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Approfondimenti di algebra
Equazioni risolvibili per scomposizione
Ogni equazione polinomiale del tipo E(x) = 0 di grado n > 2 si può risolvere solo se il polinomio E(x) è
scomponibile in fattori al più di secondo grado; in tal caso, per trovare le soluzioni, si applica la legge di
annullamento del prodotto.
ESEMPIO
x 3 - 8x = 2x 2 -16
Raccogliamo x al primo membro e 2 al secondo:
Trasportiamo tutti i termini al primo membro:
Raccogliamo (x2 − 8) a fattor comune:
(
(
) (
)
x x2 - 8 = 2 x2 - 8
(
)
(
)
x x2 - 8 - 2 x2 - 8 = 0
) (x - 2) = 0
x2 - 8
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto:
x2 - 8 = 0 Ú x - 2 = 0
continua
1
Approfondimenti di algebra
Risolvendo la prima equazione otteniamo:
Risolvendo la seconda otteniamo:
x =± 8
Equazioni risolvibili per scomposizione
x = ±2 2
x=2
{
}
S = 2, - 2 2, 2 2
L’insieme delle soluzioni è quindi:
2
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Equazioni reciproche
L’equazione E(x) = 0, dove E(x) è un polinomio di grado n, si dice reciproca se i termini equidistanti
dagli estremi hanno coefficienti uguali oppure opposti.
Esempi:
3x 3 -13x 2 +13x - 3 = 0
Coefficienti opposti
2x 3 - 3x 2 - 3x + 2 = 0
Coefficienti uguali
12x 4 - 25x 3 + 25x -12 = 0
Coefficienti opposti
3
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Equazioni reciproche
 Un’equazione reciproca di terzo grado E(x) = 0 ammette:
• la soluzione 1 se i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti opposti:
ax3 + bx2 − bx − a = 0
soluzione 1
• la soluzione −1 se i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti uguali:
soluzione −1
ax3 + bx2 + bx + a = 0
• le altre soluzioni si ottengono scomponendo E(x) in fattori
• Il nome “reciproca” deriva dal fatto che se l’equazione ammette soluzione k,
ammette anche soluzione
1
k
4
Approfondimenti di algebra
Equazioni reciproche
ESEMPIO
3x 3 -13x 2 +13x - 3 = 0
Sappiamo che E(1) = 0; per determinare le altre soluzioni dividiamo il polinomio E(x) per (x − 1) con
la regola di Ruffini e calcoliamo il polinomio quoziente.
3
1
3
−13
13
−3
3
−10
3
−10
3
0
5 ± 25 - 9 5 ± 4
x=
=
=
3
3
Q( x ) = 3x 2 -10x + 3
Dobbiamo risolvere l’equazione
1
3
3
3x 2 -10x + 3 = 0
ì
1ü
L’insieme delle soluzioni è S = í1, 3,
ý
3þ
î
Come puoi notare oltre alla soluzione 1, abbiamo trovato i due valori reciproci 3 e
1
3
5
Approfondimenti di algebra
Equazioni reciproche
 Un’equazione reciproca di quarto grado E(x) = 0, nella quale il termine centrale di secondo grado è
nullo e nella quale i termini equidistanti dagli estremi hanno coefficienti opposti, ammette sia la
soluzione +1 che la soluzione −1.
ax4 + bx3 − bx − a = 0
soluzioni −1 e +1
Le altre soluzioni si determinano calcolando il polinomio quoziente Q(x), ottenuto dividendo E(x) per
x + 1 e per x − 1, e risolvendo poi l’equazione Q(x) = 0.
6
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Equazioni reciproche
ESEMPIO
12x 4 - 25x 3 + 25x -12 = 0
Per la forma assunta dall’equazione, sappiamo che E(1) = 0 ed anche che E(−1) = 0.
Determiniamo il quoziente della divisione di E(x) per (x − 1) e (x + 1):
12
1
12
−1
12
−25
0
25
−12
12
−13
−13
12
−13
−13
12
0
−12
25
−12
−25
12
0
Q( x ) = 12x 2 - 25x +12
continua
7
Approfondimenti di algebra
Risolviamo l’equazione
12x 2 - 25x +12 = 0
25 ± 625 - 576 25 ± 7
x=
=
=
24
24
Dunque
Equazioni reciproche
3
4
4
3
ì
3 4ü
S = í1, -1, , ý
4 3þ
î
Anche in questo caso puoi notare che a S appartengono le soluzioni reciproche
3
4
e
4.
3
8
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Equazioni binomie
Un’equazione si dice binomia se si può scrivere nella forma
xn = k
dove n è un intero positivo e k un numero reale.
Per risolvere un’equazione binomia si applica la definizione di radicale:
 se n è pari l’equazione ammette:
• due soluzioni opposte se k ≥ 0 :
• nessuna soluzione se k < 0
n
x=± k
 se n è dispari l’equazione ammette:
• una sola soluzione per qualsiasi valore di k :
x=
n
k
9
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Equazioni binomie
ESEMPI
1.
x 3 = -27
Se calcoliamo la radice cubica di entrambi i membri otteniamo:
3
2.
x 3 = 3 -27
cioè
x = 3 -27
ossia
x = -3
x 4 = 16
Se calcoliamo la radice quarta di entrambi i membri otteniamo:
4
x 4 = 4 16
cioè
x =2
ossia
x = ±2
10
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Equazioni trinomie
Un’equazione si dice trinomia se si può scrivere nella forma
ax 2n + bx n + c = 0
a¹0
dove n è un intero positivo e gli esponenti dell’incognita sono uno il doppio dell’altro.
Per risolvere l’equazione trinomia ax2n + bxn + c = 0
•
si opera la sostituzione di variabile xn = t
•
si risolve l’equazione di secondo grado in t così ottenuta at2 + bt + c = 0
•
Indicate con t1 e t2 le due soluzioni, se esistono reali, si risolvono le due equazioni binomie
x n = t1 ∨ x n = t2
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Equazioni trinomie
ESEMPIO
Risolviamo l’equazione
2x 4 - x 2 - 3 = 0
Essendo n = 2 l’equazione è biquadratica.
Operando la sostituzione x2 = t otteniamo 2t2 − t − 3 = 0
Risolviamo ora l’equazione ottenuta nell’incognita t:
Operando poi la sostituzione inversa si ha:
Dunque
1± 1+ 24
t=
=
4
3
x =
2
da cui
x 2 = -1
impossibile
2
x =±
3
2
3
2
-1
ì 3
3ü
S=í , - ý
2þ
î 2
12
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Equazioni irrazionali
Si dice irrazionale un’equazione che contiene radicali nei cui argomenti compare l’incognita.
Esempi:
• sono equazioni irrazionali
2x +1 = 3x -1
• non sono equazioni irrazionali
7x = x + 2
e
e
3
x +1= 2x
x 2 + 3 = 2x - 3
Per risolvere un’equazione irrazionale bisogna eliminare i segni di radice e per far questo è necessario
elevare a potenza i due membri dell’equazione.
Ricordiamo che:
Non esiste un principio di equivalenza che afferma che l ’ equazione A(x) = B(x) è equivalente
all’equazione [A(x)]n = [B(x)]n per qualsiasi valore di n.
Si può affermare che:
 un elevamento di entrambi i membri di un’equazione a potenza pari non conduce in generale a
un’equazione equivalente a quella data
 un elevamento di entrambi i membri di un’equazione a potenza dispari conduce sempre a
un’equazione equivalente a quella data.
13
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Equazioni irrazionali
n
Le equazioni irrazionali con un solo radicale possono essere ridotte alla forma:
A( x ) = B( x )
Il caso n dispari
Se n è dispari, basta elevare a potenza n entrambi i membri; il caso più frequente è quello in cui n = 3:
3
ESEMPIO
A( x ) = B( x )
1
x-3 x+2 =0
3
Isoliamo il radicale al primo membro:
Eleviamo al cubo e svolgiamo i calcoli:
Scomponiamo:
A( x ) = [B( x )]
1
x+2= x
3
1 3
x+2=
x
27
3
3
x 3 - 27x - 54 = 0
x = 6 Ú x = -3
14
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Equazioni irrazionali
Il caso n pari
Se n è pari, e il caso più frequente è n = 2, abbiamo a disposizione due metodi risolutivi:
A( x ) = B( x )
Primo metodo
( ) [
• Risolvere
Ax = B
l’equazione
• Procedere alla verifica delle soluzioni
Secondo metodo
( x )]
2
• Risolvere il sistema
ìB( x ) ³ 0
ï
í
2
ïîA( x ) = [B( x )]
15
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ESEMPIO
Equazioni irrazionali
x 2 + 2x - 4 = 3x - 4
Secondo metodo
Primo metodo
• Eleviamo al quadrato:
• Sviluppiamo i calcoli:
• Risolviamo:
x=
5
4
x + 2x - 4 = (3x - 4)
2
8x 2 - 26x + 20 = 0
Ú
x=2
• Verifichiamo sostituendo nell’equazione:
2
• Per la condizione di equivalenza deve
essere
3x - 4 ³ 0
4
x³
3
e questo insieme rappresenta l’insieme
di accettabilità delle soluzioni.
L’equazione polinomiale che si ottiene
elevando al quadrato è la stessa del
primo metodo.
Delle due soluzioni trovate
non è soluzione
è soluzione
5
4
non è
accettabile perché non è maggiore di
La sola soluzione è quindi
x = 2.
16
4
3
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Equazioni irrazionali
Equazioni con due o più radicali
ESEMPIO
x + 2 = 2 - x +1
• Si eleva una prima volta al quadrato:
x + 2 = 4 + x +1- 4 x +1
• Si svolgono i calcoli e si isola il radicale:
4 x +1 = 3
• Si eleva una seconda volta al quadrato:
16( x +1) = 9
• Si trova la soluzione:
• Si verifica:
7
x =16
7
7
- + 2 = 2- - +1
16
16
25
9
= 216
16
5 5
=
4 4
Come metodo alternativo si può determinare l’insieme di esistenza dell’equazione e, ad ogni passaggio
di elevamento a potenza, trovare le condizioni di concordanza di segno.
17
Approfondimenti di algebra
Equazioni irrazionali
Equazioni con i radicali al denominatore
ESEMPIO
6
x +2+ x +4 =
x+4
• Imponiamo le condizioni di esistenza dei radicali:
• Riduciamo l’equazione in forma intera:
• Isoliamo il radicale:
ìx + 2 ³ 0
í
îx + 4 > 0
cioè
x > -2
( x + 2)( x + 4) + x + 4 = 6
( x + 2)( x + 4) = 2 - x
• Le soluzioni saranno accettabili se:
ìx ³ -2
í
î2 - x ³ 0
• Eleviamo al quadrato e risolviamo:
( x + 2)( x + 4) = (2 - x )
-2 £ x £ 2
La soluzione trovata appartiene all’insieme di accettabilità, quindi
2
10x + 4 = 0
ì 2ü
S = í- ý
î 5þ
2
x =5
18
Approfondimenti di algebra
Le disequazioni 3
A(x) > B(x) e
sono equivalenti rispettivamente a
3
Disequazioni irrazionali
A(x) < B(x)
A(x) > [ B(x)] e A(x) < [ B(x)]
3
3
ESEMPIO
3
continua
x - 2 > 2x - 5
Eleviamo al cubo entrambi i membri:
x - 2 > (2x - 5)3
Svolgiamo i calcoli e risolviamo:
8x 3 - 60x 2 +149x -123 < 0
Primo fattore:
x -3 > 0
Secondo fattore:
8x - 36x + 41> 0
2
(x - 3)(8x 2 - 36x + 41) < 0
x>3
18 ± 324 - 328
x=
8
D<0
Sempre positivo
19
Approfondimenti di algebra
Disequazioni irrazionali
ESEMPIO
Tabella dei segni
3
R
−
+
+
+
−
+
Soluzione
x<3
20
Approfondimenti di algebra
La disequazione
Disequazioni irrazionali
A(x) > B(x)
è equivalente ai due sistemi
ì A(x) ³ 0
í
î B(x) < 0
ìï B(x) ³ 0
Ú í
2
ïî A(x) > [ B(x)]
Se E1 è l’insieme delle soluzioni del primo sistema e E2 è l’insieme delle soluzioni del secondo,
l’insieme delle soluzioni della disequazione è
21
Approfondimenti di algebra
Disequazioni irrazionali
ESEMPIO
x 2 - 5 > x -1
Impostiamo i due sistemi:
ìx2 - 5 ³ 0
í
î x -1 < 0
E1 : x £ - 5
ì x -1 ³ 0
í 2
2
î x - 5 > (x -1)
E2 : x > 3
E:x<- 5 Ú x>3
22
Approfondimenti di algebra
La disequazione
Disequazioni irrazionali
A(x) < B(x)
è equivalente al sistema
ì A(x) ³ 0
ï
í B(x) > 0
ï
2
î A(x) < [B(x)]
23
Approfondimenti di algebra
Disequazioni irrazionali
ESEMPIO
x 2 - 3 < x +1
Impostiamo il sistema
ìx2 - 3 ³ 0
ï
í x +1 > 0
ï 2
2
x
3
<
(x
+1)
î
Þ
ìx £ - 3 Ú x ³ 3
ï
í x > -1
ï x > -2
î
E:x³ 3
24
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Sistemi non lineari
Un sistema è non lineare se almeno una delle sue equazioni è di grado superiore al primo. In
particolare:
• in un sistema di secondo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di
secondo;
• in un sistema di terzo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di terzo;
Per risolvere un sistema non lineare si applicano i principi di sostituzione e di riduzione.
 Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad una incognita la sua espressione
ricavata da un’altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
 Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (tutte o
solo alcune) e si sostituisce l’equazione ottenuta ad una di esse, si ottiene un sistema equivalente a
quello dato.
25
Approfondimenti di algebra
Sistemi di due equazioni
Se nel sistema è presente un’equazione di primo grado, conviene ricavare l’espressione di una delle
incognite da tale equazione e sostituire poi nell’altra.
ESEMPIO
ìy - x = -7
í 2
î4x y - 28x + 9 = 5x 2
1° grado
2° grado
Si tratta di un sistema di terzo grado. Ricaviamo una delle incognite dall’equazione di primo grado,
ad esempio la y, e sostituiamo il valore ottenuto nell’altra.
ìïy = x - 7
í 2
ïî4x ( x - 7) - 28x + 9 - 5x 2 = 0
ìïy = x - 7
í
ïî4x 3 - 33x 2 - 28x + 9 = 0
continua
26
Approfondimenti di algebra
Sistemi di due equazioni
Il polinomio di terzo grado al primo membro della seconda equazione può essere scomposto in
fattori mediante la regola di Ruffini, tenendo presente che è P(−1) = 0
4
−1
4
(
Le sue soluzioni sono -1 ,
−33
-28
9
−4
37
−9
−37
9
0
) (x + 1) = 0
4x 2 - 37x + 9
1
, 9.
4
continua
27
Approfondimenti di algebra
Sistemi di due equazioni
Risostituendo i valori trovati nell’espressione di y otteniamo le tre coppie soluzioni del sistema
ì
1
ïx =
ìx = -1
ìx = 9
4
Ú í
Ú í
í
îy = -8
îy = 2
ïy = - 27
î
4
Quindi
ì
ü
æ1
27 ö
S = í(-1, - 8) ; ç , - ÷; (9, 2)ý
4ø
è4
î
þ
28
Approfondimenti di algebra
Sistemi simmetrici
Si dice simmetrico un sistema di due equazioni nelle due incognite x e y che rimane invariato se x si
scambia con y.
Se un sistema simmetrico ammette come soluzione la coppia (a, b), allora ammette anche la coppia
(b, a).
Un sistema simmetrico di secondo grado è sempre riconducibile alla forma
ìx + y = s
í
îxy = p
dove s e p sono numeri reali.
Questo sistema è il modello algebrico di un problema che abbiamo già affrontato nel capitolo relativo
alle equazioni di secondo grado: trovare due numeri x e y conoscendo la loro somma s ed il loro
prodotto p.
29
Approfondimenti di algebra
Sistemi simmetrici
1.
Applicando il metodo di sostituzione
2.
Utilizzando l’equazione di secondo
grado associata
Un sistema simmetrico di questo tipo
si può quindi risolvere:
t 2 - st + p = 0
30
Approfondimenti di algebra
ESEMPIO
Sistemi simmetrici
(metodo 1)
ìx + y = 4
í
îxy = -5
Ricava x dalla
prima equazione
e sostituisci
ìx = 4 - y
í
îy × ( 4 - y ) = -5
Calcola
ìx = 4 - y
í 2
îy - 4y - 5 = 0
L’equazione di secondo grado ha soluzioni −1 e 5
ìx = 5
í
îy = -1
∨
ìx = -1
í
îy = 5
31
Approfondimenti di algebra
ESEMPIO
Sistemi simmetrici
(metodo 2)
ì x + y = -2
í
î xy = -15
Risolvere il sistema significa trovare le coppie di numeri che hanno
somma −2 e prodotto −15.
Impostiamo allora l’equazione ausiliaria
le cui soluzioni sono
t =3
t 2 + 2t -15 = 0
t = -5
∨
Allora le soluzioni del sistema sono le coppie ordinate (x, y) tali che
ìx = 3
í
î y = -5
Ú
ì x = -5
í
îy = 3
cioè
S = {(3, - 5) ; (-5, 3)}
32
Approfondimenti di algebra
Sistemi simmetrici
Se il sistema simmetrico è di grado superiore al secondo ci si deve ricondurre alla forma canonica del
sistema simmetrico di secondo grado.
Per far questo può essere utile ricordare le seguenti uguaglianze:
x + y = ( x + y ) - 2xy
2
2
2
x + y = ( x + y ) - 3x y - 3xy = ( x + y ) - 3xy ( x + y )
3
3
3
2
2
3
33
Approfondimenti di algebra
Sistemi simmetrici
ESEMPIO
ìx 3 + y 3 = -72
í
îx + y = -6
Il sistema è simmetrico di terzo grado. Per risolverlo dobbiamo
usare la seconda delle uguaglianze ricordate e scriverlo in questo
modo:
3
ìï
x + y ) - 3xy ( x + y ) = -72
í(
ïîx + y = -6
Sostituendo −6 al posto di x + y nella prima equazione, otteniamo il sistema
3
ìï
-6 - 3xy (-6) = -72
í( )
ïîx + y = -6
ì-216 + 18xy = -72
í
îx + y = -6
ìx + y = -6
í
îxy = 8
continua
34
Approfondimenti di algebra
Risolviamo l’equazione associata
Sistemi simmetrici
t 2 + 6t + 8 = 0
t = -4
Ú
t = -2
Le soluzioni reali del sistema sono le coppie ordinate (x, y) tali che
ìx = -4
í
îy = -2
cioè
∨
ìx = -2
í
îy = -4
S = {(-4, - 2) ; (-2, - 4)}
35