Anno accademico 2016-’17 Corso di Germana Scepi Lezione: 3 Argomento: Statistica [email protected] La media geometrica Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica Lezione 3 – La media geometrica G,Scepi ( La media geometrica ) ( f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M ) In alcune situazioni, la relazione che esiste tra i termini di una distribuzione non è di tipo additivo ma di tipo moltiplicativo; Immatricolati CLEA Frequentanti il I anno 1000 Tassi di “sopravvivenza”: Iscritti in regola al II anno 7 10 Iscritti in regola al III anno 518 710 0,710 ; 1.000 Laureati in regola 256 518 0,730 ; 710 256 0,494 ; 518 64 64 0,250 256 In questo caso, la somma di due tassi darebbe come risultato una quantità indefinita. 710 518 50.410 51.800 1,44 1.000 710 71.000 Tra i dati non esiste una relazione di tipo additivo Il prodotto di due tassi produce, invece, ancora un tasso. 710 518 518 0,518 1.000 710 1.000 Tasso di sopravvivenza biennale Tra i dati esiste una relazione di tipo moltiplicativo 2 Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica Lezione 3 – La media geometrica G,Scepi ( La media geometrica ) ( f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M ) In alcune situazioni, la relazione che esiste tra i termini di una distribuzione non è di tipo additivo ma di tipo moltiplicativo; Relazione di moltiplicatività Criterio del Chisini n x i 1 i ( ) f x1, x 2 ,… , x n = x 1 × x 2 ×… × x n xi (x 1 i 1 ) ( × x 2 ×… ×… x n = m × m ×… × m n n x1 × x 2 ×… × x n = mn i 1 ) m = n x1 × x 2 ×… × xn La Media geometrica di n termini è data dalla radice n-esima del prodotto dei termini. ( ) ( log Mg 1 = log x1 + log x 2 + … + log x n n ) 1 n log xi n i 1 Il logaritmo della Media geometrica è dato dalla media aritmetica dei logaritmi delle osservazioni. 3 Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica Lezione 3 – La media geometrica G,Scepi ( La media geometrica ) ( f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M ) In alcune situazioni, la relazione che esiste tra i termini di una distribuzione non è di tipo additivo ma di tipo moltiplicativo; Immatricolati CLEA Frequentanti il I anno 1000 Tassi di “sopravvivenza”: Iscritti in regola al II anno 7 10 Iscritti in regola al III anno 518 710 0,710 ; 1.000 518 0,730 ; 710 Laureati in regola 256 256 0,494 ; 518 64 64 0,250 256 Tasso medio di sopravvivenza: Mg 4 0,710 0,730 0,494 0,250 4 0,064 0,503 Prova: 1.000´ 0,503´ 0,503´ 0,503´ 0,503 = 64 4 Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica Lezione 3 – La media geometrica G,Scepi ( La media geometrica ) ( f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M ) Esempio (classico) Si consideri un capitale iniziale unitario depositato in banca, e che rimane depositato per n anni a tassi di interesse i1, i2, …, in, non necessariamente uguali. Capitale iniziale: Montante alla fine del primo anno: 1 Capitale all’inizio del secondo anno: Montante alla fine del secondo anno: 1+i1 (1+i1) + (1+i1) ×i2 = (1+i1) (1+i2) : Montante alla fine del’n-esimo anno: (1+i1) (1+i2) … (1+in) Domanda: 1+i1 Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo n anni, lo stesso montante? 5 Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica Lezione 3 – La media geometrica G,Scepi La media geometrica Domanda: i1 = 0,07 ( ) ( f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo n anni, lo stesso montante? i2 = 0,06 i3 = 0,07 i4 = 0,04 i5 = 0,05 Al termine dei 5 anni, il montante sarà: 1 0,07 1 0,06 1 0,7 1 0,04 1 0,05 1,325 Calcoliamo il tasso di interesse medio: I g 5 0,07 0,06 0,07 0,04 0,05 5 0,000000588 0,0567 Prova: 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 1,317 5 6 ) Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica Lezione 3 – La media geometrica G,Scepi La media geometrica Domanda: i1 = 0,07 ( ) ( f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo n anni, lo stesso montante? i2 = 0,06 i3 = 0,07 i4 = 0,04 i5 = 0,05 Al termine dei 5 anni, il montante sarà: 1 0,07 1 0,06 1 0,7 1 0,04 1 0,05 1,325 Calcoliamo il tasso di interesse medio: I g 5 0,07 0,06 0,07 0,04 0,05 5 0,000000588 0,0567 Prova: 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 =1,317 5 1,317 ¹ 1,325 7 ) Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica Lezione 3 – La media geometrica G,Scepi La media geometrica Domanda: i1 = 0,07 ( ) ( f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo n anni, lo stesso montante? i2 = 0,06 i3 = 0,07 i4 = 0,04 i5 = 0,05 Al termine dei 5 anni, il montante sarà: 1 0,07 1 0,06 1 0,7 1 0,04 1 0,05 1,325 Calcoliamo il tasso di interesse medio: I g 5 0,07 0,06 0,07 0,04 0,05 5 0,000000588 0,0567 Prova: 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 1 0,0567 1,317 1,325 5 Il tasso di interesse così individuato non rappresenta, dunque, il tasso di interesse medio. 8 ) Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica Lezione 3 – La media geometrica G,Scepi ( La media geometrica Domanda: i1 = 0,07 ) ( f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo n anni, lo stesso montante? i2 = 0,06 i3 = 0,07 i4 = 0,04 i5 = 0,05 (1+i1) ·(1+i2) ·(1+i3) ·(1+i4) ·(1+i5) = (1+i)·(1+i) ·(1+i) ·(1+i) ·(1+i) x1 x2 x3 x4 x5 = M M M M M (1+i1) (1+i2) (1+i3) (1+i4) (1+i5) = (1+i)5 (1+i) = 5 1 i1 1 i2 1 i3 1 i4 1 i5 = 5 1,07 1,06 1,07 1,04 1,05 (1+i) = 1,0579 Prova: => 5 1,3252 1, 0579 i = 0,0579 (1+0,0579)5 = 1,325 9 ) Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica Lezione 3 – La media geometrica G,Scepi ( La media geometrica Domanda: i1 = 0,07 ) ( f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo n anni, lo stesso montante? i2 = 0,06 i3 = 0,07 i4 = 0,04 i5 = 0,05 (1+i1) (1+i2) (1+i3) (1+i4) (1+i5) = (1+i)5 (1+i) = 5 1 i1 1 i2 1 i3 1 i4 1 i5 Con i logaritmi: 1 log 1, 07 log 1, 06 log 1, 07 log 1, 04 log 1, 05 5 1 0, 02938 0, 02530 0, 02938 0, 01703 0, 02119 5 1 log 1 i 0,12228 0, 024456 5 log 1 i 1 i 100,024456 1, 0579 => i=0,0579 10 )