Diapositiva 1 - Docenti.unina

Anno accademico 2016-’17
Corso di
Statistica
Germana Scepi
Lezione:
5
Argomento:
www.docenti.unina.it/germana.scepi
La Concentrazione
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione
 La concentrazione studia come un carattere quantitativo e trasferibile si
distribuisce tra le unità che lo possiedono;
 Si ha concentrazione minima quando l ’ ammontare complessivo della
variabile è ripartito in ugual misura tra tutte le unità che, quindi, detengono un
ammontare pari alla media aritmetica;
 Si ha concentrazione massima quando l’ammontare complessivo della
variabile è detenuto da un’unica unità statistica (che ha, quindi, n volte la
media aritmetica) mentre le rimanenti (n-1) unità hanno nulla;
 Un indice di concentrazione misura la concentrazione nei casi reali, in
rapporto a questi due casi limite.
2
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione: il diagramma di Lorenz
Esempio: il Reddito
Le osservazioni vanno ordinate in
senso non decrescente:
qi
x1 £ x2 £ … £ xn
pi 
1
qn1
i
n
Frazione cumulata dei
primi i redditieri
Retta di
equiripartizione
i
qi 
x
j
x
j
j 1
n
j 1
q2
Equiripartizione:
q1
p1
p2
…
pn1 1
Frazione cumulata del
reddito posseduto dai
primi i redditieri
pi  qi
i
pi
3
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione: il diagramma di Lorenz
Esempio: il Reddito
Le osservazioni vanno ordinate in
senso non decrescente:
qi
x1 £ x2 £ … £ xn
pi 
1
qn1
i
n
Frazione cumulata dei
primi i redditieri
Retta di
equiripartizione
i
qi 
Spezzata di
massima concentrazione
q2
q1
p1
p2
…
pn1 1
pi
x
j
x
j
j 1
n
j 1
Frazione cumulata del
reddito posseduto dai
primi i redditieri
Equiripartizione:
pi  qi
i
Massima
concentrazione:
q1 = q2 = … = qn-1 = 0
4
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione: il diagramma di Lorenz
Esempio: il Reddito
Le osservazioni vanno ordinate in
senso non decrescente:
qi
pi 
1
qn1
x1 £ x2 £ … £ xn
Area di
concentrazione
i
n
i
qi 
x
j
x
j
j 1
n
j 1
q2
q1
p1
p2
…
Frazione cumulata dei
primi i redditieri
pn1 1
pi
Frazione cumulata del
reddito posseduto dai
primi i redditieri
Equiripartizione:
pi  qi
i
Massima
concentrazione:
q1 = q2 = … = qn-1 = 0
Situazioni reali:
q1 £ q2 £ … £ qn-1 £ 15
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione: gli indici
Esempio: il Reddito
x1 £ x2 £ … £ xn
Le osservazioni vanno ordinate in
senso non decrescente:
qi
Il rapporto di concentrazione
del Gini (rapporto tra segmenti)
1
qn1
Area di
concentrazione
n 1
R
 p
i 1
i
 qi 
n 1
p
i 1
i
q2
q1
p1
p2
…
pn1 1
pi
6
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione: gli indici
Esempio: il Reddito
x1 £ x2 £ … £ xn
Le osservazioni vanno ordinate in
senso non decrescente:
qi
Il rapporto di concentrazione
del Gini (rapporto tra segmenti)
1
qn1
Area di
concentrazione
n 1
R
 p
i 1
i
n 1
p
i 1
pi - qi
q2
q1
p1
p2
…
pn1 1
pi
 qi 
i
Rappresenta la differenza tra il valore della q in caso di
equiripartizione (uguale al corrispondente valore di p) e il
valore q osservato. E’, dunque, una misura assoluta di
quanto ci si “allontana” dalla situazione teorica di
equiripartizione.
pi - qi
pi
E’ una misura normalizzata della misura precedente,
in quanto ottenuta rapportando la stessa al suo massimo
valore possibile.
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Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione: gli indici
Esempio: il Reddito
x1 £ x2 £ … £ xn
Le osservazioni vanno ordinate in
senso non decrescente:
qi
Il rapporto di concentrazione
del Gini (rapporto tra segmenti)
1
qn1
n-1
Area di
concentrazione
R=
å( p - q )
i
i=1
i
n-1
åp
i=1
Indice
normalizzato
i
0£ R£1
q2
q1
p1
p2
…
pn1 1
pi
8
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione: gli indici
Esempio: il Reddito
x1 £ x2 £ … £ xn
Le osservazioni vanno ordinate in
senso non decrescente:
qi
Il rapporto di concentrazione
del Gini (rapporto tra segmenti)
1
qn1
n-1
Area di
concentrazione
R=
å( p - q )
i
i=1
i
n-1
åp
i=1
i
Formula alternativa
q2
q1
p1
p2
…
pn1 1
pi
2 n-1
R=1qi
å
n - 1 i=1
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Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
La concentrazione
Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica, 2004
TV
Introiti
pubblicitari
(in milioni di euro)
Rete 1
Rete 2
Rete 3
Rete 4
Rete 5
Rete 6
Rete 7
Rete 8
Rete 9
G. Scepi
n 1
R
 p  q 
i
i 1
i
n 1
p
i 1
i
2 n1
1
qi

n  1 i 1
Individuiamo le pi e le qi
1.889
1.857
1.524
697
1.994
1.798
1.320
461
339
11.879
10
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
La concentrazione
n 1
R
 p  q 
Introiti
pubblicitari
(in milioni di euro)
Rete 9
Rete 8
Rete 4
Rete 7
Rete 3
Rete 6
Rete 2
Rete 1
Rete 5
339
461
697
1.320
1.524
1.798
1.857
1.889
1.994
11.879
i
i 1
Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica, 2004
TV
G. Scepi
i
n 1
p
i 1
i
2 n1
1
qi

n  1 i 1
Individuiamo le pi e le qi
Dati ordinati
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Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
n 1
La concentrazione
R
Introiti
pubblicitari
 p  q 
i
i 1
pi
qi
p
339
461
697
1.320
1.524
1.798
1.857
1.889
1.994
11.879
i
2 n1
1
qi

n  1 i 1
pi-qi
(in milioni di euro)
Rete 9
Rete 8
Rete 4
Rete 7
Rete 3
Rete 6
Rete 2
Rete 1
Rete 5
i
n 1
i 1
Modificato da Borra, Di Ciaccio, Statistica, 2004
TV
G. Scepi
0,11
0,22
0,33
0,44
0,56
0,67
0,78
0,89
0,0285
0,0673
0,1260
0,2371
0,3654
0,5168
0,6731
0,8321
0,0826
0,1549
0,2073
0,2073
0,1901
0,1499
0,1047
0,0567
4,00
2,8465
1,1535
n 1
1 R
 p  q 
i
i 1
n 1
p
i 1
2
i
i

1,1535
4,00
 0,288
2 n1
R 1
qi

n  1 i1
2
 1   2,8465
8
 1  0,7116  0,288
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Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La variabilità reciproca
TV
Rete 1
Rete 2
Rete 3
Rete 4
Rete 5
Rete 6
Rete 7
Rete 8
Rete 9
TV
Introiti pubblicitari
(in milioni di euro)
1.889
1.857
1.524
697
1.994
1.798
1.320
461
339
11.879
Rete 1
n
  1.319,9


i  j 1
xi  x j
n  n  1
0    2  R 
Rete 2
Rete 3
Rete 4
Rete 5
Rete 6
54.808
 761,22
9 8


2
Rete 7

761,22
 0,289
2.639,8
Rete 8
Rete 9
Rete 1
0
32
365
1.192
-105
91
569
1.428
1.550
Rete 2
-32
0
333
1.160
-137
59
537
1.396
1.518
Rete 3
-365
-333
0
827
-470
-274
204
1.063
1.185
Rete 4
-1.192
-1.160
-827
0
-1.297
-1.101
-623
236
358
Rete 5
105
137
470
1.297
0
196
674
1.533
1.655
Rete 6
-91
-59
274
1.101
-196
0
478
1.337
1.459
Rete 7
-569
-537
-204
623
-674
-478
0
859
981
Rete 8
-1.428
-1.396
-1.063
-236
-1.533
-1.337
-859
0
122
Rete 9
-1.550
-1.518
-1.185
-358
-1.655
-1.459
-981
-122
0
13
54.808
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione per dati raggruppati
Il metodo dei trapezi
1
   AreeTrapezi 
2
Area di concentrazione:
qi
BASE  base   h
Area Trapezio: 
1
2
qn1
q2
q1
p1
p2
…
pn1 1
pi
14
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione per dati raggruppati
Il metodo dei trapezi
1
   AreeTrapezi 
2
Area di concentrazione:
qi
 q  qi    pi 1  pi 
BASE  base   h
Area Trapezio: 
 i 1
1
2
2
n 1

Totale Aree Trapezi:
qn1
 qi 1  qi    pi 1  pi 
i 0
Area concentrazione:
qi 1
Rapporto di
concentrazione:
qi
q2
2
1 n 1  qi 1  qi    pi 1  pi 

2 i 0
2
Area di concentrazione
Area massima
q1
p1
p2
pi
pi 1
pn1 1
pi
Area massima:
pn 1  1 in 1

2
2n
1 (per n grande)
2
15
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione per dati raggruppati
Il metodo dei trapezi
Area concentrazione:
qi
Rapporto di
concentrazione:
1
1 n 1  qi 1  qi    pi 1  pi 

2 i 0
2
Area di concentrazione
Area massima
1 n 1  qi 1  qi    pi 1  pi 

2 i 0
2
R
1
2
qn1
n 1
 1    qi 1  qi    pi 1  pi 
i 0
qi
qi 1
Formula alternativa
q2
q1
p1
p2
pi 1
pi
pn1 1
pi
R=
å(p × q
n-1
i=1
i
i+1
- pi+1 × qi
)
16
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione per dati raggruppati
Esempio:
Concentrazione degli addetti rispetto alle imprese
da Borra, Di Ciaccio, Statistica, 2004
Classe
di addetti
Numero
imprese
0-2
3-9
10-19
20-49
50-99
100-499
500-999
2.043,0
636,0
103,2
43,4
11,8
8,3
0,8
2.847
Numero
addetti
(stimato)
2.043,0
3.816,0
1.496,4
1.497,3
879,1
2.485,9
599,6
12.817
Numero
addetti
pi
qi
pi · qi+1
pi+1· qi
a-b
0,7177
0,9412
0,9774
0,9927
0,9968
0,9997
1,0000
0,2444
0,5002
i
0,6217
0,7369
0,8096
0,9524
1
1,0000
• Quanto vale p ?
0,3590
0,5852
0,7203
0,8037
0,9494
0,9997
0,2300
0,4889
0,6172
0,7346
0,8094
0,9524
0,1290
0,0963
0,1031
0,0691
0,1400
0,0473
• Quanto vale q1 ?
4,4172
3,8324
0,5848
•(reale)
Chi sono le pi ?
2.718,3
2.845,6
1.352,0
1.281,2
808,7
1.588,3
529,4
11.124
• Chi sono le q ?
17
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione per dati raggruppati
Esempio:
Concentrazione degli addetti rispetto alle imprese
da Borra, Di Ciaccio, Statistica, 2004
Classe
di addetti
Numero
imprese
0-2
3-9
10-19
20-49
50-99
100-499
500-999
2.043,0
636,0
103,2
43,4
11,8
8,3
0,8
2.847
Numero
addetti
Numero
addetti
(stimato)
(reale)
2.043,0
3.816,0
1.496,4
1.497,3
879,1
2.485,9
599,6
12.817
2.718,3
2.845,6
1.352,0
1.281,2
808,7
1.588,3
529,4
11.124
pi
0,7177
0,9412
0,9774
0,9927
0,9968
0,9997
1,0000
Per
esempio,
q
p ·q
p ·q
da rilevazioni ISTAT
i
0,2444
0,5002
0,6217
0,7369
0,8096
0,9524
1,0000
i
i+1
i+1
i
a-b
0,3590
0,5852
0,7203
0,8037
0,9494
0,9997
0,2300
0,4889
0,6172
0,7346
0,8094
0,9524
0,1290
0,0963
0,1031
0,0691
0,1400
0,0473
4,4172
3,8324
0,5848
18
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione per dati raggruppati
Esempio:
Concentrazione degli addetti rispetto alle imprese
da Borra, Di Ciaccio, Statistica, 2004
Classe
di addetti
Numero
imprese
0-2
3-9
10-19
20-49
50-99
100-499
500-999
2.043,0
636,0
103,2
43,4
11,8
8,3
0,8
2.847
n-1
(
Numero
addetti
qi
pi · qi+1
pi+1· qi
a-b
0,7177
0,9412
0,9774
0,9927
0,9968
0,9997
1,0000
0,2444
0,5002
0,6217
0,7369
0,8096
0,9524
1,0000
0,3590
0,5852
0,7203
0,8037
0,9494
0,9997
0,2300
0,4889
0,6172
0,7346
0,8094
0,9524
0,1290
0,0963
0,1031
0,0691
0,1400
0,0473
4,4172
3,8324
0,5848
(reale)
2.718,3
2.845,6
1.352,0
1.281,2
808,7
1.588,3
529,4
11.124
R = å pi × qi+1 - pi+1 × qi
i=1
pi
)
19
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a. 2016-’17 Corso di Statistica
Lezione 5 – La Concentrazione
G. Scepi
La concentrazione per dati raggruppati
Esempio:
Concentrazione degli addetti rispetto alle imprese
da Borra, Di Ciaccio, Statistica, 2004
Classe
di addetti
Numero
imprese
0-2
3-9
10-19
20-49
50-99
100-499
500-999
2.043,0
636,0
103,2
43,4
11,8
8,3
0,8
2.847
n-1
(
Numero
addetti
qi
pi · qi+1
pi+1· qi
a-b
0,7177
0,9412
0,9774
0,9927
0,9968
0,9997
1,0000
0,2444
0,5002
0,6217
0,7369
0,8096
0,9524
1,0000
0,3590
0,5852
0,7203
0,8037
0,9494
0,9997
0,2300
0,4889
0,6172
0,7346
0,8094
0,9524
0,1290
0,0963
0,1031
0,0691
0,1400
0,0473
4,4172
3,8324
0,5848
(reale)
2.718,3
2.845,6
1.352,0
1.281,2
808,7
1.588,3
529,4
11.124
R = å pi × qi+1 - pi+1 × qi
i=1
pi
)
 0,5848
20