Soluzione La molla si allunga rispetto alla sua lunghezza di riposo

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01 - Nel sistema in figura le due sfere, che assimiliamo a due punti materiali
entrambi di massa m, possono scorrere senza attrito lungo l’asse α e sono vincolate
agli estremi di una molla di costante elastica κ e lunghezza di riposo ℓo . Il sistema
sta ruotando con velocità angolare ω in un piano orizzontale attorno ad un asse
α
passante per il centro di massa e le due sfere percorrono una traiettoria circolare di
raggio R (possiamo pensare, ad esempio, che il sistema è appoggiato su un piano
orizzontale privo di attrito e viene messo in rotazione).
Calcolare R in funzione delle altre quantità definite in precedenza.
Soluzione
La molla si allunga rispetto alla sua lunghezza di riposo in modo da esercitare una forza di richiamo diretta verso il centro della traiettoria,
che deve fornire l’accelerazione centripeta. Per calcolare l’allungamento della molla, scriviamo la legge di Newton lungo la direzione
normale per una delle due sfere:
2
F~N = m~aN = m vR ~uN = mω 2 R~uN
(proprietà del moto curvilineo).
D’altra parte F~N è la forza esercitata dalla molla (la reazione normale del piano e la forza peso si equilibrano fra loro, e comunque hanno
componente nulla lungo la normale), quindi:
κ(2R − ℓo )~uN = mω 2 R~uN
⇒ R = ℓωo2 m
2−
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κ
M, R
O
02 - Nel sistema in figura il disco può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale
passante per il centro e perpendicolare al piano della figura; il blocchetto è sospeso ad
un filo inestensibile e di massa trascurabile avvolto sul disco. I due corpi sono omogenei.
Calcolare le accelerazioni del disco e del blocchetto
m
Soluzione
z uscente
x
Indichiamo con ax la componente x dell’accelerazione del blocchetto e con αz la componente z
dell’accelerazione angolare del disco:
ax = −αz R
T − mg = max
TR = Iαz
I = 12 M R2
Le prime tre equazioni costituiscono un sistema di tre equazioni in tre incognite; risolvendo per ax e
sostituendo l’espressione di I si ottiene:
ax = − m+m1 M g.
2
M, R
O
-T~
-T~
m
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03 - n moli di gas perfetto monoatomico si trovano in equilibrio in un recipiente adiabatico di volume V alla temperatura T1 .
1) calcolare la pressione del gas p1 ;
2) viene fornita al gas la quantità di calore Q, rimanendo il recipiente adiabatico e di volume V . Calcolare pressione e temperatura, p2 e
T2 nel nuovo stato di equilibrio;
3) la parete orizzontale superiore del recipiente viene sostituita da un pistone di massa m e superficie S, anch’esso adiabatico, che può
scorrere lentamente e senza attrito. Scrivere la condizione su m per la quale il gas si espande e calcolare pressione, volume e temperatura,
p3 , V3 e T3 , nel nuovo stato di equilibrio. Trascurare la pressione atmosferica.
Soluzione
1
1) Dall’equazione di stato dei gas perfetti:
p1 = nRT
V .
2) Per la definizione di calore specifico a volume costante :
Q = ncv (T2 − T1 ) ; cv = 23 R , da cui ricaviamo T2 e poi (equazione
Q
nRT2
;
p2 = V
di stato) p2 :
T2 = T1 + ncv
3) le forze esercitate sul pistone sono: la forza peso, m~g , diretta verso il basso ; la forza esercitata dal gas sul pistone, di modulo p2 S,
perpendicolare alla superficie e diretta verso l’alto. La condizione perchè esso si muova verso l’alto è dunque data da:
m < p2gS
. Se il pistone si muove lentamente e senza attrito il gas esegue una trasformazione adiabatica reversibile. Nella posizione
di equilibrio i moduli delle due forze devono essere uguali; questa condizione ci permette di ricavare p3 :
p3 = mg
S
ω
e l’equazione della trasformazione adiabatica permette di ricavare V3 : p2 V γ = p3 V3 γ
ed infine, dall’equazione di stato:
T3 =
⇒
V3 = V
p2
p3
γ1
;
γ=
cp
cv
p3 V 3
nR
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