1.3 – Trasferimento del calore

1.3 – Trasferimento del calore
Nei paragrafi precedenti si è parlato spesso di trasferimento di calore fra corpi a
diversa temperatura, senza entrare nel dettaglio di come questo trasferimento possa
avvenire. Il calore si può trasferire da un corpo ad un altro (soltanto se c’è differenza di
temperatura fra i due), in 3 modi possibili:
1) per conduzione nei solidi e nei liquidi
2) per convezione nei liquidi
3) per irraggiamento fra corpi distanti
Conduzione - Lo scambio di calore per conduzione, avviene quando due corpi,
generalmente solidi a diversa temperatura, sono in contatto fra di loro (la conduzione
avviene però anche nei liquidi). Lo stesso fenomeno si verifica anche in uno stesso
corpo quando due parti distinte (anche lontane), sono portate temporaneamente a
temperature diverse.
In entrambi i casi il calore si trasferisce dalla parte calda alla parte meno calda,
fino a che ogni sua parte si trovi alla stessa temperatura, ovvero in equilibrio termico:
figg.1.3.1).
Fig.1.3.1) a)- Nel solido le facce di area S si trovano al tempo τ=0 alle due diverse temperature t1 e t2 .
b) – Il calore fluisce attraverso il solido riscaldando le parti fredde.
c) – L’equilibrio, ad un temperatura intermedia tf , viene raggiunto dopo il tempo τ..
Se si prende un solido a forma di parallelepipedo di sezione S e lunghezza l con
due facce opposte a due temperature inizialmente diverse t2 > t1 come in fig.1.3.1)a, il
calore comincerà a fluire attraverso la sbarra dalla faccia a temperatura maggiore alla
faccia a temperatura minore: fig.1.3.1)b.
Una volta raggiunto l’equilibrio termico, tutto il solido si troverà alla stessa
temperatura finale tf intermedia fra le due iniziali: fig.1.3.1)c.
La trasmissione del calore in un solido prende il nome di conduzione e dipende in
modo diretto o inverso da una serie di parametri fisici e geometrici. L’evidenza
sperimentale, confermata dalla teoria, dimostra che il calore trasmesso ∆Q:
● è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura fra le due facce ∆t
● è direttamente proporzionale alla superficie di conduzione S
● è inversamente proporzionale alla distanza fra le due facce l
● è direttamente proporzionale all’intervallo di tempo trascorso ∆τ.
∆Q dipende inoltre in modo determinante dalla natura fisica della sostanza che
forma il corpo, tramite il cosiddetto coefficiente di conduzione k.
La conduzione del calore nei solidi è governata da una matematica molto
complessa ed una espressione finale semplice si può ottenere solo per alcune condizioni
iniziali.
Supponiamo di avere una sorgente di calore che possa mantenere inalterata la sua
temperatura t2 ed un’altra sorgente di calore simile, ad una temperatura t1 < t2 anch’essa
costante. Sorgenti di calore di questo tipo vengono chiamate termostati. Sono dei
termostati i corpi molto grandi con una capacità termica molto elevata.
Fig.1.3.2)–La sorgente più calda (rossa)
fornisce
calore
mantenendo
costante la sua temperatura t2 . La
sorgente più fredda (blu) assorbe
calore mantenendo costante la
sua temperatura t1 < t2 .
Se si collegano le due sorgenti descritte, tramite una sbarra conduttrice di calore di
sezione S, lunghezza l e coefficiente di conduzione k, il calore fluirà attraverso la sbarra
dalla sorgente a temperatura più elevata a quella a temperatura più bassa: fig. 1.3.2).
Poiché le temperature t1 e t2 non variano nel tempo, il trasferimento del calore in
queste condizioni avviene in regime cosiddetto stazionario.
Si dimostra teoricamente (ma non è possibile farlo in questa sede perché la
dimostrazione richiede una matematica non ancora acquisita in questa fase del corso di
studi), che il calore totale trasferito nell’intervallo ∆τ è dato dalla relazione:
∆Q = k ⋅
S
(t 2 − t1 ) ⋅ ∆τ
l
1.3.1)
dalla quale per il calore trasferito per unità di tempo ∆τ si ha:
∆Q
S
= k ⋅ (t 2 − t1 ) = cos tan te
∆τ
l
Operando, nella 1.3.2), la sostituzione
temperature, si ottiene:
∆Q
=I
∆τ
1.3.2)
ed esplicitando rispetto alle
t 2 − t1 = I ⋅ R
1.3.3)a
avendo posto:
R=
1 l
⋅
k S
1.3.3)b
Le 1.3.3), come si vedrà in un Quaderno successivo, sono formalmente identiche
alla 1° ed alla 2° legge di Ohm per le correnti elettriche. Per questo motivo il termine I
nella 1.3.3)a si chiama corrente termica ed il fattore R della 1.3.3)b resistenza termica
del materiale.
Il coefficiente di conduzione k, specifico della sostanza di cui è costituita la
sbarra, rappresenta la quantità di calore ∆Q che viene trasferita in 1 s, quando esiste una
differenza di temperatura ∆t =1°C fra due superfici di 1 m2 con una lunghezza della
sbarra pari a 1 m.
I coefficienti k variano moltissimo da sostanza a sostanza e vanno dai bassi valori
delle sostanze definite isolanti o coibenti, agli alti valori delle sostanze che sono ottimi
conduttori di calore. In Tab. III sono riportati i valori di k di alcune comuni sostanze (i
valori sono dati per un intervallo di tempo di 1h).
Tab. III – Conduzione del calore nei solidi. L’argento è il
miglior conduttore in natura. La lana ed il
polistirolo espanso sono ottimi isolanti
(coibenti).
Convezione - Se si riscalda un liquido nella parte bassa del recipiente che lo
contiene, le parti di liquido direttamente a contatto con la sorgente di calore si
riscaldano per conduzione e quindi si dilatano diminuendo di densità.
Per spinta di Archimede, queste parti saliranno portandosi verso gli strati superiori
che, rimasti più freddi, scenderanno verso il basso verso la sorgente di calore. Qui essi si
riscalderanno a loro volta risalendo in superficie.
Si stabiliscono in questo modo delle correnti convettive che portano
continuamente liquido freddo a contatto con la sorgente di calore posta in basso.
La matematica che descrive il fenomeno è piuttosto complessa, anche perché se
gli scambi di calore sono elevati, le correnti convettive diventano molto rapide,
generando nel liquido un regime turbolento di difficile descrizione.
Ovviamente, la convezione si realizza nei liquidi solo quando il liquido è in un
campo di forze, come per esempio il campo gravitazionale e la sorgente di calore si
trova in basso rispetto alla direzione delle forze del campo.
In assenza di queste condizioni il calore anche nei liquidi si trasmette solo per
conduzione.
Irraggiamento - L’esperienza comune offre numerosi esempi di corpi caldi in
grado di riscaldare oggetti circostanti senza aver bisogno di nessun mezzo interposto: le
lampade ad incandescenza, i termosifoni, o più semplicemente, la cenere spenta da poco
tempo in un camino.
Fa parte dello stesso tipo di fenomeno, il riscaldamento della Terra ad opera del
Sole che si trova a milioni di km di distanza, con interposto lo Spazio interplanetario
virtualmente privo di materia.
Questo riscaldamento avviene ad opera di una radiazione (identificata poi come
radiazione elettromagnetica), emessa nello spazio circostante in misura maggiore o
minore da tutti i corpi, che si propaga alla velocità della luce.
Così come viene emessa, questa radiazione è anche assorbita dai corpi e sia
l’emissione che l’assorbimento dipendono dalla natura dei corpi, dalle loro superfici e
dalle rispettive temperature ed ubbidiscono alla stessa legge.
Poiché questa radiazione produce un aumento di temperatura nei corpi investiti, si
può parlare di quantità di calore irradiata o assorbita dal corpo riscaldato per unità di
tempo.
Questa grandezza, già definita nella espressione 1.3.2), è governata da una
relazione trovata sperimentalmente da Joseph Stefan, poi confermata teoricamente da
Ludwig Boltzmann:
∆Q
= I = η ⋅σ ⋅ S ⋅ T 4
∆τ
( con T = t + 273,15 )
1.3.4)
dove S è la superficie radiante del corpo. Il termine T, uguale alla temperatura t espressa
in °C sommata al termine 273,15 si chiama temperatura assoluta ed il suo significato
sarà chiarito durante lo sviluppo della teoria cinetica dei gas.
La costante σ si chiama costante di Stefan ed è una costante universale, cioè
indipendente dal corpo e valida in qualsiasi punto dell’Universo ed in qualsiasi tempo.
La costante η invece, è un termine che dipende dalla natura della superficie del
corpo che irradia e può assumere un valore compreso fra 0 e 1.
Un valore di η prossimo a 0 è tipico delle superfici chiare, meglio se bianche
lucide e riflettenti e significa che il corpo assorbe pochissimo la radiazione che lo
investe rinviandone la maggior parte di nuovo nello spazio circostante.
Un valore di η prossimo a 1 invece è tipico delle superfici scure, meglio se nere e
significa che il corpo assorbe moltissimo la radiazione che lo investe.
Un corpo teorico che abbia η = 1 viene chiamato corpo nero, esso presenta la
proprietà di assorbire tutta la radiazione che lo colpisce proveniente dallo spazio
circostante e di emettere tutta la radiazione che è in grado di produrre in funzione della
sua temperatura.
Una buona approssimazione di corpo nero, è il foro d’ingresso di una cavità: figg.
1.3.3), in quanto tutta la radiazione che entra nella cavità, si riflette ripetutamente nelle
pareti interne riscaldandola, con pochissima probabilità di riuscire verso l’esterno.
Un corpo qualsiasi ed in particolare un corpo nero, che si trovi alla temperatura T,
emette una radiazione nell’ambiente in cui si trova, producendo calore in accordo con la
1.3.4).
Se l’ambiente si trova a sua volta alla temperatura T0, anch’esso emette radiazioni
in accordo con la 1.3.2), producendo calore nel corpo.
Fig.1.3.3) a) – La luce che entra in una cavità con un foro d’ingresso piccolo, subisce innumerevoli
riflessioni e viene assorbita senza più uscire.
b) – Il foro d’ingresso della cavità visto di fronte appare come un corpo nero ideale.
Il bilancio totale di questo scambio è:
(
∆Q ∆Q0
−
= η ⋅ σ ⋅ S ⋅ T 4 − η ⋅ σ ⋅ S ⋅ T04 = η ⋅ σ ⋅ S T 4 − T04
∆τ ∆τ
)
1.3.5)
Se questo bilancio risulta positivo ( T >T0 ), il corpo emette più radiazione di
quella che riceve e si raffredda, se negativo ( T >T0 ), il corpo emette meno radiazione
di quella che riceve e si riscalda. Tutto questo fino all’equilibrio termico fra il corpo e
l’ambiente.
Lo studio della radiazione di corpo nero è stato un mezzo potentissimo per lo
sviluppo e la comprensione di una branca della fisica che si è rivelata fondamentale per
lo studio della struttura intima della materia: la meccanica quantistica.
Gli elementi che hanno portato a questi risultati saranno descritti in successivi
Quaderni.
Tenendo presente le modalità del trasferimento del calore fra i corpi e l’ambiente,
James Dewar alla fine del 1800 realizzò un contenitore che, pur non annullando
completamente i trasferimenti di calore, li rese trascurabili.
Il contenitore realizzato da Dewar, detto anche vaso di Dewar o più
semplicemente dewar, è formato da due pareti di materiale altamente isolante (vetro
pirex), che sono in contatto soltanto nella parte superiore: figg.1.3.4).
La superficie interna delle pareti è rivestita di uno strato di argento o di alluminio
altamente riflettenti, per minimizzare il trasferimento di calore per irraggiamento.
Nella intercapedine fra le due pareti viene fatto il vuoto estraendo l’aria, per
minimizzare il trasferimento del calore per convezione.
Il calore di un qualsiasi corpo interno, per trasferirsi alla parete esterna e quindi
all’ambiente, deve attraversare, per conduzione, un lungo percorso, attraverso la parete
interna di vetro (materiale altamente coibente), della bocca del vaso.
Fig.1.3.4) a) – Schematizzazione di un vaso di Dewar con le doppie pareti in vetro pirex.
b) – Un dewar di laboratorio della capacità di 0,75 l.
Un dewar, poiché è isolato termicamente, riesce a mantenere la temperatura al suo
interno quasi costante anche per giorni.
Il dewar è stata un invenzione fondamentale per lo sviluppo della fisica dello stato
freddo (criogenia). Prima di questa invenzione, non era possibile mantenere in ambienti
normali, le bassissime temperature di alcuni gas liquefatti come l’azoto o l’ossigeno se
non per pochi minuti, impedendo quindi lo studio delle loro proprietà in quelle
condizioni particolari. Un gas liquefatto a bassissima temperatura racchiuso in un dewar
invece, torna allo stato gassoso molto lentamente ed una parte di esso può restare
liquida anche per giorni.
I vasi di Dewar hanno avuto grande diffusione commerciale con il nome di
thermos.