCENTRO
Def. Si chiama circocentro il punto d’intersezione degli assi dei lati di un triangolo
Con il comando poligono disegna un triangolo qualsiasi ABC. Con il comando Punto medio
determina i punti medi dei tre lati ( oppure serviti del procedimento imparato per determinare
il punto medio di un segmento) e siano rispettivamente M ( punto medio di AB) ; P( punto
medio di BC) e Q ( punto medio di AC).Traccia le rette perpendicolari ad AB e passante per M, a
BC e passante per P, ad AC e passante per Q.
Esse s’incontrano in un punto che chiamerai CIRCOCENTRO.
Determina la lunghezza del segmento Circocentro-A ( a), traccia la circonferenza di centro
Circocentro e raggio a : cosa noti?
Allora il circocentro è il centro……………………………………………………………….
92
Gruppo Geometria del piano
Prof.ssa Susan Veronesi Triangoli e quadrilateri con Geogebra
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93
Gruppo Geometria del piano
I TRIANGOLI CON GEOGEBRA
Attività 1: classificazione dei triangoli in base ai lati.
Come ben sappiamo, i triangoli si classificano in base ai lati in triangoli scaleni, isosceli ed
equilateri: costruiamo i tre tipi di triangoli.
Triangolo scaleno:
Il triangolo scaleno è il più generico dei triangoli, quindi per disegnarlo basta disegnare 3
punti e congiungerli;
Triangolo isoscele:
1. Disegna la base AB ed il suo asse (con il comando apposito);
2. Sull’asse scegli un punto C, che sarà il terzo vertice del triangolo.
3. Traccia il poligono ABC e misurane gli angoli: che cosa osservi?
Osserva inoltre che se muovi i punti A, B o C, la figura continua ad essere un triangolo
isoscele.
Triangolo equilatero:
1. Disegna la base AB;
2. Utilizzando il compasso, disegna la circonferenza di raggio AB e centro A;
3. Analogamente, disegna la circonferenza di raggio AB e centro B;
4. Il punto di intersezione delle due circonferenze è il terzo vertice C del triangolo.
5. Traccia il poligono ABC e nascondi la costruzione mediante la Vista Algebra
6. Misura gli angoli del triangolo ABC: che cosa osservi? Sai spiegarti il perché?
Osserva inoltre che se muovi i punti A, B o C, la figura continua ad essere un triangolo
equilatero.
Il triangolo equilatero, essendo un poligono regolare (ovvero un poligono con tutti i lati e gli
angoli congruenti), può essere disegnato anche mediante il l’opzione apposita: dopo aver
disegnato due punti nel piano (che danno la misura del lato) si apre una finestra in cui
viene richiesto il numero di lati del poligono desiderato, in questo caso 3.
Attività 2: classificazione dei triangoli in base agli angoli.
Come ben sappiamo, i triangoli si classificano in base agli angoli in triangoli acutangoli,
ottusangoli e rettangoli: costruiamo i tre tipi di triangoli.
Triangolo acutangolo:
Disegna 3 punti e congiungili in modo che gli angoli risultanti del poligono siano tutti acuti.
Triangolo ottusangolo:
Disegna 3 punti e congiungili in modo che uno degli angoli risultanti del poligono sia ottuso.
Triangolo rettangolo:
1. Disegna il segmento AB: vogliamo costruire un triangolo rettangolo con angolo retto
in A.
2. Traccia la perpendicolare passante per A al segmento AB; su tale perpendicolare,
scegli un punto C e congiungilo con B.
3. Traccia il poligono ABC e nascondi la costruzione mediante la Vista Algebra.
4. Misura gli angoli A, B e C: che cosa osservi? Come si definiscono fra di loro gli angoli
B e C?
94
Gruppo Geometria del piano
Attività 3: punti notevoli dei triangoli.
1. Disegna un triangolo ABC qualsiasi.
2. Per ogni angolo del triangolo, traccia le bisettrici (mediante l’apposito comando); le 3
bisettrici si incontrano in un punto I comune detto……………………………..……….
3. Su di un secondo triangolo DEF, traccia ora le mediane relative ad ogni lato (per farlo,
dovrai prima disegnare il punto medio di ogni lato….). Le 3 mediane si incontreranno in
un punto B detto ……………………………………………………………..
4. Disegna ora un nuovo triangolo e rinomina i vertici con le lettere RST; traccia la
perpendicolare passante per R al segmento ST, la perpendicolare passante per S al
segmento RT, la perpendicolare passante per T al segmento SR. Le tre perpendicolari
rappresentano le ……………………………………… del triangolo RST; esse si incontrano in un
punto comune detto………………………………
Prova ora a spostare i vertici R, S o T del triangolo: che cosa osservi? Succede lo stesso
per i triangoli precedentemente costruiti ABC e DEF?
ESERCITAZIONE SUI TRIANGOLI
1. Sui prolungamenti della base AB di un triangolo isoscele ABC si considerino due segmenti
congruenti AD e BE che giacciono sulla retta che passa per A e B. Verificare che il triangolo
DEC è isoscele.
2. Siano AH e BK le bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele ABC. Verificare che
CK = CH.
3. Si prolunghi la mediana AM di un triangolo ABC di un segmento ME = AM. Verificare che i
segmenti AC e BE risultano congruenti.
4. Sui prolungamenti dei lati AC e CB di un triangolo isoscele ABC si considerino
rispettivamente i segmenti AD e BE tra loro congruenti. Detto N il punto di intersezione dei
segmenti AD e AE, si verifichi che il triangolo ANB è isoscele.
5. Dato il triangolo equilatero ABC, sui prolungamenti dei lati AB, BC, CA si prendano, sempre
nello stesso senso, tre segmenti BD, CE, AF congruenti fra loro. Verificare che il triangolo FDE
è equilatero.
6. E’ dato il triangolo ABC. Si prolunghi AC, dalla parte di C, di un segmento CE=CB; si
prolunghi poi CB, dalla parte di C, di un segmento CF=CA. Verificare che i segmenti FE ed AB
sono congruenti.
95
Gruppo Geometria del piano
I QUADRILATERI PARTICOLARI CON GEOGEBRA
Attività 1: costruzione di un parallelogramma.
1. Disegna un segmento AB ed un punto C esterno: vogliamo costruire un
parallelogramma di lati AB e BC (che quindi va tracciato)
2. Traccia le parallele ad AB per C ed a BC per A: chiama D il loro punto di intersezione;
3. Traccia il poligono ABCD: esso è un parallelogramma anche se lo modifichi trascinando
i punti base A, B o C
4. A questo punto puoi nascondere le rette costruite in precedenza utilizzando la Vista
Algebra
5. Puoi misurare i lati opposti: che cosa osservi?
6. Disegna le diagonali: se misuro le parti in cui si tagliano l’una con l’altra cosa succede?
Misura gli angoli opposti, cosa ottieni?
Attività 2: costruzione di un rettangolo.
1. Disegna un segmento AB ed un punto C esterno; per esso traccia la parallela ad AB;
2. Traccia quindi le perpendicolari ad essa per A e per B e chiama F ed E i punti ottenuti;
3. Il poligono ottenuto ABEF è un rettangolo: disegna e misura le due diagonali: cosa
osservi?
Attività 3: costruzione di un rombo.
1. Per la costruzione del rombo bisogna partire dalle due diagonali che sono fra loro
perpendicolari e si tagliano scambievolmente a metà; per tale motivo, disegna un
segmento AB e l’asse del segmento;
2. Sull’asse scegli un punto C; chiama inoltre O il punto di intersezione delle due
diagonali;
3. Tramite il compasso, disegna la circonferenza di raggio CO e centro O: chiama D il
punto di intersezione della circonferenza con l’asse del segmento AB;
4. Traccia il poligono ABCD: esso è un rombo anche se lo modifichi trascinando i punti
base A, B o C.
Attività 4: costruzione di un quadrato.
1. Partendo dalla costruzione del rettangolo e tenendo presente la definizione di quadrato
………………
2. Il quadrato è un poligono regolare; può essere quindi costruito semplicemente con
GeoGebra utilizzando l’opzione apposita: dopo aver disegnato due punti nel piano (che
danno la misura del lato) si apre una finestra in cui viene richiesto il numero di lati del
poligono desiderato, in questo caso 4.
Attività 5: costruzione di un trapezio.
Prima di cominciare dai la definizione di trapezio e indica quali tipi di trapezio conosci.
1. Disegna un segmento AB ed un punto D esterno: vogliamo costruire un trapezio di base
AB e lato AD;
2. Traccia il segmento AD e la parallela ad AB per D;
3. Su tale retta prendi un punto C (in modo che il trapezio non sia intrecciato e congiungi
B con C);
96
Gruppo Geometria del piano
A questo punto se muovi i punti A,B,C e D la figura si trasforma mantenendo però il
parallelismo fra le basi (e rimanendo perciò un trapezio, eventualmente intrecciato).
Di esso si possono misurare i segmenti AB, AD, BC che sono stati costruiti, per la lunghezza
invece di DC si deve misurare la distanza fra D e C selezionando nell’ordine i due punti.
L’area del poligono non si può misurare fino a quando il poligono non è stato definito
costruendolo utilizzando i quattro punti presenti.
Attività 6: costruzione di un trapezio isoscele.
1. Disegna un segmento AB ed un punto D esterno: vogliamo costruire un trapezio di base
AB e lato AD;
2. Traccia il segmento AD e la parallela ad AB per D;
3. Traccia ora la circonferenza di raggio AD e centro B con il compasso: il punto di
intersezione fra la retta per D e la circonferenza (quello più vicino a D) sarà C, il quarto
vertice del triangolo isoscele;
4. Traccia il poligono ABCD;
Osserviamo che questa volta C è vincolato da due fattori: la misura di AD e la retta, quindi ha
zero gradi di libertà.
Attività di approfondimento.
1. Costruisci un quadrilatero qualsiasi ed unisci i punti medi dei suoi lati: ciò che si ottiene
è sempre un ………………………………………….
2. Costruisci un rombo con le diagonali della stessa lunghezza: che cosa osservi? Prova a
spiegare il perché………………………………………………………………………………………………………………….
ESERCITAZIONE SUI QUADRILATERI
1. Dato il triangolo ABC si prolunghi il lato AB, dalla parte di A, di un segmento AD=AB e il
alto AC, dalla parte di A, di un segmento AE=AC. Verificare che gli angoli opposti del
quadrilatero BCDE sono congruenti.
2. Disegna un parallelogramma ABCD e traccia le bisettrici degli angoli interni DAB e ABC. Esse
s’incontrano in E. Verifica che l’angolo AEB è retto.
3. Verificare che le bisettrici degli angoli di un parallelogrammo formano un rettangolo.
4. Verificare che congiungendo i punti medi dei lati di un rettangolo si ottiene un rombo.
5. Disegna un rombo ABCD e le sue diagonali, traccia per ogni vertice la parallela alla
diagonale opposta. Le quattro rette s’incontrano a due a due nei punti M, N, E, F. Verifica che
MNEF è rettangolo.
97
Gruppo Geometria del piano
Prof.ssa Tiziana Zambonato Geometria del piano
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98
Gruppo Geometria del piano
PRIMA LICEO SCIENTIFICO
Classe/i coinvolta/e
Numero di alunni per
classe
Periodo dell’anno
(data inizio – data fine)
16
Metà gennaio- febbraio- marzo
Numero unità orarie
impiegate e loro
consistenza
10 unità da 50 minuti
Argomenti trattati
Geometria del piano
Modalità di lavoro
Ogni studente ha lavorato individualmente alla sua postazione al PC in aula
informatica.
Modalità di registrazione
del lavoro da parte degli
studenti
Agli studenti, ogni volta è stata assegnata una scheda con la richiesta di
un'esercitazione che ha consentito di verificare sul piano pratico le proprietà
delle figure. Lo studente stampava l' esercitazione e a fianco riportava la
relativa dimostrazione teorica del teorema e rispondeva alle domande.
Tipologia di verifica
(scritta, orale, relazione a
casa etc.) e tempo di
somministrazione
Esiti della verifica
(in percentuale)
Valutazione dell’attività
(dal punto di vista
dell’apprendimento, del
coinvolgimento degli
studenti e del
gradimento…)
Aspetti critici, aspetti
migliorabili …
Elenco dei files allegati:
schede di lavoro
esempi di file .ggb
utilizzati o prodotti
dagli studenti
eventuale descrizioni
di percorsi
Ogni elaborato è stato valutato attribuendo un voto sia alla parte relativa
all'uso di geogebra sia alla parte della dimostrazione.
-
Buono:
3
-
Discreto:
Sufficiente
Insufficiente
8
5
0
Il programma ha aiutato gli studenti a capire i ragionamenti logici, a costruire
figure geometriche imponendo caratteristiche iniziali riconducibili alle ipotesi e
utilizzando le funzionalità del programma, a vedere che anche se le figure
cambiano forma le proprietà restano e che esse costituiscono la tesi.
E' stato introdotto l'uso di geogebra dopo aver già trattato la parte riguardante
i triangoli e il parallelismo. Se da un lato per gli studenti questo è stato un
vantaggio perché il programma ha permesso di verificare le proprietà e
ripetere le dimostrazioni, dall'altro inizialmente li ha disorientati nelle
consegne, perché abituati all'astrazione e a non lavorare più in geometria con i
numeri.
1^ e 2^ lezione
Possibilità offerte dal programma. I comandi della barra degli strumenti e loro
funzionamento
3^ lezione
Costruire un triangolo dati due lati e l'angolo tra essi compreso.
Quale criterio di congruenza dei triangoli rappresenta?
Costruire un triangolo dati i tre lati.
Quale criterio di congruenza dei triangoli rappresenta?
99
Gruppo Geometria del piano
Dimostra il terzo criterio di congruenza dei triangoli.
4^ lezione
Disegna un triangolo isoscele ABC di vertice C. Traccia le mediane relative ai lati
congruenti AD e BE. Verifica che :
a) tali mediane sono congruenti;
b) che i triangoli ADB e AEB sono congruenti;
c) indicata con O il punto di intersezione di AD con BE, verifica che la semiretta
CO è perpendicolare alla base AB e la interseca nel punto medio.
Enuncia quali criteri dei triangoli e quali proprietà dei triangoli isosceli hai
usato.
5^ lezione
Dato il triangolo ABC. Misura l'angolo esterno CBD e confrontalo con l'angolo
A:
Traccia un segmento parallelo al lato AC, passante per B e verifica quanto
misura l'angolo CBD.
Dimostra il teorema dell'angolo esterno.
6^ lezione
Disegna un triangolo ABC. Misura i suoi lati e angoli. Cosa puoi dire?
Dimostra il teorema : a lato maggiore sta opposto l'angolo maggiore e
viceversa.
7^ lezione
Disegna due angoli opposti al vertice. Disegna le bisettrici degli angoli. Come
sono gli angoli? Dimostra che gli angoli opposti al vertice sono congruenti .
Dimostra che le bisettrici degli angoli opposti al vertice sono perpendicolari
8^ lezione
Disegna un segmento e l'asse del segmento. Prendi dei punti qualsiasi sull'asse
e collegali con gli estremi del segmenti e poi misurali. Cosa puoi concludere?
Fai la dimostrazione.
Disegna un angolo e la sua bisettrice. Prendi dei punti qualsiasi sulla bisettrice e
traccia le distanze dai punti ai lati dell'angolo. Cosa puoi concludere?
Fai la dimostrazione.
9^ lezione
Disegna un triangolo equilatero. Traccia per i vertici del triangolo le parallele ai
lati e verifica che esse individuano ancora un triangolo equilatero.
Si conduca la bisettrice AD dell'angolo A di un triangolo qualsiasi ABC. Per un
punto qualunque M del lato AC si conduca la parallela alla bisettrice AD che
incontri il prolungamento del lato AB nel punto P. Verificare che il triangolo
AMP è isoscele. Enuncia e dimostra quali teoremi del parallelismo hai usato?
10^ lezione
Disegna un triangolo qualsiasi. Congiungi i punti medi di due lati del triangolo.
Verifica che il segmento è parallelo al terzo lato ed è la metà di esso.
Per la dimostrazione traccia le parallele agli altri due lati passanti per i punti
medi e considera i triangoli che si formano....... Come sono i triangoli?
100
Gruppo Funzioni
Gruppo funzioni
Proff. Alessandra Burattini e Clara Delpero Grafici di Funzione
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101
Gruppo Funzioni
Obiettivo: Verificare se il grafico assegnato rappresenta una funzione
Procedura
1. Digita nella barra di inserimento l’espressione analitica del tuo grafico
Es. A )
digitando:
”x^2+y^2=25”
2. Digita nella barra di inserimento l’equazione della retta parallela all’asse y, x=K con K qualsiasi
Sia ad esempio K=3. Selezionala con il tasto dx e colorala di blu.
3. Ora utilizzando il pulsante “muovi” puoi controllare quante intersezioni ha il grafico con la
retta verticale. OSS: Puoi muovere alternativamente sia la retta che il grafico
4. Se vuoi, puoi, con l’apposito pulsante indicare il/i punto/i di intersezione tra la retta parallela
all’asse y e il grafico disegnato (secondo pulsante della barra degli strumenti).
5. Il grafico rappresenta una funzione?.....................................................
6. Ricorda! Affinché un grafico rappresenti una funzione l’intersezione tra la retta verticale ed il
grafico deve essere una sola!!
7. Clicca sul grafico e sulla retta con il tasto dx e deseleziona mostra oggetto. La vista grafica sarà
così vuota e pronta per un nuovo esercizio
8. Ripeti i passi da 1 a 4 per il grafico:
Es. B)
digitando
“ y=x^2 ”
9. Il grafico rappresenta una funzione?.....................................................
Esercizio: Traccia i grafici
x2 y2
C)
1
9 16
D)
x2 y2
1
9 16
E)
2x 4 y 3
F)
y 2x 2 3 0
Quali rappresentano una funzione?.....................................................
10. Riesci a individuare due curve che si comportano analogamente a quelle degli esempi A e B?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
102
Gruppo Funzioni
Obiettivo: Verificare se la funzione assegnata è iniettiva
Procedura
1. Digita nella barra di inserimento l’espressione analitica della tua funzione
Es. A )
digitando:
”y=x^3”
2. Digita nella barra di inserimento l’equazione della parallela all’asse x, y=K con K qualsiasi Sia
ad esempio K=3. Selezionala con il tasto dx e colorala di blu.
3. Ora utilizzando il pulsante “muovi” puoi controllare quante intersezioni ha il grafico con la
retta orizzontale. OSS: Puoi muovere alternativamente sia la retta che il grafico
4. Se vuoi, puoi, con l’apposito pulsante indicare il/i punto/i di intersezione tra la retta parallela
all’asse x (retta orizzontale) e la funzione disegnata (secondo pulsante).
5. Il grafico rappresenta una funzione iniettiva?.....................................................
6. Ricorda! Affinché una funzione sia iniettiva l’intersezione tra la retta orizzontale ed il grafico
della funzione deve essere una sola!!
7. Clicca sul grafico e sulla retta con il tasto dx e deseleziona mostra oggetto. La vista grafica sarà
così vuota e pronta per un nuovo esercizio
8. Ripeti i passi da 1 a 4 per il grafico:
Es. B)
digitando “ y=x^2 ”
9. Il grafico rappresenta una funzione iniettiva?.....................................................
Esercizio: Traccia i grafici
x2
4
2
C) y x 3 2 x 1
D) y
E) 2 x 4 y 3
F) y x 5 x 4
x3
Quali rappresentano una funzione iniettiva?.....................................................
11. Riesci a individuare due curve che si comportano analogamente a quelle degli esempi A e B?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
NB! Se, per ogni punto di intersezione si chiede di mostrare traccia sul foglio di calcolo, il foglio
mostrerà che per 2 valori diversi della x si hanno 2 valori uguali di y ( nel caso della parabola
ovviamente!)
103
Gruppo Funzioni
Obiettivo: Individuare il dominio ed il codominio
Procedura
1. Sia A un punto sull’asse x (vincolato)
2. Digitare nella barra di inserimento x_A=x(A) INVIO
3. Digitare nella barra di inserimento f_A=x_A^2 INVIO (questa espressione rappresenta
l’equazione analitica della funzione y=x^2)
4. Digita nuovamente nella barra di inserimento B=(0,f_A)
5. Nella finestra traccia ora la retta passante per B parallela all’asse x (retta )
6. Nella finestra traccia ora la retta passante per A parallela all’asse x (retta )
7. Con l’apposito pulsante evidenzia il punto di intersezione P tra la retta e la retta
8. Con il pulsante destro su A, poi su B ed infine su P chiedi “mostra traccia attiva”
9. Seleziona un colore diverso per ogni traccia.
10. La traccia di A rappresenta l’insieme del ……………………………..
11. La traccia di B rappresenta l’insieme del ……………………………..
12. La traccia di P rappresenta la dipendenza y=f(x) ovvero …………………
13. Si può rifare la stessa procedura su un altro tipo di funzione (per es. un’iperbole) oppure
modificare la funzione inserita inserendone un’altra direttamente nel riquadro Vista algebra
ES: f_A=
Rappresentazione del grafico utilizzando il foglio di calcolo
(materiale del corso)
Esempio: sequenza di punti da -5 a 5 con passo 0.25
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Visualizza vista foglio di calcolo
Nella cella A1 digitare -5
Nella cella A2 digita -4.75
Trascinare in basso fino a cella in cui compare 5
Cella B1 digitare =A1^2 (
)
Trascina in basso fino alla corrispondente cella A……
Seleziona le celle da A1 a B……..
Pulsante dx del mouse, opzione “crea lista di punti”
per evitare le etichette su ogni punto: menu opzioni e disattiva etichettatura per nuovi
oggetti
104
Gruppo Funzioni
Grafici di funzioni
In uno stesso piano cartesiano:
1. Traccia il grafico della funzione definita su un intervallo f ( x)
1
con x 2,0 0,2
x2
[Procedura]
Digita nella barra di inserimento l’espressione analitica della
funzione[1/(x^2),-2,2]
1
2. Traccia il grafico della funzione definita per casi: g ( x) x
x 2
f (x) come segue:
f(x)=
se x 1
se x 1
[Procedura]
Digita nella barra di inserimento l’espressione analitica della g (x) come segue: g(x)= Se[x<=-1,1/x,x^2]
x 2
3. Traccia il grafico della funzione definita per casi: h( x) x
3
per x 1
per 1 x 3
per x 3
[Procedura]
Digita nella barra di inserimento l’espressione analitica della h(x) come segue: h(x)= Se[x<-1,-x-2, Se[x
< 3, x, 3]]
NB: Per analizzare separatamente i tre grafici puoi cliccare sul grafico col dx e deselezionare mostra
oggetto.
ESERCIZIO: Tracciare il grafico delle funzioni f1 ( x) x 2 2 x (analogo al terzo caso)
Solo successivamente puoi confrontare il grafico con quello che si ottiene digitando nella barra di
inserimento la funzione h(x)= abs(x^2-2x)
1
◊ f 2 ( x)
1 x
Analisi del comportamento : continuità
NB: nel retro trovi una tabella che ti spiega l’utilizzo dei comandi di questa scheda.
Aiutandoti con il grafico, individua gli eventuali punti di discontinuità di ciascuna delle precedenti
funzioni e analizza il comportamento delle medesime in un intorno di tali punti.
x 2
Analisi del comportamento della funzione definita per casi: h( x) x
3
in un intorno di x = 3.
105
per x 1
per 1 x 3
per x 3
Gruppo Funzioni
[Procedura per determinare il limite sinistro]
1. Nella barra Inserimento, digitare l’espressione analitica della h(x) come segue:
h(x)= Se[x<-1,-x-2, Se[x < 3, x, 3]]
2. Barra degli strumenti Penultima icona Slider Click con sx del mouse nella vista grafica
Definire i parametri: Min - Max - Incremento dello slider numerico a - colore rosso
3. Nella barra Inserimento, digitare P = (a, h(a))
4. Click con dx sul punto P Impostare il Colore rosso
5. Click con dx sul punto P Impostare “mostra traccia attiva”
6. Animare lo slider a
7. Dal menù Visualizza Vista foglio di calcolo
8. Click con dx sul punto P Impostare “traccia sul foglio di calcolo”
A quale valore tende la funzione per x che tende a 3 da sinistra? ………………………………..
Suggerimento: Nella barra Inserimento, digitare y_P = y(P) , e notare che ……………………..
[Procedura per determinare il limite destro]
Ripetere i punti da 2 ad 8, definendo uno slider b di colore blu. Come punto, scegliere il punto Q.
A quale valore tende la funzione per x che tende a 3 da destra? ………………………………..
Suggerimento: Nella barra Inserimento, digitare y_Q = y(Q) , e notare che ……………………..
Il valore della funzione in 3 è …………………….. uguale ai limiti dx e sx.
La funzione è quindi ……………………………… in x = 3.
106
Gruppo Funzioni
Comandi utilizzati
SCOPO
COMANDO
SIGNIFICATO
Disegnare il grafico di
una funzione
Nella barra Inserimento, digitare:
h(x)= Se[x<-1,-x-2, Se[x < 3, x, 3]]
Crea la funziona h(x), e ne
disegna il grafico
Visualizzare il limite sx
di una funzione in un
punto.
Barra degli strumenti Penultima icona Slider Click
con sx del mouse nella vista grafica
Permette di definire un
parametro
variabile
(numero o angolo) in un
determinato intervallo min
max
con
un
dato
incremento. Utilizzeremo
il parametro definito dallo
slider per costruire un
punto mobile che simuli il
comportamento
della
funzione in un intorno di
un dato valore di x.
Per avere a disposizione un parametro a che varia da 2 a 3
con incremento 0.01 , impostare i seguenti comandi:
Dalla scheda Animazione, si può scegliere il verso
dell’animazione dello slider (verticale o orizzontale)
Disegnare un punto su un
grafico, vincolandolo al
movimento di uno slider
Eliminare animazioni
precedenti
Nella barra Inserimento, digitare P = (a, h(a))
Dal menù Visualizza Aggiorna Videata
(oppure, CTRL + F)
Il punto P appartiene al
grafico della funzione h(x)
e le sue coordinate sono
correlate al movimento
dello slider a
Aggiornare la videata
ESERCIZIO 1: Analizza il comportamento della funzione h(x) in un intorno di x=-1
ESERCIZIO 2: Classifica le discontinuità delle funzioni studiate nella precedente
scheda:
◊
f ( x)
1
con x 2,0 0,2
x2
1
◊ g ( x) x
x 2
se x 1
se x 1
107
Gruppo Funzioni
Proff. Claretta Carrara e Michela Pagliacci Funzioni e coniche
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108
FUNZIONI CON L’AIUTO DI GEOGEBRA
Introduzione
In classe abbiamo lavorato sulle funzioni studiandone diverse caratteristiche: immagine, simmetria pari o
dispari, iniettivitá, suriettivitá; composizione di funzioni e funzione inversa; equazioni delle trasformazioni e
simmetrie rispetto a rette orizzontali; verticali e bisettrici dei quadranti; dal grafico di f (x) dedurre quello di
1
|f (x)|, di −f (x),
. Ci siamo esercitati sulla realizzazione dei grafici di funzioni definite per casi (anche per
f (x)
approfondire il concetto di immagine di un elemento del dominio) e come caso particolare il valore assoluto.
Abbiamo quindi lavorato all’applicazione di questi concetti alla risoluzione grafica di equazioni razionali ed
irrazionali, utilizzando anche lo studio delle coniche.
Gli studenti non avevano mai lavorato con GeoGebra, quindi sono state fornite anche indicazioni elementari
per l’approccio al programma.
Naturalmente le schede di lavoro sono solo delle tracce per alcuni esercizi. In laboratorio gli esercizi sono
stati integrati con altri suggerimenti circa i comandi di GeoGebra, con altri esempi e con osservazioni anche
di carattere matematico teorico. Alcuni studenti hanno inoltre personalizzato l’esecuzione arricchendo la
rappresentazione grafica e la visualizzazione dei risultati.
109
Gruppo funzioni
Geogebra: funzioni - scheda di lavoro 1 Esercizio 1. Inventa, se esiste, un polinomio p(x) di quarto grado che abbia
• Nessuno zero
• Uno zero
• Due zeri
• Tre zeri
• Quattro zeri
• Cinque zeri
Ne sai inventare più di uno significativemente differenti?
Risolvi poi algebricamente le equazioni e disequazioni associate: p(x) = 0, p(x) > 0, p(x) < 0.
Esercizio 2. Utilizzando GeoGebra rappresenta graficamente i polinomi da te inventati nell’esercizio precedente. Cosa puoi osservare riguardo alla risoluzione delle equazioni e disequazioni associate?
Nota tecnica. Per rappresentare le funzioni puoi:
• Scrivere nella barra di inserimento: p(x) = . . .
• Scrivere nella barra di inserimento: y = . . .
Esercizio 3. Utilizzando GeoGebra rappresenta graficamente la funzione polinomiale f (x) = x3 − x2 + x + 2
e risolvi, approssimativamente, la disequazione x3 − x2 + x + 2 ≥ 0.
Se non avessi a disposizione un software che rappresenta funzioni, in quale altromodo potresti procedere?
Rappresenta nello stesso piano di f le funzioni g(x) = x3 e h(x) = x2 − x − 2, cosa che sapresti fare anche
senza l’ausilio di un software. Per non creare troppa confusione, colora in maniera differente i grafici:
Nota tecnica.
• Traccia il grafico.
• Posizionato sul grafico, scegli con il tasto destro del mouse proprietà.
• In questo modo, oltre a cambiare colore, puoi variare lo spessore della linea ed altre opzioni.
• Con il tasto destro del mouse puoi anche cambiare il nome agli oggetti inseriti.
A questo punto puoi osservare l’equivalenza
x3 − x2 + x + 2 ≥ 0
f (x) ≥ 0
e notarne l’interpretazione grafica.
x3 ≥ x2 − x − 2
⇔
⇔
g(x) ≥ h(x)
Esercizio 4. Vediamo un altro modo per tracciare il grafico di una funzione, per esempio y = x2 , decisamente
più complicato, ma utile in qualche occasione. Innanzitutto si tratta di costruire uno slider, cioè un parametro
variabile.
Nota tecnica per la costruzione di uno slider.
• Scegli dalla seconda icona da destra l’opzione slider .
• Posizionati in un punto qualsiasi del piano; questo fa apparire una finestra in cui scegli numero, il
nome del parametro e l’intervallo di variabilità del parametro. Per il momento lascia tutto invariato
e scegli applica. Questo fa apparire un segmento nel piano e a = . . . nella finestra algebrica tra gli
oggetti liberi.
• Nella barra di inserimento digita P = (a, a2 ) (ricorda la virgola come separatore tra le coordinate del
punto). Questo fa apparire un punto P nel piano.
• Scegli la prima icona a sinistra e muovi il puntino sullo slider. Questo fa muovere P nel piano.
• Per capire meglio come si muove P nel piano, posizionati su P e con il tasto destro scegli lascia traccia
attiva. Cosa succede ripetendo l’operazione precedente?
Per capire bene la situazione, traccia il grafico di y = x2 .
Se sullo slider con il tasto destro del mouse scegli proprietà puoi cambiare alcune opzioni dello slider.
110
Gruppo funzioni
Esercizio 5. Data una funzione f (x) ed una retta r, vediamo come tracciare il grafico della funzione simmetrica a f rispetto a r.
• Traccia f (x) = x3 + 1 e y = x.
• Dalla seconda icona scegli nuovo punto e posizionati in un punto della funzione. Questo fa apparire
sul grafico di f un punto A.
• Dalla terza icona scegli simmetrico rispetto a una retta. Seguendo le istruzioni che appaiono a destra,
posizionati prima su A e poi sulla retta r. Questo fa apparire un nuovo punto A′ , simmetrico di A
rispetto a r. Cosa puoi notare, in questo caso, rispetto alle coordiante di A e di A′ ?
• Posizionati sulla prima icona, quindi su A e fallo muovere. Questo fa muovere anche il punto A′ .
• Se, come nell’esercizio precedente, scegli per A′ l’opzione lascia la traccia attiva, ottieni in sostanza
il grafico della funzione simmetrica a f rispetto a r.
• Per migliorare il grafico puoi:
– Dalla quarta icona scegli luogo.
– Seguendo le istruzioni che appaiono a destra, posizionati prima su A′ e poi su A. Questo fa
apparire il grafico della funzione simmetrica a f rispetto a r.
In maniera del tutto analoga puoi costruire il grafico simmetrico rispetto ad un punto. Per esempio traccia
il grafico simmetrico ad f rispetto al punto P (1; 2). L’unica differenza è la scelta dell’opzione simmetrico
rispetto ad un punto.
Qual è il problema di queste costruzioni?
111
Gruppo funzioni
Geogebra: funzioni - scheda di lavoro 2 Esercizio 1. Data una funzione f (x), allora
• f (x) è pari sse f (−x) = f (x),
• f (x) è dispari sse f (−x) = −f (x),
In alternativa si può dare la seguente definizione Data una funzione f (x), allora
• f (x) è pari sse il grafico di f (x) è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.
• f (x) è dispari sse il grafico di f (x) è simmetrico rispetto all’origine.
Stabilisci, con carta e penna utilizzando la prima definizione, se le seguenti funzioni sono pari o dispari
x2 + 1
2x2 − 5
f2 (x) = x3 − 4x + 1
f1 (x) =
f3 (x) = x3 − 5x
x3 − x
x2 + 1
x3 − x
f5 (x) = 3
x + 2x
f4 (x) =
Stabilisci poi con GeoGebra, utilizzando la costruzione del grafico simmetrico vista nell’esercizio precedente,
se i risultati corrispondono in base alla seconda definizione.
Esercizio 2. Data f (x) = 2x + 1, traccia con GeoGebra il grafico della funzione simmetrica rispetto alla
bisettrice del I e III quadrante. Cosa ottieni? Se si tratta di una funzione sai stabilirne l’equazione? Cosa
hai notato rispetto alle coordinate del generico punto A di f e del suo punto simmetrico A′ . Sai scrivere le
equazioni della trasformazione effettuata?
Ripeti l’operazione precedente con la funzione f (x) = x2 .
Esercizio 3. Con GeoGebra si possono anche tracciare i grafici di funzioni definite solo su un determinato
dominio, oppure di funzioni definite per casi. Basta utilizzare la funzione se che ha la seguente struttura:
se[ condizione , allora, altrimenti ]
Ad esempio per tracciare il grafico della funzione
f : D = [−1; 4] → R
x → 3x − 1
cioè della funzione f (x) = 3x − 1, definita però solo sul Dominio [−1; 4], basta digitare nella barra:
se[x >= −1 && x <= 4, 3x − 1]
Analogamente per tracciare il grafico della funzione
(
x2 − 1 se x < 1
g(x) =
x + 1 se x ≥ 1
basta digitare nella barra:
se[x < 1 , 3x − 1, x + 1]
Prova a tracciare il grafico della funzione
2
x − 1 se x < 1
h(x) = x + 1 se 1 ≤ x < 4
3
se x ≥ 4
Come puoi segnalare sul grafico in quale estremo è contenuto l’uguale?
Traccia poi delle rette verticali nei possibili punti di discontinuità: x = 1 e x = 4.
Esercizio 4. Dopo avere tracciato il grafico della funzione h(x) dell’esercizio precedente, determina:
112
Gruppo funzioni
• Le immagini di −3, 1, 2, 4, 6.
• Le controimmagini di −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
In entrambi i casi puoi aiutarti con il grafico e, se necessario, risolvere poi algebricamente le equazioni
opportune.
Si ricorda che, data f : D → C, dove con D e C indichiamo rispettivamente il dominio e codominio della
funzione, abbiamo le seguenti definizioni di immagine e controimmagine:
• Immagine.
Dato a ∈ D, l’immagine di a è quell’unico b ∈ C tale che f (a) = b.
L’immagine di f è l’insieme Imm(f ) = {b ∈ C| esiste a ∈ D, con f (a) = b} ⊆ C
L’immagine di un elemento del dominio è quindi un elemento del codominio, mentre l’immagine
della funzione è un sottoinsieme del codominio.
• La controimmagine di un elemento b ∈ C è l’insieme formato da tutti gli elementi a del dominio
D, tali che f (a) = b:
f −1 (b) = {a ∈ D | f (a) = b}
La controimmagine di un elemento può quindi essere un insieme vuoto, un insieme formato da un
numero finito di elementi o formato da infiniti elementi.
Esercizio 5. Ritorniamo alla funzione f (x) = x2 e alla sua simmetrica rispetto alla retta y = x.
• Come puoi modificare il dominio di f in modo che anche anche il grafico della curva simmetrica
rappresenti una funzione g? Qual è l’immagine Imm(f ) di f ?
• Quali sono le equazioni della trasformazione? Tramite questa, e con l’aiuto del grafico tracciato,
ricava l’equazione di g.
• Che relazione c’è tra il dominio di f e il dominio di g (e le loro immagini Imm(f ) e Imm(g))?.
Esercizio 6. Ripeti l’esercizio precedente con la funzione f (x) = x2 − 2x − 3
113
Gruppo funzioni
Geogebra: funzioni - scheda di lavoro 3 Esercizio 1. Dopo aver tracciato con Geogebra il grafico della fuzione f (x) =| x2 − 3 |, f : R → R. Riportalo
sul quaderno e determina l’insieme immagine di f
Im(f ) =
Dato l’insieme D = {−1, 2, 0, 4} determina sul grafico di f , l’insieme
{(x, f (x)) | x ∈ D} =
Completa
f (D) =
Nel seguente esercizio utilizza GeoGebra per rispondere alle domande attraverso i grafici delle funzioni
coinvolte.
Esercizio 2. Considera la funzione f : R → R, definita da f (x) = 4x2 e completa, se possibile, le seguenti
uguaglianze. Nel caso non sia possibile spiegane il motivo:
3
= ......
a) f (−8) = . . . . . .
f (. . . . . . ) = 60
f (. . . . . . ) = −5
f
4
b) Giustifica utilizzando un grafico cartesiano il motivo per cui l’equazione f (x) = −4 non ha soluzioni.
Sempre utilizzando il grafico determina e spiega come deve essere y affinché l’equazione f (x) = y
abbia esattamente 2 soluzioni.
Esercizio 3. Utilizzando la funzione slider in GeoGebra, osserva per alcuni valori di a ∈ R i grafici della
1
seguente famiglia di funzioni: f (x) =
, con a ∈ [−5, 5]. Rispondi alle domande sul quaderno.
x−a
(1) Determina dominio e codominio di f .
(2) Stabilisci se esiste un valore di a tale che f sia pari o dispari, motivando la risposta.
(3) Stabilisci se f è iniettiva e/o suriettiva, motivando la risposta.
(4) Basandoti sulla risposta al punto 3) stabilisci per quali sottinsiemi A, B ⊆ R, f : A → B è invertibile
e determina l’espressione analitica della sua inversa f −1 , motivando la risposta.
(5) Considera la funzione | f (x) | e rispondi alle domande 1), 2), 3), 4)
1
(6) Disegna il grafico della funzione per a = 3.
f
Esercizio 4. Risolvi graficamente l’equazione | x2 − 4 |=| 3x − 2 |. Annota grafici e risposte sul quaderno.
114
Gruppo funzioni
Verifica di Claretta: funzioni e GeoGebra
Crea una cartella con il tuo cognome, dove salverai i file es1, es2, es3, es4, es5 che andrai a svolgere.
Tempo a disposizione: 50 minuti.
Esercizio 1. Completa la seguente tabella rispondendo alle successive domande
zeri
polinomio
insieme soluzione di p(x) = 0
insieme soluzione di p(x) > 0
polinomio per (0 ; 1)
0
2
3
a) Inventa, se esiste, un polinomio p(x) di quarto grado che: non abbia zeri, oppure ne abbia 2 o 3.
b) Rappresenta graficamente i polinomi y = p(x) (su un unico grafico, rendendo chiara la rappresentazione) e risolvi le equazioni e disequazioni associate: p(x) = 0 e p(x) > 0.
c) Modifica i polinomi trovati in modo che il loro grafico tagli l’asse delle ordinate nel punto (0 ; 1).
Esercizio 2.
a) Traccia il grafico della funzione f (x) = x3 − 3 e della retta bisettrice del primo e terzo quadrante.
Traccia poi il grafico della funzione g(x) simmetrica di f rispetto alla retta tracciata.
b) Esprimi le equazioni della trasformazione che permettono di trasformare il grafico di f nel grafico di
g.
(
x′ =
y′ =
c) Ricava l’equazione della funzione g.
g(x) =
Traccia il grafico di g(x) per verificare il risultato. Con GeoGebra le funzioni radice quadrata e
radice cubica sono rispettivamente sqrt(x) e cbrt(x).
d) Traccia il grafico della funzione h(x) simmetrica di f rispetto al punto C(1, 2).
Esercizio 3.
a) Dimostra algebricamente che la funzione f (x) =
b) Traccia il grafico della funzione f (x) =
è la relazione tra i due grafici?
115
x2 + 1
è dispari:
3x
x2 + 1
e della sua simmetrica g(x) rispetto all’origine. Qual
3x
Gruppo funzioni
c) Indica il punto P del grafico di f di ascissa 2 e determina in quale punto P ′ del grafico di g(x) viene
trasformato P nella simmetria rispetto all’origine.
P′ =
P =
Esercizio 4.
a) Traccia il grafico della funzione f : D ⊆ R → R definita da:
se −4 ≤ x ≤ −1
−3
f (x) = x3
se −1 < x ≤ 1
x − 2 se x > 1
b) Indica il dominio di f e la sua immagine.
D=
Im(f ) =
c) Stabilisci, giustificando la risposta, se f è iniettiva, suriettiva e/o biiettiva.
INIETTIVA:
SURIETTIVA:
BIIETTIVA:
d) Determina l’immagine di −2, −1, 0, 1, 2.
f (−2) =
f (−1) =
f (0) =
f (1) =
f (2) =
e) Determina la controimmagine di −4, −3, 0, 2. Ricorda che la controimmagine può essere un insieme
di valori.
f −1 (−4) =
f −1 (−3) =
f −1 (0) =
Esercizio 5. Utilizzando un slider, rappresenta il seguente luogo geometrico di punti
(a + 1; a2 − 2a) ∈ R2 | a ∈ R
116
f −1 (2) =
Gruppo funzioni
Sai descrivere in maniera differente tale luogo di punti? Può essere il grafico di una funzione? Quale?
f (x) =
Voti. I primi quattro esercizi erano valutati 20, mentre l’ultimo (l’unico effettivamente mai visto) era
totale × 8
valutato 10. Il voto l’ho sostanzialmente ottenuto con la formula: voto =
+ 2.
90
Insufficienze: 3; sufficienze: 15 (molti 6−, che io considero sufficienti); voto minimo: 4; voto massimo: 9−;
voto medio: 6.4
Commenti alla verifica
La verifica era pensata, e preannunciata, anche per verificare alcune conoscenze teoriche viste in classe.
Speravo inoltre che, sotto la minaccia della verifica, tutti cercassero di utilizzare il programma a casa in
modo da acquisire una certa dimestichezza con i comandi e magari scoprire da soli alcune potenzialità di
GeoGebra. In parte questo è avvenuto; per esempio il voto più alto l’ha ottenuto una studentessa studiosa,
ma generalmente non appassionata di computer, che ha anche consegnato in anticipo. Qualcuno però neanche
ricordava che GeoGebra non ama la scrittura dei punti con il “;” come separatore delle coordinate, il che
indica che evidentemente non avevano neanche provato ad utilizzare il programma prima della verifica.
Commenti agli esercizi:
• Esercizio 1. Molti studenti si sono messi a completare la tabella senza leggere le istruzioni sotto,
quindi polemizzando sul fatto che non capivano cosa dovevano fare. Quasi nessuno ha completato
correttamente l’ultima colonna della tabella. Nessuno ha completato correttamente tutta la tabella.
• Esercizio 2. Quasi tutti hanno svolto completamente l’esercizio in maniera corretta.
• Esercizio 3. Meno di metà classe ha svolto il punto a) (dimostrazione), due terzi della classe ha svolto
il punto b) (costruzione), solamente in cinque hanno svolto il punto c) (punto simmetrico).
• Esercizio 4. Una parte degli studenti non l’ha neanche iniziato. In pochi hanno rappresentato correttamente la funzione, in sei hanno scritto correttamente dominio e immagine. Quasi tutti quelli che
hanno affrontato l’esercizio hanno svolto correttamente il punto d) (immagine di vari elementi).
• Esercizio 5. Cinque studenti hanno costruito correttamente lo slider e svolto il punto a) (altri due
studenti hanno scritto il punto con il “;” come separatore, ottenendo cose insensate). In due hanno
completato il punto b), uno ricavandolo dal grafico, l’altra utilizzando le equazioni parametriche (di
cui in realtà non avevo mai parlato).
Mediamente gli studenti hanno trovato la verifica lunga, ma io penso che questo sia dovuto anche al fatto
che non si sono allenati a sufficienza ad utilizzare il programma. Comunque, dal punto di vista di conoscenza
del programma i risultati sono stati discreti.
Per quanto riguarda invece gli aspetti matematici teorici, che sapevano sarebbero stati chiesti, ci sono stati
molti punti non svolti, o svolti con errori.
Io, purtroppo, resto dell’idea che l’uso consapevole, come vera integrazione, dei vari software richieda sforzi
che lo studente medio non è disposto a fare. L’ora di laboratorio resta per molti l’ora in cui si fanno cose
seguendo le istruzioni o i suggerimenti e possibilmente staccando il cervello, come quando si fanno i solitari
al computer. È una visione troppo negativa? Insisterò...
117
Gruppo funzioni
CONICHE
Parabola
Ricordiamo che la parabola è definita come luogo geometrico di punti nel seguente modo:
Fissato nel piano un punto F e una retta d non passante per F , la parabola di fuoco F e direttrice d è
il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da F e da d:
parabola = {P | d(P ; F ) = d(P ; d)}
L’asse (di simmetria) della parabola è la retta perpendicolare alla direttrice passante per il fuoco della
parabola.
Il vertice della parabola è dato dall’intersezione tra la parabola ed il suo asse.
I punti P della parabola sono caratterizzati dal fatto che P H = P F .
Supponiamo ora di lavorare nel piano cartesiano e consideriamo parabole con asse verticale, ovvero direttrice orizzontale.
Cominciamo a considerare il caso in cui l’asse è l’asse delle ordinate e il vertice è nell’origine. Il fuoco è
quindi un punto sull’asse delle ordinate di coordinate F (0; f ). Considerando il fatto che il vertice è equidistante
da fuoco e direttrice, quale sarà l’equazione della direttrice?
d:
Notiamo che la distanza di P dalla direttrice d è data dal segmento P H, dove H è il piede della perpendicolare alla direttrice. P è quindi un punto equidistante da F e da H, cioè è un punto dell’asse di F H. Inoltre
P appartiene alla retta verticale passante per H.
Utilizzando queste informazioni costruiamo la parabola come luogo di punti.
Esercizio 6.
• Cosrtuisci uno slider f , traccia il fuoco F (0; f ), l’asse a : x = 0 e la direttrice d : y = −f .
• Prendi un punto H sulla direttrice e traccia l’asse a del segmento F H.
118
Gruppo funzioni
• Traccia la retta p per H perpendicolare alla direttrice (cioè verticale) e indica il punto P = a ∩ p,
intersezione dell’asse e della retta verticale appena tracciate.
• Muovi H con la traccia del punto P attiva, oppure traccia il luogo di P al variare di H sulla direttrice.
• Cosa puoi osservare circa le rette a ottenute?
• Fissato un valore di F di tuo gradimento, determina l’equazione della parabola e tracciala per verificare
il risultato.
Esercizio 7. Modifica la costruzione dell’esercizio precedente in modo da ottenere una parabola con asse
orizzontale e vertice nell’origine.
Ripensando alle due precedenti costruzioni, si può osservare qualche nuova proprietà sulla tangente alla
parabola tracciata da un punto sulla parabola stessa? Questo ti suggerisce un metodo alternativo per calcolare
la tangente ad una parabola passante per un punto della parabola?
Esercizio 8. Considera la parabola di equazione y = x2 − 5x + 6.
a) Dopo averne determinato: il vertice V, l’equazione dell’asse di simmetria e le intersezioni con gli assi
cartesiani, disegnane il grafico sul piano cartesiano.
b) Verifica che il punto P = (1, 2) appartiene alla parabola e determina l’equazione della tangente in P
alla parabola stessa. (Disegnala sul grafico).
c) Determina le equazioni della tangenti alla parabola data passanto per il punto B = (2, −1).(Disegnale
sul grafico)
d) Traccia sullo stesso grafico precedente la retta di equazione y = 2x e risolvi utilizzando il grafico la
disequazione x2 − 5x + 6 < 2x.
Esercizio 9. La parabola ha la seguente proprietà focale:
Ogni raggio parallelo all’asse della parabola, dopo avere colpito (internamente) la parabola viene riflesso nel
fuoco della parabola. Viceversa, ogni raggio che esce dal fuoco della parabola, dopo avere colpito la parabola,
viene riflesso parallelamente all’asse della parabola.
Ricordiamo che un raggio che colpisce una superficie piana viene riflesso nel raggio simmetrico rispetto alla
normale alla superficie nel punto di incidenza.
Se la superficie è curva, vale l’analogo discorso considerando il piano tangente alla superficie nel punto di
incidenza del raggio.
Verifichiamo tale proprietà per le parabole con vertice l’origine, utilizzando GeoGebra:
• Costruisci uno slider a, traccia la parabola y = ax2 e, ricordando le formule, indicane il fuoco F .
• Traccia una retta verticale r che colpisca la parabola utilizzando uno slider k (puoi ignorare il fatto
che il raggio attraversa la parabola) e indica con P il punto di intersezione tra r e la parabola (che
sarebbe il punto in cui il raggio colpisce la parabola).
• Traccia la retta t, tangente alla parabola in P e la nornale n, perpendicolare alla tangente t in P .
• Mediante il simmetrico rispetto a una retta traccia la retta r′ simmetrica ad r rispetto alla normale
n appena tracciata.
• Osserva che r′ passa per F facendo variare sia k (cioè il raggio che colpisce la parabola) che a (cioè
l’apertura della parabola)
• Migliora la grafica utilizzando colori ed opzioni a tuo piacimento.
119
Gruppo funzioni
Circonferenza: posizione reciproca di due circonferenze.
Esercizio 1. Secanti. Traccia il grafico delle circonferenze x2 + y 2 + 2y − 9 = 0 e x2 + y 2 − 8x − 2y + 7 = 0.
a) In quali punti si incontrano?
b) Qual è l’equazione della retta passante per i due punti?
c) Risolvi per riduzione il sistema tra le due circonferenze; cosa trovi al primo passaggio rispetto al punto
b)?
d) Determina l’equazione della retta passante per i centri delle due circonferenze. In che relazione è con
la retta trovata al punto b)?
Esercizio 2. Tangenti. Traccia il grafico delle circonferenze x2 + y 2 − 2x = 0 e x2 + y 2 − 10x + 16 = 0.
a) In quale punto si incontrano? Indica con P tale punto.
b) Se prendi la retta passante per i due centri, in che posizione è il punto rispetto a tale retta?
c) Che relazione c’è la tangente per P a ciascuna circonferenza e la retta trovata in b)?
d) La retta tangente trovata nel punto c) coincide con quella trovata imitando il procedimento del punto
c) dell’Esercizio 1?
Esercizio 3. Esterne. Traccia il grafico delle circonferenze x2 + y 2 − 2x = 0 e x2 + y 2 − 4x − 10y + 25 = 0.
a) Con il metodo della riduzione verifica che le due circonferenze sono esterne.
b) Considera la retta congiungente i due centri e determinane l’equazione.
c) In che relazione è la retta trovata al punto precedente con la retta trovata al primo passaggio di
riduzione del punto a)?
Esercizio 4. Se due circonferenze non si incontrano quale può essere la loro posizione? Fai degli esempi
grafici per giustificare la risposta.
Esercizio 5. Verifica che la retta passante per i punti di intersezione tra le due circonferenze descritta nel
punto b dell’Esercizio 1 e nel punto c dell’Esercizio 2 ha la seguente proprietà:
Se per ogni punto P di tale retta detta asse radicale si conducono i segmenti di tangente P T e P T ′ alle
due circonferenze, allora risulta P T = P T ′ .
Prova poi a fornirne una dimostrazione geometrica (ricorda le similtudini e le proprietà delle rette secanti
e tangenti ad una circonferenza).
Fasci di circonferenze
Esercizio 6. Considera due punti A e B di R2 .
• Traccia due circonferenze passanti per A e B con centro da parti opposte rispetto alla retta AB.
Osservazione: dove si trova, rispetto ad A e B, il centro di una circonferenza passante per tali punti?
Eventualmente sposta i punti A e B e i centri delle circonferenze in modo da ottenere equazioni
delle circonferenze a coefficienti interi. Colora le due circonferenze.
• Se le due circonferenze hanno equazioni del tipo:
C1 :
p1 (x, y) = 0
C2 :
p2 (x, y) = 0
con p1 (x, y) e p2 (x, y) polinomi di secondo grado, considera il fascio di circonferenze
Φ:
p1 (x, y) + k · p2 (x, y) = 0
dove k è un parametro dipendente da uno slider.
• Traccia Φ e notane l’equazione. Scegli per Φ l’opzione traccia attiva e fai variare lo slider k; eventualmente scegli per k l’opzione animazione attiva e fai variare l’intervallo di variabilità e l’incremento.
• Cosa noti? Cosa hanno in comune tutte le curve tracciate? Ci sono valori di k per cui Φ coincide con
le due circonferenze C1 o C2 ? Cosa accade per k = −1?
120
Gruppo funzioni
• Considera la retta r ottenuta al punto precedente quando k = −1 e sia p3 (x, y) = 0 la sua equazione
(con p3 (x, y) polinomio di primo grado). Considera il fascio di circonferenze
Ψ:
p1 (x, y) + k · p3 (x, y) = 0
• Traccia Ψ, di un colore differente rispetto a Φ e, facendo variare k, osserva cosa succede.
Quali sono le analogie e differenze tra Φ e Ψ?
La retta r è detta asse radicale del fascio e si tratta della circonferenza degenere del fascio (Φ o Ψ).
Esercizio 7.
• Traccia due circonferenze tangenti esternamente in un punto A e traccia la retta passante per i centri.
Cerca di ottenere equazioni delle circonferenze a coefficienti interi. Colora le due circonferenze.
• Come nell’esercizio precedente considera il fascio di circonferenze generato dalle due precedenti
circonferenze:
Φ:
p1 (x, y) + k · p2 (x, y) = 0
dove k è un parametro dipendente da uno slider.
• Traccia Φ e notane l’equazione. Scegli per Φ l’opzione traccia attiva e fai variare lo slider k; eventualmente scegli per k l’opzione animazione attiva e fai variare l’intervallo di variabilità e l’incremento.
• Cosa noti? Cosa hanno in comune tutte le curve tracciate? Ci sono valori di k per cui Φ coincide con
le due circonferenze C1 o C2 ? Cosa accade per k = −1?
• Come nell’esercizio precedente considera la retta ottenuta quando k = −1, di equazione p3 (x, y) = 0,
e considera il fascio di circonferenze
Ψ:
p1 (x, y) + k · p3 (x, y) = 0
• Confronta quanto ottenuto come nell’esercizio precedente.
La retta r è detta asse radicale del fascio e si tratta della circonferenza degenere del fascio (Φ o Ψ).
Esercizio 8. Ripeti l’esercizio precedente partendo da due circonferenze esterne.
Esercizio 9. Se provi a ripetere l’esercizio precedente partendo da due circonferenze concentriche, quale
problema incontri?
Esercizio 10. Traccia una circonferenza e considera un fascio di rette parallele (utilizza uno slider).
Considera il punto medio M della corda staccata dalla circonferenza da una retta del fascio e traccia il
luogo geometrico di punti descritto da M al variare della corda (cioè della retta del fascio). Scegli per M
l’opzione traccia attiva e osserva che figura traccia M .
Prova a cambiare fascio di rette parallele o osserva cosa ottieni. Prova quindi a fornire una nuova definizione
di diametro di una circonferenza.
Esercizio 11. Ripeti l’esercizio precedente partendo da un’ellisse. Prova quindi a fornire due differenti
definizioni di diametro di un’ellisse.
Esercizio 12. Ripeti l’esercizio precedente partendo da un’iperbole. Nota le differenze a seconda di scegliere
un fascio di rette parallele con coefficiente angolare maggiore, minore o uguale al coefficiente angolare di uno
degli asintoti dell’iperbole.
Prova quindi a fornire una definizione di diametro di un’iperbole.
Esercizio 13.
a) Determina l’equazione della circonferenza γ1 di raggio 4 avente il centro nell’origine del sistema di
riferimento e rappresentala graficamente.
b) Scrivi l’equazione delle circonferenze γ2 e γ3 aventi raggio 4 e centro nei punti di intersezione di γ1
con l’asse delle ascisse.
121
Gruppo funzioni
c) Le circonferenze γ2 e γ3 , intersecano γ1 in quattro punti A, B, C, D. Determina le coordinate di tali
punti; risolvi sul quaderno il sistema γ2 ∩ γ1 poiché il programma fornisce approssimazioni di numeri
non interi, per simmetria troverai gli altri due. Determina le equazioni delle circonferenze di centro
A, B, C, D e raggio 4.
d) Calcola la superficie del fiore a sei petali che si è creato all’interno di γ1 con le altre sei circonferenze.
122
Gruppo funzioni
Ellisse
Ricordiamo che l’ellisse è definita come luogo geometrico di punti nel seguente modo:
Fissati nel piano due punti F1 e F2 , detti fuochi e un numero reale d > F1 F2 , l’ellisse di fuochi F1 e F2
e asse maggiore di lunghezza d è il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze da F1 e
F2 è d:
ellisse = P ∈ R2 | P F1 + P F2 = d
Il punto medio del segmento F1 F2 è detto centro dell’ellisse.
Il segmento A1 A2 , formato dalla parte della retta passante per i fuochi compreso all’interno dell’ellisse è
detto asse maggiore.
Il segmento B1 B2 , formato dalla parte dell’asse del segmento F1 F2 compresa all’interno dell’ellisse è detto
asse minore.
I punti A1 , A2 , B1 e B2 sono detti vertici dell’ellisse.
I punti P dell’ellisse sono caratterizzati dal fatto che P F1 + P F2 = d.
Esercizio 1. L’ellisse come luogo di punti: costruzione 1.
Assegnati due punti F1 e F2 e un numero d (per d utilizza uno slider, magari definendo i limiti dello slider
in maniera opportuna), costruisci l’ellisse di fuochi F1 e F2 e asse maggiore d.
Per la costruzione segui i seguenti suggerimenti:
• Posiziona F1 e F2 in due punti casuali e costruisci lo slider d,
• traccia la retta r congiungente i fuochi,
• disegna una circonferenza con centro nel punto F1 e avente raggio d,
• prendi un punto A sulla circonferenza e traccia il segmento AF1 ,
• traccia l’asse a del segmento AF2 e sia P il punto di intersezione tra tale asse ed il segmento AF1 .
• fai variare A sulla circonferenza ed osserva come si muove P .
Domande. Rispondi alle seguenti domande sul quaderno.
a) Perché questa costruzione funziona? Danne una dimostrazione.
b) Cosa noti nell’equazione dell’ellisse che hai ottenuto rispetto a quella che conoscevi con fuochi sull’asse
delle ascisse? Per ottenere l’equazione devi chiedere a GeoGebra di tracciarti l’ellisse di dati fuochi e
passante per un punto.
c) Prendi i fuochi con ordinate uguali e rispondi alla domanda b).
123
Gruppo funzioni
d) Prendi i fuochi sull’asse delle ordinate e rispondi alla domanda b).
e) Prendi i fuochi con ascisse uguali e rispondi alla domanda b).
f) Prendi i fuochi in modo diverso dai precendenti, qual è la differenza sostanziale nell’equazione di
questa nuova ellisse rispetto alle precedenti?
Esercizio 2. L’ellisse come luogo di punti: costruzione 2.
Assegnati due punti F1 e F2 e un numero d (per d utilizza uno slider, magari definendo i limiti dello slider
in maniera opportuna), costruisci l’ellisse di fuochi F1 e F2 e asse maggiore d.
Per la costruzione segui i seguenti suggerimenti:
• Posiziona F1 e F2 in due punti casuali e costruisci lo slider d,
• traccia la retta r congiungente i fuochi,
• in un punto differente del piano traccia un segmento AB di lunghezza d e prendi su di esso un punto
H,
• disegna una circonferenza con centro nel punto F1 e avente raggio uguale alla lunghezza del segmento
AH e una circonferenza con centro nel punto F2 e avente raggio uguale alla lunghezza del segmento
HB,
• indica con P e Q i punti di intersezione tra le due circonferenze.
• ...
Domande.
Perché questa costruzione funziona? Danne una dimostrazione.
Esercizio 3. L’ellisse ha la seguente proprietà focale:
Ogni raggio che parte da un fuoco, dopo avere colpito l’ellisse, viene riflesso nell’altro fuoco.
Ricordiamo che un raggio che colpisce una superficie piana viene riflesso nel raggio simmetrico rispetto alla
normale alla superficie nel punto di incidenza.
Se la superficie è curva, vale l’analogo discorso considerando il piano tangente alla superficie nel punto di
incidenza del raggio.
Verifica la proprietà utilizzando GeoGebra:
124
Gruppo funzioni
Alcune equazioni e disequazioni irrazionali
Un’equazione irrazionale è un’equazione in cui l’incognita appare come argomento di un radicale.
Nella risoluzione di equazioni e disequazioni irrazionali quadratiche dobbiamo fare attenzione alla facile
tentazione di elevare i due membri dell’equazione a quadrato. Per esempio, l’equazione
√
x = −2
non ha evidentemente soluzioni: S = ∅; elevando a quadrato otterremmo invece
√ 2
x = (−2)2
⇒
4 non è però una soluzione dell’equazione iniziale infatti
Viceversa per risolvere l’equazione
x=4
√
4 6= −2.
√
x=2
possiamo tranquillamente elevare i due membri a quadrato ottenendo
√ 2
x = 22
⇒
x=4
e la corretta soluzione dell’equazione iniziale S = {4}.
Le cose si fanno complicate se anche a secondo membro compare l’incognita o se si tratta di disequazioni.
In questi casi ci può essere di aiuto un procedimento misto algebrico-grafico.
Esercizio 1. Risolvere la disequazione
√
x+1 −1≥x−2
Intanto scriviamo la disequazione in maniera più opportuna, isolando il radicale:
√
x+1≥x−1
Consideriamo ora le due funzioni
f (x) =
√
x+1
g(x) = x − 1
La nostra disequazione è quindi equivalente a
f (x) ≥ g(x)
1) Rappresentiamo
√ le due funzioni: √
– f (x) = x + 1 ⇒ y = x + 1
Im(f ) = R+
o.
– g(x) = x − 1
⇒
y =x−1
125
⇒
y2 = x + 1
⇒
x = y 2 − 1, con Df = [−1; +∞[ e
Gruppo funzioni
2) Risolviamo algebricamente, ignorando le problematiche dell’elevamento a quadrato, l’equazione associata:
√
√
2
2
x+1=x−1 ⇒
x + 1 = (x − 1)
⇒ x + 1 = x2 − 2x + 1 ⇒
x2 − 3x = 0
⇒
x=0∨x=3
3) Utilizzando il grafico, vediamo se o quale delle soluzioni è effettivamente soluzione dell’equazione
iniziale e ricaviamo la soluzione della disequazione, facendo anche attenzione al dominio di definizione:
S = [−1, 3].
√
Osservazioni. In realtà utilzzando un software grafico, per rappresentare la funzione f (x) = x + 1 non
abbiamo bisogno di passare alla funzione x = y 2 − 1. Per esempio con GeoGebra basta digitare
f (x) = sqrt(x + 1)
Il procedimento indicato precedentemente è quello da seguire facendo tutto il lavoro senza l’ausilio di un
software.
Esercizio 2. Utilizzando il procedimento indicato, risolvere le disequazioni.
√
a)
−
x + 3 ≥ −x + 1
S = [0; +∞[
b)
√
x−1
x+4 −1≤
4
√
S = [5 + 4 5; +∞[
c)
d)
p
4 − x2 ≤ −2x + 2
S = [−2; 0]
p
5
6x − x2 + 2 < x
3
S =]3; 6]
126
Gruppo Funzioni
Prof.ssa Alessandra Dalcolmo Parabole, disequazioni e traslazioni
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127
Gruppo funzioni
COSTRUZIONE DELLA PARABOLA
Costruzione geometrica
1. Disegnare un punto F (fuoco) nel piano
2. Disegnare una retta d (direttrice) non passante per F
3. Posizionare un punto P vincolato a rimanere sulla direttrice
4. Tracciare il segmento PF
5. Tracciare l’asse a del segmento PF
6. Tracciare la retta r perpendicolare a d e passante per P
7. Individuare l’intersezione Q fra a ed r
8. Costruire il luogo geometrico di Q al variare di P sulla direttrice
9. Individuare l’intersezione M fra l’asse a e il segmento FP
10. Individuare gli angoli α = FQM e β = MQP
Domande
• Come sono i segmenti FQ e PQ?
• Come sono gli angoli α e β?
• La retta a risulta esterna, secante o tangente alla parabola?
Per verificare quest’ultima affermazione, provare a rappresentare la traccia della retta a al variare del
punto P.
CARATTERISTICHE DELLA PARABOLA
1. Visualizza gli assi cartesiani
2. Definisci i tre slider a, b e c
3. Definisci la parabola p : y = ax2 + bx + c
Domande
1. Facendo variare a, come varia il grafico della parabola?
2. Facendo variare b, come varia il grafico della parabola?
3. Facendo variare c, come varia il grafico della parabola?
128
Gruppo funzioni
RISOLUZIONE GRAFICA DELLE DISEQUAZIONI
Vediamo come risolvere graficamente la disequazione:
2x + 3 > 0
Interpretiamola graficamente: risolverla significa risolvere il sistema seguente:
y = 2x + 3
y>0
L’equazione y = 2x + 3 rappresenta una retta sul piano cartesiano.
Inoltre,
• il punto di intersezione tra la retta e l’asse x è il punto della retta in cui y .................. ;
• i punti della retta che si trovano .................. l’asse delle x hanno ordinata positiva cioè y > 0;
• i punti della retta che si trovano .................. l’asse delle x hanno ordinata negativa cioè y < 0.
Calcoliamo l’ascissa del punto di intersezione tra la retta e l’asse x:
y = 0 quindi 2x + 3 = 0 cioè x = ..................
Verifichiamo che tale soluzione individui proprio l’ascissa del punto di intersezione tra la retta data e l’asse
x.
Per farlo,
1. individuiamo il punto A di intersezione fra la retta e l’asse x;
2. estrapoliamo l’ascissa del punto A: nella barra di inserimento, scriviamo x_1 = x(A).
La disequazione di partenza chiede i punti della retta che hanno ordinata positiva.
3
Dal grafico si osserva che le ascisse di tali punti sono i valori della x che sono .............. di − . Quindi
2
la soluzione della disequazione è:
3
x....... − .
2
Esercizio Prova a risolvere graficamente la seguente disequazione:
3−x≥0
1. Disegna la retta di equazione y = 3 − x
2. Determina l’ascissa del punto di intersezione fra tale retta e l’asse x
3. La soluzione della disequazione sarà .................
Proviamo ora ad estendere quanto visto al caso delle disequazioni di secondo grado. Vogliamo risolvere
la disequazione:
2x2 − 7x + 5 < 0
Interpretiamola graficamente traducendola nel sistema seguente:
y = 2x2 − 7x + 5
y<0
L’equazione y = 2x2 − 7x + 5 rappresenta una .................. sul piano cartesiano.
Calcoliamo le ascisse dei punti di intersezione tra la .................. e l’asse x: .................
Dal grafico si osserva che le ascisse di tali punti sono i valori della x che sono ................. Quindi la
soluzione della disequazione é:
..................
129
Gruppo funzioni
Esercizio Risolvere graficamente le seguenti disequazioni:
1. 2x2 − 7x + 5 > 0
2. −x2 + 2x + 3 ≤ 0
3. x2 + 5 > 0
4. x2 + 5 < 0
5. x2 + 10x + 25 > 0
6. x2 + 10x + 25 < 0
7. x2 + 10x + 25 ≥ 0
130
Gruppo funzioni
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI PARTICOLARI CURVE
Traccia graficamente la curva y =
√
4 − x2 .
Domande
1. È una funzione?
2. Qual è il suo dominio?
3. Qual è il suo codominio?
4. Che tipo di curva rappresenta?
√
Prova ora con la curva y = 1 + 2x − x2 .
Domande
1. È una funzione?
2. Qual è il suo dominio?
3. Qual è il suo codominio?
4. Che tipo di curva rappresenta?
RISOLUZIONE GRAFICA DELLE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
Vogliamo risolvere la disequazione
√
4 − x2 ≤ −2x + 2.
1. Interpretiamola graficamente traducendola nel sistema seguente:
√
y1 = 4 − x2
y = −2x + 2
2
y1 ≤ y2
2. Cosa rappresenta l’equazione y = −2x + 2?
√
3. Cosa rappresenta l’equazione y = 4 − x2 ?
4. Disegna entrambe le curve sul piano ed evidenzia sul grafico le zone in cui vale la disequazione
y1 ≤ y2
5. Qual è la soluzione della disequazione?
Esercizi Prova a risolvere graficamente le seguenti equazioni e disequazioni:
√
1. −x2 − 2x − 3 = x + 3
√
2. x < 8x − x2
√
3. 2x − x2 ≤ |x + 1|
131
Gruppo funzioni
LE TRASLAZIONI NEL PIANO CARTESIANO
I vettori
Un vettore ~v nel piano cartesiano è individuato da una coppia ordinata di numeri reali (p, q). Esso è
rappresentato dal segmento orientato OA, con A = (p, q) ed è caratterizzato da un modulo, una direzione
e un verso.
Per costruire un vettore, dal menù “Linee rette”, scegli (Vettore tra due punti) e costruisci un vettore
con origine in O(0, 0).
Domande
• Come si determina il modulo di un vettore?
...............................................................................................................................................
• Come si determina la direzione del vettore (ossia la pendenza della retta su cui giace)?
...............................................................................................................................................
Equazioni della traslazione
• Rappresenta un punto P (x, y) sul piano cartesiano e definisci un vettore ~v = (p, q).
• Applica al punto P (x, y) la traslazione di vettore ~v : dal menù “Trasformazioni geometriche”, scegli
(Trasla di un vettore).
In tal caso si dice che il punto P 0 che hai ottenuto è il corrispondente di P nella traslazione di
vettore ~v .
• Osserva come variano x0 in funzione di x e y 0 in funzione di y, spostando il punto P nel piano cartesiano.
Per capire meglio usiamo le tre tabelle seguenti: la prima è in parte compilata per la traslazione di
vettore ~v = (1, 2) e per tre posizioni di P : (3, 2), (1, −1) e (4, 3). Individuane altre e completa.
p=1
x
x0
3
4
1
2
0
q=2
y
y0
2
4
−1
1
0
p = −3
x
x0
q=0
y
y0
Le equazioni della traslazione di vettore ~v = (1, 2) sono:
(
x0 = .....
τ(1,2) =
y 0 = .....
Le equazioni della traslazione di vettore ~v = (−3, 0) sono:
(
x0 = .....
τ(−3,0) =
y 0 = .....
Le equazioni della traslazione di vettore ~v = (1, −2) sono:
(
x0 = .....
τ(1,−2) =
y 0 = .....
In generale, le equazioni della traslazione di vettore ~v = (p, q) sono:
(
x0 = .....
τ(p,q) =
y 0 = .....
132
p=1
x
x0
q = −2
y
y0
Gruppo funzioni
Esercizi
• Costruisci il triangolo di vertici A(−3, 3), B(1, 2) e C(2, −2) e ad esso applica la traslazione di vettore
~v = (−3, −2). Il triangolo che si ottiene ha come vertici i punti A0 (....., .....) B 0 (....., .....) e C 0 (....., .....).
• Scrivi l’equazione della traslazione che trasforma il punto P (3, −2) nel punto P 0 (−4, 3).
...............................................................................................................................................
• Disegna due segmenti AB e CD. Come devono essere fra loro tali segmenti per corrispondersi in una
traslazione?
...............................................................................................................................................
133
Gruppo Funzioni
Prof.ssa Francesca Mazzini Rette e funzioni
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134
Gruppo Funzioni
PIANO CARTESIANO
Data: 7 dicembre 2010
Modalità di lavoro:
In aula computer ripasso del piano cartesiano utilizzando geogebra, senza uso di
scheda di lavoro (asse x, asse y, coordinate di un punto, caratteristica coordinate
punti, simmetrie, ecc.)
Come compito per casa gli studenti hanno compilato la seguente scheda sul piano
cartesiano.
Esito compito a casa non buono: pochi studenti hanno consegnato schede e con
moltissimi errori (sicuramente a casa non hanno libro di testo e/o appunti presi in
classe)
135
Gruppo Funzioni
Allegato 1: scheda su piano cartesiano
PIANO CARTESIANO
Oggi abbiamo ripassato alcune caratteristiche del piano cartesiano, utilizzando il software di geometria
dinamica Geogebra14, liberamente scaricabile dal sito http://www.geogebra.org/cms/.
Grazie all’esercitazione appena fatta dovresti essere in grado di rispondere alle seguenti domande… prova
a farlo!
1. Scrivi le coordinate di un punto (da te inventato) appartenente al primo quadrante:
Che caratteristica hanno le coordinate dei punti appartenenti al primo quadrante?
2. Scrivi le coordinate di un punto appartenente al terzo quadrante:
Che caratteristica hanno le coordinate dei punti appartenenti al terzo quadrante?
3. In quale quadrante si trova il punto A(2,5) ?
Per quale motivo? (suggerimento: che caratteristica hanno i punti di questo quadrante?)
4. Scrivi le coordinate di un punto A appartenente all’ asse delle ascisse (asse x).
14
GeoGebra è un software didattico di matematica dinamica, che comprende geometria, algebra e analisi
136
Gruppo Funzioni
Che caratteristica hanno le coordinate dei punti appartenenti all’asse delle ascisse?
5. Dove si trova nel piano cartesiano il punto A(0,7) ?
6. Disegna un punto P nel primo quadrante del piano cartesiano. Scrivi le coordinate di questo punto.
Secondo te quali sono le coordinate del punto Q simmetrico del punto P rispetto all’asse delle ascisse?
Perché? (prova a disegnare tale punto)
Secondo te quali sono le coordinate del punto Z simmetrico del punto P rispetto origine degli assi
cartesiani? Perché?
137
Gruppo Funzioni
GRAFICO DI UNA FUNZIONE CON GEOGEBRA
Data: 19 marzo2011
Osservazione (Prerequisiti): gli studenti conoscono già il concetto di funzione
Modalità di lavoro:
L’attività (basata sulle schede del prof. Pegoretti) si è svolta in aula computer, agli
studenti non sono state consegnate schede di lavoro.
Agli studenti viene detto di considerare la funzione che associa ad ogni numero il suo
quadrato e si chiede loro di “tradurre” questa legge in simboli (gli studenti
conoscono già il concetto di funzione e la notazione t t^2. In questa occasione si
introduce in modo informale la notazione f(t)=t^2).
Si dice agli alunni che il nostro obiettivo è ora quello di rappresentare graficamente
(nel piani cartesiano) la suddetta funzione.
1° attività
Gli studenti rappresentano “qualche punto della funzione nel piano cartesiano”… ma
come sarà il grafico completo? Gli studenti hanno difficoltà a fare previsioni sul
grafico.
Rappresentiamo la funzione con Geogebra (scrivendo f(x)=x^2 nella barra
d’inserimento).
Si chiede agli studenti che caratteristica hanno le coordinate dei punti costituenti il
grafico. Una studentessa risponde che la y di quei punti è il quadrato della x. Per
verificare questa affermazione usiamo il foglio di calcolo: nella cella A1 si scrive t e
nella cella B1 t^2, gli studenti assegnano alcuni valori a t e poi rappresentano i punti
nel piano cartesiano… questi punti “sono sul grafico” che avevamo precedentemente
disegnato…
138
Gruppo Funzioni
2° attività
Per capire meglio il grafico della funzione f(x)=x^2 si prova ad applicare ora un altro
metodo.
Si chiede agli studenti di rappresentare nel piano cartesiano il punto P(t,t^2) al
variare di t…
Si spiega gli studenti come utilizzare lo slider e con questo strumento creano uno
slider t… muovendo lo slider t il punto P descrive una curva… sembra ricordare la
curva disegnata con l’attività 1… rappresentiamo nuovamente il grafico della
funzione f(x)=x^2 (inserendola nella barra d’inserimento) e vediamo che P si muove
proprio sopra al grafico della funzione…
Nota:
- Le attività sono state svolte da ogni singolo studente su un computer mentre
l’insegnante proietta e illustra le attività dal suo computer.
- Gli studenti sembrano (anche a distanza di molte lezioni) aver chiaro il
concetto di grafico di una funzione.
Data: 25 marzo2011
Modalità di lavoro:
In aula computer agli studenti viene consegnata la seguente scheda, della quale
svolgono le lettere a), b), c). Utilizzando geogebra i ragazzi rappresentano il grafico
della funzione f(x)= 4x per verificare la risposta fornita al punto c).
Alcuni studenti rispondono al punto d) e poi verificano la loro risposta con Geogebra
(facendo riferimento ad attività “grafico di una funzione con Geogebra”), altri
studenti non sono in grado di rispondere e quindi sono invitati a “ricostruire”
l’attività “grafico di una funzione con Geogebra”.
139
Gruppo Funzioni
Allegato 2: scheda su funzioni e…
Esercizio – “Funzioni e … ” – 26 marzo 2011
Considera la funzione che fa corrispondere ad ogni numero reale il suo quadruplo.
a) Traduci in simboli la suddetta funzione
b) Cerca di rappresentare graficamente nel piano cartesiano tale funzione.
c) Che tipo di rappresentazione grafica ottieni?
d) Che caratteristica hanno le coordinate dei punti che costituiscono il grafico della
funzione?
e) Le coordinate dei punti del grafico soddisfano l’equazione y 4 x ? Perché?
Il grafico della funzione è …………………………………. Individuato dall’equazione………………….
140
Gruppo Funzioni
RETTE
Data: 25 marzo2011 e lezioni seguenti( 29 marzo e 2 aprile)
Modalità di lavoro:
Agli studenti, in aula computer, viene consegnata la seguente scheda. Per questioni
di tempo, si riesce a svolgere solamente l’esercizio 1.
La lezione successiva, in classe (laboratorio non disponibile), si discute l’esercizio 1.
L’esercizio 2 viene svolto dagli studenti (autonomamente, senza spiegazioni da parte
dell’insegnante)in aula computer il 2 aprile 2011.
Allegato 3: scheda su rette
Laboratorio: Rette con Geogebra 1
1. Utilizzando il software Geogebra rappresenta le rette sotto indicate (scrivi le equazioni delle rette
nella “barra di inserimento”), stampa i grafici ottenuti e completa la scheda
a) Scrivi una funzione la cui rappresentazione grafica sia la retta indicata
y
1
x
2
b) Scrivi due punti appartenenti alla retta
c) Il punto C (1; 2) appartiene alla retta? Perché?
d) Quali sono le coordinate dei punti che costituiscono la retta?
a) Scrivi una funzione la cui rappresentazione grafica sia la retta indicata
y 2x
b) Scrivi due punti appartenenti alla retta
c) Il punto C (1; 2) appartiene alla retta? Perché?
d) Quali sono le coordinate dei punti che costituiscono la retta?
141
Gruppo Funzioni
a) Scrivi una funzione la cui rappresentazione grafica sia la retta indicata
y 3x
b) Scrivi due punti appartenenti alla retta
c) Il punto C (0 ; 3) appartiene alla retta? Perché?
d) Quali sono le coordinate dei punti che costituiscono la retta?
a) Scrivi una funzione la cui rappresentazione grafica sia la retta indicata
y 5x
b) Scrivi due punti appartenenti alla retta
c) Il punto C (1; 5) appartiene alla retta? Perché?
d) Quali sono le coordinate dei punti che costituiscono la retta?
2. Cerchiamo di capire come varia la rappresentazione della retta y mx , al variare del numero
reale m (ad esempio cosa succede prendendo m 2 , m 3 , m 5 , ecc. ) Usiamo per tale
scopo ora lo strumento “slider”.
a) Crea lo slider m utilizzando l’apposito comando di Geogebra, impostando -10 come valore
minimo che può assumere m e 10 come valore massimo che può assumere m (considera
un incremento di 0.1)
b) Nella barra di inserimento scrivi la retta di equazione y m * x
c) Fai variare m… Cosa osservi?
d) Prova se vuoi a modificare l’intervallo in cui si trova m e/o il passo di incremento di m e
osserva come varia la rappresentazione della retta y m * x … riesci a rispondere alle
seguenti domande?
Cosa cambia nella rappresentazione della retta al variare di m?
Se m 0 che tipo di rappresentazione ottieni?
Se m 0 tipo di rappresentazione ottieni?
Se m 0 tipo di rappresentazione ottieni
142
Gruppo Funzioni
Data: 2 aprile 2011
Modalità di lavoro:
Agli studenti viene consegnata la seguente scheda con la richiesta di stampare i grafici
dell’esercizio 1 che dovranno svolgere a casa per la lezione seguente(gli studenti devono incollare i
grafici sul quaderno).
Gli studenti in modo autonomo svolgono esercizio 2 che poi viene discusso prima di fine lezione.
Nella lezione successiva (5 aprile 2011) in classe si discute esercizio 1 e, basandosi si attività
laboratorio, si discute su significato coefficiente angolare e intercetta.
Nota: non tutti gli studenti hanno svolto il compito a casa. La discussione in classe è positiva,
l’attività svolta in laboratorio sembra esser stata efficiente, anche se a distanza di tempo (molte
lezioni successive) studenti non ricordano più risultati ottenuti in laboratorio al variare di m e q…
Allegato 4: scheda su rette
Laboratorio: Rette con Geogebra 2
1. Utilizzando il software Geogebra rappresenta le rette sotto indicate (scrivi le equazioni delle rette
nella “barra di inserimento”), stampa i grafici ottenuti e completa la scheda
e) Scrivi una funzione la cui rappresentazione grafica sia la retta indicata
y 3x
f)
Scrivi due punti appartenenti alla retta
g) Il punto C (1; 3) appartiene alla retta? Perché?
h) Quali sono le coordinate dei punti che costituiscono la retta?
e) Scrivi una funzione la cui rappresentazione grafica sia la retta indicata
y 3x 1
f)
Scrivi due punti appartenenti alla retta
g) Il punto C (1; 3) appartiene alla retta? Perché?
h) Quali sono le coordinate dei punti che costituiscono la retta?
e) Scrivi una funzione la cui rappresentazione grafica sia la retta indicata
y 3x 1
f)
Scrivi due punti appartenenti alla retta
g) Il punto C (1; 3) appartiene alla retta? Perché?
h) Quali sono le coordinate dei punti che costituiscono la retta?
143
Gruppo Funzioni
2. Cerchiamo di capire come varia la rappresentazione della retta y 3x q , al variare del numero
reale q (ad esempio cosa succede prendendo q 2 , q 3 , q 5 , ecc. ) Usiamo per tale
scopo ora lo strumento “slider”.
e) Crea lo slider q utilizzando l’apposito comando di Geogebra, impostando -10 come valore
minimo che può assumere q e 10 come valore massimo che può assumere q (considera un
incremento di 0.1)
f)
Nella barra di inserimento scrivi la retta di equazione y 3x q
g) Fai variare q… Cosa osservi?
h) Prova se vuoi a modificare l’intervallo in cui si trova q e/o il passo di incremento di q e
osserva come varia la rappresentazione della retta y 3x q … riesci a rispondere alle
seguenti domande?
Cosa cambia nella rappresentazione della retta al variare di q?
Se q 0 quale tipo di rappresentazione ottieni?
144
Gruppo Funzioni
Prof.ssa Roberta Rizzi Funzioni inverse
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145
Gruppo Funzioni
Protocolli studente
Funzioni inverse
Una funzione si dice invertibile quando è biiettiva, ovvero è sia iniettiva che suriettiva.
def. Iniettiva: quando ad un elemento distinto del primo insieme associo uno e un solo elemento del
secondo insieme. x1 ≠ x2 → ƒ(x1) ≠ ƒ(x2)
def. Suriettiva: quando l'immagine coincide al codominio, ovvero quando ad ogni elemento del secondo
insieme corrisponde almeno un elemento del primo insieme. J ≡ B
Nell'ora di matematica del 16/11 abbiamo analizzato le funzione inverse; dapprima abbiamo constatato che
una parabola è una funzione iniettiva soltanto se escludiamo dal dominio i numeri negativi, altrimenti ad
ogni elemento dell'immagine si associano 2 elementi del dominio.
In questa parabola all'elemento y=4 sono associati
l'elemento x=2 e x=-2 ma per rendere la funzione
iniettiva abbiamo evidenziato solo x=2.
Successivamente abbiamo disegnato nel piano i punti A(x1,y1) e A'(y1,x1) ed altri punti invertendo le
coordinate, abbiamo così supposto che essi ruotassero. Per verificare l'ipotesi abbiamo tracciato i segmenti
che collegavano l'origine con i suddetti punti. Dopo aver confrontato l'ampiezza tra AÔA' e BÔB' abbiamo
scartato l'ipotesi perché se i punti fossero ruotati l'ampiezza dei due angoli avrebbe dovuto essere la
stessa.
146
Gruppo Funzioni
Siamo cosi arrivati alla conclusione che i punti non ruotavano ma erano simmetrici alla bisettrice del primo
quadrante e che il segmento creato tra i 2 punti è perpendicolare alla stessa.
Infine abbiamo applicato lo stesso principio alla metà della parabola stante nel primo quadrante ed
abbiamo constatato che il principio era egualmente valido.
In conclusione è definita funzione inversa una funzione nella quale i punti della stessa sono simmetrici
rispetto alla bisettrice che taglia il primo quadrante.
147
Gruppo Funzioni
FUNZIONI PARI E FUNZIONI DISPARI
Nell’ora di venerdì 5/11 abbiamo trattato l’argomento delle funzioni pari e dispari. Per parlare di
questo argomento abbiamo sfruttato un programma molto utile per l’utilizzo della geometria
analitica chiamato Geogebra.
Per iniziare abbiamo analizzato la funzione y=x3+k scrivendola su geogebra ed abbiamo visto che
usciva questa figura:
Analizzando la figura all’inizio sembrava una parabola rovesciata per meta ma facendo il confronto
abbiamo notato che non era cosi in quanto nell’intervallo 0-1 la curva era più pronunciata che nella
parabola e che nell’intervallo dopo l’1 la salita della parabola era meno ripida.
148
Gruppo Funzioni
Sempre facendo il confronto con la parabola abbiamo fatto il confronto tra la simmetria della
parabola e la simmetria della parabola e quella della figura cubica notando che la parabola era
simmetrica soltanto rispetto all’asse delle y mentre la figura cubica era simmetrica prima rispetto
all’asse delle y e poi rispetto all’asse delle x sintetizzando che la parabola era simmetrica rispetto
all’asse delle y mentre la figura cubica era simmetrica rispetto all’origine.
y=x2+k
y=x3+k
Facendo il confronto tra il grafico delle due figure ma anche con le rispettive formule abbiamo
notato che le funzioni in cui la x ha un esponente pari si ha la simmetria rispetto all’asse delle y
mentre le funzioni dove la x aveva un esponente dispari si aveva la simmetria rispetto all’origine
potendo definire quindi:
funzioni pari tutte le funzioni che sono simmetriche rispetto all’asse delle y mentre si
definiscono funzioni dispari tutte le funzioni simmetriche rispetto all’origine
149
Gruppo Integrale
Gruppo integrale
Prof.ssa Angela Aldrighetti Punti, funzioni e funzione integrale
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150
Gruppo Integrale
CONOSCIAMO GEOGEBRA
GeoGebra è un software di matematica dinamica che comprende geometria, algebra e
analisi, sviluppato per la didattica e l’apprendimento della matematica da Markus
Hohenwarter e un team internazionale di programmatori.
LAVORIAMO CON I PUNTI
Dati due numeri a e b definire P(a,b).
1. a=3
2. b=5
3. P=(a,b)
Se impostiamo direttamente Q(3,5) : che differenza noti?
Dato k intero compreso tra -2 e 1 determinare un numero b=k2 e determinare il punto
Q(k,b)
1. Slider k tra -2 e 1 con incremento 1
2. b=k^2
3. Q=(k,b)
Imposta intervallo di variazione e incremento
Al variare di k visualizzare la traccia del punto Q
1. Con il mouse che punta Q pulsante dx scegliere traccia attiva.
Prova con b1=k3+1
Dato il punto P definire un punto Q in modo che le sue coordinate risultino aumentate di
0.7 ovunque sia P.
1.
2.
3.
4.
5.
punto P sul piano
x_P=x(P) (estrae ascissa di P)
y_P=y(P)
Q=(x_P+0.7,y_P+0.7)
Muovere P.
Dato il punto P definire un punto Q in modo che le sue coordinate risultino aumentate di
una quantità k definita da uno slider
1.
2.
3.
4.
punto P sul piano
slider k
Q=(x(P)+k,y(P)+k)
Muovere P e lo slider
151
Gruppo Integrale
LAVORIAMO CON LE FUNZIONI
Data la funzione f(x)=x3-1 determinare un punto P sul grafico di f(x) di ascissa a=1.32.
1. f(x)= x^3-1
2. a=1.32
3. P=(a,f(a))
Come possiamo muovere P?
Data una retta r calcolare il coefficiente angolare m
1. Strumento retta per due punti
2. Punti P e Q sulla retta
Come facciamo a calcolare il coefficiente angolare?
3. Δx=x(P)-x(Q)
4. Δy=y(P)-y(Q)
5. m=Δy/Δx
Usiamo strumento pendenza.
Costruiamo noi lo strumento.
Dato un punto P sul grafico di f(x) definire Q, ancora sul grafico di f(x), in modo che le
ascisse dei due punti distino un valore h definito da uno slider.
1.
2.
3.
4.
5.
f(x)=0.2x^2-3x
P sul grafico di f(x)
Slider h da -3 a 7 incremento 0.2
x_Q=x(P)+h
Q=(x_Q,f(x_Q))
Rappresentare la funzione f(x) = x2-3. Colorare in rosso la parte di funzione con ordinate
negative o nulle.
1. f(x)=x^2-3
2. determina le intersezioni del grafico di f(x) con l’asse x pulsante punto opzione “intersezione di
due oggetti”
3. x_A=x(A)
4. x_B=x(B)
5. g(x)=funzione[f(x),x_A,x_B]
6. proprietà di g(x) colore rosso
Se f(x)=(x-1)(x+1)(x-3)?
Se f(x)=-x2+3?
152
Gruppo Integrale
SCHEDA 1
COSTRUIAMO FUNZIONE INTEGRALE
con traccia
4. f(x)= 2
5. numero b
6. numero A : integrale di f(x) tra 0 e b
7. punto P(b,A)
8. Traccia di P
Prova con
f(x)=x f(x)=x2
f(x)=x3
Osservazioni:
f(x)=-1/10x3+x+1
come luogo di punti
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
f(x)= x
punto X su asse x
numero A : integrale di f(x) tra 0 e x(X)
punto P(x(X),A)
Luogo di X al variare di P
punto B su luogo
retta a passante per X e perpendicolare asse x
g(x) definita come integrale di f(x)
Prova con
Osservazioni:
f(x)=ex
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=1/x
f(x)=1/x2
f(x)=1/x
f(x)=1/x2
SCHEDA 2
PRIMITIVE CON COSTANTE DI INTEGRAZIONE
9. f(x)= x
10.punto X su asse x
11.numero A1 : integrale di f(x) tra 0 e x(X)
12.punto P(x(X),A)
13.Luogo di X al variare di P
14.ripeti i 5 passi precedenti con altri due numeri (A2,A3)
Prova con
Osservazioni:
f(x)=ex
f(x)=sin x
f(x)=cos x
153
Gruppo Integrale
SCHEDA 3
Dopo aver rappresentato il luogo geometrico della funzione integrale , andiamo a provare
graficamente che la derivata della funzione integrale è la funzione stessa.
Voglio quindi calcolare il coefficiente angolare della retta tg alla funzione integrale nel punto P che
ha generato il luogo.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
definisco f(x)
AB=integrale[f(x),0,x(B)] . (B è il punto mobile sull’asse x)
Definisco PB=(x(B),AB)
Luogo di B al variare di PB. (la funzione integrale)
Opzioni arrotondamento: 3 cifre decimali.
Slider h da 0.01 a 0.8 passo 0.0001 lunghezza 300 (è il
)
Costruisco un altro punto sulla funzione integrale per poter trovare una secante e calcolare,
quando h->0, il limite del rapporto incrementale.
7. Definisco Bx+h=(x(B)+h,0) Dipende dalla posizione di B e dista h da esso e sarà la ascissa del
nuovo punto sul luogo
8. AB+h= integrale[f(x),0,x(Bx+h)] è l’ordinata del nuovo punto sul luogo
9. Definisco PB+h=(x(Bx+h),AB+h). (PB+h sta sul luogo)
10. Retta t per PB e PB+h
11. Definisco m coefficiente angolare di t
quando h->0 t è la tangente alla funzione integrale ed m la derivata della funzione integrale
12. Q=(x(B),m)
13. Opzione traccia per Q. Muovendo B avremo che Q lascia la sua traccia sovrapposta ad f(x)
154
Gruppo Integrale
Prof. Luciano Cappello Integrale come area e funzione integrale
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155
Gruppo Integrale
Area: motivazioni (applicazione alla probabilità, importanza per il cittadino, …), stime dell’area di sottografici e
valutazione dell’errore, area come limite.
Integrale: dall’area ad altri contesti (lavoro di una forza, consumo energetico di un dispositivo, …), definizione di
integrale per funzioni continue come limite di somme e notazione di Leibniz, relazione con l’area; calcolo di integrali di
funzioni lineari a tratti tramite le aree; proprietà elementari dell’integrale (linearità, additività sul dominio, monotonia).
Funzione integrale: investigazioni sulla relazione tra funzione integrale e funzione, teorema fondamentale del calcolo
integrale e formula di Newton-Leibniz, primitive di una funzione.
Lo sviluppo successivo del percorso è stato il calcolo delle primitive di una funzione.
Il lavoro è stato essenzialmente di tipo laboratoriale, non solo perché si è fatto uso del laboratorio di informatica e del
PC, ma soprattutto perché le attività sono state strutturate in modo operativo-sperimentale, volte alla costruzione di
significati per gli oggetti matematici introdotti.
All’inizio del percorso gli studenti hanno installato Geogebra sui propri PC a casa.
In aula informatica, con lavoro individuale alla propria postazione, i ragazzi hanno preso confidenza con gli aspetti
specifici del software utili per il percorso [file: Area_Poligoni; GraficoFunzioni].
Una stima dell’area del sottografico di una funzione è stato svolto in laboratorio di informatica: il lavoro individuale al PC,
ciascuno alla propria postazione, è stato preceduto da una discussione sulle modalità di realizzazione e di
implementazione e seguito dalla discussione e confronto dei risultati ottenuti [files: Area_x^2*].
Altre stime [foglio11.doc] sono state effettuate con lavoro individuale a casa e discusse successivamente in aula; la
lavagna interattiva è stata utile per presentare tale attività ed in particolare per fornire precise indicazioni di lavoro e gli
elementi che permettessero poi agli studenti di lavorare autonomamente. Gli studenti non avevano mai utilizzato prima
Geogebra; relativamente a tale foglio di esercizi si è pensato allora di fornire loro direttamente dei file ggb che
prevedessero solo qualche semplice manipolazione: hanno potuto così centrare l’attenzione sui concetti, senza perdere
tempo nella risoluzione di aspetti tecnici, non funzionali alla comprensione dell’argomento in esame [files:
AreaRadiceSlider, AreaGaussSlider]
Gli esercizi di calcolo degli integrali tramite le aree, o le congetture sulle proprietà dell’integrale [foglio12.doc] sono stati
svolti a casa dai ragazzi, dopo essere stati brevemente impostati in classe; eventuali dubbi sono stati chiariti nelle lezioni
successive. Per uno svolgimento più consapevole ed efficace dell’esercizio relativo alla funzione integrale è stato fornito
un file ggb opportuno [EsamePNI].
La lavagna interattiva è stata utile anche nella investigazione della relazione tra funzione integrale e funzione[file:
FunzioneIntegrale]. Per una verifica “dinamica” del teorema fondamentale del calcolo integrale in un caso notevole si è
rivelato utile il file FunzioneIntegrale_Stef. Una parte dei file ggb proposti sono stati rielaborati ed adattati a partire dai
materiali forniti da Stefano Pegoretti.
Le motivazioni iniziali, gli aspetti più teorici e le conclusioni sono state invece discusse con i ragazzi con lezioni
partecipate.
156
Gruppo Integrale
I ragazzi hanno tenuto traccia sul quaderno delle lezioni e delle attività da svolgere a casa, in particolare i fogli di
esercizi 11 e 12. Hanno realizzato interamente dei files ggb, mentre hanno semplicemente manipolato altri files, forniti
dall’insegnante; in ogni caso, hanno salvato tutto il lavoro in una apposita cartella. Dove possibile, si è cercato di far
riferimento al libro di testo.
A due lezioni, una di laboratorio ed una in aula, ha partecipato come osservatrice Elisabetta Osanna.
Oltre ad osservare quanto succedeva a lezione (allo scopo di reindirizzare eventualmente il percorso), si è cercato di
controllare, volta per volta, il lavoro svolto a casa. In particolare, si potrebbe pensare di farsi inviare in posta elettronica i
files ggb, realizzati dai ragazzi.
Sull’argomento vi sono state anche verifiche sommative orali ed una scritta, Quinta3.doc. In realtà quest’ultima (tempo
90 minuti) riguardava un ambito più vasto del percorso affrontato: i quesiti più specificamente relativi al percorso in
esame sono i numeri 4, 5, 6.
Proprio per questo è difficile e non significativo trarre delle conclusioni sul raggiungimento degli obiettivi di
apprendimento del percorso in esame, dalla verifica scritta: i quesiti specifici potrebbero non essere stati affrontati o non
analizzati in modo compiuto solo per mancanza di tempo.
In realtà il percorso è stato strutturato in modo che i saperi coinvolti fossero ben radicati e quindi disponibili a lungo
termine. In questo senso una verifica attendibile è costituita dalla capacità di esprimere alcune grandezze tramite gli
integrali, a distanza di tempo e in un contesto diverso dalla matematica; ad esempio, durante una lezione di fisica a
proposito del flusso del campo magnetico: per la maggior parte dei ragazzi la formalizzazione con gli integrali è risultata
abbastanza evidente.
L’uso dei Geogebra si è rilevato utile, perché permette di focalizzare l’attenzione sul processo e sui concetti più che sui
calcoli, permette la realizzazione di attività operativo-sperimentali (verifica di congetture, …) e quindi la costruzione di
significati degli oggetti matematici introdotti, prevede di riservare un’attenzione particolare alla formalizzazione (che non
rimane quindi un’esigenza astratta imposta dall’insegnante), veicola (perché lo esige) lo sviluppo di diverse abilità
trasversali (quali il controllo dei risultati, la schematizzazione, l’uso di diversi registri, il confronto tra più punti di vista,
l’interpretazione di eventuali errori …), risulta più accattivante per alcuni ragazzi. Naturalmente le attività proposte si
sarebbero potute realizzare anche con altri software: Geogebra, integrando con relativa semplicità aspetti grafici ed
algebrici, sembra davvero efficace; peccato che non permetta il calcolo simbolico.
Rispetto a modalità di lavoro “tradizionali”, richiede una pianificazione più accurata e dettagliata delle attività,
essenzialmente per tre motivi: un primo, magari banale, è il fatto che i tempi si dilatano, poi l’uso del software non
sostituisce il lavoro su carta e, più in generale, non è il fine delle attività, ma il mezzo; infine alcuni studenti potrebbero
incontrare difficoltà anche ad iniziare le attività richieste a casa. Anche il controllo delle produzioni dei ragazzi risulta più
difficoltoso ed articolato.
Nello specifico del percorso, i ragazzi hanno generalmente partecipato alle attività con interesse e motivazione. E a
questo direi che l’uso di Geogebra ha contribuito: in particolare sono stati coinvolti alcuni studenti, attirati da una
modalità di lavoro più vicina alla loro sensibilità. Alcune difficoltà mostrate erano da ascrivere più ad aspetti tecnici,
derivati dalla poca confidenza con il software (meglio allora se l’uso di Geogebra viene proposto a partire dalle prime
classi anni del liceo), che a problemi di tipo concettuale. Diverse attività di stima sono state rese possibili proprio grazie
all’uso del software: determinare le prime cifre decimali dell’area è improponibile per la lunghezza dei calcoli con carta e
penna, ma contribuisce a rafforzare l’idea che quello che si ottiene con la costruzione dei plurirettangoli non è solamente
un’approssimazione, ma un valore preciso quanto si vuole. Analogamente la relazione tra funzione integrale e funzione
157
Gruppo Integrale
era già stata intuita dai ragazzi dopo alcune prove su carta, ma è stata sondata con più precisione effettuando con
Geogebra diverse verifiche con più funzioni elementari; in questo caso, per non ingenerare miscomprensioni, si è dovuto
porre attenzione sui limiti dello strumento, rimarcando che prove di casi particolari non costituiscono una dimostrazione.
Un ultimo aspetto riguarda il mantenimento e la disponibilità dei saperi a lungo termine ed in altri contesti: il fatto di aver
realizzato passo per passo un procedimento per calcolare l’area plurirettangoli, ha permesso di dare concretezza a
somme della forma
f ( x )x e a radicarle con continuità sulle conoscenze pregresse, rendendola così realmente
i
i
disponibile.
Il percorso proposto si può ulteriormente semplificare, ad esempio trascurando le applicazioni alla probabilità, il calcolo
di integrali con il teorema di Archimede o l’applicazione alla fisica.
Aree
Per rispondere alle questioni degli esercizi 1, 2, 3 utilizza il software Geogebra.
1.
Fornisci una stima dell’area del sottografico della funzione
f ( x)
1
x
nell’intervallo [1,2] . Precisamente:
suddividi [1,2] nello stesso numero n di intervalli che hai considerato a lezione, e calcola le aree dei plurirettangoli
approssimanti s n e
2.
Sn .
Considera il sottografico R della funzione f ( x) 4 x 2 nell’intervallo [0,2] . Utilizza il file:
Area_Radice_Slider.
- Quali sono le prime due cifre decimali dell’area di R?
- A partire da quale numero di suddivisioni n , l’errore che si commette approssimando l’area di R con quelle dei
plurirettangoli s n e S n è certamente minore di 0,1? E di 0,01?
- Potevi prevedere il valore dell’area anche prima di eseguire il calcolo? Spiega.
3.
Considera il sottografico R della funzione
p ( x)
2
1
2
e
x2
nell’intervallo [0,1] . Utilizza il file:
Area_Gauss_Slider.
- Quali sono le prime tre cifre decimali dell’area di R?
- A partire da quale numero di suddivisioni n , l’errore che si commette approssimando l’area di R con quelle dei
plurirettangoli s n e S n è certamente minore di 0,01?
- Conoscendo l’area di R cosa puoi dedurre sulla probabilità degli eventi x?
- Se una variabile x ha distribuzione di probabilità p(x), ossia normale (e standardizzata), calcola la probabilità che
il valore di x si discosti dalla media meno di due volte lo scarto quadratico medio.
- Prova a calcolare l’area del sottografico di tale funzione sull’insieme dei numeri reali. Potevi prevedere tale
risultato anche prima di eseguire il calcolo? Spiega, ricordandoti che p(x) rappresenta una distribuzione di
probabilità.
4.
Uno strumento a lettura continua ha rilevato l’andamento della concentrazione nell’aria di una determinata
sostanza, in tre città A, B, C. I grafici prodotti sono i seguenti. In quale delle tre città si è riscontrato il livello di
inquinamento maggiore (individua prima una grandezza che “misuri” il livello di inquinamento ed elabora poi una strategia
per stimarla)?
158
Gruppo Integrale
Integrali ed aree
5.
Calcola il valore dei seguenti integrali, ricorrendo al loro significato geometrico. Controlla i risultati numerici ed il
procedimento con Geogebra, utilizzando il comando: “ Integrale[f(x),a,b]”.
4
3
1
2
1
2 x a dx a 0
1
3
x 1
2
dx
0
1 x 2 dx
(esame 2007)
0
2
1
0
1
3
| x | 3 dx
x 1 dx
x dx
x 2 dx
0
0
6. Calcola il valore degli integrali relativi alle seguenti funzioni definite a tratti.
3
2
| x | se x 1
a f ( x)
2 x 3 se x 1
3
f dx
se x 0
1
1 x se x 0
dx
1
1
b f ( x)
f
2
0
f dx
1
f dx
a 0
a
f
dx
a 1
1
a
7.
Un’automobile accelera costantemente partendo da ferma e arrivando alla velocità di 100km/h in 8.3 secondi. Poi
prosegue a velocità costante per 10 secondi e infine decelera costantemente fermandosi 45 secondi dopo la
partenza. Rappresenta graficamente la situazione e trova lo spazio percorso. Esprimi lo spazio percorso
utilizzando la notazione di integrale.
8.
Se
b
f dx k , è vero che
a
b
b
f 1 dx k 1
2
dx k 2 ?
a
a
Trova due esempi di numeri reali a, b e di funzioni
ciascuna delle uguaglianze indicate.
9.
f
e
f : a, b R che rendono una volta vera e una volta falsa
Considera la funzione p(x) dell’ex. 3 (distribuzione normale e standardizzata di probabilità). Da una tabella si può
leggere che
3, 5
2,5
0
0
2 , 5
p dx 0,4998 e p dx 0,4938 . Allora quanto vale 3,5p dx ?
10. Se f (x) è una funzione reale dispari, definita e integrabile nell’intervallo
2,2, che dire del suo integrale
esteso a tale intervallo? Quanto vale nel medesimo intervallo l’integrale della funzione 3 f ( x) ? (esame 2007)
11.
Considera la funzione g(x) il cui grafico è costituito da tre semicirconferenze di centri (0,0), (3,0), (9/2,0) e raggi
rispettivi 2, 1, ½; solo la seconda si trova nel semipiano delle y negative.
x
g (t ) dt , determina
-
Se f ( x)
-
Per quali valori di x,
2
f (4) , f (1) .
2 x 5 la funzione f presenta un massimo o un minimo relativo? (da esame PNI 2010)
Utilizza anche il file: Geogebra Esame_PNI. per effettuare delle congetture. Ma poi
dettagliata basandoti solo sul significato di integrale.
Alcune soluzioni. 1.
2
34 ; 12 ,
2 , 132 , 3a 9 ,
3
2
; 12 a;
a2 2a2
2
4 .
3 , 23 , 43 2 4 .
3. Circa
159
scrivi una giustificazione
Gruppo Integrale
Verifica di matematica
1.
Studia la convessità della funzione seguente e determina gli eventuali flessi
2 log x 1
f ( x)
2 3 log x
Scrivi l’equazione della tangente inflessionale ed abbozza l’andamento del grafico di f vicino al punto di flesso.
2.
Determina per quale valore dei parametri a, b, c, il grafico della funzione f ( x) a sen 2 x b senx c passa per
A(0,2) ed ha in B( 56 ,0) tangente parallela alla retta di equazione 3 3 x 2 y 5 0 .
3.
Calcola le seguenti primitive
4.
x2 1
x 2 2 dx
x
2 3 dx
tgx dx
cos
3
x dx
Considera la funzione f (x) il cui grafico è costituito, per x [0,2] , dal segmento di retta che ha pendenza
12 e che interseca l’asse y nel punto (0,1) ; per x (2,4] , dalla semicirconferenza di centro (3,0) e raggio 1 e
x
che si trova nel semipiano delle y negative. Sia h( x)
f (t ) dt .
0
-
5.
Per quale o quali x , tali che 0 x 4 , vale h( x) 0 ? Giustifica.
Spiega perché h ha uno zero. Trova un intervallo di lunghezza 1 a cui esso appartiene.
Sia 1 b e
b
x b, b . Prova che | x 1 | dx 1 b 2 .
b
6.
- Come si definisce tramite l’integrale il lavoro di una forza F (x) che agisce lungo un retta ? Illustrane i motivi.
- Prova a dimostrare che il lavoro per caricare un condensatore di capacità C, con carica Q e d.d.p. V sulle
armature, è
1
2
CV 2
(suggerimento: puoi pensare di portare tante “piccole” cariche da una armatura all’altra finché la
carica totale è Q; il lavoro su ciascuna carica è dato dal prodotto della d.d.p., che aumenta nel processo, per tale carica).
7*. Determina per quale valore del parametro c le rette di equazione y c dividono in due regioni di area uguale il
sottoinsieme limitato del piano, delimitato dal grafico di f ( x) x 2 e dalla retta y 1 .
160
Gruppo Integrale
Prof.ssa Antonella Frisanco Approssimazione di integrali
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161
Gruppo Integrale
Approssimazione di integrali
Con questa attività utilizziamo geogebra per introdurre l’approssimazione di integrali con il
metodo dei rettangoli, dei trapezi e Cavalieri Simpson (metodo delle parabole).
Attività preliminare: definire un poligono e calcolarne l’area.
Apri il programma geogebra e inserisci il foglio di calcolo (Visualizza – vista foglio di
calcolo) sulla parte destra compare un foglio di calcolo molto simile ad Excel). In una
colonna inserisci le ascisse di cinque punti a tua scelta e nella colonna a fianco inserisci le
corrispondenti ordinate (anche queste a tua scelta).
Ora seleziona le due colonne di punti e clicca sul tasto destro del mouse selezionando poi
la voce crea lista di punti.
A questo punto è necessario definire il poligono: per fare ciò clicca sulla quinta icona da
sinistra e seleziona poligono. Clicca con il mouse su tutti i vertici del poligono in modo che
venga convesso e “chiudi il poligono” cliccando sul primo vertice che hai scelto. A questo
punto hai definito il poligono e puoi calcolarne l’area, utilizzando l’ottava icona da sinistra.
Seconda attività: calcolo dell’area approssimata sottostante il grafico di una
funzione
Utilizziamo la funzione y
4
. Sintassi: f(x)=4/(1+x^2)
1 x2
Apri un altro foglio geogebra e, dopo aver digitato l’equazione della funzione, visualizza il
grafico.
Vogliamo calcolare un valore approssimato dell’area della parte di piano compresa tra il
grafico della funzione, l’asse delle ascisse e le due rette x=0 e x=1.
Suddividi l’intervallo [0,1] in quattro parti uguali (o otto) e inserisci il foglio di calcolo. Su
una colonna riporta i valori delle ascisse che risultano dalla suddivisione, nella colonna a
fianco calcola le ordinate ricordando che sono punti della funzione. Puoi definire i rettangoli
che approssimano per difetto la funzione o quelli che approssimano per eccesso.
Dopo aver definito i punti opportuni e i relativi poligoni calcola le aree e la somma delle
aree. (Utilizza il foglio elettronico)
162
Gruppo Integrale
Terza attività: miglioriamo l’approssimazione
Dopo aver digitato l’espressione della funzione f(x)=……
, inserisci ora da comandi
sommainferiore[f(x),0,1,n] in cui f(x) rappresenta la funzione da integrare, 0 e 1 sono
rispettivamente il primo e il secondo estremo di integrazione mentre n è il numero delle
suddivisioni dell’intervallo che vuoi effettuare.
Con n=4, ottieni sommainferiore =…………
Se n=10 ottieni sommainferiore =………….
Se n=100 ottieni sommainferiore =…………
Ora cerchiamo di ottenere una versione più dinamica della stessa situazione. Inserisci dalla
barra in alto uno slider (corrisponde alla decima icona da sinistra) che rinomini n e al quale
dai intervallo da 1 a 100 con incremento di 1.
Dai poi il nome n al numero delle suddivisioni di sommainferiore.
In questo modo hai legato il numero delle suddivisioni alla posizione dello slider ed è
sufficiente trascinarlo con il mouse per vedere il numero dei rettangoli sotto il grafico
aumentare e l’approssimazione del valore dell’integrale migliorare.
Se vuoi animare lo slider è sufficiente cliccare il tasto destro avendo il cursore puntato sullo
slider e scegliere la voce animazione attiva.
Che cosa accade ora? A partire da quale numero n il valore dell’integrale si stabilizza?
Per eliminare l’animazione clicca con il tasto destro sullo slider e deseleziona animazione
attiva.
Ripeti ora lo stesso procedimento con il comando somma superiore.
Che cosa ti aspetti possa succedere?……………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
163
Gruppo Integrale
Definisci una nuova funzione, chiamandola mediainfesup, che sia la semisomma di somma
inferiore e superiore.
Pensi che questa funzione costituisca un’approssimazione migliore dell’integrale?
Perché?........................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………
Ora inserisci, da comandi, la funzione somma trapezi e rinominala sommatrapezi.
Confronta i valori ottenuti per somma trapezi e per mediainfeesup. Che cosa noti? Perché
succede questo?.............................................................................................
…………………………………………………………………………………………………
Problema
Utilizzando il metodo dei trapezi, trova un’approssimazione di ln2.
164
Gruppo Integrale
Prof.ssa Cristina Bonmassar Approssimazione di integrali
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165
Gruppo Integrale
UN PERCORSO
SULL’INTEGRALE CON
GEOGEBRA
CONTESTO
Classe
5sA liceo scientifico doppia lingua formata
da 23 studenti
Periodo
Dal 26 febbraio 2011 al 19 marzo 2011, per
un totale di 10 unità orarie da 50 minuti
(compresa la verifica)
166
Gruppo Integrale
MODALITÀ DI LAVORO
Lavori di gruppo in laboratorio
gruppi di 3-4 studenti di
formazione spontanea
Lezioni partecipate/discussione
Rielaborazione individuale a casa
IL PERCORSO
1.
Motivazioni allo studio dell’area
167
Gruppo Integrale
IL PERCORSO
2. Un caso semplice: l’area del cerchio
IL PERCORSO
3. L’area del sottografico di una
funzione positiva
Come potremo procedere “in analogia”
a quanto visto per il cerchio?
l’approssimazione con i rettangoli
168
Gruppo Integrale
IL PERCORSO
4. L’area del sottografico della
funzione f(x)=x2 tra 1 e 2 con
Geogebra
I ragazzi lavorano a gruppi sul PC,
cercando di costruire un
plurirettangolo inscritto con un
numero loro assegnato di rettangoli.
IL PERCORSO
5. L’area del sottografico di una
funzione positiva con Geogebra
I ragazzi lavorano a gruppi sul PC,
utilizzando i comandi predefiniti
Sommainferiore e Sommasuperiore
169
Gruppo Integrale
IL PERCORSO
6. La definizione di integrale definito
e la sua relazione con l’area
Rielaborazione e formalizzazione di
quanto i ragazzi hanno “scoperto” con
Geogebra.
IL PERCORSO
7. Proprietà dell’integrale definito
8. Definizione di funzione integrale e
calcolo su carta per le funzioni
f(x)=k e f(x)=x.
170
Gruppo Integrale
IL PERCORSO
9. La funzione integrale con
Geogebra.
I ragazzi lavorano sul PC seguendo
le indicazioni di una scheda
IL PERCORSO
10. Il calcolo dell’integrale definito
Alla luce di quanto osservato con
Geogebra, si perviene al teorema
del calcolo integrale e alla formula
di Newton Leibniz. Si parla poi di
primitive e si calcolano quelle
immediate.
171
Gruppo Integrale
VERIFICA FINALE
Tempo di somministrazione
due unità orarie da 50 minuti
Esiti
2 insufficienze
1 voto massimo
Media: 7,6
172
Gruppo Integrale
STUDENTI
INSEGNANTI
Possibilità di scambio di
idee nel gruppo
Possibilità di giungere
autonomamente al
risultato
Coinvolgimento e
motivazione
Introduzione di un
metodo di lavoro
utilizzabili in altre fasi
successive del percorso
annuale
Permanenza dei
contenuti nel tempo
173
Gruppo Integrale
STUDENTI
INSEGNANTI
Poca abilità nel
lavorare con
Geogebra
Tempi lunghi, sia di
preparazione che in
classe
Frequenti interventi
dell’insegnante nel
lavoro con Geogebra
174
