Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

Assicurazioni vita e mercato del
risparmio gestito
Lezione 18
Stimatori bayesiani e allocazione del
portafoglio
Measurement risk
• Stimatori di Bayes-Stein “ammissibili”
• “Shrinkage estimators” per la riduzione del
rischio di misurazione: portafoglio di
minima varianza e altri.
• Modello di Black e Litterman per
condizionare i ritorni attesi alle “views”
Rischio campionario e
allocazione del portafoglio
• Nell’allocazione del portafoglio standard
assumiamo che la stima del primo e
secondo momento non sia affetta da errore
campionario. Cioè


ˆ


y 
E
U
w
'
r



max
w
dove  è il vettore dei parametri.
Rischio campionario
• In realtà, il problema di allocazione del portafoglio
dovrebbe essere scritto
 

ˆ


y 
E
E
U
w
'
r



max  r
w
e l’investitore dovrebbe tenere in considerazione
non solo la densità dei rendimenti condizionati
delle stime ma anche la densità delle stime stesse
(“predictive density”)
Stimatori di James-Stein
• James e Stein proposero di scegliere stimatori
basati su
– Una funzione di perdita che misura la distanza di
ciascuna stima dal valore vero..
– Una funzione di rischio che calcola il valore medio
della funzione di perdita sui campioni
• Gli stimatori “ammissibili” minimizzano tale
funzione
R    L, ˆ y  f y  dy
Stimatori di James-Stein
• Nel caso in cui
– I risultati sono distribuiti normalmente: r ~ N(,V)
– La funzione di perdita è quadratica
1
ˆ
ˆ
L, y     y ' V   ˆ y 
– James e Stein provarono che lo stimatore ammissibile è
JS = (1 – ) ^ +  rPe
dove rp è uno scalare e e è il vettore unitario
Stimatori di James e Stein
• James e Stein provarono che nel caso precedente


N 2

  min 1,
1
 y  rPe' V y  rPe 
• Quindi, nel caso N > 2, può succedere che la media
del campione non è uno stimatore “ammissibile”.
Correggere la stima con uno “shrinking factor” rP
può ridurre la “risk function”.
Shrinkage estimators
• L’applicazione del metodo James-Stein alla stima
del rendimento atteso è stata proposta da Jorion
(1986).
• L’idea è di pesare il campione dei rendimenti attesi
con qualche “shrinking factor” per ridurre
l’impatto degli “outliers” sulla stima.
• Lo “shrinking factor” può essere stimato dai dati
stessi.
Lo stimatore Jorion Bayes-Stein
• Jorion propose:
– La scelta di rP come il portafoglio di minima varianza
– La scelta di  = /( + T), dove T è il numero delle
osservazioni.
•  è un parametro di precisione compreso tra 0
(“flat prior”) e infinito (tutto il peso sullo
shrinking factor).
•  può anche essere ricavato dai dati (Jorion prova
che ha distribuzione gamma)
Altri “shrinking factor”
• Nell’allocazione del portafoglio diversi
shrinking factor sono stati proposti
– Il rendimento del portafoglio di minima
varianza
– Il rendimento del portafoglio “equally
weighted”
• Sono disponibili altre scelte, che sfruttano
altre fonti di informazione.
Informazione
• In applicazioni in finanza dobbiamo sempre
ricordare che ci sono almeno 3 diverse fonti di
informazioni.
– Informazione storica (time series)
– Informazione implicita (cross section analysis)
– Informazione “In house” (ricerche di mercato, “views”)
• Capire quali di queste fonti contiene la maggiore
informazione, e possibilmente incrociarle è la
questione centrale.
Rappresentazione delle “views”
• Possiamo considerare due tipi di “view”
– View assolute: ei’r + i = qi .
– View relative (ei – ej)’r + j = qj .
dove ei è la i-esima colonna della matrice identità,
qi è la view e i è una variabile casuale con media
zero e varianza che rappresenta il grado di
precisione della view.
• Possiamo raccogliere in forma matriciale ei’ and
(ei – ej) in una matrice P e le view e il loro grado
di precisione in vettori  e q: P’r +  = q
Black e Litterman
~
• Black e Litterman proposero un approccio per
usare queste informazioni in asset management.
• Assumiamo che sia il rendimento che le view
abbiano distribuzione normale congiunta, con
covarianza dei rendimenti V e covarianza delle
“view” 
r 
q 
 
    V
VP'  

N   , 


 P  PV ' PVP'  
Distribuzione condizionale
• La distribuzione condizionale nel caso gaussiano è
anch’essa normale con
– Media:  + VP’[ PVP’ + ]-1(q – P)
– Varianza: V – VP’ [ PVP’ + ]-1PV
• Si noti che il risultato può essere interpretato come
una regressione lineare del vettore dei rendimenti
r sulle “view” q. I coefficienti di regressione sono
infatti cov(r,q)/ var(q) =VP’[ PVP’ + ] -1.
Legame con gli stimatori
“shrinkage”
• Paradosso di James-Stein: per un sistema di
dimensione  3, la media del campione può non
essere la scelta migliore per massimizzare la
capacità previsiva (admissibility).
• Proposte di “shrink” della stima prendendo la
media tra la stima storica e un valore fisso, che
rappresenta una sorta di “ancora” contro gli oulier.
– Media del portafoglio di minima varianza (Jorion)
– Media del portafoglio “equally weighted” (JacquillatRolfo)
– Media delle “views”: Black and Litterman