Oltre
la riga e il compasso,
piegando la carta
r1
a
B2
A2
Emma Frigerio
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Milano
r2
A1
A3
2
2
Maria Luisa Sonia Spreafico
Dipartimento di Scienze Matematiche
Politecnico di Torino
B
A
B3
B1
r3
b
Convegno Origami Didattica e Dinamiche Educative - Bel
INDICE
La geometria dell’origami:
regole per costruzioni riga e compasso
regole per costruzioni con l’origami
esempi di nuove costruzioni (trisezione e
duplicazione del cubo).
L’algebra dell’origami:
numeri costruibili ed equazioni
esempi
figure costruibili.
Regole di rc-costruzioni
(euclide)
RC1: si può tracciare una retta per due punti.
RC2: si può trovare il punto di intersezione di
due rette (se esiste).
RC3: assegnati due punti P e Q si può tracciare
la circonferenza di centro P e passante per Q.
RC4: si possono trovare (se esistono) i punti di
intersezione di due circonferenze.
RC5: si possono trovare (se esistono) i punti di
intersezione di una retta con una circonferenza.
Situazione iniziale: 2 punti
retta e circonferenze
Nuovi punti
nuove rette ...
… E CIRCONFERENZE (QUANTE?)
Costruzioni impossibili
Trisezione di un angolo noto θ
Duplicazione del cubo
Dato un cubo C di lato a, trovare il lato L
di un cubo C' di volume doppio rispetto a
C; cioè:
L³ = 2 a³
Costruzione dell’ettagono regolare
Regole di o-costruzioni
(H. Huzita – H. HATORI)
O1: si può piegare una retta per due punti P e Q.
O2: si può piegare un punto P su di un punto Q ottenendo come
piega l'asse del segmento PQ.
O3 : assegnati un punto P e una retta r, si può piegare la retta
per P perpendicolare ad r.
O4 : assegnate due rette, r ed s, è possibile piegare r su s.
O5 : assegnati due punti, P e Q, e una retta r, si può piegare (se
esiste) una retta per P che porti Q su r .
O6 : assegnati due punti, P e Q, e due rette, r ed s, si può
piegare (se esiste) una retta che porti contemporaneamente P
su r e Q su s.
O7 : assegnato un punto P e due rette, r ed s, è possibile
piegare una retta che porti P su r e sia contemporaneamente
ortogonale ad s.
Interpretazione 1
assioma O5
Interpretazione 2
assioma O5
due parabole con 3
tangenti comuni
r1
B2
a
A3
A2
A1
2
r2
2
B
B3
B1
r3
b
A
Costruzioni possibili
Trisezione di un angolo noto θ
Duplicazione del cubo
Dato un cubo C di lato a, trovare il lato L di un
cubo C' di volume doppio rispetto a C; cioè:
L³ = 2 a³
Costruzione dell’ettagono regolare
TRISEzione dell’angolo
STEp 1
TRISEzione dell’angolo
STEp 2
Trisezione dell’angolo
STEp 3
Duplicazione del cubo
STEp 1
O(0,0) va sulla retta v: x=2;
R(1, - 2) va sulla retta r: y= 2.
Duplicazione del cubo
STEp 2
I triangoli OLH, HLK e KLR sono simili
si deduce che LH = ³√2
Rc-NUMERI e o-numeri
I numeri riga-compasso
(risp. i numeri origami)
corrispondono
all'ascissa e all'ordinata di
punti costruiti con riga e
compasso
(risp. con le regole
origami).
NUMERI COSTRUIBILI ed
equazioni
C'è una corrispondenza tra:
i numeri costruibili con riga e compasso e le
soluzioni di equazioni di grado 1 e 2.
i numeri costruibili con le pieghe origami e le
soluzioni di equazioni polinomiali di grado 1,2, e 3.
NUMERI COSTRUIBILI
Siano (*) K0 < K1< … Ki < Ki+1<… Kn e [Ki+1:Ki] = di
rispettivamente una catena di estensione di campi e il grado
dell’estensione. Allora:
Teorema RC (Klein, 1895): Un numero reale u è costruibile con riga
e compasso a partire da K0 se e solo se esiste una catena di
campi (*) con u є Kn e con di=2.
(anche Wantzel 1837, non completa e Petersen, 1863).
Teorema O (Scimemi, ~1990): Un numero reale u è costruibile con
le pieghe origami a partire da K0 se e solo se esiste una catena di
campi (*) con u є Kn e con di=2,3.
(anche Piazzolla Beloch ~1930).
Equazione per la trisezione
Sia θ=3α un angolo noto.
Trisecare l'angolo equivale a trovare un punto Q di
coordinate Q(cos(α), sin(α)). Abbiamo:
cos(3α)= cos( 2α + α) = … = 4cos³(α) - 3cos(α)
In definitiva avremo l'angolo (o il suo coseno) risolvendo
l'equazione di terzo grado:
4cos³(α) - 3cos(α) = cos(3α)
(esempio di equazione di terzo grado con 3 soluzioni reali)
Equazione per le tangenti
comuni alle parabole
Cerchiamo la tangente comune alle parabole: 2y=x2 e y2= - 4x.
Intersechiamo le parabole con la generica retta y=mx+q ottenendo:
x2-2mx-2q=0
e
m2x2+2(mq+2)x+q2=0.
Ponendo il Δ=0 in entrambe le equazioni abbiamo:
q=-m2/2 e (mq+2)2-m2q2 =0.
Sostituendo q nella seconda equazione e semplificando abbiamo
m3=2.
(esempio di equazione di terzo grado con 1 soluzione)
Legame tra equazioni di
grado 3 e parabole di o6
Teorema (Geretschläger,1995) Le soluzioni dell’equazione
x3+ax2+bx+c=0
sono i coefficienti angolari delle tangenti comuni alle due
parabole π1 e π2,
di fuochi
F1=( (c-a)/2, b/2) e
e direttrici
l1 : x= - (c+a)/2
e
rispettivamente.
F2=(0,1/2)
l2 : y= - 1/2,
Figure costruibili
Teorema RC (Gauss, 1799) Si possono costruire con riga e
compasso i poligoni regolari di n lati con n=2kp1…ps dove i
numeri pj sono primi distinti della forma pj =2r(i)+1.
(Per esempio n= 3, 5, 17).
Teorema O (Scimemi, ~1990) Si possono costruire con
pieghe origami i poligoni regolari di n lati con n=2k3hp1…ps
dove i numeri pj sono primi distinti della forma pj=2r(i)3s(i)+1.
(Anche n = 7).
L’algebra delL’ettagono
Vertici dell’ettagono: punti della circonferenza soluzioni
complesse dell’equazione z7-1=0
Dividendo per z-1 si ottiene:
(z6+ z5 +z4 +z3 +z2 +z+1)=0.
Se z è soluzione, anche il coniugato z*=1/z lo è.
Dividendo per z3 il secondo fattore abbiamo:
z3+z2+z+1+z*+z*2+z*3=0
E, definendo t = z+z*=2 Re(z), con alcuni conti si ottiene:
t3 + t2 – 2t – 1 = 0.
Determinando t (con le tangenti comuni a due parabole,come
dice l’assioma 06), si risale alla corrispondente coppia z , z*
intersecando la circonferenza unitaria con la retta x=Re(z).
la geometria delL’ettagono
scimemi
r1
B2
a
A3
A2
A1
r2
A
B
B3
B1
r3
b
