Analisi Dinamiche

DISPENSA DI PROGETTO DEL TELAIO
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Capitolo 7
Analisi Dinamica Analitica e Numerica
7.1 - Introduzione
La gran parte delle strutture reali è soggetta a eccitazioni vibratorie. Gli scenari applicativi sono i
più vasti: da vibrazioni indotte da carichi aerodinamici su strutture civili come ponti o edifici, alle
vibrazioni indotte da motore e strada sulla scocca di una automobile, a ambienti vibrazionali
complessi come quelli a cui è soggetta la struttura di un satellite al lancio. Il comportamento di un
sistema meccanico in condizioni vibrazionali può essere efficacemente simulato, a partire dal
calcolo delle frequenze proprie e dei modi propri di vibrare, tramite simulazioni di dinamica
strutturale come la FRF (risposta in frequenza), l’analisi shock e random.
L’analisi di base nel campo dello studio delle vibrazioni è la ricerca delle risonanze (analisi
modale), che tendenzialmente debbono essere tenute a “sufficiente distanza” dalle frequenze
portanti delle eccitazioni periodiche che agiscono sul componente o sul sistema di interesse.
L’analisi FEM permette di individuare sia le frequenze di risonanza che le forme modali ad esse
associate, e pertanto consente di capire come eventualmente intervenire a livello progettuale per
spostare (innalzare o abbassare) le frequenze proprie del sistema stesso.
Una volta compreso il comportamento dinamico di base della struttura tramite l’analisi modale, è
possibile simulare la risposta dinamica rispetto a eccitazioni sinusoidali (FRF, sine analysis),
eccitazioni random o shock, analisi più complesse e computazionalmente più intensive (si parla di
“dinamica avanzata”), che richiedono la schematizzazione dello smorzamento della struttura in
esame.
Gli scopi principali dell’analisi dinamica vibrazionale sono:
•
evitare che le eccitazioni cadano in vicinanza di risonanze della struttura;
•
•
•
•
•
valutare il fattore di amplificazione della struttura (Q factor) e gli stress massimi rispetto a
carichi variabili in modo noto in frequenza;
valutare risposte RMS di accelerazione e stress PSD nel caso di analisi random;
valutare stress di picco e equivalenti in analisi di risposta shock SRS;
effettuare studi di fatica vibrazionale;
effettuare studi di confort vibro-acustico (ad esempio di NVH nel settore dei trasporti).
7.2 - Teoria dell’analisi modali: la meccanica delle vibrazioni
Per meglio comprendere i principi che permettono di eseguire simulazioni numeriche per il
comportamento dinamico dei sistemi e delle strutture, è necessario riprendere la teoria analitica
standard della Meccanica delle Vibrazioni che permette di scrivere le equazioni dalle quali partire
per trovare la soluzione di moto del sistema. In particolare, il caso più semplice e quindi di prima
applicazione dal punto di vista analitico risulta quello dell’analisi del comportamento libero e
forzato di sistemi meccanici lineari caratterizzati da un solo grado di libertà.
Le equazioni che regolano la dinamica di tali sistemi sono equazioni differenziali lineari, a
coefficienti costanti di secondo ordine, ovvero si ha che i termini dell’equazione contengono solo la
funzione incognita e le due derivate elevate ad esponente 1.
Nel caso in cui il sistema non sia sottoposto a forzanti (f(t)=0), si analizzerà il comportamento
libero. Qualora invece vi siano forzanti (f(t)≠0), si parlerà di comportamento forzato.
Nell’ambito del comportamento forzato di un sistema è necessario fare una ulteriore distinzione. In
effetti la risposta forzata di un qualsiasi sistema lineare è costituita dalla somma di due funzioni che
rappresentano l’una il cosiddetto transitorio e l’altra il comportamento a regime.
•
•
•
Il transitorio è quella parte del comportamento del sistema che tende ad estinguersi con il
passare del tempo in funzione dello smorzamento del sistema.
Il comportamento a regime del sistema è viceversa quella parte del comportamento che non
si estingue (ed anzi rimane inalterata se la forzante è periodica) finché la forzante non cessa
oppure varia il suo contributo.
Per quanto riguarda le azioni forzanti, ci si riferirà sempre a forzanti di tipo armonico in
quanto tutte le funzioni di interesse tecnico (forzanti periodiche e transitorie) possono essere
espresse in termini di sommatorie o integrali di funzioni armoniche. Poiché inoltre le
equazioni sono esclusivamente lineari, è possibile sfruttare il principio di sovrapposizione
degli effetti, per cui lo studio esclusivo di tale tipo di funzione forzante non risulta riduttivo.
Nel caso di una forzante non armonica, si scompone quindi la forzante stessa nelle sue
componenti armoniche (f1, f2,….., fi) e si trovano le soluzioni delle equazioni del sistema
sottoposto alle singole componenti armoniche (x1, x2,….., xi); la soluzione generale è la
somma delle soluzioni del sistema sottoposto alle singole componenti armoniche
x=x1+x2+…..+xi.
7.3 - Equazioni di moto per sistemi lineari
Le equazioni di moto dei sistemi vibranti con uno o più gradi di libertà discendono direttamente
dalle Equazioni Cardinali della Dinamica. Tuttavia una forma assai più comune di queste, è quella
nota comunemente come Legge di Newton, che discende direttamente dalle Equazioni Cardinali,
applicando il Principio di D’Alambert:
F=m⋅a
Dove F rappresenta la risultante delle forze (esterne) applicate al corpo in analisi, m la sua massa, a
la sua accelerazione assoluta (rispetto a un riferimento inerziale). Questa risulta essere una
equazione vettoriale nello spazio cartesiano a 3 dimensioni (F ed a sono vettori).
Ovviamente, se per semplicità al fine dell’analisi matematica si considera il moto in una unica
direzione rettilinea, se si prende l’asse x del sistema di riferimento parallelo alla traiettoria di un
qualunque punto del corpo, allora lo studio del moto del sistema può essere effettuato tramite la
risoluzione dell’unica equazione scalare:
Fx=m⋅ax
Poiché inoltre la accelerazione assoluta del corpo ax altro non è che la derivata seconda della sua
posizione x rispetto al tempo, e considerando tra le forze esterne solo quelle che hanno componenti
lungo la direzione x, la precedente può essere riscritta nella più consueta forma:
F = m&x&
Nella suddetta formula (solo formalmente identica alla formula F=m⋅a presentata in precedenza), a
primo membro il termine F rappresenta la risultante delle forze esterne aventi sul sistema in
direzione x.
Poiché si è premesso che l’equazione differenziale che consentirà lo studio del moto del sistema
dovrà risultare lineare (nella funzione incognita x(t)), all’interno del termine F potemmo trovare
esclusivamente:
•
•
•
Funzioni di qualunque tipo ma dipendenti esclusivamente dal tempo F(t), che chiameremo
forzanti;
Forze elastiche;
Forze smorzanti.
Delle forzanti si è già parlato: possono esservi (e quindi si studia il moto forzato del sistema),
oppure no (e si studia quindi il moto libero). Pur essendo teoricamente di forma qualsiasi
(deterministiche o aleatorie, periodiche o aperiodiche, transitorie, ecc…) sfruttando i risultati
dell’Analisi Armonica e le proprietà derivanti dalla linearità delle equazioni, ci si limiterà allo
studio di forzanti armoniche del tipo
f=f0 eiωt
7.4 - Forze elastiche
Le forze elastiche sono forze conservative che tendono ad opporsi alle cause che le determinano. E’
per tale motivo che vengono anche dette forze di richiamo. Si parlerà di forza elastica come di una
forza che ha un modulo proporzionale (tramite la costante di elasticità generalmente indicata con k)
allo spostamento del corpo rispetto alla sua posizione di equilibrio. Il verso della forza (e quindi il
suo segno), sarà quello che contribuirà a far ritornare il corpo nella sua posizione di equilibrio.
Indicando con x l’asse lungo cui avviene il moto, se si indica con x0 la posizione di equilibrio
(statico) del corpo, la forza elastica varrà quindi:
Fel(t)=-k(x(t)-x0)
Fel
x0
x
x(t)
Fel
x(t)
x
x0
Tuttavia, se si prende la posizione di equilibrio (statico) come origine del sistema di riferimento,
allora x0=0, e quindi si ottiene la più classica forma:
Fel=-kx
Va tuttavia rimarcato che in questo caso (diversamente da quanto scritto in precedenza), la variabile
x(t) rappresenta lo spostamento del corpo rispetto alla posizione di equilibrio, e non più
semplicemente la posizione del corpo rispetto ad un riferimento qualsiasi.
Il caso più comune di forza elastica è quello della forza sviluppata da una molla a spirale (a patto
che non sia né troppo compressa né troppo allungata). E’ proprio da questo componente che trae
origine il simbolo grafico convenzionale per tale tipo di forze.
A
B
Da quanto detto in precedenza risulta chiaro che la forza sviluppata da un tale elemento è
proporzionale tramite la costante di elasticità k (N/m) alla distanza tra gli estremi indicati con le
lettere A e B.
Soltanto nel caso in cui con s si intenda la deformazione della molla rispetto alle sue condizioni a
riposo, è sempre possibile indicare la forza elastica di una molla tramite:
Fel =-k s
E’ infine utile ricordare che una forza elastica è anche conservativa: per deformare la molla è
necessario compiere lavoro (fornire energia) che viene accumulato come energia potenziale (di
deformazione). Tale energia può essere trasformata in energia cinetica (durante il moto) e viene
restituita integralmente se si riporta la molla alla sua lunghezza di riposo in condizioni di velocità
nulla.
7.5 - Forze smorzanti: lo smorzamento viscoso
A differenza delle forze elastiche, le forze smorzanti sono forze dissipative, che consumano energia.
E’ proprio a causa dell’inevitabile presenza di forze di questo tipo che un corpo, una volta posto in
movimento e lasciato muoversi senza ulteriori apporti energetici, è inesorabilmente destinato a
fermarsi dopo un tempo più o meno lungo.
Se gli spostamenti sono di tipo armonico si osserva che, in corrispondenza del massimo (o minimo)
spostamento la forza smorzante è nulla; la forza smorzante massima (in modulo), si ha invece
quando gli spostamenti sono nulli. Le forze smorzanti sono caratterizzate dal fatto di essere in
quadratura con gli spostamenti del sistema. Facendo riferimento alla notazione vettoriale, le forze
smorzanti sono sempre sfasate di 90° (π/2) rispetto alle forze elastiche.
L’unica forza smorzante che verrà presa in considerazione (e che permette di soddisfare l’ipotesi di
linearità dell’equazione di moto) è lo smorzamento viscoso. Si definisce forza di smorzamento
viscoso, una forza il cui modulo è direttamente proporzionale (tramite la costante c detta
coefficiente di smorzamento viscoso – Ns/m) alla velocità di deformazione.
Le forze di smorzamento viscoso modellano assai bene le forze che agiscono su un corpo che si
muove con velocità relativamente basse all’interno di un fluido. Un elemento a cui è ben applicabile
tale modello è uno smorzatore oleodinamico, come quello presente nelle sospensioni
automobilistiche. Da tale elemento trae origine il simbolo convenzionale di una forza di tale tipo.
x
A
B
Poiché anche tale forza tende ad opporsi alla variazione della velocità di deformazione, ed in
analogia a quanto già detto per la forza elastica, se si indica con s la distanza tra gli occhielli A e B
dello smorzatore, la forza di smorzamento viscoso vale quindi:
Fsm vis = -c s&
Se l’occhiello A è fisso, e se si indica con x la posizione dell’occhiello B, la forza che lo smorzatore
applica al corpo adiacente in corrispondenza dell’occhiello B vale:
Fsm vis = -c x&
Si osservi inoltre che a parità di ampiezza di spostamenti (a parità di x0), la forza smorzante
aumenta linearmente con la pulsazione degli spostamenti stessi. Se quindi il sistema compie
vibrazioni caratterizzate da frequenze molto basse (spostamenti quasi-statici), a volte può anche
essere accettabile trascurare tali forze. Se viceversa gli spostamenti sono caratterizzati da frequenze
piuttosto elevate, non considerare tali forze può portare ad errori del tutto inaccettabili.
7.6 - Sistemi a 1 Grado di Libertà
I sistemi vibranti ad un gradi di libertà sono ovviamente i casi più semplici per quanto riguarda la
trattazione analitica. Ovviamente, per i vasi a più gradi di libertà, i principi alla base della teoria
della meccanica delle vibrazioni rimangono gli stessi, ma semplicemente occorrerà passare da una
forma analitica costituita da una singola equazione differenziale del moto ad una forma matriciale
più complessa, che nel caso di un elevato numero di gradi di libertà, può essere risolta sfruttando
esclusivamente gli strumenti del calcolo numerico. Nei casi di analisi dinamica FEM i software
sfruttano proprio i principi della meccanica delle vibrazioni applicati su ognuno dei nodi e quindi
ognuno degli elementi che costituiscono il modello, assemblando opportune matrici di massa, di
smorzamento, e di rigudezza, e risolvendo il problema con metodi numerici. La velocità del
calcolatore permette ovviamente di gestire sistemi matriciali di dimensioni anche parecchio elevate.
In ogni caso, il fatto importante è che i principi della teoria della vibraziione rimangono i medesimi
per cui l’analisi FEM semplicemente prende questa teoria e la applica sui modelli ad elementi finiti,
ottenendo i sistemi matriciali che, risolti, forniscono le soluzioni del problema.
Per la teoria analitica faremo quindi riferimento principalmente ai sistemi a un grado di libertà,
sapendo che per i sistemi a più gradi di libertà sarà semplicemente sencessario passare alla forma
matriciale delle equazioni, stando attenti a riwspettare opportune metodologie di passaggio per
costruire, per esempio, la matrice di massa del modello ad elementi finiti.
In sostanza, la più generiche equazione di moto a cui un sistema con un solo grado di libertà
potrebbe essere ricondotto è del tipo:
m&x& = − kx − cx& + f (t )
Dallo studio delle soluzioni delle equazioni differenziali lineari possono essere determinati il
comportamento libero (se f(t)=0) o quello forzato (se f(t)≠0) di un qualsiasi sistema con un solo
grado di libertà.
Un sistema di tale tipo può essere schematizzato attraverso il seguente disegno:
x
m
c
k
Un corpo rigido di massa m è collegato a un basamento fisso tramite una molla di costante di
rigidezza k e uno smorzatore viscoso di costante c. Il corpo rigido può solo compiere traslazioni
nella direzione verticale per cui, per descriverne il moto, si sceglie di utilizzare un sistema di
riferimento inerziale monoassiale x, rivolto verso l’alto, e con origine in corrispondenza del
baricentro del corpo nella posizione di equilibrio del sistema, supposta nota.
In questo caso, poiché non sono presenti forzanti e uno degli estremi sia dello smorzatore che della
molla sono fissi (al basamento), l’equazione che regola le vibrazioni del sistema è:
m &x& = − kx − c x&
m&x& + cx& + kx = 0
Osservazione: è chiaro che la soluzione x(t)=0 soddisfa l’equazione differenziale, il che giustifica il
fatto, noto a tutti, che un corpo non sottoposto ad alcuna forzante può rimanere fermo nella sua
posizione di equilibrio. Tuttavia vedremo che questa non è l’unica soluzione possibile, in quanto
non è detto che all’istante iniziale (per t=0) il corpo si trovi nella posizione di equilibrio (x=0) e con
velocità nulla ( x& = 0 ). Se infatti la posizione iniziale oppure la velocità sono non nulle, è evidente
che il sistema si muoverà, tendendo peraltro a ritornare sempre nella sua posizione di equilibrio.
7.6.1 - Analisi del moto libero
Per conoscere come si possa muovere un sistema con 1 GdL in assenza di forzanti, è sufficiente
risolvere la semplice equazione differenziale ordinaria, del secondo ordine, omogenea.
m&x& + cx& + kx = 0
E’ noto che se una funzione x(t) è effettivamente una soluzione dell’equazione differenziale, questa,
introdotta nell’equazione stessa insieme alle sue derivate, deve dar luogo ad una identità.
Dalle teoria delle equazioni differenziali ordinarie lineari e omogenee, risulta che tutte soluzioni
dell’equazione omogenea sono una combinazione lineare secondo due costanti arbitrarie reali (che
chiameremo A e B), delle due funzioni
x1 = e λ1t e x 2 = e λ 2 t
quindi
x (t ) = Ae λ1t + Be λ2t ,
in cui λ1 e λ2 sono le due soluzioni dell’equazione caratteristica:
m λ 2 + cλ + k = 0
Sfruttando le ben note formule risolutive si ha che:
λ1, 2 = −
c
1
±
c 2 − 4mk
2m 2m
A questo punto si presentano tre possibilità in funzione del valore del radicando (c2-4mk).
Primo caso: c2-4mk=0 (Sistema Critico)
Questo caso, assai difficile da realizzarsi nella pratica, è utile da analizzare solo per via del suo
“carattere di confine”. In tale caso si ha che vi sono due radici reali coincidenti (una unica radice
reale doppia), peraltro negative, che valgono:
λ=−
c
2m
La soluzione generale è quindi:
x (t ) = Ae λt + Bte λt
con A e B costanti arbitrarie (che saranno determinate solo tramite le condizioni iniziali).
Poiché λ è negativa la soluzione è una funzione monotona decrescente (essendo somma di due
funzioni esponenziali negative). Si può quindi concludere che il moto libero di un sistema con
smorzamento viscoso per cui c2=4mk è un transitorio aperiodico: il sistema tende a ritornare nella
sua posizione di equilibrio senza alcuna oscillazione.
La costante di smorzamento viscoso c che determina, a parità di massa e rigidezza, una soluzione di
tale tipo viene detta costante di smorzamento critico del sistema.
Secondo caso: c2-4mk>0 (Sistema Sovrasmorzato)
In questo caso, che si verifica quando lo smorzamento del sistema è elevato, ovvero maggiore dello
smorzamento critico, si ha che l’equazione caratteristica ammette due soluzioni reali negative in
quanto risulta sempre:
c > c 2 − 4 mk
In questo caso quindi la soluzione generale è:
x (t ) = Ae λ1t + Be λ2t
con A e B costanti arbitrarie.
Poiché entrambe le funzione esponenziali sono negative, la soluzione totale è ancora una volta una
funzione monotona decrescente. Anche in questo caso si può concludere che il moto libero di un
sistema con smorzamento viscoso per cui c2>4mk è un transitorio aperiodico: il sistema quindi
tende a ritornare nella sua posizione di equilibrio senza alcuna oscillazione.
Terzo caso: c2-4mk<0
Questo terzo caso si verifica quindi quando lo smorzamento del sistema è limitato, ovvero inferiore
dello smorzamento critico, si ha che l’equazione caratteristica non ammette soluzioni reali.
Tuttavia, introducendo i numeri complessi, e in particolare l’unità immaginaria i, è possibile
scrivere
c 2 − 4 mk =
− 1 ⋅ ( 4 mk − c 2 ) = − 1 ( 4 mk − c 2 ) = i ( 4 mk − c 2 )
espressione in cui il radicando risulta positivo, ed è quindi possibile calcolarne la radice quadrata.
In questo caso quindi le soluzioni dell’equazione caratteristica risultano:
λ1, 2 = −
c
1
c
1
±
c 2 − 4mk = −
±i
4mk − c 2
2 m 2m
2m
2m
e la soluzione generale è:
x(t ) = Ae λ1t + Be λ2t = Ae
1
⎛ c
⎞
4 mk −c 2 ⎟ t
+i
⎜−
⎝ 2m 2m
⎠
+ Be
1
⎛ c
⎞
4 mk −c 2 ⎟ t
−i
⎜−
⎝ 2m 2m
⎠
con A e B costanti arbitrarie.
La soluzione, con facili passaggi, può quindi essere riscritta come:
x (t ) = Ae
λ1t
+ Be
λ2t
=e
⎛ c ⎞
−⎜
⎟t
⎝ 2m ⎠
⎡ ⎛⎜ i 21m
⋅ ⎢ Ae ⎝
⎢⎣
⎞
4 mk − c 2 ⎟ t
⎠
+ Be
⎞
⎛ 1
4 mk − c 2 ⎟ t
−⎜ i
⎠
⎝ 2m
⎤
⎥
⎥⎦
La parte dell’ultimo membro tra parentesi quadre, sfruttando formulazioni simili alle Formule di
Eulero (in cui si ricade direttamente se A=B), può essere inoltre riscritta nella seguente forma:
⎡ ⎛⎜ i 21m
⎢ Ae⎝
⎢⎣
⎞
4 mk − c 2 ⎟ t
⎠
+ Be
⎛ 1
⎞
4 mk − c 2 ⎟ t
−⎜ i
⎝ 2m
⎠
⎤
⎞
⎛ 1
4mk − c 2 t + ϕ ⎟
⎥ = X 0 sin⎜
⎝ 2m
⎠
⎥⎦
in cui le due costanti X0 e ϕ dipendono esclusivamente dalle due costanti arbitrarie A e B, e quindi
sono arbitrarie anch’esse. Naturalmente tali costanti potranno essere determinate con la conoscenza
delle condizioni iniziali (posizione e velocità della massa nell’istante t=0).
A questo punto la soluzione generale dell’equazione differenziale può essere espressa nella sua
forma definitiva:
x(t ) = X 0 e
⎛ c ⎞
−⎜
⎟t
⎝ 2m ⎠
⎛ 1
⎞
4mk − c 2 t + ϕ ⎟
⋅ sin⎜
⎝ 2m
⎠
in cui, si può notare, sono scomparsi i numeri complessi, utilizzati solo come strumento per la
risoluzione dell’equazione differenziale: il moto in effetti deve essere realizzato da una funzione
reale.
10
8
Posizione (m)
6
4
2
0
2
4
6
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tempo (s)
Dalla forma matematica della soluzione si possono quindi trarre le seguenti conclusioni:
•
•
•
Il moto libero è un moto oscillatorio smorzato;
L’ampiezza delle oscillazioni, determinata dal termine X 0 e
⎛ c ⎞
−⎜
⎟t
⎝ 2m ⎠
, è decrescente con il
tempo in dipendenza dalla massa e dallo smorzamento del sistema. Poiché l’ampiezza tende
a zero con il tempo, si evince che il sistema compie oscillazioni smorzate (che diminuiscono
di ampiezza con il tempo) nell’intorno della posizione di equilibrio;
Mentre l’ampiezza e la fase delle oscillazioni dipendono dalle condizioni iniziali, la
pulsazione del moto libero è una costante dipendente unicamente dalle caratteristiche del
sistema. Essa prende il nome di pulsazione propria del sistema.
Si osservi appena che è evidente che la soluzione per cui X0=0 (derivante dal caso in cui A=B=0)
soddisfa l’equazione; questa soluzione, detta soluzione banale, ci conferma il fatto, di comune
esperienza, che un sistema non sottoposto a forze può rimanere fermo.
7.6.2 - Parametri vibrazionali adimensionali
Per parametri adimansionali si intendono quei parametri ottenuti con particolari formulazioni
partendo dalle caratteristiche note del sistema, che permettono di riscrivere le soluzioni analitiche
delle equazioni di moto in forme meglio interpretabili e quindi più comode per una valutazione
critica. Queste sono date da:
k
1. la pulsazione naturale, indicata con ωn, e che assume il valore ω n =
;
m
c
c
2. il fattore di smorzamento viscoso, indicato con ξ, che assume il valore di ξ =
.
=
cc 2 km
La pulsazione naturale è un numero (dotato di dimensioni fisiche) dipendente esclusivamente dalla
massa e dalla rigidezza del sistema. Se proprio si vuole attribuire a questo numero un significato
fisico, si può dire che la pulsazione propria di un sistema è pari alla pulsazione propria (e anche alla
pulsazione di risonanza, che verrà introdotta nel seguito) di un sistema simile a quello preso in
esame, ma privo di smorzamento (c=0).
Il fattore di smorzamento viscoso, come risulta evidente dalla stessa definizione, è un numero puro
che indica il rapporto tra lo smorzamento effettivamente presente nel sistema, e quello critico. Se si
ricorda il significato dello smorzamento critico, si evince che solo sistemi caratterizzati da un
fattore di smorzamento viscoso minore di 1, sono caratterizzati da un comportamento libero di tipo
oscillante.
Introducendo tali parametri, la soluzione del moto libero del sistema può essere riscritta come:
(
x(t ) = X 0 e −ξω nt ⋅ sin ω n 1 − ξ 2 t + ϕ
)
e quindi la pulsazione propria varrà:
1
k
c2
2
ωp =
4mk − c =
1−
= ωn 1−ξ 2
2m
4km
m
.
7.6.3 - Decremento logaritmico
La conoscenza dello smorzamento è sempre il fattore più critico per la modellazione di un sistema
meccanico: mentre per la misura (o la stima) della massa e della rigidezza esistono più tecniche, e di
elevata precisione, spesso l’identificazione del valore dello smorzamento con un errore massimo del
10% (inaccettabile per masse e rigidezza) costituisce un risultato più che soddisfacente.
Tramite l’analisi del comportamento libero del sistema, note che siano la sua massa e la rigidezza, è
possibile ottenere comunque una buona stima di tale valore.
Si considerino due massimi relativi consecutivi della soluzione del moto libero. Tali massimi si
avranno in corrispondenza degli istanti in cui il seno raggiunge il suo valore massimo, ovvero il
valore unitario.
Se si suppone che il primo massimo si avrà in corrispondenza dell’ istante t1, allora il secondo
massimo si avrà in corrispondenza del tempo:
t 2 = t1 + T = t1 +
2π
2π
= t1 +
ωp
ωn 1 − ξ 2
in cui T è il periodo dell’oscillazione libera.
L’ampiezza della oscillazione in tali istanti varrà allora:
x(t1 ) = X 0 e −ξω nt1
x (t 2 ) = X 0 e −ξω nt2 = X 0 e −ξω n ( t1 + T ) = X 0 e −ξω n t1 e −ξω nT
Effettuando il logaritmo naturale del rapporto di tali due ampiezze si ottiene dunque:
⎛ X 0 e −ξω n t1
⎛ x(t ) ⎞
ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ln⎜⎜
−ξω n t1 −ξω n T
e
⎝ x(t 2 ) ⎠
⎝ X 0e
⎞
1
⎟ = ln⎛⎜ −ξω T
⎟
⎝e n
⎠
2π
2πξ
⎞
ξω T
=
⎟ = ln e n = ξω n T = ξω n
⎠
ωn 1− ξ 2
1−ξ 2
(
)
Il logaritmo del rapporto delle ampiezze delle vibrazioni in corrispondenza di due massimi
successivi (appunto detto decremento logaritmico) è quindi dipendente esclusivamente dal fattore di
smorzamento viscoso. Noto quindi il valore del decremento (da prove sperimentali), è possibile
ricavare il fattore di smorzamento viscoso con la precisione desiderata attraverso tecniche di calcolo
numerico. Una volta calcolato di fattore di smorzamento viscoso ξ, noti i valori della massa e della
rigidezza, è possibile ricavare il valore della costante di smorzamento viscoso c.
10
8
6
Posizione (m)
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tempo (s)
7.6.4 - Moto forzato
Un sistema con un solo grado di libertà con smorzamento viscoso su cui agisce una forzante di tipo
armonico può essere schematizzato attraverso il seguente disegno:
x
F(t)
m
c
k
Un corpo rigido di massa m è collegato a un basamento fisso tramite una molla di costante di
rigidezza k e uno smorzatore viscoso di costante c. Il corpo rigido può solo compiere traslazioni
nella direzione verticale e si sceglie di utilizzare un sistema di riferimento inerziale monoassiale x,
rivolto verso l’alto, e con origine in corrispondenza del baricentro del corpo nella posizione di
equilibrio del sistema.
In questo caso è presente una forzante armonica che supporremo di pulsazione generica Ω e
ampiezza generica F0 . A seconda che si vogliano utilizzare i numeri complessi (la notazione
esponenziale) oppure ci si voglia limitare ai numeri reali, la forzante può essere espressa nelle due
forme seguenti:
F(t)=F0cos(Ω t)
F(t)=F0eiΩt
In ogni caso, poiché il basamento è fisso, l’equazione che regola le vibrazioni del sistema è:
Ovvero
m &x& = − kx − cx& + F (t )
m&x& + cx& + kx = F (t )
E’ noto comunque che tutte le soluzioni di una equazione differenziale completa si ottengono
sommando a tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata, una qualsiasi soluzione della
equazione completa.
Per quanto concerne l’equazione omogenea associata, ovvero:
m&x& + cx& + kx = 0
le sue soluzioni sono già state studiate in precedenza, laddove si è ricercato il comportamento libero
del sistema. In tale occasione si è visto che le vibrazioni che soddisfano la precedente equazione
sono smorzate; queste quindi (ad eccezione del caso in cui non vi sia alcuno smorzamento), in un
tempo più o meno lungo tendono ad annullarsi. E’ proprio per tale motivo che tale parte della
soluzione del sistema forzato viene chiamata soluzione di transitorio, o più semplicemente
transitorio.
Da quanto detto in precedenza si ha che nei primi istanti del moto del sistema,le vibrazioni sono
ottenibili come somma del transitorio e della soluzione particolare. Con il passare del tempo il
transitorio tende ad estinguersi, e quindi dopo un certo periodo (in dipendenza dallo smorzamento)
le vibrazioni forzate sono costituite esclusivamente dalla soluzione particolare. Tale soluzione
permarrà inalterata, senza estinguersi, finché non intervengano variazioni della forzante. Per tali
motivi la soluzione particolare dell’equazione di moto costituisce il comportamento a regime del
sistema.
10
10
Transitorio
8
5
2
0
0
=
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
0
5
10
10
4
+
2
Regime
6
6
4
15
8
-10
0
15
5
10
15
Risposta
completa
-5
-10
-15
0
5
10
15
Da adesso in poi quando si parlerà di comportamento forzato, si farà implicito riferimento al solo al
comportamento a regime.
Se per la risoluzione dell’equazione differenziale si sfrutta la tecnica dei numeri complessi e la
linearità del sistema, è facile verificare che se la forzante è del tipo F(t)=F0eiΩt, allora
necessariamente per verificare identicamente l’equazione differenziale la soluzione dovrà essere del
tipo x(t)=X0eiΩt . Ciò significa che le vibrazioni della massa dovranno avere la stessa pulsazione
della forzante.
In ogni caso, se x(t)=X0⋅eiωt è effettivamente la soluzione del sistema, risultano anche:
x&(t) = iωX 0 ⋅ e iωt
&x&(t ) = −ω 2 X 0 ⋅ e iωt
Introducendo le precedenti nell’equazione differenziale si ottiene:
− mω 2X 0 ⋅ e iωt + icωX 0 ⋅ e iωt + kX 0 ⋅ e iωt = F0 ⋅ e iωt
o anche:
[(−mω
2
]
+ icω + k )X 0 − F0 ⋅ e iωt = 0
Poiché la precedente deve essere verificata in ogni istante (visto anche che una funzione
esponenziale non può mai annullarsi), allora dovrà essere:
( − mω 2 + icω + k )X 0 − F0 = 0
ovvero anche:
X 0 = F0
1
(k − mω 2 ) + icω
Si ottiene quindi che il modulo delle oscillazioni è direttamente proporzionale al modulo della
forzante (come ci si doveva già aspettare vista la linearità del sistema); la costante di
proporzionalità sarà data dal modulo della funzione fratta (complessa) a secondo membro. Anche la
fase tra le oscillazioni e la forzante sarà ottenibile come la fase della stessa funzione complessa.
Sfruttandole proprietà dei numeri complessi si ha quindi che il modulo dell’ampiezza è calcolabile
come:
X 0 = F0
= F0
1
( k − mω 2 ) + icω
= F0
1
( k − mω 2 ) + icω
= F0
1
( k − mω 2 ) + icω
=
1
( k − m ω 2 ) 2 + ( cω ) 2
Mentre il valore della fase risulta essere dato dall’espressione:
⎛
⎞
⎛
⎞
1
1
⎟
⎜
(
)
F
fase( X 0 ) = fase⎜⎜ F0
fase
fase
=
+
0
2
⎟
⎜ (k − mω 2 ) + icω ⎟⎟ =
(k
mω
)
icω
−
+
⎝
⎠
⎝
⎠
⎞
⎛
cω
⎟
= fase(F0 ) + fase(1) − fase (k − mω 2 ) + icω = fase(F0 ) − arctan ⎜⎜
2 ⎟
k
m
ω
(
)
−
⎠
⎝
(
)
7.6.5 – Ricettanza
Da quanto visto sopra si è potuto dimostrare che, note le caratteristiche del sistema (m, k e c), e note
anche quelle della forza armonica (F0 e ω), è possibile trovare ampiezza e fase delle vibrazioni
forzate (nella fase di comportamento a regime) tramite la seguente relazione:
X 0 = F0
1
(k − mω 2 ) + icω
Dividendo entrambi i membri per F0 è possibile ottenere una funzione complessa della variabile
reale ω che riveste una notevole importanza nello studio dei sistemi vibranti. Tale funzione, che
rientra nella categoria più generale delle Funzioni di Risposta in Frequenza (FRFs - Frequency
Response Functions) o anche delle Funzioni di Trasferimento (TFs - Transfer Functions), viene
generalmente indicata con il simbolo α(ω) e prende il nome di Ricettanza del sistema:
α (ω ) =
X0
1
(ω ) =
F0
(k − mω 2 ) + icω
Il significato fisico della ricettanza appare subito ovvio, infatti se si pensa di imporre al sistema
vibrante una forzante armonica, di pulsazione generica ω e di modulo unitario (F0=1), il modulo e
la fase delle vibrazioni che ne conseguono nella fase di regime sono rappresentate dalla ricettanza
stessa.
L’utilità della ricettanza è ancora più evidente in quanto, sfruttando anche le proprietà di linearità,
se sul sistema agisce una forza armonica di ampiezza F0 e di pulsazione ω note, la ricettanza ci
consente di trovare immediatamente la soluzione a regime del sistema, senza risolvere alcuna
equazione differenziale.
L’ampiezza delle vibrazioni risultanti sarà pari a F0 volte l’ampiezza della funzione di ricettanza
calcolata in ω. Il modulo della ricettanza corrisponde infatti all’ampiezza delle vibrazioni se la
forzante fosse unitaria, poiché quindi la forza effettivamente agente sul sistema è F0 volte quella
unitaria, anche le vibrazioni che ne conseguono sono F0 volte quelle calcolate tramite la Ricettanza.
La fase delle vibrazioni inoltre sarà semplicemente la fase della funzione di ricettanza calcolata in
ω.
E tutto ciò qualunque siano F0 e ω.
Inoltre, sfruttando in maniera più completa le proprietà di linearità del sistema, se la forzante F(t) è
di tipo generico (non necessariamente armonica), indicando con F0(ω) la sua Trasformata di Fourier
(o meglio, il suo contenuto in frequenza), allora si ha che effettuando semplicemente il prodotto tra
la ricettanza e il contenuto in frequenza della forzante, si ottiene direttamente il contenuto in
frequenza delle vibrazioni risultanti. In parole povere:
X 0 (ω ) = α (ω ) F0 (ω )
Questa semplice operazione è in generale più che sufficiente ad un ingegnere per verificare la
confacenza della risposta di un sistema meccanico alle specifiche di progetto. Se però interessasse
la determinazione esatta dell’andamento temporale delle vibrazioni del sistema sottoposto alla forza
generica F(t), una volta ottenuto il contenuto in frequenza completo delle vibrazioni (in termini di
modulo e fase, visto che X0(ω) è una funzione complessa), è sufficiente effettuare l’AntiTrasformata
di Fourier per ottenere il risultato desiderato (ovvero compiere il passaggio dal dominio delle
frequenze al dominio del tempo):
X 0 (ω )
−1
F
( AntiTrasfo rmata di Fourier )
⎯⎯
⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯→
x (t )
Della ricettanza è possibile dare una formulazione che coinvolge i parametri dimensionali già
precedentemente introdotti. Dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero k, si ottiene
infatti con facili passaggi algebrici:
1
X0
1
1
k
(ω ) =
α (ω ) =
=
k ⎛ ω2 ⎞
F0
⎛ m 2⎞ c
ω
⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + i 2ξ
⎜1 − ω ⎟ + i ω
⎝ k
⎠ k
ωn
⎝ ωn ⎠
.
In pratica quindi la risposta del sistema dipende dalla rigidezza, dal fattore di smorzamento viscoso,
e dal rapporto tra la pulsazione della forzante e la pulsazione naturale (ω/ωn).
7.6.6 - Rappresentazione della Ricettanza
Ben più importante che fornire una formulazione analitica della ricettanza, è il fornirne una
adeguata (e soprattutto chiara) rappresentazione grafica.
Poiché, come si è già detto, la ricettanza è una funzione complessa della variabile reale ω, se si
vuole darne una rappresentazione esplicita (in grafici in cui compare esplicitamente la variabile
indipendente ω) sono necessari almeno due grafici. In particolare, per ottenere una possibile
rappresentazione esplicita si potrebbero plottare in due grafici separati (e magari sovrapposti) la
parte reale e quella immaginaria della ricettanza al variare di ω.
-4
4
-4
x 10
0
x 10
3
Parte immaginaria
Parte reale
2
1
0
-2
-4
-1
-2
-3
-1
10
0
1
10
10
-6
-1
10
2
10
0
1
10
Pulsazione (rad/s)
10
2
10
Pulsazione (rad/s)
Tale rappresentazione è però assai di rado utilizzata in campo ingegneristico. Di solito si preferisce
infatti rappresentare la ricettanza (e tutte le altre FRFs) plottandone su due grafici sovrapposti il
modulo e la fase. Se poi si sceglie di rappresentare la variabile indipendente in scala logaritmica (in
base 10) e il modulo della ricettanza in scala Decibel (dB – in pratica un logaritmo in base 1/20),
allora tale rappresentazione viene detta Diagramma di Bode.
-60
0
-20
-70
-40
-60
Fase (deg)
Modulo (dB)
-80
-90
-100
-80
-100
-120
-140
-110
-160
-120
-1
10
0
1
10
10
Pulsazione (rad/s)
2
10
-180
-1
10
0
1
10
10
2
10
Pulsazione (rad/s)
In alcuni testi più datati, sfruttando la notazione con i parametri dimensionali, e ponendo come
variabile indipendente il rapporto (ω/ωn), si trovano degli interessanti Diagrammi di Bode della
ricettanza (diagrammata a meno del fattore moltiplicativo 1/k). Questi grafici, sono interessanti
perché ci mostrano come a meno della costante 1/k, e in funzione del rapporto (ω/ωn), tutti i
Diagrammi di Bode della ricettanza di tutti i sistemi con 1 GdL e smorzamento viscoso, dipendono
unicamente dal parametro di smorzamento viscoso.
In teoria quindi basta sapere la rigidezza del sistema, il suo smorzamento (adimensionale) ed avere
sotto mano un unico Diagramma di Bode, per poter risolvere con un semplice righello e una
calcolatrice un qualsiasi problema di dinamica di sistemi con un solo grado di libertà.
Ai tempi moderni la notevole diffusione degli strumenti informatici e di software specializzato
permette di poter rapidamente tracciate il diagramma di Bode specifico per ogni possibile sistema
meccanico (in Matlab basta una sola istruzione), ma questi diagrammi rivestono ancora una
notevole importanza didattica.
7.7 - Espansione ai sitemi a “n” gradi di libertà e al FEM
Come precedentemente detto, il caso di sistemi vibranti ad “n” gradi di libertà stfrutta
completamente i principi ed i modelli visti per il caso a 1 grado di libertà, con la sola differenza che
il fatto di avere più possibilità di movimento introduce la necessità di adottare una notazione
matriciale dell’equazione del moto in cui siano inserite tutte le caratteristiche del sistema riferite a
massa, smorzamenti, rigidezze, forzanti.
Per i sistemi meccanici, il problema può essere limitato allo studio di soli 2 o 3 gradi di libertà dati
dalle possibilità di movimento del sistema stesso. Per quanto riguarda invece l’analisi dinamica
applicata all’analisi FEM, i concetti analitici ed i principi fisici rimangono i medesimi, ma i gadi di
libertà del sistema costutuito dai singoli nodi ed elementi con i quali è distretizzato il modello
possono essere parecchio numerosi, e quindi il cacolo necessita una risoluzione numerica secondo
varie metodologie. In ogni caso, l’equazione di base dalla quale si parte, è data da:
M {&x&} + C {x&} + K {x} = {F (t )}
Dove:
•
•
•
•
•
{x} - il vettore di stato, formato dagli spostamenti degli N nodi scelti per caratterizzare la
deformazione della struttura;
M - matrice delle masse da concentrare negli N nodi;
K - matrice delle rigidezze di collegamento tra gli N nodi;
C - matrice degli smorzamenti dei moti relativi tra gli N nodi;
{F(t)} - vettore delle forze dinamiche applicate a ciascun nodo.
Anche in questo caso è possibile incontrare ovviamente un caso libero e un caso forzato. In
completa analogia con quanto visto per i sistemi a un grado di liberà, nel caso libero è necessario
risolvere l’equazione differenziale omogenea in forma matriciale
Imponendo la soluzione
M {&x&} + C{x&} + K {x} = {0}
{x} = {x0} ejωt
Si trova che esistono N valori di ω [ω1 < ω2 < ω3 ,...., < ωn] per i quali, sostituiti nell’equazione
omogenea, è possibile trovare una soluzione diversa da quella identicamente nulla (soluzione
banale). I valori ωi sono le pulsazioni naturali del sistema e costituiscono, dal punto di vista
matematico, gli autovalori del sistema di equazioni (algebriche) associate. Ad ogni autovalore
corrisponde un autovettore Yi , formato da N componenti.
Ma quale è il significato fisico degli autovalori (pulsazioni naturali) e degli autovettori (modi di
vibrare)?
•
Significato degli autovalori ( pulsazioni naturali) = rappresentano quelle pulsazioni di
oscillazione con le quali il sistema si può muovere anche se non è sottoposto ad alcuna
forzante (le vibrazioni sono determinate solo da condizioni iniziali - spostamento e velocità non nulle). La loro caratteristica dipende solo dai parametri del sistema.
•
Significato fisico dell’autovettore (il ‘modo’ corrispondente ad una data pulsazione
naturale) = Se si suppone che il sistema libero vibri con una frequenza pari ad una
pullsazione natturale ωi , si
s ha che le soluzioni del
d sistema lineare associato (il vettore
v
dellee
amppiezze di oscillazione
o
di ogni punnto xi) sono
o infinite, ma
m tutte prooporzionali tra di loro..
Uno qualsiasii di tali veettori costittuisce un autovettore
a
del sistem
ma. Se si trovano
t
glii
autovettori corrrispondentii ad ogni puulsazione naaturale ωi (vvettori colonnna) e si aff
ffiancano, sii
ottiiene una maatrice quadrrata Y di dim
mensioni (N
NxN) che vieene chiamatta matrice modale.
m
Per esempiio, se si vuoole calcolarre le vibraziioni flession
nali di una trave doppiiamente ap
ppoggiata sii
può far riccorso ad unaa discretizzaazione del sistema
s
con
ntinuo, apprrossimandollo con un siistema di N
masse conccentrate (noodi). Il moddello a param
metri conceentrati avrà allora N grradi di liberttà che sonoo
gli spostam
menti lungo la verticalee di ciascun nodo.
Il sistema avrà
a
allora N autovalorri ed N autoovettori. Gli autovalorii sono le freequenze con
n le quali laa
trave può vibrare
v
anchhe se non c’’è forzante; gli autovettori sono lee deformate che la travee assume inn
corrisponddenza ad ognni frequenzaa naturale.
Se la travve vibra allla frequenza naturalee ωi, la co
orrispondennte deformaata è necesssariamentee
proporzionnale all’autoovettore (laa ‘forma’ della
d
deform
mata della trave
t
non ccambia nel tempo). Inn
generale laa legge di moto di un
u corpo liibero contieene tutte e solo le frrequenze naaturali e laa
deformata è costituita da una com
mbinazione lineare dei modi
m
proprii del sistem
ma.
d un vettoree di forzantii di tipo arm
monico
Per quantoo riguarda laa risposta deel sistema soottoposto ad
{F
F}={f0}eejΩt
(tutte della medesimaa frequenzaa Ω), vale lo stesso disscorso già fatto
f
per i ssistemi ad un
u grado dii
libertà. Laa legge di moto
m
di ognni nodo è data
d
dalla somma
s
di un
u transitoriio (che dop
po un certoo
tempo si estingue) e della
d
soluzioone di regim
me che è, per ogni punnto, una funnzione armo
onica con laa
stessa frequuenza delle forzanti.
Per calcolaare la rispossta a regimee si può proocedere sim
mbolicamentte come perr i sistemi ad
a un gradoo
di libertà: si suppone quindi che la risposta sia anch’esssa armonicca con la steessa frequen
nza Ω dellaa
forzante e quindi
{x}={x0}ej(Ωt+ϕ)
in cui {x0} è il vettoree delle ampiiezze delle oscillazioni
o
dei nodi (nnel caso del sistema ad un grado dii
libertà era un semplicee scalare). Poichè
P
ora risulta:
r
{ x& } = jΩ
j {x 0 }ee
j( Ω t + ϕ )
{ &x& } = - Ω 2 {x 0 }ee
j( Ω t + ϕ )
Dal sistem
ma di equaziooni differennziali si ottieene:
[− Ω 2 M
+ j Ω C + K ]{ x 0 } e
j (Ω t +ϕ )
= { f 0 }e
jΩ t
Ed eliminaando la dipeendenza dal tempo si haa:
[− Ω 2 M
+ jΩ C + K ]{ x 0 } e
jϕ
= { f0}
Dove la matrice vienee detta matrrice di ricetttanza del siistema ad N gradi di liibertà ed è simmetrica.
s
.
In particolare, l’elemeento generico aij(Ω) deella matricee è una funzzione che rrappresenta l’ampiezzaa
n
i-esim
mo quando il sistema è sottoposto ad
a una unica forzante di
d ampiezzaa
della oscilllazione del nodo
unitaria (pper ogni freequenza Ω)) agente suul nodo j-essimo. Se sii suppone, per semplicità, che ill
sistema abbbia 3 gradi di libertà sii ottiene:
Se si imponne una forzante unitariia al solo noodo 2, il sisttema può esssere riscrittto come:
a
si definisconoo le matricci Y(Ω) ed
d A(Ω) i cui
c elementti generici di posto ijj
In modo analogo
rappresentaano l’ampieezza della velocità
v
e dell'accelera
d
azione del nodo
n
i-esim
mo quando il
i sistema è
sottoposto ad un’unicaa forzante d’ampiezza
d
unitaria ageente sul noddo j-esimo.
7.8 - Analisi Modale
M
Una particolarità dei sistemi
s
a “nn” gradi di libertà
l
è qu
uella di poteer sfruttare ggli autovalo
ori calcolatii
per assum
mere un parrticolare sisstema di riiferimento n-dimensioonale graziee alla particolarità dii
ortogonalittà dei mopddi di vibraree. In particollare, con rifferimento add un sistemaa vibrante ad
a “n” gradii
di libertà applicato
a
all caso di unn modello preventivam
mente discrretizzato seccondo la teecnica deglii
elementi fiiniti si ha il seguente siistema algebbrico differeenziale del secondo
s
orddine:
Consideriaamo ora il reelativo sisteema non smorzato:
Di questo è possibile calcolare gli autovalori ed i rispettivi autovettori con un semplice problema
matematico, del tipo
Dove i λn sono gli autovettori, e gli
sono gli autovettori del sistema, nella forma di vettori
colonna. Con questa formulazione si calcolano gli autovalori con:
e successivamente gli autovettori associati a ogni autovalore:
E' così possibile utilizzate gli autovettori, che sono i modi propri del sistema approssimati, per la
diagonalizzazione del sistema, che, se anche la matrice di smorzamento è diagonalizzabile, porta a
scrivere il sistema in coordinate modali come un sistema di equazioni tra loro indipendenti, e che
quindi risulta molto più vantaggioso da calcolare rispetto al sistema matriciale classico. Effettuando
il cambio di coordinate si ha quindi:
Si può osservare che questo cambio di coordinate è leggittimo perchè gli autovettori sono tra loro
indipendenti, in virtù dell'ortogonalità. La nuova variabile consente di scrivere il problema nella
forma:
Premoltiplicando ora l'equazione per la matrice trasposta degli autovettori:
si ottiene un sistema a matrici diagonali, assumendo che lo anche la matrice di smorzamento sia
tale, il che è vero solo per smorzamento piccolo e frequenze naturali del sistema lontane tra loro. Il
problema si può quindi scrivere nella forma:
Che risulta un nuovo sistema dove però le equazioni differenziali sono indipendenti tra di loro
proprio in virtù della diagonalizzazione delle matrici che ne ha consentito il disaccoppiamento. Il
nuovo sistema si presenta quindi come una serie di equazioni differenziali singole ed indipendenti
tra di loro nella forma
dove le
e
sono dette rispettivamente massa modale e rigidezza modale. Divido l'equazione
per la massa modale associata:
È possibile ritrovare la pulsazione naturale non smorzata
lo smorzamento critico
Ed il coefficiente di smorzamento modale
E si può scrivere l'equazione in coordinate modali in forma canonica:
Trasformando l’equazione secondo Laplace:
È quindi possibile definire la funzione di trasferimento per gli spostamenti modali
A questo punto, una volta aver ottenuto il vettore deglòi spostamenti modali
È possibile passare alla forma vettoriale secondo il sistema di riferimento consueto sfruttando
semplicemente, ancora una volta, la matrice modale costriuta a partire dagli autovettori trovati
Il vantaggio di tale approccio è ovviamente notevole: il fatto di poter risolvere equazioni
disaccoppiate rende la procedura di calcolo molto meno gravosa e consente quindi di risolvere in
tempi accettabili anche sistemii costituiti da dimensioni matriciale di notevoli dimensioni.
È quindi possibile notare che partendo dall’equazione matriciale utilizzata nei sistemi vibranti nella
meccanica delle Vibrazioni, è possibile indagare dal punto di vista dinamico una struttura o un
componente qualsiasi modellato ad elementi finiti, semplicemente immaginando che il sistema di
nodi realizzato sia nient’altro che un sistema vibrante, al cui interno si hanno tutte le caratteristiche
relative a masse, rigidezze, e smorzamenti, tipiche dei sistemi meccanici. Eventuali forzanti saranno
rappresentate ovviamente da singole forze agenti sui singoli nodi.
Grazie a questa metodologia di scrittura delle equazioni del moto è possibile indagare il
comportamento dinamico di componenti e di strutture utilizzando un approccio ad elementi finiti,
molto conveniente soprattutto per la possibilità di indagare in modo approfondito il comportamento
dinamico di elementi e strutture complesse, impossibili da analizzare con metodi matematici. In
particolare, gli aspetti principali che possono essere indagati con simulazioni FEM dinamiche sono:
•
•
•
Analisi modale per la determinazione delle frequenze proprie e dei modi di vibrare
Analisi del transitorio
Determinazione della Funzione di trasferimento della strutture.
Queste risultano fondamentali per verificare se il componente si dimostra adatto all’applicazione
per il quale è progettato: se infatti per esempio una frequenza propria risultra troppo prossima a una
frequenza caratteristica di una delle forzanti esterne, il problema può essere particolarmente
importante in quanto le oscillazioni che il componente subisce possono aumentare notevolmente
fino ad arrivare alla rottura o, comunque, a possibili anomalie nel funzionamento.
Nelle esercitazioni seguenti realizzate con il software Marc saranno considerati singolarmene i
possibili casi di studio per quanto riguarda l’analisi dinamica applicata a modelli FEM.
7.9 - NVH: Noise, vibration, and harshness
Noise, vibration, and harshness (NVH), anche noto con il nome di noise and vibration (N&V), è lo
studio e le successive modifiche volte a limitare o eliminare I fenomeni di disturb acustico e
vibrazionale nei veicoli. Ora, se da una parte le vibrazioni ed il “noise” possono essere facilmente
misurati utilizzando strumenti oggettivi, l’aspetto “harshness” del problema è invece una questione
più soggettiva misurata attraverso le sensazioni dell’occupante oppure mediante strumenti di
simulazione analitici che permettono di percepire ed interpretare quello che l’occupante potrebbe
percepire a livello di comfort.
Naturalmente questo complica nolto l’analisi e la simulazione in quanto spesso le misurazioni
oggettive sbagliano la predizione o la giusta correlazione con quello che l’individuo umano può
realmente percepire dall’interno della vettura. Questo è parzialmente dato dal fatto che il corpo
unamo possiede delle frequenze proprie come se fosse un qualsiasi sistema meccanico, ma le
variabili in gioco sono molto più complesse ed elaborate per cui non è detto che la stessa vibrazione
possa essere percepita in egual modo dal software di simulazione e dalla persona realte. E per di
più, la stessa vibrazione può essere percepita in maniera differente anche tra due persone reali:
questo rende quindi il problema molto più vasto, e per questo motivo le simulazioni al calcolatore
devono ancora essere integrate con prove reali per poter verificare i risultati e avere ogni volta
settaggi sempre più raffinati da utilizzare nei software.
7.9.1 - Fonti di NVH
In un veicolo, le fonti dall quali possono provenire le vibrazioni che possiono creare disturbo
all’occupante sono molteplici, tra le quali si ha il motore, lo sterzo, il contatto suolo-pneumatici, i
freni, e il vento. Altre fonti comuli sono le vibrazioni provenienti da rotori quali per esempio le
ventole di raffreddamento dei radiatori o degli ausiliari del motore.
Nella maggior parte dei casi il problema è quello per cui le vibrazioni si trasmettono attraverso la
struttura del veicolo e si esprimono poi nell’abitacolo sotto forma di rumore. Queste fenomenologie
vengono in genere classificate come "structure-borne" noise.
In altri casi si tratta du vibrazioni acustiche trasmesse attraverso l’ambiente, per cui il mezzo in cui
la vibrazione viaggia non è più la struttura del veicolo ma l’aria che lo circonda, ed in questo caso si
parla di “airborne paths”.
Per le prime si può intervenire modellando i singoli componenti in maniera accurata in modo da
evitare per esempio che la frequenza della vibrazione di disturbo cada in una frequenza propria del
componente, con l’effetto di aplificare il disturbo invece che di ridurlo. Inoltre si può intervenire
utilizzando materiali isolanto o elementi di smorzamento tra i singoli componenti. In alcuni casi
però le vibrazioni sono talmente evidenti (anche in seguito all’amplificazione data dalle frequenze
proprie) che è necessario intervenire modificando la geometria del pezzo o, comunque, la sua
struttura.
7.9.2 - Verifica Sperimentale
In molti casi la verifica NVH viene operata mediante delle campagne di sperimentaione che
prevedono la lettura delle informazioni relative alle vibrazioni grazie a particolari strumenti di
misura. In genere si utilizzano a tal scopo microfoni, acceleromteri, dinamometri, talvolta in
ambienti studiati specuficatamente come le camere anecoiche. Tutte le informazioni trasmesse dai
sensori vengono acquisite mediante schede di acquisizione con strumenti informatici, ed i dati
vengono poi trattati con un approccio basato sull’analisi in frequenza, andando cioè a trattare i dati
con strumenti numerici quali la Fast Fourier Transform che permette di passare dal dominio del
tempo a dquello delle frequenze, allo scopo di visualizzare quali sono i campi di frequenza
predominanti, in corrispondenza dei quali si avranno le situazioni più critiche.
7.9.3 - Computer-based modeling
Negli ultimi anni, grazie alla crescente potenza disponibile dei calcolatori e quindi la crescente
capacità di condurre simulazioni complesse, all’analisi sperimentale si sta affiancando l’analisi
computerizzata basata su modelli ad elementi finiti in grado di valutare la risposta del veicolo a
particolare forzanti definite grazie a particolari spettri in frequenza. Il vantaggio in questo caso è
principalmente dato dal fatto per cui le simulazioni possono esse condotte ancora in fase progettuale
senza che si necessiti di un modello reali finito, per cui eventuali modifiche e successive verifiche
risultano essere molto più veloci e soprattutto molto più economiche.
Attualmente, gli standard tipici per le verifiche NVH su veicoli commerciali prevede anzitutto che
la frequenza di risonanza del telaio del veicolo sia maggiore di 30-40 Hz.
Successivamente a questa vengono verioficate poi tutta una serie di componenti entrando di volta in
volta sempre più nei particolari. Vengono quindi indagate le frequenze sottomodali di pannelli e di
sottoelementi, e vengono condotte anche simulazioni per verificare il livello acustico nell’abitacolo
che sarà percepito dagli occupanti.
L’obiettivo è naturalmente quello di evitare che possibili risonanze o sovrapposizioni di vibrazioni
possano creare situazioni negative per il comfort, sia dal punto di vista di vibrazioni strutturali, sia
dal punto di vista del rumore che queste potrebbero generare.
7.10 - Esercita
E
azioni condotte
c
e sulle analisi
a
d
dinamic
che
7.10.1 - Ricercca dellee pulsazzoni pro
oprie e dei
d mod
di di vib
brare
Il primo caaso che vieene trattato in una sim
mulazione Feem per quaanto riguardda l’analisi dinamica è
quello relaativo al moddello di un’’asta alla cuui sommità è presente una massa concentratta. Il caso è
ben rappreesentato ancche dalle funnzioni analitiche. In paarticolare, è possibile ossservare chee in seguitoo
alla rigidezzza data dalll’asta e dalla massa poosta sulla su
ua sommità,, la strutturaa può esseree soggetta a
fenomeni di
d oscillazioone vibrazioonale che portano ad avere
a
soluziooni in cui l’asta stessa non risultaa
essere perffettamente verticale.
v
In particolaare per quessto caso, coomunque, daata la simmeetria della struttura
s
posssiamo aspeettarci che a
fronte di una
u oscillazione con una data ampiezza
a
su
ul piano xzz alla pulsaazione ωi, vi sia unaa
oscillazionne sul piano yz alla pulssazione ωj, e che si possa avere chhe i due valori di pulsaazione sianoo
uguali tra loro. Il risuultato è quelllo di una sovrapposiz
s
ione delle due
d oscillazzioni in un movimentoo
molto più complesso, che confeerisce una traiettoria
t
ellittica
e
allaa massa conncentrata, ma
m che puòò
comunque essere scoomposto, grrazie al priincipio di sovrapposiz
s
zione degli effetti, neei due motii
vibrazionali elementarri dati da
Realizziam
mo quindi il
i modello al Marc uttilizzando elementi
e
3D
D di tipo ““Thin Wallled Sectionn
Beam”, ovvvero elemennto ti tipo trrave a parette sottile. Im
mpostiamo anche
a
•
•
Ragggio medio = 20mm
Speessore di Paarete = 2mm
m
Il caricameento esternoo è dato daai vincoli suull’asta. In particolaree si prevedee un incastrro alla basee
dell’asta, e quindi sul nodo inferiiore, in graddo di broccaare tutti e seei i gradi dii libertà. Qu
uesto risultaa
sufficiente per poter evitare
e
i motti rigidi del sistema e quindi
q
la posssibile labiliità.
Il materialle utilizzatoo risulta esssere Acciaioo (E=21000
00 Mpa, Pooisson = 0,333). In partiicolare, perr
questa sim
mulazione è importante
i
anche aggiuungere alle proprietà del
d materialee le caratterristiche datee
dalla densiità, in quantto nelle equuazioni risollventi comp
pare anche l’inerzia, e qquindi il sofftware devee
essere in grado
g
di coomprendere come questa si svilu
uppa. È quindi necessaario settare anche talee
valore parii a 7,8E-09.
Per quantoo riguarda la
l condizionne della maassa concen
ntrata sull’eestremità suuperiore, inffine, questaa
viene postta come conndizione inniziale. In particolar
p
modo,
m
è posssibile definnire una condizione all
contorno meccanica
m
sul modello del tipo “point mass” alla quale occorre
o
defi
finire sempliicemente lee
caratteristiche relativee alla massaa e ai momeenti di inerzzia. In quessto modo il software è in grado dii
saper comee il punto materiale
m
si comporta inn seguito allle sollecitazzioni dinam
miche che su
ubisce, ed è
in grado dii comunicarre al modelllo gli effetti conseguen
nti alla preseenza delle soollecitazion
ni inerziali.
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Il modelloo è quindi pronto peer effettuaree la simulaazione dinaamica. Ripportiamo un
n’immaginee
riassuntivaa dei passaggi finora fattti.
In effetti fiin qui non vi
v è differennza tra una simulazionee di tipo staatico e quellla dinamicaa che invecee
vogliamo eseguire.
e
Lee differenzee si hanno nell’impostazione del Loadcase,
L
chhe in questo
o caso non è
più del tipoo “meccanico – staticoo” ma divennta “meccan
nico – dynam
mic modal””. Tale featu
ure di Marcc
è proprio quella
q
dediicata all’anaalisi modalee delle stru
utture, ovveero all’analiisi del com
mportamentoo
che il moddello ha rispetto al camppo delle frequenze. I riisultati perm
metteranno ddi trovare lee pulsazionii
proprie della strutturaa, ed i relattivi modi di
d vibrare, per
p cui talee funzione rrisulta partiicolarmentee
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importantee al fine di verificare se
s nel camppo di frequeenze entro le
l quali il m
modello dov
vrà lavoraree
una volta esser staro messo in esercizio,
e
cii sia la posssibilità o meno
m
di inccontrare unaa frequenzaa
propria, rispetto alla quale potrrebbe esserrci il perico
olo di risonnanza, e quuindi la po
ossibilità dii
incorrere in potenziiali problem
mi anche se i valo
ori di amppiezza dellee forzanti non sonoo
particolarm
mente elevatti.
Marc perm
mette di imppostare il numero
n
di modi
m
di vib
brare che sii vuole riceevere come output, edd
eventualmeente anche la frequanzza più bassaa dalla qualee si vuole partire. Probblemi di anaalisi modalee
di questo tipo,
t
infatti, potrebberoo essere risoolòti anche semza
s
prevedere un vincolamento
o, ovvero inn
modalità Free-Free,
F
inn quianto i moto rigidii sono interp
pretati com
me oscillaziooni vibrazio
onali a 0Hz,,
per cui si può
p utilizzaare un modeello free-freee purchè sii parta ada frequenze
f
ppiù alte di quella
q
nulla,,
come per esempio
e
1H
Hz. Nel nosttro caso il modello
m
non
n risulta labbile per cui ppossiamo mantenere
m
ill
valore di Default
D
di 0H
Hz.
Per quantoo riguarda il Job, caarichiamo ovviamente
o
il Loadcasse modale che abbiam
mo appenaa
impostato, e le conddizioni iniziiali che rapppresentano
o la massa concentratta posta su
ull’estremitàà
G elementti sono del tipo
t
3D Beaam, realizzaati a partire da elementii del tipo lin
ne2, per cuii
dell’asta. Gli
l’elementoo caratteristiico di Marc è il numeroo 78. La sim
mulazione è ora pronta pper essere laanciata.
I risultati di tale sim
mulazione rappresentaano le freq
quenze propprie del m
modello e la relativaa
configurazzione in corrrispondenzza della paarticolare frrequenza. Inn particolarre, con rifeerimento all
problema matriciale
m
d
dinamico
Queste coonfigurazionni rappressentano le soluzioni lecite del sistema dinnamico nellle quali ill
determinam
mte della matrice
m
carattteriatica A risulta essere nullo. In
I corrisponndenza di tu
utte le altree
frequenze, il determinnante della matrice nonn risulta nullo per cui l’equazionee è verificatta solo se ill
vettore spoostamento presenta
p
com
mponenti coompletamen
nte nulle (soluzioni bannali).
Il softwaree è quindi in
i grado di fornirci il valore dellle frequenzee proprie inn corrispond
denza dellee
quali si ha una configgurazione deeformata, e la configurrazione stessa. Avendoo settato com
me modi unn
numero paari a 40, il sooftware ci fornisce
fo
i priimi 40 mod
di propri. In realtà, per vvia della sim
mmetria dell
modello, è possibile osservare
o
chhe i modi soono tra di lorro accoppiaati in quantoo per ogni frequenza
fr
dii
risonanza si
s possono avere
a
due deeformate asssociate tra loro
l
simmettriche.
In particolaare si ricavaa che le freqquenze propprie si hanno
o a:
Prima flessionale:
f
5,7 Hz
Secondda flessionale: 70,8 Hz
Riportiamoo alcune traa le configurraziuoni piùù significativ
ve.
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Come è poossibile notaare il softwaare forniscee il valore deella frequennza propria e la relativaa deformataa
che altro non
n è che laa configurazione stabillita dal relaativo modo di vibrare. Si osservi ancora unaa
volta che queste
q
non sono
s
le solee soluzioni fornite. La simmetria assiale del problema fa sì, infatti,,
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che la defoormata moddale possa svvilupparsi in
i una qualssiasi direzioone, per cui spesso la simulazione
s
e
fornisce duue deformaate appartennenti in reaaltà allo steesso modo di vibrare,, relative a pulsazionii
proprie viccine tra loroo.
7.10.2 – Analiisi Modale con Eccitazzione
Una seconnda modalittà di simulaazione dinaamica esegu
uibile con la tecnica ddegli elemeenti finiti è
quella che prevede laa verifica deel comportaamento di un
u modello in seguito ad una eccitazione. Inn
pratica, viiene condottta una sim
mulazione che
c rientra nei casi teeorici visti nella cateegoria dellee
“vibrazioni forzate”.
Utilizzandoo lo stesso modello, è possibile quindi
q
prev
vedere una forzante
f
chhe agisce su
ul sistema e
spazzare un
u range di frequenza per
p verificaare il comportamento del
d componnente stesso
o in seguitoo
all’eccitaziione. In questo modo, sarà possibbile verificare eventuaali comportamenti ano
omali, ed inn
caso intervvenire per evvitarli.
mente utilizzato per la riicerca dellee
Per la simuulazione vieene utilizzatto lo stesso modello prrecedentem
pulsazioni proprie e dei modi di vibrare.
v
Abbbiamo quind
di ancora unna volta:
•
•
•
•
•
Astta modellataa con 3D Thhin Walled Section Beaam
Inccastro al noddo di base (B
Boundary condition)
c
Maassa sismicaa al nodo di punta (Initiial Conditio
on)
Maateriale: Accciaio
Forrzante armoonica (1N – 0°) in direzione
d
x sul nodo di punta (Boundaly condition))
nell’immaginee nascosta sootto al vettoore di coloree verde.
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La differenza ancoraa una voltaa sta solo nel
n Loadcaase che in questo caso non è più del tipoo
“Dynamic Modal” ma
m risulta essere
e
del tipo
t
“Dynam
mic Harmoonic”. Occoorre quindi definire ill
range di frrequenze chhe si vuole indagare,
i
e nel nostro caso
c
imposttiamo una ssimulazione da 1 a 1000
Hz con 10000 campionnamenti.
Questi setttaggi vengono applicati ovviamennte sulla “forrzante”, chee è stata preecedentemente definitaa
come una Boundary Condition
C
d da una “Point Loa
data
ad Harmon
nic BC” chee agisce in direzione x
sul nodo dii punta, deffinita da un modulo
m
parri a 1000N e una fase pari
p a 0°
Tutti gli altri settaggi non vengonno modificaati per cui laa simulazionne è pronta pper essere lanciata.
pionata chee
I risultati ci forniscoono la defoormata assuunta dal modello per ogni frequuenza camp
rappresentaa lo stato in cui l’assta si dispone. Risultta molto comodo a qquesto pun
nto valutaree
l’andamentto di una grrandezza carratteristica e significatiiva quale puuò essere loo spostamen
nto del nodoo
su cui agisce la forzannte, ovvero sul
s nodo di punta.
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Riportiamoo in dettagllio il seconddo picco, riicordando che
c il camppionamento in questo caso
c
è statoo
fissato a 0..1Hz per avere possibillità di notaree questo detttaglio:
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La curva reealizzata ci permette dii valutare coome l’asta si
s comportaa in funzione della freq
quenza dellaa
forzante, e le cose maggiormentte evidenti sono i due punti in cuui si ha un valore di sp
postamentoo
molto magggiore, che rappresentaano nient’alltro che le frequenze
f
p
proprie.
In pparticolare, si noti chee
tali valori di frequeenze ricalcaano i valoori trovati precedenteemente parii a 5,7Hz e 70,8Hxx
corrisponddenti rispettiivamente allla prima e alla
a secondaa frequenza propria flesssionale.
7.10.3 – Freq
quenze propriee, Mod
di di Viibrare, e Risposta in
n
frequen
nza di una
u Traave Incaastrata Orizzoontale
Come visto quindi, con
c la simuulazione Fem
m applicataa all’analisi dinamica è possibile ricavare lee
p
i modi
m
di vibrrare relativi,, ma anche tutto l’andaamento dellaa risposta in
n frequenzaa
frequenze proprie,
su di un paarticolare raange campiionato dellaae stesse. Vogliamo
V
ora applicare il tutto al caso
c
di unaa
trave orizzzontale incaastrata. In particolare,
p
l’obiettivo in questo caso
c
sarebbee quello di ricavare laa
Funzione di
d Trasferim
mento del modello,
m
chhe permette di valutaree il comporrtamento deel sistema a
eccitazionii di tipo arm
monico in termini
t
di ampiezza
a
e di sfasamennto rispettoo alla sorzan
nte esterna,,
confrontannto gli andam
menti ottenuuti con i risuultati dell’aanalisi modaale.
Per realizzzare un eseempio sempplice ma esaustivo con
nsideriamo il caso di una trave incastrata
i
a
sbalzo moddellata con elementi di
d tipo beam
m, con ragg
gio medio pari
p a 20mm
m e spessorre 2mm. Lee
condizioni al contornoo saranno quuindi un inccastro ed un
na forzante in direzionee y, ovviam
mente di tipoo
armonico, e caratterizzzata da un modulo
m
parri a 1N e un
no sfasamennto pari a 0°. L’adozion
ne in questoo
tipo di sim
mulazione di
d moduli unitari
u
della forzante risulta infaatti essere cconvenientee e porta a
risultati piùù intuitivi inn lettura.
s
In definitivva il modelllo risulta il seguente
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Per quantoo riguarda ill Loadcase,, prevediam
mo in questo
o caso due simulazioni
s
i differenti in cui nellaa
“Dynamic Modal” veerifichiamo l’analisi moodale del co
omponente, prevedendoo quindi un
n caso in cuii
i risultati saranno
s
le 25
2 frequenzze proprie e i relativi modi
m
di vibrrare partenddo da una frrequenza dii
1Hz, menttre nella “D
Dynamic Harmonic”
Ha
v
verifichiamo
o la rispostta in frequeenza in segu
uito ad unaa
eccitazionee variabile tra
t un rangee di frequenzze tra 1 e 10
00 Hz.
Dalla simuulazione libeera si ottenggono in usciita le seguen
nti informazzioni:
•
•
Prim
ma Flessionnale: 41Hz
Secconda Flessionale: 257 Hz
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Dalla seconnda simulazzione invecee si ritrovanno le stesse informazionni trovate nnell’analisi modale,
m
ma
in più il software ci foornisce la rissposta dellaa struttura ad
d ogni camppionamentoo di frequenzza, per cui
è possibile valutare coome la stesssa si comporrta in funzio
one di ogni tipo di forzzante.
È quindi poossibile realizzare un History
H
plot prendendo come granddezza lo spoostamento sul
s nodo
caricato, peer verificaree l’andamennto e le evenntuali frequ
uenze di risoonanza.
In particollare, dato che dall’annalisi modaale abbiamo trovato le
l prime ddue frequen
nze propriee
flessionali a 41Hz e 257Hz, preevediamo un
u range dii frequenze tra 1Hx e 300Hz perr verificaree
l’accordo tra
t i due Loaadcases.
p
nootare, grafiicando gli spostamentti si notanno i due picchi di risonanza inn
Come è possibile
corrisponddenza di 411Hz e di 257Hz
2
propprio come si aveva dai
d risultatii del loadcase riferitoo
all’analisi modale.
m
Il vantagggio di questa secondda modalitàà è tuttavia quello per
p cui è possibile indagare
i
ill
comportam
mento della struttura anche
a
a tuttte le frequ
uenze interm
medie, riusccendo quindi a capiree
meglio il comportame
c
ento generalle.
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7.10.4 – Valu
utazionee dell’iimporta
anza dii mesh e mattrice dii
massa
Come ci sii può aspettare, la meshh ricopre unn ruolo impo
ortante in una
u simulaziione ad elem
menti finiti,,
per cui, coome al solito, un moddello aventee una mesh
hatura più fitta
f
potrebbbe fornire risultati
r
piùù
vicini ai valori
v
reali,, mentre piiù la mesh diventa grrezza, più è facile alllontanarsi dagli
d
stessi..
Ovviamentte, un buonn modello peermette di cogliere
c
i riisultati con l’approssim
mazione dessiderata, maa
è inutile apppesantire trroppo il callcolo con unn numero d’’elementi ecccessivo in quanto, unaa volta averr
raggiunto la
l cosiddettaa convergennza di meshh, le variazio
oni sui dati numerici rissultano trasscurabili.
Nella prim
ma parte di
d queste siimulazioni quindi pro
overemo a verificare il tutto neelle analisii
dinamiche prevedendoo uno stessoo caso, svollto però con
n quattro diffferenti moddelli meshatti via via inn
modo proggressivo, peer verificaree se effettivvamente i risultati
r
sono diversi e a quanto ammonta
a
laa
variazione registrata.
Un seconddo aspetto importantte che voggliamo anaalizzare nel caso di analisi diinamiche è
rappresentaato dalla modalità
m
conn la quale il software genera
g
la matrice
m
di m
massa. Com
me intuibile,,
questa risuulta importaante in quannto è la solaa responsabile dei fenoomeni inerzziali, per cuii differenzee
nella sua realizzazionne possonoo portare a differenzee nei risultaati finali. IIn particolaar modo, ill
software ha la possibilità di generrare la matrrice di massa in due moodalità diffeerenti:
•
LU
UMPED MA
ASS (Matriice di Massa concentra
ata) = la massa
m
distribbuita del mo
odello realee
viene “campioonata” sui nodi
n
del moodello mesh
hato, ed in particolaree per ogni elemento
e
laa
massa viene suuddivisa in porzioni chhe sono poi concentratee sui nodi ddell’elementto stesso. Ill
risuultato è unn modello a masse concentratte collegatee tra loro mediante particolarii
caratteristiche di rigidezzze e smorzaamenti. La conseguenzza principalle al fine dei calcoli è
chee effetti inerrziali generaati da una massa
m
non vengono
v
perrcepiti dai nnodi confinaanti, per cuii
ognnuna è indiipendente, e di consegguenza la matrice
m
di massa
m
risulta diagonalee. Questo è
favvorevole al fine
f
dei tem
mpi di calcoolo, ma non
n riesce ovvviamente a ccogliere tuttti gli effettii
reali che ci posssono essere nel modelllo.
•
MA
ATRICE DII MASSA COERENT
TE = la maassa viene distribuita
d
ssull’elemen
nto con unaa
moodalità simille al princippio per il quale
q
gli spostamenti nodali
n
sonoo distribuiti secondo laa
teoria degli eleementi finitii, ovvero uttilizzando ap
pposite funzzioni di form
ma. Il risulttato è che laa
massa di un ellemento nonn è confinatta ai singolii nodi, ma è distribuitaa sull’elemen
nto, per cuii
eveentuali effettti inerziali su
s un nodo sono percep
piti anche dagli
d
altri noodi, che risp
ponderannoo
conn reazioni vincolari. Il
I modello, seppur più pesante al fine dell calcolo numerico,
n
è
ovvviamente piùù coerente alla
a realtà.
Generiamoo quindi il modello
m
sul quale eseguuiremo le simulazioni e verifichereemo quanto
o detto.
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Il modello è costituitoo da quattroo cubi avennti medesim
ma geometria che sono meshati peerò con unaa
raffinatezzza via via crescente.
Il materialee scelto è deel tipo persoonalizzato, e prevede come
c
caratteeristiche priincipali:
• Mo
odulo elasticco: 1000 MP
Pa
• Coe
efficiente di Poissons: 0,3
• Den
nsità: 1e-099
Per quantoo riguarda le boundarry conditioons, prevediiamo ovviaamente unaa serie di vincoli
v
chee
permettanoo di mantennere in posizione le strrutture, e peer far questoo generiamoo una serie di cernieree
sferiche (G
GdL bloccatti: 1,2,3) suii nodi delle facce posteeriori. La geeometria risuultante è la seguente.
v
efffettuare un’analisi moddale per cuii lo stesso dovrà
d
esseree
Per quantoo riguarda il loadcase, vogliamo
definito coome Dynamic Modal paartendo da una
u frequen
nza di 0Hz e scorrendo le prime 25
5 frequenzee
proprie.
Nel job si prevede
p
perr questo prim
mo caso un tipo di mattrice di masssa non lumpped.
La simulazzione è pronnta per esserre lanciata. Nel postpro
ocessing il software
s
ci permette dii valutare lee
frequenze proprie
p
dei singoli com
mponenti e la
l rappresen
ntazione dell relativo moodo di vibraare.
La prima cosa
c
fondam
mentale chee è possibile notare è proprio
p
queella per cui,, come ci si aspettava,,
non esistonno frequenze proprie uguali tra loro nei diifferenti com
mponenti, e questo è proprio daa
imputare alla
a defferennte realizzaazione dellaa mesh per ognuna, chhe porta a vvariazioni nei
n risultatii
finali. Si ha in particolare:
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Primo moodo flessiionale
•
•
•
•
Cubbo 1 (mesh più fitta): 107,7
1
Hz
Cubbo 2: 110,4 Hz
Cubbo 3: 117,4 Hz
Cubbo 4 (mesh meno fitta)): 126,2 Hz
Riportiamoo anche le im
mmagini foornite per oggnuno dei caasi
Quindi la simulazione
s
e conferma quanto dettto, ovvero che
c sulla vaalutazione ddelle frequenze propriee
gioca un ruuolo fondam
mentale la mesh con la
l quale si lavora, propprio come si aveva peer le analisii
meccanichhe di tipo staatico.
Lo stesso vale anche per i succcessivi moddi di vibraree dei componenti, dovve ancora una
u volta sii
registrano variazioni sui
s risultati finali.
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Primo moodo torsioonale
•
•
•
•
Cubbo 1 (mesh più fitta): 146,2
1
Hz
Cubbo 2: 149,9 Hz
Cubbo 3: 159,1 Hz
Cubbo 4 (mesh meno fitta)): 171,0 Hz
Primo moodo comppressivo
•
•
•
•
Cubbo 1 (mesh più fitta): 255,7
2
Hz
Cubbo 2: 259,2 Hz
Cubbo 3: 269,8 Hz
Cubbo 4 (mesh meno fitta)): 284 Hz
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La secondda analisi chhe intendiam
mo condurrre sullo stesso modello prevede ddi valutare se vi sonoo
differenze tra il caso con massa coerente e matrice dii massa conncentrata. Inn particolarre, anche inn
questo casoo ci possiam
mo aspettaree delle diffeerenze sia trra i sungolii cubi, sia trra questi e gli
g analoghii
del caso a massa coeerente in quuanto, variaando la disttribuzione di
d massa deel modello, variano lee
caratteristiche inerzialli, e quindi i valori finaali di frequeenza propriaa.
Per quantoo riguarda laa simulazioone, i settagli rimangon
no praticam
mente i medeesimi a partte il job nell
quale ora occorre
o
attivvare l’opzioone “lumpedd Mass”. Faacciamo girrare la simuulazione e veerifichiamoo
i risultati.
mo modo proprio flessionale troviaamo:
Prendendoo come paraggone il prim
•
•
•
•
1
Hz
Cubbo 1 (mesh più fitta): 107,7
Cubbo 2: 108,2 Hz
Cubbo 3: 108,0 Hz
Cubbo 4 (mesh meno fitta)): 109,2 Hz
Verifichiam
mo quindi quanto
q
prevvisto dalla teoria:
t
oltre a variare tra
t di loro pper via dellaa differentee
meshatura adottata, i valori calccolati delle frequenze proprie vaariano anchee rispetto al
a caso conn
matrice di massa coerrente, facenndo registrarre variazion
ni nei risultaati finali. Quuesto ovviaamente è daa
imputare al
a fatto chee il modelloo fisico sull quale ven
ngono calcoolati frequeenze e mod
di propri dii
vibrare è differente,
d
edd inevitabilm
mente portaa a variazion
ni.
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