Elettrotecnica e Misure elettriche RIPASSO DELLA CORRENTE

Elettrotecnica e Misure elettriche
RIPASSO D E L L A C O R R E N T E CONTINUA
Sì riportano di seguito definizioni e proprietà di aicune grandezze comunemente utilizzate
in Elettrotecnica, oggetto dì studio de! 3° anno e di ripasso nelle prime lezioni del 4" anno.
Corrente elettrica: è la quantità di carica che passa attraverso una superficie in un
determinato intervallo di tempo:
/ ^ y . Le formule inverse risultano: Q = l-t
t^^-
Sì ricorda che la corrente si misura ìn A (ampere), la carica in C (coulomb), i! tempo in (s)
secondi.
Tensione (differenza di potenziale) tra due punti A e B: è ìi lavoro speso per portare
una carica dì 1 C dai punto A al punto B:
= i : : ^ . La tensione si misura in V (volt), ìl lavoro in J (joule).
Q
Prima legge di Ohm: la tensione su un resistere è direttamente proporzionale alla
corrente che vi circola; tensione e corrente hanno verso opposto. La costante di
proporzionalità è la resistenza (R) e dipende dal resistere: V = R-I
/^ = y . L a
resistenza si misura in fì (ohm).
Seconda legge dì Ohm: in un conduttore filiforme ( L » d , ìn cui L = lunghezza, d =
diametro, S = sezione) vale la relazione: R- p — , in cui p(ro) è la resistività, che dipende
S
dal materiale (oltre che dalia temperatura) e sì misura ìn Q-m; per ii rame essa vate
0,0178-10'® 0-m.
Primo principio dì Kirchhoff. In un nodo la somma algebrica delle correnti è nulla
(entranti col +, uscenti col -). S ± / = 0.
Secondo principio di Kirchhoff. La somma algebrica deile tensioni lungo una maglia
(chiusa) è nulla (tensioni concordi col giro scelto positive, tensioni discordi col giro scelto
negative).
Serie di resistori: due o più resìstori sono in serie se percorsi dalla stessa corrente.
= /?j +
.
Con N resìstori la serie diventa: R^ = R, ^ R . +...+Rft/
Parallelo di resìstori: dure resìstori sono ìn parallelo se sottoposti alla stessa tensione.
R -
^
R,
-^r^2
R,
Il parallelo dì più resìstori vale: Rp=—
l
1
Rj
R^
^
1
R^
-1 -
Elettrotecnica e Misure elettriche
TEOREMA Di MILLMAN
La tensione VAB ai capì dei circuito in oggetto è data dalla formula:
A
EN
1/
R1
|2
iNi
„ R\
RN
Rj
^2
RN
B
Il segno delle tensioni E dei generatori è;
» positivo se il + è verso A;
• negativo se il + è verso B.
Se in un ramo manca ìl generatore è come se la E dì quel ramo valesse zero (0).
Per calcolare la corrente di ogni ramo sì usa la formula:
in cui il segno dì En è + se il generatore punta verso A, - se punta verso B (esattamente
come accadeva prima).
Se la corrente è positiva è diretta verso B, viceversa punta verso A.
Una verifica si può ottenere con la 1 ° legge dì Kirchhoff applicata al nodo A o al nodo B.
Infatti la somma delle correnti nel nodo deve essere nulla.
Esercizi
Dato ìl seguente circuito determinare ìl valore della tensione VAB e delle correnti sui rami:
E, =30U
Soluzione:
E,=45V
V;s-20\/
E,=4\V
l^=-5A
R, =2a
l^=26A
R^=2,5a
R3 = i n
-2-
vehfica : + 4 +
= - 5 + 26 - 21 = 0
Elettrotecnica e Misure elettriche
C O R R E N T E ALTERNATA
La corrente alternata industriale ha una forma detta "sinusoidale", cioè segue la legge:
i(t)=^lMSÌn(cot + {p), in cui:
• IM= ampiezza;
= 03 = pulsazione;
" cp = fase deila corrente.
È evidente che la forma è assai più complicata della continua e tutte le operazioni tra
correnti (somme, differenze) o tra tensioni e correnti (prodotti, divisioni) sono difficilissime
da eseguire.
Si usa dunque un trucco per rendere tutto più facile.
• si rappresenta la corrente (o la tensione) sinusoidale con un vettore;
• si esegue l'operazione tra i vettori e si ottiene un nuovo vettore;
« si trasforma dì nuovo ìl vettore risultante in una corrente (o tensione) sinusoidale.
Esempio: si vuole calcolare Ì1+Ì2
/ > 5 s i n ( 3 1 4 f + 45°)
/2=10sm(314f + 135°)
111
1) trasformo ii, Ì2 in vettori:
\'
_
5
•j/ì]
Z45° = 3,54Z45°è un vettore di modulo 3,54 e fase 45'
2)
)
10
M2
3) /,
Z135° = 7,07Z135°è un vettore di modulo 7.07 e fase 135'
' r i
Espressi come modulo e fase i due vettori si dicono "in coordinate polari".
Si possono calcolare le "coordinate cartesiane" (cioè la x e la y dei vettori) nel seguente
modo:
X = a = / • cos (p
y
b = I-sìng)
0
Quindi:
4) Trasformo i vettori in coordinate cartesiane, cosi ia somma è più semplice da
eseguire:
/;' = (3.54-cos45°;3.54-sin45°) = (2.5;2.5)-2.54-y2.5
—
. ^
/2=(7.07-cosl35°;7.07-sml35°) = (-5;5) = -5 + y5
'
' C
La lettera j sta ad indicare che il numero che la segue è la parte immaginaria,
o w e r o la componente verticale. Vediamoli rappresentati:
^
Im
' " " ^
I2
.5
2.5 Ì1
i-5
.
\
Re
5) La somma si esegue sommando le parti reali e poi le parti
separatamente, pertanto risulta:
immaginarie
=T^ + l2 =2.5 + ; 2 . 5 + ( - 5 + _/5) = -2.5 + jl.S
-3-
Elettrotecnica e Misure elettriche
6) Si trasforma in forma polare quanto ottenuto (ricavo modulo e fase):
4 - modulo - Va'
= ^{~2.5f
^3 = fase = 180°+ atg
\aj
-
+ (7.5)' = a/óZS = 7.9
=180 + atg
\-2.5j
-180 + atg(-3)-108°
7) Sì trasforma ìl vettore I3 in una sinusoide;
h=Ì, + Ì2={l,-r)-sm{3\4t
+ (p,) =
= (8,29-V2)-3111(314f + l 08°)-5,86-sin(314f+ 108°)
Riassumendo:
"'^^
DA corrente/tensione sinusoidale A vettore;
Corrente sinusoidale
Vettore corrispondente
UlZ(p
i(t)^l^sìn{cot
+ (p)
modulo-/=
fase ~ (p
DA vettore A corrente/tensione sinusoidale:
Vettore
Corrente corrispondente
/(0-(/-V2)-sin(ft)f + ?))
l = lZg>
UNA VOLTA CHE HO IL VETTORE:
1)PER PASSARE DA FORMA POLARE (T,=U(p) A CARTESIANA {T,=a + jb):
forma polare
passo a forma cartesiana
a = 1 -cos^
b = l s'inq)
T,=lZ<p
/ = a + jb = [l-005^) + y-(/-sin^)
2)PER PASSARE DA FORMA CARTESIANA {l,=a + jb)A
forma cartesiana
FORMA POLARE
{l,=IZ<p):
passo a forma polare
l=
^a'+b'
1
/
1=a+
fb']
1° 0 4° quadrante : G) atg —
jb
\ 2 ° o 3 ° quadrante:^
= m°+atg
ì = lZ<p
Esercizi: disegnare i vettori e trasformarti da forma polare a cartesiana e viceversa.
vettori 1
soluzionel
vettori 2
soluzione!
/, -10Z45°
- 7 . ] + ;7.1
/,=3-y4
-5Z-53°
/j = 2 + y 2
/^ = 2.82Z45°
r-4Z30°
^ = 3.5 + 72
l,=2Z\W
/^ = - 2 + y o
/^ = 4.24Z135°
/^ = 5Z120°
^ = -2.5 + y4.3
/r-6.08Z26r
.45
-
Elettrotecnica e Misure elettriche
Ricordiamo che la grandezza generica i(t) = 1^ sm(cot + ip) è di tipo sinusoidale. In essa IM è
detta AMPIEZZA, OJ è detta PULSAZIONE, (p è detta FASE.
/
/
\
t
•
Per compiere facilmente operazioni tra grandezze sinusoidali le si trasformano in vettori
{cioè in numeri complessi) del tipo:
T]_= IZg) (coordinate polari)
^ove
I ~ modulo
e q) =
fase
oppure
l = a+jb
dove a = parte
(coordinate cartesiane)
reale
e b = parte
immaginaria
La trasformazione da sinusoide a numero complesso (vettore) è possibile, ma....
...SOLO SE TUTTI I VETTORI HANNO LA STESSA PULSAZIONE (tu)!!
modulo = / =
ÌMI^T.
fase = (p
Per ìl passaggio dalla forma polare aila cartesiana, invece:
forma polare
passo a forma cartesiana
a = / • cos (p
b = l -sin (p
l = IZ<p
1 = a + jb^{l
•cos(p) + /-(/-sin (p)
Per il passaggio dalla forma cartesiana alla polare infine:
forma cartesiana
passo a forma polare
modulo = / = va^ + b^
f
1
~a+jb
r
rase
~a = <
1° 0 4° quadrante :<p~atg —
va;
fb^
2° 0 3° quadrante•.a) = no° + atg\ -
7 = /z^
-5-
Elettrotecnica e (Misure elettriche
Date le seguenti ie seguenti grandezze sinusoidali (tensioni, correnti);
1. trasformarle ìn vettori in coordinate polari;
2. rappresentare i vettori nel piano complesso;
3. passare alte coordinate cartesiane.
Grandezze sinusoidali
Sol. Vettori in polari
Sol. Vettori in cartesiane
/j=7.07sin(a>^ + 45°)
^-5Z45°
^ = 3.54 + ;3.54
4 =10sin(a)f-30°)
^ = 7.07Z-30°
/^ = 6.12-y3.54
1/3 =8sin(G)f + 315°)
^=5.66Z315°
\^ = 8 - ; > ' -
-20sin((yf + 120°)
=14.1Z120°
/ ; = 7.07 sin(cd>f +240°)
v,=5sm{cot-90°)
^ - ~ 7 . 0 7 + yi2.25
i^ = 5Z240°
T,=~2.5-j433
\4=3.54Z-90°
^--73.54
-6-
Elettrotecnica e Misure elettriche
OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
Somma
algebrica
ovvero
somma
e_differenza
di
numeri
complessi.
Queste operazioni si
svolgono fàcilmente quando i numeri complessi sono in forma cartesiana: Z = a + jb.
Prodotto
e quoziente
di numeri
complessi.
Queste operazioni si svolgono facilmente quando i
numeri complessi sono in forma polare, ossia Z^ZZtp.
SOMMA: sommo le parti reali e le parti immaginarie separatamente.
La somma di due numerì complessi ha per parte reale la somma delle parti reali, per parte
immaginaria la somma delle parti immaginarie.
Z^^a^+ jb^
Z-^=a^->r jb^
Z',+Y,=(a,+jb,)+{a,+Jb,)
=
{a,+a,)+j{b,+b,)
Esempio:
^ - 2 + 73
^ = 5-78
Z ; + ^ = (24-i3) + ( 5 - y 8 ) = (2 + 5) + y ( 3 - 8 ) = 7~/5
DIFFERENZA: sottraggo le parti reali e le parti immaginarie separatamente.
La differenza di due numerì complessi ha per parìe reale la differenza delle parìi reali, per parìe
immaginaria la differenza delle parìi immaginarie.
Z,=a,+jb,
Z,=a,+jb,
Y,-Y,=(a,-i'jb,)-{a,+j\)
Esempio:
Y^=ì + j4
= {a,'a,)
+
j{b,-b,)
Y^=-5 + j2
Z ^ - ^ = (i + y 4 ) - ( - 5 + y2) = (l-~(-5)) + 7 ( 4 - 2 ) = 6 + ; 2
PF?ODOTTO: moltiplico i moduli e sommo le fasi.
lì prodotto di numerì complessi ha per modulo il prodotto dei moduli, per fase la somma delle fasi.
Esempio:
Z^ = 5Z30°
^ = 8Z45°
Z^ e ^ = (5.8) Z (30° + 45°) = mzis''
QUOZIENTE: divido I moduli e sottraggo le fasi.
// quoziente di numerì complessi ha per modulo il quoziente dei moduli, per fase la differenza delle
fasi,
Zj = ZjZ^j Z2 = Z j Z ^ j
Z2
Esempio;
^-6Z90°
^ = 2Z15°
7~ ( (\\
=k= - Z ( 9 0 ° - 1 5 ° ) - 3 Z 7 5 °
Z2 \ l j
-7-
Elettrotecnica
DA
e Misure elettriche
RICORDARE:
Dati due numeri complessi di forma rispettivamente cartesiana e polare:
Z^=a,+jb,=Z,Z(p^
Z^^a^+jb^-^Z^Zfp^
Le formule per le operazioni risultano dunque:
Z,+Y,={a,+a,)
+
j{b,+b,)
Z,-Z
+
j{b,-b,)
= {a,-a,)
1) per sommare/sottrarre numeri complessi in forma polare conviene trasformali prima in
forma cartesiana.
2) per moltiplicare/divìdere numeri complessi in forma cartesiana occorre prima trasformarli
in forma polare.
Esercizi: eseguire le seguenti operazioni tra i numeri complessi elencati, poi scrìvere i risultati in
forma cartesiana e polare.
Elenco dei vettori:
A = 3 + /4
e-2-;2
C-10Z135°
D-6Z240°
Operazioni da svolgere;
A+B
C»D
À-B
C/D
A+C
C/A
C-D
A^B
Soluzione;
in primo luogo può essere comodo disporre di ogni numero complesso in entrambe le forme;
A = 3 + y4 = 5Z53°
S = 2 - ; 2 = 2.8Z-45°
C - 1 0 Z 1 3 5 ° - - 7 . 1 + y7.I
D = 6Z240°--3-y5.2
in seguito si possono eseguire le operazioni nchieste usando immediatamente le formule descrìtte
ìn precedenza;
A + e = 5 + y2=
À'B=-ì
+ j6=
= 5.4Z22''
= 6.1Z81°
^ +C--4.1 +yn.l-
C - D = - 4 . 1 + ;Ì2.3 =
= U.SZl 10°
= 13Z09°
C»D-60Z15°=
C / D = 1.67Z255°=
C/A-2Z82°=
^ • B = 14Z8°-
= 58 + yi 5.5
- -0.4 - yi .6
- 0.3 + y2
= 1 3 . 9 + yi .9
Elettrotecnica e Misure elettriche
CALCOLO DI TENSIONI, CORRENTI, IMPEDENZE IN CORRENTE ALTERNATA (AC)
Per il resistere vale la legge di Ohm, istante per istante. Dunque v(t) = R-iit) in ogni
momento, cioè in ogni istante t. Si consideri una resistenza di 2 Ù. Le sinusòidi si possono
rappresentare come segue (i continua, v tratteggiata):
Resistere.
Infatti istante per istante v e i sono proporzionali, in particolare: se i=0, v=0; se i=1 A, v=4 V; se i=0.5 A, v=1 V, e così via.
Sì dice pertanto che in un resistore y ed i sono in fase, ossia ì numeri compiessi corrispondenti di
tensione e corrente hanno la stessa fase.
Anche la resistenza ha un equivalente tra i numeri complessi, detto impedenza resistiva ZR:
Z^ = R + jO = R
T^^RZO"
La legge dì Ohm per la resistenza vale anche in AC. Infatti si può scrivere che:
Esempio 1 :
Sì determini la corrente sapendo che:
V = 2ÌQZ0°V
- - • ^
V
R = 50Q.
T ^
R
50Z0°
'
i l
^
Re
Esempio 2:
Im^
Si determini ia tensione sapendo che;
/ = 10Z60°A
f V
R = 1SÙ.
\7 = R • / - (10Z60°) • (25Z0°) =
= 250Z60°-125 + ;216.5V
Re
Si noti come in entrambi gli esempi le fasi, di correnti e tensioni siano identiche..
-9-
Elettrotecnica e Misure elettriche
InduttoreiPer rinduttore L non vale la legge di Ohm, ma si usa la seguente relazione:
v{t) = L • ^^^^)ì
coa.At molto piccolo. La v{t) è massima quando la i(t) sale più velocemente,
•
'
•
minima quando i(t) scende più velocemente e nulla quandoi(t) è costante.
Non c'è dunque proporzionalità diretta e la.Jegge è conipljcata. Le sinusoidi dì tensione (linea
tratteggiata) e corrente (lìnea continua) sì rappresentano come in figura:
i(t)
L
\
90°
A ••-»
v(t)
\
/
\ •
/
/
/
•
\
\
\
.
:
\
'
/
La corrente è ìnjitardo_di.,^ elettrici rispetto alla.tensione, ossia ii valore massimo della corrente
arriva 90" dopo (cioè % di periodo più tardi) rispetto alia tensione.
Si dice pertanto che la corrente èJn^quadtatura con !a. tensione (cioè i vettori sono perpendicolari)
e in particolare che la corrente è in ritardo di 90" rispetto alla tensione.
Anciie l'induttanza (L) ha un equivalente come numero complesso, detto impedenza indutt[va^L:
= 0 + Imi = jmL
=j^L4SP°
Taie impedenza ha solamente la parte irnrnagjnarìa (positiva), dMla-I^JISDli^dyPlva
misura in ohm (Q).
i^^^^e
di Ohmper le induttanza in AC vaie nel piano complesso perché:
L
_ \7 N
^
^/
v = z,-i
i ==
)
r
. :JJ
-
XL=COL
e si
^' J
ì•
-
Esempio 3:
Sì determini la corrente sapendo che:
V = 230Z0°V
L = ÌOmH
V
230Z0°
/=_L-73.2Z
Zi_ 3.14Z90°
f = 50Hz^
90°-0
X^=
Re
314-10-IO-'=3.\4a
•<
/
^
773.2A
.:
Esempio 4:
Im
Sì determini la tensione sapendo che:
—Si,: ^\
7 = 10Z30°A
L = 20mU-. f = 50Hz=> X^=314-20-ÌO-'
^6.2m
\7 = ZÌ^-7 = (lOZ30°)-(6.28Z9b5') = 62.8Z120° = "31.4 + j54AV
Re
Si noti come in entrambi gli esempi la corrente abbia fase superiore a quella deila tensione di 90'
-10-
Elettrotecnica
e Misure
elettriciìe
Per ii condensatore C non vale la iggge^di
Condensatore.
ma si usa la seguente relazione:
Ohm,
con At molto pìccolo. La i(t) è massima quando la yCt) sale più velocemente,
m=c-
minima quando v(t) scende più velocemente e nulla quando v(t) è costante.
Non c'è dunque proporzionalità diretta e la legge è complicata. Le sinusoidi di tensione (iinea
i(t)^
0
< — >
l
\\
\
/
/
:
\\
\
h.
/ "
La corrente è J_n anticipo di 90° elettrici rispetto ala tensione, ossia il valore massimo della corrente
arriva 90° prima (cioè VA di periodo prima) rispetto alia tensione.
Si dice pertanto che la corrente è in quadratura^cón la tensione (cioè i vettori sono perpendicolari)
e in particolare che la corrente è in ànircipo di 90° rispetto alla tensione.
Anche la capacità„(C) ha.:unr.e.quivalente come numero complesso, detto impedenza induttiva Zc'.
coC
cqC
Tale impedenza ha solamente la parteJmmaginaria (negativa), ia quantità 1/(a)C),è detta reattanza
capacitiva XC=1/(UJC) e si misura in ohm (0).
La le^gè,d:i"Ohm per le induttanza in A C vale nel piano complesso perché:
!
'
1
t^"..
Esempio 5:
Jm
Si determini la corrente sapendo che:
V = 230ZO°V
- V
1 = ===
C = ÌOOfiF
f = 50Hzz^
= 31.8^
230Z0°
— = 7.23Z90° = 0 + J7.23A
31.8Z-90°
Re
Esempio 6:
Imf
Si determini ia tensione sapendo che;
7 = 10Z30°A
V ^Z^-l
C = 2QQMF f = mHz=:>Xc
= {\0Z30°)-{4Z-90°)
=\/{62S-200-10'')^
4n
= 4 0 Z - 6 0 ° = 2 0 - J34.6V
Si noti come in entrambi gli esempi la corrente abbia fase inferiore a quelia della tensione di 90°.
Elettrotecnica e Misure
elettriciie
LEGGE DI OHM I N AC: la legge di Ohm in DC vale solo per i resistori. In AC invece, a patto che si
parli di impedenza, si può definire ia legge di Ohm anche per induttori e condensatori,
in generale si scrive che;
intendendo che V e I sono ia tensione e la corrente sul componente 2, presi in versi opposti
analogamente a quanto accadeva in DC per le resistenze.
Il nuovo componente 2 è detto IMPEDENZA, è un numero complesso e si misura in ohm (0).
La Z andrà calcolata diversamente a seconda che si tratti di un resistore, un induttore o un
condensatore e a seconda del valore di R, L, C. Essa è rappresentata sempre con un rettangolo:
Z p - R + yO = RZO°
1
i
coC coC
V
Z-90'
COMPONENTI IN .SERIEE P A R A L L E 4 0 ^ l n ^ C per le impedenze valgono le stesse regole che in
DC valgono per la serie e il parallelo dei resistori. L'unica differenza è che si tratta non più di
numeri reali, bensì di numeri compiessi e il calcolo risulta per forza più difficile.
Esempio 7; calcolare l'impedenza equivalente (ovvero la serie delle tre impedenze) e ie tensioni
su Ognuno dei tre componenti sapendo che;
R=20n
L-lOOmH
C-200//F
Ì=10ZO°A
f = 50Hz
ZR =20 + ;Oa = 20ZO°
Y^=0 + ja>L = 0 + j3lAQ
= 3ì .4Z90°n
Z ^ = 0 - y — = 0-yl5.9^^-15.9Z-90°a
coC
^EQ ^^R^A
+ '^c =20 + yl5.5n = 25.3Z38°n
= Z ^ . / = 20Z0° • 10Z0° = 200Z0°
V[ = Z^. 7 = 31.4Z90° - ì 0Z0° = 3141^^^
=Z^.7 = 15.9Z-90°-10ZO° = 159Z-90°
Esempio 8; calcolare l'impedenza equivalente e la corrente totale sapendo che;
R-20a L=100mH C-200//F V=220Z0°V f = 50Hz
ZR = 2 0 + y o a = 20zo°
Zj^ - 0 + ymL - 0 + ;3 L 4 a = 31.4Z90°a
R
L
^
= o-y^-o-yi5.9a=i5.9z-9o°n
(ùC
^EQ^[^R^A)LL^c
VTOT
*'\|c^
=(20 + y31.4)//(l5.9Z-90°) =
_ (37.2Z57°)-(15.9Z~90°) _ 591.5Z-33° _
1
20 + y31.4 + 0 - y i 5 . 9
^
/
591.5Z-33°
, ,
= 23.4Z-7I°a
20 + yi5.5
25.3Z38°
V^oT/Z^T - ( 2 2 0 Z 0 ° ) / ( 2 3 . 4 Z - 7 r ) - 9.4Z71°A
- 12-
Elettrotecnica e Misure
elettricfie
Esercitazione scritta di Elettrotecnica (29/09/08)
1) Utilizzando la legge di oiim si calcolino !e variabili richieste nei vari casi a e b):
a)Data R=10O su cui scorre i=9A, calcolare V. b)Data R=0,25O, V=100V, calcolare
2) Utilizzando le leggi di Kirchhoff, calcolare le variabili richieste:
Esercizio 2A)
Esercizio 2B)
Vi
Esercizio2A)
/, = 1 0 A
yv2
j
l2=25A
Esercizio 2B)
E = 40V V,=25V
Ed)
V,='ì
3) Dato il seguente circuito calcolare la tensione VAB e la corrente sul resistore R3,
avendo cura di specificare sul circuito il verso di entrambe le incognite (VAB. h)Dati:
Ej=300V
R=20ja
E2=200\/
R,^ioa
= o.i/cn
4) Riempire la tabella trasformando le grandezze sinusoidali in forma polare e
cartesiana e viceversa, sapendo che (A)-314 rad/s.
Forma sinusoidale
Forma polare {Z = ZZ<p)
Forma cartesiana {Z = a + jb)
i^ =7.01 sin{o)t+ 315°)
^
=-30-y40
\4 = 200Z210°
5) Dati i numeri complessi A = 1 0 Z - 4 5 ° e = 8Z120° C = - 6 - i 8 D = I + y3 , eseguire
le operazioni di seguito richieste (lasciando il risultato nella forma più comoda):
Risultato
Operazione
Operazione
Risultato
AIB =
C +D =
B~C =
tòfOaW
i seguenti componenti calcolare la variabile richiesta in forma complessa:
A) R=50n; \ ^ - 2 3 0 Z 0 ° \ / , calcolare 7^.
B)
A)
1j
Vi
R
L
VyV
^
Va
Va
B) G=0.2mF, f=50Hz,
= 24Z30°\/, cale. T,.
C)R=80, L=20 mH, f=50 Hz, 7^-10Z45°A,
calcolare
.
^ ^ I n riferimento al circuito riportato calcolare la corrente erogata dal generatore:
Dati dell'esercizio:
E = 230Z0°V
R,=50Q
f = 50Hz
R2=\0a
L,-lOmH
C = 200ftF
Calcolare la corrente erogata
modulo.
Valutazione
Esercizio Partenza
1,00
Punti
Ex. 01
1,00
Ex. 02
1,00
Ex.03
2,00
-13-
Ex. 04
1,00
Ex. 05
1,50
L,=30mH
da
Ex. 06
1,50
E in
Ex. 07
1,00
Elettrotecnica
e Misure elettriche
1) Utilizzando la legge di Ohm:
=R.I = \0.9 = 90V 4 = V / R - 1 0 0 / 0 . 2 5 = 400A
2) Si usano rispettivamente il primo e secondo principio di Kirchhoff
/3+/^ =
=
4
=
25-10 = I5A
E~V,-V^=0=>V^=E-V,
-40-25-15\/
3) La tensione si calcola mediante il teorema di Millman, ricordando che Ei va preso col
meno, E2 coi +, mentre sui terzo ramo è come se si avesse E3=0. La corrente è rivolta
verso il basso;
300 ^ 200
^Afl- 1
±
20
^ )
=
+±
+J _
10
1:15 + 20
^A^^2Ì25V
0.05 + 0.1 + 0.01 0.16
/ 3 = - ^ = 31.25/100-0.3125A
'
R3
100
Si usano le formule per il passaggio da polare a cartesiana {Z = Zcos+
•^il passaggio da cartesiana a polare {Z = ^-sla^jZatg(b/a)+ì^O°*,
jZsine
per
*=180° solo nel
2°/3° quadrante). Forma sinusoidale: si moltiplica il modulo per V2 , la fase è invariata.
/>7.07sin(fijf + 315°)
7;" = 5Z315°
\/2=70.7sin(G>f + 233°)
/^ = 3.54-j3.54
\ ^ = 50Z233°
i/3=282.8sin(G)f + 210°)
\4=-30-y40
^=200Z210°
= -173.2-yì00
" 5) Moltiplicazione e divisione si svolgono in forma polare, addizione e sottrazione in forma
cartesiana, per l'ultimo calcolo trasformo B in cartesiana:
A = 10Z-45°
A » S = 80Z75°
B = 8Z120° = - 4 + y6.9
C-:-6-y8
D = l + ;3
A/6=L25Z-165°
C + D = -5~y5
B - C = 2 + yi4.9
Si ricorda che la legge di Ohm in alternata vale per le impedenze \/ ^ Z » 7 , in cui Z si
/
calcola in modo diverso per R, L, C: Z^ = R + jO
V,=230Z0°V
Z ^ = 50 + yon
V',=24Z30°V
Z^ = ì5.9Z~90°a
4=10Z45°A
Z,_ = 0+jcoL
Z^ = 0 - j \ / c o C :
^ = 46Z0°A-.^
- 1.5Z90°À':
Z ^ = 8 + y6.28 = 10.2Z38°
V;=102473V
\ 7 ) x S i danno nomi alle impedenze dei rami: Zo cornsponde a Li, Zi alla serie Ri-C, Z 2 alla
/ \ serie R2-L2. Si esegue il parallelo di Zi e Z 2 , infine la serie con ZQ. La corrente in
modulo è data dal rapporto tra il modulo di E e quello dì Z012E = 230Z0°V
R, - 50n
f = 50Hz
RJ = 1 o n
C = 200fiF
Z^ = y3.14 = 3.14Z90°
"
60-y6.5
L,=\OmH
= 30mH
Zj' = 50-yi5.9 = 52.5Z18°
= 10 + y9.4 = 13.7Z43°
60.4Z-6°
Z ^ = 4.6 + yi 4.4 = 15.1Z72° => 1 - E / Z ^ = 15.2Z - 72°
- 14-
Elettrotecnica
e Misure elettriche
1) Utilizzando la legge di ohm si calcolino le variabili richieste nei vari casi:
a. Data R=100fì su cui scorre una corrente l=9A, calcolare la tensione V.
b. Data R-100fì su è applicata una tensione V=40V, calcolare la corrente I.
2) Utilizzando le leggi di Kirchhoff, calcolare le variabili richieste:
Esercìzio 2B)
Esercizio 2A)
EsercizÌo2A)
/, = 20A /j = SSA 1^=1
Esercizio 2B)
E=^SOV V,=30V
Ì2
V, =?
3) Dato il seguente circuito calcolare la tensione VAB e la corrente sul resistore R3,
avendo cura di specificare sui circuito il verso di entrambe le incognite (VAB, b)Dati:
E,=300V
E2-20OV
R, = 250n
R3 = lOOn R3 = 2kQ
4) Riempire la tabella trasformando le grandezze sinusoidali in forma polare e
cartesiana e viceversa, sapendo che (À)=314 rad/s.
Forma sinusoidale
Forma polare ( Z ^ Z Z ^ J )
Forma cartesiana {Z = a + jb)
/'i =7.07sin(G>^ + 30°)
=-20-760
\4 = 5 0 Z - 4 0 °
5) Dati i numeri complessi A = ]00Z60° B = 4 Z - 1 2 0 ° C = - 2 - 7 8 D = - l + 73,
eseguire le operazioni richieste (lasciando il risultato nella forma più comoda):
Operazione
Risultato
Operazione
Risultato
•o
A»6 =
A/B =
C+D
B-C =
5
6) Dati i seguenti componenti calcolare la variabile richiesta in forma complessa:
4.
_
. B)
Ì2 ^
C
A)
1i
Vi
\
.
13
C)
i
^^^^ ^
L
>R
V2
Vs
A)R=115n; ^ = 2 3 0 Z 0 ° \ / , calcolare V
B) C=0.1mF,f=50Hz, ^ = 5 0 Z 4 5 V , cale. T,.
C) R=60, L=80 mH, f=50 Hz,
calcolare
T,=SZ60°A,
.
l) In riferimento al circuito riportato calcolare la corrente erogata dal generatore:
Dati dell'esercizio:
E = 200ZO°\/
R = SOa
f = SOHz L =
C = 200MF
Calcolare la corrente
modulo e fase.
Valutazione
Esercizio Partenza
1,00
Punti
Ex. 01
1,00
Ex. 02
1,00
EX.03
2,00
- 15-
mmH
Ex. 04
1.00
erogata
Ex. 05
1,50
da
E in
Ex. 06 1 E x . 07
1,00
1,50
Elettrotecnica e Misure elettriche
1) Utilizzando la legge di Ohm: V, = R - / = i00-9 = 900\/
l,_=V / R = 40/l00 = 0AA
2) Si usano rispettivamente il primo e secondo principio di Kirchhoff
U_=l^+I,^i^=-I,~l,
= 55-20 = 35A
E-V,-V^=O^V^
= E - V ; - 50-30 = 20\/
3) La tensione si calcola mediante il teorema di Millman, ricordando che E i va preso co!
meno, E2 col +, mentre sul terzo ramo è come se si avesse £ 3 = 0 . La corrente è rivolta
verso il basso:
300 200
=
^ 250^00
^
±21^
=
= eW
J _ + J _ +_ J _
0.004 + 0.01 + 0.0005 0.0145
250 100 2000
! , = ^ = 69/ 2000 = 0.0345A
'
R,
4 ) ^ ì usano le formule per il passaggio da polare a cartesiana {Z = Zcos<p + jZsmq)) e per
il passaggio da cartesiana a polare (Z = |va^+jb^Jzafg{ò/a)+180°*, *=180° solo nel
273^* quadrante). Forma sinusoidale: si moltiplica il modulo per V2 , la fase è invariata.
/j =7.07sin(a>^ + 30°)
^ = 5Z30°
\/2=89.4sin((yf + 252°)
1/3 =70.7sìn((yf~40°)
/j" = 4.3 + ;2.5
^=63.2Z252°
V^ = 50Z40°
^=-20-760
\4=38.3-y32.1
^ ) "Moltiplicazione e divisione si svolgono in forma polare, addizione e sottrazione ìn forma
, cartesiana, per l'ultimo calcolo trasformo B in forma cartesiana:
A = 100Z60°
6 = 4Z-120° = - 2 + ;3.5
A « 6 = 400Z-60°
A / 6 = 25Z180°
C = -2-;8
C+D--3-y5
D - - l + y3
6 ~ C=0
B) Si ricorda che la legge di Ohm ìn alternata vale per le impedenze 1/ = Z « / , in cut Z sì
• calcola in modo diverso per R, L, G: Zf^=R + jO Z^=0 + j'coL Z^ = 0 - jì/coC :
V^=230Z0°V
Z^^ÌÌ5Z0°Q
^=50Z45°\/
^ = 31.8Z-90°a
7^ = 5Z60°vA
7j"-2ZOM
4=1.6Z135°A
Z ^ = 6 + y25.1 = 25.8Z77°
\4=129Z137°l/
7)^Sì danno nomi alle impedenze deì rami: ZL corrisponde a L, Zc a 0 , ZR a R. Sì esegue il
'
parallelo di Zc e ZR, infine la serie con ZL. La corrente ìn modulo è data dal rapporto tra
il modulo di E e quello di ZEQ.
E = 200Z0°V
f = 50Hz
R = 500a
C = 200//F
Z;; = y3I.4 = 31.4Z90°n
L^lOOrnH
Z^ - 500+ 7O = 500Z0°n
Z^ = 0-/15.9 = 15.9Z-90°n
Zl-ZT
795Z-90°
795Z-90'
Z^=.^^^=
^ ^'^-"^
=15.1Z-72° = 4.7-;14.4a
Z^^Zc
50-;15.9
52.5Z~18°
^^r'—-^^
^ - Z ^ + Z ^ = ;31.4 + 4.7-yi4.4 = 4.7 + yi7 = 17.6Z75°a=>/ = E / Z ^ = n . 4 Z - 7 5 M
- 16-
Elettrotecnica
e Misure elettriche
Verifica dì Elettrotecnica.
Data 06/10/08.
Classe IVAel.ser.
1) Utilizzando la legge di ohm si calcolino le variabili richieste nei van casi:
c. Data R=20Q su cui scorre una corrente l=8A, calcolare la tensione V.
d. Data R=120 su è applicata una tensione V=30V, calcolare la corrente I.
2) Utilizzando le leggi di Kirchhoff, calcolare le variabili richieste:
Esercizio 2A)
Esercizio 2B)
V
Esercizio2A)
/ j = 4 . 2 A 1^=7.SA
l,=7
Esercizio 2B)
E = 4W V,^30V
V,^7
,V2
3) Dato ii seguente circuito calcolare la tensione VAB e ia corrente sul resistore R2, avendo
cura di specificare sui circuito il verso di entrambe ìe incognite (VAB, 12)-
4) Comp etare ia tabella con le forme polare e cartesiana:
Forma polare ( Z = ZZ(p )
Forma cartesiana {Z~a
=10/180°
+ jb)
' • - io ì 'ri
^ = 40-y30
14 =200/225°
i
5) Dati i numeri complessi A = 20Z45° S = 5Z300° C = - 2 ~ y 4 D=-3 + j2, eseguire le
operazioni di sec.ulto richieste (lasciando i! risultato nella forma più comoda):
Operazione
Operazione
Risultato
Risultato
Aee =
~AIB =
C-DA+D =
6) Dati i seguenti componenti calcolare ia variabile richiesta in forma complessa:
A) R=40Q; V; = 1 1 5 Z 0 V , calcolare /,.
C)
_ A)
„ B)
^
R
^
L.
B) L=8mH, f=50Hz,
—AAAA'~~"
Vi
= 48Z120V , cale. ^ .
C) R=8n, C=200MF, f=50 Hz, 7 3 = 1 0 Z - 4 5 ° A ,
V2
V3
calcolare
.
7) In riferimento al circuito riportato calcolare la corrente erogata dal generatore:
Un carico ohmico induttivo (R-L) viene rifasato*
con un condensatore (C), inserito chiudendo il
contatto T.
Calcolare !a corrente erogata da E con T aperto
(cioè 1 non rifasata) e con T chiuso (1 rifasata).
E = 230Z0°\/
R = 3(ìQ.
Valutazione
Esercizio Partenza
1,00
Punti
Ex. 01
1,00
Ex. 02
1,00
Ex.03
1,50
- 17-
Ex. 04
1,50
f = 50Hz
L = 20/r?H
C^H^F
Ex. 05
1,50
Ex. 06
1,50
Ex. 07
1,00
TOTAIE
10,00
Elettrotecnica e Misure
elettrictie
1) Utilizzando la legge di oiim si calcolino le variabili riciiieste nei vari casi:
e. Data R=40Q su cui scorre una corrente 1=6A, calcolare la tensione V .
f. Data R=80O su è applicata una tensione V = 6 0 V , calcolare la corrente
2) Utilizzando le leggi di Kirciiiioff, calcolare le variabili richieste:
Esercìzio 2A)
Esercìzio 2B)
Esercizio2A)
/, =4.2A l2=3.9A
1,=!
Esercizio 2B)
3) Dato il seguente circuito calcolare la tensione VAB e la corrente sul resistore Ri, avendo
cura di specificare sul circufto il verso di entrambe ìe incognite (VAB, h)Dati:
E2=2ÙV
E,=50V
/?, =0.4/cn
R^^l.SO.
R,=4Cì
etare la tabella con le forme polare e cartesiana:
Forma polare ( Z = Z Z ^ )
Forma cartesiana (Z = a + jb)
= 80-760
-50Z120°
•
v,=-js
- •. / - ^ . - ^
S) Dati i numeri complessi A - 8 Z 6 0 °
Operazione
Risultato
B = 10Z315°
1
B«A =
C=-3-76
Operazione
D - - 4 + 71, eseguire ie
Risultato
B/A-
' . ' X.
,
C-D=
B +D =
è). Dati i seguenti componenti calcolare la variabile richiesta in forma complessa:
_ A)
_ B)
A)R=50a; ^ = 4 8 Z 0 ° \ / , calcolare T,.
j C)
Ì3
B) C=80MF, f=50Hz,
= 24Z30°V , caie. 7^ .
C) R=10Q, L=20mH, f=50 Hz, 4 = 2 Z - 6 0 ° A ,
Vi
Vi
Va
calcolare V~.
7) In riferimento al circuito riportato calcolare la corrente erogata dai generatore:
Un carico ohmico induttivo (R-L) viene rifasato*
con un condensatore (C), inserito chiudendo il
contatto T.
Calcolare la corrente erogata da E con T aperto
(cioè I non rifasata) e con T chiuso (1 rifasata).
E = n 5 Z 0 ° \ / f = 50Hz L = 30mH
*rifasare = diminuire ta differenza tra ia fase della tensione e quella della corrente.
Valutazione
Esercizio Partenza
Punti
1,00
Ex. 01
1,00
Ex. 02
1,00
Ex.03
1,50
- 18-
Ex. 04
1,50
Ex. 05 Ex. 06 Ex. 07
1,50
1,50 1 1,00
TOTALE
10,00
Elettrotecnica e Misure elettriche
COGNOME
NOME
1) Utilizzando la legge di ohm si calcolino le variabili richieste nei vari casi:
g. Data R=40Q su cui scorre una corrente l=6A, calcolare la tensione V .
h. Data R=30n su è applicata una tensione V = 9 6 V , calcolare la corrente
2) Utilizzando le leggi di Kirchhoff, calcolare le variabili richieste:
Esercizio 2A)
l3
Esercizio 2B)
Esercizio2A)
/, =4.2A /2=6.5A
>2
/3=?
Esercizio 28)
E O
E = 50V
V2=Ì5V
V,=?
3) Dato il seguente circuito calcolare la tensione VAB e la corrente sul resistore R3, avendo
cura di specificare sul circuito il verso di entrambe le incognite (VAB, h)Dati:
E,=240V
E, =180V
= 20n R^
40n
R,=0.5kQ
f ) Comp etare la tabella con le forme polare e cartesiana:
\
Forma polare ( Z = ZZ(p )
Forma cartesiana ( Z = a + yò )
/'
V,=-4 + jO
V2 = 50Z240°
T,=7-j24
'
5) Dati i numeri compiessi A = 21/30° S = 2/330° C = - 8 - y 4 D = - 6 + /12 , eseguire le
operazioni di seculto richieste (lasciando il risultato nella forma più comoda):
Operazione
Risultato
1
Operazione
Risultato
B»A =
B/A =
1
A+ CD-C =
6) /Dati i seguentì componenti calcolare la variabile richiesta in forma complessa:
A) R=30Q; l,=96Z0°A, calcolare V,.
' A)
_ B)
T,
B) C=ia0MF,f=50Hz, = 45/30°A , caie. V^.
L
-«>- j 1
_ j \VVv^
A A ,_rv~v">-_
Vi
\
t)
Vz
Va
C) R=20Q, L=40mH, f=50 Hz,
]A=4Z-30°V
calcolare /,.
In riferimento al circuito riportato calcolare la corrente erogata dal generatore:
Un carico ohmico induttivo (R-L) viene rifasato*
con un condensatore (C), inserito chiudendo il
contatto T.
Calcolare la corrente erogata da E con T aperto
(cioè I non rifasata) e con T chiuso (1 rifasata).
E = i50/0°\/
R = 90a
Valutazione
Esercizio Partenza
1,00
Punti
Ex. 01 1 Ex. 02
1,00
1,00
Ex.03
1,50
- 19
Ex. 04
1,50
f = 50Hz
L = 60mH
C = 5fiF
Ex. 05
1,50
Ex. 06
1,50
Ex. 07
1,00
TOTALE
10,00
Elettrotecnica e Misure elettriche
TRIANGOLO D E L L E IMPEDENZE
Un'impedenza generica può essere espressa in forma polare (Z = ZZ_^) oppure ìn forma
cartesiana {Z = a_±.Jb-). Essa può essere costituita da resìstori, induttori e/o condensatori.
A tale proposito si può osservare che:
ì resistori hanno nell'impedenza solo parte reale, sempre positiva: Z^ ^RjJO
(non
esìstono cioè resistenze negative);
gli induttori hanno nell'impedenza solo parte immaginaria, sempre ..positiva;
Zi_ =0+JcgL = 0+jX^, ricordando che si chiama reattanza induitìya laX^ =coL;)
"
i condensatori hanno nell'impedenza solo parte immaginaria, sempre j),egatiya:
1
Z c ~ 0 - = 0- jXr;, ricordando che si chiama reattanza capacitiva la ,X.
Il risultato dì un'irapedeji^..equìvaieBte, per quanto compJicat_a sìa la rete è un numero
complesso che avrà parte reale comjLHigue positiva (o, al4i„iMte_^J^^
la parte
immaginaria invece può essere positiva o negativa a seconda che prevalga la
componente induttiva o capacitì\^j}eiiaiete.
Ne consegue che un'impedenza può trovarsi ESCLUSIVAMENTE nel 1 ^ 0 j ° quadrarìte,
cioè proprio in quei quadranti "comodi" in cui NON devo aggiungere 180^* all'arcotangente
per calcolare la fase delia forma polare -> ^ = arctan
.
Riassumendo:
R > 0 sempre perchè non esistono resistenze
Z = R+jX-
negative
jX = Xi_><ò se la reattanza è induttiva
\x = {-X^)<0
se la reattanza è capacitiva
Per aiutare i calcoli e descrivere correttamente le relazioni tra Z ^ R ^ d
si utilizza la
rappresentazione det triangola.^deirimpejdMJza, per ricordare più facilmente alcune
nozioni note dalla trigonometrìa. Infatti ìn un triangolo rettangolo:
1) un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente;
2) un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per ìl seno dell'angolo opposto;
3) un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto
Relazioni del triangolo dell'impedenza
Im
l)R-Z
cos,(p^Z~
i
X
:
2 ) X = Z-sm^3=>Z
X
\ ^ Y'
r
R
——
~
_——
Re
3)X =
R
ft)
cos^
X
sm(p
• tan ^» => R =
(
l
= arccos-=r
Z
.
^ = arcsm-
X
^(p = a r c t a n ^
Il cateto X è ovviamente quello verticale, uguale alla parte immaginaria. Il cateto R è
uguale alla parte reale di Z. Per iì cateto R l'angolo cp è l'angolo adiacente (oltre all'angolo
retto che non si prende in considerazione); per il cateto X invece l'angolo (p è quello
opposto. Le formule del triangolo possono essere tutte invertite.
-20-
Elettrotecnica e Misure elettriche
Per conoscere tutto dell'impedenza basta conoscere due qualsiasi tra Z, R, X, (p.
Esercizio. Disegnare i seguenti vettori con le sole Informazioni date e in seguito scrivere
forma polare e cartesiana delle impedenze di cui sono note solo alcune informazioni.
Infine controllare che il disegno sia coerente con i risultati:
1)' [Z, = 5 a
X,=~AQ]
\.
CercoRi.cpi.Rj-^^i'-X,'=V25~16-3a
Soluzione:
Y^=5Z-53°
= 3-
'
^ j = a r c t a n — =arctan(-1.33) = -53'
j4a
\)
[Z,=ìOa
^
Cerco R2eX2. R^-Z^-cos^^ =10cos45° = 7.07a
p = 45°'
Soluzione:
Cerco Z3 e 93. Z3 = 4r[+xI
4) [ X , =6a
6) [ Z 6 = 2 5 0
tan30°
= io.39n
= arctan
f
1\
= 27=
z, =j/?,' + x ; =120
Z, =12Z30° = 10.39 + 76O
-tan^?; =8-tan(-15°) = -2.14Q
Z^=^R\+X\
=^68.58 = 8.280
Y^ = 8.28Z -15° = 8 - 72.140
R,-70
Cerco Xe, epe- X^ = 4'^l~Rl = V625-49 = 240
Soluzione:
/
X
<p^ = arctan
^2?4=30°
C e r c o X s e Z s . X^
Soluzione;
= Vl + 4 = 2.240
Z3=2.24Z27° = 2 + 7lO
Cerco R4eZ4. R = — ^
tan^^
Soluzione;
-Z^-sin^j^ =10sin45° = 7.07a
= 10Z45° = 1.01 + 77.070
/
Soluzione;
'
Z^ = 25Z74° - 7 + 7240
-21 -
= arctan
00 = arctan(3.43) = 74°
yRy
Elettrotecnica e Misure elettrìcfie
POTENZE IN C O R R E N T E ALTERNATA
Si consideri il circuito elettrico in figura ciie alimenta l'impedenza Z; si desidera calcolare la
potenza istantanea p(t) assorbita dal componente come prodotto tensione corrente:
Dati:
v{t) = r-Vsm{cot + <p^)
/ ( 0 = V2-/sin(o)f + 9?/)
La differenza di fase tra le due variabili è ta fase cp=cpv-<Pi
dell'impedenza
Z^ZZ^.
La potenza è il rapporto tra l'energia (J) e il tempo impiegato
a produrla/assorbirla da un componente. Per i componenti
elettrici si calcola moltiplicando v(t) e i(t). Si misura in W.
Il calcolo della potenza istantanea va eseguito con le forme sinusoidali, perché descrivono
l'andamento nel tempo delle grandezze'tehsione e corrente. Dopo numerosi passaggi
utilizzando teoremi di goniometrìa e proprietà delle funzioni matematiche seno e coseno, si
ottiene che:
p(f) = v(t)• i(t) = V• I• cos(^^ -<Pi) + V • I• cos(2mt +
+
+ ;r)
Come evidente la potenza è un'espressÌone_cornpl[cata che dipende dai Y - a i o ^ ^ f f i ^ c j
delle due variabili, dalle loro j a s i e dalle pulsazioni. Essa è periodica di pulsazione
doppia (2io.) rispetto alla pulsazione delta v o della i e generalmente può essere sia
positiva che negativa che nulla durante il suo periodo. La potenza istantanea può essere
considerata la somma di due termini distinti.
Il primo termine, \/-/:cos(^y.-,.^,.) = \ / - / j c o s ^ 3 , è costante, ovvero non dipende dal tempo
ed è detto potenza attiva. Essa non è altro che la potenza media nel periodo. È la
potenza in senso stretto, quella consumata realmente. Essa si misura in watt (W).
li secondo termine, V-1 •co^(l(ot + (py+%-\-Tt),
è periodico (con legge sinusoidale) dal
valore +V:i al yajpre -V-l con pulsazione 2w.
VI
.
„ p costante
Vl'coscp
/
((p=cpv-cpi)
\
/ \
*
fflA
1
w
1
i
I•
I
f
1
f
I
\
fi
\
I
/
t
\
/
/ \
1^
rj
^
1
l
1
\
y
f
1 **%
/
-VI
-22-
I•
\
1
1
\
/
r
B
lM
1
•^
ì
\
/
...
p
periodica
tensione
F
^
^
^
_
P u l s a z i o n e co
Pulsazione
2 co
Elettrotecnica e Misure elettriche
La potenza istantanea è la somma della potenza verde (tarmine costante) e della blu
'termine periodico) per cui la potenza istantanea può essere così rappresentata:
Quando la potenza p(t) è negativa significa che l'impedenza Z non sta assorbendo bensì
erogando energia per effetto di induttanza o capacità che l'hanno accumulata in
pxecedenza. La resistenza infatti, come è noto, può solo dissipare energia, quindi
' assorbirla e mai erogarla, cioè farla uscire.
Induttanze e capacità infatti non consumano energìa, ma la accumulano
temporaneamente, impegnandola per poi restituirla all'apertura del circuito.
Definizioni. Si definiscono pertanto tre diverse potenze.
»
Potenza attiva: P = y ' / ; c p s j j : è la potenza media nel perìodo, può essere solo
positiva o nulla. Sì misura in W (vvatt) e rappresenta la. potenza, vera, ossia quella
utile, cons^ata^dairutilizzatore.
«
PotenzajBattivii: Q=yJ-sìn^:
è la potenza che viene impegnata nelle induttanze
e capacità e rappresenta lo scambio di energìa tra i campi elettrico magnetico in
essi presenti. Si misura in VAR (volt-ampere reattivi) e può essere positiva
([nduttìyaj o negativa (capacitiva).
=
Potenza apparente : S = y - / ; è la potenza apparentemente osservata dall'esterno
e si misura in VA (volt-ampere). Essa è in realtà un numero complesso il cui modulo
è ìl prodotto Vi, ma è più corretto scriverla nella forma cartesiana: S = P+JQ.
Va da sé che, essendo la potenza istantanea una gratìdezza NON
sinusoidale, seppur periodica, e di_ pulsazione
doppia
rispetto alla tensione, la sua
rappresentazione complessa è solo di comodo per l'analogia tra il triangolo delle potenze
e il triangolo delle impedenze, ma nulla ha a che vedere con il metodo di Steinmetzjl
Pertanto NON è tecnicamente corretto disegnare vettori tensione e corrente nello stesso
piano di Gauss delle potenze perché i numerì complessi non sono relativi alle medesime
pulsazioni!!
Osservazione.
-23-
Elettrotecnica e Misure elettriche
Esercizi sul triangoli delle impedenze e delle potenze.
1) Sia data un'impedenza alimentata a tensione di valore efficace 220 V che assorbe
potenza attiva pari a 1900 W a fattore di potenza 0,9 (in ritardo, cioè cp>0, quindi X e Q
sono positivi). Calcolare Z (R ed X), corrente, potenza reattiva ed apparente.
Vcos(p
220-0,9
Z = y = 220/9,6 = 22,93a
S = \ / - / = 5045W\
q) = arccos(cos <p) = arccos 0,9 = 26° rr> sin ^ = 0,44
Q ^ S - s i n ^? = 2220\//AR
R = Z - cos ^ = 22,93 - 0,9 = 20,64n
X = Z-sin9J = 22,93-0,44 = 10,090
2) Sia data un'impedenza alimentata a 230 V che assorbe potenza apparente 300 VA,
potenza attiva 150 W. Calcolare Z (R ed X), corrente, Q e fattore di potenza.
l=^
V
A i
230
M
Z = y = 230/1,3-I77n
cos^ = P / S = 150/300 = 0,5
(p = arccos(cos (p) = arccos 0,5 = óO"" =>SÌR^
=
0,866
Q = S - sin ^fl = 300 - 0,866 = 260VAR
R = Z-cos?i = 177-0,5 = 88,5n
X = Z-sin^i7 = 177-0,866 = 153,290
3) Sia data un'impedenza percorsa da corrente di 48 A che assorbe potenza attiva 900 W
e potenza reattiva 1800 VAR. Calcolare Z, tensione, potenza apparente e f.d.p.
S =VR'+Q'
=V900'+1800' =2012W\
V ^ ^ = M2^45 92^
/
48
V 41 92
Z = -?l = - t i i l ± = 0,870
/
48
cos^ = P / S = 900/2012 = 0,45 =^sin{3 = 0,89
R = Z-cos?j = 0,87-0,45 = 0,390
X = Z - s i n ^ = 0,87-0,89 = 0,770
Elettrotecnica e Misure elettriche
Esercìzi s u i triangoli delle impedenze e delle potenze
1) Sia data un'impedenza alimentata a tensione di valore efficace 220 V che assorbe
^potenza attiva pari a 1900 W a fattore di potenza 0,9 (in ritardo, cioè cp>0, quindi X e Q
sono positivi). Calcolare Z (R ed X), corrente, potenza reattiva ed apparente.
Vcosg)
220-0,9
Z = y - 2 2 0 / 9 , 6 = 22,93a
S = V-I = 5045VA
(p = arccos(cos (pi) = arccos 0,9 = 26°
sin ^ = 0,44
Q = S-sin9) = 2220\//AR
R = Z-cos^-22,93-0,9-20,640
X - Z - s i n f = 22,93-0,44 = 10,090
/
.Sia data un'impedenza alimentata a 230 V che assorbe potenza apparente 300 VA,
jotenza attiva 150 W. Calcolare Z (R ed X), corrente, Q e fattore di potenza.
/ = ^ =^
= UA
V
230
Z = y = 230/l,3 = 177O
cos^ = P / S = 150/300 = 0,5
(p = arccos(cos (p) = arccos 0,5 = 60° ^ sin ^? = 0,866
Q = S • sin ^ = 300 - 0,866 = 260VAP
P = Z-cos^ = 177-0,5 = 88,50
X = Z-sin^> = 177-0,866 = 153,290
3) Sia data un'impedenza percorsa da corrente di 48 A che assorbe potenza attiva 900 W
e potenza reattiva 1800 VAR. Calcolare Z, tensione, potenza apparente e f.d.p.
S = V P ' + Q ' =V900'+i800'
=2012\/A
^.5^2012^
/
48
Z.^.ià^.0,87O
/
48
cos = P / S = 900/2012 = 0,45 =>sin^ = 0,89
P = Z-cos?j = 0,87-0,45 = 0,390
X = Z - s i n ^ = 0,87-0,89 = 0,770
-26-
Elettrotecnica
e Misure elettriche
\ TRIANGOLO D E L L E POTENZE
In corrente alternata sinusoidale ia potenza -istantanea ha un'espressione analitica
complicata, costituita da due termini: uno costante, ovvero YJ^ • cos f , e uno periodico
sinusoidale con frequenza doppia rispetto alla tensione V-l-cos{2cot
+ <py + (p,+7t).
Per
svolgere meglio ì calcoli tra le potenze di diversi utilizzatori e meglio comprendere il
significato della potenza in AQ si sono inventate potenze di tre tipi, facendo ricorso ancora
ai qumeri complessi: potejiza attiva, poteriza reattiva e pòtenza apparente.
1 ) La potenza attiva è ìa potenza jeale, vera, quella consumata-dai resistori e che viene
effettivamente utilizzata. Essa rappresenta il valore medio nel periodo della potenza
istantanea e valej P = \ / - / - c o s ( ^ ^ - ^ , ) = \ / - / - c o s ^ ; La potenza attiva si misura in W (watt),
si trova sull'asse reale, e può essere solo positiva, cioè assorbita, perché la resistenza può
solo assorbire e non generare potenza.
2) La potenza reattiva è la potenza impegnata, ma non consumata, dalie induttanze e
dalle capacità, quindi dai componenti reattivi .del circuito. Essi la utilizzano per creare ì
campi elettrico e magnetico (che scambiano anche potenza tra loro trasformandosi l'uno
nell'altro e viceversa). La potenza reattiva vaie: Q = \ / - / - s i n ( ^ i / - ^ / ) = \ / ; / : s i n
La potenza reattiva si misura in VAR (volt ampere reattivi), si trova sull'asse immaginario e
può essere positiva o negativa, in quanto le induttanze assorbono potenza reattiva, le
capacitàja erogano (cioè la producono e la immettono in rete).
3) La potenza apparente è un numero complesso il cui modulo rappresenta la potenza
che apparentemente viene vista da! circuito (ovvero il prodotto tra tensione e corrente). La
potenza reattiva si misura in VA (volt ampere). Di seguito si indicano forma polare e forma
algebrica della potenza apparente.
S = {V'l)z{(p^-(Pi)
= {V-l)Z(p
S = P + JQ.\\ modulo della potenza apparente è : S = V-I.
4 ) Si definisce fattore,„di potenza il rapporto tra potenza attiva e potenza apparente. In
corrente alternata monofase il fattore di potenza è il cos ^?.
P
f.a.p. = — = cos(p
La potenza ìn corrente alternata è un numero complesso, la potenza apparente, che
ha per parte reale la potenza attjvaip), per parte immaginaria la potenza reattiva (Q).
P = V 1 -cosip
S =P+
jQ^ Q = V -1 •sìiKp
P
Q =
~S-cos<p
$-sin(p
S = V-/
Tali relazioni sono analoghe a quelle del triangolo delle impedenze sostituendo P a R, Q a
X, S a Z.
Relazioni del triangolo delle potenze
1) P = S-cos9J=^S =
2) Q = S • sin
Re
cos<p
S= Q .
sin^
= arccos-^
o
g) = arcsm
3) Q = P-tm<p:=>P = Q - , ^ = arctan Q
tm<p
H
-25-
Elettrotecnica
e Misure elettriche
T E O R E M A DI B O U C H E R O T
In un circuito comunque complicato valgono le seguenti affermazioni:
- le potenze^attiyeJF) si sommano .aritmeticamente (sono infatti tutte positive);
- le potenze reattive (Q) si sommano algebricamente (possono essere positive o negative);
- le potenze apparenti (S) si sommano yettorialmente (sono vettori del tipo S =
P+jQ).
Ciò significa che la potenza totale di un circuito s i calcola come segue:
QTOT=OI
SjQj
+Q2+
Sj +
+QW
-> le potenze reattive sono positive sulle L, negative sui C ! !
+... +
ESERCIZiO_1)\Jn
generatore di tensione sinusoidale (V=220 V, f=50 Hz) alimenta
un'impedenza ohmico induttiva (Pi=5 kW, fdp=0,9) e una ohmica (P2=3 kW). Quanto la
corrente totale (valore efficace)?
1
l Ri
H
=:arccos(0.9) = 26°
= P,-ìmY(p,= 5000 • 0.48 =
imVAR
' j'}
= ^ / ^ ' + Q , ' =SS46VA
Qj^^ = Q, + 0 , = 2.4 + 0 = 2.4/cVAR
Sror = ^IPTOT+OTOT = ^-^IkVA => ITOT SjQj /V = 8820/220 = 40.09A
ESERCIZI0_2)\Jri
generatore di tensione sinusoidale alimenta un'impedenza ohmico
induttiva (Ri=10 Q, Xi=8 O) percorsa da corrente li=2 A in parallelo con una puramente
capacitiva ( X 2 — 5 O) e con una puramente ohmica (R3=50 Q). Calcolare la corrente
erogata dal generatore.
/^ =V^,./,-cos^^^j
•/,)-/j
=
Q^,=V^rfr^^'Px^={Kl^^lr^
Z,=^Rf+Xf
-/f =10-2'=40H/
=
Xrlf-^-2'=32VAR
=Vl00 + 64 =12.8a
^ = V^B = -^1 • ^1 = Ì2.8 - 2 - 25.6V
V.AB
= 25.6/5 = 5.12A
Q2 = K •ll=-5-{5.ì2f
=~mVAR
AB
P^Q^
= P, +
^TOT-^PTOT+QTOT
V.AB
^Ìa„25.ó^^j3^
P^
P.
+ P3 = 40 + 0 +13 = 53W
Q^^j =Q^+Q2+Q^=32~m
/
_ ^TOT
'TOT ~
V,AB
112
25.6
-27-
+ 0 = ~99VAR
=^53'+99'
= 4.37A
=n2VA
50
Elettrotecnica e Misure elettriche
C A L C O L O D E L L E POTENZE IN ALTERNATA S U R E S I S T E N ^ ^
In corrente alternata esistono tre utilizzatori: resistenze (R), reattanze induttive (X>0),
reattanze capacitive {X<0). Le resistenze consumano potenze attiva ( P , sempre positiva),
le reattanze impegnano potenza reattiva (Q, positiva/negativa se X è rispettivamente
positiva/negativa).
R)Le resistenze assorbono solo potenza attiva.
/—
Se è nota la corrente I su R, la potenza attiva si calcola con la formula;_P = R J ^ ;
Se è nota la tensione V su R, la potenza attiva si calcola con la formula: P~
—.
R
Dimostrazione. La resistenza è un'impedenza particolare, con solo parte reale e quindi
con fase nulla. Applicando le formule per le potenze attiva e reattiva:
POTENZA
ATTIVA:
POTENZA
REATTIVA:
Q^V-l'SÌn(p
= V-l-smQ°
=
V-1-0^0
X)Le reattanze assorbono solo.potenza reattiva.
Se è nota la corrente I su X, la potenza reattiva si calcola con la formula: Q ~
XJ^.
Se è nota la tensione V su R, la potenza attiva si calcola con la formula: Q = — .
X
Dimostrazione. La reattanza è un'impedenza particolare, con solo parte immaginaria
quindi con fase^QO^oppure -90". Applicando le formule perle potenze attiva e reattiva:
POTENZA
e
ATTIVA:
P - \ / - / - c o s ^ = \/-/-cos(±90°) = \ / - / - 0 = 0
)
PO TENZA REA TTIVA :
conoscendo / * : { Q = \ / - / • s i n ^ = l/-/-sin90° = V'•/-l = \/•/ = X • / - / = >^/^
conoscendo V'':\Q^V-l-sm<p-=V-l-sm9Q°
= V-l'l^V-l
= —
X X
*!a dimostrazione è stata eseguita per X induttive, ma è valida anche per quelle capacitive
Si noti che s e X>0, dalle formule Q>0, s e X<0, Q<0.
-28-
= V~
Elettrotecnica
e Misure elettriche
Esercitazione di Elettrotecnica
1) CalcoÌare l'impedenza in forma algebrica e polare conoscendo solo alcune informazioni,
nei seguenti casi:
\ )
[Z, - 5 0
X, = - 3 n ] ;
^pi [R2 = 20n
(p, = -15°] ;
c) [Z, =1000
R, = 400 .
2) Calcolare le potenze attiva, reattiva, apparente nei seguenti casi:
2a)suirimpedenza Zj =100Z30°O percorsa da corrente / = 25Z45°/\;
^)ib)suirìmpedenza ^ = 100Z20°O su cui agisce la tensione \7 = 220Z45°V;
|G)suirimpedenza parallelo tra R3=4Q e X3—2OO, conoscendo V = Ì2Z0°V
sul parallelo.
\5)Dato il circuito in figura calcolare la corrente erogata dal
géneratore sinusoidale, sapendo che:
VG=220 V (tensione del generatore)
Pi=2 kW, f.d.p.(Zi)=0,8
X2=-50O
ato il circuito in figura calcolare la corrente erogata dal
generatore sinusoidale, sapendo che:
Ì2
R2
VG=1 10 V (tensione del generatore)
Ri=100O, Xi=50a
P2=50W
5)ln un circuito in corrente alternata il generatore alimenta il parallelo di tre diversi carichi,
erogando
corrente
di
valore
efficace
24
A:
il
primo
(ohmico-induttivo)
assorbeS, = 500\/Acon cos^(=0,9, Il secondo (anch'esso ohmico induttivo) assorbe
P2 = ì.lkWcon
cos^2
ii terzo è puramente capacitivo con Q3 =-OMVAR.
Calcolare
la tensione sui carichi.
^ N ^ n generatore di tensione sinusoidale alimenta un'impedenza ohmico induttiva (Ri=10
i5> Xi=8 O) percorsa da corrente !i=2 A in parallelo con una puramente capacitiva (X2=-5
0 ) e con una puramente ohmica (Rs^SO O). Calcolare la corrente erogata dal generatore.
7)con riferimento a\\s\ forniscono i seguentì dati:
VG=100 V (tensione del generatore).
QTOT=50 V A R (induttivi, cioè positivi).
X2=-ioon
Determinare R, I1,12, ITOT. STOT8)Un generatore di tensione sinusoidale alimenta un'impedenza ohmico induttiva (Ri=100
fì, Xi=60 O) percorsa da corrente 11-2.8 A in parallelo con un'altra ohmico induttiva che
assorbe potenza attiva 1,5 KW con fattore di potenza 0,7. Calcolare ìa capacità da mettere
in parallelo ai due carichi per ottenere una potenza reattiva totale nulla. Calcolare la
corrente totale erogata dal generatore.
-29-
Elettrotecnica
e Misure
elettriciìe
Di seguito viene presentata la soluzione degli esercizi 7 e 8.
7)con riferimento al si forniscono i seguenti dati
VG=100 V (tensione del generatore).
QTOT=50 V A R (induttivi, cioè positivi).
Xi=24 Q
X2=-100O
Determinare R, h, b, ITOT, STOTSoluzìone
Q-y—
= }}f}L = _ioo VAR
-100
V
100
1 A
100
Q = Q ^ ^ ^ - Q 2 = 5 0 - ( - I 0 0 ) = 150 VAR
= 1.5 A
Z =VIL
=100/2.5 = 4 0
R^=^Z^-Xf
p
=3.12 O
-p
3.12-2.5' =19.5 W
SJOT-^PTOT+QÌOT-^^^^
••••
W - S , o , / \ / = 0.54A
8)Un generatore dì tensione sinusoidale alimenta un'impedenza ohmico induttiva (Ri=100
Q, Xi=60 0) percorsa da corrente li=2.8 A in parallelo con un'altra ohmico induttiva che
assorbe potenza attiva 1,5 KW con fattore di potenza 0,7. Calcolare la capacità da mettere
in parallelo ai due carichi per ottenere una potenza reattiva totale nulla. Calcolare la
corrente totale erogata dai generatore.
R
Ri
= 8 0 - 2 . 8 ' = 627 W
Q^=X,
=100-2.8' =784
Z,=^Rf-\-Xf
VAR
=128 0
V = 2i-/,=358 V
Q2 = P 2 - t a n ^ 2 = 1 5 0 0 •tan(arccos 0 . 7 ) = 1530 VAR
Q3 = . - Q ^ ^ ^ = - ( 7 8 4 + 1 5 3 0 ) = - 2 3 1 4
358'
-2314
X
c=
-X,=55
1
co-X.
_
VAR
= -55 O
O
1
= 60
~3Ì4-55
-30-
Elettrotecnica e Misure elettriche
y i A D U T A DI TENSIONE INDUSTRIALE S U UNA LINEA MONOFASE
Nella rete italiana l'alimentazione dei cariciii viene svolta mediante l'uso di linee monofase
a trifase. Ne! presente paragrafo si tratterà delle linee mpri.ofase che alimentano una
generica impedenza: esse sono normalmente cavi la cui impedenza è di natura ohmico
induttiva, dunque rappresentabili mediante la serie di una resistenza e una reattanza
induttiva. Vista la frequenza con cui capita di valutare cadute di tensione su tali linee, è
opportuno cercare una formula approssimata che permetta di evitare il ricorso alle potenze
attive, reattive e apparenti e al teorema di Boucherot.
Siano noti:
-V, (tensione all'ingresso della linea)
-Z-ZZ(p
(impedenza di carico)
-Zi^=Ri^+ jX^ (impedenza di linea, comprensiva di
andata e ritorno della stessa)
-7 (corrente sulla linea e sul carico)
Si vogliono calcolare la caduta di tensione sulla
linea A\/ = V;-Vy e V^J (tensione all'uscita della
linea).
^
Si noti che le tensioni di ingresso e uscita della linea sono diverse in modulo (in seguito
alta caduta di tensione sulla linea) e in fase (a causa delio sfasamento introdotto dal
passaggio di corrente sulta linea).
Si può dimostrare che la caduta di tensione industriale assoluta (ovvero effettiva, reale, in
volt) sulla linea, in forma approssimata, può essere così calcolata apprezzando la
differenza tra i valori efficaci delle tensioni:
A\/ = V/ ~Vy =I-[RL
cos^ + X ^ s i n ^ )
Nulla viene indicato relativamente alle fasi delle tensioni .di ingresso e arrivo (uscita) della
linea, semplicemente perché non rilevante. Ciò che importa infatti è sempre © .solamente
la differenza delle fasi tra tensione di uscita e corrente sul carico.
Importante: ta fase cp indicata sia in figura che nella formula riguarda il carico {Z^ZZcp).
Essa non ha nulla a che fare con la fase dell'impedenza di linea Z\_^\ conseguenza cos^
è il fattore dì potenza attiva del carico (ossia il rapporto P/S), mentre sm(p è il fattore di
potenza reattiva del carico (ossia ìl rapporto Q/S).
-31 -
Elettrotecnica e Misure elettriche
Spesso la caduta di tensione industriale è espressa in percentuale rispetto alla tensione di
uscita (Vu):
AV% = ^-\00
=
Con le formule inverse si possono ricavare rispettivamente:
1)V|, ovvero ia tensione di ingresso:
100
'
100
2)Vu, ovvero la tensione di uscita:
1+
AV%
AV%
1 + 100
L'approssimazione introdotta, dì entità davvero irrilevante, introduce in realtà notevoli
semplificazioni, in particolare per linee che alimentano più carichi. Per esempio:
100
Una
linea
monofase
100
(RL=0.4a,
XL=0.ia)
alimenta a 220 V (tensione in uscita) due carichi
ohmico induttivi che assorbono rispettivamente:
1) Pi=3 kW con fattore di potenza 0.8
2) P2=1.2 kW con fattore di potenza 0.9
Calcolare la tensione in ingresso V|.
Calcolare la nuova Vi in caso si inserisca un
condensatore in parallelo per il rifasamento
totale (potenza reattiva totale nulla).
XL
^
IN
P^Q^ =
Ri
+ P2 = 3000 +1200 = 4200 W
Q^Q^ =Qi+Q2 = ; ^ - t a n ^ i + P 2 - t a n - 3 0 0 0 - 0 . 7 5 + 1200-0.484 = 2250 + 581 = 2831 VAR
^Pror^OloT
V.
Vu
5065 = 23 A
220
Pmr 4200
COSATO! = ^ - 7 X 7 7 - 0 . 8 3
.
Qj^j
sin^),07-^
2831
5065
= 0.56
A\/ = /-(R,cos<?) + X^sin9j) = 23 (0.4-0.83+ 0.1-0.56)-8.92 V
V; =
+ A \/ = 220 + 8.92 = 228.92 V
AV/% = -^^^-^-100 = - ^ - 1 0 0 = 4.05 V
V
220
Q ' = 0 = ^ S ' = PTO^ =4200 VA
r^P^^^IV^
=4200/220 = 19.1 A
A l / ' = /'-(P^cos?t'+X(^sin^') = 19.1-(0.4-I+ 0.1-0) = 7.64 V
V;' = \/t, + A \ / ' = 220 + 7.64 = 227.64 V
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