L03 La media geometrica

Anno accademico 2016-’17
Corso di
Germana Scepi
Lezione:
3
Argomento:
Statistica
[email protected]
La media geometrica
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica
Lezione 3 – La media geometrica
G,Scepi
(
La media geometrica
) (
f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M
)
In alcune situazioni, la relazione che esiste tra i termini di una distribuzione
non è di tipo additivo ma di tipo moltiplicativo;
Immatricolati
CLEA
Frequentanti il
I anno
1000
Tassi
di “sopravvivenza”:
Iscritti in regola al
II anno
7 10
Iscritti in regola al
III anno
518
710
 0,710 ;
1.000
Laureati
in regola
256
518
 0,730 ;
710
256
 0,494 ;
518
64
64
 0,250
256
In questo caso, la somma di due tassi darebbe come risultato una quantità indefinita.
710 518 50.410  51.800


 1,44
1.000 710
71.000
Tra i dati non esiste una relazione di tipo
additivo
Il prodotto di due tassi produce, invece, ancora un tasso.
710 518
518


 0,518
1.000 710 1.000
Tasso di
sopravvivenza
biennale
Tra i dati esiste una relazione di tipo
moltiplicativo
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Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica
Lezione 3 – La media geometrica
G,Scepi
(
La media geometrica
) (
f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M
)
In alcune situazioni, la relazione che esiste tra i termini di una distribuzione
non è di tipo additivo ma di tipo moltiplicativo;
Relazione di
moltiplicatività
Criterio del Chisini
n
x
i 1
i

(
)
f x1, x 2 ,… , x n = x 1 × x 2 ×… × x n   xi
(x
1
i 1
) (
× x 2 ×… ×… x n = m × m ×… × m
n
 
n
x1 × x 2 ×… × x n =
mn

i 1
)
m = n x1 × x 2 ×…
× xn
La Media geometrica di n termini è data dalla radice n-esima del prodotto dei termini.
( ) (
log Mg
1
= log x1 + log x 2 + … + log x n
n
)
1 n
  log xi
n i 1
Il logaritmo della Media geometrica è dato dalla media aritmetica dei logaritmi delle osservazioni.
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Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica
Lezione 3 – La media geometrica
G,Scepi
(
La media geometrica
) (
f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M
)
In alcune situazioni, la relazione che esiste tra i termini di una distribuzione
non è di tipo additivo ma di tipo moltiplicativo;
Immatricolati
CLEA
Frequentanti il
I anno
1000
Tassi
di “sopravvivenza”:
Iscritti in regola al
II anno
7 10
Iscritti in regola al
III anno
518
710
 0,710 ;
1.000
518
 0,730 ;
710
Laureati
in regola
256
256
 0,494 ;
518
64
64
 0,250
256
Tasso medio di sopravvivenza:
Mg  4 0,710  0,730  0,494  0,250  4 0,064  0,503
Prova: 1.000´ 0,503´ 0,503´ 0,503´ 0,503 = 64
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Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica
Lezione 3 – La media geometrica
G,Scepi
(
La media geometrica
) (
f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M
)
Esempio (classico)
Si consideri un capitale iniziale unitario depositato in banca, e che rimane
depositato per n anni a tassi di interesse i1, i2, …, in, non necessariamente uguali.
Capitale iniziale:
Montante alla fine del primo anno:
1
Capitale all’inizio del secondo anno:
Montante alla fine del secondo anno:
1+i1
(1+i1) + (1+i1) ×i2 = (1+i1) (1+i2)
:
Montante alla fine del’n-esimo anno:
(1+i1) (1+i2) … (1+in)
Domanda:
1+i1
Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo
n anni, lo stesso montante?
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Lezione 3 – La media geometrica
G,Scepi
La media geometrica
Domanda:
i1 = 0,07
(
) (
f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M
Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo
n anni, lo stesso montante?
i2 = 0,06
i3 = 0,07
i4 = 0,04
i5 = 0,05
Al termine dei 5 anni, il montante sarà:
1  0,07   1  0,06   1  0,7   1  0,04   1  0,05   1,325
Calcoliamo il tasso di interesse medio:
I g  5 0,07  0,06  0,07  0,04  0,05
 5 0,000000588  0,0567
Prova:  1  0,0567   1  0,0567   1  0,0567   1  0,0567   1  0,0567 
 1  0,0567   1,317
5
6
)
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica
Lezione 3 – La media geometrica
G,Scepi
La media geometrica
Domanda:
i1 = 0,07
(
) (
f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M
Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo
n anni, lo stesso montante?
i2 = 0,06
i3 = 0,07
i4 = 0,04
i5 = 0,05
Al termine dei 5 anni, il montante sarà:
1  0,07   1  0,06   1  0,7   1  0,04   1  0,05   1,325
Calcoliamo il tasso di interesse medio:
I g  5 0,07  0,06  0,07  0,04  0,05
 5 0,000000588  0,0567
Prova:  1  0,0567   1  0,0567   1  0,0567   1  0,0567   1  0,0567 
 1  0,0567  
=1,317
5
1,317 ¹ 1,325
7
)
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Lezione 3 – La media geometrica
G,Scepi
La media geometrica
Domanda:
i1 = 0,07
(
) (
f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M
Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo
n anni, lo stesso montante?
i2 = 0,06
i3 = 0,07
i4 = 0,04
i5 = 0,05
Al termine dei 5 anni, il montante sarà:
1  0,07   1  0,06   1  0,7   1  0,04   1  0,05   1,325
Calcoliamo il tasso di interesse medio:
I g  5 0,07  0,06  0,07  0,04  0,05
 5 0,000000588  0,0567
Prova:  1  0,0567   1  0,0567   1  0,0567   1  0,0567   1  0,0567 
 1  0,0567   1,317  1,325
5
Il tasso di interesse così individuato non rappresenta, dunque, il tasso di interesse medio.
8
)
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Lezione 3 – La media geometrica
G,Scepi
(
La media geometrica
Domanda:
i1 = 0,07
) (
f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M
Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo
n anni, lo stesso montante?
i2 = 0,06
i3 = 0,07
i4 = 0,04
i5 = 0,05
(1+i1) ·(1+i2) ·(1+i3) ·(1+i4) ·(1+i5) = (1+i)·(1+i) ·(1+i) ·(1+i) ·(1+i)
x1
x2
x3
x4
x5
=
M
M
M
M
M
(1+i1) (1+i2) (1+i3) (1+i4) (1+i5) = (1+i)5
(1+i) =
5
1  i1   1  i2   1  i3   1  i4   1  i5 
=
5
1,07  1,06  1,07  1,04  1,05 
(1+i) = 1,0579
Prova:
=>
5
1,3252
 1, 0579
i = 0,0579
(1+0,0579)5 = 1,325
9
)
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17,, Corso di Statistica
Lezione 3 – La media geometrica
G,Scepi
(
La media geometrica
Domanda:
i1 = 0,07
) (
f x1, x 2 ,… , x n = f M,M,… ,M
Qual è quel tasso di interesse fisso i che avrebbe prodotto, dopo
n anni, lo stesso montante?
i2 = 0,06
i3 = 0,07
i4 = 0,04
i5 = 0,05
(1+i1) (1+i2) (1+i3) (1+i4) (1+i5) = (1+i)5
(1+i) =
5
1  i1   1  i2   1  i3   1  i4   1  i5 
Con i logaritmi:
1
log 1, 07   log 1, 06   log 1, 07   log 1, 04   log 1, 05 
5
1
  0, 02938  0, 02530  0, 02938  0, 01703  0, 02119 
5
1
log 1  i    0,12228  0, 024456
5
log 1  i  
1  i  100,024456  1, 0579
=>
i=0,0579
10
)