Le equazioni di secondo Grado

Presentazione di Nicole Orientale
In matematica, un'equazione di secondo grado o quadratica è un'equazione
algebrica ad una sola incognita x che compare con grado pari a 2, e la cui formula
è riconducibile alla forma:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0
dove a, b e c che rappresentano dei numeri reali.
Un’ equazione di secondo grado si dice:
• Completa, quando tutti i coefficienti sono diversi da zero
• Incompleta, quando alcuni coefficienti sono pari a zero
LE EQUAZIONI INCOMPLETE
Un’ equazione incompleta può essere:
• Spuria, se manca il termine noto e presenta la seguente forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
• Pura, se manca il termine di primo grado e presenta la seguente
forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
• Monomia, se b e c sono uguali a zero e presenta la forma:
𝒂𝒙𝟐 = 𝟎
EQUAZIONE SPURIA
Un’ equazione di questo tipo si risolve attraverso la scomposizione:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0
Applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene 𝑥 = 0 oppure 𝑎𝑥 + 𝑏 =
𝑏
−
𝑎
0 da cui 𝑥 =
Pertanto un'equazione di questo tipo ha sempre due soluzioni di cui una nulla.
• Esempio:
𝑥2 − 3𝑥 = 0
𝑥 𝑥−3 =0
𝑥1 = 0
𝑥−3=0
𝑥2 = 3
EQUAZIONE PURA
Un’ equazione di questo tipo si risolve portando c al secondo membro e dividendolo per a. La
soluzione è uguale alla radice quadrata della frazione:
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0
𝑐
2
𝑥 =
𝑎
𝑥1,2 = ±
√𝑐
√𝑎
• Esempio:
3𝑥2 − 12 = 0
3𝑥2 = 12
12
2
𝑥 =
3
𝑥2 = 4
𝑥 = ±√4
𝑥 = ±2
EQUAZIONE MONOMIA
Un’ equazione di questo tipo ammette come soluzione doppia 0
𝑎𝑥2 = 0
𝑥1,2 = 0
• Esempio:
2𝑥2 = 0
𝑥2 = 0
𝑥1,2 = 0
LE EQUAZIONI COMPLETE
Un’equazione pura presenta la seguente forma:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Essa si risolve applicando la seguente formula risolutiva: 𝑥 =
• Esempio:
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
5 ± 25 − 4(6)
𝑥1,2 =
2
5 ± 25 − 24
𝑥1,2 =
2
𝑥1,2 =
5± 1
2
𝑥1 =
5−1
2
𝑥2 =
5+1
2
4
2
= =2
6
2
= =3
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Se b è un numero pari si può applicare la seguente formula risolutiva ridotta: 𝑥 =
• Esempio:
𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0
𝑥1,2 = −1 ± 1 + 3
𝑥1.2 = −1 ± √4
𝑥1 = −1 − 2 = −3
𝑥2 = −1 + 2 = 1
𝑏
𝑏2
− ±
−𝑎𝑐
2
2
𝑎
SOLUZIONI IN UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO
Per risolvere un'equazione completa , è anzitutto necessario calcolare
l’espressione ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐,detta discriminante.
Il discriminante determina il tipo di soluzione dell’equazione:
• Se ∆> 0 l’equazione ammette come soluzioni due numeri reali diversi
(le soluzioni sono reali e distinte)
• Se ∆= 0 l’equazione ammette come soluzioni due numeri reali uguali
(le soluzioni sono reali e coincidenti)
• Se ∆< 0 l’equazione non ammette soluzioni reali