Calcolo del campo di induzione magnetica all`interno di un

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
FACOLTÀ DI INGEGNERIA – LAFIDIN
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Corso di Fisica generale II
Prof. Francesco Bloisi
Dr.Ing. Galileo Tamasi
a.a. 2000/2001
CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA
ALL’INTERNO DI UN SOLENOIDE
Allievi:
Andrea Tornatora
037-2517
Carmine Lucadamo
037-1657
CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA ALL’INTERNO DI UN SOLENOIDE
Premessa importante.
Il presente report è stato oggetto della prova d’esame di Fisica II degli allievi Tornatora e
Lucadamo, le correzioni allora discusse alla lavagna non sono riportate nel testo, tuttavia
anche se si tratta di dettagli minori siete invitati a riguardarla criticamente.
Come potrete osservare nel seguito, non è stata applicata in nessuna parte del lavoro la
teoria degli errori, del resto le esercitazioni quantitative erano di supporto ad un corso
teorico e non di laboratorio.
Un altro compito da portare a termine, come accennato nell’esercitazione del 28/4, è quello
di applicare la teoria degli errori al vostro set di dati, e produrre delle conclusioni finali.
I lavori vanno mandati appena terminati all’indirizzo tamasi@unina per la correzione e le
revisioni finali (anche editoriali) in vista della pubblicazione definitiva sul sito.
Campo di induzione magnetica all’ interno di un solenoide.
Ci proponiamo di calcolare il campo di induzione magnetica all’ interno di un solenoide,
mettendo in evidenza le differenze che si riscontrano valutando i dati sperimentali e quelli
teorici.
Infatti un solenoide ideale dovrebbe essere fatto da tante circonferenze , tanti anelli
conduttori , molto fitti, senza spazi tra essi. Per realizzare tale solenoide occorrerebbero
tanti generatori quanti sono le spire;
In pratica invece di realizzarlo in tal modo (risulterebbe sicuramente scomodo), si ottiene
avvolgendo un filo su di un cilindro, ovvero si realizza facendo un filo a forma di spirale;
Se faccio il passo della spirale molto piccolo rispetto al diametro,posso considerare il tutto
come un insieme di anelli conduttori circolari,ovvero come un solenoide ideale.
Determinazione del campo di induzione magnetica prodotto da un
solenoide infinito.
Facciamo delle considerazioni sulla simmetria.
Se ruotiamo il solenoide su se stesso non c’e alcuna differenza , e se lo trasliamo verso l’
alto o verso il basso (essendo infinito) il problema resta identico a se stesso. Il campo di
induzione magnetica B dipende solo dalla distanza r valutata dall’ asse del
solenoide.Invece se proviamo a capovolgere il solenoide il problema cambia poiché
cambia il verso di circolazione della corrente.Ciò posto applichiamo il teorema del flusso
del vettore B attraverso una superficie chiusa. Tale superficie è un cilindro coassiale con il
solenoide di diametro r.(fig. 1)
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CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA ALL’INTERNO DI UN SOLENOIDE
Il flusso del vettore B rispetto alle basi del cilindro si annulla vicendevolmente in quanto i
versori delle basi sono discordi e il vettore B non varia con z.Quindi occorre calcolare solo
il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro.Tale flusso sarà dato dalla sola
componente radiale di B chiamiamola Br.Inoltre essendo il vettore Br sempre concorde o
discorde alla normale uscente dalla superficie laterale , sicuramente il flusso sarà diverso
da zero.
Ciò non è possibile , poiché sappiamo che il flusso del vettore B attraverso una superficie
chiusa è sempre nullo , quindi necessariamente Br deve essere nullo.
Fatto ciò applichiamo il teorema della circuitazione di Ampere ad un circonferenza di
raggio r passante per in punto P esterno al solenoide(Fig 2):
 Bdl   I 
0
La corrente concatenata potrebbe sembrare non nulla: infatti se volessi portare via il
solenoide, questo interseca la curva . In realtà il solenoide reale è fatto da tanti anelli
conduttori: pertanto posso far passare la curva  attraverso una spira e l’altra. Quindi la
corrente concatenata risulta essere uguale a zero.Di conseguenza la componente Bt è
anch’essa nulla: pertanto occorre calcolare l’unica componente rimasta Bz .
Applichiamo il teorema della circuitazione di Ampere ad un rettangolo stante nel piano che
contiene l’asse del cilindro(Fig.3)
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CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA ALL’INTERNO DI UN SOLENOIDE
 Bdl   I
0
In tal caso la corrente concatenata è chiaramente nulla quindi la circuitazione deve essere
nulla.
In particolare i tratti 1 e 2 sono percorsi in verso opposto e quindi i contributi si annullano
vicendevolmente (B non dipende da z).
Quindi necessariamente il contributo di 3 e 4 si deve annullare, pertanto il campo vettoriale
B deve essere uniforme (in ogni punto dello spazio esterno al solenoide abbiamo lo stesso
valore di B).
Analogamente ripetendo lo stesso ragionamento all’interno del solenoide si ottiene che B
risulta essere ancora uniforme.
Calcoliamo i valori di B sia all’interno che all’esterno:
-all’esterno:
considerando un punto molto distante dal solenoide, al limite all’infinito, dovrà essere il
valore di B nullo.Pertanto essendo uniforme, in tutti i punti dello spazio esterno B è nullo.
-all’ interno:
Applichiamo il teorema della circuitazione di Ampere ad un rettangolo stante nel piano che
contiene l’asse del cilindro, come in fig.4
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CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA ALL’INTERNO DI UN SOLENOIDE
 Bdl   I 
0
Ovvero è possibile scrivere
 
B
 dl  0 essendo il campo di induzione magnetica nullo all’esterno del solenoide
B
E
Quindi occorre calcolare solo il contributo all’ interno del solenoide :
  A  E 
 Bdl   Bdl   Bdl   0 I
A
B
F
F
In particolare anche i primi due termini sono nulli , infatti i tratti AB e FE sono orizzontali
ed quindi ortogonali alla componente Bz ergo il prodotto scalare risulta essere
nullo.Quindi in definitiva possiamo scrivere :
A  
  Bdl   0 I
F
Essendo B uniforme si ha :
Bz h   0 I 
ove h è l’altezza del tratto AF. Qual è il valore della corrente concatenata?
Se chiamo n il numero di spire per unità di lunghezza ed h è la lunghezza del filo allora il
numero di spire è nh;
Quindi se ogni spira è percorsa dalla corrente I il valore della corrente concatenata è nhI;
Pertanto si ha :
Bz h  I  n  h   0 cioè il modulo è Bz  I  n 0
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CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA ALL’INTERNO DI UN SOLENOIDE
Inoltre il verso di Bz , essendo il secondo membro negativo (la corrente concatenata è
negativa) ,deve essere tale che anche il primo membro sia negativo , cioè deve essere
opposto a quello ipotizzato nel calcolo della circuitazione.Pertanto il vettore B è rivolto
verso l’ alto.
Calcolo del campo di induzione magnetica all’interno di un solenoide di
lunghezza finita
Il campo di induzione magnetica si calcola sommando i campi generati dalle singole spire
che costituiscono il solenoide.
Consideriamo un punto P sull’asse del solenoide a distanza x dall’origine e valutiamo il

campo dB generato in P da una fettina di solenoide di spessore d situato a distanza 
dall’origine.(Fig.5)
Se n è il numero di spire per unità di lunghezza, il numero di spire contenute nella fettina
di spessore d sarà nd ed il campo nel punto P, che dista dalla fettina considerata ( x-  ),
sarà:



 0 IR 2

iˆ
dB  (nd )
3 

2
2
2
 2[ R  ( x   ) ] 

il campo B totale si ottiene integrando sulla variabile , al suo variare tra il valore 0 e il
valore l.
Per sviluppare questa integrazione è preferibile introdurre la variabile angolare  per la
quale valgono tali relazioni :
R  ( X   )tg
R
(X ) 
; differenziando :
tg
R
1
 d   2
d ; 
tg  cos 
Rd 
d 
sin 2 
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CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA ALL’INTERNO DI UN SOLENOIDE

Quindi in termini della variabile angolare  , il contributo al campo B sull’ asse per mezzo
della fettina di solenoide di spessore d diventa :

dB 
n 0 IR 2
2[ R 2 / sin 2  ]
3
2
Rd  ˆ n 0 I
i
sin   d  iˆ
2
sin 2 

Il campo B risultante si ottiene integrando su tutto il solenoide, ovvero tra i valori estremi
1 e  2 :
 n I  2
n I
B  0 iˆ  sin   d iˆ  0 (cos  1  cos 2 )
2 1
2
DESCRIZIONE DELL’ESPERIMENTO E DATI SPERIMENTALI
Come premesso nella introduzione teorica la realizzazione di un solenoide ideale è, dal
punto di vista pratico, sicuramente scomoda ragion per cui nell’esperimento in laboratorio
il solenoide è stato realizzato avvolgendo un filo conduttore a forma di spirale attorno ad
un cilindro.
Il raggio del solenoide in questione, costituito da 122 spire, è pari a 12 cm mentre l’altezza
è pari a 40,5 cm.
Come strumenti di rilevamento dei dati abbiamo avuto a disposizione un multimetro
digitale usato come amperometro ed un milliteslametro collegato ad una sonda Hall
assiale.Il primo è intervenuto nella regolazione dell’intensità di corrente circolante nel
solenoide secondo le esigenze del caso mentre il secondo è servito per rilevare il campo di
induzione magnetica B. In particolare la sonda di cui sopra , è servita per calcolare la
componente BZ del campo di induzione magnetica. A proposito di tale sonda va detto che
si presenta essenzialmente come un’asta graduata di circa 20 cm di lunghezza di cui la sola
estremità è in grado di rilevare il campo magnetico nel punto dello spazio in cui essa si
trova.
Le osservazioni sperimentali sono state articolate in modo da focalizzare in due momenti
distinti altrettanti aspetti del problema in esame.
Inizialmente abbiamo rilevato il campo di induzione magnetica nel centro del solenoide per
diversi valori dell’intensità di corrente.In particolare la sequenza dei valori dati
successivamente all’intensità di corrente è stata impostata con un passo di circa 0,2 ampere
fino ad arrivare ad un valore finale di 2 ampere (andare oltre tale valore non è stato
possibile per non compromettere il solenoide: infatti in una tale situazione si sarebbe
determinato l’effetto joule).
Nella tabella seguente è dettagliata la successione dei rilevamenti effettuati:
0,221 0,415
0,609
0,800
1,083
1,221
1,401
1,605
1,815
2,007
0,08
0.22
0.29
0.39
0.44
0.50
0.57
0.65
0.72
I [A]
0,15
B [mT]
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CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA ALL’INTERNO DI UN SOLENOIDE
In un secondo momento abbiamo ritenuto interessante rilevare il campo di induzione
magnetica lungo l’asse z del solenoide: a tale scopo, fissato il valore dell’intensità di
corrente ( in particolare posto uguale a 1 ampere ) e partendo dal centro del solenoide,
abbiamo stabilito di eseguire successive misurazioni mediante un passo pari a 1 cm.
Nella tabella seguente è dettagliata la successione dei rilevamenti effettuati:
h [cm] 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
B[mT] .37 .37 .37 .36 .36 .36 .36 .35 .35 .34 .34 .34 .33 .33 .32 .30 .29 .27 .25 .22 .19 .13
ANALISI DEI DATI
Con riferimento alla prima serie di rilevamenti occorre ribadire il fatto che, da un punto di
vista teorico, il campo di induzione magnetica all’interno di un solenoide infinito è
uniforme e vale:
B   0 nI
dove n è il numero di spire per unità di lunghezze e  0 è la costante di permeabilità
magnetica nel vuoto e ha il valore di 4  10 7 Tm / A ; in riferimento ai valori di I assegnati
nell’osservazione sperimentale tale formula restituisce valori che possono essere
diagrammati come segue:
0,8
0,7
Campo magnetico B [mT]
0,6
0,5
valori teorici
valori sperimentali
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Intensità di corrente[A]
E’ possibile osservare che , avendo calcolato il campo di induzione magnetica al centro del
solenoide ove si risente poco dell’ effetto di bordo, i valori sperimentali si discostano non
molto da quelli teorici , soprattutto per valori di intensità di corrente bassi.Invece è
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CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA ALL’INTERNO DI UN SOLENOIDE
confortante vedere che il calcolo teorico ma fatto per un solenoide di lunghezza finita
fornisce valori di B pressoché identici a quelli sperimentali. Riportiamo in tabella tali
valori:
valori
sperimentali
valori reali
0,08
0,15
0,22
0,29
0,39
0,44
0,5
0,57
0,65
0,72
valori teorici
0,08017
0,150546
0,220922
0,29021
0,392871
0,442932
0,508229
0,582233
0,658413
0,728063
0,083615486
0,157015506
0,230415526
0,302680494
0,409753719
0,461966104
0,530069215
0,607252741
0,68670637
0,759349689
Avendo parlato di effetto di bordo nella seconda parte dell’esperimento abbiamo valutato
il campo B al variare dell’ altezza ; anche in tal caso possiamo diagrammare i valori
sperimentali e quelli teorici :
100
90
80
B/Bt in %
70
60
50
40
30
20
10
0
-40
-20
0
20
40
Z [cm]
Si evince che al centro del solenoide i valori teorici sono molto simili a quelli sperimentali
mentre man mano che ci allontaniamo dal centro gli effetti di bordo sono molto rilevanti.
In particolare possiamo osservare che alla fine del solenoide (20 cm) si ha un differenza tra
dati teorici e sperimentali di circa il 50 %.
9/9