Probabilità discreta
Daniele A. Gewurz
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Che probabilità c’è che succeda...?
Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete.
Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che può avere diversi esiti, alcuni dei
quali consideriamo favorevoli e altri sfavorevoli (per esempio un lancio di dado dal
quale vogliamo ottenere un certo punteggio), ed è possibile contare questi esiti,
allora è anche possibile calcolare la probabilità di ottenere un esito favorevole. Il
principio basilare è che la probabilità di ottenere un esito favorevole è uguale al
numero di esiti favorevoli diviso per il numero di esiti possibili. (Ricordiamo che
nel calcolo delle probabilità, la probabilità di un evento è un numero compreso
tra 0 e 1: in prima approssimazione, 0 corrisponde all’“impossibilità” e 1 alla
“certezza”.)
Un esempio semplice è dato dal lancio di un dado a sei facce numerate da 1
a 6. Poniamo di considerare “favorevole” un punteggio di 5 o 6. Allora gli esiti
favorevoli sono due, mentre gli esiti possibili sono sei (tutti i possibili risultati che
può dare il lancio del dado). Quindi la probabilità di un esito favorevole è pari a
2/6, cioè 1/3. Chiaramente qui stiamo assumendo che il dado sia bilanciato, cioè
che ogni risultato sia ugualmente probabile.
Più formalmente, chiamiamo X l’insieme di tutti gli esiti possibili, detto anche
spazio campione. Qualsiasi sottoinsieme Y ⊆ X è detto evento; in quello che
abbiamo detto finora fissiamo la nostra attenzione su un particolare evento, e
consideriamo i suoi elementi come esiti favorevoli. Allora la probabilità P (Y ) che
si realizzi un certo evento (cioè che un dato fenomeno abbia esito favorevole) è
data da:
|Y |
P (Y ) =
.
|X|
Quindi, in questi casi, il problema di calcolare una probabilità si riconduce a
quello di calcolare le cardinalità di due insiemi: quella di tutto lo spazio campione
e quella dell’evento che ci interessa. E la combinatoria ci dà numerosi strumenti
per calcolare le cardinalità di opportuni insiemi.
Esempio: Ottenere k teste su n lanci di moneta. Supponiamo di voler tirare
per quattro volte di seguito una moneta, e di voler ottenere “testa” almeno tre
1
volte. Qual è la probabilità che ciò accada? Descriviamo i risultati di una serie
di lanci con una stringa di 1 e 0, in cui 1 rappresenta “testa” e 0 rappresenta
“croce”. Quindi un serie di lanci in cui si ottenga testa-croce-testa-testa verrebbe
rappresentata con la stringa 1011.
Tutte le possibili serie di quattro lanci (o equivalentemente, tutte le possibili
stringhe di lunghezza 4 composte da due simboli) sono 16 = 24 ; il nostro spazio
campione X ha quindi cardinalità 16. Quante di queste serie di lanci compongono
l’evento che ci interessa, quello delle serie con almeno tre teste? Facendo il conto
“a mano”, si vede che o tutti e quattro i lanci hanno devono dare come risultato
testa, o ci deve essere un’unica croce che può trovarsi in una qualsiasi delle quattro
posizioni: quindi gli eventi favorevoli corrispondono alle cinque stringhe 1111, 0111,
1011, 1101 e 1110. Perciò la probabilità di ottenere il risultato richiesto è pari a
5/16.
Generalizziamo questa situazione. Qual è la probabilità di ottenere almeno, o
esattamente, k “teste” lanciando una moneta n volte?
I possibili esiti di n lanci di una moneta sono 2n : infatti, ci sono due possibilità
per il risultato del primo lancio; ce ne sono di nuovo due per il risultato del secondo,
che è indipendente dal primo, e cosı̀ via. Come detto sopra, stiamo semplicemente
contando le stringhe di lunghezza n, o n-ple, composte da due simboli, per esempio
0 e 1. Quindi lo spazio campione X ha cardinalità 2n .
Ricordiamo che queste n-ple, a loro volta, descrivono ognuna un sottoinsieme dell’insieme {1, 2, . . . , n}: infatti la presenza di un 1 nella i-esima posizione corrisponde
a dire che l’elemento i appartiene al sottoinsieme. Per esempio, per n = 5, la stringa
01001 corrisponde alla presenza del secondo e quinto elemento, cioè al sottoinsieme {2, 5}
dell’insieme {1, 2, 3, 4, 5}.
Consideriamo prima i lanci in cui “testa” compare esattamente k volte. Dobbiamo cioè contare le n-ple contenenti esattamente k cifre 1. Per contarle, dobbiamo
contare tutti i modi in cui possiamo scegliere esattamente k posizioni tra le n
a nostra disposizione.
Per definizione di coefficiente binomiale, queste scelte sono
esattamente nk , che è quindi la cardinalità dell’evento Yk che stiamo considerando.
Di nuovo, le n-ple con esattamente k cifre 1 corrispondono ai sottoinsieme con esat
tamente k elementi. Per esempio, le 52 = 10 stringhe di lunghezza 5 con due cifre
1 corrispondono ai 10 sottoinsiemi di cardinalità 2 di {1, 2, 3, 4, 5}: la stringa 11000
corrisponde a {1, 2}, 10100 corrisponde a {1, 3} e cosı̀ via.
Quindi la probabilità diottenere esattamente k risultati “testa” su n lanci
è pari a |Yk |/|X|, cioè a nk /2n . E se ci interessa sapere qual è la probabilità
di ottenere almeno k teste, basterà considerare come nuovo evento l’unione degli
eventi Yk , Yk+1 , . . . , Yn : chiamiamo Y questo nuovo evento. Osserviamo che Yk ,
Yk+1 , . . . , Yn sono disgiunti tra loro (per esempio, se in una serie di lanci si sono
2
ottenute esattamente 3 teste non se ne sono ottenute anche esattamente 4). Quindi
la cardinalità di Y è uguale alla somma delle cardinalità di Yk , Yk+1, . . . , Yn , cioè:
n
n X
X
n
.
|Y | =
|Yi | =
i
i=k
i=k
In conclusione, la probabilità di ottenere almeno k teste in n lanci è:
Pn n
P (Y ) = i=kn i .
2
Attenzione, se gli eventi che stiamo studiando non sono disgiunti, cioè se hanno
qualche elemento in comune, non è più sufficiente sommare le loro cardinalità: bisogna
invece calcolare la cardinalità della loro unione. Per esempio, se in un lancio di dado
vogliamo ottenere un numero dispari oppure un numero minore di 4, l’evento A che ci
interessa è dato dall’unione di B = {numeri dispari compresi tra 1 e 6} = {1, 3, 5} e di
C = {numeri compresi tra 1 e 6 minori di 4} = {1, 2, 3}. Ora, B ha cardinalità 3, C ha
cardinalità 3, ma A = B ∪C non ha cardinalità 3+3 = 6, bensı̀ 4, perché A = {1, 2, 3, 5}.
Quindi la probabilità di ottenere un risultato favorevole, in questo caso, è pari a 4/6.
Vari problemi analoghi a questo si possono affrontare nello stesso modo. In
particolare, finché consideriamo problemi sugli esiti di lanci di monete e chiediamo
che probabilità ci sia che una serie di n lanci abbia una certa proprietà, la risposta
sarà sempre data da una frazione il cui denominatore sarà 2n e rimarrà solo da
calcolare quante successioni di lanci abbiano la proprietà richiesta.
Per esempio, la probabilità che, su n lanci, in tutti gli ultimi k si ottenga testa
si può ottenere calcolando quante sono le successioni di n cifre 0 e 1 tali che le
ultime k siano uguali a 1. Ovviamente, visto che non abbiamo vincoli sulle prime
n − k cifre mentre le ultime k sono fissate, otteniamo 2n−k possibili successioni.
Dividendo per il solito denominatore 2n , otteniamo una probabilità pari a 2n−k /2n ,
cioè 1/2k .
Esempio: Poker. Nel gioco del poker, si distribuiscono le carte da un mazzo
in modo che ogni giocatore riceva una mano di cinque carte; deve fare in modo,
eventualmente cambiando alcune delle carte in mano, di avere la combinazione di
maggior valore possibile. In una delle varianti del poker (negli esercizi verranno
prese in considerazione altre varianti), si gioca con tutte e 52 le carte di un mazzo
completo di carte francesi (con quattro semi, per ognuno dei quali ci sono 13 carte,
di valore crescente dal 2 al 10, più fante, regina, re e asso).
Il numero di mani possibili per un giocatore, cioè di possibili 5-sottoinsiemi
dell’insieme di
52 carte di tutto il mazzo, è naturalmente uguale al coefficiente
binomiale 52
= 2 598 960. Ora calcoleremo la probabilità di ottenere alcune delle
5
combinazioni del poker che, come negli esempi precedenti, si troverà dividendo il
3
numero di mani che realizzano la combinazione voluta per il numero di tutte le
mani possibili. (In quello che segue considereremo solo la probabilità di ottenere
una data combinazione “servita”, cioè senza considerare la possibilità di cambiare
alcune carte.)
Un poker, inteso come combinazione di carte, è composto da quattro carte
di uguale valore, più una quinta carta qualsiasi. Quanti sono i poker possibili?
Ci sono 13 possibilità per il comune valore di queste quattro carte, e la quinta
carta può essere una qualsiasi delle 48 (= 52 − 4) carte rimanenti. Quindi ci sono
13 · 48 = 624 poker possibili. La probabilità di
ottenere un poker−4servito, giocando
con tutte le 52 carte, è quindi pari a 624/ 52
cioè circa 2,4 · 10 .
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Un full è composto da tre carte di valore uguale e da due carte che abbiano
a loro volta valore uguale (e diverso dal primo!). Per esempio, tre assi e due “7”
costituiscono un full. Per contare i possibili full, possiamo fare cosı̀:
1. consideriamo i 13 possibili valori per la carta ripetuta tre volte e ne scegliamo
uno;
2. fisstao questo valore,
scegliamo i tre semi che compariranno nel full: questo
4
si può fare in 3 , cioè 4, modi possibili;
3. ora rimangono 12 scelte possibili per la carta ripetuta due volte;
4. qualidue carte compariranno, tra le quattro con quel valore, si può scegliere
in 42 = 6 modi.
Complessivamente, ci sono 13 · 4 · 12 · 6 = 3744 possibili full.
Ne segue che la
52
probabilità che una mano scelta a caso sia un full è 3744/ 5 , che è dell’ordine di
grandezza di 1 su 1000.
Una doppia coppia, come suggerisce il nome, è costituita da due carte di un
certo valore, due carte di un altro valore e una quinta carta di una valore diverso dai
primi due. Quindi il numero di possibili doppie coppie si può calcolare facilmente:
dobbiamo scegliere un insieme di due valori tra i tredici possibili, quelli delle due
carte che compaiono due volte; poi per ognuno dei due valori bisogna scegliere i due
semi su quattro; infine si deve scegliere ancora un valore tra gli undici rimanenti
42
e il relativo seme (per la carta spaiata). In tutto ci sono quindi 13
· 2 · 11 · 4
2
doppie coppie, cioè 123 552. (Si verifica quindi che la probabilità che una mano a
caso sia una doppia coppia è dell’ordine di grandezza di 1 su 20.)
Notiamo che se avessimo scelto per primo la carta il cui valore compare una
volta sola, e poi avessimo costruito la doppia coppia considerando solo i 12 valori
rimanenti, avremmo ottenuto ovviamente lo stesso risultato, ma espresso diversa 42
mente: 52 · 12
· 2 . Senza svolgere esplicitamente i calcoli, possiamo concludere
2
4
quindi che
2
2
4
4
12
13
·
,
·
· 44 = 52 ·
2
2
2
2
oppure che
12
13
.
· 11 = 13 ·
2
2
Questo tipo di ragionamento, applicato in casi più generali (cioè dipendenti da
alcune variabili anziché riferiti a un caso specifico con valori fissati), è alla base del
cosiddetto “doppio conteggio”: calcolando in due modi diversi la cardinalità di un
certo insieme otteniamo un’uguaglianza tra due numeri o tra due espressioni.
2
Che probabilità c’è che succeda più volte o
mai...?
Consideriamo il seguente problema relativo ad alcuni lanci di un normale dado a
sei facce. Abbiamo visto prima che la probabilità di ottenere 5 o 6 in un dato
lancio è uguale a 1/3. Qual è la probabilità di ottenere 5 o 6 in ognuno di tre lanci
consecutivi? I possibili esiti di tre lanci, cioè le possibili terne (a, b, c) di numeri
compresi tra 1 e 6, sono 216 (cioè 63 ). Al solito, ora ci basta contare quante di
queste terne sono composte solo di 5 e 6: tali terne sono 8 (per ogni posizione
abbiamo due scelte). La probabilità cercata è quindi 8/216, cioè 1/27.
C’è un altro modo per ricavare la stessa probabilità. Ricordiamo che la probabilità che si verifichino vari eventi tra loro indipendenti (cioè, informalmente,
i cui esiti non si influenzano a vicenda) è data semplicemente dal prodotto delle
probabilità dei singoli eventi. Quindi, visto che la probabilità di ottenere 5 o 6
in un singolo lancio è 1/3, la probabilità di ottenerli in tre lanci consecutivi è
(1/3)3 = 1/27, riottenendo il risultato appena trovato.
E che probabilità abbiamo che in almeno un lancio su tre si ottenga un risultato
di 5 o 6? Stavolta dobbiamo contare le terne (a, b, c) in cui almeno uno dei tre
valori sia pari a 5 o a 6. Il modo più semplice è contare quelle in cui nessuno dei
valori è 5 o 6, e sottrare questo numero da 216, il numero di tutte le terne.
Se nessun valore deve essere 5 o 6, possiamo prendere in considerazione solo
i numeri da 1 a 4, e quindi abbiamo 43 = 64 terne; quindi quelle in cui compare
almeno una volta un 5 o un 6 sono 216 − 64 = 152, e la probabilità di ottenere
una di queste è quindi 152/216 = 19/27, poco più di 0,7.
Come prima, possiamo ottenere questa probabilità complessiva (quella di ottenere almeno un 5 o 6 su tre lanci) a partire dalla probabilità di un singolo lancio;
ma non basta ovviamente prenderne la terza potenza, altrimenti riotterremmo il
risultato di 1/27.
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Ricordiamo che se p è la probabilità che un certo evento si verifichi, dove p è
un numero compreso tra 0 e 1, allora la probabilità che non si verifichi è uguale
a 1 − p. Questa semplice considerazione è utile in circostanze in cui ci interessa
che si verifichi almeno una tra varie circostanze, come qui. La probabilità di non
ottenere mai l’esito cercato (nel nostro caso il risultato di 5 o 6) in k lanci è uguale
a (1 − p)k ; quindi la probabilità di ottenerlo almeno una volta è 1 − (1 − p)k . Nel
nostro caso troviamo 1 − (1 − 1/3)3 = 1 − 8/27 = 19/27, come sopra.
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Esercizi
1. Lanciamo una moneta n volte: ogni volta che otteniamo testa guadagniamo
un punto e ogni volta che otteniamo croce ne perdiamo uno. Qual è la
probabilità di totalizzare 0 punti? Di totalizzarne uno? Di totalizzarne k?
2. Qual è la probabilità di lanciare una moneta n volte e ottenere sempre la
stessa faccia? E di lanciarla 10 volte e ottenere 8 o più volte la stessa faccia?
3. Considerate tutte le possibili combinazioni del poker e calcolate la probabilità
di ottenerle: è vero che il valore stabilito dalle regole del poker è tanto
maggiore quanto minore è la loro probabilità? (Chiaramente, considerando
la possibilità di cambiare alcune carte e i fattori psicologici del gioco, il
valore delle varie combinazioni nella pratica può essere diverso da quello che
suggeriscono le sole probabilità.)
4. Nella variante più diffusa in Europa, anziché con tutte le carte si gioca solo
con quelle da 11 − (numero di giocatori) all’asso (per esempio, in cinque si
usano le carte dal 6 in poi). Come cambiano le probabilità di ottenere le varie
combinazioni? Nel gioco all’americana con 52 carte il full ha valore maggiore
del colore (cinque carte dello stesso seme), al contrario di quello che accade
nel gioco all’europea. Che cosa succede per le rispettive probabilità?
5. Qual è la probabilità di ottenere 7 lanciando due dadi a sei facce e sommando
i risultati? Qual è la probabilità di ottenere k (k = 2, 3, . . . , 12)?
6. Che probabilità c’è che k persone prese a caso compiano gli anni tutte il 1
gennaio? (Si consideri ugualmente probabile nascere qualsiasi giorno dell’anno e si ignori il 29 febbraio.) E che probabilità c’è che k persone compiano
gli anni lo stesso giorno, se non fissiamo a priori questa data?
7. In un gruppo di n persone, qual è la probabilità che almeno due siano nate
lo stesso giorno dell’anno?
Ultimo aggiornamento: 20.4.2008
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