quanto_2 - ISHTAR

Meccanica Quantistica II
Prof. Mauro Villa
1
Dettaglio del corso - II
• Stati liberi e stati legati
- Eq. di Schroedinger con potenziale
- Casi unidimensionali:
-- Stati stazionari;
-- buca di potenziale infinita
-- buca di potenziale finito
-- Oscillatore armonico
-- barriera di potenziale (step
singolo e doppio)
--effetto tunnel
Esempi: microscopia ad effetto
tunnel, decadimenti beta, fusione
nucleare
• L’atomo di idrogeno
- Problemi in 3 dimensioni
-- Livelli energetici, numeri quantici
• Spin e fisica atomica
– Spin ed elettroni in un campo B
– Spin e statistica
– Interazione spin orbita e doppietti
spettrali
2
Materiale didattico e testi
• Quanto già presentato dal Prof. Massa
• Halliday-Resnik, Meccanica Quantistica, CEA
• Max Born, Fisica Atomica, Boringhieri
• Lucidi ed altro materiale in ISHTAR:
• http://ishtar.df.unibo.it/Uni/bo/ingegneria/all/
/villa/stuff/2005/LS/FisicaModerna.html
Prima parte: Stati legati
•
•
•
•
Equazione di Schrödinger con potenziale
Soluzioni all’eq. di Schrödinger: stati stazionari
Normalizzazione e continuità delle funzioni d’onda
Esempio I: buca di potenziale infinita
•
•
•
•
•
Grandezze fisiche: operatori ed incertezze; osservabili
Esempio II: buca di potenziale finita
Esempio III: Forza elastica / Oscillatore armonico
Sovrapposizione ed evoluzione di stati
Principio di corrispondenza: M. Quantistica M. Classica
4
Equazione di Schrödinger (particella libera)
Eq per la particella libera (1D):

2
2m
 2  x, t 
x
2
i
  x, t 
t
Caratteristiche principali:
eq differenziale lineare su quantità energetiche
Vale il Principio di sovrapposizione:
1 ; 2 soluzioni 
  a1  b 2 soluzione
La soluzione   x, t   Ae
rappresenta un’onda piana. Sostituendo nell
equazione di Schrödinger, si ottiene
i kx  t 
2
k2
 
2m
E  
p2
e quindi, utilizzando
E
   K 
p k 
2m
che rispecchia la proprietà della particella libera
(non soggetta a forze, e quindi senza energia potenziale).
5
Eq. di Schrödinger con potenziale
• In meccanica classica l’equazione energetica di riferimento e’
1 2
p2
E  mv  U ( x) 
 U ( x)
2
2m
• Una naturale estensione dell’equazione di Schrödinger in presenza
di potenziali è quindi:
 2  ( x, t )
 ( x, t )

U
(
x
)

(
x
,
t
)

i
2
2m x
t
2
• Il principio di corrispondenza MC ↔ MQ è così soddisfatto
In MC, il moto di un corpo è determinato sulla base delle equazioni
cardinali della meccanica: eq. sulle forze e sui momenti delle forze. In
MQ, lo stato di un sistema (Ψ) è determinato sulla base dell’equazione di
Schrödinger: trovare la Ψ(x,y) conoscendo la U(x)
6
Soluzioni all’eq. di Schrödinger: stati stazionari (I)
L’eq. di Schrödinger è una eq lineare alle derivate parziali in Ψ(x,t)
che si risolve in diversi passi.
Conseguenze della linearità:
1 ; 2 soluzioni 
  a1  b 2 soluzione
Come trovo una prima soluzione?
Ipotesi. Separazione delle variabili: Ψ(x,t) = ψ(x)φ(t)
2
 2 ( x)
 (t )

 (t )

U
(
x
)

(
x
)

(
t
)

i


(
x
)
2m
x 2
t
 ( x) parte spaziale
 (t ) parte temporale
Infine divido tutto per ψ(x)φ(t):
 2 1  2 ( x)
1  (t )


U
(
x
)

i

 C  costante
2
2m  ( x) x
 (t ) t
C non dipende
da x o da t
7
Stati stazionari: II - parte temporale φ(t)
Iniziamo ad analizzare la parte temporale.
Si tratta di una eq differenziale lineare al primo ordine:
1  (t )
d (t )
C
i
C 
 i  (t )
 (t ) t
dt
La cui soluzione è facile:
Notare il cambio
∂→d
 (t )  Aei (C /  )t
Si tratta della parte temporale dell’equazione delle onde.
Questa soluzione ha una pulsazione data da:
 C/
E   C
E quindi una energia E data da :
La costante C ha le dimensioni dell’energia (verificare!) e rappresenta
l’energia associata ad una determinata funzione d’onda. Nel processo di
separazione delle variabili abbiamo imposto che l’energia del sistema sia
ben definita!
8
Stati stazionari: III – definizione ed energia
Proprietà principale degli stati ad energia E definita:
( x, t )   ( x) (t )   ( x) eiEt /
Notare l’assenza di A
La densità di probabilità non dipende dal tempo:
P( x, t )  * ( x, t )( x, t )  [ * ( x)eiEt / ][ ( x)eiEt / ]   * ( x) ( x)  P( x)
Poiché la probabilità P(x,t) non varia con t, lo stato osservabile del
sistema non varia nel tempo. Tali stati quantistici sono detti
stati stazionari.
Per tali stati l’energia E è nota con precisione. Per il principio di
indeterminazione di Heisenberg, in tali stati il tempo è una quantità non
determinabile:
Et  / 2
9
Stati stazionari: IV – parte spaziale ψ(x)
Riprendiamo l’eq di Schrödinger e sostituiamo la φ(t):
 2 ( x)
 (t )

 (t )
 U ( x) ( x) (t )   ( x)i
 E ( x) (t )
2
2m
x
t
2
Dopo alcuni passaggi si perviene all’equazione di Schrödinger
indipendente dal tempo:
d 2 ( x)

 U ( x) ( x)  E ( x)
2
2m dx
2
Caratteristiche: eq differenziale lineare alle derivate seconde (no
derivate parziali in 1D) senza termini complessi. La ψ(x) può essere
reale (ma ricordate che se ψ(x) è una soluzione allora anche aψ(x)
con a costante complessa lo è!)
10
Normalizzazione delle funzioni d’onda
Che significato fisico diamo all’ampiezza della funzione d’onda?
• Probabilità di trovare la particella in un intervallo di ampiezza dx:
P( x, t )dx   * ( x) ( x)dx
• Certezza di trovare la particella da qualche parte:



* ( x, t ) ( x, t )dx   * ( x) ( x)dx  1
L’eq definisce la costante moltiplicativa della funzione d’onda.
Solitamente si tratta di un numero definito a meno di una fase
Se ψ(x) è soluzione norm. → anche ψ(x) eiθ lo è
 ( x)  eikx
Eccezione: onde piane. O non si fa la normalizzazione
ininfluente.
o si normalizza in un “volume” (lunghezza) arbitrario (V)
P(V)=1 →
 ( x)  eikx / V
11
Continuità della funzione d’onda (I)
• Riscriviamo l’equazione di Schrödinger nella forma:
d 2 ( x) 2m
 2 (U ( x) ( x)  E ( x))
2
dx
• Se U(x) è una funzione continua, ψ''(x) è continua, ψ(x)
è una funzione C2
• In generale, se U(x) è una funzione Cn, allora ψ(x) è
una funzione Cn+2
• Se U(x) presenta un salto finito,
allora la ψ''(x) sarà discontinua, ma la ψ'(x) sarà continua e
così anche la ψ(x)
12
Continuità della funzione d’onda (II)
d 2 ( x) 2m
 2 (U ( x) ( x)  E ( x))
2
dx
• Se U(x) presenta un salto infinito,
allora la ψ''(x) sarà discontinua,
così anche la ψ'(x),
ma la ψ(x) sarà ancora continua.
 
U ( x)  
 u
x0
x0
Regola generale: la ψ(x) è sempre continua
La nostra prima soluzione: ψ(x)=0 per x<0
per
x  0:
d 2 ( x) 2m
 2 (u  E ) ( x)
2
dx
La continuità in x=0 ci impone:
per
  ( x)  Asen(kx)  B cos(kx)
 (0)  0  A sin 0  B cos 0  B  B  0
x  0 :  ( x)  Asen(kx) con k  2m( E  u) /
13
Esempio I: buca di potenziale infinita (I)
Determiniamo la funzione d’onda per un potenziale dato da:
x  0 (I )
 

U ( x)   0
0  x  L ( II )

x  L ( III )

(buca di
potenziale)
d 2 ( x) 2m
 2 (U ( x) ( x)  E ( x))
2
dx
La nostra prima soluzione: ψI(x)=0 per x<0
e ψIII(x)=0 per x>L
La particella non può mai trovarsi a x negative, né a x>L
Soluzione:
d 2 ( x)
2mE
per 0  x  L :


 ( x)
2
2
dx
  II ( x)  Asen(kx)  B cos(kx)
con k 
0
L
x
2mE
2
14
Esempio I: buca di potenziale infinita (II)
 II ( x)  Asen(kx)  B cos(kx)
Nella regione II:
A, B, E(k), incogniti. Richiedo la continuità per x=0:
per
x  0,  I (0)   II (0)  0  B
 II ( x)  Asen(kx)
Richiedo la continuità per x=L:
per
x  L,  II ( L)   III ( L)  A sin kx  0
 A  0 oppure kL   n con n intero
n
k
L
 E
2
2
2
2mL
Normalizzazione:
n
2
Solo certi valori di energia sono permessi;
L’energia è quantizzata

L

0
*
*
*

(
x
)

(
x
)
dx

1


(
x
)

(
x
)
dx

1

A
AL / 2  1
II
II


Posso scegliere A reale:
 II ( x)  sen(kx) 2 / L
15
Esempio I: buca di potenziale infinita (III)
• Soluzione completa all’eq. Indipendente da t:
0

x  0 (I )
 


U ( x)   0
0  x  L ( II )   ( x)  sen(kx) 2 / L


x  L ( III )
0


Dove
n
k  kn 
L

E  En 
2
0  x  L ( II )
x  L ( III )
2
2
2mL
n2
Reintroduciamo il tempo:
n ( x, t )  sen(kn x)eiEnt /
x  0 (I )
2/ L
con n intero >0
Soluzione con
energia En definita
Usiamo il principio di sovrapposizione per trovare la soluzione
più generale:


 ( x, t )   cn  n ( x, t )   cn sen(kn x)e
1
 iEn t /

2/ L
con
1
I coefficienti cn sono determinati dalle condizioni iniziali.
 cn  1
1
2
16
Buca di potenziale infinita: riassunto
• Abbiamo visto:
1) Come passare dall’eq di Schrödinger completa a quella indipendente
dal tempo (separazione delle variabili);
2) Come risolvere la parte temporale (energia definita);
3) Come risolvere la parte spaziale (per regioni omogenee)
4) Come usare la continuità della funzione d’onda per determinare
alcune caratteristiche della ψ(x)
5) Come ottenere la quantizzazione dell’energia imponendo la
continuità:
2 2 2
En 
n
2
con n intero;
2mL
6) Come ricomporre la funzione d’onda completa Ψn(x,t)
7) Come ottenere la soluzione più generale

 ( x, t )   cn sen(kn x)e  iEnt /
1

2/ L
con
 cn  1
1
2
17
Buca di potenziale infinita
Primi stati
stazionari:
Livello di minima energia (n=1, ground state):
1 ( x, t )  sen( x / L)eiE1t /
2/ L
E1 
Secondo livello energetico (n=2):
2 ( x, t )  sen(2 x / L)ei 4 E1t /
2/ L
E2 
2
2
2mL2
2
2
2
2mL
n 2  n 2 E1  4 E1
18
Applet Java
19
Grandezze fisiche: operatori ed incertezze
• Abbiamo una soluzione completa all’equazione di Schrödinger.
Ormai sappiamo tutto del nostro sistema quantistico….
• Ma come si determina la posizione, l’impulso, la velocità e l’energia
di una particella conoscendo la funzione d’onda?
Generalizzando il concetto di probabilità:
P( x)dx   * ( x) ( x)dx
è la probabilità di trovare la particella
nell’intervallo x, x+dx. La probabilità di misurare un valore x in un
P( x)dx   * ( x) ( x)dx
intorno di x, x+dx è quindi:
Calcolo il valore medio della quantità x attraverso l’espressione
della media pesata:
x   xP( x)dx   * ( x) x ( x)dx
20
Incertezze
Stati stazionari:
Posizione:
x   xP( x)dx   * ( x) x ( x)dx
Potenze della posizione:
x n   xP ( x)dx   * ( x) x n ( x)dx
(U ( x)  U 0  U1 x  U 2 x 2  U 3 x 3 .....)
Incertezza sulla posizione:
x 
x 
x

2

x2  x
2
Stati non stazionari:
Posizione:
x (t )   xP( x, t )dx    * ( x, t ) x ( x, t )dx
Incertezza sulla posizione:
x(t ) 
x  x 
2

x2  x
2
Per gli stati non stazionari le grandezze fisiche osservabili (e le loro
incertezze) sono funzione del tempo t
21
Generalizzando….
Possiamo facilmente generalizzare per funzioni generiche
della posizione: f ( x)  f 0  f1 x  f 2 x 2  f3 x 3 .....
f ( x) (t )   f ( x) P( x, t )dx    * ( x, t ) f ( x)  ( x, t )dx
Generalizziamo ulteriormente utilizzando il concetto
di operatore funzionale Ō:


O (t )   * ( x, t )O( x, t )dx   * ( x, t ) O( x, t )  dx
L’operatore funzionale è una operazione sulla funzione Ψ(x,t)
In MQ, tutte le quantità fisiche misurabili (posizione, energia) sono
operatori funzionali. I valori medi di tali operatori sono detti
“osservabili” (quantità osservabile, misurabile), per distinguerli
dalla funzione d’onda che non è osservabile né misurabile.
22
Principali osservabili fisiche
• Posizione. Operatore
Ox
x   xP( x)dx   * ( x) x ( x)dx
Osservabile:
• Impulso. Operatore

x
O  p  i
p     * ( x, t )i
Osservabile:
• Energia. Operatore
O E i
E    * ( x, t )i
 ( x, t )
d ( x)
dx    * ( x)i
dx
x
dx

t
 ( x, t )
dx
t

  cn En
2

Nota bene: l’equazione di Schrödinger è tra operatori:
 2 ( x, t )
( x, t )


U
(
x
)

(
x
,
t
)

i
2m x 2
t
2
 p2

 
 U ( x)  ( x, t )  E ( x, t )
 2m

23
Esercizio sulla buca di potenziale infinita
• Calcolare le osservabili posizione e impulso e le loro incertezze per
la funzione d’onda di minima energia
1 ( x, t )  sen( x / L)eiE1t /
E1 
2/ L
L
Posizione:
2
2
2mL2
x   ( x) x 1 ( x)dx   x sen 2 (k1 x)dx(2 / L)  L / 2
*
1
0
1 
1
x 2   1* ( x) x 2 1 ( x)dx   x 2 sen 2 (k1 x)dx(2 / L)  L2   2 
 3 2 
0
L
x 
x2  x
2
0,181L
d 1 ( x)
p    ( x)i
dx  i
Impulso:
dx
2
d  1 ( x)
p 2   2  1* ( x)
dx  2mE1
2
dx
*
1
Principio di indeterminazione:
L
 k sen(k x) cos(k x)dx(2 / L)  0
1
1
1
0
p 
p2  p
x  p  0.568
2

L
Rifare l’esercizio
per Ψ2(x,t) 24
Esempio II: buca di potenziale finita
Determiniamo la funzione d’onda dello stato fondamentale per un
III
U(x) II
potenziale dato da:
x  0 (I )
 0

U ( x)  U 0
 0

0 x L
xL
( II )
( III )
I
L
0
x
Soluzione:
Il sistema sarà caratterizzato da stati liberi e da stati legati.
Gli stati liberi (E>0) saranno simili ad onde piane (quando Uo0),
Gli stati legati (E<0) saranno simili a quelli per la buca di potenziale
Infinita (quando Uo-∞)
Soluzione non
Limitiamoci agli stati legati: E<0
normalizzabile: D=0
Nella regione I (x<0) si ha:
d 2 ( x)
2mE
2mE
x
 x
  2  ( x)   ( x)  Ce  De con    2
2
dx
25
Buca di potenziale finita (II)
• Ricerchiamo una soluzione nella forma
2mE

Ce  x
x  0 (I )
  2

 ( x)   A sen(kx)  B cos(kx) 0  x  L ( II ) con
2m(U 0  E )
 x

Ge
x

L
(
III
)
k

2
Imponiamo la continuità di ψ e di ψ' in 0 e in L
 I (0)   II (0)  C  B
 I (0)   II (0)  C  kA
Fisso A e B
 II ( L)   III ( L)  A sin(kL)  B cos(kL)  Ge  L
Fisso G
 ( L)  Ak cos(kL)  kB sin(kL)   Ge  L
 II ( L)   III
Sostituendo e riarrangiando i termini:
2 cot( kL) 
E’ una relazione di quantizzazione!
k



k
26
Buca di potenziale finita (III)
Notare le differenze
tra la buca di
potenziale finita
(sinistra), l’analogo
classico e la buca a
potenziale infinito
(destra).
In questo caso, la particella NON è confinata nella buca, ma può
Essere trovata anche nelle regioni I e III, non permesse classicamente
Lunghezza di penetrazione δ: ψ(x) = e-αx

1


2m(U  E )
27
Esempio III: Forza elastica / Oscillatore armonico
Caso classico:
Fx  kx
Fx  ma  mx
Legge di Hooke:
2
1
U
(
x
)

k
x
Potenziale:
2
Equazione del moto: x(t )  A cos(t  0 ) con   k / m
Moto oscillatorio tra x=-A e x=+A
Caso quantistico:
Potenziale:
U ( x)  12 k x 2
d 2 ( x) 1 2

 k x  ( x)  E ( x)
2
2m dx
2
2
Eq. di Schrödinger:
Quantizzazione: esistono soluzioni solo quando
E  0 (n  12 ) con 0  k / m, n  0,1, 2,...
Lunghezza caratteristica: l=1/b

b  mk
2

1
4
28
Le soluzioni per l’oscillatore armonico
n
 n ( x)
E
0
1
2
0
1
3
2
0
2
5
2
0
3
7
2
0
n (n  12 ) 0
b

b
2 
b
8 
e
 12 b 2 x 2
(2bx)e
 12 b 2 x 2
(4b 2 x 2  2)e
 12 b 2 x 2
b
 12 b 2 x 2
3 3
(8b x  12bx)e
48 
b
 12 b 2 x 2
H
(
bx
)
e
n
2n n ! 
Hn(bx) : polinomi di Hermite

*
n
( x) m ( x)dx   nm
1

0
per n  m
per n  m
Vale per ogni insieme di soluzioni
stazionarie
29
b
 0 ( x) 
Lo stato fondamentale

e
 12 b 2 x 2
Posizione media: <x>=0
Incertezza su x:
x 
x 
x

2

Incertezza sull’impulso:
x
(notare:
p
n
 0 n)
1
b
Impulso medio: <p>=0
p 
(notare:
p p

2

n
 0 n)
b
2
Relazione di indeterminazione di Heisenberg:
x p  / 2
Energia: E  12 0 con 0  k / m
Regola generale (su tutti gli stati QM): l’energia minima NON è mai 0:
il corpo appare sempre in moto (Δp≠0), anche se non si sposta (p=0)!
Per questo comportamento non esiste un analogo classico.
30
Sovrapposizione di stati
Supponiamo di avere un oscillatore armonico in una sovrapposizione
di stati stazionari (n=0, n=1):
 ( x, t ) 
1
2
 0 ( x, t ) 
1
2
 1 ( x, t ) 
1
2
b

e
 12 b 2 x 2  12 i0t
Determiniamo l’osservabile posizione:
x (t )   * ( x, t ) x( x, t )dx  

1
2
*0 ( x, t ) 
1
2

 
*1 ( x, t ) x
b
1
2
2 
1
2
(2bx)e
 0 ( x, t ) 
1
2
 12 b 2 x 2  23 i0t

1 ( x, t ) dx
1
1
1
*
*
   0 ( x, t ) x 0 ( x, t )dx   1 ( x, t ) x1 ( x, t ) dx    0* ( x, t ) x1 ( x, t ) dx 
2
2
2
1
  1* ( x, t ) x 0 ( x, t )dx  0  0  Re    0* ( x, t ) x1 ( x, t ) dx  


2
t

 Re 

b
b

2 
e
 12 i0t  23 i0t
e
 12 b 2 x 2
x(2bx)e
 12 b 2 x 2

1
dx  
cos(0t )
 b
La sovrapposizione degli stati produce il moto nel sistema!
Applet
31
Esempi di oscillatori armonici: molecole, nuclei
MC: dato un potenziale arbitrario U(x) con un minimo, in prossimità
del minimo il sistema ha delle oscillazioni (piccole oscillazioni)
MQ: per minimi sufficientemente profondi, il sistema si comporta
come un oscillatore armonico: livelli energetici equispaziati
U(x)
x
Esempi:
molecole biatomiche,
nuclei
32
Principio di Corrispondenza MQ ↔ MC
Meccanica Classica:
F  ma,
Fx  mx  x(t )
Meccanica Quantistica:
 2  ( x, t )
 ( x, t )


U
(
x
)

(
x
,
t
)

i
2m
x 2
t
2
  ( x, t )
La Ψ(x,t) descrive completamente lo stato QM ma non è misurabile
Osservabile fisica:
O (t )    * ( x, t )O ( x, t )dx
Esempio: osservabile posizione
x (t )    * ( x, t ) x ( x, t )dx
Usando l’eq di Schrödinger si può verificare che:
m
d 2 x (t )
dt 2
d2
m 2
dt


 dU
*
*

(
x
,
t
)
x

(
x
,
t
)
dx


(
x
,
t
)



 dx
Gli osservabili accelerazione e forza verificano:
dU


(
x
,
t
)
dx


 Fx

dx


dU
dx
 Fx  m x
La base della MC è una relazione tra valori medi sugli stati quantistici33
Riassumendo
34
Seconda parte: stati liberi
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Stati liberi e stati legati
Prototipo di stato libero
Salti di potenziale
Stati liberi per la buca di potenziale finita
Barriera finita di potenziale
Effetto tunnel: riflessione e trasmissione
Effetto tunnel: microscopia ad effetto tunnel
Effetto tunnel: altri esempi
Livelli energetici nei conduttori
35
Stati liberi
Stati legati: la particella è confinata in una zona finita di spazio.
(cum grano salis)
Stati liberi: la particella può essere ovunque nello spazio.
Caratteristiche generali in MQ:
- Assenza di onde stazionarie
- Assenza di quantizzazione
36
Prototipo di stato libero
• Richiami di onde piane:
 2  2  ( x, t )
 ( x, t )

 U ( x) ( x, t )  i
2
2m x
t
Se U(x)=0 allora:
( x, t )  ei ( kxt )
è un'onda piana progressiva ( p  k )
( x, t )  ei ( kxt )
è un'onda piana regressiva ( p  k )
2
Entrambe di energia
k2
E 
2m
Se U(x) ≠0 allora avrò soluzioni diverse, ma vicine a queste, o
combinazioni di queste….
37
Salto di potenziale
U(x)
• Iniziamo con il caso più semplice:
u0
x
Supponiamo di sapere che vi è una sorgente di particelle (elettroni) che
provengono da sinistra con E>u0 e che nel loro percorso incontrano il
salto di potenziale.
 ( x, t )  ei ( kx t )
è l'onda iniziale (x  0), con E   , k  2mE /
In generale per x  0 :  I ( x, t )  Aei ( kx t )  Bei (  kx t )
Per x  0,  II ( x, t )  Cei ( k x  t ) con    E /   , k   2m( E  u0 ) /
Oss: per x>0 manca l’onda regressiva per le nostre condizioni iniziali!
A  B  C , k ( A  B)  k C
Se richiedo la continuità a x=0, trovo:
In generale: B≠0  ho SEMPRE un’onda riflessa dal salto di potenziale
C≠0  ho un’onda trasmessa dopo il salto di potenziale (E>u0)
38
Stati liberi per la buca di potenziale
Consideriamo ora quanto avviene nel caso precedente (sorgente di
Elettroni a sinistra) nel caso della buca di potenziale:
 0

U ( x)  U 0
 0

x  0 (I )
0 x L
xL
II
U(x)
I
( II )
L
0
( III )
III
x
Le soluzioni ad E fissata sono:
 Ae  i ( kx t )  Be  i (  kx t )

 ( x, t )  Ce  i ( k x t )  De  i (  k x t )
 i ( kx t )

Fe

x  0 (I )
0  x  L ( II ) con
x  L ( III )
k  2mE /
k   2 m( E  U 0 ) /
Condizioni al contorno in 0 e in L  4 relazioni: fisso B,C,D,F
Non ho alcuna relazione di quantizzazione!
2
2
R  B / A  f1 (k , L,U 0 )
Definisco: probabilità di riflessione
2
2
Probabilità di trasmissione
T  F / A  f 2 (k , L,U 0 )
39
Barriera finita di potenziale
Caso analogo (uguale!!) al precedente ma diverso dal caso classico:


U ( x)  U 0
 0

0
x  0 (I )
U(x)
U0
0  x  L ( II )
x  L ( III )
0
I
x
L
II
III
Supponiamo di avere a sinistra una sorgente di elettroni con E<U0:
 ( x, t )  ei ( kx t )
è l'onda iniziale (x  0), con E   , k  2mE /
Classicamente la particella rimarrebbe nella zona I (rimbalza in x=0)
Quantisticamente il sistema è descritto dalle stesse equazioni di prima:
Unica differenza: -U0+U0
 II ( x)  Ceik x  Deik x
con k   2m( E  U 0 ) /
(
se E  U 0 )
40
Effetto tunnel: riflessione e trasmissione
Soluzione generale per E<U0:
 Ae ikx  Be  ikx

 ( x)  Ce  x  De  x
 ikx

Fe

x  0 (I )
0  x  L ( II ) con
x  L ( III )
k  2mE /
  2m(U 0  E ) /
( )
Condizioni al contorno in 0 e in L  4 relazioni: fisso B,C,D,F
Non ho alcuna relazione di quantizzazione!
R  B / A  f1 ( E , L,U 0 )
2
Definisco: probabilità di riflessione dell’onda
Probabilità di trasmissione dell’onda
Si ottiene:
R
e


 
e T
T  F / A  f 2 ( E , L,U 0 )
2
2
|ψ(x)|
Svolgendo i conti:
posto   sin 2  2m( E  U 0 ) L 

2

 
 4
E
U0
U0
 E


1


U
 0

(T  R  1)
0
I
x
L
II
III
41
Effetto tunnel: microscopia ad effetto tunnel
L’effetto tunnel (R) dipende molto dall’ampiezza
della zona proibita classicamente
Difetto nel reticolo
Questa sensibilità e’ sfruttata nei microscopi ad effetto
tunnel.
Caratteristiche: sensore fatto con una punta
conduttrice (1 atomo!) posta a breve distanza
Reticolo
atomico regolare
dal campione
(conduttore).
Gli elettroni di conduzione passano dalla punta
al campione per effetto tunnel. L’intensità
della corrente dipende dalla distanza atomo
della punta-atomo del campione! Il moto della
punta sulla faccia del campione permette la
ricostruzione bidimensionale delle posizioni
degli atomi.
42
Microscopia ad effetto tunnel
Costruzione di immagini con singoli atomi (IBM Labs)!
Onde stazionarie di probabilità
Posizionamento di 48 atomi di Fe su un substrato di Cu a 4K
43
Esempi di effetto tunnel
L’effetto tunnel ha un ruolo in un numero notevole di situazioni tra
cui:
• Decadimenti radiattivi dei nuclei
• Fusione nucleare
• Semiconduttori
44
Livelli energetici nei conduttori
Modellino di una fila di atomi di materiale conduttore:
x
x
U(x)
U(x) è un potenziale periodico U(x+a)=U(x)
Le ψ(x) avranno la stessa periodicità: ψ(x+a)= eiθψ(x)≈eikx
Gli stati liberi (E>0)
saranno caratterizzati dalla
comparsa di bande
energetiche permesse e
bande proibite (i dettagli
dipendono dalla forma di
U(x))
2
k2
E
2m
Energia
Terza banda
Seconda banda
Prima banda
3

a
2

a
1

a
0
1

a
2

a
3
 45 k
a
Terza parte: problemi tridimensionali
•
•
•
•
•
•
•
•
L’equazione di Schrödinger in tre dimensioni
Buca di potenziale infinita in 3D
Forze (e potenziali) centrali
Momenti angolari
Atomo di idrogeno
Livelli energetici
Transizioni tra livelli
Spettri atomici
46
L’equazione di Schrödinger in tre dimensioni
• Equazione di Schrödinger in una dimensione:
 2  2  ( x, t )
 ( x, t )


U
(
x
)

(
x
,
t
)

i

2m x 2
t
px  i
Dove, sapendo che
 px2


 U ( x)  ( x, t )  Eˆ ( x, t )
 2m


x
• La naturale estensione dell’equazione di Schrödinger in tre
dimensioni è quindi:
 px2  p y2  pz2



2m
 U ( x, y, z )   ( x, y, z, t )  Eˆ  ( x, y, z, t )


 2
2
2 





(
x
,
y
,
z
,
t
)

U
(
x
,
y
,
z
)

(
x
,
y
,
z
,
t
)

i
( x, y, z, t )


2m  x 2 y 2 z 2 
t
2
In forma compatta:
2
2
2
2
  2 2 2
x
y
z

2
2m
 2  (r , t )  U (r ) (r , t )  i
 (r , t )
t
47
Estensioni alle tre dimensioni
L’eq. di Schrödinger è lineare anche in 3D
1 ; 2 soluzioni 
  a1  b 2 soluzione
E’ ancora possibile ricercare le soluzioni con la tecnica della separazione
 (r , t )   ( r ) (t )
delle variabili:
Troverò in questo modo le soluzioni stazionarie ad energia definita:
 (t )  e
iEt /

2
2m
 2 (r )  U (r ) (r )  E (r )
eq. di Schrödinger in 3d indipendente dal tempo
  
Normalizzazione:

  
 * (r , t )  (r , t )dxdydz   * (r ) (r )d 3r  1
Proprietà di continuità analoghe al caso 1D
V
48
Buca di potenziale infinita in 3D
 0
U ( x, y , z )  

0  x  Lx , 0  y  Ly , 0  z  Lz
  ( x, y , z )  0
altrimenti
Tentiamo una soluzione nella forma:
 ( x, y, z )  F ( x)G ( y ) H ( z )
L’eq di Schrödinger diventa:
 1 d 2 F ( x )   1 d 2 G ( y )   1 d 2 H ( z )  




   U ( x, y , z )  E
2
2
2
2m  F ( x) dx
  G ( y ) dy
  H ( z ) dz

2
1 d 2 F ( x)
 Cx
F ( x) dx 2

2
2m
(Cx  C y  Cz )  E
Soluzione: Fn ( x)  sen(kn x) 2 / Lx
x
x
nx
k nx 
Lx
 Cn 
2
Lx
2
nx 2
n intero
La richiesta di continuità in 0 e in Lx porta alla quantizzazione in x.
 n ,n
x
3
(
x
,
y
,
z
)

sen(
k
x
)sen(
k
y
)sen(
k
z
)
2
/( Lx Ly Lz )
nx
ny
nz
y , nz
Enx ,ny ,nz
 nx2 n y2 nz2 





2m  L2x L2y L2z 
2
2
49
Forze (e potenziali) centrali
MC: Forze centrali:
F  f (r )uˆ r
Sono conservative: U (r ) :
rr
F  U (r )
Nel moto si conserva il momento angolare
L:
dL
0
dt
MQ: proprietà analoghe per i potenziali centrali U(r) :
Si avranno soluzioni  (r , t ) con momento angolare definito.
Numeri quantici associati al momento angolare: due (??)e solo due!
l : numero quantico associato al modulo
L
2
m : numero quantico associato ad una componente
numero quantico magnetico:
 l (l  1)
2
Lz  m
l  m  l
Indeterminazione di Heisenberg: non si hanno stati a definito Lx, Ly, Lz
50
Eq di Schrödinger in coordinate polari

2
 
  (r )  U (r ) (r )  E (r )
2
2m
 x  r sin  cos 

 y  r sin  sin 
 z  r cos 

2
2m
 2 (r , ,  )  U (r ) (r , ,  )  E (r , ,  )
2
2
2
  2 2 2
x y
z
2

1   2   1 1
 
 
1
2 
 2 r

 
 sin 

r r  r  r 2  sin 2   
  sin 2   2 
Le variabili angolari compaiono solo in un termine….
Ricerco le soluzioni nella forma:
 (r , ,  )  R(r )Y ( ,  )
 1
 
 
1
2 
Y ( ,  )  CY ( ,  )

 sin 

2
2
2 
  sin   
 sin   
 1 d (r 2 R(r )) C



R
(
r
)

  U (r ) R(r )  ER(r )
2m  r 2
dr
r2

2
51
Momenti angolari
 1  
 
1 2  m
Y ( ,  )  l (l  1)Yl m ( ,  )
 2
 sin 
 2
2  l
  sin   
 sin   
Armoniche sferiche:
Yl m ( ,  ) 
2l  1
Pl ,m ( )eim
4
Yl ( ,  )  (1)
m
m
Y
m
l
Operatore Lz:
( ,  ) 
*
P0,0 ( )  1, P1,0 ( )  cos , P1,1 ( ) 
P2,0 ( )  32 cos 2   12 ,
P2,2 ( ) 
1
8
P2,1 ( )  
3
2
1
2
sin  ,
sin  cos  ,
sin 2  ,

 
 


Lz  xp y  ypx  x  i

y

i


i



y 
x 



LzYl m ( ,  )  m Yl m ( ,  )
Operatore L2:
L  rp 
2
2
2
1
 
 
1
2
 sin 

2
sin   
  sin 2   2
L2Yl m ( ,  )  [l (l  1)
2
] Yl m ( ,  )
I numeri quantici m ed l servono per classificare gli stati stazionari 3D;
Definiscono completamente la parte angolare della funzione d’onda
52
Funzione spaziale
 (r , ,  )  R(r )Y ( ,  )
Soluzioni nella forma:
 1 d (r 2 R(r )) l (l  1)



2m  r 2
dr
r2
2
2

R(r )   U (r ) R(r )  ER(r )

dipende da l ma
non da m
Una eq differenziale in una funzione: per stati legati si avrà una
relazione di quantizzazione ed un nuovo numero quantico che è
detto numero quantico principale (n)
Gli stati stazionari saranno quindi identificati da terne di numeri:
E  En ,l  f (n, l )
n, l , m   n,l ,m (r, ,  )  Rn (r )Yl m ( ,  )
Degenere per m
Una generica soluzione di stato legato sarà:
l
l
 (r , ,  )    cn ,l ,m n ,l ,m (r , ,  )   cn ,l ,m Rn (r )Yl m ( ,  )
n
l
m  l
n
l
m  l
Le condizioni iniziali/al contorno definiscono i cn,l,m
53
Atomo di idrogeno
Sistema protone-elettrone tenuto insieme dalla forza elettromagnetica
1 e2
U (r )  U (r )  
4 o r
Massa ridotta:
m
me m p
me  m p
me
E’ un potenziale centrale: conosciamo già le soluzioni angolari
- armoniche sferiche  1 d (r 2 R(r )) l (l  1)



2m  r 2
dr
r2
2
Parte radiale:
L’energia è quantizzata:
me4
En  
2(4 o ) 2
2
2

e2
R( r )  
R(r )  ER(r )
4

r

o
R
1

n2 n2
Occorrono 13.6 eV per ionizzare un atomo di
idrogeno
(liberare l’elettrone dal legame atomico)
n  1, 2,3,... E1  13.6 eV
E1  R
Energia di Rydberg
54
Soluzioni radiali
Le soluzioni all’equazione
 1 d (r 2 R(r )) l (l  1)



2m  r 2
dr
r2
2
2

e2
R( r )  
R(r )  ER(r )
4

r

o
Sono dette funzioni di Laguerre:
n, l
1, 0
Raggio di Bohr:
(4 o )
a0 
me2
2
Rn ,l (r )
n, l
 0, 0529 nm
2, 0
2e  r / a0 / a03/ 2
2(1  2ra0 )e  r /(2 a0 ) /(2a0 )3/ 2
r
3a0
2,1
2
3, 0
(2  34ar0 
n, l
e  r /(2 a0 ) /(2a0 )3/ 2
4r2
27 a0 2
)e  r /(3a0 ) /(3a0 )3/ 2
pn l 1 (r / a0 )e  r /( na0 ) /(na0 )3/ 2
Distanza media elettrone-protone:
rmedio  ao n2
r
2
 x 2  y 2  z 2  ao 2 n 4

55
Livelli energetici
E
0
1
-3.4
p
-13.6
s
me4
En  
2(4 o ) 2
2
3
d n=3
n=2
2
1
n2
n  1, 2,3,... E1  13.6 eV
l
n=4
Notazione spettroscopica
l= 0 1 2 3 4 5
Lettera: s p d f g h
capienza e-: 2 6 10 14 18 22
Questa struttura di base rimane
Ze2
U k
anche per altri atomi
r
Idrogeno: 1e  1s1 1s12s02p0….
Elio: 2e  1s2 1s22s02p0….
n=1
Litio: 3e  1s22s1 1s22s12p0….
Ossigeno: 8e  1s22s22p4 1s22s22p43s03p0….
Argento: 47e  1s22s22p63s23p63d104s24p44d105s1
Le proprietà chimiche dipendono solo dall’ultimo livello occupato
56
Transizioni tra livelli
E
n=3
-3.4
Serie di
Balmer
Serie di
Lyman
-13.6
n=2
n=4
Perdita di energia
per passaggio tra due stati
(transizione)
 1
1 
E  Ei  E f  R  2  2 
 n f ni 


L’energia è emessa sotto forma
di energia luminosa: 1 fotone di energia ΔE
n=1
La serie di Balmer da luce visibile
57
Spettri di elementi
Spettri di emissione
Idrogeno (1e):
Elio (2e):
Mercurio (80e):
gas
Spettri di assorbimento
luce
Assorbimento selettivo schermo
Spettro del Sole
58
Lo spettro solare è di assorbimento!
Aspetto storico: atomo di Bohr (1913)
• Ipotesi: forza coulombiana, orbite circolari (classiche)
L
1 e2
F (r )  
rˆ,
2
4 o r
r
v
• Impulso:
p  mv 
h

v r
2
F  ma ,
1 e2
v2
m
2
4 o r
r
e2
4 o m
• Lunghezza dell’orbita:
2 r
Ipotesi di Bohr: in un’orbita l’elettrone fa un numero intero
di lunghezze d’onda
2 r

Da cui:
n  n
2 rp
h
4 0 2 2
rn 
n  ao n 2
2
me
 L  rp  n
h
n
2
me4
En  
3(4 o )2
2
R
1


n2
n2
Eccezionale potere predittivo con tale ipotesi!
59
Parte IV: Spin e fisica atomica
•
•
•
•
•
Atomo in un campo magnetico
Esperienza di Stern e Gerlach
Spin dell’elettrone
Interazione spin orbita e doppietti spettrali
Spin e statistica
60
Atomo in un campo magnetico
Effetto classico: precessione di Larmor
L
Corrente: I 
v
r
I
e
e

T 2 r / v
Momento magnetico:   IA 
e
evr
e
 r2 

L
2 r / v
2
2me
L
Momento di dipolo magnetico (orbitale) di un elettrone:
L
r
L
e
L
2me
M  L  B
Momento della forza:
B
L  
B

M  L  B 
dL
e
 B
L L
dt
2me
eB
2me
Precessione responsabile del
diamagnetismo di alcuni materiali
61
Atomo in un campo magnetico
Effetto classico: precessione di Larmor
B
B
L
Corrente: I 
v
r
I
e
e

T 2 r / v
Momento magnetico:   IA 
e
evr
e
 r2 

L
2 r / v
2
2me
L
Momento di dipolo magnetico (orbitale) di un elettrone:
L  
e
L
2me
Stesso risultato (ma molti più conti) nella MQNumero quantico magnetico
Potenziale dell’interazione momento-campo magnetico:
Forza:
F  U  (  x Bx   y By   z Bz )
Quantizzazione della forza:
Fz   z
 Fz   z
 B
Bz  e
 
Lz  z
z  2me  z
U  L  B
Bz
z
 e
 B
e Bz
 
m  z 
m
2
m

z
2
m

z
62
e
e


Esperienza di Stern e Gerlach
E’ possibile osservare la quantizzazione della forza?
collimatore
schermo
Magneti
B
Gas di
Ag
Fz   z
Bz
e Bz

Lz
z
2me z
forno
Schermo
B=0, ogni L
Campo non omogeneo
Fascio di atomi neutri
dB/dz>0, risultati attesi
dB/dz>0, risultato ottenuto
m=+1
m=0
m=-1
L=0
L=1,
classico
L=1,
quantistico
con Ag
eH
L=0
63
Spin dell’elettrone
• Si ha lo stesso risultato dell’esperienza di Stern-Gerlach con
idrogeno e argento (L=0) anche con elettroni isolati!
Interpretazione. L’effetto e’ dovuto ad una nuova proprietà degli
elettroni: lo spin
Lo spin si comporta come un momento angolare intrinsico delle
particelle. Gli elettroni hanno spin ½:
se :
sz   12 ,
se
2

1
2
1  12 
2

3
4
2
 s  2
e
s
2me
Anche protoni e neutroni hanno spin ½.
Gli spin degli elettroni, dei protoni, dei neutroni si compongono con il
momento angolare orbitale per dare il momento angolare totale
dell’atomo (J).
64
Struttura fine ed iperfine dei livelli degli atomi
• I livelli energetici con stesso n e diverso l sono degeneri solo in
prima approssimazione
Le proprietà relativistiche del sistema aggiungono due termini di
potenziale legato allo spin delle particelle:
Interazione spin-orbita: U LS  kL se
(struttura fine, 0,02%)
Rimuove la degenerazione in L
Interazione spin-spin:
U SS  k se  s p
(struttura iperfine, più piccola)
Rimuove la degenerazione su un dato livello
Nella soluzione completa dell’atomo di idrogeno
NON si hanno livelli degeneri
65
Interazione spin-orbita e doppietti del sodio
Sodio: Na
11e- : Struttura atomica 1s22s22p63s1
Nello stato fondamentale 3s1: l  0, s  12
Momento angolare totale: J  L  Se  J
Nel primo stato eccitato 3p: l  1, s  12
2
J  L  Se
(Ne)3s1 3p0
J  se  j  12
 j ( j  1)
2
,
J z  jz ,  j  jz   j
Le direzioni dei vettori sono
impotanti!
In generale, si hanno 2 soluzioni:
j  l  12  12 ,
j  l  12 
3
2
L’interazione spin-orbita U LS  kL se
differenzia l’energia di questi due livelli
Si parla allora di orbitali nXj: 3p1/2, 3p3/2
Negli spettri di emissione le righe diventano doppietti, tripletti….
66
Particelle identiche
Perché tutti gli elettroni di un atomo non stanno nel livello
fondamentale 1s?
Osservazione: per un osservatore esterno gli atomi e le particelle sono
indistinguibili. Es: non posso distinguere tra loro due elettroni
Se ho un sistema quantistico con due elettroni, la probabilità dovrà essere
simmetrica per lo scambio dei due elettroni.
 ( x1 , x2 )  P( x1 , x2 )   ( x1 , x2 )
2
in generale non simmetrica per x1  x2
Simmetrizzazione:  S ( x1 , x2 )   ( x1 , x2 )  ( x2 , x1 )
 P( x1 , x2 )   S ( x1 , x2 ) è simmetrica
2
Antisimmetrizzazione:  A ( x1 , x2 )   ( x1 , x2 )  ( x2 , x1 )
 P( x1 , x2 )   A ( x1 , x2 ) è simmetrica
2
67
Teorema spin e statistica
Teorema spin e statistica: per avere una teoria coerente (…) occorre
che più particelle a spin ½ (semintero, fermioni) abbiano una
funzione d’onda antisimmetrica.
(per completezza: spin intero, bosoni funzione simmetrica)
Conseguenze: in ogni stato quantico posso mettere uno ed un solo
fermione. Se nella descrizione dello stato quantico trascuro lo spin,
allora posso mettere 2 elettroni per stato quantico.

Atomo di litio: 3 elettroni
 n, l, m, sz   (1,0,0, 
1
2
),(1,0,0,  ),(2,0,0,  )
Atomo di Ossigeno: 8 elettroni
Capienza livello 2p (l=1):
2s
N=2(2l+1)=6
1s
m  1, 0, 1
1s22s1
1
2
1
2

2s
2p
1s
1s22s22p4
2p
68
Teorema spin-statistica: conseguenze
• Gli elettroni in un atomo si collocano su livelli energetici diversi;
ogni singolo livello puo’ ospitare solo due elettroni con spin opposti;
• I protoni ed i neutroni sono fermioni; in un nucleo ogni livello
energetico puo’ ospitare solo due fermioni identici
• Due fermioni possono accoppiarsi in un sistema a spin intero
(bosone)  superconduttività.
69
Applicazioni dello spin
• I protoni, i neutroni e gli elettroni hanno tutti spin ½.
e
• Allo spin e’ associato un momento magnetico:
s   g
s
L’eccitazione del momento magnetico di un protone tramite
un campo magnetico esterno ne puo’ rivelare la presenza.
2m
Risonanza magnetica nucleare
In un campo magnetico intenso B1,
si mette un campo B oscillante B(t)
B
N B
N
B(t)
Radiazione
EM osservabile
J
70
Effetti di spin: ferromagnetismo e magneti naturali
• Ogni atomo e’ dotato globalmente di un momento angolare totale e
di un momento magnetico totale.
• L’interazione spin-spin nel ferro e’ tale da allineare i momenti
angolari totali degli atomi vicini e quindi i momenti magnetici
• Si ha allora una magnetizzazione macroscopica!
μ
Domini magnetici nel Fe
M
~100μm
Nei magneti naturali (magnetite: Fe3O4) un dominio magnetico
corrisponde a tutto il metallo
71
Riassumendo per concetti la Meccanica Quantistica:
• Si perde il determinismo della Meccanica Classica
• Entra l’indeterminazione e l’interpretazione probabilistica
• Tutti i sistemi fisici (particelle, corpi estesi, onde elettromagnetiche)
sono descritti da funzioni d’onda prive (in generale) di significato
intrinseco e non sono osservabili.
• Vi e’ causalità e determinismo sulla funzione d’onda, che soddisfa
un’equazione fondamentale: l’eq. di Schrödinger
• Tutte le quantità misurabili sono ottenute come medie di operatori
sulle funzioni d’onda. La loro interpretazione (e la loro osservazione in
laboratorio) è probabilistica.
• La meccanica classica è una condizione limite della meccanica
quantistica e vale sempre in media.La MQ (non relativistica) è una
ottima descrizione della realtà fino al livello atomico.
• Le particelle quantistiche (elettroni, fotoni…) sono puntiformi ed
72
indivisibili, ma si propagano come onde estese!
Effetti quantistici intorno a noi (elenco minimale) I
• Lampadina ad incandescenza, sole  emissione di corpo nero
• Lampada al neon, al mercurio, al sodio  emissione per righe, luce
fredda
• Lettori ottici, laser (supermercato, CDROM, DVD)
 emissione focalizzata di fotoni monocromatici
• Fotografia tradizionale/digitale; occhio, visione del colore
– Assorbimento per righe spettrali; sensibilità primaria a 3 colori:
rosso, verde, blu
• Chimica  tutta la chimica è legata a effetti quantistici
- stabilità atomica, struttura atomica, legami molecolari
• Magnetismo, ferromagnetismo  effetti di spin
73
Effetti quantistici intorno a noi (elenco minimale) II
• Medicina nucleare
– Radiografia, Mammografia, Risonanza magnetica nucleare
(RMN), Positron Emission Tomography (PET), Tomografia
Assistita da Calcolatore (TAC), Densitometria ossea,
Radioterapia, Adroterapia…
• Radiodatazioni
• Analisi non distruttiva di campioni
• Energia elettrica  fotovoltaica (0.03%), nucleare (18%);
pannelli/celle solari
• Superconduttività
74
Fine corso
75